变化率问题课件

题吗?
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合
图形可知：
h
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
虽 但然 是在运动409员 t并 没4695有这静段止时，间所里以平说均，速用度平为均0
速度并不能精确地描述运动员的运动状态
o
t
一、平均变化率的概念
如果上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，
那么问题中的变化率可用式子：
f x2 f x1 表示，我们把这个式子称为：
x2 x1
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。
习惯上将x2-x1表示为: x 即x x2 x1
习惯上将y2-y1表示为: y 即y y2 y1
f
所以，平均变化率可以表示为：
问题2 高台跳水
人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间 t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里 , v h0.5 h0 4.05m / s;
导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变 化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比
赛的瞬间.已知起跳 1s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m可用函数
ht 4.9t2 6.5t 10表
题型二：求割线的斜率
例2：经过曲线f(x)=x2+1上A,B两点作割线， 已知xA=1, xB=2, 求割线AB的斜率.
题型三：平均变化率的应用
例3：试比较正弦函数y=sinx在x=0和
x
2
附近的平均变化率哪一个大？
类似地,当空气容量从1L增加1到02L时, 气球半径增加了
r2 r1 0.16dm, 气球的平均膨胀率为 r2 r1 0.16dm / L.
2 1 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 :当空气的容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率
是多少? r(V2 ) r(V1) V2 V1
0.5 0
在1 t 2这段时间里 , v h2 h1 8.2 m / s.
2 1
在t1
t
t2这段时间里, v
ht2
t2
ht1
t1
探究: 计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度, 49
并思考下面的问题 :
1运动员在这段时间里是 静止的吗?
2你认为用平均速 度描述运动员运动状态有什么问
直线AB的斜率
3.函数的平均变化率的几何意义和物理意义
几何意义：函数y=f(x)图象上割线AB的斜率。
物理意义：函数s=s(t)在时间段﹝t1,t2﹞上的平均速度，即
v st2 st1
t2 t1
二、典型例题 题型一：求函数的平均变化率
例1：求函数y=2x2+1在x0到x0+△x之间的平 均变化率。并计算当x0=1，△x=2时平均变化 率的值。
则平均变化率又可表示为：
f x2 f x1 f ( x1 x) f ( x1 )
x2 x1
x
y
fx2 f x 1
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
思考 观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
变化率
y f x2 f x1
x
x2 x1
O
x1
x2
x 表示什么?
图1.1 1
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象， 在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微 积分，微积分的创立以自然科学Байду номын сангаас四类问题的处理直 接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意 时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
半径的增加量越来越小
半径的增加量
即 随着气球体积的增大，比值体积的增加量越来越小
我们知道, 气球的体积V 单位: L与半径r(单位: dm)之间
的函数关系是 V r 4 r 3 ,
3
如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
rV 3
3V
.
4
当空气容积V从0增加到1L时, 气球半径增加了
r1 r0 0.62cm, 气球的平均膨胀率为 r1 r0 0.62dm / L.
示.如何求他在某时刻的 速 度 ? 他 距水面的最大 高度是多少?
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
很多人都吹过气球.回忆一下吹气球的过程, 可以发现, 随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来 越慢.从数学的角度, 如何描述这种现象呢 ?
“气球半径增加得越来越慢”意思就是说
随着气球体积的增大，当气球体积增加量相同时，相应
x2
f
x1
y
x2 x1
x
注意: 1. x 是相对于x1的一个“增量”，它可 以为正，也可以为负，但不能为等于0. 而 y
是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以
等于0。特别是当函数为常数函数时，y 0
2.如果把 x看作是相对于x1的一个“增量”，
则x2可以用 x1 x 来代替。