(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练14 新人教A版
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练
名校专题----圆锥曲线培优训练41、在ABC ∆中AC =B 是椭圆22154x y +=在x 轴上方的顶点，l 的方程是1y =-，当AC 在直线l上运动时．（1）求ABC ∆外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过定点3(0,)2F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交轨迹E 于,M N 和,R Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值．解：（1）由椭圆方程22154x y +=得点(0,2),B 直线l 方程是1y =-AC ∴=且AC 在直线l 上运动．可设(1),(1),A m C m --则AC 的垂直平分线方程为x m = ①AB的垂直平分线方程为12y x -= ②P Q 是ABC ∆的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②，由①和②联立消去m 得26x y =故圆心P 的轨迹E 的方程为26x y =（2）由图可知，直线1l 和2l 的斜率存在且不为零，设1l的方程为32y kx =+，12l l ⊥Q ，2l ∴的方程为132y x k =-+．由23216y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得 2690x kx --=Q △=226360,k ∆=+>∴直线1l 与轨迹E 交于两点．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,9x x k x x +==．2||6(1).MN k ∴===+同理可得：21||6(1).RQ k =+∴四边形MRNQ 的面积2211||||18(2)18(272.2S MN RQ k k =•=++≥+=当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立．故四边形MRNQ 的面积的最小值为72．2、已知圆O:222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F.若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.解：(Ⅰ)因为2a e ==,所以c=1 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2212x y +=(Ⅱ)因为P (1,1),所以12PF k =,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4) 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 与圆O 相切(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切证明:设00(,)P x y(0x ≠),则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-,所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-所以点Q(－2,0022x y +)所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x =, 所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切3、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=NP GQ NQ NP .（I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.1. 解：（1）⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02PN GQ Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14922=+y x（2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得||=|AB |，则四边形OASB 为矩形0=⋅∴ 若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x=2，由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴OB OA OB OA 与矛盾，故l 的斜率存在.设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①)]2()][2([2121--=x k x k y y 4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ②把①、②代入2302121±==+k y y x x 得∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.2.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y ax 的长轴长为4，离心率为21，21,F F 分别为其左右焦点．一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切。
(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练10 新人教A版
圆锥曲线（10）1、如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD || (1)求f (m )的解析式；(2)求f (m )的最值解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ，则a 2=m ,b 2=m －1,c 2=a 2－b 2=1 ∴椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0)故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±ca 2,即x =±m ∴A (－m ,－m +1),D (m ,m +1)考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=11122m y m x x y ,消去y 得 (m －1)x 2+m (x +1)2=m (m －1) 整理得 (2m －1)x 2+2mx +2m －m 2=0 Δ=4m 2－4(2m －1)(2m －m 2)=8m (m －1)2∵2≤m ≤5,∴Δ＞0恒成立，x B +x C =122--m m又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上 ∴|AB |=|x B －x A |=2=(x B －x A )²2,|CD |=2(x D －x C ) ∴||AB |－|CD ||=2|x B －x A +x D －x C |=2|(x B +x C )－(x A +x D )| 又∵x A =－m ,x D =m ,∴x A +x D =0 ∴||AB |－|CD ||=|x B +x C |²2=|mm212--|²2=m m 222 (2≤m ≤5)故f (m )=mm222，m ∈［2,5］ (2)由f (m )=mm 222，可知f (m )=m1222-又2－21≤2－m1≤2－51，∴f (m )∈［324,9210］ 故f (m )的最大值为324，此时m =2;f (m )的最小值为9210，此时m =52、舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g千米/秒，其中g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？解 取AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系 由题意可知，A 、B 、C 舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，23)由于B 、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为P ，则|PB |=|PC | 于是P 在线段BC 的中垂线上，易求得其方程为3x －3y +73=0又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB |－|PA |=4，故知P 在双曲线5422y x -=1的右支上 直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P 的位置，利用两点间距离公式，可得|PA |=10 据已知两点的斜率公式，得k PA =3,所以直线PA 的倾斜角为60°,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°设发射炮弹的仰角是θ，初速度v 0=3320g，则θθc o s10sin 200⋅=⋅v g v , ∴sin2θ=23102=v g ,∴仰角θ=30° 3、若椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与直线l x +y =1在第一象限内有两个不同的交点，求a 、b 所满足的条件，并画出点P (a ,b )的存在区域解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112222b y ax y x 消去y ,整理得 (a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2)=0 ①则椭圆与直线l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f (x )=(a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><<<<>+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>><+<>-+-=>-=>-+-=∆010101 0100)1()1(0)1()0(0)1)((442222222222222222b a a b b a b a b a a b a a b f b a f b b a a a 同时满足上述四个条件的点P (a ,b )的存在区域为如图所示的阴影部分 学生巩固练习1 已知A 、B 、C 三点在曲线y =x 上，其横坐标依次为1，m ,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( B ) A 3B49 C 25D231 解：由题意知A (1，1)，B (m ,m ),C (4,2) 直线AC 所在方程为x －3y +2=0,点B 到该直线的距离为d =10|23|+-m m|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵m ∈(1,4),∴当23=m 时，S △ABC 有最大值，此时m =49答案2 设u ,v ∈R ，且|u |≤2,v ＞0,则(u －v )2+(vu 922--)2的最小值为(C ) A 4B 2C 8D 22解：考虑式子的几何意义，转化为求圆x 2+y 2=2上的点与双曲线xy =9上的点的距离的最小值 3、A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA =2π,则椭圆离心率的范围是_________22＜e ＜1 解：设椭圆方程为2222b y a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆 x 2－ax +y 2=0,两式联立消y 得222a b a -x 2－ax +b 2=0 即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2e a－a ＜a 22⇒＜e ＜1 5 已知抛物线y =x 2－1上一定点B (－1，0)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的横坐标的取值范围是_________ (－∞,－3]∪[1,+∞)解析 设P (t ,t 2－1)，Q (s ,s 2－1)∵BP ⊥PQ ,∴ts t s t t ----⋅+-)1()1(11222=－1, 即t 2+(s －1)t －s +1=0∵t ∈R ,∴必须有Δ=(s －1)2+4 (s －1)≥0 即s 2+2s －3≥0, 解得s ≤－3或s ≥18 如图， ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变 (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DNDM =λ，求λ的取值范围 8 解 (1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4 ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1∴曲线C 的方程为52x +y 2=1(2)设直线l 的方程为y =kx +2,代入52x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2+20kx +15=0Δ=(20k )2－4³15(1+5k 2)＞0,得k 2＞53由图可知21x x DN DM ==λ 由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x 将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>kk k k 即 331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM① ,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合)。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题曲线与方程新人教A版【含答案】.docx
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题曲线与方程新人教A版【考纲解读】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1. 平面解析几何是历年来高考重点内容之一, 经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2. 高考将会继续保持稳定, 坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新, 命题形式会更加灵活.【要点梳理】1. 已知曲线形状, 求方程: 可以用待定系数法.2. 未知曲线的形状, 求方程:(1) 直接法: 直接由条件列式, 化简整理即可;(2) 代入法: 明确主动点与被动点;(3) 定义法: 利用圆或圆锥曲线的定义求轨迹方程.【例题精析】考点一求曲线方程例 1 设A 是单位圆x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与x 轴垂直的直线，D是直线l 与x 轴的交点，点M在直线l 上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）. 当点A 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点且斜率为K 的直线交曲线C于P，Q两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由.1因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得2.③【名师点睛】本小题主要考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识, 考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力.【变式训练】1. ( 本小题满分12 分)如图，动圆,1<t<3,与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。
(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 等差、等比数列 新人教A版-新人教A版高三全册数学
（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 等差、等比数列 新人教A 版四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
典型例题：例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg}na 的前n 项和最大？ 【答案】解：（Ⅰ）取n =1，得21112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。
若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n n a S S --=。
若1a 0≠，则12a λ=，有当n 2≥时，22n n a S λ=+，1122n n a S λ--=+，两个相减得：12n n a a -=，∴n 2na λ=。
∴数列{}n a 公比是2的等比数列。
综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2na λ=。
（Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1lgn nb a =，则2lg 2n b n =-。
∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2）则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100lg 2100lg6=>=； 当n ≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100lg 2100lg7=<=。
∴数列{lgn a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1{lg }na 的前n 项和最大。
【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。
(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练3 新人教A版
名校专题----圆锥曲线培优训练31、点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:2222=-by a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e ；（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且42721-=⋅OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程；（Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使)(21F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（I ）a PF a PF a PF PF PF PF 2||,4||2|||||,|2||212121==∴=-= 5)2()2()4(22221=∴=+∴⊥e c a a PF PF（II ）14:2222=-a y a x E 渐近线为x y 2±=设),(),2,(),2,(222111y x P x x P x x P - 494273212121=∴-=-=⋅x x x x OP OP ，221=+PP 3)2(2,322121x x y x x x -=+=∴代入E 化简2892221=∴=a a x x 18222=-∴y x （III ）假设在x 轴上存在定点)0,(t G 使)(21F F λ-⊥， 设),(),,(,:4433y x N y x M m ky x l +=联立l 与E 的方程得0848)14(222=-++-m kmy y k 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=+)2(1484)1(1482243243k m y y k km y y )0,102(),,(214343=-+--=-F F y y t x t x λλλλ)(21GN GM F F λ-⊥)3(0)1()1()(04343=-+-+-⇔=+--⇔t m y y k t x t x λλλλλ由λ=043=+∴y y λ)4(43y y λ-=∴∴（3）即为)5(0)1()1(23=-+-+t m ky λλ，将（4）代入（1）（2）有kmm y 22)1(23--=λ代入（5）得m t 2=故在x 轴上存在定点)0,2(mG 使)(21F F λ-⊥。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题函数的图像与性质新人教A版【含答案】.docx
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题函数的图像与性质新人教A版x 0例11.. 若x, y 满足约束条件：x 2y 3；则x y 的取值范围为▲2x y 3【答案】[ 3,0] 。
【考点】简单线性规划。
【解析】求x y 的取值范围，则求出x y 的最大值和最小值即可。
作图，可知约束条件对应ABC边际及内的区域：3A(0,3), B(0, ), C (1,1)。
2当x 1, y 1时，x y 取得最大值0；当x 0, y 3 时，x y 取得最小值3。
∴x y的取值范围为[ 3,0] 。
例12. ）已知正数a，b，c满足：5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a cln c，则ba的取值范围是▲．【答案】e，7 。
【考点】可行域。
【解析】条件5c 3a≤b ≤4c a，cln b≥a cln c 可化为：a b3 5c ca bc c4。
b cace设a =x y=b，，则题目转化为：c c3x y 5已知x，y 满足x yxy e4，求yx的取值范围。
x > 0，y > 0作出（x，y ）所在平面区域（如图）。
求出y= e x 的切线的斜率 e ，设过切点P x0，y0 的切线为y =ex m m 0 ，1y ex m m则0 0= =ex x x0 0 0，要使它最小，须m=0 。
∴yx的最小值在xP x ，y 处，为 e 。
此时，点P x0，y0 在=y e 上A,B 之间。
0 0当（x，y ）对应点 C 时，y=4 x 5 y=20 5x yy=7 x =7y=5 3x 4 y=20 12x x，∴yx的最大值在 C 处，为7。
∴yx的取值范围为e，7 ，即ba的取值范围是e，7 。
例13. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1) ，B(1,3) ，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y 的取值范围是【】（A）(1 －3，2) （B）(0 ，2) （C）( 3－1，2) （D）(0 ，1+ 3)【答案】A。
【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题14 圆锥曲线的综合问题(学生版+解析版)
专题14 圆锥曲线的综合问题一、单选题1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( )A ．2B ．4C ．8D ．162．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48B ．24C ．2D ．4．（2019·湖北省高二期中）若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线28x y =520x y m ++=相切，则m =（ ）A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．-3或76．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中正确的个数是①当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆； ②当41t t ><或时，曲线C 一定是双曲线； ③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. A ．1B ．2C ．3D ．47．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( ) A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,32)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,2)8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线243y x =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于,A B 两点若双曲线的离心率是23，那么AB =（ ） A ．2B ．43C ．2D ．239．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于A ．13 B ．14 C ．19D ．3510．（2019·福建省高三一模（理））如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、多选题11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中错误．．的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 是双曲线，则其离心率有12e <<C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的离心率31e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅< 13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 的长度最小为4 C ．M 的坐标可能为()3,2 D ．3OP OQ ⋅=-恒成立三、填空题14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线216x y =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线2y kx =+ 与抛物线2y x = 只有一个交点，则实数k 的值为______16．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆22132x y +=内一点()1,1P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________17．（2020·浙江省高三月考）已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 四、解答题18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点且离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点3(1,)2P ，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究22OA OB +是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线2:4C y x =.（1）若P 是抛物线C 上任一点，(2,3)Q ，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值；（2）若ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和.21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，⎛ ⎝⎭，点A 是椭圆的下项点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点P 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，且点P 的纵坐标为1，点P 到抛物线焦点F 的距离为2 （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求||||AF BF -的值.专题14 圆锥曲线的综合问题一、单选题1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D .2．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48 B ．24C ．2D ．【答案】B 【解析】结合椭圆性质,可以得到建立方程,得到点P 的坐标为,故,故选B.4．（2019·湖北省高二期中）若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】0mx y n -+=即为直线y mx n =+，22nx my mn +=即为曲线221x y mn+=，0mn ≠.对于A 选项，由直线方程可知，0m >，0n >，则曲线221x y m n +=，0mn ≠表示圆或椭圆，A 选项错误；对于B 选项，由直线方程可知，0m <，0n <，则曲线221x y m n +=，0mn ≠不存在，B 选项错误；对于C 选项，由直线方程可知，0m >，0n <，则曲线221x y m n+=，0mn ≠表示焦点在x 轴上的双曲线，C 选项正确；对于D 选项，由直线方程可知，0m <，0n >，则曲线221x y m n+=，0mn ≠表示焦点在y 轴上的双曲线，D 选项错误. 故选：C.5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线28x y =5为半径的圆，与直线20x y m ++=相切，则m =（ ）A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．-3或7【答案】C 【解析】抛物线28x y =的焦点为()0,2,以抛物线28x y =的焦点为圆心,5:圆心为()0,2,半径5r =，由直线20x y m ++=与圆相切,可得:圆心到直线的距离d ==解得3m =或7-. 故选:C .6．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中正确的个数是①当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆； ②当41t t ><或时，曲线C 一定是双曲线； ③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 对于①，当52t =时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确 对于②，当4t >时表示焦点在y 轴上的双曲线，当1t <曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确对于③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，所以③正确 对于④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，所以④正确综上，四个选项都正确 所以选D7．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( )A．1 0,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B．(0,32)C．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D．(0,2)【答案】D【解析】因为抛物线22(0)x py p=>的准线被双曲线22132x y-=截得的弦长为6所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3,2p⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线中2232132p⎛⎫- ⎪⎝⎭-=得4p=，所以焦点坐标为()0,2故选：D8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线23y x=的准线与双曲线22221x ya b-=的两条渐近线分别交于,A B23，那么AB=（）A．2B．43C2D．233【答案】A【解析】抛物线243y x=的准线3x=-22223cc a ba==+，3ba∴=，因此双曲线的渐近线方程为：3y x=，双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：3,33x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，得1,y =根据双曲线的对称性可知：2AB =故选：A9．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于A ．13 B ．14 C ．19D ．35【答案】A 【解析】由题意知F 1（﹣2，0），F 2（2，0），解方程组222216213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得229212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．取P 点坐标为32222⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，1322P 222F ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，，2322P 222F ，⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， cos ∠F 1PF 2=123232122222321321222222⎛⎫⎛⎫---+⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13． 故选A ．10．（2019·福建省高三一模（理））如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．故选：B ． 二、多选题11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中错误．．的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 是双曲线，则其离心率有12e <<C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<【答案】AD 【解析】若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，A 错；对于选项B ，若1t <，则方程可变形为22131x y t t -=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；e ==<，1e <<若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；e ==<1e <<B 正确； 对于选项C ，若1t <，则方程可变形为22131x y t t -=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线，故C 正确；对于选项D ，若23t <<，则031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；若12t <<，则013t t <-<-，故22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则D 错；故选：AD12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅<D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅< 【答案】ABD 【解析】如图，设122F F c =，则由正六边形性质可得点3,2cc I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 由点I 在椭圆上可得22223144c c a b+=，结合222a c b -=可得22233b a =-，∴椭圆离心率212142331b e a=-=-=-， ∴()()22222224310a c a ⎡⎤-=--<⎢⎥⎣⎦∴当点A 为椭圆上顶点时，12cos 0F AF ∠<，此时120AF AF ⋅<； 点3,22c c I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在双曲线22221x y N m n -=：的渐近线上可得322n c c m ⋅=即3=n m , ∴双曲线的离心率为2221132n e m=+=+=, 当点B 为双曲线的顶点时，易知120BF BF ⋅<. 故选：ABD.13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 的长度最小为4 C ．M 的坐标可能为()3,2 D ．3OP OQ ⋅=-恒成立【答案】BCD 【解析】焦点F 到准线的距离即为2p =，所以抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，A 项错误. 当PQ 垂直于x 轴时长度最小， 此时()1,2P ，()1,2Q -，所以4PQ =，B 项正确.设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程为1x my =+.联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得()224210x m x -++=，消去x 可得2440y my --=，所以21242x x m +=+，124y y m +=，当1m =时，可得()3,2M ，所以C 正确，又121=x x ，124y y =-，所以12123OP OQ x x y y ⋅=+=-，所以D 正确. 故选：BCD 三、填空题14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线216x y =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．【答案】221412y x -=【解析】抛物线216x y =的焦点为()0,4在y 轴上,故双曲线4c =,又22ca a=⇒=, 故22212b c a =-=.故双曲线的方程为221412y x -=.故答案为：221412y x -=15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线2y kx =+ 与抛物线2y x = 只有一个交点，则实数k 的值为______ 【答案】0或 18【解析】联立直线方程与抛物线方程可得：22(41)40k x k x +-+=， ①若0k =，则4x =，满足题意；②若0k ≠，则22(41)160k k ∆=--=，解得18k =. 综上所述，k =0或 18. 故答案为：0或1816．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆22132x y +=内一点()1,1P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________ 【答案】2350x y +-= 【解析】由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点，斜率为k ，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121223y y y y x x x x --++⋅-=，即221321k ⨯-=⋅⨯，所以23k =-， 所以所求直线方程为()2113y x -=--，即2350x y +-=. 故答案为：2350x y +-=.17．（2020·浙江省高三月考）已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 【答案】86【解析】由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F . 则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++==.联立直线与椭圆方程得()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k >时，34k k+≥= 当且仅当34k k =，即k =时，等号成立，此时06y ≤=； 当k 0<时，3344k k k k ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当34k k -=-， 即2k =-时，等号成立，此时06y ≥=-.综上所述：0y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF .故答案为: 8;6.四、解答题18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点且离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在这样的直线，直线方程为：1432y x =±+.【解析】（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=由e =得c a =可转化为222a b = 由以上两式解得224,2a b ==所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA =,所以设所求直线方程:3l y kx =+代入椭圆方程化简得： ()221212140k xkx +++=1221212k x x k +=-+① 1221412x x k =+.② ()2227(12)414120,4k k k ∆=-⨯⨯+>>,设所求直线与椭圆相交两点()()1122,,,A x y B x y 由已知条件2PB PA =可得212x x =,③ 综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意,所以所求直线方程为：32y x =±+. 19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点3(1,)2P ，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究22OA OB +是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是定值，7【解析】（1）由离心率12c e a ==，得a ∶b ∶c ＝21， 则可设椭圆C 的方程为2222143x y c c+= ，由点3(1,)2P 在椭圆C 上，得2213144c c+=，即c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线l 的方程为y＝2x ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以OA 2＋OB 2＝21x ＋3－3421x +22x ＋3－2234x ＝14(21x ＋22x )＋6.由2223412y x n x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y 得3x 2＋＋2n 2－6＝0. 当Δ＞0时，x 1＋x 2，x 1x 2＝2263n -，从而22221221212 24412()33n x x x n x x x -+=+-－＝＝4， 所以OA 2＋OB 2＝7，为定值．20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线2:4C y x =.（1）若P 是抛物线C 上任一点，(2,3)Q ，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值；（2）若ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和.【答案】（11（2）0 【解析】（1）由抛物线定义可知：P 到Q 和y轴距离之和||||1||11PQ PF QF =+-≥-=， 当,,Q P F 三点共线时，取最小值.（2）设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，233,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵(1,0)F ∴1230y y y ++=.又22121212144AB y y y y k y y -+==-，同理：2314BC y y k +=，1314AC y y k += ∴1110AB BC ACk k k ++= 21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，⎛ ⎝⎭，点A 是椭圆的下项点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.【答案】（1）2214x y +=（2）1【解析】（1）由题意得222231141314a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知()0,1A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线11:1l y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x =-⎧⎨=⎩，得1111,11E k k ⎛⎫⎪--⎝⎭. 设直线211:1l x k y =--，同理1111,1111F k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭， 因为OE OF =，所以1111111k k =---，①1111111,0111k k k k =+=---无实数解； ②2111111111,2,210111k k k k k k =--=--=---，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为1±22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）122y x =+【解析】（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为AB 的中点的横坐标为32，所以12322x x +=. 根据抛物线定义知125AB AF BF p x x =+=++=. 所以35p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >.则由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=.所以212224k x x k ++=，即22243k k+=，解得2k =. 设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩得224(44)0x b x b +-+=. 依题知22(44)160b b ∆=--=，解得12b =.故所求的切线方程为122y x =+. 23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点P 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，且点P 的纵坐标为1，点P 到抛物线焦点F 的距离为2（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求||||AF BF -的值.【答案】（1）24x y =（2）4【解析】（1）设0(,1)P x ，由抛物线定义，点P 到抛物线焦点F 的距离为2 故1222p p +=∴= 故抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，(0,1)H -； 设()11,A x y ()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=， ∴124x x k +=，124x x =-，…①由AB HB ⊥，可得1AB HB k k =-⋅， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…②把①代入②得，221216x x -=， 则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=.。
人教A版选择性必修1第三章 圆锥曲线基础达标与能力提升必刷检测卷(全解全析)
第三章：圆锥曲线基础达标与能力提升必刷检测卷-全解全析1．A 【详解】因为焦点坐标为()，设方程为222215x y a a +=-，将()3,2-代入方程可得229411a a +=-，解得215a =，故方程为2211510x y +=，故选：A.2．B解：设双曲线的左焦点(),0F c -，离心率ce a==2222222c c a a b a =⇒=⇒+=，a b =，所以双曲线的渐近线方程为by x x a=±=±，则经过F (),0c -和()0,4P 两点的直线的斜率4040k c c-==+，则41c=，4c =，则a b ==，∴双曲线的标准方程：22188x y -=．故选：B 3．B如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2．故选：B ．4．C 【详解】设(,)P x y，由题意可得12(F F ,因为12F PF ∠是钝角，所以2221212PF PF F F +<，所以2222((20x y x y +++<，所以225x y +<，所以224159x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，得295x <，所以55x -<<，故选：C 5．B由题意，221123PF PF PF PF ∴=>由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46aPF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin 3F PF F PF π∠∈∴∠==1221212115||||sin 24223PF F SPF PF F PF a =∠=⨯⨯=221,a ∴=又02a a >∴=故双曲线C故选：B 6．A 【详解】取椭圆的右焦点1F ，连接11,F P FQ ，由椭圆的对称性以及直线PQ 经过原点，所以OP OQ =，且1OF OF =，所以四边形1FQF P 为平行四边形，故1FQ F P =，又因为2PF QF =，则12PF PF =，而12PF PF a +=，因此142,33a aPF PF ==，由于120PFQ ∠=︒，则160FPF ∠=︒，在1FPF 中结合余弦定理可得2222112cos 60FF PF PF PF PF =+-⋅⋅，故2221644214299332a a a a c =+-⋅⋅⋅，即223c a =3c a =，因此333c e a c==，故选：A.7．C 【详解】如图，作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，因为1F M 与圆222x y a +=相切，所以21||,2||2,2OA a F B OA a F B b ====，在2Rt BMF 中，1260F MF ∠=︒，所以2222343||,3F B a a aBM F M ===︒又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以1212||22F M F M F B BM F M b a -=+-=+=，整理得：b =，所以b a =所以双曲线的渐近线方程为y =．故选C ．8．D设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)则2211221x y a b-=，且2200221x y a b -=，两式相减得2222101022x x y y a b --=，所以2220122201y y b x x a -=-，因为01010101()()1()()4PA PB y y y y k k x x x x -+⋅=⋅=-+，所以2214b a =，12b a =故双曲线C 的渐近线方程1=2y x ±因为焦点(c ，0)到渐近线1=2y x 的距离为1，1=，c =，所以2a =，1b =，故A ，B 错误．对于C ，不妨设P 在右支上,记2,PF t =则14PF t =+因为12PF PF ⊥,所以22(4)20t t ++=解得2t -或2t =(舍去）,所以12PF F △的面积为12112)2)22PF PF =⨯1=，故C 不正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，因为1200122PF F S c y ∆=⋅==，所以02y =，将02y =带入C ：2214x y -=，得2020x =，即0x =由于对称性，不妨取P 得坐标为(2)，则23PF ==，17PF ==因为222212121212cos 02PF F F PF PF F PF F F +-∠==<所以∠PF 2F 1为钝角，所以PF 1F 2为钝角三角形，故D 正确故选：D 9．ABD 【详解】由题意可知，抛物线22x y =的焦点1(0,2F ，准线为：12y =-，且直线l 斜率一定存在，不妨设直线l ：12y kx =+，由22221012x y x kx y kx ⎧=⎪⇒--=⎨=+⎪⎩，从而122x x k +=，121x x =-，所以21212121211111()()22244y y kx kx k x x k x x =++=+++=，故A 正确；因为212121211()12122y y kx kx k x x k +=+++=++=+，所以由抛物线定义可知，21211||2(1)22AB y y k =+++=+，且AB 中点M 221(,)2k k +，从而M 到直线12y =-的距离为211||2k AB +=，从而以AB 为直径的圆与直线12y =-相切，故B 正确；因为当0k =时，易得1(1,)2A -，1(1,)2B ，故OA OB +<C 错误；由题意,易知直线OA ：11y y x x =，经过点B 与x 轴垂直的直线为：2x x =，从而经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 的交点为2121(,x y x x ，因为2112x y =，所以211211122x y x x x ==-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 的交点为21(,)2x -，即21(,)2x -在直线12y =-上，故D 正确.故选：ABD.10．BD 【详解】由已知c ==，不妨设00(,)bM x x a，00x >，OM c =，0x a =，所以(,)M a b ，(,)N a b -，因为ME ON ⊥，所以31b b a a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，223a b b =-，又22220a b c +==，解得4b =或52b =-（舍去），28b =，A错；2a =，ce a==，B 正确；双曲线的渐近线为2y x =±，因此直线1211y x =+与双曲线有一个交点．C 错；由上面讨论知(2,4)M ，(2,4)N -，所以18282OMN S =⨯⨯=!．D 正确．故选：BD ．11．BD 对于A ，当52t =时，曲线C 是圆，故A 错误；对于B ，当4t >时，曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，当1t <时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，故B 正确；对于C ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，故C 错误；对于D ，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故D 正确．故选BD ．12．BD 【详解】由题设，2a =，则22214x y b+=，又)P在椭圆内部，则21112b+<，即224b <<，∴22e a==，故A 错误；当4e =时，有272b =，易得12(2F -，2(2F .∴由12||||4QF QF +=，则1222||4||4(2222QF QF =-≤--=+，故B 正确；由222420c b b -=-<，即c b <，以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q 使得210QF QF ⋅=，故C 错误；由1221212121211441()2QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ++==≥=+，当且仅当12||||2QF QF ==时等号成立，即Q 为短轴端点取等号，∴1211QF QF +的最小值为1，故D 正确.故选：BD 13．163∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1631423如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ，∵∠MAN=60°，∴32，∴22223||||4OA PA a b -=-设双曲线C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34bAP OP a b -．又tan θ=b a，223234bb a a b =-，解得a 2=3b 2，∴22123113b a +=+231515方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==.1651+【详解】设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c=在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+=在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-=所以112,2PF a c PF m c =-=+即22a c m c -=+所以a m c=+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯=，即2c a m =所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m 得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e =因为双曲线中1e >所以12e +=17．（1）12870x y --=；（2）3.【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+=则()2212121440m m ∆=-->12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+>13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t=-3A P P B=123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则AB ===18．（1）连结1PF ，由2POF V 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，1PF =，于是122a PF PF c =+=+，故椭圆C的离心率为1c e a ==；（2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b +=，即16c y =①222x y c +=②22221x y a b +=③由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c =-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故a ≥当4b =，a ≥P .故4b =，a的取值范围为)+∞.19．解：（1）因为2c a =，222a c b -=，所以2a b =.因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离5d =，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k =+=+，因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-，所以20M M x ky k ++=.即224201414k k k k k -++=++.又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±20．（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意.所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+.设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+.因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-=化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点(6,0).21．（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C的渐近线为：0y x x =⇔±=，1b ⇒=，所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()2222213036413330k k m k m ⎧-≠⎪⎨---->⎪⎩22213013k m k ⎧-≠⇒⎨+>⎩设()()111222,,,Q x y Q x y ，则有：122613km x x k +=-，21223313m x x k --⋅=-.又12OQ OQ ⋅=()()12121212x x y y x x kx m kx m +=+++()()2212121k x x km x x m =++++.又：125OQ OQ ⋅=-，所以有：()()2221[13313k m k +--+-()2222613]5k m m k +-=-，22190m k ⇒=-≥，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()22236413k m k ∆=-+()22233031m k m ->⇒+>.③由①②③有：2109k <≤设()133,M x y 、()244,M x y .有：342613km x x k -+=+，23423313m x x k -⋅=+12M M==.将2219mk =-代入有：12M M =12M M ⇒12M M ⇒=令2t k =,10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦令()()()2113t t f t t +=+()()31'13t f t t -⇒=+,10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()50,72f t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(12M M ⇒∈.22．（1）由已知得()2,0E ，且F 为OE 的中点，所以()1,0F .所以12p =，解得2p =，故抛物线Ω的方程为24y x =.（2）证明：联立22404x y y x --=⎧⎨=⎩，解得()4,4P ，()1,2B -，由E 为DG 的中点得0ED EG +=.不妨设()2,0D t -，()2,0G t +，其中0t >.则142k t =+，242k t =-.所以121122144t t k k +-+=+=，即1211k k +为定值.（3）由（2）可知直线PC 的方程为44(4)2y x t-=--，即()42480x t y t ----=，与抛物线联立()2442480y x x t y t ⎧=⎪⎨----=⎪⎩，消x 可得()22480t y y t ---=-，解得2y t =--或4y =（舍），所以()224t x +=，即()22,24t C t ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，故点C 到直线PB的距离d =设过点P 的抛物线的切线方程为()44y k x -=-，联立()2444y k x y x⎧-=-⎨=⎩得2416160ky y k -+-=，由0∆=，得12k =，所以切线方程为240x y -+=，令0y =，得4x =-，所以要使过P 点的直线与抛物线有两个交点，24t ->-，则有06t <<，又PB =所以236124PBC t t S +=⨯=△，即054PBC S <<△，故PBC 的面积的取值范围为()0,54.。
(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练13 新人教A版
圆锥曲线（13）圆锥曲线中的定值、定点问题（1）直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a aAB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2a y x AB =+∴即过定点0,2.例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。
解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G （2）恒为定值问题例3、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y轴上，短轴长为P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅= ，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练8新人教A版【含答案】
圆锥曲线（8）1、下列四个命题中不正确．．．的是（ D ） （A ）若动点P 与定点(4,0)A -、(4,0)B 连线PA 、PB 的斜率之积为定值94，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分（B ）设,m n ∈R ，常数0a >，定义运算“*”：22)()(n m n m n m --+=*，若0≥x ，则动点),(a x x P *的轨迹是抛物线的一部分（C ）已知两圆22:(1)1A x y ++=、圆22:(1)25B x y -+=，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆（D ）已知)12,2(),0,7(),0,7(--C B A ，椭圆过,A B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线2、设双曲线C ：22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别为 F 1，F 2．若在双曲线的右支上存在一点P ，使得 |PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ A ）(A) (1,2] (B)(C) (D) (1,2)3、已知x y x 62322=+ 则122-+=y x m 的最大值为（D ） A.２ B.３ C. ４ D.274、已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的倾斜角⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππθ，则离心率e 的取值范围是（ C ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,332B. [2,2]C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,332D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，332 5、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两顶点为(,0),(0,)A a B b ，且左焦点为F ，FAB ∆是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ B ） ABC.6、设椭圆C ：221259x y +=，F 是右焦点，l 是过点F 的一条直线（不与y 轴平行），交椭圆于A 、B 两点， 'l 是AB 的中垂线，交椭圆的长轴于一点D ，则DF AB 的值是 257、如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ， 上顶点为B ，若90=∠+∠BFO BAO ，则该椭圆的离心率是 .215-8、如果一个平面与一个圆柱的轴成α（︒<<︒900α）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当=α︒30时，椭圆的离心率是 .23 9、已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S 的方程；（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．①若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．（1） 在直线10x y -+=中令0x =得1y =；令0y =得1x =- 1c b ∴==， 22a ∴=则椭圆方程为2212x y += （2）①(M ,(0,1)N -,M 、N 的中点坐标为(2-，12-)，所以2k =（3）法一：将直线PA 方程y kx =代入2212x y +=，解得x =m =，则(,)P m mk ，(,)A m mk --，于是(,0)C m ，故直线AB 方程为0()()2mk ky x m x m m m +=-=-+代入椭圆方程得22222(2)280k x k mx k m +-+-=，由2222B A k m x x k +=+，因此2322(32)(,)22m k mk B k k +++ (2,2)AP m mk ∴=，2322222(32)22(,)(,)2222m k mk mk mkPB m mk k k k k +-=--=++++ 2222222022mk mkAP PB m mk k k -∴=⨯+⨯=++ PA PB ∴⊥法二：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则， A 、C 、B 三点共线，010110010,2y y y y x x x x x +∴==-+又因为点P 、B 在椭圆上，222200111,12121x y x y ∴+=+=，两式相减得：01012()PB x x k y y +=-+00110010011001()()[]12()()()PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=-=-=-+++ PA PB ∴⊥ 10、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的一条准线L 方程为：x=25-,且左焦点F 到L 的距离为21. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，交L 于点M,若MA 1λ,2λ=,证明21λλ+为定值.(Ⅰ)1522=+y x ……………4分 (Ⅱ)当斜率为0时，易知21λλ+=0； ……………5分当斜率不为0时，可设直线AB 的方程为)0(2≠-=m my x ，设A(11,y x )，B(22,y x )由方程（组）知识结合MA 1λ,MB 2λ得：121-11-=my λ，121-22-=my λ，故：21λλ+=2121212y y y y m +⋅--=0. 综上所述21λλ+为定值. ………12分 11、已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率12e =，且点3(1,)2在该椭圆上；（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AOB ∆的面积为7，求圆心在原点，且与直线l 相切的圆的方程．（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可得12c e a ==，又222223,4a b c b a =+=所以，因为椭圆C 经过3(1,)2， 代入椭圆方程有22914134aa +=，解得2a =，所以21,413cb ==-=故椭圆C 的方程为22 1.43x y += （2）解法一： 当直线l x ⊥轴时，计算得到：33(1,),(1,),22A B ---1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意。
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练4 新人教A版
名校专题----圆锥曲线培优训练41、在ABC ∆中AC =B 是椭圆22154x y +=在x 轴上方的顶点，l 的方程是1y =-，当AC 在直线l上运动时．（1）求ABC ∆外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过定点3(0,)2F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交轨迹E 于,M N 和,R Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值．解：（1）由椭圆方程22154x y +=得点(0,2),B 直线l 方程是1y =-AC ∴=且AC 在直线l 上运动．可设(1),(1),A m C m ---则AC 的垂直平分线方程为x m = ①AB 的垂直平分线方程为12y x -= ②P Q 是ABC ∆的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②，由①和②联立消去m 得26x y =故圆心P 的轨迹E 的方程为26x y =（2）由图可知，直线1l 和2l 的斜率存在且不为零，设1l的方程为32y kx =+，12l l ⊥Q ，2l ∴的方程为132y x k =-+．由23216y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得 2690x kx --=Q △=226360,k ∆=+>∴直线1l 与轨迹E 交于两点．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,9x x k x x +==．2||6(1).MN k ∴===+同理可得：21||6(1).RQ k =+∴四边形MRNQ 的面积2211||||18(2)18(272.2S MN RQ k k =•=++≥+=当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立．故四边形MRNQ 的面积的最小值为72．2、已知圆O:222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F.若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.解：(Ⅰ)因为2a e ==,所以c=1 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2212x y +=(Ⅱ)因为P (1,1),所以12PF k =,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4) 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 与圆O 相切(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切证明:设00(,)P x y(0x ≠),则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-,所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-所以点Q(－2,0022x y +)所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x =, 所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切3、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=.（I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.1. 解：（1）⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02PN GQ Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14922=+y x（2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得||=|AB |，则四边形OASB 为矩形0=⋅∴ 若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x=2，由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴OB OA OB OA 与矛盾，故l 的斜率存在.设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①)]2()][2([2121--=x k x k y y 4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ②把①、②代入2302121±==+k y y x x 得∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.2.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y ax 的长轴长为4，离心率为21，21,F F 分别为其左右焦点．一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切。
数学人教新课标A版圆锥曲线练习题库(6)总结教育文档
第二章圆锥曲线专项训练(7)坐标变换【例题精选】：例1：如果曲线，经过平移坐标轴后的新方程为=1，那么新坐标的原点在原坐标系中的坐标是什么？解：（一）待定系数法：设代入原方程得：代入方程 得即：新坐标的原点在原坐标系中的坐标是（1，－1）（二）配方法：即新坐标原点在原坐标系中的坐标是（1，－1）。
小结：从上面这个例题可以看出，对于缺少xy项的二元二次方程：（Α、C不同时为0）利用坐标轴平移，可以使新方程没有一次项（或没有一个一次项和常数项）从而化成圆锥曲线的标准方程，配方法很简单，应熟练掌握。
例2：用坐标平移化简方程并画出新旧坐标系和方程的曲线。
解：这就是说将原点移到（2，－3）时原方程化简为。
例3：抛物线，把坐标系xoy平移到后，抛物线方程为，求：在原坐标xoy中的坐标。
解：把代入方程令解得在原坐标系中的坐标为小结：此题所用方法叫待定系数法。
例4：平移坐标轴化简方程，并求在原坐标系下的顶点坐标，焦点坐标、准线方程、渐近线方程，对称轴方程。
解：令代入方程得这是焦点在轴上的标准双曲线方程。
在中在中顶点（－2，0）（2，0）（－3，2）（1，2）焦点准线方程：渐近线方程：即对称轴方程小结：作此题的几个关键步骤：1、配方、找出新坐标原点；2、写出在新坐标系下的各种量；3、用对比的方法写出在原坐标系下的各种量。
例5：已知椭圆的长半轴长是5，焦点。
求椭圆方程。
例6：求以（3，0）（0，0）为顶点，离心率为的双曲线方程。
解：∵双曲线的顶点为（3，0）（0，0）∴双曲线的中心为，且焦点在x轴∴双曲线方程为∴例7：焦点F（1，－1），准线方程为，求抛物线方程。
解：∵F（1，－1），准线方程为∴抛物线应为焦点在的直线上且开口向左，即∵焦点到准线的距离∴抛物线的中心，即抛物线的顶点坐标为（2，－1）∴抛物线方程为小结：作上面这几个求曲线方程的过程中可总结出一般步骤：1、根据条件确定中心、定型；2、根据过去所学过的知识确定各种量；3、写出方程。
2016届高考数学一轮复习名校尖子生培优专题训练圆锥曲线训练14新人教A版
圆锥曲线（14）圆锥曲线中的取值范围问题例1、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且3AP PB =，求m 的取值范围．解：（1）当直线斜率不存在时：12m =±（2）当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>（*）212122221,22km m x x x x k k --+==++ ∵3AP PB =，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ，得212123()40x x x x ++=， 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时，上式不成立； 214m ≠时，2222241m k m -=-，∴22222041m k m -=≥-，∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入（*）得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m 。
例2、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =-，(3, 0)MN =-，(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--， 化简得223412x y +=，得22143x y +=.所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x .（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)N AN B x x y y x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k 222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=， 所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 例3、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ⋅ 的取值范围．解： (1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]． 二、针对性练习1.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+=的距 离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的 取值范围.解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a +=，则右焦点)F3=，解得23a =， 故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=（2）设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交，22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+， 21313P APP y m k k x mk+++∴==-，又||||,,AM AN AP MN =∴⊥ 则：23113m k mk k ++-=-，即2231m k =+，② 把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >. 综上求得m 的取值范围是122m <<. 2. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两 点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=， 求λ的取值范围.解：（Ⅰ）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ∴曲线E 的方程为.1222=+y x（Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由 设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH斜率不存在，方程为.31,0===λFG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 3.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴b = ∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=．（2）设),(00y x M )20±≠x （，则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=，),2(00y x MH --=， 由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ，即 ∴0)2)((2000=+--y x x t ． ② 由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x ∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x ， ∴ 12-<<-t ． ∴t 的取值范围为)1,2(--.4.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点）-时，求实数t 取值范围． 解：（Ⅰ）由题意知c e a == 所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x ． （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. 2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+. ∵OP t OB OA =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，∴22216(12)k t k =+.2x -<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >. ∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t kk ==-++， ∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --.。
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练
1、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0），P （1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆证明：（1）在21F PF ∆βαβαsin sin ||||)sin(221++=+PF PF c ∴βαβαsin sin )sin(2+=+c∴2cos 2cos2cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin )sin(22βαβαβαβαβαβαβαβα-+=-++⋅+=++==a c e （2）在21F PF ∆中由余弦定理可知--+=⋅⋅-+=||||2|)||(|2cos ||||2||||)2(212212122212PF PF PF PF PF PF PF PF c θ)2cos 1(||||2)2(2cos ||||221221θθ+⋅⋅-=⋅⋅PF PF a PF PF∴θθ2cos 122cos 14421||||22221+=+-⋅=⋅b c a PF PF∴θθθθtan 2cos 12sin 2sin ||||21222121⋅=+⋅=⋅⋅=∆b b PF PF S F PF 。
1. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =u u u r 点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0PT TF TF ⋅=≠u u u r u u u r u u u r 。
（1）设x 为点P 的横坐标，证明1||c F P a x a=+u u u r； （2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使 △F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不 存在，请说明理由． 解：（1）设点P 的坐标为（x,y ）,由P （x,y ）在椭圆上，得22222212||()()b F P x c y x c b x a=++++-u u u r 2().c a x a =+又由,x a ≥-知0c a x c a a +≥-+>，所以1||.cF P a x a=+ （2） 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上． 当||0PT ≠u u u r且2||0TF ≠u u u r 时，由2||||0PT TF ⋅=u u u r u u u r ，得2PT TF ⊥u u u r u u u r ．又2||||PQ PF =u u u r u u u u r，所以T 为线段F 2Q 的中点．在△QF 1F 2中，11||||2OT FQ a ==u u u r u u u r，所以有222.x y a += 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222.x y a +=（3） C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是2220020,12||.2x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩③④由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M ．当cb a 2≥时，100200(,),(,)MFc x y MF c x y =---=--u u u u r u u u u r，由2222221200MF MF x c y a c b ⋅=-+=-=u u u u r u u u u r ， 121212||||cos MF MF MF MF F MF ⋅=⋅∠u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，212121||||sin 2S MF MF F MF b =⋅∠=u u u ur u u u u r ，得.2tan 21=∠MF F 2.的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．解答：（1）设椭圆方程是x 2a 2 + y 2b 2 = 1 ，由题知b2aa =2所求椭圆的标准方程是x 24 + y 23= 1 ． （2）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），A 、B 关于坐标原点O 对称， CA → =（x 1＋4,y 1），CB →=（x 2＋4,y 2）， CA →·CB →=（x 1＋4,y 1）·（x 2＋4,y 2）=x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2= x 1x 2＋16＋y 1y 2 AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程是y=kx ，代入椭圆方程x 24+ y 23= 1 得21212221212,3434k x x y y k k --==++ ，CA → ·CB → =231334k -+ 由于k 可以取任意实数，故CA → ·CB →∈[12，13），AB 与x 轴垂直时，|CA → |=|CB →ACB 21319CA →·CB →=13，∴CA →·CB →∈[12，13]．3. 已知椭圆C ：22ax ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。
新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程综合训练含解析新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：第三章综合训练(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系Oxy 中,动点P 关于x 轴对称的点为Q ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点P 的轨迹方程为( )A.x 2+y 2=2B.x 2-y 2=2C.x+y 2=2D.x-y 2=2P (x ,y ),Q (x ,-y ),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y )·(x ,-y )=x 2-y 2=2.故选B .2.抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2-y23=1的渐近线的距离是( ) A.12B.√32C.1D.√3y 2=4x 的焦点为(1,0),到双曲线x 2-y 23=1的一条渐近线√3x-y=0的距离为√3×1√(√3)+(-1)=√32.故选B .3.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0),点P 为椭圆C 上一点,且|PF 1|+|PF 2|=10,那么椭圆C 的短轴长是( ) A.6B.7C.8D.9C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0).依题意得,2a=10,∴a=5.又c=3, ∴b 2=a 2-c 2=16,即b=4.因此椭圆的短轴长是2b=8.故选C .4.过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( ) A.√24B.√22C.14D.12A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0.根据题意有x 1+x 2=2×1=2,y 1+y 2=2×1=2,且y 1-y2x 1-x 2=-12,所以2a 2+2b 2×(-12)=0,所以a 2=2b 2,所以a 2=2(a 2-c 2),整理得a 2=2c 2,所以ca=√22,所以e=√22.5.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.83B.52C.3D.2FP⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴点Q 在P ,F 之间,过点Q 作QM ⊥l.垂足为M.由抛物线的定义知|QF|=|QM|.设抛物线的准线l 与x 轴的交点为N ,则|FN|=4.又易知△PQM ∽△PFN ,则|QM ||FN |=|PQ ||PF |,即|QM |4=23,∴|QM|=83,即|QF|=83.故选A .6.已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b 2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±√2y=0 B.√2x ±y=0 C.x ±2y=0D.2x ±y=0c 1,c 2,则e 1·e 2=c1a ·c 2a=√a 2-b 2a·√a 2+b 2a=√a 4-b 4a 2=√32,所以b a=√22,所以双曲线C 2的渐近线方程为y=±b a x=±√22x ,即x ±√2y=0.7.设圆(x+1)2+y 2=25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为( ) A.4x 221−4y 225=1 B.4x 221+4y 225=1 C.4x 225−4y 221=1D.4x 225+4y 221=1,圆心C (-1,0),半径等于5,设点M 的坐标为(x ,y ).∵AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ,∴|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以A ,C 为焦点,且2a=5,c=1,∴b=√212,故椭圆方程为x 2254+y 2214=1,即4x 225+4y 221=1.故选D .8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F 1,F 2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F 1PF 2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A.√3 B.√2C.2√33D.2a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c a 1,a 1=ce 1.双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,e=c a,a=ce,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y (x>y>0),则4c 2=x 2+y 2-2xy cos60°=x 2+y 2-xy ,当P 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x+y )2-3xy=4a 12-3xy ,当P 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x-y )2+xy=4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 12+3a 2,即4c 2=(c e 1)2+3(c e )2,所以(1e 1)2+3(1e )2=4,又1e1=e ,所以e 2+3e2=4,整理得e 4-4e 2+3=0,解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e=√3,即双曲线的离心率为√3.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.已知方程mx 2+ny 2=1(m ,n ∈R ),则( ) A.当mn>0时,方程表示椭圆 B.当mn<0时,方程表示双曲线 C.当m=0时,方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线mn>0时,原方程整理得x 21m+y 21n=1,若m ,n 同负,或1m =1n ,则方程不表示椭圆,故A 错误:当mn<0时,1m 与1n 异号,方程表示双曲线,故B 正确;当m=0时,方程是ny 2=1,当n ≤0时,方程无解,故C 错误;无论m ,n 为何值,方程都不可能表示抛物线,故D 正确.故选BD .10.以下关于圆锥曲线的说法不正确的是( )A.设A ,B 为两个定点,k 为非零常数,||PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆O 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.若曲线C :x 24-k+y 2k -1=1为双曲线,则k<1或k>4D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有2条,必须有k<|AB|,动点P 的轨迹才为双曲线,故A 不正确;∵OP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴P 为弦AB 的中点,故∠APO=90°,则动点P 的轨迹为以线段AO 为直径的圆,故B 不正确;显然C 正确;过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线:x=0,y=1,y=x+1,故D 不正确.故选ABD .11.已知△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,若圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,该圆锥曲线E 的离心率可以是( ) A.√2-1 B.√22C.√2D.√2+1△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a =ABCA+CB =√22, 当C=π4时,离心率e=ABCA+CB =√2+1=√2-1;(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,则只有C=π4, 此时,离心率e=2c2a =AB|CA -CB |=√2-1=√2+1.12.(2020山东济南一中月考)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( )A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=1MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a',则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y 2-xy-xy=8c 23,所以(a')2=2c 23,即e 2=√62,故e2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x 的双曲线的标准方程为 .2a=6,∴a=3.当焦点在x 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x ,∴b 3=32,∴b=92,∴方程为x 29−y 2814=1;当焦点在y 轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x , ∴3b=32,∴b=2,∴方程为y 29−x 24=1.故双曲线的标准方程为y 29−x 24=1或x 29−y 2814=1.x 24=1或x 29−y 2814=114.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是 .x 轴上,则椭圆的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0),焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),如图所示.若点M 满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得点M 在以F 1F 2为直径的圆上运动. ∵满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部,∴以F 1F 2为直径的圆是椭圆内部的一个圆,即圆的半径小于椭圆的短半轴长. 由此可得b>c ,即√a 2-c 2>c ,解得a>√2c. 因此椭圆的离心率e=ca <√22, ∴椭圆离心率的取值范围是0,√22.答案0,√2215.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m .已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ,B 两点,则A ,B 两点间的距离|AB|= .,水平向右为x 轴正方向,竖直向上为y 轴正方向(图略).设抛物线方程为x 2=-2py ,将点(-2,-2)代入x 2=-2py ,解得p=1,∴x 2=-2y ,焦点(0,-12), 即直线方程为y=2x-12, 联立方程{x 2=-2y ,y =2x -12,得4y 2+36y+1=0,有y 1+y 2=-9,∵焦点在y 轴负半轴,∴由焦点弦公式得|AB|=-(y 1+y 2)+p=10.16.已知点F (-c ,0)(c>0)是双曲线x 2a2−y 2b 2=1的左焦点,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c 2交于点F 和另一个点P ,且点P 在抛物线y 2=4cx 上,则该双曲线的离心率的平方e 2的值为 .,设双曲线的右焦点为F',由题意可知FF'为圆x 2+y 2=c 2的直径.设P (x ,y )(x>0), 则有{ y 2=4cx , ①x 2+y 2=c 2,②y x +c =b a,③ 将①代入②得x 2+4cx-c 2=0, 则x=-4c±2√5c2=-2c ±√5c ,即x=(√5-2)c 或x=(-√5-2)c (舍去),将x=(√5-2)c 代入③,得√5c -2c+c=ba ,即y=bc (√5-1)a,再将x ,y 的表达式代入①,得b 2c 2(√5-1)2a 2=4c 2(√5-2),即b 2(√5-1)2a 2=4(√5-2),∴b 2a 2=√5(√5-1)2=c 2-a 2a 2=e 2-1,解得e 2=√5+12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2√33,直线l 过A (a ,0),B (0,-b )两点,原点O 到直线l的距离是√32. (1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M ,N 两点,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,求直线m 的方程.依题意得l 的方程为xa+y-b =1,即bx-ay-ab=0.由原点O 到直线l 的距离为√32,得√a 2+b2=ab c=√32, 又e=ca =2√33,∴b=1,a=√3. 故所求双曲线方程为x 23-y 2=1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设直线m 的方程为y=kx-1,则点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是方程组{y =kx -1,x 23-y 2=1的解,消去y ,得(1-3k 2)x 2+6kx-6=0.①依题意知1-3k 2≠0,当Δ=36k 2-4(1-3k 2)·(-6)=24-36k 2>0,即k 2<23时,由根与系数的关系,得x 1+x 2=6k 3k 2-1,x 1x 2=63k 2-1,∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1-1)(kx 2-1)=(1+k 2)x 1x 2-k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2-1−6k 23k 2-1+1=63k 2-1+1=-23,解得k=±12.当k=±12时,方程①均有两个不相等的实数根, ∴直线m 的方程为y=12x-1或y=-12x-1.18.(12分)已知动圆C 过定点F (0,1),且与直线l 1:y=-1相切,圆心C 的轨迹为E. (1)求动点C 的轨迹方程;(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ,Q ,且PQ 中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离,知点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为x 2=4y. (2)由题意易知直线l 2的斜率存在,又抛物线方程为x 2=4y ,当直线l 2的斜率为0时, |PQ|=4√2.当直线l 2的斜率k 不为0时,设中点坐标为(t ,2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有x 12=4y 1,x 22=4y 2,两式作差得x 12−x 22=4(y 1-y 2),即得k=x 1+x 24=t 2,则直线l 2的方程为y-2=t2(x-t ),与x 2=4y 联立得x 2-2tx+2t 2-8=0.由根与系数的关系得x 1+x 2=2t ,x 1x 2=2t 2-8, |PQ|= √(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√(1+t 24)[4t 2-4(2t 2-8)]=√(8-t 2)(4+t 2)≤6,当且仅当8-t 2=4+t 2,即t=±√2时,等号成立. 即|PQ|的最大值为6. 19.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,焦距为2. (1)求椭圆C 的方程;(2)记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,椭圆C 上存在点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求四边形OAPB 的面积.由题意知c=1,a=2,则b=√3,故椭圆C 的方程是x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0), 设直线l :y=kx+m.由{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0,故Δ=48(4k 2+3-m 2)>0且{x 1+x 2=-8km3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2. 由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得{x 0=x 1+x 2,y 0=y 1+y 2, 又点P 在椭圆C 上,所以(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,其中x 1+x 2=-8km3+4k2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m=6m3+4k 2,代入(x 1+x 2)24+(y 1+y 2)23=1,化简可得4m 2=3+4k 2.|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2(4√3×√3+4k 2-m 2)3+4k 2,坐标原点到直线l 的距离d=√1+k 2.所以四边形OAPB 的面积S=|AB|·d=4√3×√3+4k 2-m 2·|m |3+4k 2 =12m 24m 2=3. 20.(12分)在平面直角坐标系中,椭圆M :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右顶点分别为A ,B ,线段AB的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限,过点A ,B 分别作l 1⊥PA ,l 2⊥PB ,直线l 1,l 2交于点C. (1)若点C 的横坐标为-1,求点P 的坐标;(2)直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ的取值范围.由题意得{ca =12,2a =4,解得a=2,c=1,∴b 2=a 2-c 2=3. ∴椭圆M 的方程是x 24+y 23=1,且A (-2,0),B (2,0),设P (x 0,y 0),则k PA =y 0x+2,∵l 1⊥PA ,∴直线AC 的方程为y=-x 0+2y 0(x+2),同理,直线BC 的方程为y=-x 0-2y 0(x-2).联立方程{y =-x 0+2y 0(x +2),y =-x 0-2y 0(x -2),解得{x =-x 0,y =x 02-4y 0, 又∵x 02-4y 0=4-43y 02-4y 0=-43y 0,∴点C 的坐标为(-x 0,-43y 0),∵点C 的横坐标为-1,∴x 0=1.又P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴y 0=32, ∴P 点的坐标为(1,32). (2)设Q (x Q ,y Q ),∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{-x 0+2=λ(x Q +2),-43y 0=λy Q ,解得{x Q =-x 0λ+2λ-2,y Q =-43λy 0, ∵点Q 在椭圆M 上,∴14(-x 0λ+2λ-2)2+13(-43λy 0)2=1,又y 02=3(1-x 024),整理得7x 02-36(λ-1)x 0+72λ-100=0,解得x 0=2或x 0=36λ-507,∵P 为椭圆M 上第一象限内一点,∴0<36λ-507<2,解得2518<λ<169,故λ的取值范围为(2518,169).21.(12分)如图,M 是抛物线y 2=x 上的一点,动弦ME ,MF 分别交x 轴于A ,B 两点,且MA=MB. (1)若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;(2)若M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心G 的轨迹方程.M (y 02,y 0),点E (x E ,y E ),F (x F ,y F ),直线ME 的斜率为k (k>0),由|MA|=|MB|可知直线MF 的斜率为-k ,即直线ME 的方程为y-y 0=k (x-y 02). 由{y -y 0=k (x -y 02),y 2=x ,消去x ,得ky 2-y+y 0(1-ky 0)=0, 解得y E =1-ky 0k,则x E =(1-ky 0)2k 2. 同理可得y F =1+ky 0-k,x F =(1+ky 0)2k 2.故直线EF 的斜率 k EF =y E -y FxE -x F=1-ky 0k -1+ky 0-k(1-ky 0)2k 2-(1+ky 0)2k 2=2k -4ky 0k 2=-12y 0(定值).因此,直线EF 的斜率为定值.M (y 02,y 0).∵当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1.∴直线ME 的方程为y-y 0=x-y 02.由{y -y 0=x -y 02,y 2=x得E ((1-y 0)2,1-y 0). 同理可得F ((1+y 0)2,-(1+y 0)).设重心G (x ,y ),则有{ x =x M +x E +x F 3=y 02+(1-y 0)2+(1+y 0)23=2+3y 023,y =y M +y E +y F 3=y 0+(1-y 0)-(1+y 0)3=-y 03, 消去参数y 0,得y 2=19x-227(x >23).22.(12分)设圆x 2+y 2-2x-15=0的圆心为M ,直线l 过点N (-1,0)且与x 轴不重合,l 交圆M 于A ,B 两点,过点N 作AM 的平行线交BM 于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C 的轨迹方程;(2)设点C 的轨迹为曲线E ,直线l 1:y=kx 与曲线E 交于P ,Q 两点,点R 为曲线E 上一点,若△RPQ 是以PQ 为底边的等腰三角形,求△RPQ 面积的最小值.圆x 2+y 2-2x-15=0可化为(x-1)2+y 2=16,∴圆心M (1,0),半径|MB|=4.又过点N 作AM 的平行线交BM 于点C ,∴AM ∥NC.又|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC ,∴|CN|=|CB|.∴|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2,∴点C 的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0).(1)可知点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0),易知k ≠0,设P (x 1,y 1),由{y =kx ,x 24+y 23=1消去y ,得(3+4k 2)x 2=12,解得{x 12=123+4k 2,y 12=12k 23+4k 2, 则|OP|=√x 12+y 12=√123+4k 2+12k 23+4k 2=√12(1+k 2)3+4k 2.∵△PQR 是以PQ 为底边的等腰三角形,∴RO ⊥PQ ,∴k RO ·k PQ =-1,则k RO =-1k .同理,|OR|=√12[1+(-1k ) 2]3+4(-1k ) 2=√12(1+k 2)3k 2+4.∴S △RPQ =12×|PQ|×|OR|=12×2×√12(1+k 2)3+4k 2×√12(1+k 2)3k 2+4 =2√(3+4k 2)(4+3k 2).(方法1)S △RPQ =2√(3+4k 2)(4+3k 2)≥12(1+k 2)3+4k 2+4+3k 22=12(1+k 2)72(1+k 2)=247,当且仅当3+4k 2=4+3k 2,即k=±1时,等号成立. ∴S △RPQ min =247.(方法2)S △RPQ =2√(3+4k 2)(4+3k 2)=12√k 4+2k 2+112k 4+25k 2+12=12√k 4+2k 2+112(k 4+2k 2+1)+k 2=12√112+k 2k 4+2k 2+1=√12+1k 2+2+1k 2≥√12+14=247,当且仅当k 2=1k2,即k=±1时,等号成立.∴S △RPQ min =247.。
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标）高考数名校尖子题合 新人教 A 版 】 1．理解摆合的观点 . 2．能数原摆列数公合数公式． 3．能 【 此部分内容趋向为 : 1. 摆合式定年来高考重点内容之一 ,一、，主要考察数 原理、摆列合数公式的运用以睁开式，在考察摆合式定知识 ，又考察转变思想议论等思想，以及题、题的能力 . 2. 高考持考察这部分,形 . 【重点梳理】 1．摆列 (1) 摆列的观点：从 n 个不一样元素中，任取 m (m ≤ n ) 个元素里的被取元素各不同样 ) 依据一列，叫做从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列． (2) 摆列数：从 n 个不一样元素中，任取 m ( m ≤ n )个元素的全部摆列的个数叫做从 n 个不一样元素中拿出m 个元素的摆列数，用符号 A 表示． (3) 摆列数公式 A ＝n ( n －1)( n －2) ⋯ ( n －m ＋1) ． (4) 全摆列数公式 A ＝n ( n －1)(－2) ⋯ 2· 1＝ n ！( 叫做 n 乘 ) ． 合 (合：一般地，从 n 个不一样元素中拿出 ( m ≤ n ) 个元素并，叫做从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的合． (合数：从 n 个不一样元素中拿出 m ( m ≤ n ) 个元素的合的个数，叫做从 n 个不一样元素中拿出 m 个元合数．用符号 C 表示． (合数公式 C ＝＝＝ ( n ， m ∈N *，且 m ≤ n ) 地 C ＝1. (合数：① C ＝C ；② C ＝ C ＋C. 精析】 考点一 题 例 1. 某台小型晚会由6，有以下要目甲一定排在第四目乙不可以排在第一 目丙一定排在最后一台目排方案共有（ ） （ A ） 36 种 （ B ） 42种 (C)48 种 （D ） 54 种1式】1.手 依 次， 其手 甲 不 再第 一 个 也 不 再 最 后 一 个不 同 的次 序 共 有 （ ） （A ） 种 （ B ） 种 （C ） 种 （D ）种 考 点题 例 2. 某，，一位同学从，若要课程中各一 不一法共有（ ） (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种【名师点睛】主要考察组计数原理 , 以议论的数学思想，考察了学生的运算能力以及分 题、题的能力 . 2.1，2，3， 4，5，6 的卡片放入 3 个不一的卡片放入同一信不一样的方法共有（ ） （A ） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种专区】 ：用 2例.安排 6在今年 6 月 14日至 16 日（假班，每日安排 2 人，班 1 天 . 若6中的14 日，16 不一样的安排方法共有（ ） （A ）30 种 （B ）36 种 （C ）42 种 （D ）48 种 点睛】 主要考察了摆, 娴熟基是解的重点. 】 1. 将 ， 名学生疏成 安排到甲、乙两地参加，每由 名教师 和 名，不一样的安排方案共有（ ） 种 种 种 种 【答案】 A 【分析】甲地由 名教师和 名学生： 种. 2. 将字母 a,a,b,b,c,c, 排成三行两列，要求每行的字母互不同样，每列的字母也互不同样，则不一样的摆列 方法共有（ ） （A ）12 种（ B ）18 种（ C ）24 种（ D ）36 种 【答案】 A 【分析】第一步先排第一列有 ，在排第二列，当第一列确准时，第二列有两种方法，如图 ，因此共有 A. 3．正五棱柱中，不一样在面且不一样在任何底面，那么一个正五棱柱对的条数共有（ ） A ． 20 B ． 15 C ．12 D ．10 34．)，用四种不图中的 A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂色中每条 线段的两个端点涂不不一样的涂色方法共有（ ） （A ） 288 种 （ B ）264 种 （C ） 240 种 （D ）168 种出名同学支进行讲座，名每同学可择此中的座，不法的种数是 （ ） A ． B. C.D. 【答案】 A 6．）由 1、2、3、4、没有重复数字且 1、2 都不与 5的五位数的个数是（ ） （A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）24 7．将 5 位志愿者分红，此各 2 人，1 人，分赴世博会的方案有 种（用数字作答）． 【答案】 90 4回放】1. 若从 1，2，2，⋯ ，9 个整数取 4 个不一样的数，偶不一样的取法共有（ ） A ． 60 种 B ． 63 种 C ． 65种 D ．66 种 有 不一样的卡片，色、黄色卡片各，从中任取，些卡片不可以是 同色色卡片至多，不一样取法的（ ） （A ）232 (B)252 (C)472 (D)484 3. 乓球竞赛3 胜，全部可的情况（局次的不 为不一样情况）共有（ ） （A ） 10 种 （B ）15 种 （ C ） 20 种 （D ） 30 种 4．由 1、2、3、4、5没有重复数字且 1、3 都不与 5的六位偶数的个数是（ ）（A ）72 （B ）96 （C ）108（D ） 144 w_w_w.k*s5*u.c o*m 551，2，3，4，5，6 的卡片放入 3 个不一样的信封中．若每个信封放，1， 2 的卡片放入同一信不一样的方法共有（ ） （A ）12 种 （B ）18 种 （C ）36 种 （D ）54 种 6.位安排 7在 10 月 1 日至 7班，每日安排 1 人，班 1 天，若 7中的甲、乙排两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 不一样的安排方案共有（ ） （A ） 504 种 （B ） 960 种 （C ） 1008 种 （D ） 1108种 【答案】 C 【分析】：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 种方法 甲乙, 丙排 7 号或不排 7 号，共有 种方法 故共有 1008 种不一样的排法 7 6 位同业聚念品的互换，随意两位同最多互换一行互换的两位同学 念品，已知 6 位同行了 13 次互收到念品的同学（ ） 或 或 或 或 6。
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圆锥曲线（14）圆锥曲线中的取值范围问题例1、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且3AP PB =，求m的取值范围．解：（1）当直线斜率不存在时：12m =±（2）当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+> （*） 212122221,22km m x x x x k k --+==++ ∵3AP PB = ，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ，得212123()40x x x x ++=， 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时，上式不成立； 214m ≠时，2222241m k m -=-，∴22222041m k m -=≥-，∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入（*）得211-<<-m 或121<<m∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m 。
例2、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅- ≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =- ，(3, 0)MN =- ，(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--， 化简得223412x y +=，得22143x y+=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x .（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+-- ]1)()[1(21212++-+=x x x x k 222222243)1(943438124)1(kk k k k k k ++-=+++--+=， 所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 例3、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ⋅ 的取值范围．解： (1,3)AP = ，设Q （x ，y ），(3,1)A Q x y =-- ，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]．二、针对性练习1.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+的距 离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的 取值范围.解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)F3=，解得23a =， 故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=（2）设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 直线与椭圆相交，22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+，从而231P P m y kx m k =+=+， 21313P APP y m k k x mk+++∴==-，又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k ++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 2. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .（I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两 点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足λ=， 求λ的取值范围.解：（Ⅰ）.0,2=⋅= ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ∴曲线E 的方程为.1222=+y x （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则)2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得 .331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 3.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围. 解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴b = ∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． （2）设),(00y x M )20±≠x （，则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t --=，),2(00y x --=， 由MH MP ⊥可得0=⋅，即 ∴0)2)((2000=+--y x x t ． ② 由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x ∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x ， ∴ 12-<<-t ． ∴t 的取值范围为)1,2(--.4.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足t =+（O 为坐标原点）-时，求实数t 取值范围．解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==， 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =．又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x ． （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. 2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+ . ∵t =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，∴22216(12)k t k =+.-12x -<22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++ ，∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >. ∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --.。