九年级数学上册第22章22.2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习新版华东师大版69

*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积
1．［2016·黄冈］若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )
A ．－4
B ．3
C ．－43 D.43
2．［2016·金华］一元二次方程x 2
－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则下列结论正确的
是
( )
A ．x 1＝－1，x 2＝2
B ．x 1＝1，x 2＝－2
C ．x 1＋x 2＝3
D ．x 1x 2＝2
知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值
3．若α，β是一元二次方程x 2＋2x －6＝0的两根，则α2＋β2＝( )
A ．－6
B ．32
C ．16
D ．40
4．［2017·盐城］若方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1(1＋x 2)＋x 2的值为________．
知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根
5．［2017·新疆］已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是( )
A ．－3
B ．－2
C ．3
D ．6
6．［2016·潍坊］关于x 的一元二次方程3x 2＋mx －8＝0有一个根是23
，求该一元二次方程的另一个根及m 的值．
7．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2
＝x 1x 2，则m 的值是( )
A ．－2或3
B ．3
C ．－2
D ．－3或2
8．［教材练习第3(1)题变式］［2017·绵阳］关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是
－2和1，则n m 的值为( )
A ．－8
B ．8
C ．16
D ．－16
9．［2017·广州］定义运算：a ★b ＝a (1－b )．若a ，b 是方程x 2－x ＋14
m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．与m 有关
10．［2017·荆门］已知方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 12＋x 22＝
________．
11．［2017·成都］已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，
且x 12－x 22＝10，则a ＝________．
12．［2017·十堰］已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
13．若a，b是方程x2＋x－2018＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b＝( )
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
14．已知关于x的方程x2＋(m－3)x－m(2m－3)＝0.
(1)证明：无论m为何值，方程都有两个实数根．
(2)是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．
1．D [解析] ∵方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，
∴x 1＋x 2＝－b a ＝43
. 故选D. 2．C
3．C [解析] 根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，
所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.
4．5 [解析] 根据题意得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝x 1＋x 2＋x 1x 2＝4＋1＝5.故答案为5.
5．A [解析] 设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t ＝－1，解得t ＝－3，即方程的另一个根是－3.故选A.
6．解：设方程的另一个根为t .
依题意得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23
m －8＝0，解得m ＝10. 又23t ＝－83
，所以t ＝－4. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.
7．[全品导学号：15572076]C [解析] ∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2，
∴m ＋6＝m 2，
解得m 1＝3，m 2＝－2.
∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋6)2－4m 2＝－3m 2＋12m ＋36＝0，
解得m 1＝6，m 2＝－2，
∴m ＝－2.
故选C.
8．C [解析] ∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，
∴－m 2＝－1，n 2
＝－2， ∴m ＝2，n ＝－4，
∴n m ＝(－4)2＝16.
故选C.
9． A [解析] ∵a ，b 是方程x 2－x ＋14
m ＝0(m ＜0)的两根， ∴a ＋b ＝1，ab ＝14
m . ∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab －ab ＝0.
故选A.
10．23 [解析] ∵方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，
∴x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝1，
∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－5)2－2×1＝23.
故答案为23.
11. 214
[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ， 由x 12－x 22
＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.
∵x 1＋x 2＝5，
∴x 1－x 2＝2，
∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，
∴a ＝214
. 故答案为214
. 12．[解析] (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝－4k ＋5≥0，解之即可得出实数k 的取值范围；
(2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2－1，将其代入x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)
2－2x 1·x 2＝16＋x 1x 2中，解之即可得出k 的值．
解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，
∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，
解得k ≤54
， ∴实数k 的取值范围为k ≤54
. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，
∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.
∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，
∴(1－2k )2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，
即k 2－4k －12＝0，
解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．
∴实数k 的值为－2.
13．B [解析] ∵a 是方程x 2＋x －2018＝0的根，
∴a 2＋a －2018＝0，
∴a 2＝－a ＋2018，
∴a 2＋2a ＋b ＝－a ＋2018＋2a ＋b ＝2018＋a ＋b .
∵a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，
∴a ＋b ＝－1，
∴a 2＋2a ＋b ＝2018－1＝2017.
故选B.
14．[解析] (1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值．
解：(1)证明：∵关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0的判别式Δ＝(m －3)2＋4m (2m
－3)＝9(m －1)2≥0，
∴无论m 为何值，方程都有两个实数根．
(2)设方程的两个实数根为x 1，x 2，
则x 1＋x 2＝－(m －3)，x 1x 2＝－m (2m －3)，
令x 12＋x 22＝26，得(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －3)2
＋2m (2m －3)＝26，
整理，得5m 2－12m －17＝0，
解这个方程，得m ＝175
或m ＝－1. 所以存在正数m ＝175
，使方程的两个实数根的平方和等于26.
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……。