北京高考数学试卷评析
2023年北京高考数学真题(解析版)
an
，
故an为减数列，注意 ak1 6 3 0
故 an1 6
1 4
an
63 an 6
1 4
an
62
9 4
an
6 ，结合 an1 6 0 ，
所以
6
an1
9 4
6
an
，故
6
an1
3
9 4
n1
，故
an1
6
3
9 4
n1
，
若存在常数 M
≤ 0 ，使得 an
M
恒成立，则
6
3
9 4
n1
故选：D.
7. 在 ABC 中， (a c)(sin A sin C) b(sin A sin B) ，则 C （
π
A.
6
【答案】B
π
B.
3
2π
C.
3
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为 (a c)(sin A sin C) b(sin A sin B) ，
故选：A
2. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (1, 3) ，则 z 的共轭复数 z （ ）
A. 1 3i
B. 1 3i
C. 1 3i
D. 1 3i
【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数 z ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 z 在复平面对应的点是 (1, 3) ，根据复数的几何意义， z 1 3i ，
）
5π
D.
6
所以由正弦定理得 (a c)(a c) b(a b) ，即 a2 c2 ab b2 ，
则 a2 b2 c2 ab ，故 cos C a2 b2 c2 ab 1 ，
2024年北京高考数学真题(含解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试·数学试卷（北京卷）本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（）A.{}11x x -≤< B.{}3x x >-C.{}|34x x -<< D.{}4x x <2.已知1i iz=--，则z =（）．A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A.B.2C.3D.4.在(4x -的展开式中，3x 的系数为（）A.6B.6- C.12D.12-5.设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A.1B.2C.3D.47.生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A.2132N N = B.2123N N =C.2321N N = D.3221N N =8.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==）.A.1B.2C.D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A.12122log 22y y x x ++< B.12122log 22y y x x ++>C.12212log 2y y x x +<+ D.12212log 2y y x x +>+10.已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+-≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线216y x =的焦点坐标为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为________．13.若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为________．14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为______mm ，升量器的高为________mm ．15.设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t 的值．。
北大老师高考数学试卷分析
摘要：2023年高考数学试卷已尘埃落定，广大考生在经历了这场“数学之战”后，对试卷的难度和题型有了直观感受。
本文将结合北京大学数学系名师的视角，对2023年高考数学试卷进行全面分析，旨在帮助考生和家长更好地理解试卷特点，为今后的学习和备考提供参考。
正文：一、试卷整体特点1. 稳中求进：2023年高考数学试卷保持了近年来试卷的整体风格，难度适中，注重基础知识的考查。
同时，试卷在题型、题量等方面有所调整，体现了稳中求进的特点。
2. 注重思维与能力：试卷在考查基础知识和技能的同时，更加注重考查学生的思维能力、创新能力、解决问题的能力。
试题设计巧妙，引导考生在解题过程中运用所学知识，培养综合素质。
3. 传承与创新：试卷在继承传统题型的基础上，融入了一些新的元素，如新情境、新背景等，使试题更具时代感和现实意义。
二、试卷具体分析1. 选择题：选择题部分保持了传统题型，注重考查基础知识和基本技能。
同时，部分题目增加了情境和背景，要求考生在理解题意的基础上进行解答。
2. 填空题：填空题部分题型多样，既有常规题型，也有创新题型。
试题难度适中，旨在考查考生对基础知识的掌握程度。
3. 大题：大题部分题型较为丰富，包括解析几何、立体几何、函数、数列、概率统计等。
试题难度适中，注重考查学生的思维能力、解决问题的能力。
4. 综合题：综合题部分涉及多个知识点，要求考生在解题过程中灵活运用所学知识，体现了试卷对考生综合素质的考查。
三、备考建议1. 加强基础知识学习：考生要注重基础知识的学习，尤其是对公式、定理、法则等内容的熟练掌握。
2. 培养思维能力：通过解题训练，提高自己的思维能力，学会从不同角度分析问题、解决问题。
3. 关注创新题型：关注新情境、新背景下的试题，提高自己的创新能力。
4. 提高解题速度：在保证解题准确性的前提下，提高解题速度，为考试争取更多时间。
总之，2023年高考数学试卷在保持传统风格的基础上，注重考查学生的思维能力和创新能力。
2023年高考北京数学试卷评析
2023年高考北京数学试卷评析2023年高考北京数学试卷一直备受关注，作为考生们迈向大学的重要一步，数学试卷的分析对于考生们来说至关重要。
本文将对2023年高考北京数学试卷进行深入评析，帮助考生们更好地了解试卷特点，为备考提供有力的参考。
首先，2023年高考北京数学试卷的整体难度适中，注重考查学生对数学基本概念和解题能力的掌握。
试卷题型包括选择题、填空题、计算题和解答题，涵盖了数学各个方面的知识点。
试卷的题目设置合理，既考查了学生对基础知识的理解，又考察了学生的运算能力和解题思路。
在试卷的难度分布上，各题型的难度相对均衡，使得考生们能够有机会发挥自己的优势。
其次，试卷中的题目注重考查学生的综合运用能力。
试卷中的题目大多数是多个知识点的综合运用，要求学生能够将所学的数学知识进行整合，解决实际问题。
例如，选择题中的应用题要求考生能够运用数学知识解决生活中的实际问题，这既考察了学生对基本知识的掌握，又考察了学生的逻辑思维和解决问题的能力。
这种综合能力的考查对于学生在大学学习和日后的工作中都具有重要意义。
此外，试卷中的解答题更加注重学生的思考能力和解决问题的方法。
解答题的设计更加灵活，能够更好地考察学生的思考能力和解决问题的方法。
试卷中的解答题包括了证明题、计算题和解析几何题等，要求学生能够熟练掌握解题的方法和步骤，运用正确的数学推理和推导，解决复杂的数学问题。
这对于学生的数学素养和数学思维的培养具有重要的意义。
总的来说，2023年高考北京数学试卷的设计合理，难度适中，注重考查学生的数学基础知识和解题能力。
试卷的题目设置全面，既考查了学生的基础知识，又注重考察学生的综合运用能力和解决问题的方法。
因此，考生们在备考过程中，要注重基础知识的复习，提高解题能力和思考能力。
同时，要多做一些综合性的题目，培养解决问题的综合能力。
最后，考生们要保持良好的心态，在考试中保持冷静和自信，不要过于紧张。
只有在放松的状态下，才能更好地发挥自己的实力。
北京高考数学各部分难度及分值
北京高考数学各部分难度及分值北京高考数学试卷一般分为选择题和填空题两部分，难度和分值也各不相同。
选择题部分一般涵盖了数学的各个知识点，包括代数、几何、概率统计等。
这部分题目的难度较为适中，需要考生熟练掌握各种不同类型的题型，并能够快速准确地解题。
选择题部分通常占据试卷总分的50%左右，分值相对较小，一般为1-2分。
填空题部分也是考查考生对数学知识点的掌握程度，但相对于选择题来说，填空题的难度会有所增加。
这部分题目一般包括多步计算、证明推理等复杂题型，需要考生具备较高的解题能力和数学思维能力。
填空题部分的分值一般比选择题要高一些，也会根据题目的难度而有所不同。
总的来说，北京高考数学试卷的难度和分值分布比较均衡，选择题和填空题相互配合，全面考察考生的数学能力。
在备考过程中，考生需要全面复习各个知识点，掌握解题技巧，提高解题速度和准确度，从而在考试中取得理想的成绩。
下面分别对选择题和填空题的难度及分值进行详细介绍。
选择题部分：选择题部分一般包括单选题和多选题两种题型，涵盖了数学的各个知识点。
这部分题目的难度一般在中等水平，考查内容包括代数、几何、概率统计等各个方面的知识点。
考生需要在有限的时间内迅速准确地解题，因此需要对各个知识点有深入的理解和熟练的掌握，以及快速的解题能力。
选择题的分值一般较为稳定，每道题目一般为1-2分，总分占比约为50%左右。
因此，选择题部分在考试中的重要程度不容忽视，需要认真对待。
填空题部分：填空题部分一般包括了计算题、证明题、计算证明题等复杂题型，难度相对选择题要高一些。
这部分题目要求考生能够熟练掌握各种解题技巧，具备较强的数学思维能力和解题能力，能够灵活运用各种知识点进行解题。
填空题的分值一般比选择题要高一些，因为难度也相对更大。
考生在备考过程中需要重点关注填空题部分，针对不同的题型进行训练和练习，提高解题的效率和准确度，以取得尽可能高的分数。
总的来说，北京高考数学试卷的选择题和填空题部分各自有着不同的难度和分值分布，考生需要全面复习各个知识点，提高解题能力和速度，以取得理想的成绩。
2024年北京市高考数学试卷及解析
2024年北京市高考数学试卷第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|41}M x x =-<≤,{|13}N x x =-<<,则M N =( )A.{|43}x x -<<B.{|11}x x -<≤C.{0,1,2}D.{|14}x x -<<2.已知1,izi =-则z =( ). A.1i -B.i -C.1i --D.l3.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离( )A. B.24.(4x -的二项展开式中3x 的系数为( )A.15B.6C.-4D.-135.已知向量,a b ,则“()()0a b a b +-=”是“a b =或a b =-”的( )条件. A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()()()1212rin sin 0,1,1,,2f x x f x f x x x πωω=>=-=-=∣∣则ω=( )A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=,并且d 越大,水质量越好.若S 不变,且122.1, 2.2,d d ==,则1n与2n 的关系为( ) A.12n n < B.12n n >C.若1S <,则12;n n <若1S >,则12;n n > D 若1S <,则12n n >;若1S >,则12n n <;8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分别为4,4,则该四棱锥的高为( )B. C.9.已知()()1122,,,x y x y 是函数2x y =图象上不同的两点,则下列正确的是( ) A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++< C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+ 10.若集合(){}2,(),01,12x y y x t x x t x =+-≤≤≤≤∣表示的图形中,两点间最大距离为d ,面积为S ,则( )A.3d =,1S <B.3d =,1S >C.d =1S <D.d =1S >第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.已知抛物线216y x =,则焦点坐标为_______.12.已知,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为_______.13.已知双曲线2214x y -=,则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为_______.14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列.第一个圆柱的直径为65mm,第二、三个圆柱的直径为325mm,第三个圆柱的高为230mm,求前两个圆柱的高度分别为_______.15.已知{}k k M k a b ==∣,n a ,n b 不为常数列且各项均不相同,下列正确的是___________.①,n n a b 均为等差数列,则M 中最多一个元素；②,n n a b 均为等比数列,则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列,n b 为等比数列,则M 中最多三个元素. ④n a 单调递增,n b 单调递减,则M 中最多一个元素三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.在ABC ∆中,7,a A =为钝角,sin 2cos B B =. (1)求A ∠;(2)从条件①,条件②和条件③中选择一个作为已知,求ABC ∆的面积.①7b =,②13cos 14B =;③sin c A =注：如果选择条件①,条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.17.已知四棱锥,//P ABCD AD BC -,1AB BC ==,3AD =,2DE PE ==,E $是AD 上一点PE AD ⊥.(1)若F 是PE 中点,证明：//BF 平面PCD .(2)若AB ⊥平面PED ,求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.18.已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元在总体中抽样100单,以频率估计概率： (1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率.(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X ,估计X 的数学期望.(ü)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.19.已知椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过((0,)t t >的直线l 与椭圆交于,,(0,1)A B C ,连接AC 交椭圆于D . （1）求椭圆的离心率和方程. (2)若直线BD 的斜率为0,求t .20.已知()()ln 1f x x k x =++在(,())(0)t f t t >处切线为l . (1)若l 的斜率1k =-,求()f x 单调区间. (2)证明：切线l 不经过()0,0O .(3)已知()1,,()k A t f t =,()0,()C f t ,()0,0O ,其中0t >,切线l 与y 轴交于点B 时.当215ACO ABOS S∆=,符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)21.设集合{}(,,,)|{1,2},{3,4},{5,6},{7,8},2|().M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++对于给定有穷数列:{}(18)n A a n ≤≤,及序列12:,,....,x ωωωΩ,(),,,k k k k k i j s t M ω=∈,定义变换:T 将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1,得到数列1()T A ;将数列1()T A 的第2222,,,i j s t 列加1,得到数列21()T T A ⋯;重复上述操作,得到数列21..()s T T T A ,记为()A Ω,若1357a a a a +++为偶数,证明：“存在序列Ω,使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345673a a a a a a a a +=+=+=+”.2024年北京市高考数学试卷解析第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|41}M x x =-<≤,{|13}N x x =-<<,则M N =( )A.{|43}x x -<<B.{|11}x x -<≤C.{0,1,2}D.{|14}x x -<<【答案】A【解析】由题意得()4,3M N =-故选：A. 2.已知1,izi =-则z =( ). A.1i - B.i -C.1i --D.l【答案】C【解析】由题意得()11, z i i i =-=--故选：C.3.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离( )A. B.2【答案】C【解析】由题意得22260x y x y +-+=,即()()221310x y -++=则其圆心坐标为(1,3)-,则圆心到直线20x y -+==4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为( )A.15B.6C.-4D.-13【答案】B【解析】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr r r r Txxr --+==-=令432r-=,解得2r =,故所求即为()2241 6.-=故选：B.5.已知向量,a b ,则“()()0a b a b +-=”是“a b =或a b =-”的( )条件. A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-=,可得22a b =,即a b =可知()()0a b a b +⋅-=等价于a b =若a b =或a b =-,可得a b =,即()()0a b a b +⋅-=,可知必要性成立. 若()()0a b a b +⋅-=,即a b =,无法得出a b =或$a b =-综上所述,“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠且a b ≠-”的必要不充分条件 故选：A.6.已知()()()()1212rin sin 0,1,1,,2f x x f x f x x x πωω=>=-=-=∣∣则ω=( )A.1B.2C.3D.4【解析】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点,2x 为()f x 的最大值点 则12min 22T x x π-==,即T π= 且0ω>,所以$22Tπω==. 故选：B.7.记水的质量为1ln S d n-=,并且d 越大,水质量越好.若S 不变,且122.1, 2.2,d d ==,则1n 与2n 的关系为( ) A.12n n < B.12n n >C.若1S <,则12;n n <若1S >,则12;n n > D 若1S <,则12n n >;若1S >,则12n n <; 【答案】C【解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩解得12111222e eS S n n -⋅-⋅⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 若1S >,则112.1 2.2S S -->,可得112.1 2.2e e S S -->,即12n n >;若1S =,则1102.1 2.2S S --==,可得121;n n ==若1S <,则112.1 2.2S S --<,可得112.1 2.2e e S S --<,即12;n n < 故选：C.8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分别为4,4,则该四棱锥的高为( )A.2B.2C.【答案】D【解析】如图,底面PEF 为正方形当相邻的棱长相等时,不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ,连接,,PE PF EF 则,PE AB EF AB ⊥⊥,且PEEF E =,,PE EF ⊂平面PEF可知AB ⊥平面PEF ,且AB ⊂平面ABCD 所以平面PEF ⊥平面ABCD过P 作EF 的垂线,垂足为O ,即PO EF ⊥由平面PEF 平面,ABCD EF PO =⊂平面PEF所以PO ⊥平面PEF由题意可得：2222,4,PE PF EF PE PF EF ===+=∴,即PE PF ⊥则1122PE PF PO EF ⋅=⋅,可得PO =当相对的棱长相等时,不妨设4,PA PC PB PD ====因为BD PB PD ==+,此时不能形成三角形PBD ,与题意不符,这样情况不存在 故选：D.9.已知()()1122,,,x y x y 是函数2x y =图象上不同的两点,则下列正确的是( ) A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++< C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+ 【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB;举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设12x x <,因为函数2x y =是增函数,所以12022x x <<,即120y y <<对于选项AB:可得121222222x x x x ++>=,即12122202x x y y ++>>根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y y x x+++>=,故A 正确,B 错误.对于选项C:例如120,1x x ==,则121,2y y == 可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故C 错误 对于选项D:例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故D 错误 故选：A.10.若集合(){}2,(),01,12x y y x t x x t x =+-≤≤≤≤∣表示的图形中,两点间最大距离为d ,面积为S ,则( ) A.3d =,1S < B.3d =,1S >C.d =1S <D.d =1S >【答案】C 【解析】先以t 为变量,分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y xx ⎧≤⎪≥⎨⎪≤<⎩,结合图形分析求解即可【解析】对任意给定] [1,2x ∈ 则2(1)0x x x x -=-≥,且] [0,1t ∈可知222()x x t x x x x x x ≤+-≤+-=,即2x y x ≤≤再结合x 的任意性,所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩如图阴影部分所示,其中()1,1A ,()2,2B ,)(2,4C可知任意两点间距离最大值d AC == 阴影部分面积11212ABCS S <=⨯⨯=. 故选:C第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.已知抛物线216y x =,则焦点坐标为_______. 【答案】 (4,0)【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =,所以其焦点坐标为()4,0.12.已知,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为_______.【答案】12-【解析】由题意2,k k βαππ=++∈,从而()cos cos 2cos k βαππα=++=-因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以cos α的取值范围是1,cos 2β⎡⎢⎣⎦的取值范围是1,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 当且仅当3πα=,即423k πβπ=+,k Z ∈时,cos β取得最大值,且最大值为12- 故答案为：1.2-13.已知双曲线2214x y -=,则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为_______.【答案】12±【解析】联立3x =与2214x y -=,解得2y =±,这表明满足题意的直线斜率一定存在 设所求直线斜率为k ,则过点(3,0)且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-,联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=,由题意得2140k -=或()()()2222244364140k k k ∆=++-=解得12k =±或无解,即12k =±,经检验,符合题意. 故答案为：1.2±14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列.第一个圆柱的直径为65mm,第二、三个圆柱的直径为325mm,第三个圆柱的高为230mm,求前两个圆柱的高度分别为_______. 【答案】1152mm,23mm 【解析】设第一个圆柱的高为1h ,第二个圆柱的高为2h ,则222221232532523022106532522h h h ππππ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故223h =mm 1115,2h =mm,故答案为：1152mm,23mm. 15.已知{}k k M k a b ==∣,n a ,n b 不为常数列且各项均不相同,下列正确的是___________.①,n n a b 均为等差数列,则M 中最多一个元素；②,n n a b 均为等比数列,则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列,n b 为等比数列,则M 中最多三个元素. ④n a 单调递增,n b 单调递减,则M 中最多一个元素 【答案】①③④【解析】对于①{},{}n n a b 均为等差数列,故它们的散点图分布在直线上而两条直线至多有一个公共点,故M 中至多一个元素,故①正确 对于②,取()112,2n n n n a b --==--,则{}{},n n a b 均为等比数列,但当n 为偶数时,有()1122n n n n b α--===--,此时M 中有无穷多个元素,故②错误.对于③设()0,1nn b Aq Aq q =≠≠±,()0n a kn b k =+≠若M 中至少四个元素,则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解若0,1q q >≠,则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解,矛盾.若0,1q q <≠±,考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数 当n Aq kn b =+有偶数解,此方程即为nA q kn b =+ 方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时ln ||0Ak q > 否则ln ||0Ak q <,因||,n y A q y kn b ==+单调性相反 方程nA q kn b =+至多一个偶数解当n Aq kn b =+有奇数解,此方程即为||n A q kn b -=+方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时ln ||0Ak q ->即ln ||0Ak q < 否则ln ||0Ak q >,因||,n y A q y kn b =-=+单调性相反 方程n A q kn b =+至多一个奇数解因为ln ||0,ln ||0Ak q Ak q ><不可能同时成立 故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解,故③正确对于(4),因为{}n a 为单调递增,{}n b 为递减数列,前者散点图呈上升趋势 后者的散点图呈下降趋势,两者至多一个交点,故④正确. 故答案为：①③④三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.在ABC ∆中,7,a A =为钝角,sin 2cos B B =. (1)求A ∠;(2)从条件①,条件②和条件③中选择一个作为已知,求ABC ∆的面积. ①7b =,②13cos 14B =;③sin c A =注：如果选择条件①,条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分. 【答案】(1)2;3A π=(2)选择①无解；选择②和③ABC ∆面积均为4【小问1解析】由题意得2sin cos cos B B B =,因为A 为钝角 则cos 0B ≠,则2sin B =,则7sin sin sin b a BA A ===,解得sin A = 因为A 为钝角,则23A π=由题意得2sin cos cos B B B =,因为A 为钝角 则cos 0B ≠,则2sin 7B b =,则7sin sin sin 7b a BA A ===,解得sin 2A = 因为A 为钝角,则23A π=【小问2解析】由题意得2sin cos cos B B B =,因为A 为钝角 则cos 0B ≠,则2sin 7B b =,则7sin sin sin 7b a BA A ===,解得sin 2A = 因为A 为钝角,则23A π=. 选择①7b =,则sin 714142B ==⨯=,因为23A π=,则B 为锐角,则3B π= 此时A B π+=,不合题意,舍弃.选择②13cos 14B =,因为B 为三角形内角,则sin 14B ==则代入2sin B =得2=,解得3b = ()222sin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B πππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-=⎪⎝⎭则11sin 7322ABC S ab C ∆==⨯⨯=选择③sin c A =则有c =,解得5c =则由正弦定理得,sin sin a c A C=5,sin sin 14C C ==⇒ 因为C 为三角形内角,则11cos 14C == 则()222sin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C πππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭则11sin 7522ABC S ac B ∆==⨯⨯=17.已知四棱锥,//P ABCD AD BC -,1AB BC ==,3AD =,2DE PE ==,E $是AD 上一点PE AD ⊥.(1)若F 是PE 中点,证明：//BF 平面PCD .(2)若AB ⊥平面PED ,求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.【答案】(1)见解析【小问1解析】取PD 的中点为S ,连接,SF SC ,则1//,12SF ED SF ED == 而//,2ED BC ED BC =,故//,SF BC SF BC =,故四边形SFBC 为平行四边形 故//BF SC ,而BF ⊄平面,PCD SC ⊂平面PCD 所以//BF 平面PCD 【小问2解析】因为2ED =,故1AE =,故//,AE BC AE BC =故四边形2ED =$AECB$为平行四边形,故//CE AB ,所以CE ⊥平面PAD 而,PE ED ⊂平面PAD ,故,CE PE CE ED ⊥⊥,而PE ED ⊥ 故建立如图所示的空间直角坐标系则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD ∴=--=--=-=- 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =则由()0200,2,1,200m PA y z m x y z m PB ⎧⋅=--=⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩取()0,2,1m =- 设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =则由0n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得20220ab bc -=⎧⎨-=⎩,取(2,1,1)n =cos <,>305m n -==-⨯ 故平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为3018.已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元在总体中抽样100单,以频率估计概率： (1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率.(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X ,估计X 的数学期望.(ü)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望. 【答案】(1)110(2)(i)0.122万元(ii)0.1252万元 【小问1解析】设A 为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”由题设中的统计数据可得()6030101.80010060301010P A ++==++++ 【小问2解析】(i)设ξ为赔付金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ====== 603( 1.6)100050P ξ===,303( 2.4)1000100P ξ=== 101(3)1000100P ξ=== ()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故()0.40.2780.122E X =-=(万元)(ii)由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯= 故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=(万元)19.已知椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过((0,)t t >的直线l 与椭圆交于,,(0,1)A B C ,连接AC 交椭圆于D .（1）求椭圆的离心率和方程.(2)若直线BD 的斜率为0,求t .【答案】(1)221,422x y e +== (2)2t =【小问1解析】由题意b c===从而2a=,所以椭圆方程为22142x y+=,离心率为e=【小问2解析】显然直线AB斜率存在,否则BD重合,直线BD斜率不存在与题意不符.同样直线AB斜率不为0,否则直线AB与椭圆无交点,矛盾.从而设(:,AB y kx t t=+>,()()1122,,,A x yB x y联立()222221,12424042x yk x ktx tkx tν⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩由题意()()()2222221682128420k t k t k t∆=-+-=+->,即,k t应满足22420k t+->所以2121222424,1221kt tx x x xk k--+==++若直线BD斜率为0,由椭圆的对称性可设()22,D x y-所以()121113:y y AD y x x y x x -=-++,在直线方程AD 中令0x =,得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t -++++++====+==+++- 所以2t =此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩,即k应满足k <或k >综上所述,2t =满足题意,此时2k <-或2k > 20.已知()()ln 1f x x k x =++在(,())(0)t f t t >处切线为l .(1)若l 的斜率1k =-,求()f x 单调区间.(2)证明：切线l 不经过()0,0O .(3)已知()1,,()k A t f t =,()0,()C f t ,()0,0O ,其中0t >,切线l 与y 轴交于点B 时.当215ACO ABO S S ∆=,符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)【答案】(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,)+∞(2)证明见解析(3)2【小间1解析】1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x'=-+=-=>-++ 当(1,0)x ∈-时,()0;f x '<当(0,),()0x f x '∈+∞>()f x ∴在(-1,0)上单调递减,在(0,)+∞上单调递增则()f x 的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,).+∞【小问2解析】.()11k f x x '=++,切线l 的斜率为11k t++ 则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即ln(1)t k t t t++=+1k t +,则ln(1)1t t t +=+,ln(1)01t t t +-=+ 令()ln(1)1t F t t t=+-+ 假设l 过(0,0),则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.()()2211()0,()111t t t F t F t t t t +-'=-=>∴+++在()0,+∞上单调递增,()(0)0F t F >= ()F t ∴在(0,)+∞无零点,∴与假设矛盾,故直线l 不过(0,0)【小问3解析】1k =时,12()ln(1),()10.11x f x x x f x x x'+=++=+=>++ 1()2ACO S tf t ∆=,设l 与y 轴交点B 为(0,)q 0t >时,若0q <,则此时l 与()f x 必有交点,与切线定义矛盾由(2)知0q ≠.所以0q >则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭令0x =,$则$ln(1).1t y q y t t ===+-+ 215ACO ABO S S ∆=,则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦ 13ln(1)21501t t t t ∴+--=+,记15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t=+-->+ ∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()()()()()2222221313221151315294(21)(4)()211111t t t t t t t h t t t t t t '+-++-+--+-=--===+++++ 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '<\,此时()h t 单调递减 当1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '>,此时()h t 单调递增; 当()4,t ∈+∞时,()0h t '<,此时()h t 单调递减; 因为1(0)0,0,(4)13ln 52013 1.6200.802()h h h ==-⨯-=>〈〉 15247272(24)13ln 254826ln 54826 1.614820.540,2555h ⨯=--=--<⨯--=-< 所以由零点存在性定理及()h t 的单调性,()h t 在1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上必有一个零点,在()4,24上必有一个零点.综上所述,()h t 有两个零点,即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.21.设集合{}(,,,)|{1,2},{3,4},{5,6},{7,8},2|().M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++对于给定有穷数列:{}(18)n A a n ≤≤,及序列12:,,....,x ωωωΩ,(),,,k k k k k i j s t M ω=∈,定义变换:T 将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1,得到数列1()T A ;将数列1()T A 的第2222,,,i j s t 列加1,得到数列21()T T A ⋯;重复上述操作,得到数列21..()s T T T A ,记为()A Ω,若1357a a a a +++为偶数,证明：“存在序列Ω,使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345673a a a a a a a a +=+=+=+”.【解析】我们设序列21...()k T T T A 为,{}(18)k n a n ≤≤,特别规定()0,18.n n a a n =≤≤ 若存在序列12:,,...,s ωωωΩ,使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======所以,2,3,4,5,6,7,8,1.s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+根据21...()k T T T A 的定义,显然有,21,21,2,11,2k j k j k j k j a a a a ----+=+这里1,2,3,4,1,2,....j k ==所以不断使用该式就得到,12345678a a a a a a a a +=+=+=+,必要性得证. 若12345678.a a a a a a a a +=+=+=+由已知,1357a a a a +++为偶数,而12345678a a a a a a a a +=+=+=+,所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数我们设21...()s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中,使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+,这里1,2,3,4,1,2,....j k ==从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8.s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+同时,由于k k k k i j s t +++总是偶数,所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,4,6,8,2k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在,根据对称性,不妨设1j =,,21,22s j s j a a --≥,即,1,22s s a a -≥情况1:若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=,则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,4,6,8,2s s s s a a a a +++都是偶数,知,1,2 4.s s a a -≥对该数列连续作四次变换(2,3,5,8),(2,4,6,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7)后,新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.情况2:若,4,5,6,7,8,30s s s s s s a a a a a a -+-+->,不妨设,4,30s s a a ->情况2-1:如果,3,41s s a a -≥,则对该数列连续作两次变换(2,4,5,7),(2,4,6,8)后,新的 2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.情况2-2:如果,4,31s s a a -≥,则对该数列连续作两次变换(2,3,5,8),(2,3,6,7)后,新的 2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾这就说明无论如何都会导致矛盾,所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,2 1.s j s j a a --≤ 假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=,则,21,2s j s j a a -+是奇数,所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数,设为2 1.N +则此时对任意1,2,3,4j =,由,21,2,1s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1.s j s j a a N N -=+而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数,故集合{},|s m m N α=中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数,对该数列进行一次变换(),,,i j s t ,则该数列成为常数列,新的 1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零,比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小 这与,2,3,4,5,6,7,1s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上,只可能(),21,201,2,3,4s j s j j αα--==而,2,3,4,5,6,7,8,1s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+,故{}(),s n a A =Ω是常数列.充分性得证.。
2023年高考北京数学试卷评析
2023年高考北京数学试卷评析如下：
1. 坚持立德树人，突出数学文化价值。
试题紧密围绕立德树人根本任务，遵循德智体美劳全面发展要求，精心撷取素材，体现数学文化的育人价值。
例如，第9题以中国传统建筑造型坡屋顶赋以立体几何真实背景，考查学生的空间想象能力和分析问题能力，在解决问题的过程中，借助几何体的对称性使学生感受到数学的对称美，有助于引导学生关注美育，培养审美意识。
2. 聚焦主干知识，突出数学思想方法。
试卷突出对主干知识的考查，重点考查了函数导数与不等式、三角函数与解三角形、平面解析几何、立体几何、统计概率、数列等主干知识，充分体现了对数学知识考查的基础性和全面性。
同时，试卷从数学学科整体意义和思想价值的高度立意，坚持对数学基本思想方法的考查。
3. 关注能力素养，设计现实问题和综合问题。
北京卷延续已有命题理念，在试题的设计上追求多样化，以实现对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大素养的综合考查。
同时，通过设计现实性和综合性问题，实现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大素养的综合考查。
综上所述，2023年高考北京数学试卷在多个方面进行了创新和
改进，突出了对学生数学能力和思维品质的考查，有助于选拔具有数学潜质和学科素养的学生。
同时，试卷也体现了对数学文化价值和主干知识的重视，有助于引导学生全面发展和提升学科素养。
北京2023高考数学卷子解析
北京2023高考数学卷子解析2023年北京高考数学卷子作为选拔优秀人才的重要工具，不仅考查了学生的数学基础知识，还注重考查学生的思维能力、解题技巧以及应用数学解决实际问题的能力。
本文将对这份试卷进行详细的解析，帮助考生和教育工作者更好地理解和分析试卷的特点与难点。
一、试卷整体分析本次北京高考数学卷子在题型和难度上保持了相对稳定，整体难度适中，考查的知识点涵盖了高中数学的主要领域。
试卷注重基础知识的考查，同时也加强了对学生数学应用能力和创新思维的考查。
二、知识点分析1函数与导数函数与导数是高中数学的核心内容，本次试卷中涉及了函数的性质、图像变换、复合函数以及导数的计算和应用等知识点。
例如，一道选择题考查了函数的单调性和极值问题，需要考生根据函数的导数判断函数的单调区间和极值点。
这类题目要求考生熟练掌握函数的基本性质，能够灵活运用导数工具解决实际问题。
2三角函数与向量三角函数与向量是高中数学的重要组成部分，本次试卷中涉及了三角函数的图像与性质、三角恒等变换以及向量的基本概念和运算等知识点。
例如，一道填空题考查了三角函数的图像变换和周期性，需要考生根据给定的函数表达式绘制出正确的图像，并判断函数的周期性。
这类题目要求考生对三角函数的基本性质有深入的理解，能够灵活运用三角函数的图像和性质解决实际问题。
3立体几何与解析几何立体几何与解析几何是高中数学的重要分支，本次试卷中涉及了空间几何的基本性质、空间向量的应用以及平面几何的基本定理等知识点。
例如，一道解答题考查了空间向量的应用和平面与平面的位置关系，需要考生利用空间向量判断两个平面的夹角和法向量的关系。
这类题目要求考生对立体几何和解析几何的基本概念有清晰的认识，能够熟练运用向量工具解决几何问题。
4数列与不等式数列与不等式是高中数学的重要内容，本次试卷中涉及了等差数列、等比数列的性质以及不等式的证明与求解等知识点。
例如，一道解答题考查了等比数列的性质和不等式的证明，需要考生利用等比数列的性质证明给定的不等式成立。
2023北京高考数学17题点评
2023北京高考数学17题点评近年来，越来越多的学生开始重视高考数学这一科目的备考，尤其是对于北京高考的数学考试，更是备受关注。
在2023年北京高考数学试卷中，第17题成为了备受争议的焦点。
本文将对这道题目进行全面评估，并给出深度和广度兼具的分析，帮助考生更好地理解这一题目。
让我们来看一下这道数学题的具体内容。
在2023年北京高考数学试卷中，第17题为一道关于微积分的应用题，涉及到函数的导数和不定积分。
题目要求考生求解一个曲线在给定区间上的弧长，并给出了具体的函数表达式和区间范围。
这一题目的难点在于需要考生熟练掌握对曲线的弧长公式、导数和不定积分的运用，而且需要在有限的时间内完成计算。
针对这道题目，我们首先来分析其深度。
在解答这一题目时，考生需要理解和掌握曲线的弧长公式，这需要对微积分的知识有深入的理解。
对于给定的函数表达式，需要熟练地计算其导数和不定积分，这涉及到对函数求导和积分的运用。
这道题目的深度在于考查考生对微积分知识的掌握程度，以及对相关概念和方法的运用能力。
接下来，我们来看这道题目的广度。
作为高考数学试题，这一题目所涉及的知识点并不算多，主要是围绕微积分的基本概念展开。
然而，这并不意味着这道题目的广度就很低。
相反，正是因为涉及到了微积分这一深厚的数学知识，这道题目所涵盖的广度也是非常广泛的。
考生不仅需要掌握曲线的弧长公式，还需要熟练掌握导数和不定积分的运用，这需要对微积分的整体架构有较为全面的理解。
在文章的总结和回顾中，我们不妨再次提及这一题目的要点。
这道数学题目考查了考生对微积分知识的深度掌握程度，以及对相关概念和方法的广度运用能力。
通过这道题目，考生可以进一步巩固和应用所学的微积分知识，同时也可以考察自己的解题能力和数学思维能力。
让我们共享一下我们对这一题目的个人观点和理解。
作为一道高考数学试题，这道题目在难度和深度上都比较符合高考的要求，既考查了考生对微积分知识的掌握程度，又考察了考生对数学应用的能力。
北京数学高考评价
北京数学高考评价
北京市的数学高考评价主要有以下几个方面：
首先是考查难度。
北京市每年的高考数学试题都非常注重难度控制，
力求使试题难度适中，能够对考生的数学素养进行全面的评估。
同时，试
题的难度也相当具有挑战性，考查学生的数学思维能力与解决问题的能力。
其次是试题设计。
北京市数学高考题目设计得非常优秀。
试题设计考
虑了学科知识的全面性、纵向性与横向性。
试题涉及到的知识点、题型设
计以及题目解答要求的多样性被广泛认为是数学教育的一个范例。
第三是对分析的考查。
除了考察数学概念和公式的理解应用外，北京
市的数学高考还非常注重分析、推理、归纳和证明能力。
这样的试题设计
可以考察学生对于知识的理解和运用能力，并激发学生展开思考和探究的
兴趣，培养创造型的思维能力。
第四是考试要求。
在答题过程中，北京市的数学高考注重对考试过程
的规范和细节。
例如，要求考试过程中必须填写尽量完整的答题卡，所有
答案必须在卡上填写。
这些要求旨在帮助学生避免在答题过程中出现失误，保证考试成绩的真实有效。
综上所述，北京市的数学高考试卷注重启发式教学，以灵活性、创造性、反应能力、分析以及合作精神为核心，试图使学生在日常数学学习过
程中逐渐习得批判性思维。
试题难度设计合理、思维性、掌握难度强，兼
有推断、归纳和抽象的思维要素，起到了提高学生数学思维能力和实际应
用能力的目的。
【高考复习】高考北京数学试卷(文理科)分析
【高考复习】高考北京数学试卷（文理科）分析【高考复习】高考北京数学试卷（文、理科）分析北京市普通高校招生数学试卷的设计遵循《普通高中数学课程标准》和《高考指导意见》的要求和阐述，紧密结合北京市高中数学教学现状，测试设计的重点是高中数学注重学生的基本知识和基本技能，注重学生的数学素养。
试题题型、分数设置保持稳定，难度分布合理，与往年基本持平。
试卷内容覆盖知识全面，重点知识重点考查。
试题的表述形式简洁、规范，试题的图文准确并相互匹配。
联系实际类试题的背景描述清楚，易于理解和解决，体现数学的应用价值。
关注学生的理性思维和数学表达，体现数学的教育价值。
数学试卷客观地反映了北京考生的实际情况，是一份科学性过硬的试卷。
一、文科试卷的评价文科数学试卷延续了近两年的特点，难度基本持平，结构保持稳定，突出利用数据、表格、图象等多种方式呈现生活中的现象，解决生活、生产中的数学问题。
在解答题的顺序和题目的设问上有所变化，强调在新情境中提取信息、选择方法、创造性的解决问题。
并在考查学生的探索精神和理性思维等方面进行了有益尝试.1、考试全面，骨干突出，基础突出。
今年的文科试卷保持北京市高考试题一贯特色，选择题和填空题大多源于教材中的例题和习题。
注重基本概念理解和应用，主干知识的试题保持较高的比例。
如数列的通项与求和、三角函数的图象与性质、统计与概率的应用、空间几何中线面平行与垂直、解析几何中直线与曲线的位置关系、函数与导数等核心知识，同时也涉及了集合、不等式、简易逻辑、推理与证明、解三角形、向量、算法、复数等知识.2.突出统计理念，强化应用意识保持近两年的考查方式，强调图表的作用和统计思想方法在实际问题中的作用，第6、8、14、17题都考查了统计知识，其中第8题，以运动会成绩分析为背景，考查了学生读图识表的能力。
现代社会是一个信息化的社会，有大量的数据是通过图表的形式来呈现的，人们常常需要从图表中提取信息，作出合理的决策，这已经成为现代公民的基本素养。
北京高考数学(理科)试卷评析 难度下降
北京高考数学（理科）试卷评析难度下降对数字特征的直观理解，并连续第四年要求不必证明、直接给出结论。
如果学生在备考这类题目中只注重计算而不注重理解概念的本质原理，就会无从下手。
同样的，第6题对数列的考察的也是如此，学生可能背下很多公式，但是考试的时候并没有考查具体数列的计算和求值，只考查了对等差数列中首项、公差、通项关系的认识，是一个非常好的题目。
第三，试卷在平稳中有创新，让人眼前一亮。
例如2019年第9题首次加入了二项式定理的考查，这是北京卷新课六年以来的首次考查，会让一部分同学感到意外，但是本题也秉承了北京新考点首次出现难度低的一贯特点，并没有难为学生。
2019年的第18题导数题，一共设置了三问对学生进行考查，跟以往也略有不同，但是相比较往年的高考题，这道题的考查也比较常规。
2019年的第20题压轴题跟以往风格也有所不同，题目并没有难为学生概念的新定义，而更侧重考查学生观察数列各项之间的内在联系，虽然第三问并没有像2019年一样不要求学生证明结论，但是前两问的难度比2019年有大幅度的下降，如果学生在前面的时间把握较好，也完全有可能解出最后一问。
总体来说，这是一份学生容易上手，能考查出学生真正能力、设计有区分度的考卷，有利于学生正常发挥水平。
郭化楠学而思高考研究中心研究员，毕业于北京大学数学科学学院。
在高中阶段曾两次获得全国数学联赛一等奖、一次获得全国中学生物理竞赛一等奖。
荣获学而思十佳优秀教师、北京市优秀教师园丁奖称号。
在学而思主带高三班、自主招生班。
上课风趣幽默、逻辑清晰，善于梳理重点，从思维层面帮助学生解题。
学而思高考研究中心概述学而思高考研究中心成立于2019年，是学而思培优旗下集高考、自招命题内容与政策研究、课程开发及信息服务于一体的综合性研究中心，下设高考研究办公室、自主招生研究办公室、政策与大学专业志愿填报研究办公室三大部门。
汇集国内知名的高考专家和高考志愿填报专家团队包括高考命题人、阅卷人、特级教师等等，对高考命题趋势及发展走向的把握具有精准性和前瞻性，对高招政策及指导学生高考志愿规划、填报有着多年一线实战经验。
高考数学(北京卷)试卷点评
高考数学（北京卷）试卷点评2021年的高考数学试卷〔北京卷〕，以«普通高中数学课程规范〔实验〕»和«北京市普通高中新课程数学学科教学指点意见和模块学习要求〔试行〕»以及«2021年普通初等学校招生全国一致考试北京卷考试说明»为依据，在命题思绪、考察方式、试题出现方式等方面，遵照动摇与开展相结合，承袭与创新相结合的原那么。
试卷设计坚持以先生为本的基本理念，既表达出了高考作为选拔性考试的要求，又在引导中学数学教学方面停止了不时的探求。
试卷在总结和吸收高考数学北京卷十三年自主命题阅历的基础上，尝试创新。
试题全体难度、考察内容、出现方式等方面突显北京特征，注重对先生未来开展所需求的基本数学素养的考察。
在考察先生基础知识、基本技艺的同时，注重对先生运用基本数学知识和数学思想方法，剖析与处置效果综合才干的考察。
合理控制试题难度与区分度，留意调动先生的学习积极性，正确引导中学数学教学。
在促进有利于高校合理选才、迷信评价上作出有益的探求。
1、坚持特征，注重基础知识的了解多年来，高考数学北京卷不时坚持〝繁复、明晰、亲切、严谨〞的作风，难度坚持动摇，注重对数学基础知识、基本技艺的片面考察。
例如，文科第1、2、3、4、5、9、10、11、12、13、15、16、17等试题，注重考察数学基础知识和基本技艺。
这些知识和技艺，既是数学课程规范和考试说明中所要求的，也是作为一名文科生进一步学习和未来开展所必需的。
在试题表述上，力图准确繁复，贴近中先生的阅读习气，防止在阅读和了解上设置阻碍和圈套。
数学学习重在了解，而不是生搬硬套。
对基础知识的考察，并不要求先生融会贯串概念、公式和法那么，而是注重考察先生对基础知识的了解和掌握。
例如，文科卷第6题主要考察数列、基本不等式性质等基本数学知识的了解和复杂运用。
第16题的前两问主要考察概率的基本概念和复杂计算，较为基础；第三问考察先生对方差概念的实质了解，充沛反映了北京试题〝多想少算〞特点。
北京高考数学试卷点评与分析
北京高考数学试卷点评与分析第一，命题覆盖面广，基础知识的考察不设障碍。
突出对知识本质的明白得，强调常规解题方法，不挖坑不设套，十分大气。
新课标改革以来，关于试题有一些基础知识是必考知识点，例如第1，2，4，7，10分别考察了集合、复数、算法、三视图、数列等的知识，这些差不多上我们多次和学生强调的必考知识，在考试中占了专门大的分值。
另外，第3，9，11三道小题分别考察了概率，圆和解三角形这些属于轮换考点，会在每年变化，然而也属于基础知识范畴。
这些题目都没有在方法上为难学生，差不多差不多上考察学生平经常用的知识和方法，要紧考察学生的速度和准确度。
其次，中档题注重基础，难题注重思维。
前面的选择填空都专门基础，关于基础知识点的基础考查。
第8题考查数列前项和与平均值关系，认真分析图形和注意到年平均就没有问题了。
第14小题考查了简单的分类讨论的思想。
能够看出，北京卷的小题有专门鲜亮的特色，活而不难。
值得注意的是，近几年数学试题经常考察数形结合和分类讨论的思想，难题都注重数学思想的考查。
最后，我们看看大题。
第一大题考查三角函数，第一问化简求周期，第二问就单调区间，本题设计的专门差不多却又把差不多知识全部设计，函数给出的形式比较简单，降低运算难度的同时也考察了和角公式，倍角公式以及辅助角公式三大重要公式，两问的设计也是常规考点，应该对绝大部分同学难度不大。
第二大题考查立体几何，第一问证明线面垂直，第二问求线面夹角，第三问是否存在一个点使得面面垂直。
没有在建立空间坐标系上难为同学，专门容易建系。
三问的设计分别考察了线面垂直，线面的夹角，面面垂直，涵盖了立体几何中差不多位置关系，第三问考到推测的存在性问题，即设出未知数，依照题意列方程求解即可。
第三题即17题统计与概率的综合，以餐厨垃圾处理为背景考查，第一问考查厨余垃圾投放正确的概率，第二问求生活垃圾投放正确的概率，简单的求概率，第三问考查三个垃圾数相加的和为600，求方差的最大值，考查到简单的求最大值的方法。
整体分析北京高考数学试卷
整体分析北京高考数学试卷一、第一感受拿到试卷的第一感受是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、差不多技能和差不多方法,考查数学传统的主干知识，题目难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探究精神。
今年试卷有一个比较明显的特点确实是，文理重复的题目比较多，专门是比较具有难度的几个题目，比如选择的第7和第8小题，填空的第13和第14小题，以及解答题的大部分题目差不多差不多上一模一样，如此一来关于文科试卷而言相对难度可能会比较高。
试卷的另一特点确实是创新，在稳中有变的基础上，重点突出创新思维，显现了一些从来没有过的题目形式，依旧专门让人回味的。
二、亮点分析试卷有几个试题专门具有心意，难度不小，重点考察能力，给笔者留下了较深的印象：例如理科选择题第2题(即文科第3题)，在线性规划知识背景下，考查了一个几何概率问题，还结合了圆的知识，难度不大然而专门具有综合性的。
文、理选择第7题，这是一个常见的三视图问题，然而运算几何体的表面积，对空间想象力要求依旧专门高的，能够说是选择题中难度较大的一个，三视图是新课标新增知识之一，专门考查学生的空间想象力，通过三年的新课标考试改革，题目差不多越来越成熟，不再是一个简单的送分题目了，也对以后的考生复习以及教师的教学提出了专门高的要求。
今年的文、理选择题第8题是一样的，复合北京试卷选择第8题的一贯风格，确实是灵活创新，题目最要紧的难点在于对“前m年的年平均产量”这一概念的明白得，其次需要能把这一概念抽象成数学语言用符号来表示，然后再表示为图形，最后依照图像识别看出，那个小题专门深刻的表现数学的存在，确实是从实际生活中抽象出来的符号语言，因此对数学的明白得专门大程度上限制了考生的分数，然而客观的讲此题的难度确实不是专门高，然而专门漂亮。
文、理填空题第13小题，难度尽管不大，以向量作为背景考查，然而关于动点的函数思想考查依旧让人回味的。
北京高考数学试卷评析
北京高考数学试卷评析学而思高考研(微博)究中心：邓杨下午刚考完数学，便有学生给我打说今年的数学卷子，专门欣慰的是大多数同学都表示今年的数学较之去年难度有所下降，在学而思之前春季班上进行的高考(微博)训练和题型总结都比较有效，高考没有太多超出意料。
这再次印证了高考差不多的大小年规律，去年的语文相对简单，今年的语文题目难度便有所增加，而去年的数学普遍反映较难，因此今年的难度有所下降，下面简单评析一下北京市第二年的新课改数学试卷。
选择和填空中规中矩，第8题相对比较新颖，考察的是高考中并不常见的格点问题，而这类问题恰恰在学而思高三春季最后的点睛班中有过系统训练。
而14题则是在各区一模二模中练习的专门普遍的新定义函数，对函数性质进行考察，这点大伙儿并不生疏。
至于笔者之前在一些访谈节目中提到的新课改数学中新显现的知识点如几何证明选讲，算法等知识也正常显现在试卷中。
整体来看，符合我们所说的知识点的分布状况。
今年的大题风格较之去年有一些改观，尽管保持着三角函数，立体几何，概率和统计，导数，解析几何，创新题的结构，然而题目之间的难度有所调整。
三角函数和立体几何保持正常，概率题中显现了新课标里的茎叶图，这同样是我们高考前的点睛班中重点强调的问题。
18题考查的导数问题难度有所加大，在2009和2021年的北京高考中，导数问题只出到单调区间，而这次增加了恒成立问题，所幸的是在所有的训练中，我们都没有忽略这一问题，相信北京的考生面对这类问题并可不能觉得专门棘手，那个问题有一点需要强调的便是一定要注意参数分类显现了小于0的情形。
正因为18题难度的加大，19题解析几何相应难度降低，笔者之前推测轨迹问题作为新课改的重要话题，一定会显现在试卷上，结果轨迹问题显现在14题，那么19题便专门常规了，最后一问考察弦长的最大值，差不多上属于北京考生差不多训练了许多遍的问题了。
本来对试卷难度寄予期望的第20题，也确实是整张试卷的压轴题今年让人大跌眼镜，笔者执教的高三班次上几乎所有的优秀学生都打过来表示毫无压力，今年的压轴题形式上符合笔者的预期：07,09,10三年压轴题考察差不多上以集合为背景，08年压轴题以数列为背景，今年的压轴题专门大可能会回来到数列背景上，然而不管是集合背景依旧数列背景，考察的思想差不多上基于对数学的直观明白得，因此实质上仍旧是优秀的学生能够看穿，而低于某一层面的学生则会茫然不知所措，只是不管如何，20题的第一问我跟所有学生都交代过，必须拿下，这次也不例外。
2022年高考数学试卷(北京)(解析卷)
绝密★本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<£，则∁∪A =（ ）A. (2,1]- B. (3,2)[1,3)--U C. [2,1)- D.(3,2](1,3)--U 【答案】D 【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：∁∪A ={x │-3<x ≤-2或1<x <3},，即 ∁∪A =（-3，-2]∪(1,3)故选：D ．2. 若复数z 满足i 34i z ×=-，则z =（ ）A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--×-，故|5|z ==．故选：B ．3. 若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A. 12 B. 12-C. 1D. 1-【答案】A 【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a +-=，解得12a =．故选：A ．4. 己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ）A. ()()0f x f x -+= B. ()()0f x f x --=C. ()()1f x f x -+= D. 1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不常数，故BD 错误；故选：C ．5. 已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A. ()f x 在,26p p æö--ç÷èø上单调递减 B. ()f x 在,412p p æö-ç÷èø上单调递增C. ()f x 在0,3p æöç÷èø上单调递减D. ()f x 在7,412p p æöç÷èø上单调递增【答案】C 【解析】【分析】化简得出()cos 2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x pp-<<-时，23x pp -<<-，则()f x 在,26p p æö--ç÷èø上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x pp-<<时，226x pp-<<，则()f x 在,412p p æö-ç÷èø上不单调，B 错；对于C 选项，当03x p<<时，2023x p <<，则()f x 在0,3p æöç÷èø上单调递减，C 对；是对于D 选项，当7412x pp <<时，7226x p p <<，则()f x 在7,412p p æöç÷èø上不单调，D 错.故选：C.6. 设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ¹，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ¹，记[]x 为不超过x 的最大整数.若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ³，则当2n ³时，10n a a >³；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d éù=-+êúëû，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”Þ“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *Î且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d éù>-+êúëû时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”Ü“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件.故选：C.7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A. 当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B. 当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C. 当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D. 当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D 【解析】【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，300T =时对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D8. 若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A. 40B. 41C. 40-D. 41-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法可求024a a a ++的值.【详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令1x =-，则()443210381a a a a a -+-+=-=，故420181412a a a +++==，故选：B.9. 已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =Σ，则T 表示的区域的面积为（ ）A.34p B. pC. 2pD. 3p【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且263BO =´=，故PO ==.因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1而三角形ABC 内切圆的圆心为O 1=>，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为p 故选：B10. 在ABC V 中，3,4,90AC BC C ==Ð=°．P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ×uuu r uuu r的取值范围是（ ）A. [5,3]-B. [3,5]- C. [6,4]- D. [4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA uuu r ，PB uuu r，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2q p Î，所以()3cos ,sin PA q q =--uuu r ，()cos ,4sin PB q q =--uuu r，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB q q q q ×=-´-+-´-uuu r uuu r22cos 3cos 4sin sin q q q q=--+13cos 4sin q q=--()15sin q j =-+，其中3sin 5j =，4cos 5j =，因为()1sin 1q j -£+£，所以()415sin 6q j -£-+£，即[]4,6PA PB ×Î-uuu r uuu r；故选：D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-¥È【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x -³ìí¹î，解得1x £且0x ¹，故函数的定义域为()(],00,1-¥È；故答案为：()(],00,1-¥È12. 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y x =，则m =__________．【答案】3-【解析】【分析】首先可得0m <，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a 、b ，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线221x y m+=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m-=-，则1a =，b =221x y m +=的渐近线方程为y x =，所以a b ==，解得3m =-；故答案为：3-13. 若函数()sin f x A x x =-的一个零点为3p，则A =________；12f p æö=ç÷èø________．【答案】 ①. 1②. 【解析】【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可.【详解】∵π()03f A =-=，∴1A =∴π()sin 2sin(3f x x x x ==-ππππ()2sin()2sin 121234f =-=-=故答案为：1，14. 设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<ìï=í-³ïî若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1【解析】【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，0a <不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+³或()2212a a -+³-， 解得01a <£.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-³，∴min ()0f x =；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x ®-¥时，()f x ®-¥，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-³∴210a -+³或2212a a -+³-（），解得01a <£，综上可得01a ££；故答案为：0（答案不唯一），115. 己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ×==L ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论序号是__________．的【答案】①③④【解析】【分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，N n *"Î，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ³时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得23a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S æö=ç÷èø，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q+=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ³时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *Î，1100n a ³，则10000011000001000100S ³´=，所以，1000001000009911000100a S =£<，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 在ABC V中，sin 2C C =．（1）求C Ð；（2）若6b =，且ABC V的面积为ABC V 的周长．【答案】（1）6p（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC V 的周长.【小问1详解】解：因为()0,C p Î，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C p =.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a ===V ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-´=，c \=所以，ABC V 的周长为6a b c ++=+.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ^平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ^；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11CBB C ，从而可证//MN 平面11CBB C .（2）选①②均可证明1BB ^平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小问1详解】取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK Ë平面11CBB C ，1BB Ì平面11CBB C ，故//MK 平面11CBB C ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11CBB C ，而,,NK MK K NK MK =ÌI 平面MKN ，故平面//MKN 平面11CBB C ，而MN Ì平面MKN ，故//MN 平面11CBB C ，小问2详解】因为侧面11CBB C 为正方形，故1CB BB ^，而CB Ì平面11CBB C ，平面11CBB C ^平面11ABB A ，平面11CBB C Ç平面111ABB A BB =，故CB ^平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ^平面11ABB A ，因为AB Ì平面11ABB A ，故NK AB ^，若选①，则AB MN ^，而NK AB ^，NK MN N =I ，故AB ^平面MNK ，而MK Ì平面MNK ，故AB MK ^，所以1AB BB ^，而1CB BB ^，CB AB B Ç=，故1BB ^平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===uuu r uuu r uuuu r ，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =r ，【则00n BN n BM ì×=ïí×=ïîr uuu r r uuuu r ，从而020x y y z +=ìí+=î，取1z =-，则()2,2,1n =--r ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为q ，则42sin cos ,233n AB q ===´r uuu r .若选②，因//NK BC ，故NK ^平面11ABB A ，而KM Ì平面MKN ，故NK KM ^，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN @V V ，所以190BB M MKN Ð=Ð=°，故111A B BB ^，而1CB BB ^，CB AB B Ç=，故1BB ^平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===uuu r uuu r uuuu r ，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n BN n BM ì×=ïí×=ïîr uuu r r uuuu r ，从而020x y y z +=ìí+=î，取1z =-，则()2,2,1n =--r ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为q ，则42sin cos ,233n AB q ===´r uuu r .18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：为甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（1）0.4（2）75 （3）丙【解析】【分析】(1) 由频率估计概率即可(2)求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A 1,乙获得优秀为事件A 2，丙获得优秀为事件A 31233(0)()0.60.50.520P X P A A A ===´´=，123123123(1)()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=´´+´´+´´=，123123123(2)(()()P X P A A A P A A A P A A A ==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=´´+´´+´´=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A ===´´=.∴X 的分布列为X 0123P 320820720220∴38727()0123202020205E X =´+´+´+´=【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.19. 已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k的值．【答案】（1）2214x y += （2）4k =-【解析】【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =ìï=íï=-î，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可；【小问1详解】解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -£<£，由()221214y k x x y ì-=+ïí+=ïî，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k D =+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=-+，2122161614k k x x k+×=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N x x y =-，所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++éùéùëûëû()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++，221682414k k k ùæö++-+úç÷+èøû即()()22221616216841414k k k k k k k éù=+-+++ëû+整理得4k =，解得4k =-20. 已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x ¢=，讨论函数()g x 在[0,)+¥上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t Î+¥，有()()()f s t f s f t +>+．【答案】（1）y x =（2）()g x 在[0,)+¥上单调递增.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.【小问1详解】解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00=f ，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1x f x x x=+++¢，∴切线斜率(0)1k f ¢==∴切线方程为：y x=【小问2详解】解：因为1()()e (ln(1))1x g x f x x x =++¢=+， 所以221()e (ln(1))1(1)x g x x x x =++-++¢，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++¢， ∴()h x 在[0,)+¥上单调递增，∴()(0)10h x h ³=>∴()0g x ¢>在[0,)+¥上恒成立，∴()g x 在[0,)+¥上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x t x m x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++¢+，由（2）知1()()e (ln(1))1x g x f x x x=++¢=+在[)0,+¥上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x ¢>∴()m x 在()0,+¥上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.21. 已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ÎL ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++³L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a L 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a L 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<L ，求证：7k ³．【答案】（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．（2）证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k £不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k £时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++<L 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．小问1详解】21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++=L ，所以Q 不是6-连续可表数列．【小问2详解】若3k £,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；【当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=， min 4k \=．【小问3详解】12:,,,k Q a a a L ，若i j =最多有k 种，若i j ¹，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种，若5k £，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾,从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数，而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f 中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -³ ，则所有数之和125415m m m m m ³++++++-=+L ，415191m m +£Þ=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f \=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+Q （仅一种方式），1\-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾），6x \¹， 同理5,4,3x ¹ ，故1-在一端，不妨为"1,2,,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+ （有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++ （有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ¹7k \³．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m -可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m 中间的任意一个值．本题第二问3k £时，通过和值可能个数否定3k £；第三问先通过和值的可能个数否定5k £，再验证6k =时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．。
2022年新高考北京数学高考真题—试卷分析
4
3
0.85
由标准方程确定圆心和半径；
9
0.65
描述法表示集合；球的截面的性质及计算；立体几何中的轨迹问题；
12
0.85
根据双曲线的渐近线求标准方程；
19
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数；根据弦长求参数；
函数与导数
6
4
0.94
指数幂的化简、求值；指数函数的判定与求值；
8
0.85
识记
奇次项与偶次项的系数和；
9
0.65
理解
描述法表示集合；球的截面的性质及计算；立体几何中的轨迹问题；
10
0.65
理解
求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式；数量积的坐标表示；
二、填空题
11
0.94
识记
具体函数的定义域；
12
0.85
识记
根据双曲线的渐近线求标准方程；
13
0.94
掌握
2
0.94
理解
求复数的模；复数的除法运算；
3
0.85
识记
由标准方程确定圆心和半径；
4
0.94
理解
指数幂的化简、求值；指数函数的判定与求值；
5
0.65
理解
求cosx型三角函数的单调性；二倍角的余弦公式；
6
0.65
理解
探求命题为真的充要条件；等差数列的单调性；
7
0.85
掌握
对数的运算；根据折线统计图解决实际问题；
三角函数与解三角形
4
5
0.65
求cosx型三角函数的单调性；二倍角的余弦公式；
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2015年北京高考数学真题评析
本文将结合考题，为大家做出分析.
首先，在进行高考真题与黄金预测卷之前，我们就2015年北京卷的整体特点分析.
第一，整体难度较去年略有下降，注重对基础知识和基本概念的考查.这主要表现为大部分题目都是学生在日常训练中会见到的，学生在备考的过程中如果能踏踏实实地对待每个常规题目，就能在这份试卷中有不俗的表现.
北京理科卷的第1题考查复数，第2题考查线性规划，第3题考查算法，第4题考查立体几何与充分必要条件的判断，第5题考查三视图，第6题考查等差数列的计算，第7题考查函数不等式，第9题考查二项式定理，第10题考查双曲线渐近线方程，第11题考查极坐标，第12题考查解三角形（正、余弦定理），第13题考查向量的线性运算（加法、减法、数乘运算），第15题考查三角函数中的二倍角公式和辅助角公式，求函数的周期和最值.第17题的立体几何题虽然含有一个参数，给学生的计算增加了复杂度，但是相比往年题目中对于存在性的考查.这道题还是较常规.综观整张试题，基础部分的分值达到117分左右，这也秉承北京“考题”一项不喜好“偏难怪”的特点，考查到了学生基本概念的掌握.在这里，组合教育高考数学研究中心建议大家在备战未来高考的时候，一定要注重基本题型及通性通法.在这里也告诉大家我们的第一轮辅导用书—《新课标高考数学题型全归纳》的理科版涵盖高考数学核心的185个题型，囊括各种题型的解题方法，有助于高三学子备考复习.
第二，注重对知识本质理解的考查.
例如第16题继续在离散型随机变量的题目中，考查学生对数学特征的直观理解，并连续第四年要求不必证明、直接给出结论.如果学生在备考这类题目中只注重计算而不注重理解概念的本质原理，就会无从下手.
同样的，第6题对数列的考察的也是如此，学生可能背下很多公司，但是考试的时候并没有考察具体数列的计算和求值，只考查了对等差数列中首项、公差及通项公式的认识，掌握最基本的方法和原理，而不应该死记硬背公式.掌握最本质的方法是以不变应万变的硬道理.
第三，试卷在平稳中有创新，让人眼前一亮.
今年的第20题压轴题跟以往风格也有所不同，题目并没有引出新定义，而是侧重考查学生观察数列各项之间的内在联系，对于整张试卷最难的第20题第3问，虽然没有像去年不要求学生证明结论，但是前两问的铺垫为攻克第三问打下了理论基础.即使在考场上没有发现理论，也可以实际操作上得出正确结论.
总体上讲，这是一份考生容易上手，大部分学生能稳定发挥，具有一定区分度的试卷.
下面，我们将北京卷(文/理)与黄金预测卷作对照.
本文由洞穿高考数学辅导丛书研发部提供。