2011届高考数学单元总复习课件77
2011届高考数学第一轮总复习知识点课件6
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,
2 2 a b sin (A - B) 求证： c2 sin C
.
证明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A, 2 2 2 a b c - 2bcos A c 2bcos A 则 . 2 2 c c c 又由正弦定理,得 c 2bcos A sin C - 2sin Bcos A c sin C sin C -[sin(B A) sin(B - A)] sin C sin C -[sin C sin(B - A)] sin (A - B) , sin C sin C
个是正确的，不可能有第三种情况出现.
举一反三
3. 已知a,b,c是一组勾股数，且 a 2 b2 c2 . 求证：a,b,c不可能都是奇数.
2 2 2 证明： 假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,∴ a b c
又∵a,b,c都是奇数,∴a 2 , b2 , 2 也都是奇数, c ∴ a 2 b 2 是偶数， a 2 b2 c 2 ,
考点演练
10. 完成反证法证题的全过程. 已知：a1,a2,…，a7是1，2，…，7的一个排列. 求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明：假设p为奇数，则均为奇数.① 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数= = =0. 但奇数≠0，这一矛盾说明p为偶数. 答案: ① a1 1, a2 1,...a7 7 ② a1 1 a2 1 ... a7 7 ③ a1 a2 ... a7 1 2 ... 7 ② ③
b d b
a,b,c,d∈R+且bc>ad, ∴
bc ad 0 b d b
2011届高考数学单元总复习课件18
2
（2）当t ≤ −
3 < t + 1， 2
3 2t + 1 ①当 − ≤ 时，即 h(t ) = f (t + 1) = t 2 + 5t − 1 2 2
2t + 1 3 5 < − 时，即 − < t ≤ 2, h(t ) = f (t ) = t 2 + 3t − 5 ②当 2 2 2
(3)当 t > − ∴h(t)=
∴ − 29 ,− 5 < t ≤ − 3
4 2
{
t 2 + 5 t − 1， t ≤ −
5 2
t 2 + 3 t − 5, t > −
3 2
2
2 学后反思 二次函数y = ax + bx = c(a > 0)在区间 [ m, n ] 上求最值的
方法可分为情况讨论：
4ac − b 2 (1)若x0 ∈ [ m, n ]，则最小值为 f ( x0 ) = − ，最大值为 f (m), f (n) 4ac b 中较大者(m,n中与− 距离较远的一个为最大值). 2a (2)若x0 ∉ [ m, n ] ，当 − b < m 时，f(x)在 [ m, n ] 上是单调增函
函数 ④与y轴的交点是 (0,c) ; ⑤当Δ= b 2-4ac>0时,与x轴两交点的横坐标 x1 , x2分别是方程
ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点
2
(−
b , 0) ; 2a
当Δ<0时,与x轴 没有交点 ; ⑥当b≠0时,是非奇非偶函数;当b=0时,是 偶函数 ;
上是单调函数
2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)
2
2
2
①
②
要使①有7个解，则②必须有两解，即f(x)=| x +2x|与f(x)=t有7个交点 （如图），所以方程②必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=|x +2x|折上去的顶点，故②式有一解为t 1 1 ，另一直线与f(x)=|x +2x|
2 2
的图象有4个交点，故②式的另一解 2 必在（0,1)上，所以 t1 t 2 b 0 b 0,t1t 2 c 0 ，所以b<c. 答案:C
2
2
2
与y轴的交点D(0,1)，再任取一点
E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.
学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数 图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简 便，使图象更精确. (2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称 轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交 点为特征点进行画图.
学后反思 函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有 关,k>0时,函数图象是上升的;k<0时,函数图象是下降的.b反 映了函数图象与y轴交点的位臵,b>0时,交于x轴上方;b=0时, 交于原点;b<0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的 截距.
举一反三
1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时： (1)这个函数为一次函数? (2)函数值y随x的增大而减小? (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上? 解析: (1)当m≠ 2 时,这个函数为一次函数. 1 (2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m< 2 时,y随 x的增大而减小. (3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0), 将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0, 2 ≨m= 5 .
2011年高考数学总复习精品课件：第二单元第二节函(精)
第二节函数的定义域与值域考纲要求•:•了解定义域、值域是构成函数的要素；❖会求一些简单函数的定义域和值域；•:.掌握一些基本的求定义域和值域的方法; •:•体会定义域和值域在函数问题中的作用学习重点♦:♦常见基本初等函数的定义域（求定义域的主要依据）•:•常见基本初等函数的值域•:•求函数值域的基本方法学习难点•:•求函数定义域的基本方法•:•求函数值域的基本方法基础梳理1.在函数(x), x C A中，x叫做白变量，x组成的集合A叫做函数的定义域, 与x的值相对应的y值叫做函数值，傩的集隹3■咲0 ------------------ 叫做函数的值域. 值域由定义域和对应法则确定函数的走义域的常见求法(1)分式的分母不为率.⑵偶次根式的被开方数大于或等于零⑶ 对数的真彩夫于零,底数大于零且不等于1⑷零次線的底数不为零. ⑸三角函数中的正切函数_ 伽X (XH 炽+ #,RwZ).⑹已知函数f (x)的定义域为D,求函数f [g(x)]的定义域，只需g(x)wD ・.⑺已知函数f [g (x )]的定义域为D ,求函数r (x )的定义域，只需要求 g(x)的值域(xeD).(8) —次函数、二次函数、指数函数、正弦函数、余弦函数 定义域都是_ R(9) 实际问题中函数的定义域基本初等函数的值域(1) y=kx+b (kHO)的值域： R(2) y=ax 2+bx+c (a H 0)的值域：a>0时，値域为: 'P ia<0时值域为：,_8 4ac —沪-\， 4a (4) y=a x (a>0, I La 工 1)的值域：R + (5) y=log a x(a>0, Ha H 1)的值域：R (6) y=sinx, y=cosx 的值域：- -［亠+叮(7) y=tanx 的值域:(3) y=k/x(k(^O 90)U(典例分析题型一函数的定义域例1求函数 f(x)=lg\x ・2勒定义域79^7所以所求定义域为{x|-3<x< 0或2<r < 3}正解分析 只需要使解析式有意义，列不等式组求解要使函数有意乂，则只需要x > 2 或 x < 0故函数的定义域是(-3, 0) U (2, 3).错解。
2011年高考数学理第一轮复习精品课件第7单元立体几何1
│考试说明
2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以 作为推理依据的公理和定理． 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点在此平面内． 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平 面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补．
│使用建议
使用建议
1．在编写本单元时考虑了如下问题： (1)重视了空间几何体的三视图和面积、体积计算：根据 近年来课标区的高考命题趋势，空间几何体的三视图结合面 积、体积计算几乎是一道必然的考题． (2)重视了平面的性质：虽然在高考中单独考查平面性质 的试题不多，但这是立体几何的根本所在． (3)强化重点：加强了空间平行、垂直关系证明部分的力 度，除了在38、39讲分专题讲解空间平行、垂直关系的证明 外，还专设第39讲重点讲解空间线面位置关系的证明．
│知识梳理
④几种特殊棱柱、棱锥、棱台 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直 棱柱叫做正棱柱(正棱柱的侧面是全等的矩形，底面是全等的 正多边形)．理解下列关系：
{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱} {直棱柱} {棱柱}．
│知识梳理
如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．顶点到底面的距离叫 做棱锥的高．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰 三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．如图35－1，高 SO，斜高SE.
第七单元 立体几何
│知识框架 知识框架
│知识框架
2011届高考数学第一轮总复习课件8
类比推理一般要先找出两类事 物之间的相似性或一致性 ,然后用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,一般地,如 果类比的相似性越多 ,相似的性质与推测的 性质之间越相关,类比得出的命题越可靠.
变式练习2 在平面几何中有：△ABC中，
若它的内切圆半径为 r，周长为 C ，则它的面 积S△ ABC 命题,并予以证明.
r C . 类比得出空间几何中类似的 2
命题 :在三棱锥 A-BCD中 ,若它的内切 圆半径为R,表面积为S,则它的体积VA-BCD= RS . 证明 : 设三棱锥 A-BCD 的内切球球心为 O, 连接OA、OB、OC、OD， 因为S△ABC+S△BCD+S△ABD+S△ACD=S, 所以VA-BCD=VO-ABC+VO-BCD+VO-ABD+VO-ACD
类比得猜想：在空间中,过直线外一点, 有且只有一个平面与已知直线垂直. 在这三个类比猜想中,正确猜想的个数 有 1 个.
①由于当a⊥b时，a· b=0,所以猜想 ①不正确.又垂直于同一个平面的两个平面 可能平行也可能相交.故猜想②不正确.
5.已知凸 n边形 (n≥ 3)的对角线有 f(n)条 , 由f(3)=0,f(4)=2,f(5)=5,f(6)=9,可以猜想f(n)=
4.给出下列三个类比猜想： ①若a、b为实数,且a· b=0,则a、b至少有一 个数为0. 类比得猜想：对向量a、b，若a· b=0，则a、 b中至少有一个向量为0. ②在平面内 ,垂直于同一条直线的两直线 互相平行. 类比得猜想：在空间中 ,垂直于同一个平 面的两个平面互相平行. ③在平面内过直线外一点 ,有且只有一条 直线与已知直线垂直.
2 2 2 1
2 1
又x1<x2,则x2－x1>0.
2011届高考数学文科类单元专项复习5
解析：∵ B,∴B为非空集合，即a>0,
由x2-2x-3<0,得-1<x<3；由|x|<a，得-a<x<a.
∵B A,∴-a≥-1,
a
a 3
-即1 a≤1,∴0<a≤1.
答案：（0,1］
题型三 集合的运算 例3.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值； (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键 即文字语言、符号语言、图形语言的互化. 3. “数形结合”思想方法 对集合中较抽象或较复杂的问题，首先认清集合特征，准确地转化为 图形关系，借助图形能够使问题得到直观、具体的解决， 因此特别要 注重数形结合思想方法的运用.如：数轴、几何图形、Venn图等. 4. “分类讨论”思想方法 对集合中含有字母问题的求解，要依据数学对象本质属性的相同点和 不同点确定划分标准，然后对每类分别进行求解并综合得出答案的一 种数学思想方法.在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应该是科 学的、合理的，同时做到不重、不漏、最简.
解由A=B可知，
mdmq,mdm2q, 1. m2dm2q2 .m2dmq.
解（1）得q=1;解（2）得q=1,或
q
-
1 2
又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍
去，所以 q - 1
2
学后反思本题考查集合元素的基本特征——确定性、互异性，切入点是
分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，切入点是分类讨论思想
2011届高考数学文科类单元专项复习5
2011届高考数学第一轮总复习知识点课件7
错解 f 2k 1 f 2k
1 1 1 错解分析 ∵ f n 1 ... 中共有n项相加, 2 3 n k k 1 ∴ f 2 中应有 2k 项相加， f 2 中应有 2 k 1项相加,
∴ f 2k 1 f 2k 中应有 2k 1 2k 项. 正解
结论也正确.
那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.
典例分析
题型一 与自然数n有关的等式的证明 【例1】用数学归纳法证明：
1 1 1 1 n ... 2 4 4 6 68 2n 2n 2 4 n 1
分析 用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过 程的完整性和规范性. 证明 （1）当n=1时，左边=12×4=18,右边=18,等式成立.
由归纳假设， a4 k 是3的倍数，故可知 bk 1 是3的倍数.
∴当n=k+1时命题成立………………………………………….12′
综合（1）（2）知，对任意n∈N*，数列 bn 各项都是3的倍 数. ……………………………………………………………14′
学后反思 在证n=k+1时，对 a4 k 1 应用递推关系式裂项，裂
举一反三
2. 用数学归纳法证明：1 3 x n (n∈N*)能被x+2整除.
证明： （1）当n=1时， 1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除. （2）假设当n=k时， 1 3 x 能被x+2整除,
k
则可设 1 3 x = x 23 x f x (f(x)为k-1次多项式).
综上可得，等式对于任意n∈N*都成立. 学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当 n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就 不是数学归纳法证明.
2011高考数学总复习-高考生必读必会
2011高考数学总复习-高考生必读必会2011高考数学总复习（基础知识）-高考生必读必会23复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0不等式的解为 x ∈∅.45④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a aa a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-.⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）. 当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞).当a<0时，解集为))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>12aa ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a.6当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<12a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a .-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a -.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值.7解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x令sinx=t, t ∈[-1,1].则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a 即a>2时，t=1，2533max=++-=a a y解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）.(2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max=++-=a a y,解方程为:34-=a 或a=4（舍）. (3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max=-a 2+a+5=2 即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而 0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S nn--=1)1(1， 从而8.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n nS S S .∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴ 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S SS . 例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴555222==+==a a a b a c e .（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a . 解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a90)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--a a，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a a a a 即a<1时，解为)12,2(aa--. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a aaa 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121a a a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(aa --.由（3）a>1时，aa --12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a a aa ⇒ a 不存在.②⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ aa. 综上:10a=1时，x ∈(2,+∞).a<1时，x ∈)12,2(a a-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(aa-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa . 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[， 3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
2011届高三数学一轮复习精品课件：一元二次不等式及其解法
课堂互动讲练
例1 解下列不等式： 解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3<0； ＋ ； (2)－3x2－2x＋8≤0； － ＋ ； (3)8x－1≥16x2. － 【思路点拨】 首先将二次项系 思路点拨】 数转化为正数， 数转化为正数，再看二次三项式能否 因式分解，若能， 因式分解，若能，则可得方程的两 大于号取两边，小于号取中间， 根，大于号取两边，小于号取中间， 若不能，则再看“”，利用求根公式 若不能，则再看 ， 求解方程的根，而后写出解集． 求解方程的根，而后写出解集．
课堂互动讲练
法一： 【解】 法一： f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函 ＝ － － 数图象的对称轴为x＝ ， 数图象的对称轴为 ＝a， (1)当a∈(－∞，－ 时，结合图 当 ∈ － ，－1)时 ，－ 象知， ，＋∞)上单调递增 象知，f(x)在[－1，＋ 上单调递增， 在 － ，＋ 上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3， － ＝ ＋ ， 要使f(x)≥a恒成立，只需 恒成立， 要使 恒成立 f(x)min≥a， ， 即2a＋3≥a，解得a≥－3. ＋ ，解得 － 又a<－1，∴－3≤a<－1. － ， －
第2课时 一元二次不等式及 其解法
基础知识梳理
1．一元二次不等式与相应的二次 ． 函数及一元二次方程的关系如下表： 函数及一元二次方程的关系如下表：
基础知识梳理
判别式 ＝b2－4ac ＝ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ＝ ＋ (a>0)的图象 的图象 >0 ＝0 ＝ <0
基础知识梳理
判别式 ＝b2－4ac ＝ >0 ＝0 ＝ <0 没有实 数根 {x|x∈R} ∈
课堂互动讲练
考点二 含有参数的一元二次不等式的解法
2011届高考数学总复习测评课件7
. a=0,b=0
(3)相等复数:a+bi=c+di a=c,b=d(a,b,c,d∈R).
4. 共轭复数 把实部 相等, 虚部互为相反数 的两个复数叫做互为共轭复数,复 数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作 ,即 = a-bi ( a,b∈R).
5. 复数的模 向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作 |z| 或 |a+bi| ,即 |z||ab| i a2b2. 6. 复平面内两点间距离公式 两个复数的 差的模 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则 d=|Z2Z1|.
学后反思 (1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac＜
0时，在复数集上有两个共轭虚根
x1,2-b
4a,根c-b与2i系数的关系在复数 2a
集上仍成立.
(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.
举一反三
3. 已知关于x的方程x2-(2+i)x-a+3i=0有一实根，且a为实数.求 a的值及方程的这个实根.
x y i2 7 2 4 i,即 x 2 y 2 2 x y i 7 2 4 i
2 x2-xy 2y 27 4解 , 得 x y 3 4,或 , x y --3 4., 故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.
题型三 复数集上的代数方程 【例3】(14分)已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根（b,c∈R）. (1)求b,c的值; (2)试证明1-i也是方程的根. 分析 把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.
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分析 将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用
基本不等式证明.
1 1 1 a b c
1 1 1 证明 = (a+b+c)+ b (a+b+c)+ (a+b+c) a c
b c a c b a =3+ + a + b + + + a b c c b a c a c b = 3 ( )( )( ) a b a c b c ≥3+2+2+2=9.
当且仅当 x
64 x
,即x=8时取等号.
≨每人最少应交
3840 =80(元). 48
48 4 (2)每批去x名同学,共需去 x 批.总开支又分为:
48 4 40 ①买卡所需费用240x;②包车所需费用 x
≨ y 240 x ≨
32 32 y 240 x 240 2 x 1920 2 x x
第八章 不等式
知识体系
第四节 基本不等式及其应用
基础梳理
1. 基本不等式
ab ab 2
பைடு நூலகம்
(1)基本不等式成立的条件:
a≥0,b≥0 .
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
2. 几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ 2ab (a,b∈R). b a (2) ≥ 2 (a,b同号). a b (3)ab≤ ( a b ) 2(a,b∈R).
正解 由x+y=1知x2+y2+2xy=1,x2+y2=1-2xy,从而有
1 1 1 z=（x )(y )= xy (x2y2+x2+y2+1) x y 2 1 1 （1 xy) = (2+x2y2-2xy)= , xy xy 1 1 1 令xy=t(0<t≤ ,t= 4 时，x=y= ), 2 4 2 1 (1 t)2 则z= = t +t-2. t
见的错解为：
≧x>0,y>0,≨
误的原因是没有考虑等号成立的条件
8 2 8 2 16 .此法错 ( )(x y) 2 2 xy 16 x y x y xy
和x=y同时成立是不
可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一
条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现
a4
8 2 8 2 8 2 8y 2x ( ) ( )( x y ) 10 (3)由 ,再用基本不 x y x y x y x y
等式求最值.
解 (1)≧0<x<2,≨0<3x<6,8-3x>2>0,
3x (8 3x) 8 4 ≨ , 2 4 2 当且仅当3x=8-3x,即 x 3 时取等号, 4 ≨当 x 时,y 3x(8 - 3x) 的最大值是4. 3 y 3x(8 3x)
学后反思
1 1 1 本题如果改为a>0,b>0,c>0,求(a+b+c)· （ ）≥9 a b c
就比较明显.用a+b+c=1的条件（a+b+c）“隐”去，造成了思考上
的困难,因此应注意“1”的代换.构造基本不等式，使其积为定值，
并使得等号同时成立.
举一反三
1.
a 2 b2 c2 设a＞0,b＞0,c＞0,求证: a b c b c a
3 ×(a-4)=3为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求 a4
A +B(A>0,m>0),g(x)恒正或恒负)的 g(x)
最值,通常化成y=mg(x)+
形式,然后运用基本不等式来求最值. (2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是 解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求 最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常
2 2 令f(t)= +t,不难证明f(t)= +t在(0，14]上单调递减, t t 2 1 ≨当t= 时，f(t)= +t取最小值334. t 4 1 1 1 （x )(y ) 即当x=y= 时，z= x y 取最小值254. 2
≧
y1 y2 ,≨当x=6时,y有最小值 ymin 2720
2720 56.67 (元). ≨每人最少应交 48
易错警示
1 1 【例】已知两正数x,y满足x+y=1,求 z (x )(y )的最小值. x y 1 1 错解 方法一：因为对任意a>0恒有a+1a≥2,从而 z (x )(y )≥4, x y 所以z的最小值为4.
学后反思 (1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有 时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数 或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积 为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第
(2)小题中 现
3 3 +a虽不是定值,但变形为 +(a-4)+4即可发 a4 a4
解 （1）设DQ=y则 x 4xy 200 ,
2
200 x 2 ,……….3′ y 4x
S 4200 x 2 210 4 xy 80 4 38000 4000 x 2
1 2 y 2
(2)
400000 0 x 10 2 ……………………..7′ 2 x 400000 S 38000 4000 x 2 x2
2
3. 利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有 最小值 是 2 p .(简记:积定和最小) (２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y 时, xy有 最大
p2 是 .(简记:和定积最大) 4
典例分析
题型一 证明不等式 【例1】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
方法二：≧x+y=1,≨x2+y2+2xy=1, ≨x2+y2=1-2xy, 1 1 1 2 2 2 2 z (x )(y )= ≨ (x y +x +y +1) x y xy 2 2 . 2 x y 2xy 2 2 ( xy) 2 2 xy 2 2( 2 1) xy xy xy 1 1 错解分析 方法一中z=4成立的条件是 x 且 y ，即x=1且 x y 2 y=1，与x+y=1相矛盾；方法二中z=2（ 2-1）的条件是 =xy， xy 1 即xy=2,这与0<xy≤ 相矛盾. 4
3800 2 16 108 118000
…………………………10′
当且仅当 4000 x 2
400000 ,即x=10时取等号. x2
即计划至少要投入11.8（万元）才能建造这个休闲小区.14′.
学后反思 用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某 个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数， 再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足 前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最 值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个 关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面求条 件最值的方法来求最值.
48 4 40 (0<x≤48,x∈N*), x
32 当且仅当 x x
,即x≈5.66时取等号.
32 y1 240 5 2736 5
又x∈N*,当x1=5时,
32 y 240 6 2720 当x2=6时, 2 6
题型二
求最值
【例2】(1)设0<x<2,求函数 y 3x(8 3x) 的最大值; 3 (2)求 a的取值范围; 8 2 a4 (3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求 x y 的最小值.
分析 (1)由0<x<2可知3x>0,8-3x>0.
2 由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得 3x(8 3x) [3x (8 3x)] 16 2 3 (a 4) 4 ,再讨论a-4的正负. (2)原式变为
举一反三
3. 某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元.其使用规定:不记 名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班48名同学,老师 打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每 次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车 费均为40元. (1)若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱? (2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱?
1
1 ,即x=1时，取等号. 2 x 2 x 由（1）、(2)可知， f x 1 x 的值域为 x2 （-≦,0\]∪\[4,+≦）.
所以f(x)≤0,当且仅当
题型三
实际应用
【例3】 (14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境， 计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个 2 相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m 的十字型区域.现计 2 划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/ m ,在四个相同 的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ m 2， 再在四个空角上铺草坪，造价为80元/ m 2 . (1)设总造价为S元，AD的边长为x m,试建立S关于x的函数关系 式； （2）计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区? 分析 这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费 用分成三个部分：（1）建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花 岗岩地坪费用；（3）草坪费.