南京清江花苑严老师高三10月月考数学试卷

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2020-2021学年南京师大附中高三上学期10月月考数学试卷及答案

南京师大附中2020/2021学年度第一学期十月质量检测试卷高三数学一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.记全集U=R，集合A= {x|x2≥16}，集合B= {x|2x≥2}，则(CuA)∩B=( )A.[4,+∞)B.(1，4]C.[1，4)D. (1，4)2.已知a= ，b=， c=0.5a-2，则a，b，c的大小关系为( )A.b<a< cB.a<b< cC. c<b<aD. c<a< b3.若cos(a+β)=，sin(β—)= ，a，β∈（0，）则cos（a+）=( )A. —B. —C.D. —4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A.30B.60C.90D.1205.已知= (2sin130, 2sin770), |-=1，与-的夹角为则*=( )A. 2B. 3C. 4D.%6.函数f(x) =在[π,0)∪(0，π]的图象大致为7.设F1，F2分别为双曲线C: :=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过B的直线l与0:x2+y2=a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线C的离心率为( )A. B.2 C.. D.48.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k倍值函数.若f(x)=e x+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )A. (e+1, +∞)B. (e+2, +∞)C.(e+十∞)，D.(e+,十∞)二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.9.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( )A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[,]上单调递増C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−cos3x的图象10.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好地提高服务质量，收集并整理了该超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入法人数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有( )A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是( ) A当0＜CQ＜时，S为四边形；B当CQ=时，S不为等腰梯形；C当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=D当CQ=1时，S的面积为．12. 关于函数f(x)=+ asinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.当a=1时，f(x) 在(O,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时，f(x)存在惟一极小值点C.对任意a>0，f(x)在(-π, +∞)上均存在零点D.存在a<0，f(x)在(-π, +∞)上有且只有一个零点三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.13.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数为__ _.14.已知函数f(x) = xlnx-有两个极值点，则实数a的取值范围是_ _15. 在三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB= AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为__ _.16. 己知函数f(x)= 若函数F(x)= f(x) +a恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______四、解答题：本大题共6小题，共计70分17.已知函数f(x)=alnx−b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值。

南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数学参考答案与评分建议

南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．{-101}，， 2．2 3．38 4．－1 5．2214x y -=6．6.8 7．19 8．12 9 10．1311．0<a <4 12．3 13．[－65，0] 14．(1,0)- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ．…………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．…………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ．…………………… 8分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，…………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．…………………… 12分又CD 平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．…………………… 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．…………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．…………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925．…………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．…………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．…………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．…………………… 14分 17．(本小题满分14分)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（1）小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB 长为定值，故只需要AB 最小即可．作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)．…………… 4分（2）显然，当广场所在的圆与△ABC 内切时，面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为11()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，…………… 6分由弦长公式AB =2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+，………………… 8分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（），所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++，……………… 10分又因为0d CD <≤，即0d <所以)x AB ⎡==⎣，……………… 12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．…………………… 14分18．(本小题满分16分)解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ．…………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32．…………………… 5分（2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2．……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2， ……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2 ＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14．………………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，……………… 10分解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．……………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14．……………………… 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值．………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．………………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0． ②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0．…………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．…………………………… 12分当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．…………………………… 14分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ．…………………………… 16分20．(本小题满分16分)解：（1）由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………………… 2分解得1n n a a +=．…………………………… 4分因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a．…………………… 6分（2）当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122n n n n a b a a +==+．…………………………… 8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，…… 10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………………… 12分所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-，………………… 14分故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ………………… 16分南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数学附加题参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………………… 5分 M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6或－1．所以矩阵M 的特征值为6或－1．……………………… 10分B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解：曲线C 的普通方程为221124x y +=．…………………… 2分由曲线C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB = 4分三角形P AB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．设,sin )P θθ，|4cos()2|d θπ+-，……… 6分当cos()16θπ+=-，即2,6k k θ5π=π+∈Z 时，m a x d == 8分三角形P AB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=．………………… 10分 C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)解：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++．所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥．……………………… 5分因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ++≥．因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥．所以()()2211a b ++++()21613c +≥．……………………… 10分 22．(本小题满分10分)解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 的方向分别作为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．（1）因为PC ＝(b,2，－1)，DB ＝(b ，－2,0)．易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………………… 2分所以PC ·DB ＝b 2－4＝0，从而b ＝2．所以DB ＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．……………………… 4分现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC ，n ⊥PC ，即n ·BC ＝0，n ·PC ＝0．因为BC ＝(0,2,0)，PC ＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0．取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)．……………………… 6分（2）令θ＝〈n ，DB 〉，则cos||||5DB DB θ⋅===n n 8分 sinθ，tan θ＝3．由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………………… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）因为 210122212121212121(1n n n n n n n C C C C ++++++++=++++，210122212121212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-=-++-，又因为21(1n n n a ++=+，高三10月联考数学试卷参考答案与评分建议第 11 页共 11 页所以21(1n n n a +-=-，所以2121(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-，即222187n n n a b +-=-，所以228n n a b -能被7整除．…………………… 5分（2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+，因为201111749(501)5050(1)50(1)(1)n n n nn n n n n n n nn C C C C ---==-=+-++-+-除最后一项外都是5的倍数，所以217n +用5除所得的余数是2或2-，又因为2n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9，所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5，因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2n b 不能被5整除，所以n b 不能被5整除．………………………… 10分。

数学-南京市清江花苑2013届高三数学理10月质量抽测

高三10月月考数学试卷说明：本卷考试时间120分钟，满分160分，一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．。

1．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝__________2．已知i R b a i ibia ,,(32∈+=-+为虚数单位），则b a += ． 3．在△ABC 中，sin cos A Ba b=，则∠B= ． 4.执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = .5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +2→b |＝6.函数)2||,0,0()sin(πϕωϕω<>>++=A k x A y 的图象如上，则y 的表达式是7. 已知3sin(-)45x π=，则sin 2x 的值为 8. 设数列{}n a 中，112,-1n n a a a n +==+，则通项n a = _______。

9.双曲线2214y x -=的渐进线被圆226210x y x y +--+=所截得的弦长为． 10.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为_____ ___ 11．函数+2sin [,]22y x x ππ=-在区间上的最大值为12.若函数f (x)满足(1)-()f x f x +=，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数为。

13.如图,在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=14.若关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，有5个解,则k= 二、解答题（本大题共6道题，计90分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值16.（本小题满分14分）ABDC设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.17.（本小题满分14分）多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //。

南京市数学高三上学期理数10月月考试卷D卷

南京市数学高三上学期理数 10 月月考试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）已知集合则 p+q 的值为（）A . 21 B.8 C.7 D.6 2. （2 分） “x＝3”是“x2＝9”的（） A . 充分而不必要的条件 B . 必要而不充分的条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要的条件3. （2 分）已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，且满足在[–2013,2013]上的零点个数为（）A . 808 B . 806 C . 805 D . 804，在[0,5]上有且只有 f(1)=0，则 f(x)4. （2 分） (2018 高二下·张家口期末) 若，，A.第 1 页共 11 页，则（）B. C. D.5. （2 分） (2018·大庆模拟) 已知是定义在上的奇函数，当时，.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.6. （2 分） (2017·大连模拟) 已知函数 f（x）=x2e2x+m|x|ex+1（m∈R）有四个零点，则 m 的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣e﹣ ）B . （﹣∞，e+ ）C . （﹣e﹣ ，﹣2）D . （﹣∞，﹣ ）7. （2 分）设函数的最小正周期为，且，则（）A.在B.在单调递减单调递减C.在单调递增D.在单调递增第 2 页共 11 页8. （2 分）函数 A . ( ,2] B . [2, ) C . ( ,3] D . [3, )的增区间是（）9. （2 分） (2018 高二上·杭州期中) 设，满足约束条件（）A.1B.，则的最小值是C.D.10. （2 分）若正实数 x,y ，满足 A.2 B.3 C.4 D.5，则 x+y 的最大值是（）11. （2 分） (2019 高三上·沈河月考) 已知函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（）是定义在上的图象不间断的函数，其导函数第 3 页共 11 页A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个 12. （2 分） (2018 高一上·漳平月考) 设函数给出下列四个命题：①c = 0 时，是奇函数； ②点(0 ,c)对称； ④方程至多 3 个实根.时，方程其中正确的命题个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题 (共 4 题；共 4 分)只有一个实根； ③的图象关于13. （1 分） (2018 高二下·无锡月考) 函数的定义域为________．14. （1 分） (2016 高一上·涞水期中) 函数 f（x）=3x+sinx+1（x∈R），若 f（t）=2，则 f（﹣t）的值为________．15. （1 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=a，b∈R．若=，则 a+3b 的值为________第 4 页共 11 页其中16. （1 分） (2017 高二下·淮安期末) 已知定义在[﹣2，2]上的函数 f（x）满足 f（x）+f（﹣x）=0，且，若 f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数 t 的取值范围为________．三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2020 高二上·林芝期末) 已知等差数列中，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列前项和，求的值．18. （10 分） (2016 高一上·平罗期中) 已知函数 f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当 a=﹣1 时，求函数 f（x）的最大值和最小值；（2）求实数 a 的取值范围，使 y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数． 19. （10 分）如图 1，直角△ACD 中，AD=2AC，AB 是斜边上的高，BE⊥AC，BF⊥AD，沿 AB 将△ACD 折成棱锥 A﹣BCD（图 2），且 CD⊥BC．（Ⅰ） DC⊥BE；（Ⅱ）求 BF 与平面 ACD 所成的角．20. （10 分） (2017 高二下·三台期中) 已知函数 f（x）=lnx﹣ （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：∀ x∈（1，2），不等式﹣＜恒成立．第 5 页共 11 页（a∈R）．21. （10 分） (2017 高三上·南通期末) 已知：已知函数 f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点 P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数 a；（Ⅱ）若 a=1，求 f（x）的极值；（Ⅲ）当 0＜a＜2 时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣ ，求 f（x）在该区间上的最大值．22. （10 分） (2020·华安模拟) 已知圆的极坐标方程为：.（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值.第 6 页共 11 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页共 11 页15-1、 16-1、三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、 17-2、 18-1、 18-2、第 8 页共 11 页19-1、第 9 页共 11 页20-1、第 10 页共 11 页21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2023-2024学年江苏省扬州中学高三上学期10月月考数学试题及答案

高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（）A.12B. 12-C.D. 2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞3. 已知()f x =，则()f x '=（）A.B.C.D.4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 36. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.B.C.D.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]98. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（）A. 18-B. 20-C. 88D. 90二、多选题9. 下列求解结果正确的是（）A.3⨯= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++= C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞ D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +>11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；是B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=．（1）求xy 的最大值；（2）求21x y+的最小值． 18. 已知函数()e 1exxa f x -=+奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围. 19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角C ；的的为（2）若2c =，求2a b -取值范围． 20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点；（2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC ∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm ==，正常把合页安装在家具门上时，AOC ∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=使，求OB 的长；（2）当AOC ∠为多少时，OBC △面积取得最大值？最大值是多少？ 22. 已知函数sin ()2cos xf x ax x=-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．的高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（）A.12B. 12-C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】()1sin1050sin 336030sin 302︒︒︒︒=⨯-=-=-.故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】先将集合A 和集合B 化简，再利用集合的交集运算可得答案. 【详解】210x -> ，即0212x >=，由指数函数的单调性可得，0x >，{}0A x x ∴=>，由2230x x +-<，解得31x -<<，{}31B x x ∴=-<<， {}()010,1A B x x ∴⋂=<<=.故选：B.3. 已知()f x =，则()f x '=（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【详解】()()124f x x ==+，则()()12142f x x -'=+=．故选：D4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a =时，()sin x x x f =-，()1cos 0f x x '=-≥，∴()f x 在R 上单调递增，故充分性成立，当()f x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴()cos 0x a x f '=-≥，即cos a x ≥，∴1a ≥，故必要性不成立，所以“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3ω=，再解不等式2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得到t 的范围即得解. 【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT ω=，所以2π3ω=，则2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0.5y >可得2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以π2π5π2π2π636k t k ϕ+<+<+，Z k ∈，所以13533342π42πk t k ϕϕ+-<<-+，Z k ∈，故531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s. 故选：C.6. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据α为锐角，π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式得到πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后再由7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】αQ 为锐角，ππ2ππ4,cos 66365αα⎛⎫<+<+= ⎪⎝⎭， π3sin 65α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且2ππ7cos 22cos 13625αα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ππππsin 2cos cos 2sin 3434αα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2472525=+ 故选：D ．7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<，综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<，所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（）A. 18-B. 20-C. 88D. 90【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)f x f x =--得()()()266f x f x f x ''''=--=-⎡⎤⎣⎦，()()6f x f x ''=-①，则()f x '关于直线3x =对称.另外()2(4),()(4)2f x f x f x f x ''''=--+-=②，则()f x '关于点()2,1对称. 所以()()()()()4244226f x f x f x f x ''''+=--+=--=-+()()()()()()22462628f x f x f x f x ⎡⎤''''=---+=--=---=+⎣⎦，所以()()4f x f x ''=+，所以()f x '是周期为4的周期函数.()(3)5g x f x =-+，()(3)g x f x ''=--，则(0)(3)1g f ''=-=，由②，令2x =，得()()222,21f f ''==. 所以()()121g f ''=-=-，由②，令1x =，得(1)(3)2,(1)2(3)3f f f f ''''+==-=；所以(2)(1)3g f ''=-=-，由①，令4x =，得()()421f f ''==；令5x =，得()()513f f ''==. 由②，令0x =，得(0)(4)2,(0)1f f f '''+==；令=1x -，得(1)(5)2,(1)2(5)1f f f f ''''-+=-=-=-，则(3)(0)1g f ''=-=-，()()411g f '=--=；()()()5221g f f '''=--=-=-，()()()6313g f f '''=--=-=-，以此类推， ()g x '是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320k g k ='=---+⨯+--=-∑.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()f a x f a x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()2f a x f x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()f a x f a x +=--，则()f x 关于点(),0a 对称；如()()2f a x f a x b +=--+，则()f x 关于点(),a b 对称.二、多选题9. 下列求解结果正确的是（）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++=C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 【答案】AD 【解析】【分析】对于A 选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A 选项；对于B 选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B 选项；对于C 选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C 选项；对于D 选项：分子和分母同时乘sin α,再利用同角三角函数关系化简可判断D 选项.【详解】对于A 111111126363223243243232-⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()5151121106636622=33222332332--⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以A 选项正确；对于B 选项：()()()()2222lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 252lg 2lg 5lg 210lg 2lg 510lg 5+++=+⨯+⨯+ ()()()22lg 2lg 5lg 21lg 2lg 512lg 5=+++++ ()22lg 22lg 2lg 5lg 23lg 5=+++()()2lg 2lg 2lg 5lg 2lg 52lg 5=++++ ()2lg 2lg 513=++=，所以B 选项错误；对于C 选项：因为0y =≥且2x ≥-，当2x =-时取等号，则(10x -≥，即210x x >-⎧⎨-≥⎩或2x =-，解得：1x ≥或2x =-，所以不等式(10x -≥的解集为{}[)21,-+∞ ，所以C 选项错误；对于D 选项：若sin 1cos 12αα=--，则cos 1α≠且sin 0α≠，即()()()()()221cos 1cos sin 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 2αααααααααααα-+-+===-=----，所以1cos 1sin 2αα+=，所以D 选项正确.故选：AD.10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +> 【答案】ABD 【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断A ；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B ；由正弦定理及三角形性质可判断C ；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D. 【详解】对于A 选项，由sin sin A B >，根据正弦定理得22a br r>，（r 为ABC 外接圆半径），即a b >，则A B >，故A 正确；对于B ，()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-，所以()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-，所以()tan tan tan 1tan tan tan tan 0tan tan tan A B C A B C A C B C +-=++=>，所以tan ,tan ,tan A B C 三个数有0个或2个为负数，又因,,A B C 最多一个钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即,,A B C 都是锐角，所以ABC 一定为锐角三角形，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin sin 1b A B a ===<，又b a <，则60B A <= ，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，因为πA B +<，所以0ππA B <<-<，又函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以()cos cos πcos A B B >-=-，所以cos cos 0A B +>，故D 正确；故选：ABD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误；对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xf x a b --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxx a b f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxx a b f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e =e e =e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>，当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<，当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤【答案】BCD 【解析】【分析】由条件及正弦定理得，2sin a bc A=，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．【详解】由sin sin sin A B C =及正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin a bc A=，对于A 选项：22222222cos 2cos cos sin tan 222sin a A b c a bc A A A Aa a a A+-===≠，故A 错误；对于B 选项：22111sin sin 22sin 2ABCa S bc A A a A ==⨯⨯= ，故B 正确；对于C 选项：222sin sin 2cos sin sin B Cbc b c a bc AC B c b bc bc+++=+==sin 2cos sin 2cos )bc A bc A A A A bcϕ+==+=+，其中sin ϕϕ==∴sin sin sin sin B CC B+C 正确；对于D 选项：因为2sin a bc A =，222b c bc +≥,当且仅当b c =时取等号.所以222sin cos 1022b c a AA bc +-=≥->，两边平方得：22sin cos 1sin 4AA A ≥+-，又22cos 1sin A A =-，化简得：sin (5sin 4)0A A -≤，且(0,π)A ∈，sin (0,1]A ∈,解得4sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以24sin 5sin bc A a bc bc A ==≤，即245a bc ≤成立，故D 正确.故选：BCD ．三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．【答案】(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】根据对数函数值域列不等式，从而求得m 的取值范围. 【详解】依题意，函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，所以240m ∆=-≥，解得(][),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),22,-∞-+∞U14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________．【答案】22x x -- 【解析】【分析】先根据奇函数性质求a ，然后设0x <，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以00(0)220f a =-⋅=，解得1a =.的设0x <，则0x ->，所以()22x x f x --=-，又()f x 为奇函数，所以()()22x x f x f x -=--=-，即当0x <时，()22x x f x -=-. 故答案为：22x x --15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.【答案】10或110【解析】【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2lg 1abc =，由此可求得结果. 【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 5a b c a b c a b c ++=++=，由lg lg lg b c a a b c =lg lg lg 1lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22bc a ab c a b b c a c ++=++==，2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，()()()()2222lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2lg lg 5lg 21abc ==+=，lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110abc =. 故答案为：10或110. 16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.【答案】+【解析】【分析】由正弦定理及已知可得sin A =，结合锐角三角形得π3A =、ππ62B <<，再由正弦边角关系、三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=+，即可求范围.【详解】由sin sin a bA B=，则sin sin a B b A =，故sin sin 4sin A b A A +==，所以sin A =，又ABC 为锐角三角形，则π3A =，且π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则ππ62B <<，而sin sin sin a b c A B C ==，则sin sin b A a B ==2π3sin()sin 3sin sin B b C c B B -==32=+，所以22cos 91cos 99122sin 222sin cos tan 222B B a b c B B B B +++===+，又ππ1224B <<，且ππtan tanπππ34tan tan(2ππ12341tan tan 34-=-==+，所以tan (22B ∈-，则912tan 2a b c B ++=+∈+.故答案为：+. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，再求出角B 的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=．（1）求xy 的最大值；（2）求21x y+的最小值．【答案】（1）18（2）8 【解析】【分析】（1）由基本不等式得到2x y +≥，从而求出18xy ≤；（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.小问1详解】【因为0x >，0y >，由基本不等式得2x y +≥，即1≥18xy ≤，当且仅当11,24x y ==时，等号成立，故xy 的最大值为18；【小问2详解】因为0x >，0y >，21x y +=，故()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时，等号成立，故21x y +的最小值为8. 18. 已知函数()e 1e xxa f x -=+为奇函数.（1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质()00f =求解即可.（2）首先利用根据题意得到()()2222f t t f t k ->-+，利用单调性定义得到()f x 是R 上的减函数，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】因()f x 定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a = 当1a =时，()1e 1e xx f x -=+，所以()()1e e 11e e 1x x xx f x f x -----===-++，所以1a = 【小问2详解】()()22220f t t f t k -+->可化为()()2222f t t f t k ->--，因为()f x 是奇函数，所以()()()2222f t t f t k->-+*为又由（1）知()1e 211e 1ex x xf x -==-+++，设12,x x ∈R ，且12x x <，则()()()()()211212122e e 221e 1e 1e 1e x x x x x x f x f x --=-=++++，因为12x x <，所以21e e 0x x ->，11e 0x +>，21e 0x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >故()f x 是R 上的减函数，所以（*）可化为2222t t t k -<-+.因为存在实数t ，使得2320t t k --<成立，所以4120k ∆=+>，解得13k >-.所以k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围．【答案】（1）π3（2）()2,4- 【解析】【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出π3C =，选②利用正弦定理和余弦定理求出π3C =，选③利用面积公式和余弦定理求出π3C =．（2）利用正弦定理得,a A b B ==，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．【小问1详解】若选①：2sin sin 2sin cos A B C B -=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，∴2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-= ∴2sin cos sin 0B C B -=∵()0,πB ∈，sin 0B ≠， ∴1cos 2C =，∵()0,πC ∈，∴π3C =.若选②：()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-， ∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =．若选③：()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△，则()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，由正弦定理得()2221122abc c a b c =+-，∴∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，,a A b B ==，则π23A B A A a b ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， π2cos 4sin 6A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，π16sin ,12A ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪- ⎝⎭⎝-⎪⎭， ∴()22,4a b -∈-.20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点；（2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2-，最大值为1【解析】【分析】（1）代入,a b 的值，化简()f x ，即可求得()g x ，根据()g x 单调性即可求解；（2）令sin cos t x x =+，问题转化为t ⎡∈⎣时，()()22120t b t ϕ=+--≤，要求a b +的最值，则需要a 和b 的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当1a =，0b =时， ())sin cos 2f x x x =+-2x x ⎫=+-⎪⎪⎭π2sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()132sin 22π4g x f x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()3002g =-< ，0π142g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且()g x 是一个不间断的函数， ()g x ∴在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在零点， π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()g x ∴在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点. 【小问2详解】由（1）知，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣， ∴()22sin22sin cos sin cos 11x x x x x t =⋅=+-=-，∵对于任意的x ∈R ，()0f x ≤()22120b t +--≤恒成立.令()()2212 t b tϕ=+--，则t⎡∈⎣时，()0tϕ≤恒成立()22120t b+--≤，()221t=-，解得t=或.当t=时，解得1a b+≤，取1a=，0b=成立，则()220tϕ=-≤=恒成立，∴()max1a b+=，当t=时，解得2a b+≥-，取43a=-，23b=-成立，则()()224412033t t tϕ⎛=---=-≤⎝恒成立.∴()min2a b+=-，综上，a b+的最小值为2-，a b+的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm==，正常把合页安装在家具门上时，AOC∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC∠=使，求OB的长；（2）当AOC∠为多少时，OBC△面积取得最大值？最大值是多少？.【答案】（1）BO =（2）5π6AOC ∠=，(16+cm 3 【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得AC AB ==OAB 中，由余弦定理知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠即可得解；（2）设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，利用正余弦定理换算可得28064cos x α=-，248cos 16x xβ+=，代入整理可得=BOC S 16πsin 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用α的范围即可得解. 【小问1详解】如图所示，因为28cm OC OA ==，π2AOC ∠=，易知sin ∠==OAC ，cos OAC ∠=AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理易知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠，且π3OAB OAC ∠=∠+，πππcos cos cos cos sin sin 333⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭OAB OAC OAC OAC12== 在OAB 中，由余弦定理可得：所以((222424165BO =+-⨯⨯=+，解得BO =；【小问2详解】设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，在AOC 中，由余弦定理易知，2222cos AC AO OC AO OC α=+-⋅⋅，即22248248cos x α=+-⨯⨯⨯，28064cos x α=-①，222cos 2AC OC AO ACO AC OC+-∠=⋅，即248cos 16x x β+=②，由正弦定理易知4sin sin x αβ=③，将①②③代入下列式子中：21sin 2sin cos 8sin 23πBOC BC CO x S x βββα⎛⎫⋅⋅⋅+=+=++ ⎪⎝⎭=△)8sin 8064cos a α=++-8sin 16si πn 3a a α⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则当ADC ∠时，BDC S △取最大值，最大值为(216cm +. 【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得28064cos x α=-，248cos 16x x β+=，由正弦定理得4sin sin x αβ=，三式代入面积公式BOC S ，考查了学生思维能力及运算能力. 22. 已知函数sin ()2cos x f x ax x=-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 是R 上的增函数；（2）13a ≥. 【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数()f x 的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问1详解】当1a =时，函数sin ()2cos x f x x x=-+的定义域为R ，的2222cos (2cos )sin 32cos cos ()10(2cos )(2cos )x x x x x f x x x ++++'=-=>++，所以函数()f x 是R 上的增函数.【小问2详解】函数sin ()2cos x f x ax x=-+，0x >，求导得22212cos 32111()3()(2cos )(2cos )2cos 2cos 33x f x a a a x x x x +'=-=-+=-+-++++，当13a ≥时，()0f x '≥，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，0x ∀>，()(0)0f x f >=，因此13a ≥；当103a <<时，令()sin 3,0h x x ax x =->，求导得()cos 3h x x a '=-，函数()cos 3h x x a '=-在π(0,2上单调递减，π(0)130,()302h a h a ''=->=-<，则存在0π(0,)2x ∈，使得0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 在0(0,)x 上单调递增，当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，因此当0(0,)x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，即sin ()02cos x f x ax x =-<+，不符合题意；当0a ≤时，ππ1()0222f a =-<，不符合题意，综上得13a ≥，所以a 的取值范围是13a ≥. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.。

江苏省南京市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析

南京市阶段学情调研试卷高二数学（答案在最后）2023.10注意事项：1.本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､学校､班级填在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.12-B.2C.3-D.【答案】B 【解析】【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果.【详解】因为221122⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-+，由三角函数的定义可知，点P 为角α的终边与单位圆的交点，所以：3sin 2α=.故选：B .2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4737a a -=，7926a a -=，则10S =（）A.55 B.60C.65D.75【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列方程，解方程得到1a ，d ，然后根据等差数列求和公式求和即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，4737a a -=Q ，7926a a -=，1237a d ∴+=，146a d +=，解得12a =，1d =，则11010910652S a d ⨯+==.故选：C.3.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()1,1M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（）A.12B.12-C.1D.-1【答案】A 【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断(1,1)M 在圆22(1)(2)5x y ++-=上，进而求得切线的斜率，再根据直线的垂直关系求解即可.【详解】解：因为22(11)(12)5++-=，所以，(1,1)M 在圆22(1)(2)5x y ++-=上，圆心为()1,2C -，所以，211112MC k -==---，所以，直线l 的斜率为2，因为直线l 与直线10ax y +-=垂直，所以21a -⨯=-，解得12a =.故选：A .4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.5B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离55d ==，所以弦长||5AB ===.故选：D5.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若+44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为（）A.4πB.3πC.23π D.34π【答案】D 【解析】【分析】由已知得函数f (x )的图象关于x ＝4π对称，可求得a ＝－b ，从而得出直线的斜率k 的值，由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得选项.【详解】由+44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，函数f (x )的图象关于x ＝4π对称，所以f (0)＝2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为34π.故选：D ．【点睛】本题考查函数的对称性，直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于中档题．6.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若=6,=2,=3b ac B π，则ABC 的面积为（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理得到2c ，然后根据面积公式21=sin =sin 2ABC S ac B c B 求出结果即可．【详解】由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-，6b = ，=2a c ，3B π=，22236(2)4cos 3c c c π∴=+-，212c ∴=，21sin sin 2ABC S ac B c B ∴=== 故选：B ．7.已知椭圆2222:1(0,0),x y C a b C a b +=>>的上顶点为A ，两个焦点为12,F F ，离心率为12.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点，6DE =，则ADE V 的周长是（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由离心率为12，得到a ，b ，c 之间的关系，做出简图，分析可得直线DE 的方程为：()3y x c =+，且直线DE 垂直平分2AF ，所以ADE V 的周长等于2F DE △的周长，等于4a ，将直线方程与椭圆方程2222143x y c c+=联立，利用弦长公式求出c ，a 的值.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以2a c =，b ==，如图，12122AF AF F F c ===，所以12AF F △为正三角形，又因为直线DE 过1F 且垂直于2AF ，所以1230DFF ∠=︒，直线DE 的方程为()3y x c =+，设点D 坐标()11,x y ，点E 坐标()22,x y ，将直线方程与椭圆方程2222143x y c c+=联立，得22138320x cx c +-=，显然0∆>,则12813c x x +=-，2123213c x x =-，所以48613c DE ===，解得138c =，134a =,由图，直线DE 垂直平分2AF ，所以ADE V 的周长等于2F DE △的周长，2413F DE C a ==△.故选：C.8.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30 的直线与双曲线的左，右两支分别交于点,A B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】设22AF BF m ==，利用双曲线的定义及题中几何关系将m 用a c 、表示，再利用几何关系建立关于a c 、齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过2F 作2AB F N ⊥与N ,设22AF BF m ==，则12AF m a =-，12BF a m =+，∴114AB BF AF a =-=，2AN a =，1F N m =，由题意知1230BF F ︒∠=，∴在12Rt F NF 中，212sin 30F N F F c ︒==，112cos30F N F F ︒==，∴m =，在2Rt ANF 中,22222AN NF AF +=,即())2222a c +=解得ca=双曲线C .故选：A.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，选全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且10a <，20002022S S =，则（）A.0d >B.20110a = C.40220S = D.2011n S S ≥【答案】ACD 【解析】【分析】由等差数列的性质得出200120220a a +=，即140212a d =-，由此易判断ABC ，对选项D ，可根据数列是递增数列，确定201120120,0a a <>即可判断．【详解】20002022S S =，则200120222001202220222022200022()02a a a a a S S ++++==-= ，200120220a a +=，所以20112012200120220a a a a +=+=，1240210a d +=，140212a d =-，10a <，则0d >，2011120100a a d =+≠，14022402214022201120124022()2011()2011()02a a S a a a a +==+=+=，140212a d =-，{}n a 是递增数列，201111201002a a d d =+=-<，201211201102a a d d =+=>，所以n S 中，2011S 最小，故选：ACD ．10.已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.125PF PF +=B.直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45-C.存在点P 满足1290F PF ∠=︒D.若12F PF △的面积为P的横坐标为【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A ，设(,)P x y ，计算斜率之积，判断B ，求出当P 是短轴端点时的12F PF ∠后可判断C ，由三角形面积求得P 点坐标后可判断D ．【详解】由题意5,a b c ===，1(F，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(125x y =-，所以1222221420(1552525255PA PAy y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错；(,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =，D 正确．故选：BD ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．11.直线y kx k =-过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点且与该抛物线交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A.1p = B.抛物线E 的准线方程是=1x -C.以MN 为直径的圆与定直线相切D.MON ∠的大小为定值【答案】BC 【解析】【分析】由直线MN 过定点(1,0)，得到12p=，可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B 正确；过,,M N D 点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到1112MN MM NN DD =+=，可判定C 正确；联立方程组，结合韦达定理，得到121=x x，求得1212y y x x =，可判定D 错误.【详解】对于A 中，由直线y kx k =-，可化为(1)y k x =-，可得直线MN 过定点(1,0)，因为抛物线2:2E y px =的焦点F 在直线MN 上，可得12p=，则2p =，所以A 错误；对于B 中，由抛物线2:4E y x =的准线方程为=1x -，所以B 正确；对于C 中，过,M N 点作准线的垂线，垂足分别为11,M N ，MN 的中点为D 点，过D 点作准线的垂线，垂足为1D ，可得1112MN MM NN DD =+=，故以MN 为直径的圆与准线相切，所以C 正确；对于D 中，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组24y kx ky x =-⎧⎨=⎩，整理得()2222420k x k x k-++=，0k ≠，()224242416160k k k ∆=+-=+>，可得121=x x，则1212124y y x x ==-，则4OM ON k k ⋅=-，但MON ∠的大小不是定值，设,MOx NOx αβ∠=∠=，而tan ,tan OM ON k k αβ=-=，则tan tan 4OM ON k k αβ-=⋅=-，则tan tan 4αβ=，而()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 3MON αβαβαβαβ++∠=+==--，并不是定值，所以D 错误.故选：BC.12.由倍角公式2cos22cos 1x x =-可知，cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式.一般地，存在一个()*n n ∈N 次多项式()()11001,,,n n n n n n P t a t a t a a a a --=+++⋯∈R ，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff ）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A.()3343P t t t=- B.()424881P t t t =-+C.51cos546= D.51sin544+=【答案】ABD 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化简可得3cos34cos 3cos x x x =-，根据定义即可判断A 项；根据二倍角公式可推得()424cos 8cos 8cos 1P x x x =-+，即可得出B 项；根据诱导公式以及A 的结论可知，3cos544cos 183cos18︒=︒-︒，2sin 54cos362cos 181︒=︒=︒-.平方相加，即可得出255cos 188︒+=，进而求出D 项；假设C 项成立，结合D 项，检验即可判断.【详解】对于A ：()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2cos sin x x x x =--()()222cos 1cos 2cos 1cos x x x x =---34cos 3cos x x =-.由切比雪夫多项式可知，()3cos3cos x P x =，即()33cos 4cos 3cos P x x x =-.令cos t x =，可知()3343P t t t =-，故A 正确；对于B ：()()222cos 4cos 222cos 2122cos 11x x x x =⨯=-=⨯--428cos8cos 1x x =-+.由切比雪夫多项式可知，()4cos 4cos x P x =，即()424cos 8cos 8cos 1P x x x =-+.令cos t x =，可知()424881P t t t =-+，故B 正确；对于D ：因为36218︒=⨯︒，54318︒=⨯︒，根据A 项3cos34cos 3cos x x x =-，可得3cos544cos 183cos18︒=︒-︒，2cos362cos 181︒=︒-.又cos36sin 54︒=︒，所以2222cos 36cos 54sin 54cos 541︒+︒=︒+︒=，所以()()22324cos 183cos182cos 1811︒-︒+︒-=.令cos180t =︒>，可知()()223243211t tt-+-=，展开即可得出642162050t t t -+=，所以42162050t t -+=，解方程可得2558t ±=.因为cos18cos320t =︒>︒=，所以258t =，所以251cos362cos 1812184+︒=︒-=⨯-=，所以4sin 54cos361︒=︒=，故D 正确；对于C ：假设51cos546+︒=，因为51sin 544+︒=，则22221si 11c s n o 544465⎛⎫⎛⎫+︒=+≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒+，显然不正确，故假设不正确，故C 错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：根据题意多项式的定义，结合两角和以及二倍角的余弦公式，化简可求出()()34cos ,cos P x P x ，换元即可得出()()34,P t P t .三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知137928a a a a +++=，则9S =__________.【答案】63【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得1914a a +=，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】因为137928a a a a +++=，根据等差数列的性质，可得193714a a a a +=+=，所以()199********a a S +⨯===.故答案为：63.14.已知πtan 34α⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则1cos2α+=__________.【答案】25##0.4【解析】【分析】利用两角差的正切公式求出tan α，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为πtan 34α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πtantan π4tan 3π41tan tan 4ααα-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+，解得tan 2α=-，所以222222cos 221cos212cos 1cos sin 1tan 5αααααα+=+-==++.故答案为：2515.已知P 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的交点，1F ，2F 是1C ，2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，若122π3F PF ∠=，则1211e e ⋅的取值范围为______．【答案】()0,1【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的定义把12,PF PF 用12,a a 来表示，然后在12PF F △中用余弦定理求出12,e e 的关系，然后再用函数求解.【详解】设12,PF m PF n==因为点P 在椭圆上，所以12m n a +=①又因为点P 在双曲线上，所以22m n a -=②则①+②得12m a a =+；①-②12n a a =-在12PF F △中由余弦定理得：2221222cos 3F F m n mn π=+-即()()()()222121212121422c a a a a a a a a ⎛⎫=++--+--⎪⎝⎭即2221243c a a =+，即22122234a a c c =+即2212314e e =+所以22212114131,43e e e <<=-，令211413t e <=<，则()2222212111113=4340,1t t e e e e ⎛⎫⋅-=-+∈ ⎪⎝⎭所以()12110,1e e ⋅∈.故答案：()0,1.16.已知动点P 在抛物线28y x =上，过点P 引圆22(5)4x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】设圆心为1O ，由四边形1APBO 的面积得14APAB PO =，利用1RT PAO 转化为AB =21PO 的最小值即可.【详解】设圆心为()15,0O ，半径为2，则四边形1APBO 的面积1111122222APO S AB PO S AP AO AP =⋅==⨯⋅=⨯ ，所以14APAB PO =，又在1RT PAO中，AP ==，所以AB ==设()00,P x y ，则()22222210000000(5)(5)8225124PO x y x x x x x =-+=-+=-+=-+，所以当01x =时，21PO 有最小值24，此时AB有最小值3=故答案为：3【点睛】关键点点睛：此题中求AB 有最小值关键是利用四边形1APBO 的面积将AB 的表达式求出来，再转化为21PO 的函数求最值.四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos f x x x ωω=-，0ω>.（1）若函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，求()f x 的单调增区间；（2）若函数()f x 的图象关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调，求ω的值.【答案】（1）π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈（2）13ω=【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据条件求出函数的周期和ω，即可求解单调区间.（2）根据函数的对称性和单调性建立不等式关系进行求解即可.【小问1详解】31()cos 2sin c i πos 2s n 226f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以1π2T =，则2πT =，所以2π2πT ω==，解得1ω=，所以()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.由πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，解得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，Z k ∈因此()f x 的单调增区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【小问2详解】由()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ26k ω-=，Z k ∈，所以123k ω=+，Z k ∈，由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππππ,6636x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以πππ3620ωω⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤，由10223k <+≤，Z k ∈解得0k =，此时13ω=.18.在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且()2312522a a a ⋅=+.（1）求,n d a ；（2）若0d <，求12315a a a a ++++ .【答案】（1）当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+，当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+；（2）65【解析】【分析】（1）根据基本量进行计算；（2）先判断前10项为正数，再计算即可.【小问1详解】由()2312522a a a ⋅=+，()[()]a d a a d +⋅=++21115222，()()d d ∴+⋅=+2510210411，解得4d =或1d =-，当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+，当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+；【小问2详解】由0d <，11n a n =-+，所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，所以12315a a a a ++++ =S S -+15112=-+-+=1（5104）1（1100）26522.19.已知点()()4,4,0,3A B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线:1l y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）4x =或3440x y -+=（2）23222a ≤≤或32222a -≤≤-.【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；（2）由条件求出M 所在圆，利用两圆相交求出a 的取值范围.【小问1详解】由题意得圆C 标准方程为22(3)(2)1x y -+-=，当切线的斜率存在时，设切线方程为()44y k x -=-，由1d ==，解得：34k =，当切线的斜率不存在时，切线方程为4x =，满足题意；所以切线的方程为4x =或3440x y -+=.【小问2详解】由圆心C 在直线:1l y x =-上，设(),1C a a -，设点(),M x y ，由2MB MO =，=化简得：22(1)4x y ++=，所以点M 在以()0,1D -为圆心，2为半径的圆上.又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则13CD ≤≤，即13≤≤，解得：22a ≤≤或22a -≤≤-.20.已知锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为abc 、、；且()()sin sin cos cos A B A C B C --=．（1）若角π3A =，求角B ；（2）若sin 1aC =，求222111a b c++的最大值．【答案】（1）π3（2）8132【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；（2）根据（1）的结论及正弦定理，利用三角形的内角和定理及降幂公式，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】()()sin sin cos cos A B A C B C --= ，sin()cos sin()cos A B C A C B -=-∴，即sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B -=-，cos sin cos cos sin cos A B C A C B ∴=，π3A =Q ，sin cos sin cosBC C B ∴=，tan tan B C ∴=，又ππ,0,,23B C A ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，B C ∴=，π3B ∴=.【小问2详解】由（1）得B C =，则sin sin B C =，由正弦定理得b c =，sin 1a C = ，1sin C a∴=，由正弦定理得2sin ,sin ,2c a R A C R ==则sin 2sin sin 12c a C R A c A R=⋅==，1sin A c ∴=，ππ2A B C C =--=- ,11sin sin 2A C b c ∴===,()()222222221111cos 2sin sin 2sin 21cos 21cos 22C C C C C C a b c -∴++=++=+-+-22151812cos 2cos 283222cos 22C C C ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭, ABC 为锐角三角形，且B C =，ππ42C ∴<<，π2π2C ∴<<，1cos 20C ∴-<<，当1cos 28C =-时，222111a b c ++取得最大值为8132，故222111a b c ++的最大值为8132.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -=（2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-=，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，122916y y m -=±-，AC 的方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+，BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+-()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()222249144(24)1824(0916916916m t t mt t m m m ---⇔-±=---3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去），∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--，AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2n y x =--，,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n n y x y x ∴=+=--，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-，又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=．将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mt m t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22.已知抛物线21:(0)C y px p =>的焦点为1F ，抛物线22:2C y px =的焦点为2F ，且1212F F =.（1）求p 的值；（2）若直线l 与1C 交于,M N 两点，与2C 交于,P Q 两点，,M P 在第一象限，,N Q 在第四象限，且2MP NQ =，求MN PQ 的值.【答案】（1）2（2）710【解析】【分析】（1）根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线性质进行求解即可.【小问1详解】由抛物线21:(0)C y px p =>的方程可知焦点1F 的坐标为,04p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线22:2C y px =的方程可知焦点2F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为1212F F =，所以12242p p p -=⇒=；【小问2详解】由（1）可知两个抛物线的方程分别为222,4y x y x ==，设直线:l x my t =+，()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ，根据题意结合图形可知：0m ≠，且31240y y y y >>>>，联立222202x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，则122y y m +=，同理联立224404x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，则344y y m +=，由()()3131242422,2,MP NQ MP NQ x x y y x x y y =⇒=⇒--=-- ，所以()31242y y y y -=-，即()411414422m y y m y y y y --=--⇒=-，又因为2211442,4y x y x ==，所以224114442y y x x ===，由141111142142y y y x my x m x x -==⇒=-，联立111211482x my y m y x =⎧⇒=⎨=⎩，所以2436,8,12y m y m y m =-=-=，故12341472010MN y y m PQy y m -===-.【点睛】关键点睛：本题的关键是由22MP NQ MP NQ =⇒=⇒ ()31242y y y y -=-.。

江苏省南京市数学高三上学期理数10月月考试卷

江苏省南京市数学高三上学期理数10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合,, 则A∩B=（）A .B .C .D .2. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）已知||=3，||=8且与的夹角为120°，则在方向上的投影为（）A . 4B .C . -D . -44. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知实数x，y满足不等式组，若 z=﹣x+2y的最大值为3，则a的值为（）A . 1B .C . 2D .5. （2分） (2018高一下·合肥期末) 若函数在上是增函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A . （2，+∞）B . （0，2）C . （4，+∞）D . （0，4）7. （2分）已知等比数列中，则（）A . 6B . ﹣6C . ±6D . 188. （2分）(2018·内江模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是（）A . 2B . 1C .D .9. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 从0，1，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）A . 20个B . 19个C . 25个D . 30个10. （2分） (2016高一下·平罗期末) 已知函数（、、为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）一个几何体的三视图如下图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·安阳模拟) 已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·黄山期末) 已知（1﹣x）n展开式中x2项的系数等于28，则n的值为________．14. （1分）(2017·蚌埠模拟) 已知数列{an}满足a1= ，若bn=log2an﹣2，则b1•b2•…•bn 的最大值为________．15. （1分） (2018高一下·宜昌期末) 如下图，在空间四边形中，，分别是、的中点， = ，则异面直线与所成角的大小为________．16. （1分） (2019高一上·丰台期中) 已知函数的图象如图所示，根据图象有下列三个命题：① 函数在定义域上是单调递增函数；② 函数在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间；③ 函数的单调递增区间是．其中所有正确的命题的序号有________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （15分） (2019高二下·宁夏月考) 已知：在数列中，，，（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．18. （10分）(2017·鞍山模拟) 如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边且AD= ，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）若在线段AC上存在一点E，使ED与平面BCD成30°角，试求二面角A﹣BD﹣E的大小．19. （10分） (2016高二上·衡水开学考) 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．20. （10分）(2018·门头沟模拟) 已知椭圆，三点中恰有二点在椭圆上，且离心率为。

江苏省淮安市清江中学高三数学上学期10月月考试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“”．3．函数f（x）=sin2x的最小正周期为．4．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a= ．5．若等比数列{a n}满足a2=3，a4=9，则a6= ．6．若，均为单位向量，且，则，的夹角大小为．7．若函数f（x）=是奇函数，则m= ．8．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小值为．9．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）＜f（3x），则实数x的取值范围是．10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB= ．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知正实数x，y，z满足，则的最小值为．13．已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P 横坐标的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．18．啊啊如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．19．已知数列{a n}中，a1=1，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数，求函数f（n）的最小值；（3）设表示数列{b n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+S n﹣1=（S n﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g （n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．20．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（3）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x≤0”．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定“∀x∈R，x2+x≤0”．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．函数f（x）=sin2x的最小正周期为π．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】利用二倍角余弦公式，将f（x）化为f（x）=﹣cos2x+，最小正周期易求．【解答】解：f（x）=sin2x=（1﹣cos2x）=﹣cos2x+最小正周期T==π故答案为：π【点评】本题考查二倍角余弦公式的变形使用，三角函数的性质，是道简单题．4．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a= ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），可得，解出即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），∴，∴ =2a，∴a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了幂函数的性质、指数的运算性质，属于基础题．5．若等比数列{a n}满足a2=3，a4=9，则a6= 27 ．【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质：若p+q=m+n则有a p•a q=a m•a n，列出等式求出a6的值．【解答】解：∵等比数列{a n}中∴a2•a6=a42，即：3×a6=81⇒a6=27．故答案为：27．【点评】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，有时利用上它们的性质解决起来比较简单．常用的性质由：等比数列中，若p+q=m+n则有a p•a q=a m•a n，等差数列中有若p+q=m+n则有a p+a q=a m+a n．6．若，均为单位向量，且，则，的夹角大小为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】设，的夹角为θ．由，可得•=0，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：设，的夹角为θ．∵，∴•=﹣2=0，∴1﹣2cosθ=0，∴cosθ=，解得θ=，故答案为：θ=．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系及其数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若函数f（x）=是奇函数，则m= 2 ．【考点】有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=+=0，化为（m﹣2）（2x﹣1）=0，∵上式恒成立，∴m﹣2=0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．8．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；三角函数的求值．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由正弦函数的单调性，即可求得范围．【解答】解：函数f（x）=cosx的导数f′（x）=﹣sinx，设P（m，cosm），则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为f′（m）=﹣sinm，由于0≤m≤，则0≤sinm≤，则﹣≤﹣sinm≤0，则在点P处的切线斜率的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运用三角函数的性质求切线的斜率的范围，考查运算能力，属于中档题．9．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）＜f（3x），则实数x的取值范围是（1，2）．．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】求导确定函数在定义域上是单调的，再将不等式转化为关于x的一元二次不等式，解之得实数x的取值范围．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）∵f′（x）=+2x ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（x2+2）＜f（3x），∴x2+2＜3x，∴1＜x＜2，∴实数X的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】此题是知函数值的大小来求自变量的取值范围，就需知函数的单调性，用导数来判断．10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB= ．【考点】正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理可得，且sinA=sin2B=2sinBcosB，故可求sinB．【解答】解：A=2B⇒sinA=sin2B=2sinBcosB由正弦定理知⇒cosB=sinB==故答案为：．【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．【解答】解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知正实数x，y，z满足，则的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先把已知中的式子展开，出现，代入的展开式中，再用基本不等式就可求出最小值．【解答】解：∵x，y，z满足，∴2x2++=yz，又∵=x2+++∴=+∵x，y，z为正实数，∴ +≥2=即≥，当且仅当=时等号成立∴的最小值为．故答案为【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，做题时注意变形．13．已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则= 9 ．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，求出公比是关键，属中档题．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P 横坐标的取值范围为．．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．【解答】解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数线．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx 的值．【解答】解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．【点评】本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）在直角三角形中写出三边长的公式，从而得到周长公式，根据题意写出定义域即可；（2）利用换元法，设，从而得到，从而求最小值．【解答】解：（1）在Rt△BOE中，，在Rt△AOF中，在Rt△OEF中，，当点F在点D时，角α最小，，当点E在点C时，角α最大，，则，定义域为．（2）设，则，．则当时，，总费用最低为元．【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及最值的求法，属于中档题．18．如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．【专题】综合题．【分析】（1）假设椭圆的标准方程，利用右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2，即可确定几何量，从而可求椭圆的标准方程；（2）计算圆的标准方程，利用圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，可确定圆心坐标之间的关系，进而可求使OC长最小时圆C的方程．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得，…解得a=2，c=2．…从而b2=a2﹣c2=4．所以椭圆的标准方程为．…（2）设圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2，r＞0．由圆C经过点F（2，0），得（2﹣m）2+n2=r2，①…由圆C被l截得的弦长为4，得|4﹣m|2+（）2=r2，②…联立①②，消去r得：n2=16﹣4m．…所以|OC|===．…∵n2≥0，∴m≤4，∴当m=2时，|OC|有最小值2．…此时n=±2，r=2，故所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y±2）2=8．…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查圆的标准方程，考查圆中弦长问题，解题的关键是利用待定系数法，充分利用椭圆、圆的性质．19．已知数列{a n}中，a1=1，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数，求函数f（n）的最小值；（3）设表示数列{b n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+S n﹣1=（S n﹣1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g （n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．【考点】等差数列的通项公式；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）把点P代入直线方程，可得a n+1﹣a n=1进而判断数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列数列{a n}的通项公式可得．（2）分别表示出f（n）和f（n+1），通过f（n+1）﹣f（n）＞0判断f（n）单调递增，故f（n）的最小值是（3）把（1）中的a n代入求得b n，进而求得最后（n﹣1）S n﹣1﹣（n﹣2）S n﹣2=nS n﹣n=n（S n﹣1），判断存在关于n的整式g（x）=n．【解答】解：（1）由点P（a n，a n+1）在直线x﹣y+1=0上，即a n+1﹣a n=1，且a1=1，数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列a n=1+（n﹣1）•1=n（n≥2），a1=1同样满足，所以a n=n（2）所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是（3），可得，∴nS n﹣（n﹣1）S n﹣1=S n﹣1+1，∴（n﹣1）S n﹣1﹣（n﹣2）S n﹣2=S n﹣2+1…2S2﹣S1=S1+1∴nS n﹣S1=S1+S2+S3+…+S n﹣1+n﹣1∴S1+S2+S3+…+S n﹣1=nS n﹣n=n（S n﹣1），n≥2∴g（n）=n故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式．即数列与不等式相结合的问题考查，考查了学生综合思维能力．20．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（3）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先求出其导函数，求出切线斜率，即可求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（2）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣，，f（2）=2﹣ln2，所以函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程是，即x﹣2y+2﹣2ln2=0；（2）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于零．由（2）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0可得a＞，因为＞e﹣1，所以a＞；②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．综上讨论可得所求a的范围是：a＞或a＜﹣2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数存在性问题，考查构造函数思想及分析运算能力，属于难题．。

南京清江花苑严老师分式04

分式04一、选一选（请将唯一正确答案代号填入题后的括号内，每小题3分，共30分） 1．已知x ≠y ，下列各式与x yx y-+相等的是（）.（A ）()5()5x y x y -+++ (B)22x yx y -+ (C) 222()x y x y -- （D ）2222x y x y -+2．化简212293m m +-+的结果是（）. （A ）269m m +- (B)23m - (C)23m + （D ）2299m m +- 3．化简3222121()11x x x x x x x x --+-÷+++的结果为（）.(A)x-1 (B)2x-1 (C)2x+1 (D)x+14．计算11()a a a a -÷-的正确结果是（）. （A ）11a + （B ）1 （C ）11a - （D ）-15．分式方程1212x x =--（）.（A ）无解（B ）有解x=1 （C ）有解x=2 （D ）有解x=0 6．若分式21x +的值为正整数，则整数x 的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0或-17．一水池有甲乙两个进水管,若单独开甲、乙管各需要a 小时、b 小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是（）（A ）11a b + （B ）1ab （C ）1a b + （D ）ab a b+ 8．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶2v km ，那么可以提前到达的小时数为（）（A ）212v t v v + （B ） 112v t v v + （C ）1212v v v v + （D ）1221v t v tv v -9．下列说法：①若a ≠0,m,n 是任意整数，则a m．a n=a m+n; ②若a 是有理数，m,n 是整数，且mn>0，则(a m )n =a mn ；③若a ≠b 且ab ≠0，则(a+b)0=1；④若a 是自然数，则a -3．a 2=a -1．其中，正确的是（）．（A ）① （B ）①② （C ）②③④ （D ）①②③④10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是：（）（A ）1515112x x -=+ （B ）1515112x x -=+ （C ）1515112x x -=- （D ）1515112xx -=-二、填一填（每小题4分，共20分）11．计算22142a a a -=-- ． 12．方程 3470x x=-的解是． 13．计算 a 2b 3(ab 2)-2= ． 14．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9162536,,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按这种规律写出第七个数据是．15．如果记 221x y x =+ =f(x)，并且f(1)表示当x=1时y 的值，即f(1)=2211211=+；f(12)表示当x=12时y 的值，即f(12)=221()12151()2=+；……那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(n)+f(1n)=（结果用含n 的代数式表示）．三、做一做16．（7分）先化简，再求值：62393m m m m -÷+--，其中m=-2.17．（7分）解方程：11115867x x x x +=+++++.18．（8分）有一道题“先化简，再求值： 2221()244x x x x x -+÷+-- 其中，x=-3”小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？19．（9分）学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或日记本，可买多少？20．（9分）A 、B 两地相距80千米，甲骑车从A 地出发1小时后，乙也从A 地出发，以甲的速度的1.5倍追赶，当乙到达B 地时，甲已先到20分钟，求甲、乙的速度．四、试一试21．（10分）在数学活动中，小明为了求 2341111122222n +++++ 的值（结果用n 表示），设计如图1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求2341111122222n +++++ 的值为；（2）请你利用图2，再设计一个能求2341111122222n+++++ 的值的几何图形．12212图2图1。

2021年高三数学10月月考试题苏教版

EP 2021年高三数学10月月考试题苏教版一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸上．1.若集合，且，则实数的值为 ▲ .2.已知为虚数单位，若，则的值是 ▲ .3.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 ▲ .4.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是 ▲ .5. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ▲ .6.已知，则的值等于 ▲ .7. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若,则= ▲ .8．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A1B1C1D1中，E ，F分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥A1—B1EF 的体积为 ▲ .9. 在直角三角形中，,则的值等于___▲_____.10.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 ___▲_____. 11.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x ，若f(2－a2)>f(a)，则实数a 的取值范围是___▲_____． 12．已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是___▲_____ ．13.已知函数若方程|f(x)|=a 有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ . 14．若的内角,满足,则的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，．（1）求的值；（2）求函数的值域．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC 平面ABC ，，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且．开始k ←1 S ←0S ＜k ←k ＋2S ←S ＋YN 输出结束(第5题)求证：（1）平面PBC；（2）平面DEF平面PAC．17、（本小题满分14分）某园林公司计划在一块以O为圆心，R(R为常数，单位为米)为半径的半圆形地上种植花草树木，其中阴影部分区域为观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．如图所示．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．(1)设∠COD＝θ(单位：弧度)，用θ表示阴影部分的面积S阴影＝f(θ)；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．（第18题）19．（本题满分16分）已知等比数列的公比，前项和为成等差数列，数列的前项和为，其中。

南京市高三上学期数学10月月考试卷B卷

南京市高三上学期数学10月月考试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高二下·南昌期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）对于α∈R，下列等式中恒成立的是（）A . cos（﹣α）=﹣cosαB . sin（﹣α）=﹣sinαC . sin（180°﹣α）=﹣sinαD . cos（180°+α）=cosα3. （2分）已知，则f（x）是（）A . 奇函数且在（0，+∞）上单调递增B . 奇函数且在（0，+∞）上单调递减C . 偶函数且在（0，+∞）上单调递增D . 偶函数且在（0，+∞）上单调递减4. （2分） ""是”有零点"的（）A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）函数f(x)=sinxcosx最小值是（）A . -1B .C .D . 16. （2分）设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m＝（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分） (2015高三上·东莞期末) 高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（）A . 864种B . 432种C . 288种D . 144种8. （2分）已知函数则函数y=f[f(x)+1]的零点个数（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2015高二下·张掖期中) 若函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则常数c的值为________．10. （1分） (2017高一上·六安期末) 当a＞0且a≠1时，函数f（x）=ax﹣2﹣3必过定点________．11. （1分） (2016高二下·汕头期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为________．12. （1分）已知函数f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上的解析式是f（x）=2x+1，则f（x）在（﹣∞，0）上的解析式为________．13. （1分） (2018高一下·四川期中) 在中，，是上一点，，且，则 ________．14. （1分）(2017·宁化模拟) 函数f（x）= 的定义域为________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2018高一下·黑龙江开学考) 已知函数为奇函数,（1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）是否存在这样的实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由．16. （10分） (2016高二上·西安期中) 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2016．17. （10分）(2020·山东模拟) 在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为， .（1）求的值；（2）若，，求的值．18. （5分） (2019高三上·城关期中) 已知函数（为实数常数）（1）当时，求函数在上的单调区间；（2）当时，成立，求证：．19. （10分）(2017·河北模拟) 已知函数f（x）= x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．20. （15分）(2020·海南模拟) 设数列的前项和为，已知 .（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足： .①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分) 15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。

2023-2024学年江苏省南京市高三(上)月考数学试卷(10月份)(一)(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高三（上）月考数学试卷(10月份）（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）l ．在下列选项中，能正确表示集合A={-2,0,2}和B= {xlx 2 + 2x= 0}关系的是（） A.A=B B.A ;;:i 8 C.A� B D.An 8 = 02若复数z = (x 2一1)+ (x -l )i 为纯虚数，则实数x 的值为（）A.-1B.0C.1D.-1或13.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C. 60种D. 30种4．设点M 是线段BC 的中点，点A在直线BC 外，若IBCI= 2, I 百＋亢I=I 菇－亢I ，则闷珩＝（） 1-2A B.1C.2D.45.已知正实数a,b, c 满足a 2-2ab + 9b 2 -c = 0,则当竺取得最大值时，3+！一旦的最大值为（） a · b c A.39-4BC.1D.6.将函数f(x) = sin(x +吩＋Dcos(x +<p),＂<<p ＜1[的图象向右平移－个单位长度，平移后的图象关于6碍，0）对称，则函数g(x)= cos(x +<p)在［－叶］上的最小值是（） 1-2AB罕1-2c D罕7已知函数f(x)= L o n a (.fx2+I +x)＋忒了弓(a>O,a * 1)，如果f(log3b ) = S(b > 0, b -:;:. 1)，那么f(l o 91b)的值是（） A.-3B. 3C. 5D不能确定8已知函数f(x)=l og3x 的图象与函数9(x)的图象关千直线y=x 对称，函数h(x)是最小正周期为2的偶函数，且当XE (0,1]时，h(x)= 9(x) -1,若函数y = k · f (x) + h(x)有3个零点，则实数K 的取值范围是（）A.(1,210973)B.(-2,-210953)C. (-210953,-1)D. (-log 戎，令二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

江苏省南京市清江花苑2013届高三10月质量抽测数学理缺答案

1．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝__________2．已知i R b a i ibia ,,(32∈+=-+为虚数单位），则b a += ． 3．在△ABC 中，sin cos A Ba b=，则∠B= ． 4.执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = .5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +2→b |＝ 6.函数)2||,0,0()sin(πϕωϕω<>>++=A k x A y 的图象如上，则y 的表达式是7. 已知3sin(-)45x π=，则sin 2x 的值为 8. 设数列{}n a 中，112,-1n n a a a n +==+，则通项n a = _______。

9.双曲线2214y x -=的渐进线被圆226210x y x y +--+=所截得的弦长为． 10.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为_____ ___11．函数+2sin [,]22y x x ππ=-在区间上的最大值为12.若函数f (x)满足(1)-()f x f x +=，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数为。

13.如图,在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=14.若关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，有5个解,则k= 二、解答题（本大题共6道题，计90分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值ABDC16.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.17.（本小题满分14分）多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //。

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高三10月月考数学试卷
说明：本卷考试时间120分钟，满分160分，
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．。

1．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝__________
2．已知
i R b a i i
bi
a ,,(32∈+=-+为虚数单位），则
b a += ． 3．在△ABC 中，sin cos A B
a b
=，则∠B= ． 4.执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = .
5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +2→
b |＝
6.函数)2
||,0,0()sin(π
ϕωϕω<>>++=A k x A y 的图象如上，则y 的表达式是
7. 已知3
sin(-)45
x π
=，则sin 2x 的值为 8. 设数列{}n a 中，112,-1n n a a a n +==+，则通项n a = _______。

9.双曲线2
2
14
y x -=的渐进线被圆226210x y x y +--+=所截得的弦长为． 10.设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最
小时t 的值为_____ ___ 11．函数+2sin [,]22
y x x ππ
=-在区间上的最大值为
12.若函数f (x)满足(1)-()f x f x +=，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数
y=f(x)的图象与函
数3log y x =的图象的交点的个数为。

13.如图,在ABC △中，
12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=
14.若关于x 的方程222
(1)10x x k ---+=，有5个解,则k=
二、解答题（本大题共6道题，计90分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5
A =-．（Ⅰ）求sin
B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值
16.（本小题满分14分）
A
B
D
C
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{}n b 的通项公式为n
n n a b a t
=
+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分14分）
多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //。

（1）在BC 上找一点N,使得AN ∥面BED （2）求证：面BED ⊥面BCD
E
D
A
B
C
18.（本题满分16分）
O A 1
A 2
B 1
B 2
x
y
(第19)
开口向下的抛物线2(0,0)y ax bx a b =+<>在第一象限内与直线4x y +=相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为3
26b S a
=．
（1）求a 与b 的关系式，并用b 表示()S b 的表达式；（2）求使()S b 达到最大值的a 、b 值，并求max S
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的左、右顶点分别
为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段
2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．
20. （本小题满分16分）已知()()2,ln 2
3
+-+==x ax x x g x x x f .
x
y
(1)求函数()x f 的单调区间；
(2)求函数()x f 在 [],2t t + ()0t >上的最小值；
(3)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围．。