二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数与函数凹凸性证明
二阶导数与函数凹凸性证明函数的凹凸性是微积分中的重要概念，与函数的二阶导数密切相关。
在本文中，我们将证明二阶导数与函数凹凸性之间的关系。
首先，我们先来定义函数的凹凸性。
设函数f(x)在区间I上有定义，对于任意的x1和x2属于I，以及0≤t≤1，若满足以下两个条件：1. f((1-t)x1+tx2)≤(1-t)f(x1)+tf(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；2. f((1-t)x1+tx2)≥(1-t)f(x1)+tf(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
接下来我们证明：若函数f(x)在区间I上具有二阶导数，则f(x)的凹凸性与其二阶导数的正负性之间有关。
我们分别证明凹函数和凸函数的情况。
证明一：凹函数的二阶导数推导假设函数f(x)在区间I上是凹函数且具有二阶导数，则有：f((1-t)x1+tx2) ≤ (1-t)f(x1)+tf(x2)对上式两边关于t求导，并且忽略关于t的函数：f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1) ≤ f'(x2)-f'(x1)由于(1-t)x1+tx2是x1和x2的线性组合，根据拉格朗日中值定理，存在c属于(x1, x2)，使得：f''(c)(x2-x1)=f'(x2)-f'(x1)将上式代入原不等式，得：f''(c)(x2-x1) ≤ f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1)由于x2-x1不等于0且为常数，所以可以除以(x2-x1)，并且令d=(1-t)x1+tx2，得：f''(c)≤f''(d)这意味着函数f(x)的二阶导数在区间I上是非递减的，即二阶导数的正负性与函数凹凸性之间存在关联。
证明二：凸函数的二阶导数推导假设函数f(x)在区间I上是凸函数且具有二阶导数，则有：f((1-t)x1+tx2) ≥ (1-t)f(x1)+tf(x2)对上式两边关于t求导，并且忽略关于t的函数：f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1) ≥ f'(x2)-f'(x1)由于(1-t)x1+tx2是x1和x2的线性组合，根据拉格朗日中值定理，存在c属于(x1, x2)，使得：f''(c)(x2-x1)=f'(x2)-f'(x1)将上式代入原不等式，得：f''(c)(x2-x1) ≥ f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1)由于x2-x1不等于0且为常数，所以可以除以(x2-x1)，并且令d=(1-t)x1+tx2，得：f''(c)≥f''(d)这意味着函数f(x)的二阶导数在区间I上是非递增的，即二阶导数的正负性与函数凹凸性之间存在关联。
函数二阶导数的几何意义
函数二阶导数的几何意义函数的二阶导数的几何意义是一个非常重要的概念，在微积分和几何学中具有广泛的应用。
二阶导数描述了函数曲线的曲率以及变化率的变化率。
在本文中，我将详细介绍二阶导数的几何意义，包括曲率和曲线形状的描述，以及凹凸性和拐点的判断。
一、曲率和曲线形状的描述曲率是曲线弯曲程度的衡量，可以用来描述曲线在其中一点上的弯曲程度。
对于一个函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以描述函数曲线在x点上的曲率。
考虑一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
它的一阶导数是f'(x) = 2ax + b，二阶导数是f''(x) = 2a。
从二阶导数的值可以看出，曲线的曲率只取决于常数a。
当a>0时，二阶导数为正，曲线向上开口，即为一个凸曲线；当a<0时，二阶导数为负，曲线向下开口，即为一个凹曲线。
这说明曲线的凸凹性与二阶导数的正负有关。
对于一般的函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以被解释为曲线在x点上的局部弯曲程度。
如果二阶导数为正，表示曲线在该点凸起，即向上弯曲；如果二阶导数为负，表示曲线在该点凹陷，即向下弯曲。
二阶导数的绝对值越大，表示曲线的弯曲程度越大。
此外，二阶导数的符号还可以表示曲线的拐点。
二、凹凸性与拐点的判断对于函数f(x)，如果它在区间I上的二阶导数f''(x)恒大于0，那么函数f(x)在区间I上是凸函数；如果它的二阶导数f''(x)恒小于0，那么函数f(x)在区间I上是凹函数。
凸函数和凹函数在数学和经济学中具有重要的应用。
在最优化问题中，凸函数是一类重要的函数形式，可以用来描述最小化问题的约束条件和目标函数。
在经济学中，凸函数可以用来描述效用函数、生产函数和成本函数等。
拐点是指曲线在该点突然改变弯曲方向的位置。
对于函数f(x)，它的二阶导数f''(x)为0的点就是可能的拐点。
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用曲线的凹凸性与拐点之袁州冬雪创作讲授方针与要求通过学习，使学生掌握操纵二阶导数的符号断定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描画函数图形打好基础，同时，懂得拐点的定义和意义.讲授重点与难点讲授重点：操纵函数的二阶导数断定曲线的凹凸性与拐点.讲授难点：懂得拐点的定义和意义.讲授方法与建议证明曲线凹凸性断定定理时，除了操纵“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果操纵“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生贯通不到思想，摸不着头脑.在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性其实不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关.讲授过程设计1. 问题提出与定义函数的单调性对于描画函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还不克不及准确描画出函数的图形.比方，如果在区间上，，则我们知道在区间上单调增，但作图（拜见图1）的时候，我们不克不及断定它增加的方式（是弧，还是弧），即不克不及断定曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于掌控函数的性态、作图等是很有需要的！在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，无妨取作割线，我们总会发现不管两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式.来描绘同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式来描绘.由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义设在区间I上持续，如果对I上任意两点，，恒有则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧.如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点.2. 凹凸性断定定理的引入曲线凹凸性的定义自然能辨别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来讲断定起来也不容易.因此，我们就想可否用其它方法来断定曲线的凹凸性.函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜测凹凸性是否和有关？颠末分析，并操纵泰勒公式，可证实我们的猜测是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了断定曲线凹凸性的定理.在上持续, 在内具有二阶持续导数,那末：（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；（2）若在内<0，则在上的图形是凸的.3. 辨别凹凸性和拐点举例例1. 断定曲线y x3的凹凸性.解y3x 2,y6x.由y0, 得x0因为当x<0时,y<0, 所以曲线在(,0]内为凸的;因为当x>0时,y>0, 所以曲线在[0,)内为凹的.例2. 求曲线y2x 33x 22x14的拐点.解y6x 26x12,.令y0, 得因为当时,y0;当时,y0,所以点(,??是曲线的拐点例??求函数的凹凸区间和拐点．解：函数的定义域为，，且，令，得．列表：（）0+0－0+有拐点有拐点由表可知，当时，曲线有拐点和，表中暗示曲线是凹的，⌒暗示曲线是凸的．函数的图像如图（3）所示.4. 确定曲线y f(x)的凹凸区间和拐点的步调:(1)确定函数y f(x)的定义域;(2)求出在二阶导数f`(x);(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)断定或列表断定, 确定出曲线凹凸区间和拐点;注: 根据详细情况（1）（3）步有时省略.5 学生黑板操练操练 1.断定下列曲线的凹凸性及拐点.（1），（2），（3）.6.小结1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形停止直观说明，使导数符号与曲线形态特征相连系，加深对辨别法的懂得.2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形停止直观说明，使导数符号与曲线形态特征相连系，加深对辨别法的懂得.作业 P75:1,2,3。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
曲线上的
七、作业
知识回顾 Knowledge Review
若函数上连续在内具有一二阶导数则1若果在内有2若果在内有拐点三拐点拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
yoxFra bibliotekox
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
那么称 f (x)在 I上的图形是凹的。
二、曲线凹凸的判定
观察：
y
y
o
x
凹：切线的的斜率递增 f (x) 递增，即 f (x) 0
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则
（1）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的.
（2）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲 线的凹凸区间和拐点。
五、应用举例
例判断函数 f (x) 2x3 3x2 36x 25的凹凸区间与拐点.
六、小结
1.凹凸的定义：曲线与弦的位置关系 点和弦上点的位置关系 2.凹凸的判定：二阶导数的符号；
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理二阶导数怎么用拉格朗日中值定理一、引言二阶导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了函数曲线的凹凸性。
而拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它联系了函数的导数和函数值。
本文将通过深入理解二阶导数以及它如何与拉格朗日中值定理相结合，帮助读者更好地理解这些概念和方法。
二、二阶导数的定义和性质1. 什么是二阶导数？二阶导数是函数在某一点的导数的导数，可以理解为对函数曲线进行两次微分得到的结果。
在一元函数的情况下，二阶导数可以通过对原函数的一阶导数再次求导得到。
若函数f(x)的一阶导数存在，则f(x)的二阶导数可表示为f''(x)或d^2y/dx^2。
2. 二阶导数的凹凸性二阶导数可以描述函数曲线的凹凸性。
如果在一个区间内，函数的二阶导数大于零，则函数曲线在该区间内凸; 如果二阶导数小于零，则函数曲线在该区间内凹。
如果二阶导数恒大于零或者恒小于零，则函数曲线称为严格凸或严格凹。
三、拉格朗日中值定理1. 什么是拉格朗日中值定理？拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它建立了函数导数与函数值之间的联系。
定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，则存在一个c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理的物理几何意义是：在曲线上至少存在一点，该点的切线与曲线上两点间的连线平行。
2. 二阶导数与拉格朗日中值定理的关系由拉格朗日中值定理可知，函数在开区间(a,b)上可导，则在该区间内一定存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
如果再对该等式两边同时求导，由于导数的连续性，我们可以得到f''(c)=0。
这说明了二阶导数在满足特定条件下的应用，即当函数在两点间的变化率恒为常数时，存在某一点的二阶导数为零。
四、二阶导数在实际问题中的应用1. 函数的拐点二阶导数可以告诉我们函数曲线上的拐点。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
求函数的凹凸区间及拐点的步骤
求函数的凹凸区间及拐点的步骤一、概念解析在数学中，我们经常会遇到求函数的凹凸区间及拐点的问题。
这涉及到了函数的二阶导数，以及函数图像的变化规律。
下面我将按照从简到繁的方式，逐步探讨这一主题。
1. 凹凸性的概念我们需要了解什么是函数的凹凸性。
对于函数f(x)，若在区间I上满足f''(x)>0（f''(x)表示f(x)的二阶导数），则称函数f(x)在I上是凹的；若在区间I上满足f''(x)<0，则称函数f(x)在I上是凸的。
2. 拐点的概念另外，拐点指的是函数图像上的一个特殊点，该点对应的二阶导数f''(x)发生变号的点。
二、步骤探究接下来，我们将讨论求函数的凹凸区间及拐点的具体步骤。
我将结合具体的例子来说明每一步的操作方法，以便你能更深入地理解。
1. 求导数我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数，分别记为f'(x)和f''(x)。
这一步是求凹凸区间及拐点的基础。
2. 解方程f''(x)=0在区间I上，我们需要解方程f''(x)=0，找出f(x)的二阶导数为0的点。
这些点就是函数可能存在拐点的位置。
3. 列出数表我们需要列出f''(x)的变号区间，并通过数表的形式进行展示。
在这一步，我们可以通过选取区间内的特定点，代入f''(x)的值，来判断函数的凹凸性。
4. 确定凹凸区间及拐点根据数表中f''(x)的正负情况，我们可以确定函数f(x)的凹凸区间，并找出拐点的具体位置。
这样，我们就完成了求函数的凹凸区间及拐点的步骤。
三、总结回顾通过以上步骤，我们可以比较清晰地了解了如何求函数的凹凸区间及拐点。
在实际应用中，我们可以通过这些步骤，快速、准确地分析函数的凹凸性质，从而更好地理解函数的图像特征。
个人观点：求函数的凹凸区间及拐点是数学中的重要问题，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题的解决中发挥着重要作用。
高等数学曲线的凹凸性与拐点
高等数学曲线的凹凸性与拐点高等数学曲线中经常会遇到凹凸性和拐点，这两类现象事关重大，对于函数的图像分析有很重要的作用。
本文将对凹凸性和拐点做一个
详细的介绍，以帮助理解高等数学曲线的关系。
首先，对于凹凸性来说，简单来讲，就是指曲线在两端的作用力
的不同，借此来判断曲线的弯曲程度以及连接点的位置。
凹凸性可以
分为凸函数和凹函数，两种函数的特点都是当输入值增大的时候，输
出结果的变化的趋势是不断上升的，但是凹凸性不同，当曲线两边的
作用力不同时，就会有所不同，曲线的形状也会有不同的变化，凸函
数输入值增大时会出现上升的趋势，凹函数则会出现下降的趋势。
因此，凹凸性是指曲线有凹函数和凸函数之分，关系到它们的形状及其
连接处的位置。
其次是拐点。
简单来说，就是在曲线上出现可逆变化的点。
也就
是在曲线上某个特殊点，曲线两边的切线方向相反，就是拐点。
拐点
的判断有两个关键点，第一个是曲线的二阶导数，第二个是曲线的三
阶导数。
如果曲线的二阶导数是0，而且它的三阶导数也不是0或者小于0，那么它就是一个拐点，拐点处曲线切线方向就会发生变化。
以上就是高等数学曲线凹凸性和拐点的相关介绍，凹凸性和拐点都是非常重要的问题，影响着该曲线的分析与研究，这一点读者一定要引起足够的重视，同时还要多加研究，深入了解曲线的凹凸性和拐点，来进一步深入理解曲线的内在结构，对更好的进行数学分析有很大帮助。
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
在数学和物理学中，我们经常需要分析曲线的性质，如凹凸性
和拐点。
掌握这些判定方法可以帮助我们更好地理解曲线的行为和
特征。
本文将介绍一些常用的方法来判断曲线的凹凸性和拐点。
凹凸性的判定方法
一阶导数的方法
曲线的凹凸性与一阶导数的正负相关。
若曲线上任意一点处的
一阶导数大于零，则曲线在该点上是凸的；若一阶导数小于零，则
曲线在该点上是凹的。
二阶导数的方法
曲线的凹凸性也可以通过二阶导数来判断。
求曲线的二阶导数，然后观察二阶导数的正负性。
若二阶导数恒大于零，则曲线是凸的；若二阶导数恒小于零，则曲线是凹的。
切线的方法
通过画出曲线上某一点的切线，观察切线与曲线相交的情况可以判断凹凸性。
如果曲线上的切线位于曲线下方，那么曲线在该点是凹的；如果切线位于曲线上方，曲线在该点是凸的。
拐点的判定方法
拐点是曲线上的特殊点，曲线在该点上发生凹凸性的变化。
下面介绍一些常用的方法来判断拐点。
二阶导数的方法
寻找曲线上的拐点可以通过观察二阶导数的零点来判断。
如果二阶导数在某一点处为零并且两侧符号不同，那么该点就是曲线的拐点。
曲率的方法
曲线上某一点的曲率表示了曲线在该点上的弯曲程度。
拐点处的曲率会发生突变。
因此，通过计算曲线在不同点处的曲率，并观察曲率的变化情况，可以确定曲线上的拐点。
总结
通过使用一阶导数、二阶导数和曲率等方法，我们可以判断曲线的凹凸性和拐点。
这些方法在数学和物理学的分析中是常用的，能够帮助我们更全面地了解曲线的特性。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。
求曲线凹凸区间和拐点的步骤
求曲线凹凸区间和拐点的步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊求曲线凹凸区间和拐点那些事儿。
你看啊，这曲线就像人生的道路，有起有伏。
那凹凸区间呢，就像是路上的坑坑洼洼或者小山坡。
而拐点呢，就好比是人生的转折点呀！
要找到这些凹凸区间和拐点，咱得一步步来。
先得求出函数的二阶导数，这二阶导数就像是个探测仪。
它能告诉我们曲线是向上凸还是向下凸。
比如说，二阶导数大于零，那曲线就是向下凸的，就好像一个碗口朝下的碗；要是二阶导数小于零呢，曲线就是向上凸的，像个反过来的碗。
这多形象啊！
然后呢，咱就根据二阶导数的正负情况来划分凹凸区间。
这就像是给曲线分块，每一块都有它独特的“性格”。
在这个过程中，可得细心点儿，别像马大哈似的。
万一弄错了，那可就闹笑话啦！就好比你走在路上，把上坡当成下坡，那不就栽跟头啦！
找到这些区间后，再看看二阶导数等于零或者不存在的点，这些点就有可能是拐点。
但可别以为这些点一定就是拐点哦，还得像侦探一样仔细考察考察它们两边的凹凸性是不是不一样。
你说这是不是挺有趣的？就跟玩游戏似的，一步步探索，一点点发现。
咱再举个例子吧，就像解方程似的。
把一个具体的函数拿过来，按照步骤一步步操作，看着曲线的凹凸变化，感受着数学的奇妙。
总之啊，求曲线凹凸区间和拐点虽然有点小麻烦，但只要咱有耐心，一步一步来，肯定能搞得清清楚楚。
这不仅能让我们更深入地理解函数，还能让我们感受到数学的魅力呢！所以啊，大家别怕麻烦，大胆去尝试，去探索，相信你们一定能掌握这个有趣的知识！。
高等数学-曲线的凹凸性及拐点
曲线的凹凸性和拐点的判别
例3 求曲线 =
解
3
的凹凸区间和拐点.
定义域为(−∞, +∞).
′
=
1
3
3 2
,
″
=−
2
39Leabharlann 2. = 0时， ′ ，′′都不存在.
+
凹
0
凸
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, 0) ，凸区间为(0， + ∞)，
曲线的拐点为 (0,0).
9
″ () = 12 2 − 30 + 12 = 6(2 − 1)( − 2)，
令 ″ ()
= 0，得1 =
+
凹
1
，2
2
0
= 2.
凸
0
+
凹
1
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, )和(2, +∞)，凸区间为
2
1
1 7
( , 2)，曲线的拐点为( , )和(2, −5).
2
2 16
8
02
微分中值定理及导数的应用
第6讲
曲线的凹凸性及拐点
本节内容
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
02 曲线的凹凸性和拐点的判别
2
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
定义3.2
设函数 = ()在开区间(, )内可导，在该
区间内如果曲线位于其任何一点切线的上方，
那么称此曲线在区间(, )内是凹的，区间
区间(, )内具有二阶导数.
（1）在(, )内，若 ″ () > 0，那么曲线 = ()在
[, ]上是凹的.
（2）在(, )内，若 ″ () < 0，那么曲线 = ()在
二阶导数凹凸技巧
二阶导数凹凸技巧在微积分中，二阶导数凹凸技巧是解决函数凹凸性质的重要工具。
通过分析函数的二阶导数可以判断函数在某个区间上的凹凸性质，从而对函数的变化趋势有更深入的认识。
本文将介绍二阶导数凹凸技巧的基本原理和应用。
一、二阶导数的概念函数的二阶导数是指对函数的一阶导数再次求导得到的导数。
数学上，我们通常使用f''(x)或者d²y/dx²来表示函数f(x)的二阶导数。
二阶导数描述了函数在某一点上的曲率，可以通过曲率的变化来判断函数的凹凸性质。
二、凹凸性的判断1. 凹函数和凸函数的定义在数学中，如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的下方，则该函数在该区间上是凹函数；如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的上方，则该函数在该区间上是凸函数。
2. 利用二阶导数判断凹凸性对于凹凸函数，我们可以通过二阶导数的正负性来判断。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上是凹函数；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上是凸函数。
三、二阶导数凹凸技巧的应用1. 极值点的判断对于函数的极值点，我们可以通过分析二阶导数的正负性来判断。
如果函数在某个点的二阶导数大于0，则该点是函数的极小值点；如果函数在某个点的二阶导数小于0，则该点是函数的极大值点。
2. 凹凸区间的判断通过分析函数的二阶导数的正负性，我们可以确定函数的凹凸区间。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则该区间是函数的凹区间；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则该区间是函数的凸区间。
3. 拐点的判断对于函数的拐点，我们可以通过分析二阶导数的变化来判断。
如果函数的二阶导数在某个点发生了正负号的改变，即从正变为负或从负变为正，则该点是函数的拐点。
四、案例分析为了更好地理解二阶导数凹凸技巧的应用，我们来看一个简单的案例。
考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，我们需要判断该函数的凹凸性质。
函数二阶导数的几何意义
函数二阶导数的几何意义函数的二阶导数的几何意义是描述函数的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个概念，它体现了曲线在其中一点的弯曲程度，即曲线弯曲的快慢。
函数的二阶导数即为函数的斜率的变化率，通过它可以判断曲线的凸凹性以及顶点、拐点等几何特征。
要理解二阶导数的几何意义，首先需要了解一阶导数的几何意义。
一阶导数表示函数在其中一点的切线的斜率，也可以理解为函数曲线在该点的斜率。
对于一阶导数为正的函数，曲线向上倾斜；一阶导数为负的函数，曲线向下倾斜；一阶导数为0的函数，曲线水平。
那么二阶导数如何描述曲线的凹凸性呢？1.二阶导数大于0表示函数的斜率在增大，也即曲线向上凹。
在凸凹性的判定中，凹是指曲线上下颠倒的形态。
二阶导数大于0意味着函数的一阶导数是单调递增的，即斜率在增大。
这种情况下，曲线在这一段区间上呈现凹曲线的特征。
2.二阶导数小于0表示函数的斜率在减小，也即曲线向下凹。
二阶导数小于0意味着函数的一阶导数是单调递减的，即斜率在减小。
这种情况下，曲线在这一段区间上呈现凹曲线的特征。
通过凹凸性的判断，我们可以找到函数的极值点、拐点等重要特征。
极值点是指在曲线上具有极大值或极小值的点，在极值点处，一阶导数为0。
如果极值点对应的二阶导数大于0，则该极值点为函数的极小值点；如果二阶导数小于0，则该极值点为函数的极大值点。
拐点是指曲线方向发生突变的点，也即曲线在拐点之前和之后的凹凸性不同。
在拐点处，一阶导数是连续的，但它的斜率发生突变。
拐点对应的二阶导数为0，这是因为拐点处斜率的变化率从正值转为负值或者从负值转为正值。
二阶导数还可以用来判断曲线的转弯情况。
具体来说，二阶导数连续而且变号时，说明曲线有拐点。
如果二阶导数连续但没有变号，则说明曲线在这个区间上没有拐点。
总结起来，函数的二阶导数的几何意义主要体现在描述曲线的凹凸性、极值点和拐点。
通过计算二阶导数并对其进行分析，我们可以了解曲线的弯曲程度、找到函数的极值点、拐点，从而更好地理解和描绘函数的几何形态。
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二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
教学目标与要求
通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。
教学重点与难点
教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。
教学难点：理解拐点的定义和意义。
教学方法与建议
证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。
教学过程设计
1. 问题提出与定义
函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还
不能准确描绘出函数的图形。
比如，如果在区间上，，
则我们知道在区间上单调增，但作图（参见图1）的时
候，我们不能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即
不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性
态、作图等是很有必要的！
在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取
作割线，我们总会发现不论两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式
来描述。
同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式
来描述。
由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：
凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I 上任意两点，，恒有
则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有
则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。
如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。
2. 凹凸性判定定理的引入
y
O y f x
=()
x
y
O
y f x
=()
曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。
因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。
函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和有关
经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了判断曲线凹凸性的定理。
定理设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么：
（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；
（2）若在内<0，则在上的图形是凸的。
3. 判别凹凸性和拐点举例
例1判断曲线y x3的凹凸性
解 y 3x
2
y 6x 由y 0 得x 0 因为当x <0时 y
<0 所以曲线在( 0]内为凸的 因为当x >0时 y >0 所以曲线在[0
)内为凹的
例2 求曲线y 2x 3
3x
2
2x 14的拐点
解 y
6x
2
6x 12
)
2
1
(12612+=+=''x x y 令y 0 得2
1-
=x
因为当2
1
-<x 时 y
0 当2
1
->x 时 y
所以点(2
1-
2
1
20)是曲线的拐点
例3 求函数1433
4
+-=x x y 的凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为),(+∞-∞，
且3
2
1212y x x '=-，22362436()3
y x x x x ''=-=-， 令0=''y ，得3
2,021==x x ． 列表：
x （0,∞-） 0 2(0,)3
3
2 2
(,)3
+∞ y ''
+
0 －
0 +
y
⋃ 有拐点
⋂ 有拐点
⋃
由表可知，当32,021=
=x x 时，曲线有拐点(0,1)A 和211
(,)327
B ，表中⋃表示曲线是凹的，⌒表示曲线是凸的．函数的图像如图（3）所示.
4. 确定曲线y f (x )的凹凸区间和拐点的步骤
(1)确定函数y f (x )的定义域 (2)求出在二阶导数f`
(x )
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点
注 根据具体情况（1）（3）步有时省略 5 学生黑板练习
练习 1.判定下列曲线的凹凸性及拐点.
（1）2
4x x y -=，（2）162
3
-+-=x x x y ，（3）3
2
x y =。
6.小结
1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
作业 P75:1,2,3。