第一章三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象
高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法
正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
【课件】第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
人教版高中数学必修1《函数y=Asin(ωx+φ)》PPT课件
[方法技巧] 1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数 y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇 偶性．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z )时为奇函数，当 φ＝kπ±π2(k
[解析] (1)将函数 f(x)＝2sinωx＋π6的图象向右平移23π个单位长度后，可 得 y＝2sinωx－2ω3π＋π6的图象，因为所得图象与原图象重合，
所以－2ω3π＝2kπ，k∈Z ，
所以 ω＝－3k，k∈Z ，故当正数 ω 最小时，ω＝3， 答案：3 (2)由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， ∴f(x)在 x＝0 时取得最值，即 sin φ＝1 或－1.结合 0≤φ＜π，可得 φ＝π2.
[解析] [答案] f(x)＝－12cos 2x
• [方法技巧]
• 三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略
• (1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的 解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减” 的原则进行．
• (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首 先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方 向和单位．
f(x)பைடு நூலகம்0
2 0 －2 0
描点连线：用平滑的曲线顺次连接各点，所得图象 为函数 f(x)在一个周期内的图象，如图所示． (2)由 2kπ－π2≤x2＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z ，
得
4kπ
－
5π 3
≤x≤4kπ
＋
π 3
，
k
∈
Z
.
所
以
函
数
f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
x-
4
3 4
5 4
4
0
0
2
0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4
1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4
9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4
y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+
3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
演示文稿高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)课件北师大版必修420
第二十二页，共48页。
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 －ωφ，0 作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝
；π 2
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
第二十九页，共48页。
解答
反思与感悟
有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注
意整体代换思想.
第三十页，共48页。
跟踪训练3 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图像的一条对
称轴是直线x＝ . π 8
(1)求φ的值；
解 由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，
第二页，共48页。
内容索引
第三页，共48页。
问题导学 题型探究
当堂训练
第四页，共48页。
问题导学
知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像
思考1
用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依次
取哪几个值？
π
3π
答案 依次为0， ，2 π， ，22π.
函数在ωx＋φ＝ ＋2π2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝
＋2kπ3(πk∈Z)时取得最 2
小值.
第四十七页，共48页。
第四十八页，共48页。
本课结束
第一页，共48页。
第一章 三角函数
§8 函数 y＝Asin(ωx＋φ )图像与性质(二)
学习目标
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
函数y=Asin(ωx φ)的图像(第二课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学必修第一册
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
三角函数y=Asin(ωxφ)图像解读
函数 y =sin x , x R（其中 >0且 1） 的图像，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐 标缩短（当 >1时）或伸长（当 0< <1时） 到原来的1/ 倍（纵坐标不变）而得到。
问题：画出y=sin(x+ 3 ), x R, y=sin(x- )的 4
图像。演示
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
复习：函数 y=Asin ( x+ ) ,x R中, A是指振幅, T= 2 。
要求：弄清楚 A ， ， 这三个变量对 图像的影响。
1 画出函数y= 2 sinx, x R , y= sinx, x R的图像 2
解：
x sinx 0 0
2
1
0
3 2
-1
2
0
2sinx
0
0
2
0
0
-2
0
0
1 sinx 2
1 2
1 2
y
-2
1
2
o -1
2
3 2
2
x
-2
弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍（横坐标不 作把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的 变）而得到。从而函数 y= 2 sinx, x R 的值域是[-2,2], 1/2（横坐标不变）而得到。 最大值是2，最小值是 –2。
6
12
3
7 12
5 6
0
2
3
0
3 2
-3
2
0
0
演示：
人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件
三 、 教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂 ，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化 与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数 形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索 、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作 探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍 ，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍 ，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主 学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像例题与探究(含解析)北师大版必修4
1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图像典题精讲1.由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx＋φ)（ω＞0）的图像？ 剖析：由y ＝sinx 的图像变换出y ＝sin(ωx＋φ)的图像一般有两个途径. 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sinx 的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位；再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变），得y ＝sin(ωx＋φ)的图像. 途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sinx 的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变）；再将得到的图像沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx＋φ)的图像.疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同？其突破口是化归到由函数y=f(x)的图像经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图像.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换.若按途径一有：先将y=f(x)的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得y=f(ωx+φ）的图像. 若按途径二有：先将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，得y=f(ωx+φ）的图像.若将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移|φ|个单位，得到y=f ［ω(x+φ)］的图像，即函数y=f(ωx+ωφ)的图像，而不是函数y=f(ωx+φ)的图像.例如：由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像？ 方法1：（先相位变换，再周期变换）先将y ＝sinx 的图像向左平移3π个单位得函数y ＝sin(x ＋3π)；再将函数y ＝sin(x ＋3π)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得y＝sin(2x ＋3π)的图像.方法2：（先周期变换，再相位变换）先将f(x)=sinx 的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得函数f(x)=sin2x 的图像；再将函数f(2x)=sin2x 的图像上各点沿x 轴向左平移6π个单位，得f ［2(x+6π)］=sin2(x+6π)的图像，即函数y=sin(2x+3π)的图像.在方法2中，得到函数f(2x)=sin2x 的图像后，如果把f(2x)=sin2x 图像沿x 轴向左平移3π个单位，得f ［2（x+3π)］=sin2(x+3π)的图像，即函数y=sin(2x+32π)的图像，而不是函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像. 由以上可见，利用变换法作y ＝Asin(ωx＋φ)的图像时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一. 例如：(2006江苏高考卷，4)为了得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R 的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路解析：先将y=2sinx,x∈R 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数y=2sin(x+6π),x∈R的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像. 答案：C2.如何求型如y=Asin(ωx+φ)+b(ω＜0)函数的单调递增区间?以y=2sin(3π-2x)+1为例说明.剖析：复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f\[g(x)\]是增(减)函数，可概括为“同增异减”.函数y=2sin(3π-2x)+1的定义域是R. 函数y=2sin(3π-2x)+1是复合函数，y=f(u)＝2u+1，u=sin(3π-2x).则要求函数y=2sin(3π-2x)+1的单调递增区间，需求u=sin(3π-2x)的单调递增区间.函数u=sin(3π-2x)又是复合函数，u=sint ，t=3π-2x.则要求函数u=sin(3π-2x)的单调递增区间，需求函数u=sint 的单调递减区间.则正确的解法是：令2kπ+2π≤3π-2x≤2kπ+23π(k∈Z )，∴2kπ+2π-3π≤-2x≤2kπ+23π-3π (k∈Z ).∴2672262-+≥≥-+ππππk x k .∴2672-+ππk ≤x≤2672-+ππk , 即-kπ-127π≤x≤-kπ-12π.∴函数的单调递增区间是［-kπ-127π,-k π-12π］（k∈Z ）. 由此可见原解法求出的区间是函数的单调递减区间.原解法的错误是求复合函数的单调区间时，错误地判断了构成复合函数的内层函数的单调性.综上所得,在求函数y=Asin(ωx+φ)+b 的单调区间时，一定注意其中的参数A 和ω的符号，特别是当A 和ω是负数时，容易出错，其突破口是化归到如何求复合函数的单调区间，这样才不会出错，进而避免：看起来题会，做起来不对，出考场后悔. 典题精讲例1已知函数y=3sin （21x-4π）， （1）用“五点法”画函数的图像；（2）说出此图像是由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到的； （3）求此函数的周期、振幅、初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 思路分析：五点法画函数y=3sin （21x-4π）的图像时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由ωx+φ＝0，2π，π，23π，2π来确定对应x 的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.解：（1）列表21x-4π2π π23π 2πx 2π 23π 25π 27π 29π y3-3描点：在直角坐标系中描出下列各点（2π，0），（23π，3），（25π，0），（27π，-1），（29π，0）；连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到的所求函数的图像如图1-7-1所示.图1-7-1这样就得到了函数y=3sin （21x-4π）在一个周期内的图像，再将这部分向左或向右平移4kπ（k∈Z ），得到函数y=3sin （21x-4π）的图像.（2）方法一：（相位变换在周期变换的前面） ①把y=sinx 的图像上所有的点向右平移4π个单位，得到y=sin （x-21）的图像；②把y=sin （x-4π）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （2x -4π）的图像； ③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.方法二：（周期变换在平移变换的前面）①把y=sinx 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （21x ）的图像； ②把y=sin （21x ）的图像上所有的点向右平移2π个单位，得到y=sin 21（x-2π）=sin （2x -4π）的图像；③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.（3）周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π.（4）令21x-4π=2π+kπ，解得x=23π+2kπ，k∈Z ，即函数的对称轴是直线x=23π+2kπ(k∈Z ).令21x-4π=kπ，解得x=2kπ+2π，k∈Z ， 即对称中心为（2π+2kπ，0）(k∈Z ).令-2π+2kπ≤21x-4π≤2π+2kπ，解得-2π+4kπ≤x≤23π+4kπ，k∈Z .即函数的单调递增区间为［-2π+4kπ，23π+4kπ］（k∈Z ）.绿色通道：（1）对于函数y=Asin （ωx+φ），应明确A 、ω决定“形变”，φ决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x 的变化，向左或向右平移||ωϕ个单位； (2)画y=Asin （ωx+φ）的图像常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用公式T=ωπ2进行求周期，有时还利用图像法求周期；④对于函数y=Asin （ωx+φ）+B 的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把ωx+φ看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx 来讨论，问题自然就迎刃而解. 变式训练1(2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在区间［-3π,4π］上的最小值是-2，则ω的最小值等于（ ）A.32B.23C.2D.3 思路解析：方法一：根据函数f(x)=2sinωx(ω＞0)图像的大致位置,得4T ≤3π,又T=ωπ2，所以有2ω≥3，即ω≥23.方法二：（代入验证法）当ω＝32时，f(x)=2sin(32x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=2sin(94π-)＞-2，故排除A ；当ω＝23时，f(x)=2sin(23x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=-2，故排除C 、D.答案：B变式训练2(2005天津高考卷，文8)要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的（ ） A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度思路解析：由于y=2cosx=2(x+2π)，则将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin （x+4π)的图像；再将函数y=2sin （x+4π)的图像向左平行移动4π个单位长度得到函数y=2sin(x+2π),即函数y=2cosx 的图像.答案：C变式训练3(2005全国高考卷Ⅰ，理17)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π. （1）求φ；（2）求函数y=f(x)的单调增区间；（3）画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像.思路分析：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值. 解：（1）∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴， ∴sin(2×8π+φ)=±1. ∴4π+φ=kπ+2π,k∈Z . ∴φ=kπ+4π,k∈Z .∵-π＜φ＜0，∴-π＜kπ+4π＜0. ∴45-＜k ＜41-.∴k=-1. ∴φ=-43π. （2）由（1）知y=sin(2x-43π). 令2kπ-2π≤2x -43π≤2kπ+2π,k∈Z , ∴kπ+8π≤x≤kπ+85π,k∈Z ,即函数y=sin(2x-43π)的单调递增区间是［kπ+8π,kπ+85π］(k∈Z ). （3）由y=sin(2x-43π)知： x 08π83π 85π 87π πy22--1 0 1 022-故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像如图1-7-2所示.图1-7-2例2(2005福建高考卷，理6)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R ,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图像如图1-7-3，则（ ）图1-7-3A.ω=2π,φ=4π B.ω=3π,φ=6π C.ω=4π,φ=4π D.ω=4π,φ=45π思路解析：由图像得T=4(3-1)，∴T=8.∴ω=T π2=4π.点(1,1)在函数图像上，则有1=sin(4π+φ)，0≤φ＜2π.∴4π+φ＝2π.∴φ=4π. 答案：C绿色通道：已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一段图像,求其表达式，其步骤： (1)求A ：图像最上方的点的纵坐标为A 的值，或图像最下方的点的纵坐标的相反数为A 的值.(2)求ω：一般由图像可知周期T,如相邻两个对称中心（或对称轴）的距离为半个周期.再由T=ωπ2求出ω.(3)求φ：确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标x 0,则令ωx+φ=0(或ωx+φ=π)即可求出φ.有时还可利用已知点(例如最高点或最低点)确定ω与φ.若对A 、ω的符号或对的范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求. 变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ）（A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π)的图像的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，试求这个函数的解析式.思路分析：抓住函数y=Asin(ωx+φ）的图像的特征是解本题的关键.解：已知图像最高点为（2，22），∴A=22.又根据题意知从最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，∴4T =6-2=4，即T=16.∴ω=T π2=8π.将y=22sin(8πx+φ)代入最高点坐标，得22=22sin(8π×2+φ).∴sin(4π+φ)=1.∵|φ|＜2π,∴φ=4π.∴函数的解析式为y=22sin(8πx+4π). 问题探究问题试探讨如何求三角函数的周期？导思：思路1：从定义上分析；思路2：从周期函数的图像上分析；思路3：利用常见的结论.探究：确定三角函数的周期有如下方法：（1）定义法：根据周期函数的定义求周期.关键是找到一个实数T ，使得对任意实数x ，总有f(x+T)=f(x)成立. 例如：求函数y=2sin(2x -6π）的周期. 解：f(x+4π)=2sin［21(x+4π)-6π］=2sin(2x +2π-6π)=2sin(2x -6π)=f(x),∴y=2sin(2x -6π)的周期是4π.定义法是求周期的通性通法，带有一定的普遍性.（2）图像法：画出三角函数的图像，如果图像每隔“一段”就重复出现，则这一段就是一个周期.这种求函数周期的方法称为图像法. 例如：求函数y=|sin2x|的周期.解：画函数y=|sin2x|的图像，如图1-7-4所示.图1-7-4函数y=|sin2x|的图像每隔2π就重复出现，则函数y=|sin2x|的周期是2π. 利用图像法可得如下结论：(A ＞0,ω＞0)①函数y=|Asin(ωx+φ）|的周期是ωπ； ②函数y=|Acos(ωx+φ）|的周期是ωπ；③函数y=|Atan(ωx+φ）|的周期是ωπ.（3）公式法：利用常见的公式（结论），求得三角函数的周期.这种求三角函数周期的方法称为公式法.常见的结论：①一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ.如y=2sin(2x+65π)的周期T=2π=π. ②一般地，函数y=Acos(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2cos(3x+6π)周期T=3π.③一般地，函数y=Atan(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2tan(4x+6π)周期T=4π. 这三种求周期的方法在高考试题中都经常出现，应引起我们的重视.。
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质
函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答 案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z).∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z).【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z)【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z).又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12， 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ， 则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象； 所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z).由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω， 当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， 所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。
三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像
(ω>0,|φ|< )的图象 的一部分如图所示: 2 则A=_________
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·文科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
（2）函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b (ω>0,|φ|< )的图象的 一部分如图所示: 2 则A=__________
新课标 ·文科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2.已知函数f(x)=2sin 示,则f = 0
的图象如图所
.
3 5 π π T 2 4 4 π 解得 T 2 3
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
2题求
菜 单
w
新课标 ·文科数学（广东专用）
【试答 尝解】 y＝c o x s ＋1
1 ( y )
＝cx o 2 s
＋1 y＝c (x＋1)＋1 o s
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
因所的象为 此得图应
＝ 4π ， 3k
y＝c (x＋1)． o s ①.
2 设函数的周期为 T， 题 ( ) 由 意
4 kT＝ π，k∈Z，∴T 3
振幅 y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，x≥0) 表示一个振动量时 周期 频率 相位 初相 φ
高 考 体 验 · 明 考 情
A
2π ω ω x＋ 1 T＝___ f＝ ＝___ ω T 2π φ
典 例 探 究 · 提 知 能
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个关键点，一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)课件1北师大版必修4
故
故函数的值域为[- ,2].
上的值域.
第十五页，共51页。
【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)+b的值域(最值)的求解策略 (1)x∈R时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),结合函数y=Asinx+b中sinx的有界 性求其值域. (2)x∈[a,b]时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),先依据x∈[a,b],求出“ωx+φ”的 范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像 求解.
3因为x08由2知函数fx在02上是增加的在28上是减少的所以当x2时fx有最大值为当x8时fx有最小值为1故fx的值域为1类型二函数yasinx性质的综合应用典例已知函数fxasinxa00的图像在y轴上的截距为1它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为解题探究1怎样确定周期和a的值
1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(tú xiànɡ)与性
误的是 ( )
A.图像C关于直线x=- 对称 B.图像C关于点 对称12
C.函数f(x)在区间
内是增加的
D.由y=3cos2x得图像向右平移(pínɡ yí) 个单位长度可以得到图像C
第二十七页，共51页。
【解析】选C.A,B经验证可知正确(zhèngquè),C中当 不是正弦函数的单调区间,错误; D中y=3cos2x得图像向右平移 5个单位长度可以得到y=3cos
12 因为 正确(zhèngquè).
第二十八页，共51页。
【补偿(bǔcháng)训练】已知函数f(x)=2sin
(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的递增区间.
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
π B．向右平移 个单位 4 π D．向右平移 个单位 8
π π 解析：y＝sin－2x＋4＝sin－2x－8，只需将
y＝sin(－2x)
π π 的图象向右平移8个单位，即可得到 y＝sin－2x＋4的图象．
答案：D
6.
A
三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，
或向右（ 0） 平移 | | 个单位
或伸长（0 1 ） 1 为原来的 倍
或缩短（0 A 1 ）
为原来的A倍
2. A、 、 对函数 y A sin(x ) 图象的影响?
讲授新课
例1. 下图是某简谐运动的图象.试根据图 象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各 是多少？ (2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的，要特别注意相位 变换，周期变换的顺序，顺序不同，其结果也不同．
复习回顾
1. 如何由y sin x的图象得到函数 y A sin(x )图象 ?
) y sin x 横坐标向左( 0 y) sin(x ) 横坐标缩短( 1) y sin(x )纵坐标伸长( A 1y A sin(x )
2. 振幅变换： 3. 周期变换： 4. 平移变换：
Y=SinX 横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍
Y=SinX
纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍 左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
三角函数图像及变化
14
典例探究
例 3 将 y＝sin x 的图象怎样变换可得到函数 y 2sin(2x ) 1 的图象？
4 解法一：先伸缩后平移 ①把y＝sin x的图象上所有点的 纵坐标伸长到原来的2倍 ,得到y＝2sin x的图象；
②将所得图象y＝2sin x 上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到 y＝2sin 2x 的图像
兀
3
)1
- 3 o 4
y=sinx y=sin(x- 兀)
4
5
9
3
2 4
3
5
7
x
4
4
4
-1
6
知识梳理
y=sinx
0< ω<1时横坐标伸长为原来的 倍 ω >1时横坐标缩短为原来的 倍
y sinx（, x R0）
注意：纵坐标不变
y y=sin2x
1
y=sin
1 2
x
y=sinx
2
3
o 3
3
42 4
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图象及应用
2
明确考纲
考纲概述
考查热点
考查频次 备考指导
(1)了解函数
函数
从近年的考题来看,函数
y=Asin(ωx+φ)的 物理意义,能画出
y=Asin(ωx+φ) 图象画法与变
★★★★
y=Asin(ωx+φ)图象变换以及通 过图象来确定 A,ω,φ 是高考中
y=Asin(ωx+φ)的 换
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得 y＝2sin2x＋π4＋1 的图象.
16
走进高考
1．（2016 全国Ⅰ）将函数 y 2sin(2x ) 的图象向右平移 1 个周期后，所得图象对应的
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课
关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象 间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移 后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
������
+
π 5
C.y=sin
π 5
-������
B.y=sin
������-
π 5
D.y=sin
5������-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
������-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
yyyyyyyyyyyyyysinxsinxxxxx sinsinsinsin sinsinxsinx sinsinxsinx x xx sinsin x
y sin( x
6
)
13
2
3
6
2 2 3
3 5 2 3
2
x
6
-1
一、函数y=sin(x+ ) 图象
.
3.y=Asinx与y=sinx图象的关系
例3、作函数 y 2 sin x 及 y 解： 列表
x
sinx 2sinx
1 2
1 2
sin x 的简图.
描点作图
2
0
0 0 0
π
0 0 0
3 2
2π
y
2 1
2
1 2
1 2
-1 -2
1 2
0 0 0
3 2
2π
0 -1
π
x
sinx
-2
y sin x
函数y＝Asin(ωx＋φ ) 的图象
复习回顾
y sin x , x [ 0 , 2 ] 的图象
关键点： (0,0), (
2
,1), (,0), (
3 2
,-1), (2,0) .
注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.
y
1
. . . 3/2 2 .
x
o /2 -1
（2）横坐标缩短到原来的 2 倍 纵坐标不变
1
y=sin(2x+
3
) 的图象
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+
3
)的图象
方法2： 按 , , A 顺序变换 ) (
y y=3sin(2x+ )
3
2
3
y=sinx
1
o
5 6
3
5 3
2
6
x
-１
3
y=sin2x y=sin(2x+ )
方法1： 按 , , A 顺序变换 ) (
y
3
2
y=3sin(2x+ 3 )
y=sinx
1
o
3
7 6
5 3
2
3
6
7 12
2
3
5
x y=sin(x+ )
-１
6
6
3
-2
-3
y=sin(2x+ )
3
（1）向左平移 函数 y=sinx
3
y=sin(x+
3
) 的图象
.
( 一 ) 探索 对 y sin( x ), x R 的图象的影响
.
1.y=sin(x+ )与y=sinx的图象关系
例1、试研究 y sin( x ) 、y sin( x ) 6 与 y sin x 的图象关系3
y
y sin( x
3
)
1
o
y
3
O 3
5 6
x
3
练习：已知函数 y A sin( x ) ( A 0 , 0 ) 0<φ<π 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
2
Y
0
2
3
X
6
-2
例3：如图所示, 某地夏天从 8～ 14 时用电量变化曲线近似满足 函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b, φ∈(0,π)． (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解: (1)最大用电量为 50 万度，最小用电量为 30 万度． 解: (1)最大用电量为 50 万度，最小用电量为 30 万度． 解: (1)最大用电量为 50 万度，最小用电量为 30 万度． (2)观察图象， 可知从 8～14 时的图象是 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的 (2)观察图象，可知从8～14 时的图象是 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的的 可知从 8～14 时的图象是 y＝Asin(ωx＋φ)＋b (2)观察图象， 半个周期的图象． 半个周期的图象． 半个周期的图象． 1 11×(50－30)＝10，b＝11 1 1 ∴A＝ ×(50－30)＝10,b＝ ×(50＋30)＝40. ×(50＋30)＝40. 1 ∴A＝ 2 ×(50－30)＝10，b＝ 2×(50＋30)＝40. ∴A＝ ∴A＝2 ×(50－30)＝10，b＝ ×(50＋30)＝40. 2 2 22 2 T 1 2π π 1· ，∴ω＝ππ T ∴T ＝14－8＝ ω ， 2π ∴y＝10sin ( 2x2π，∴ω＝ 6， 2 ＝14－8＝1· ) ＋40. ， ∴ ∴ 2 ＝14－8＝ ＋40. 6 6 x 2ω ∴y＝10sin ( 2 · )，∴ω＝6 ω 2 ∴y＝10sin6(π x ) ＋40. π π ∴y＝10sin6x＋φ＋40. 6 πx＋φ＋40. 将 x＝8，y＝30 ∴y＝10sin 6 x＋φ代入上式，解得 φ＝6， ∴y＝10sin 6 代入上式，解得 φ＝π， 将 x＝8，y＝30 ＋40. 6 π， π 将 x＝8，y＝30 代入上式，解得 φ＝， 将 x＝8，y＝30 代入上式，解得 ππ6 φ＝ ) 6， ∴所求解析式为代入上式，解得 φ＝＋40，x∈[8,14]． y＝10sin ( x φ＝， 将 x＝8，y＝30 将 x＝8，y＝30 代入上式，解得)6＋40，x∈[8,14]． 6 x ∴所求解析式为 y＝10sin ( π 66 π x ) ＋40，x∈[8,14]． ∴所求解析式为 y＝10sin π ∴所求解析式为 y＝10sin6( π x＋6 ＋40，x∈[8,14]．
y=sinx
纵坐标不变， 横坐标 变为原来的 2 倍 2 3 y=sin 1x 2
y=
1 sin 2 x
O 1
4
y 函数 y sin 2 x 、 sin 的图象间的变化关系。
1 2
x
与
y sin x
y
2
y sin 2 x
1
y sin
2
1 2
x
4
o
3 2
2
-1
3
-2
-3
1
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
2
倍
y=Sin2x的图象
（2）向左平移
6
y=Sin(2x+
3
) 的图象
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y=3Sin(2x+
3
)的图象
函数,
y A sin( x ) 中
T 2 | |
A称为振幅
纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变
y 1 sin x 2
y=Sinx
纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变
y=2Sinx
函数 y 2 sin x 、y sin x 与 y sin x 的图象间的变化关系。 2
y
3
1
2
1
y=2sinx
y=sinx
y=
-１
1 2
sinx
o
2
3 2
2
x
-2
f 1 T
称为周期
称为频率 x 称为相位
称为初相
例1：作函数y = 2sin( 3 x)的简图。 6
1
法一：“五点法”作图 解： 列表
Z 0
2
2
π
7 2
3 2
x
Sin(Z)
2π 1 2
5π
2π 13
2
0
0
y
0
0
-1 -2
0
法二：二步 简易作图法
0
例2：已知函数y＝Asin(ωx＋φ) （A>0,ω>0 ，0<φ<π ）一个周期内的函数 图象，如下图所示，求函数的一个解析式。
5
( 二 ) 探索 对 y sin( x )的图象的影响
.
2. Y=sin x 与 y=sinx图象的关系
例2.作函数 1.列表：
sin 2 x
2. 描点： 2 y
y=sin2x
1 O
y sin 2 x
及
y sin 1 x 2
的图象。
3 4
3 2
x
0 0 0
二、函数y=sinx(>0)图象
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。
( 三 ) 探索 A 对 y A sin( x )的图象的影响
4
2
2 0
2x
2
1
0
1
y=sinx
2
纵坐标不变 ，横坐标
缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2 3
y=sin2x
x12Fra bibliotek对于函数
1. 列表：
y sin 1 x 2