高考数学(文科)复习第十二单元 第57讲 不等式的性质及绝对值不等式
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讨论法”去掉绝对值符号化为若干个不等式组问题求解,其一般步骤为:①求零点;②划分区 间,去绝对值符号;③分别解去掉绝对值符号之后的不等式(组);④取每个结果的并集.
(2)用绝对值不等式的几何意义求形如|x-a1|±|x-a2|≥c(≤c)的不等式的解集.
课堂考点探究
变式 [2018·全国卷Ⅰ]已知
2,������ ≥ 1. (2)当 x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1) 时|ax-1|<1 成立. 若 a≤0,则当 x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若 a>0,|ax-1|<1 的解集为 x 0<x<���2��� ,所以���2���≥1,故 0<a≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].
∴不等式的解集为{x|x>4 或 x<-2}.
(2)证明:f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|≤2|x3y-1|+3|2y+1|<24+36=1.
课堂考点探究
[总结反思] (1)对绝对值三角不等式定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解, 特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到; (2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|经常用于证明含绝对值的不等式; (3)对于求 y=|x-a|+|x-b|或 y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,利用绝对值三角不等式更简捷、 方便.
-3,������ ≥ 1.
由
-2 -2
≤ <
������ < 1, -2������-1 <
0,得-12<x<12,
从而-12<a<12,-12<b<12,所以|a+b|≤|a|+|b|<12+12=1. (2)(2|a-b|)2-|1-4ab|2=-(4a2-1)(4b2-1),
由(1)得 a2<14,b2<14,所以-(4a2-1)(4b2-1)<0,
课前双基巩固
(6)如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N,n≥2).
2.基本不等式
(1)如果 a,b∈R,那么 a2+b2 ≥2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
(2)如果 a>0,b>0,那么������+2������ ≥ ������������ ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
故 2|a-b|<|1-4ab|.
课堂考点探究
[总结反思] 含有绝对值的不等式的证明方法: (1)去掉绝对值符号(|x|≤a(a>0)⇔-a≤x≤a,|x|>a(a>0)⇔x>a 或 x<-a)再证明; (2)利用绝对值不等式的性质(||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)来证明.
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课堂考点探究
变式 [2018·商洛模拟]已知函数 f(x)=|x-3|-5,g(x)=|x+2|-2. (1)求不等式 f(x)≤2 的解集; (2)若不等式 f(x)-g(x)≥m-3 有,
∴-7≤x-3≤7,解得-4≤x≤10,
∴f(x)≤2 的解集为[-4,10].
(2)由|x-a|≥f(x)恒成立,得|x-3|+|x-a|≥3 恒成
立.∵|x-3|+|x-a|≥|x-3-(x-a)|=|a-3|,当且仅当 (x-3)(x-a)≤0 时取等号,∴|a-3|≥3,
解得 a≥6 或 a≤0,故 a 的取值范围为 a≤0 或 a≥6.
教师备用例题
例 2 [配例 2 使用][2018·全国卷Ⅱ]
(3)如果 a>0,b>0,那么������+2������称为 a,b 的 算术 平均, ������������称为 a,b 的 几何 平均.
(4)如果 a>0,b>0,c>0,那么������+������+������ ≥3 ������������������
3
,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
(2)如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
课堂考点探究
考点一 绝对值三角不等式的应用
例 1 [2018·重庆一模]已知函数 f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式 f(x)>x+5; (2)若|x-3y-1|<14,|2y+1|<16,求证:f(x)<1.
课堂考点探究
考点三 绝对值不等式的证明与应用
例 3 [2018·丹东模拟]设函数 f(x)=|x-1|-|x+2|,若-2<f(a)<0,-2<f(b)<0. (1)证明:|a+b|<1; (2)比较 2|a-b|与|1-4ab|的大小.
[思路点拨] (1)由-2<f(a)<0,-2<f(b)<0,解 绝对值不等式可得 a,b 的范围,利用 |a+b|≤|a|+|b|即可得证;(2)由 (2|a-b|)2-|1-4ab|2=-(4a2-1)(4b2-1),结合 a,b 的取值范围可得大小关系.
变式 [2018·凉山州二诊]已知函数 f(x)=|2x-3|,x∈R. (1)解不等式 f(x)<|x|+2; (2)若|x-y-1|≤12,|2y-1|≤1,求证:f(x)≤2.
解:(1)当 x<0 时,原不等式化为-2x+3<-x+2,此时无解;
当 0≤x≤32时,原不等式化为-2x+3<x+2,得13<x≤32;
教师备用例题
例 1 [配例 1 使用]已知函数 f(x)=m-|x-3|,不等式 f(x)>2 的解集为 (2,4). (1)求实数 m 的值; (2)若关于 x 的不等式|x-a|≥f(x)恒成 立,求实数 a 的取值范围.
解:(1)由已知得|x-3|<m-2,得 5-m<x<1+m,则
5-m=2 且 1+m=4,∴m=3.
(5)对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,
课前双基巩固
即
a1+a2+⋯+������������ ≥������
������
a1a2…������������
,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.
3.绝对值不等式
(1)如果 a,b 是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立.
教师备用例题
例 3 [配例 3 使用]设函数
f(x)=
������
+
1 ������
+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.
解:(1)证明:由
a>0,得
f(x)=
������
+
1 ������
+|x-a|≥
������
+
1 ������
-(������-������)
第57讲 UNIT 12
不等式的性质及绝 对值不等式
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
课前双基巩固 知识聚焦
1.不等式的性质
(1)如果 a>b,那么 b<a ;如果 b<a,那么 a>b .即 a>b ⇔ b<a. (2)如果 a>b,b>c,那么 a>c ,即 a>b,b>c ⇒ a>c . (3)如果 a>b,那么 a+c> b+c ,即 a>b ⇒ a+c> b+c . 推论:如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d ,即 a>b,c>d ⇒ a+c>b+d . (4)如果 a>b,c>0,那么 ac> bc ;如果 a>b,c<0,那么 ac< bc . (5)如果 a>b>0,那么 an > bn(n∈N,n≥2).
=���1��� +a≥2,当且仅当
a=1
时取等号,
所以 f(x)≥2.
(2)f(3)=
3
+
1 ������
+|3-a|,当
a>3
时,f(3)=a+���1��� ,
由 f(3)<5 得 3<a<5+2 21; 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+���1���,
由 f(3)<5 得1+2 5<a≤3.
f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立,求 a 的取值范围.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即
-2,������ ≤ -1, f(x)= 2������,-1 < ������ < 1,故不等式 f(x)>1 的解集为 x x>12 .
当 x>32时,原不等式化为 2x-3<x+2,得32<x<5.
综上,不等式的解集为
1 3
,5
.
(2)证明:∵|x-y-1|≤12,∴|2x-2y-2|≤1,∴
f(x)=|2x-3|=|(2x-2y-2)+(2y-1)|≤|2x-2y-2|+|2y-1|≤2,即
f(x)≤2.
教师备用例题
【备选理由】这里选用的三个例题,涉及绝对值不等式的解集、由解集求参数、 不等式的证明以及不等式恒成立等问题,希望通过练习提高学生的解题能力.
[思路点拨] (1)去掉绝对值符号, 求出不等式的解集即可;(2)利 用绝对值三角不等式证明即可.
课堂考点探究
例 1 [2018·重庆一模]已知函数 f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式 f(x)>x+5; (2)若|x-3y-1|<14,|2y+1|<16,求证:f(x)<1.
解:(1)f(x)>x+5⇒|2x+1|>x+5⇒2x+1>x+5 或 2x+1<-x-5,
课堂考点探究
例 3 [2018·丹东模拟]设函数 f(x)=|x-1|-|x+2|,若-2<f(a)<0,-2<f(b)<0. (1)证明:|a+b|<1; (2)比较 2|a-b|与|1-4ab|的大小.
3,������ < -2, 解:(1)证明:f(x)= -2������-1,-2 ≤ ������ < 1,
解:(1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得 x>-5,所以
x≥4; 当-12≤x<4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得 x>1,所以 1<x<4; 当 x<-12时,f(x)=-2x-1-(4-x)=-x-5>0,得 x<-5,所以 x<-5. 综上,原不等式的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).
(2)令 F(x)=f(x)+3|x-4|,则
F(x)=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-(2x-8)|=9,要使
f(x)+3|x-4|≥m 对一切实数 x 恒成立,只需 m≤9,故 m 的
取值范围为(-∞,9].
课堂考点探究
[总结反思] (1)对形如|x+a|±|x-b|≥c(≤c)这种含有两个绝对值的不等式问题,常用“零点分段
(2)∵f(x)-g(x)≥m-3 有解,
∴|x-3|-|x+2|≥m 有解. ∵||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=5, ∴-5≤|x-3|-|x+2|≤5, ∴m≤5,即 m 的取值范围是(-∞,5].
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考点二 绝对值不等式的解法
例 2 [2018·安徽定远模拟]设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x-4|≥m 对一切实数 x 恒 成立,求 m 的取值范围.
[思路点拨] (1)对 x 分情况讨论,当 x≥4 时,当-12≤x<4 时,当 x<-12时,分别解不等式, 再求并集即可; (2)运用绝对值三角不等式,求得 F(x)=f(x)+3|x-4|的最小值,即可得到 m 的取值范围.
课堂考点探究
例 2 [2018·安徽定远模拟]设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x-4|≥m 对一切实数 x 恒 成立,求 m 的取值范围.
设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)≤1,求 a 的取值范围.
2������ + 4,������ ≤ -1, 解:(1)当 a=1 时,f(x)= 2,-1 < ������ ≤ 2,
-2������ + 6,������ > 2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1 等价于|x+a|+|x-2|≥4. 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当 x=2 时等号成立,故 f(x)≤1 等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4 可得 a≤-6 或 a≥2, 所以 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
(2)用绝对值不等式的几何意义求形如|x-a1|±|x-a2|≥c(≤c)的不等式的解集.
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变式 [2018·全国卷Ⅰ]已知
2,������ ≥ 1. (2)当 x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1) 时|ax-1|<1 成立. 若 a≤0,则当 x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若 a>0,|ax-1|<1 的解集为 x 0<x<���2��� ,所以���2���≥1,故 0<a≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].
∴不等式的解集为{x|x>4 或 x<-2}.
(2)证明:f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|≤2|x3y-1|+3|2y+1|<24+36=1.
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[总结反思] (1)对绝对值三角不等式定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解, 特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到; (2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|经常用于证明含绝对值的不等式; (3)对于求 y=|x-a|+|x-b|或 y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,利用绝对值三角不等式更简捷、 方便.
-3,������ ≥ 1.
由
-2 -2
≤ <
������ < 1, -2������-1 <
0,得-12<x<12,
从而-12<a<12,-12<b<12,所以|a+b|≤|a|+|b|<12+12=1. (2)(2|a-b|)2-|1-4ab|2=-(4a2-1)(4b2-1),
由(1)得 a2<14,b2<14,所以-(4a2-1)(4b2-1)<0,
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(6)如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N,n≥2).
2.基本不等式
(1)如果 a,b∈R,那么 a2+b2 ≥2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
(2)如果 a>0,b>0,那么������+2������ ≥ ������������ ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
故 2|a-b|<|1-4ab|.
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[总结反思] 含有绝对值的不等式的证明方法: (1)去掉绝对值符号(|x|≤a(a>0)⇔-a≤x≤a,|x|>a(a>0)⇔x>a 或 x<-a)再证明; (2)利用绝对值不等式的性质(||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)来证明.
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变式 [2018·商洛模拟]已知函数 f(x)=|x-3|-5,g(x)=|x+2|-2. (1)求不等式 f(x)≤2 的解集; (2)若不等式 f(x)-g(x)≥m-3 有,
∴-7≤x-3≤7,解得-4≤x≤10,
∴f(x)≤2 的解集为[-4,10].
(2)由|x-a|≥f(x)恒成立,得|x-3|+|x-a|≥3 恒成
立.∵|x-3|+|x-a|≥|x-3-(x-a)|=|a-3|,当且仅当 (x-3)(x-a)≤0 时取等号,∴|a-3|≥3,
解得 a≥6 或 a≤0,故 a 的取值范围为 a≤0 或 a≥6.
教师备用例题
例 2 [配例 2 使用][2018·全国卷Ⅱ]
(3)如果 a>0,b>0,那么������+2������称为 a,b 的 算术 平均, ������������称为 a,b 的 几何 平均.
(4)如果 a>0,b>0,c>0,那么������+������+������ ≥3 ������������������
3
,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
(2)如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
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考点一 绝对值三角不等式的应用
例 1 [2018·重庆一模]已知函数 f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式 f(x)>x+5; (2)若|x-3y-1|<14,|2y+1|<16,求证:f(x)<1.
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考点三 绝对值不等式的证明与应用
例 3 [2018·丹东模拟]设函数 f(x)=|x-1|-|x+2|,若-2<f(a)<0,-2<f(b)<0. (1)证明:|a+b|<1; (2)比较 2|a-b|与|1-4ab|的大小.
[思路点拨] (1)由-2<f(a)<0,-2<f(b)<0,解 绝对值不等式可得 a,b 的范围,利用 |a+b|≤|a|+|b|即可得证;(2)由 (2|a-b|)2-|1-4ab|2=-(4a2-1)(4b2-1),结合 a,b 的取值范围可得大小关系.
变式 [2018·凉山州二诊]已知函数 f(x)=|2x-3|,x∈R. (1)解不等式 f(x)<|x|+2; (2)若|x-y-1|≤12,|2y-1|≤1,求证:f(x)≤2.
解:(1)当 x<0 时,原不等式化为-2x+3<-x+2,此时无解;
当 0≤x≤32时,原不等式化为-2x+3<x+2,得13<x≤32;
教师备用例题
例 1 [配例 1 使用]已知函数 f(x)=m-|x-3|,不等式 f(x)>2 的解集为 (2,4). (1)求实数 m 的值; (2)若关于 x 的不等式|x-a|≥f(x)恒成 立,求实数 a 的取值范围.
解:(1)由已知得|x-3|<m-2,得 5-m<x<1+m,则
5-m=2 且 1+m=4,∴m=3.
(5)对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,
课前双基巩固
即
a1+a2+⋯+������������ ≥������
������
a1a2…������������
,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.
3.绝对值不等式
(1)如果 a,b 是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立.
教师备用例题
例 3 [配例 3 使用]设函数
f(x)=
������
+
1 ������
+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.
解:(1)证明:由
a>0,得
f(x)=
������
+
1 ������
+|x-a|≥
������
+
1 ������
-(������-������)
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不等式的性质及绝 对值不等式
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1.不等式的性质
(1)如果 a>b,那么 b<a ;如果 b<a,那么 a>b .即 a>b ⇔ b<a. (2)如果 a>b,b>c,那么 a>c ,即 a>b,b>c ⇒ a>c . (3)如果 a>b,那么 a+c> b+c ,即 a>b ⇒ a+c> b+c . 推论:如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d ,即 a>b,c>d ⇒ a+c>b+d . (4)如果 a>b,c>0,那么 ac> bc ;如果 a>b,c<0,那么 ac< bc . (5)如果 a>b>0,那么 an > bn(n∈N,n≥2).
=���1��� +a≥2,当且仅当
a=1
时取等号,
所以 f(x)≥2.
(2)f(3)=
3
+
1 ������
+|3-a|,当
a>3
时,f(3)=a+���1��� ,
由 f(3)<5 得 3<a<5+2 21; 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+���1���,
由 f(3)<5 得1+2 5<a≤3.
f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立,求 a 的取值范围.
解:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即
-2,������ ≤ -1, f(x)= 2������,-1 < ������ < 1,故不等式 f(x)>1 的解集为 x x>12 .
当 x>32时,原不等式化为 2x-3<x+2,得32<x<5.
综上,不等式的解集为
1 3
,5
.
(2)证明:∵|x-y-1|≤12,∴|2x-2y-2|≤1,∴
f(x)=|2x-3|=|(2x-2y-2)+(2y-1)|≤|2x-2y-2|+|2y-1|≤2,即
f(x)≤2.
教师备用例题
【备选理由】这里选用的三个例题,涉及绝对值不等式的解集、由解集求参数、 不等式的证明以及不等式恒成立等问题,希望通过练习提高学生的解题能力.
[思路点拨] (1)去掉绝对值符号, 求出不等式的解集即可;(2)利 用绝对值三角不等式证明即可.
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例 1 [2018·重庆一模]已知函数 f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式 f(x)>x+5; (2)若|x-3y-1|<14,|2y+1|<16,求证:f(x)<1.
解:(1)f(x)>x+5⇒|2x+1|>x+5⇒2x+1>x+5 或 2x+1<-x-5,
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例 3 [2018·丹东模拟]设函数 f(x)=|x-1|-|x+2|,若-2<f(a)<0,-2<f(b)<0. (1)证明:|a+b|<1; (2)比较 2|a-b|与|1-4ab|的大小.
3,������ < -2, 解:(1)证明:f(x)= -2������-1,-2 ≤ ������ < 1,
解:(1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得 x>-5,所以
x≥4; 当-12≤x<4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得 x>1,所以 1<x<4; 当 x<-12时,f(x)=-2x-1-(4-x)=-x-5>0,得 x<-5,所以 x<-5. 综上,原不等式的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).
(2)令 F(x)=f(x)+3|x-4|,则
F(x)=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-(2x-8)|=9,要使
f(x)+3|x-4|≥m 对一切实数 x 恒成立,只需 m≤9,故 m 的
取值范围为(-∞,9].
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[总结反思] (1)对形如|x+a|±|x-b|≥c(≤c)这种含有两个绝对值的不等式问题,常用“零点分段
(2)∵f(x)-g(x)≥m-3 有解,
∴|x-3|-|x+2|≥m 有解. ∵||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=5, ∴-5≤|x-3|-|x+2|≤5, ∴m≤5,即 m 的取值范围是(-∞,5].
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考点二 绝对值不等式的解法
例 2 [2018·安徽定远模拟]设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x-4|≥m 对一切实数 x 恒 成立,求 m 的取值范围.
[思路点拨] (1)对 x 分情况讨论,当 x≥4 时,当-12≤x<4 时,当 x<-12时,分别解不等式, 再求并集即可; (2)运用绝对值三角不等式,求得 F(x)=f(x)+3|x-4|的最小值,即可得到 m 的取值范围.
课堂考点探究
例 2 [2018·安徽定远模拟]设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x-4|≥m 对一切实数 x 恒 成立,求 m 的取值范围.
设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)≤1,求 a 的取值范围.
2������ + 4,������ ≤ -1, 解:(1)当 a=1 时,f(x)= 2,-1 < ������ ≤ 2,
-2������ + 6,������ > 2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1 等价于|x+a|+|x-2|≥4. 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当 x=2 时等号成立,故 f(x)≤1 等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4 可得 a≤-6 或 a≥2, 所以 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).