四川省成都市2014届高三上学期(高二下学期期末)摸底测试数学(理)试题

成都市2011级高中毕业班摸底测试数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2}A =，{}2,4B =，则A B =（A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}1,4 （D ）{}1,2,42．已知向量(1,2)λ=+a ，(1,2)=-b ．若a 与b 共线，则实数λ的值为（A ）3 （B ）2 （C ）2- （D ）3-4．已知tan 3α=，则2cos sin cos ααα+的值为（A ）1- （B ）12（C ）1 （D ）24．命题“2,10x R x x ∃∈-+<”的否定是 （A ）2,10x R x x ∀∈-+≥ （B ）2,10x R x x ∀∈-+>（C ）2,10x R x x ∃∈-+≥（D ）2,10x R x x ∃∈-+>5．如图是一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则这个几何体的表面积是（A）2(4+（B）2(6+（C）2(6（D）2(76．对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（A）m n⊥，//nα（B）//m n，n⊥α（C）m n⊥，n⊂α（D）//mβ，⊥βα7．已知函数1()(2)()2f x x x=--的图象与x轴的交点分别为(,0)a和(,0)b，则函数()xg x a b=-的图象可能为（B）（C）8．已知22log5logx=-5log3y=，125z-=，则下列关系正确的是（A）z y x<<（B）z x y<<（C）x y z<<（D）y z x<<9．某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工．在每台设备A、每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h，A设备每天使用时间不超过4h，B设备每天使用时间不超过5h，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（A）18万元（B）12万元（C）10万元（D）8万元10．已知定义在R上的偶函数()g x满足：当0x≠时，()0xg x'<（其中()g x'为函数()g x的导函数）；定义在R上的奇函数()f x满足：()2()f x f x+=-，在区间[]0,1上为单调递增函数，且函数()y f x=在5x=-处的切线方程为6y=-．若关于x的不等式()()24g f x g a a≥-+⎡⎤⎣⎦对[]6,10x∈恒成立，则实数a的取值范围是（A）23a-≤≤（B）12a-≤≤（C）1a≤-或2a≥ （D）2a≤-或3a≥第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．答案填在答题卡上． 11．设函数()ln 23f x x x =-+，则((1))f f =___________．12．若正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的半径为___________．13．若直线22=0ax by -+（其中,a b 为正实数）经过圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心，则41a b+的最小值为___________．14．如图是某算法的程序框图，若任意输入1[,19]2中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为___________．15．对抛物线:C y x 42=，有下列命题；①设直线1:+=kx y l ，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4； ②已知直线1:+=kx y l 交抛物线C 于,A B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点(2,)P t （t R ∈）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点(2,1)Q 和抛物线内一点(2,)R m (1)m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠； 其中你认为是真命题的所有命题的序号是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量(2cos ,2sin )=m x x ，(cos )=n x x ，设()=f x 1⋅-m n ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()22C f =，且cos cos a B b A =， 试判断△ABC 的形状．18．（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10．（Ⅰ）分别求出m ，n 的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n-+-+-+ ，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）19．（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面A B C D ，且P A P ==E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 若G 为线段AB 的中点，求二面角C PD G--的余弦值． 20．（本小题满分13分）记平面内与两定点1(2,0)A -，2(2,0)A 连线的斜率之积等于常数m （其中0m <）的动点B 的轨迹，加上1A ，2A 两点所构成的曲线为C ．(Ⅰ) 求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的值的关系；(Ⅱ) 当34m =-时，过点F (1,0)且斜率为k (0)k ≠的直线1l 交曲线C 于,M N 两点，若弦MN 的中点为P ，过点P 作直线2l 交x 轴于点Q ，且满足0MN PQ ⋅=．试求PQ MN的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数2()[(1)1],xf x ax a x e a R =-++∈． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在区间[,](1)m n m >使函数()f x 在[,]m n 上的值域也是[,]m n ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．P FEDCBAG成都市2011级高中毕业班摸底测试数学（理工类）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（每小题5分，共50分）1．D ； 2．C ； 3．B ；4．A ；5．D ；6．B ；7．C ；8．A ；9．D ；10．C ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．1； 1213．9； 14．2437； 15．①②④． 三、解答题（本大题共6个小题,共75分） 16．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ．∵12a =，且2a 是1a 、4a 的等比中项，∴2(2)2(23)d d +=+． ……………………………………………………2分 解得2d =或0d =（不合题意，舍去）．∴2d =． …………………………………………………………………4分 ∴1(1)2n a a n d n =+-=．即数列{}n a 的通项公式为.2n a n = ………………………………6分（Ⅱ）由题意，得2(22)2n n n S n n +==+． ……………………7分 ∴211111(1)1n S n n n n n n ===-+++． …………………………9分 ∴1231111+n nT S S S S =+++1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+． …………………………………………………11分∵*n ∈N ，∴1n T <． …………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f ………………………………………1分 x x 2sin 32cos += ……………………………………………………2分 )2sin 232cos 21(2x x +=2sin(2)6x π=+． ………………………………………………………4分由222()26236k x k k x k k ππππππ-≤+≤π+⇒π-≤≤π+∈Z ．∴函数)(x f 的单调递增区间为,()36k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z .……………………6分（Ⅱ）∵()2sin()226C f C π=+=，∴sin()16C π+=． ………………………7分又0C <<π， ∴7666C πππ<+<． ∴62C ππ+=． ∴3C π=． …………………………………………………9分又由cos cos a B b A =，即sin()0A B -=，又2233A B ππ-<-<∴A B =． …………………………… 11分 ∴ △ABC 为等边三角形． ………………………………………12分 （说明：本题也可由余弦定理得到a b =）18．解：（Ⅰ）由甲组技工在单位时间内加工的合格零件平均数=x 甲1(78101210)105m +++++=，解得3m =． ……………………2分 由乙组技工在单位时间内加工的合格零件平均数=x 乙1(9101112)105n ++++=，解得8n =．……………………………4分（Ⅱ）甲组的方差2222221=[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s -+-+-+-+-=甲．…5分乙组的方差2222221=[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25s -+-+-+-+-=乙．……6分∵=x x 甲乙，22ss >甲乙，…………………………………………………………7分∴两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．……………………………………8分 （Ⅲ）从甲、乙两组中各随机抽取一名技工，加工的合格零件个数包含的基本事件为 （7,8），（7,9），（7,10），（7,11），（7,12）， （8,8），（8,9），（8,10），（8,11），（8,12）， （10,8），（10,9），（10,10），（10,11），（10,12）， （12,8），（12,9），（12,10），（12,11），（12,12）， （13,8），（13,9），（13,10），（13,11），（13,12）．∴基本事件总数有25个． ………………………………………………………10分 若记车间“质量合格”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为（7,8），（7,9），（7,10），（8,8），（8,9），共5个．……11分∴51()255P A ==． ∴14()155P A =-=． 即该车间“质量合格”的概率为45．………………………………………………12分19．解：(Ⅰ)连结AC ，设AC BD F = ． ∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC∴在CPA ∆中，EF //PA .……………………2分而PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴//EF 平面PAD ． ……………………………4 19．解：(Ⅰ)连结AC ，设AC BD F = ． ∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC ∴在CPA ∆中，EF //PA .……………………2分而PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD ． ……………………………4分 (Ⅱ)如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥.∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,面PAD 面ABCD AD =,∴PO ⊥平面ABCD ．易知,,OA OF OP 三线两两垂直．分别以,,OA OF OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -如图所示…6分 则有(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P ，(1,1,0)G∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且CD AD ⊥，则CD ⊥平面PAD ． ∴CD PA ⊥在PAD ∆中，∵PA PD ==2AD =，∴222PA PD AD +=，∴PA PD ⊥．且PD CD D = ，∴PA ⊥面PDC ．∴平面PDC 的一个法向量为(1,0,1)PA =-.……………………………………8分 设平面PGD 的一个法向量为(,,)x y z =n .且(1,0,1),(2,1,0)DP GD ==--.由0DP DG ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩ n n 020x z x y +=⎧⎨--=⎩．令2y =-,则1,1x z ==-．∴(1,2,1)=--n ． ………………………………………………10分∵cos ,PA PA PA⋅<>===n n n C∴二面角C PD G --的余弦值为3……………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设动点B (,)x y ．当2x ≠±时，由条件可得12222222BA BA y y y k k m x x x ⋅=⋅==+--． 即224(2)mx y m x -=≠±． ……………………………………………3分又1(2,0)A -、2(2,0)A 的坐标满足224mx y m -=．∴曲线C 的方程为224mx y m -=．当1m <-时，曲线C 的方程为22144x y m+=-，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆；…4分 当1m =-时，曲线C 的方程为224x y +=，曲线C 是圆心在原点的圆； ………5分 当10m -<<时，曲线C 的方程为22144x y m+=-，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知曲线C 的方程为22143x y +=． ………………………7分 依题意，直线1l 的方程为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+. ∴ 弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++. ∴MN === 2212(1)43k k +=+. …………………………………………………………9分直线2l 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++． 由0y =，得2243k x k =+．则22(,0)43k D k +．∴PQ =． …………………………………………………10分∴224312(1)43PQ k k MN k +==++=． ………………………11分又∵211k +>，∴21011k <<+.∴104<.∴PQ MN的取值范围是1(0,)4． …………………………13分21．解：（Ⅰ）当1a =时，2()(21)e x f x x x =-+．……………………………………1分 ∴22()(22)e (21)e (1)e x x x f x x x x x '=-+-+=-． ………………………2分 令()0f x '=，得1x =±． ………………………………………………3分 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：∴()=f x 极大值(1)ef -=；()=f x 极小值(1)0f =． ………………………5分 （Ⅱ）2()[2(1)]e [(1)1]e x x f x ax a ax a x '=-++-++2[(1)]e xax a x a =+--． ………………………………6分 由函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()0f x '≤对[0,1]x ∈恒成立．即2(1)0ax a x a +--≤对[0,1]x ∈恒成立． …………………………………………7分 令2()(1)g x ax a x a =+--，[0,1]x ∈ ①当0a =时，()0g x x =-≤对一切[0,1]x ∈恒成立．∴0a =，符合题意． ………………………………………………8分②当0a >时，∵函数2()(1)g x ax a x a =+--过点(0,)a -，∴要使()0g x ≤对一切[0,1]x ∈恒成立，则(1)0g ≤，即1a ≤．此时，01a <≤． ……………………………………………9分 ③当0a <时，∵函数2()(1)g x ax a x a =+--过点(0,)a -，且函数()y g x =开口向下．∴此时()0g x ≤在[]0,1上不可能恒成立．∴0a <不符合题意，舍去． ……………………………………………10分 综上，若函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则a 的取值范围[0,1]．……………11分 （Ⅲ）由（Ⅰ），知当1a =时，2()(1)e x f x x =-，2()(1)e x f x x '=-．假设当1x >时，存在[,]m n 使()f x 在[,]a b 上的值域也是[,]m n ， 由1x >时，()0f x '>，∴()f x 单调递增．故有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即22(1)(1)mnm e mn e n⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． 也就是说，方程2(1)e x x x -=有两个大于1的不等实根． …………………………12分 设2()(1)e x x x x ϕ=-- (1)x >，则2()(1)e 1x x x ϕ'=--． 再设2()(1)e 1x k x x =--(1)x >，则2()e (21)x k x x x '=+-． 当1x >时，()0k x '>，即()k x 在(1,)+∞单调递增． 又(1)10k =-<，2(2)3e 10k =->．因此在(1,2)上存在唯一0x ，使得0()0k x =，即存在唯一0x ，使得0()0x ϕ'=．(),()x x ϕϕ'随x 的变化如下表由上表可知，0()(1)10x ϕϕ<=-<又2(2)e 20ϕ=->，故()y x ϕ=因此()x ϕ在(1,)+∞只能有一个零点． 这与()0x ϕ=有两个大于1的不等实根相矛盾．∴不存在区间[,]m n 满足题意． ……………………………………14分。