2018年秋高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修1-1
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
2.2 双曲线（1）A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m－y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， 即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－1622＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ．二、填空题6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级 能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k－y 28k＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)， 所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k.所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
2018人教A版选修1-1《第二章圆锥曲线与方程》质量检测试卷含解析(数学试卷新课标人教版)
、选择题 1.如果方程X 2 + ky 2= 2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是()A . (1,+^ )B . (1 , 2) C. 2，1 D .(0，1)、x 2 y 2、 、、4 、 、2.已知双曲线 孑一孑=1的一条渐近线方程为y = 3X ,则双曲线的离心率为()53C.4 D.2y 2= 8x 上一点P 到焦点的距离为4，贝U P 到坐标原点的距离为()2,5 C . 4 2 D. 334. 若点P 到直线x =- 1的距离比它到点(2, 0)的距离小1,则点P 的轨迹为( )A •圆B •椭圆C .双曲线D .抛物线2 25.设P 是双曲线％— = 1(a >0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y = 0, F 1, a 9F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|= 3,则|PF 2|=()F 1, F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1| : |F 1F 2| : |PF 2|=4 : 3 : 2,则曲线C 的离心率等于()A.2或 2B.t 或2C.1或 2D.2或323 22 2 27.过双曲线字一存=1(a >0, b >0)的左焦点F( — c , 0)(c >0)作圆x 2+ y 2=》的切线，切 点为E ,延长FE 交双曲线右支于点 P ,若，则双曲线的离心率为 ()B 血 B. 5C. 10D. .22 2&已知双曲线：—占=1的左、右焦点分别是 F 2, P 是双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则△ PF 1F 2最大内角的余弦值为()1A.-兀12 29.已知椭圆C :予+ y 2= 1(a >b > 0)的离心率为 于.双曲线x 2-/= 1的渐近线与椭圆C阶段质量检测(二)54 B.33.抛物线 6.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为3 C.33 D. -3有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为2 2x , y “A —I — = 1 8 2 2 2x y , C — + — 1 C.161 4r .r=l(^>A>0),A(4,0)为长轴的一牛 a"端点•疙H 匚过却圆的中心(人且荒■繭=0・ 丽一农： |=2|况一丽I.则其黒蹑为 ( )A 4 7611. 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处， 已知灯口的直径为60 cm ，灯深 40 cm ,则抛物线的标准方程可能是()A 225r 2 45A. y =〒x B. y =G xc 2452 45C . x =— yyD .x=—7y12 .双曲线与椭圆4X 2+ y 2= 64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为 ( )A . y 2— 3x 2= 36B . x 2— 3y 2= 36C . 3y 2— x 2= 36D . 3x 2— y 2= 36 二、 填空题2 213. ______________________________________________________________ 以双曲线x —止=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 _________________________________ .4 122 2 214. 设F 1, F 2为曲线C 1： x 6 +专=1的焦点，P 是曲线C 2：中—y 2= 1与C 1的一个交点， 则厶PF 1F 2的面积为 _________ .2 215. 已知椭圆C :》+ *= 1(a >b >0)的左焦点为F , C 与过原点的直线相交于 A , B 两 4点，连接 AF , BF •若 |AB|= 10, |AF|= 6, cos / ABF = 5 贝U C 的离心率 e= ________ .216. 已知抛物线y 2 = 2px(p > 0)的焦点与双曲线x 2 — \ = 1的右焦点F 重合，抛物线的准3 线与x 轴交于点K ,点A 在抛物线上且|AK|=Q2A F|,则厶AFK 的面积为 ___________________ .三、 解答题 17.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2 . 13.一双曲线和该椭圆有公共焦点， 且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7 : 3,求椭16,则椭圆C 的方程为(2 2B 』+y = i 12 6 2 2x y / D.20+ y 5= 1圆和双曲线的方程.18. 已知过抛物线y 2= 2px(p >0)的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于 A(x i,y i ), B(x 2, y 2)(x i < X 2)两点，且 |AB|= 9.(1)求该抛物线的方程；(2)0为坐标原点，C 为抛物线上一点，若，求入的值.2 219. 如图所示，F i , F 2分别为椭圆C :字+治=1(a >b > 0)的左、右两个焦点，A , B 为两个顶点,已知椭圆C 上的点1, 3到F 1, F 2两点的距离之和为 4. (1)求椭圆C 的方程；⑵过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于 P , Q 两点，求△ F 1PQ 的面积.2 220. 如图，椭圆 E : a + b = 1(a > b >0)经过点A(0,— 1)，且离心率为卡. (1)求椭圆E 的方程；⑵经过点(1, 1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点 P , Q(均异于点A)，证明: 直线AP 与AQ 的斜率之和为2. 的直线与原点的距离为(1)求双曲线C 的方程；⑵直线y = kx + m(km z 0)与该双曲线 C 交于不同的两点 C , D ，且C , D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求 m 的取值范围.2 222•已知抛物线C 1： x 2= 4y 的焦点F 也是椭圆 0:每+書=1(a >b >0)的一个焦点.G a b与C 2的公共弦的长为2 .6•过点F 的直线l 与C 1相交于A,B 两点，与C 2相交于C,D 两点，.(1)求C 2的方程;⑵若|AC|=|BD|,求直线I 的斜率.21.已知双曲线 2b 2= 1(a >0,b > 0)的离心率为f ，过点A(0, — b)和B(a , 0)答案2 21.解析：选 D 由 x 2+ ky 2 = 2，得 冷 + y2 = 1,k又•••椭圆的焦点在y 轴上， 2••上＞2,即卩 O v k v 1. k b 4 42.解析：选A 由- =4得b = 4a ,a 3 3 ••• c = p a 2+b 2 = ^/a 2^^^ = 5a.c 5…e = a = 3.3.解析：选B 抛物线y 2= 8x 的准线方程为x =- 2,由P 到焦点的距离为 4知，P 到 准线的距离为 4，故P 的横坐标x P = 2, y p = 16, |P0|= ,x p + y p = 2 5.4.解析：选D 由题意得，点P 到直线x =- 2的距离与它到点(2, 0)的距离相等，因 此点P 的轨迹是抛物线.2 25.解析：选C 双曲线x 2-y = 1的一条渐近线方程为3x -2y = 0，故a = 2•又P 是双曲a 9线上一点，故 ||PF 1|-|PF 2||= 4，而 |PF 1|= 3,则 |PF 2= 7.6.解析：选 A 设|PF 1|= 4k , |F 1F 2|= 3k , |PF 2|= 2k 若曲线 C 为椭圆，则 2a = 6k , 2c=3k , • e = 2;若曲线 C 为双曲线，贝V 2a = 2k , 2c = 3k ,「. e =^3.7.解析：选A 设双曲线右焦点为 M ,T OE 丄PF ，•在直角三角形 OEF 中，|EF| =又O 是FM 的中点,• MP 丄 FP , • |PM|= a ,•离心率e = - =-20.a 2 8.解析：选B 由双曲线定义知|PF2|= |PF 1|± 2a.所以|PF 2|= 9或|PF 2|= 1 v c -a = 2（舍 去).• E 是PF 的中点.又,|PF|= 2 又|PF|-|PM|= 2a ,「. 2----------- 2 2 a c 2- — a = 2a ,4又|F I F 2|= 8,所以△ PF 1F 2的最大内角为/ PF 1F 2, 53+ 82_ 92 1cos /PF I F2— 2X 5x 8 _10.9.解析：选D 因为椭圆的离心率为h ，所以e =r-24 5，c2=芦=a2-b2,所以b22 2 2 2 2xx 卄 x x 5xy = ±<,代入椭圆万程得 孑+^2= 1,即4扌+扌=4b 23 212. 解析：选 A 由 4X 2+ y 2= 64 得去 + 土 = 1, c 2= 64- 16= 48,16 64=4乳即a2=號双曲线的渐近线方程为则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆4X 25b X 25b=畀 16,所以 b2= 5,所以椭圆方程为 x 220+ 2y_5=1. =1，所以宀窮，的交点坐标为10.解析：遵c 由題意可打oc| = |oB|=-|-|cB|,且盘=4•又OB-()C\=2\hC-BA\ ^|CS| = 2|AC'| Uf' = AC•久石E •就=0*所以兀F丄衣：故为等腹克将三角形.OC|= 3C =2芒・不蛉设盒C粒第一J2 象限，则点匚的坐标为（2,2）,代入橢圆方程得—-yy=1 .解得样=学*所煉/ =护—卢=4空_聲=普乂 =乎.故其焦距为典=学•故抵U11.解析：选C 如果设抛物线的方程为y2= 2px（p>0），则抛物线过点（40, 30），从而有302= 2p X 40,即2p =罗，所以所求抛物线方程为一45x45 45虽然选项中没有y2= yx,但C中的2p = 45符合题意.2 2•双曲线方程为36_令=1，即y2- 3x2= 36.13. 解析：双曲线焦点（±, 0），顶点（±, 0）,故椭圆的焦点为（±, 0），顶点（±, 0）.二c= 4 J3, e=虫3=亚e= 8 = 2 .=6,2b 2= •••双曲线中,2 2 答案：計y 2 =114. 解析：由题意知尸汩2|= 2 '6 — 2= 4,设P 点坐标为(x , y).则 S A pF 1F 2 =养1卩2| Ty|= 2x 4x_22 = -2 答案：215. 解析：设椭圆的右焦点为 F 1,在厶ABF 中，由余弦定理可解得|BF|= 8,所以△ ABF 为直角三角形，又因为斜边 AB 的中点为0,所以|OF|= c = 5,连接AF 1，因为A , B 关于原 5点对称，所以|AF 1|= |BF|= 8,所以2a = 14, a = 7,所以离心率e = y.5答案：516. 解析：由题意得p = 2, p = 4，抛物线方程为y 2= 8x , K( — 2, 0),设A(x °, y °), |AF| =a , X o = a — 2,由 |AK|= 2a 得 a 2 + y 0= 2a 2,又 y 2= 8(a — 2),.•• a 2= 8(a — 2)，解得 a = 4. 由已知可得|y o |= a = 4.1--S A AFK =4X 4 = 8.答案：82 217. 解：①焦点在x 轴上，设椭圆方程为X 2+ y2= 1(a >b >0)，且c = 13.a b22设双曲线为 m^— %= 1(m >0, n > 0),解得 a = 7, m = 3.因为椭圆和双曲线的半焦距为 .13,所以 b 2= 36, n 2= 4.2 2所以椭圆方程为煮+初=1 ,49 362 2双曲线方程为x — y = 1.9 42 2 2 2x +1=1，双曲线方程为y -x =1e 双m= -4.因为 eT3,所以m②焦点在y 轴上，椭圆方程为0,所以 X l + X 2= 5p .由抛物线定义得：|AB|= x 1 + x 2+ p = 9,所以p = 4,从而抛物线方程是2 2⑵由 p = 4, 4x — 5px + p = 0 可简化为x 2— 5x + 4= 0.从而 x i = 6 , x 2= 4 , y l = — 2\l 2 , y 2 = 4 2 ,从而 A(1 , — 2 2), B(4, 4,2). 设=(X 3, y 3)= (1 , — 2 .2) + X 4, 4 2) =(4 H 1, 4 2 入—2 .j 2),又 y 2= 8x 3，即[2 . 2(2 入一1)]2= 8(4 入 + 1), 即(2 11)2= 4H 1 , 解得=0或入=2.19. 解：（1）由题设知，2a = 4,即a = 2 ,将点1 , 3代入椭圆方程得 寺+畚 =1，解得b2 = 3， 2 2 故椭圆方程为x + y= 1.4 3⑵由(1)知 A(— 2 , 0) , B(0 , .3),所以k pQ = k AB = ~2 ,所以PQ 所在直线方程为 y 冷(x — 1),y =^( x - 1), 由；2 2丄+乞=1 , 4 3 设 PX , y” , Q(x 2 , 9y 1 • y 2=— 8 ,所以 |y 1 — y 2|= . (y 1 + y 2)2— 4%y 2= , 4+ 4x 8=号, 所以 S A F 1PQ = 2F 1F 2| • y 1 — y 2|=新 2x 亠尹二亠尹. 20. 解：(1)由题意知 a = ~2, b = 1,综合 a 2= b 2 + c 2 ,6 + 2k 218.解：⑴直线AB 的方程是y = 2,2x -2，与y 2= 2px 联立，从而有 4x 2 — 5px + p 2 =y 2= 8x.得 8y 2 + 4.3y — 9 = 0 ,解得a =寸2,2所以，椭圆的方程为X 2 + y 2= 1. ⑵证明：由题设知，直线PQ 的方程为y = k(x — 1) + 1,2 代入 | + y 2= 1,得(1 + 2k 2)x 2— 4k(k — 1)x + 2k(k — 2)= 0, 由已知△> 0，设 P(x 1, y”, Q(x 2, y 2), X 1X 2^ 0,则 x 1 + x 2= 4k (k — 1)12k ( k — 2) x1x2=1 + 2k 2，从而直线AP 与AQ 的斜率之和4k ( k —1)=2k + (2 — k) = 2k — 2(k — 1) = 2.2k (k — 2)')221. 解：⑴乞—y 2= 1.3\= kx + m , 陀—y 2=1,消去y 得，(1 — 3k 2) x 2— 6kmx — 3m 2— 3= 0,由已知，1 — 3k 2工 0 且△= 12(m 2+ 1 — 3k 2) > 0? m 2 + 1 > 3k 2.① 设 C(X 1, y 1), D(X 2, y 2), CD 的中点 P(x o , y o ), X 1 + x 2 3km ,m则 X0= 丁=, y0=kX0+m =1—3k 2, 因为AP 丄CD ,整理得3k 2= 4m + 1.② 联立①②得m 2— 4m > 0,所以 m v 0 或 m >4，又 3k 2 = 4m + 1> 0, 1 1所以m > — -，因此一一v m v 0或m > 4.4 4所以k A P =m1 —3k 3 km 1 —3k2m + 1 — 3k3km1 k ‘k AP + k AQ =心 + 山X 1 X 2kx 1 + 2 — k kx 2 + 2— k+ X 1 X 2=2k +(2—k )X 1+x 2 =2k + (2 — k) X 1 + X 2X 1X 2故m 的取值范围为 一4, 0 U (4 ,+^).22. 解：⑴由6： x 2= 4y 知其焦点F 的坐标为(0, 1), 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2— b 2= 1•①又C i 与C 2的公共弦长为 2 6, C i 与C 2都关于y 轴对称，且C i 的方程为：x 2= 4y , 由此可知C i 与C 2的公共点的坐标为±.6, | ,9 6所以歹+ 6 = 1.②联立①②得a 2= 9, b 2= 8,2 2 故C 2的方程为+ + X = 1. 9 8⑵如图，设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2), c (x 3, y 3), D (X 4, y 4), 因:W 与丽同向*且 AC = Bl), 从而 X 3 — X 1= X 4 — X 2,即卩 X 3 — X 4= X 1 — X 2,于是(X 3+ X 4)2 — 4X 3X 4=凶 + X ?)2— 4X 1X 2.③ y = kx + 1, 2由2 得x 2— 4kx — 4 = 0,而X 1, X 2是这个方程的两根，所以 X 1+ X 2= 4k , X 1X 2X = 4y ,=—4,④y = kx +1,x 2 y 2 得(9 + 8k 2)x 2+ 16kx — 64 = 0, -7-= 1, 〔8 9而X 3, X 4是这个方程的两根, 16k 64 所以 X3+ X4= — 9W , X3X4= — 978?，⑤2 2将④、⑤代入③，得16吟1)=石7汁7 97?.由即16吟1)= 16冬9( L+门9 + 8k 2) 2, 设直线I 的斜率为k ,所以(9 + 8k2)2= 16 X 9,解得k=±^,4即直线I的斜率为±6.4。
2018学年第二学期高二数学选修1-1《圆锥曲线与方程》单元过关平行性测试A卷含答案
高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》单元过关平行性测试A 卷一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则其渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = （2）一个动圆的圆心在抛物线24y x =上，且该动圆与直线:1l x =-相切，则这个动圆必过一个定点的坐标是A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,1)D ．(1,0)（3）已知椭圆22:14x y C m +=的离心率e =m 的值为A ．1B ．16C ．1或16D ．1或3（4）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽度是A ．B ．C ．D ．（5）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，P 是准线l 上的一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A ．72 B ．52C ．3D ．2 （6）已知AB 是椭圆221255x y +=的长轴，若把线段AB 五等份，过每个分点作AB 的垂线，分别与椭圆的上半 部分相交于C 、D 、E 、G 四点，设F 是椭圆的左焦点，则FG FE FD FC +++的值是 A ．15 B ．16 C ．18D ．20二、填空题：本大题共4小题，每小题6分．（7）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． （8）已知抛物线24y x =-的准线经过椭圆2221(0)4x y b b+=>的焦点，则b = ．（9）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x ．过1F 的直线l 交 椭圆C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么椭圆C 的方程为 ．（10）已知2F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0A ,当2APF ∆周长最小时，该 三角形的面积为 ．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （11）（本题满分10分）已知椭圆22:24C x y +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．（12）（本题满分15分）已知双曲线C 与双曲线22182x y -=具有相同的渐近线，且双曲线C过点2)A ． （1）求双曲线C 的方程；（2）已知12F F 、是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，设11PF r =，22PF r =，若1216r r ⋅=， 求△12PF F 的面积．（13）（本题满分15分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，若(3,)(0)M t t >为抛物线C 上一点，且4MF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长MF 交抛物线C 于点N MGF ∠与NGF ∠大小关系．F高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》单元过关平行性测试A 卷（参考答案）1．答案A．解析：依题意得c a =ba==，所以渐近线方程为y =． 2．答案D ．解析：利用抛物线的定义可知动圆过定点为抛物线的焦点(1,0)．3．答案C ．解析：当4m >时2c e a ===，则16m =，当4m <时c e a ===，则1m =． 4．答案B ．解析：以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系则可设抛物方程为22x py =-，依题意可得，该抛物线过(2,2)-，求得1p =，∴22x y =-，则当3y =-时，x =26．5．答案C ．解析：由已知得焦点(2,0)F ，准线:2l x =-，则可设0(2,)P y -，11(,)Q x y ，∵4FP FQ =， ∴011(22,)4(2,)y x y --=-即11x =，∴1||1232pQF x =+=+= 6．答案D ．解析：由椭圆对称性可得，210CF GF DF EF a +=+==，20CF GF DF EF ∴+++=7. 答案：(1,2)．解析：由题意可得20210221k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得：12k <<．824y x =-的准线1x =，又椭圆2221(0)4x y b b+=>的右焦点， 则b =9．答案:221168x y +=．解析：依题意可设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由216ABF C =V 即416a =， ∴4a =，又∵离心率2c e a ==，∴c =所以2221688b a c =-=-=. 10．答案:．解析：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，21||2||PF a PF =+，∴2APF ∆的周长为221212||||||||2||||||||||2PA PF AF PA a PF AF PA PF AF a ++=+++=+++，由于2||2AF a +是定值，要使2APF ∆的周长最小，则1||||PAPF +最小，即1,,P A F 共线，∵(0A ，1(3,0)F -，∴直线1AF的方程为13x +=-，即3x =- 代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =或y =-(舍)，所以P 点的纵坐标为， ∴22112116622APF AF F PF F S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯⨯=11．解析：（1）依题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=,∴224,2a b ==，从而2222c a b =-=故椭圆C的离心率c e a ==． （2）设点,A B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y 其中00x ≠,∵OA OB ⊥ ∴ 0OA OB ⋅=即，0020tx y +=，解得002y t x =-，又220024x y +=，∴2222222000000002()(2)()(2)y AB x t y x y x y x =-+-=++-=+ 222222000000222000442(4)8444(04)22y x x x x x x x x --++=+++=++<≤，又∵2200284(04)2x x x +≥<≤当且仅当204x =时等号成立，∴28AB ≥．故线段AB长度的最小值为12．解析：（1）根据题意，可设双曲线C 的方程为22(0)82x y λλ-=≠， ∵双曲线C过点2)A ，∴324282λ=-=，∴双曲线C 的方程为221164x y -=； （2）在双曲线221164x y -=中，∵4a =，2b =，∴c =， 在△12PF F 中，设12F PF θ∠=，由余弦定理得：22212122cos (2)r r r r c θ+-=，即2222121212()2(1cos )442(1cos )4r r r r c a r r c θθ-+-=⇒+-=，求得1cos 2θ=，∵(0,)θπ∈，∴sin θ=121211sin 16222PF F S r r θ∆==⨯⨯=13．解析：（1）根据抛物线的定义有3422p MF p =+=⇒=， ∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由（1）得M 又∵(1,0)F，则直线:1)MF y x =-,由221),310304y x x x y x⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，解得13x =或213x =，所以1(,3N 又(1,0)G -所以GM k ==,031213GN k -==+ ∴tan tan MGF NGF ∠=∠，∴MGF NGF ∠=∠。
2018学年高二人教A版数学选修1-1：第二章 圆锥曲线 复习+练习 含答案
第二章 圆锥曲线一、椭圆1．平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．22x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( )． B ．10 D ．2 2 解析：椭圆方程2x 2＋3y 2＝12可化为：x 26＋y 24＝1，a 2＝6，b 2＝4，c 2＝6－4＝2，∴2c ＝22．例2已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．9 答案：B解析：∵椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，∴c ＝4＝25－m 2，∴m 2＝9，∴m ＝3，选B ．例3已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若|AB |＝5，则|AF 1|＋|BF 1|＝( )． A ．11 B ．10 C ．9 D ．16 答案：A解析：由方程知a 2＝16，∴2a ＝8，由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8， ∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝16，∴|AF 1|＋|BF 1|＝11，故选A ． 例4椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )．A ．12B ．13C ．14D ．22答案：A解析：由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12．例5与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )．A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案：B解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，5)，(0，－5)，∵b ＝25，∴a 2＝25，故选B ． 例6根据下列条件，求椭圆的标准方程．（1）经过两点A (0，2)，B (12，3)；（2）经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．解：（1）设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，∵椭圆过A (0，2)，B (12，3)，∴⎩⎨⎧0m ＋4n ＝1，14m ＋3n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.即所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1． （2）∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m ＞0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9m ＋5＝1，解得m ＝10或m ＝－2(舍去)，即所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1．例7如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a 、b 、c ，则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2．而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab ．又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ．所以b 2a 2＝49．∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53．解法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53．二、双曲线1．平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．3实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．例1双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为( )． A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±7，0) D ．(0，±7) 答案：D解析：双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．例2已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )．A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1 答案：A解析：由题意得(1＋k )(1－k )＞0，∴(k －1)(k ＋1)＜0，∴－1＜k ＜1．例3椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是( )．A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在 答案：A解析：验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3．对双曲线来说， a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2．∴m 2＝1，即m ＝±1． 例4下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )．A ．x 2－y 24＝1B ．x24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 答案：C解析：由双曲线的焦点在y 轴上，排除A 、B ；对于D ，渐近线方程为y ＝±12x ，而对于C ，渐近线方程为y ＝±2x ．故选C ． 例5已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|•|PF 2|等于( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B 解析：在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|•|PF 2|•cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|•|PF 2|，2＝22＋|PF 1|•|PF 2|，解得|PF 1|•|PF 2|＝4．x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1．①又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→•QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0． 所以c 2＝25．② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1．三、抛物线1．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2．过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即|AB |=2p ． 3．焦半径公式：若点()00,Ρx y 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p ΡF x =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02p ΡF x =-+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p ΡF y =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p ΡF y =-+．例1如果抛物线y 2＝2px 的准线是直线x ＝－2，那么它的焦点坐标为( )． A ．(1，0) B ．(2，0) C ．(3，0) D ．(－1，0) 答案：B解析：因为准线方程为x ＝－2＝－p 2，所以焦点为(p2，0)，即(2，0)．例2顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2，3)的抛物线方程是( )．A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y答案：D解析：∵点(－2，3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2p ′y (p ′＞0)，又点(－2，3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y ．例3抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )．A ．0B ．1516C ．78D ．1716答案：A解析：设M (x 0，y 0)，则x 0＋1＝1，∴x 0＝0，∴y 0＝0．例4O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则 △POF 的面积为( )． A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4 答案：C解析：设P (x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|•|OF |＝23，选A ．涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．例5已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )．A ．34B ．1C ．54D ．74答案：C解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＋|BF |＝3得，x 1＋x 2＋12＝3，∴x 1＋x 2＝52，∴线段AB的中点到y 轴的距离为x 1＋x 22＝54 ．例6已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．（1）若|AF |＝4，求点A 的坐标； （2）求线段AB 长度的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．（1）由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3．代入y 2＝4x ，解得y 1＝±23．∴点A 的坐标为(3，23)或(3，－23)． （2）当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 整理得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0． ∵直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1、x 2，∴x 1＋x 2＝2＋4k2 ．由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1，2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 长度的最小值为4．四、圆锥曲线综合1．坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题． 2．利用圆锥曲线的定义解题的策略（1）在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．3．圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程．重在考查基础知识，基本思想方法，属于低中档题目，其中对离心率的考查是重点．4．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法，直线与圆锥曲线的位置关系主要有：（1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；（3）有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．5．求轨迹方程的方法常用的有：直接法、定义法、代入法，要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件的发掘；直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常用判别式法，要注意有关弦长问题中韦达定理的应用，需特别注意的是，直线平行于抛物线的轴时与抛物线只有一个交点，直线平行于双曲线的渐近线时与双曲线只有一个交点．例1求过点A (2，0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0相内切的圆的圆心轨迹方程． 解：将圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0的方程变形为：(x ＋2)2＋y 2＝36，其中圆的圆心为B (－2，0)，半径为6．如图，设动圆的圆心M 坐标为(x ，y )，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C ，则|BC |－|MC |＝|BM |．∵|BC |＝6，∴|BM |＋|CM |＝6．又∵动圆过点A ，∴|CM |＝|AM |， 则|BM |＋|AM |＝6＞4． 根据椭圆的定义知，点M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2,0)为焦点的椭圆，其中，2a ＝6，2c ＝4，∴a ＝3，c ＝2．∴b 2＝a 2－c 2＝5．故所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1．例2已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解：（1）由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．（2）由题设可知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1得|m |＜52．(*)∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由求根公式可得x 1＋x 2＝m ，x 1x2＝m 2－3．∴|AB |＝＝1524－m 2．由|AB ||CD |＝534得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)式． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33．例3焦点分别为(0，52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．解法一：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a ＞b ＞0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50． ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2，消去y 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0． ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， 即a 2＝3b 2． ②，此时Δ＞0．由①②得a 2＝75，b 2＝25，∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1．解法二：设椭圆方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝3x －2与椭圆交于A 、B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ⎩⎨⎧y 21a 2＋x 21b2＝1， ①y 22a 2＋x 22b2＝1. ② ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)a 2＝－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)b 2即y 1－y 2x 1－x 2＝a 2(x 1＋x 2)－b 2(y 1＋y 2)． ∵k AB ＝3，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝12，y 0＝－12，∴3＝2212212()2a b ⨯⨯-⨯⨯-＝a 2b 2，即a 2＝3b 2． 又a 2－b 2＝(52)2＝50，∴a 2＝75，b 2＝25．∴椭圆方程为y 275＋x 225＝1．点评关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．（2）利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2•x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2•x 0y 0．这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．本章总结：。
高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 学业分层测评7 Word版含答案
学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
．椭圆＋＝的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
．，．，
．，
．，
【解析】椭圆方程可化为＋＝.
∴＝，＝，＝，
∴长轴长＝，短轴长＝，
离心率＝＝.故选.
【答案】．若焦点在轴上的椭圆＋＝的离心率为，则等于( )
【解析】∵椭圆焦点在轴上，
∴＜＜，＝，＝，
＝＝＝.
故＝，∴＝.
【答案】．中心在原点，焦点在轴，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴
三等分，则此椭圆的方程是( )
＋＝＋＝
＋＝＋＝【解析】因为＝＝×＝，所以＝，＝，＝－＝.故所求方程为＋＝.
【答案】
．已知椭圆＋＝(>>)的两顶点为()，(，)，且左焦点为，△
是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为( )
【解析】由题意得＋＋＝(＋)，即＋－＝，即＋－＝，解得＝，又>，
故所求的椭圆的离心率为.故选.
【答案】．设是椭圆＋＝的离心率，且∈，则实数的取值范围是( )
．()
．()
．()∪
【解析】当焦点在轴上时，＝＝∈，
解得＜＜.
当焦点在轴上时，
＝＝∈，
解得＞.综上可知选.
【答案】
二、填空题．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方
程为. 【导学号：】【解析】由题意得(\\(()＝()，＝，＝＋，))
解得(\\(＝，＝()，＝，))
∴椭圆方程为＋＝或＋＝.
【答案】＋＝或＋＝
．若椭圆＋＝的离心率为，则的值为．【解析】若焦点在轴上，则＝－＝，＝；若焦点在轴上，则＝，。
2018年高中数学人教A版选修1-1第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1习题含解析
2.3.2抛物线的简单几何性质(一)课时过关·能力提升基础巩固1.抛物线2y=3x2的准线方程为()A.y=−16B.y=−14C.y=−12D.y=−12.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=()A.1B.2C.3D.4y2=2px的准线为x=−p,圆的标准方程为(x-3)2+y2=42,故圆心为(3,0),半径为4,则3+p=4.故p=2.3.如图,已知点Q(20)及抛物线y=x 2上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是()A.2B.3C.4D.2,过P作PM垂直抛物线的准线于点M,则由抛物线的定义,可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F(0,1),Q(22,0),得最小值为|QF|=(22-0)2+(0-1)2=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.4.设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦为AB,则|AB|的最小值为()A.pB.pC.2pD.无法确定AB⊥x轴时,|AB|取最小值,最小值为2p.5.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.14,±24B.18,±24C.14,24D.18,24,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F14,0,所以点P的横坐标为18,代入抛物线方程得y=±24,故点P的坐标为18,±24,故选B.6.设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则OA·OB的值是()A.3B.−3C.3D.−37.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).若x1+x2=6,则|AB|=,直线AB过焦点,∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8.8.已知抛物线y2=2px(p>0),直线l经过其焦点且与x轴垂直,并交抛物线于A,B两点,若|AB|=10,P为抛物线的准线上一点,则△ABP的面积为.,x A=x B=p2,∴10=x A+x B+p=2p=10,∴p=5.又点P到AB的距离为焦点到准线的距离,∴S△ABP=12|AB|·p=12×10×5=25.9.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为.(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p+x2+p=x1+x2+p,即x1+x2+p=7,所以x1+x2=5.于是弦AB的中点M的横坐标为5,因此M到抛物线准线的距离为5+1=7.10.若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,求点M到y轴的最短距离.F,连接AF,BF,如图,抛物线y2=2x的准线为l:x=−1,过点A,B,M分别作AA',BB',MM'垂直于l,垂足分别为点A',B',M'.由抛物线定义,知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.又M为AB的中点,由梯形中位线定理,得|MM'|=1(|AA′|+|BB′|)=1(|FA|+|FB|)≥1|AB|= 1×3=3,则x≥3−1=1(x为点M的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号), 所以x min=1,即点M到y轴的最短距离为1.能力提升1.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C在抛物线上,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于()A.6B.4C.3D.2A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0),且FA+FB+FC=0,∴x1-1+x2-1+x3-1=0,∴x1+x2+x3=3.∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+p+x2+p+x3+p=6.2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=AF|,则△AFK的面积为() A.4 B.8 C.16 D.32抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,∴K(-2,0).设A(x0,y0),如图,过点A向准线作垂线,垂足为B,则B(-2,y0).∵|AK|=AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,y0=±4.∴△AFK的面积为12|KF|·|y0|=12×4×4=8.3.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)4.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x 23−y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.y=−p,设A,B的横坐标分别为x A,x B,则|x A|2=|x B|2=3+p2,所以|AB|=|2x A|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=32|AB|,即p2=34×4×3+p42,解得p=6.5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1=.如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,∴∠AA1F=∠AFA1,又∠AA1F=∠A1FO,∴∠AFA1=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故∠A1FB1=90°.★6.已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是.直线AB过焦点,∴以AB为直径的圆与准线y=-1相切,∴当圆的半径最小时,在x轴上截得弦长最小.又AB⊥y轴时最小,最小值为2p=4,∴圆半径r=2,圆心即焦点到x轴的距离为1,∴圆截x轴所得弦长为2r2-1=2 3.7.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.A,B分别作准线的垂线AA',BD,垂足分别为点A',D,则|BF|=|BD|.又2|BF|=|BC|,∴在Rt△BCD中,∠BCD=30°.又|AF|=3,∴|AA'|=3,|AC|=6,|FC|=3.∴点F到准线的距离p=1|FC|=3.∴y2=3x.★8.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,直线AB的方程是y=22 x-p2.所以x1+x2=5p4由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2y2=4从而A(1,-2B(4,4设OC=(x3,y3)=(1,−22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ−22),又y32=8x3,即[22(2λ−1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1, 解得λ=0或λ=2.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.1.1 Word版含解析
第二章 2.1 2.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·浙江宁波高二检测)已知椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为导学号 03624359( D )A ．8B ．12C ．23D ．4 3[解析] 把点(－2，3)代入x 216＋y 2b 2＝1，得b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝12.∴c ＝23，∴2c ＝4 3.2．(2015·广东文)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝导学号 03624360( B )A ．2B ．3C ．4D ．9[解析] ∵椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，∴c ＝4＝25－m 2，∴m 2＝9，∴m ＝3，选B ．3．已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |＝5，则|AF 1|＋|BF 1|＝导学号 03624361( A )A ．11B ．10C ．9D ．16[解析] 由方程知a 2＝16，∴2a ＝8，由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝16，∴|AF 1|＋|BF 1|＝11，故选A ．4．(2016·山东济宁高二检测)设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是导学号 03624362( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的导学号 03624363( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时，可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B ．6．(2016·贵州贵阳高二检测)已知两点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是导学号 03624364( C )A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 33＋y 24＝1[解析] ∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|，动点P 的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3，方程为x 24＋y 23＝1.二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为 x 29＋y 28＝1 .导学号 03624365[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4a －c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴椭圆方程为x 29＋y 28＝1.8．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是 x 215＋y 210＝1 .导学号 03624366[解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程.导学号 03624367[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.B 级 素养提升一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是导学号 03624368( C )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[解析] 2c ＝2，∴c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故答案为C ．2．设椭圆的标准方程为x 2k －3＋y 25－k ＝1，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是导学号 03624369( C )A ．k >3B ．3<k <5C ．4<k <5D ．3<k <4[解析] 由题意得k －3>5－k >0，∴4<k <5.3．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 、b 满足导学号 03624370( C )A ．a 2>b 2B ．1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a[解析] 将方程变为标准方程为x 21a ＋y 21b ＝1，由已知得，1a >1b >0，则0<a <b ，选C ．4．(2016·安徽师大附中高二检测)F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为导学号 03624371( C )A ．7B ．74C ．72D ．752[解析] 由已知得a ＝3，c ＝ 2. 设|AF 1|＝m ，则|AF 2|＝6－m ，∴(6－m )2＝m 2＋(22)2－2m ·2 2 cos 45°， 解得m ＝72.∴6－m ＝52.∴S △AF 1F 2＝12×72×22sin 45°＝72，故选C ．5．(2016·长沙模拟)设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为导学号 03624372( C )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或3 [解析] 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF 1F 2的面积为12×2c ×b 2a ＝32.二、填空题6．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m 的值为__6__.导学号 03624373[解析] 由题意知，c ＝1，∴m －5＝1，∴m ＝6.7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__2__；∠F 1PF 2的大小为__120°__.导学号 03624374[解析] 由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16＋4－2816＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°.8．(2016·广西南宁高二检测)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是__8__.导学号 03624375[解析] 如图所示，F 为椭圆的左焦点，A 为其右焦点，△ABC 的周长＝|AB |＋|BC |＋|AC |＝|AB |＋|BF |＋|AC |＋|CF |＝4a ＝8.C 级 能力提高1．根据下列条件，求椭圆的标准方程.导学号 03624376 (1)经过两点A (0,2)、B (12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． [解析] (1)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，∵椭圆过A (0,2)、B ⎝⎛⎭⎫12，3. ∴⎩⎨⎧0m ＋4n ＝114m ＋3n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝4.即所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.(2)∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m >0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9m ＋5＝1，解得m ＝10或m ＝－2(舍去)， 即所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.2．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.导学号 03624377[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20， 又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。
2018年高中数学人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程检测(B)习题含解析
第二章检测（B ）（时间:90分钟 满分:120分）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）21.抛物线x=4y 的焦点坐标为（ ）2. m>0”是方程一一 表示椭圆的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：|B3. 定义:离心率之差的绝对值小于 -的两条双曲线称为 相近双曲线 已知双曲线 一 一 则下列双曲线中与 是相近双曲线的为为—符合题意；对于C,双曲线的离心率为一不符合题意；对于D,双曲线的离心率为3,不符合题意 故选B. 答案：|B 4.已知直线I 经过抛物线y 2=4x 的焦点，且与抛物线交于 A,B 两点若AB 中点的横坐标为 3,则线段AB 的长为 （ ）A.5B.6C.7D.8解析:设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l 0,C 是AB 的中点，分别过点A,B 作直线I 。
的垂线，垂足分别 为 M,N,由抛物线的定义得 |AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=x A + 1+X B +仁X A +X B + 2= 2x c + 2= 8. 答案：|D 5.过双曲线x 2 — 的右焦点且与 轴2 2C.y -2x =1解析：易知双曲线C 的离心率为2.对于A,双曲线的离心率为 不符合题意；对于B,双曲线的离心率A.(0,-1) 答案1BB.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)2 2A.x -y =12B.x垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于两点则解析：由题意可知点 A(0,b)，点F(c,0),又因为直线OP 的倾斜角是60° 所以k op —2 2 2 2贝V a =c -b =c - 一 即a -故离心率e - 答案：|B7. 已知点A(0,2),B(2,0)•若点C 在抛物线x 2=y 的图象上，则使得A ABC 的面积为2的点C 的个数为 ( ) A.4B.3C.2D.1解析：|由已知可得|AB|=—要使Sw c = 2，则点C 到直线AB 的距离必须为—设点C(x,x 2),而l AB ：x+y-- — 22= 0,所以有 所以x +x- 2= ±2,解析:双曲线x 2 —根据题意，由 得点A(2,- 同理可得点B(2,- 所以|AB|= 答案 ：|D 故选D.6.已知双曲线一一的虚轴的上顶点是右焦点是为坐标原点点满足- 若直线 的倾斜角是 则该双曲线的离心率是因为所以点 -一当X2+X-2=2时，有两个不同的点C;当X +X-2=-2时，亦有两个不同的点 C.因此满足条件的点C有4个,故应选A.答案］A8. 设F1,F2是双曲线一的两个焦点点在双曲线上当△F1PF2的面积为2时的值为A.2B.3C.4D.6解析:设点P(X o,y o),又点F1(-2,0),点F2(2,0),|F 1F2|= 4 △|y0|=2,••• |y°|=1.又一答案：|B9. 已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过点M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为()A.X2B. XC. X2D. X解析:设圆与直线PM ,PN分别相切于点巳点F, 贝U |PE|=|PF| ,|ME|=|MB| ,|NB|=|NF|.•••|PM|-|PN|= (|PE|+|ME| )-(|PF|+|NF| )=|MB|-|NB|= 4-2=2,•••点P的轨迹是以点M(-3,0),点N(3,0)为焦点的双曲线右支(去掉点B),且a=1,• c=3,b2=8,故双曲线方程是X2—答案:A10. 已知椭圆E —一的右焦点为短轴的一个端点为直线交椭圆于两点若点至煩线的距离不小于-则椭圆的离心率的取值范围是解析:如图，取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形••• |AF|+|BF|=|AF 1|+|AF|= 2a=4.二a= 2.不妨设点M(0,b),则一• b>1二 e -又0<e< 1, • 0<e 故选 A.答案：|A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11. 已知实数4,m,1构成一个等比数列，则圆锥曲线一解析：|I 4,m,1构成一个等比数列• m= ±2.线一是双曲线y2—它的离心率e2 —故一的离心率为一或的离心率为当m=2时，圆锥曲线一是椭圆一它的离心率e1 = —当m=-2时,圆锥曲答案匚或_12.若双曲 线一一 的渐近线与圆相切则双曲线的离心率为 解析：|因为双曲线的渐近线方程为 y= -不妨设k -则k>0.因为双曲线的渐近线与圆（x-2）2+y 2=1相切，所以解得k 一即- 一所以e - ------13.已知椭 圆一一 的离心率为一若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切则椭圆的标准方程为 解析：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+ 2相切，得b = 又因为离心率为一 所以 a 2=3c 2=3（a 2-2），得 a — 故椭圆的标准方程为 一一 答案^ - 14. 若双曲 线一 一 的一条渐近线的倾斜角为 一离心率为 则 —— 的最小值为 解析:由题意- ---- ―— —= -=- — 当且仅当 a=2 时取 等号），则——的最小值为—— 答案— 15.•如图, 抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出已知抛物线y2=2px(p>0), —光源在点M处,由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点P,反射后射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，设P,Q 两点的坐标分别为(X1,y1),(x2,y2),则y1y2= __________ .解析:由抛物线的光学性质知光线PQ必经过抛物线的焦点- 当直线PQ的倾斜角不为90 °寸,设PQ的方程为y= -- 丰0即X - -将其代入抛物线方程y2= 2px中,整理得y2—则y1y2=-p2•当直线PQ的倾斜角为90时,PQ的方程为x -代入抛物线方程，得y= ±),同样可以得到y1y2=-p 2 答案］-p2三、解答题(本大题共5小题，共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. (8分)已知抛物线方程为y2=2x,在y轴上截距为2的直线I与抛物线交于M,N两点,0为坐标原点若OM 丄ON,求直线l的方程.解设直线I的方程为y=kx+ 2,由消去x得ky2-2y+4= 0.•••直线l与抛物线相交，解得k -且k工0设点Mgy),点N(x2,y2),贝H y1y2 _ _则X1x2 ——----- —•/ OM 丄ON,二x1x2+y 1y2= 0,即一—••• k=-1,「.直线I的方程为y=-x+ 2.17. (8分)设F1,F2分别是椭圆C ——的左、右焦点是上一点且与轴垂直直线与的另一个交点为(1)若直线MN的斜率为-求的离心率⑵若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|= 5|F1N|,求a,b.解：|(1)根据c -及题设知点一将b2=a 2-c2代入2b2=3ac,解得--- 舍去).故C的离心率为-⑵由题意，原点O为F1F2的中点，MF2〃y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF j的中点，故一即b2=4a.由|MN|= 5|F1N|得|DF 1|=2|F1N|.设点N(X1,y”,由题意知y1< 0,代入C的方程，得—一将①及c -代入得——解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=18. (9分)(2016北京高考)已知椭圆C——过两点(1) 求椭圆C的方程及离心率；(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.(1)解］由题意，得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为一所以离心率e --⑵|证明设点P(x o,y o)(x o< O,y o< 0)，则又点A(2,0),点B(0,1),所以直线PA的方程为y —令x=0,得y M= ——从而|BM|= 1-y M= 1 ——直线PB的方程为y——令y=0,得X N=——从而|AN|=2-X N=2——所以四边形ABNM的面积S — |BM| - -即x= 2y-4.所以x o2 2b=2k +4k+2=2(k+1),对于方程 ①，由△ = 6k 2+64k>0,得k>0或k<-4. 所以 b € (2,+s ). 20. (10分)已知椭圆C 1 一 椭圆 以 的长轴为短轴 且与有相同的离心率(1)求椭圆C 2的方程；⑵设O 为坐标原点，点A,B 分别在椭圆C 1和C 2上，且 求直线 的方程C 2的方程为一 一(2)A,B 两点的坐标分别记为(X A ,y A ),(X B ,y B ), 由及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y=kx. 将 y=kx 代入一中，得(1+4k 2)x 2=4,所以将 y=kx 代入一 一中，得(4+k 2)x 2=16,所以又由 得 即————解得k= ±1,故直线AB 的方程为y=x 或y=-x.得 x 2-4kx-16k= 0.所以BC 的中垂线方程为y-2k 2-4k=-所以BC 的中垂线在 y 轴上的截距为解:(1)由已知可设椭圆 C 2的方程为一 一 其离心率为一故—则a=4,故椭圆人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题=2.从而四边形ABNM的面积为定值.19. (10分)已知经过点A(-4,0)的动直线I与抛物线G:x* 1 2=2py(p> 0)相交于点B,C,当直线I的斜率是—时(1) 求抛物线G的方程；(2) 设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围解:(1)设点B(x1,y1),点C(X2,y2),由已知当k l -时,1的方程为y -由得2y2-(8+p)y+ 8=0,又因为 - 所以y2 - 或y1=4y2.由p>0 得y1 = 4,y2= 1,p= 2,即抛物线方程为x2 = 4y.⑵设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(X0,y。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程综合例题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程综合例题例1. 设圆()25y 1x 22=++的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与直线CQ 交于M ，求M 点的轨迹方程。
分析：由M 在AQ 的中垂线上，知|MA ||MQ |=，于是发现CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |=+=+|=5，又C 、Q 为定点，可知轨迹为椭圆。
解：∵M 是AQ 的中垂线上的点， ∴|MA ||MQ |=，∴5|CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |==+=+。
∴点M 的轨迹是以C （-1，0），A （1，0）为焦点，以5为长轴长的椭圆。
∴5a 2=，2c 2=，25a =，1c =，4211425b 2=-=。
∴M 点的轨迹方程是121y 425x 422=+。
点拨：利用平面几何知识寻求轨迹的几何特征，再根据椭圆的定义求得轨迹方程，几何法、定义法都是求轨迹的重要方法。
例2. 如图，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。
分析：根据曲线C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等可知，该曲线段C 是在某条抛物线上的，以1l 为x 轴，MN 的中点O 为原点建立如图所示的坐标系，据题意可知，点N 是该抛物线的焦点，2l 是准线，所以可令抛物线方程为()0p px 2y 2>=。
解：设A （A x ，A y ）、B （B x ，B y ），且B A x x <，B A y y 0<<。
∵点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，点N ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，又17|AM |=，3|AN |=。
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+9y 2p x ,17y 2p x 2A 2A 2A 2A ，得p 4x A =，又A 2A px 2y =，∴8p4p 2y 2A =⋅=， ∴1782p p 42=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 解得⎩⎨⎧==2x ,2p A ，或⎩⎨⎧==1x 4p A。
数学：第二章《圆锥曲线与方程》测试(2)(新人教A版选修1-1)
圆锥曲线与方程 单元测试时间：90分钟 分数：120分一、选择题（每小题5分，共60分）1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．315(-，)1-4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2）D ．（5，2）（文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ）A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ）A ．1351222=-y xB ．1312522=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8． 9．（理）已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或 282>a D ．282223<<a（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．23C ．2D ．3 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点,MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15222=-y x 11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（ ）（A ）x y -=+2)1(2（B ）2)1(2-=+x y （C ）x y -=-2)1(2（D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题（每小题4分，共16分）13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法： ①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________． 三、解答题（共44分） 17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.（本小题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . （1）求证：M 点的坐标为)0,1(；（2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.20．（本小题12分）已知椭圆方程为1822=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，yx过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求△AMB面积的最大值．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．3415．42l 16．①③④17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （0,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x . 1322=+y x ………………………………………………4分. （2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m ①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MN MF =2，由双曲线定义可知e MF MF eMNMF =∴=211……5分由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分 而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即 0122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但 1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ． ∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）． （2）设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =． 设AMB ∆的面积为S ．∴ 2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ． 当22±=m 时，得2max =S ．圆锥曲线课堂小测时间：45分钟 分数：60分 命题人：郑玉亮一、选择题（每小题4分共24分）1．0≠c 是方程 c y ax =+22表示椭圆或双曲线的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 （ ）A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x3．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）A ．))((2R n R m ++B ．))((R n R m ++C ．mnD ．2mn4．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是 （ ） A ．4B ．2C ．1D ．215．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x6．已知双曲线12222=-by a x 的离心率2[∈e ，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）． A ．6π[，]2π B ．3π[，]2π C ．2π[，]32π D ．32π[，π]二、填空题（每小题4分共16分）7．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________． 8．过抛物线x y 42=的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点，那么线段PQ 中点的轨迹方 程是 .9．连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S的最大值是________．10．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 . 三、解答题（20分）11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．（10分）已知椭圆2222by a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．参考答案1 B2 A3 A4 C5 D6 C 7．（0，7±）8．222-=x y 9．2110.①② 11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k ……………………3分 而012≠-k ，于是122--=+=k aky y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k a k ak T --……5分点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴ka k a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x …………………………10分 12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当C E ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立． 综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．。
2018年高中数学人教A版选修1-1第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2.2习题含解析
( 2.1.2椭圆的简单几何性质(二)课时过关· 能力提升基础巩固1.椭圆的两个焦点为 过点 的直线交椭圆于两点 若则的值为A.10B.12C.16D .18解析:∵|AB|+|AF 1|+|BF 1|=4a ,∴|AF 1|+|BF 1|=4×5-8=12. 答案:B2.已知直线 l :x+y-3=0,椭圆则直线与椭圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相切或相交解析:将 y=3-x 代入得5x 2-24x+32=0.Δ= -24)2-4×5×32=576-640=-64<0,方程无解.故直线 l 与椭圆相离.答案:C3.直线 y=x+1 被椭圆所截得的弦的中点坐标是A C --解析:设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直线与椭圆的交点,中点 M (x 0,y 0),由得3x 2+4x-2=0.x 0-y 0=x 0+1故中点坐标为-答案:C4.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:y=kx-k+1=k(x-1)+1,所以直线过点(1,1).又因为点(1,1)在椭圆内,所以直线与椭圆相交.答案:A的最小值为5.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则-A.1B.-1C.以上都不对答案:C6.已知中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为4的椭圆与直线x有且仅有一个交点则椭圆的长轴长为A.或或C.或或解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,且m,n>0),与直线方程x联立,消去x,得(3m+n)y2+由Δ=0,得3m+n=16mn,即又c=2,即由①②联立得或故椭圆的长轴长为或答案:C7.若直线y=x+2与椭圆有两个公共点则的取值范围是2 22 人教 A 版 2018-2019学年高中数学选修 1-1习题解析:由得(m+ 3)x 2+ 4mx+m= 0.∵直线与椭圆有两个公共点,∴Δ=(4m ) -4m (m+ 3)= 16m 2-4m 2-12m= 12m 2-12m> 0,解得 m> 1 或 m< 0.又 m> 0,且 m ≠3∴m> 1,且 m ≠3.答案:(1,3)∪(3,+∞)8.若直线 3x-y-2= 0 截焦点为(0,±的椭圆所得弦中点的横坐标是 则该椭圆的标准方程是解析:设椭圆的标准方程为由联立得(a 2+ 9b 2)x 2-12b 2x+ 4b 2-a b 2= 0,x 1+x 2--∴a 2= 3b 2.又由焦点为(0,±知,a 2-b =50. 由①②,得 a 2= 75,b 2= 25.故所求椭圆方程为答案:9.椭圆 ax 2+by 2= 1(a> 0,b> 0,且 a≠b)与直线 x+y-1= 0 相交于 A ,B 两点,C 是 AB 的中点,若|AB|=直线 的斜率为 求椭圆的方程解:由直线方程和椭圆方程联立,得则(a+b )x 2-2bx+b-1= 0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB|-①②∵|AB|=设 C (x ,y ),则 x∵直线 OC 的斜率为代入①得 a ∴椭圆方程为10.如图,椭圆 E经过点 且离心率为(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P ,Q (均异于点 A ),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.(1)解:由题设知结合 a 2=b 2+c 2,解得 a所以椭圆的方程为(2)证明由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k (x-1)+1(k ≠2 代入得(1+2k 2)x 2-4k (k -1)x+2k (k -2)=0.由已知 Δ>0.设 P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1x 2≠0则 x 1+x 2- -从而直线 AP ,AQ 的斜率之和k AP +k AQ=2k+(2-k=2k+(2-k--能力提升1.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆上的点则两点间的最大距离是A.C.7解析:设Q(x,y),则该点到圆心的距离d-------∈[-1,1],∴当y=--时,dmax----∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为d max+r=故选D.答案:D2.已知(4,2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点则的方程是A.x-2y=0 C.2x+3y+4=0B.x+2y-4=0 D.x+2y-8=0解析:设l与椭圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),①则有②①-②,得由x1+x2=8,y1+y2=4,可得2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,即故方程为y-2=--③×9-②,得-即 x+2y-8=0.答案:D3.已知椭圆C的离心率为 过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于两点 若则 等于A.1CB解析:由椭圆 C 的离心率为∴椭圆 C设 A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),得c即②将点 A ,B 的坐标代入椭圆 C ,得③-∴3x B -x A联立①④,得解得 x A∴y A =--故k k =∴k- --答案:B4.若直线 ax+by+4=0 和圆 x 2+y 2=4 没有公共点,则过点(a ,b )的直线与椭圆的公共点个数为解析:∵直线 ax+by+4=0 与圆 x 2+y 2=4 没有公共点,∴点(a ,b )在椭圆内,即过点(a ,b )的直线与椭圆相交,有 2 个公共点.答案:2★5.如图,过点 M (-2,0)的直线 m 与椭圆交于点 线段 的中点为 设直线 的斜率为 ≠0 直线 OP 的斜率为k 2,则 k 1k 2 的值为.解析:设 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),代入椭圆方程得两式相减并变形整理得 --设 P (x 0,y 0),则 y 1+y 2=2y 0,x 1+x 2=2x 0,k 2- 1 2答案:6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,的距离之和等于 设点 的轨迹为(1)写出 C 的方程;(2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A ,B 两点,则 k 为何值时 此时 的值是多少解:(1)设 P (x ,y ),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,为焦点,长半轴长为 2 的椭圆.它的焦距为所以短半轴的平方为1,故曲线 C 的方程为 x 2(2)设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),其坐标满足消去 y ,并整理得(k 2+4)x 2+2kx-3=0, 故 x 1+x 2=∵y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1, ∴x 1x 2+y 1y 2=-又 x 1x 2+y 1y 2=0,∴k=当 k=时,x 1+x 2=∓ |AB|--而(x 2-x 1)2=(x 2+x 1)2-4x 1x 2★7.已知椭圆 G过点 作圆的切线 交椭圆 于两点(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由已知得 a=2,b=1,所以 c-所以椭圆 G 的焦点坐标为(离心率为 e(2)由题意知,|m|≥1.当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A ,B 的坐标分别为-此时|AB|当 m=-1 时,同理可得|AB|当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k (x-m ).由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2-又由l与圆x2+y2=1相切,得即m2k2=k2+1.所以|AB|-因为当m=±1时,|AB|所以|AB|因为|AB|∈(-∞,-1]∪[1,+∞).≤2且当m=时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.。
高中数学人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程章末综合测评及解析
联立直线与抛物线的方程y＝2 2(x－1)， y2＝4x，
解之得x＝12， y＝－ 2
或xy＝＝22，2.
由图知 B12，－பைடு நூலகம்
2，
∴S△AOB＝12|OF|·|yA－yB|＝12×1×|2 2＋ 2|＝32 2.
【答案】 D
12．已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)与双曲线 C2：x2－y42＝1 有
19．(本小题满分 12 分)已知双曲线过点 P(－3 2，4)，它的渐近
线方程为 y＝±43x. (1)求双曲线的标准方程； (2)设 F1 和 F2 为该双曲线的左、右焦点，点 P 在此双曲线上，且
|PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2 的余弦值． 【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横
则 b＝________. 【解析】 由题意得，双曲线焦点在 x 轴上，且 c＝2.根据双曲线
的标准方程，可知 a2＝1.又 c2＝a2＋b2，所以 b2＝3.又 b>0，所以 b＝ 3.
【答案】 3 14．设 F1，F2 为曲线 C1：x62＋y22＝1 的焦点，P 是曲线 C2：x32－y2 ＝1 与 C1 的一个交点，则△PF1F2 的面积为________． 【解析】 由题意知|F1F2|＝2 6－2＝4，设 P 点坐标为(x，y)．
2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1
2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升基础巩固1.椭圆x 22+y 24=1的短轴长为( ) A .2B.2C.22D.4答案:C2.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是( )A .x 23+y 24=1B.x 24+y 23=1C .x 24+y 22=1D.x 24+y 23=1答案:D3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(‒3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A .x 24+y 2=1B.x 2+y 24=1C .x 23+y 2=1D.x 2+y 23=1解析:∵一个焦点为(‒3,0),∴焦点在x 轴上,且c = 3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b ,∴a=2b.故选A.答案:A4.在一个椭圆中,以焦点F 1,F 2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e 等于( )A .12B.22C.32D.255解析:由已知b=c ,故a e =2c.所以=c a=22.答案:B5.椭圆x 225+y 29=1与x 29-k +y 225-k =1(0<k <9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率解析:在椭,a=5,b=3,c=4,且焦点在x 轴上.在椭,圆x 225+y 29=1中圆x 29-k +y 225-k =1中∵0<k<9,且25-k>9-k ,∴焦点在y 轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.答案:B6.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一个动点,且点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为‒12,则椭圆的离心( )A .3B.2C.12D.3解析:设P (x 0,y 0),P 在椭圆上,所则y 0x 0-a ·y 0x 0+a =‒12,化简得x 20a 2+2y 20a 2=1.又因为点a 2=2b 2,故e 以x 20a 2+y 20b 2=1,所以=2.答案:B7.若焦点在x 轴上的椭圆x 22+y 2m =1的离心率为12,则m = . 解析:因为椭圆的焦点在x 轴上,所以0<m<2.所以a 2=2,b 2=m.所以c 2=a 2-b 2=2-m.因为椭圆的离心率为e =12,所以e 2m =14=c 2a 2=2-m 2,解得=32.答案:328.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为23,离心率为33,则该椭圆的方程为 . 解析:由题意知,a = 3.又e =33,∴c =1.∴b 2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.答案:x 23+y 22=1或y 23+x 22=19.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .解析:设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0).设D (x 0,y 0),∵BF =2FD ,∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0).∴x 0=32c ,y 0=‒b 2.代入椭圆方程得9c 24a 2+b 24b 2=1,∴c 2a2=13,∴e =c a =33.答案:3310.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.解:如图,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c ,∴|BF 1|=c ,|BF 2|=3c.根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a ,即c +3c =2a ,∴ca =3‒1.∴椭圆的离心率e =3‒1.能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±5,0)D.(0,±5)答案:A2.椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B (0,2),BF ·42+4,则椭圆C 的方程为( )A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=1答案:C3.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等,则此椭圆的离心率为( )A .14B.55C .12D.5‒2解析:因为A ,B 为椭圆的左、右顶点,F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,所以|AF 1|=a-c ,|F 1F 2|=2c ,|F 1B|=a+c.又因为|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,所以(a-c )(a+c )=4c 2,即a 2=5c 2.所以离心率eB.=c a =5,故选答案:B4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P (‒5,4),则椭圆的方程为 . 解析:∵e =c a =5,∴c 2a 2=a 2-b 2a 2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a 2=1(a >0).∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a 2=45.∴椭圆方程为x 245+y 236=1.答案:x 245+y 236=1★5.已知椭△ABF 2的面积是5,A ,B 两点的坐标圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别是F 1,F 2,弦AB 过F 1,若是(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 1-y 2|= .解析:由题意可知,S △ABF 2=S △AF 1F 2+S △BF 1F 2=c|y 1‒y 2|(A ,B 在x 轴上、下两侧),又S △ABF 2=5,∴|y 1‒y 2|=5c =53.答案:536.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,若△ABF 2是等边三角形,求该椭圆的离心率.分析不妨设椭圆的焦点在x 轴上,如图,由AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2是等边三角形,得出在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x ,利用勾股定理,求出|F 1F 2|=3x =2c.而|AF 1|+|AF 2|=2a ,即可求出离心率e.解:不妨设椭圆的焦点在x 轴上,∵AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2为等边三角形,∴在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x.∴|F 1F 2|=|AF 2|2-|AF 1|2=3x =2c.由椭圆定义,可知|AF 1|+|AF 2|=2a.∴e =2c 2a=3x 3x =33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32,已知点P (0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.解:设椭圆方程,a=2b ,|PM|2=x 2为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点由c a =32,得≤y ≤b ).+(y -32)2=‒3(y +12)2+4b 2+3(‒b 若0<by=-b 时|PM|2最大,b .<12,则当即(b +32)2=7,解得=7‒32>12,故矛盾若b ≥y=,4b 2+3=7,b 2=1,12,则当‒12时从而a 2=4.所求方程为x 24+y 2=1.。
【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修1-1
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章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3D [方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.]2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：97792116】A.12B.32C ．1D. 3B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|32＋12＝32，故选B.] 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A.12B.55C.14D.5－2A [由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.]4．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83A [抛物线的焦点为(1,0)，由题意知1m＝2.即m ＝14，则n ＝1－14＝34，从而mn ＝316.]5．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 23＝1 C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 24＝1 D [由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，∴a ＝4.又e ＝c a ＝32，∴c ＝23，∴b 2＝42－(23)2＝4，∴椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.]6．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32D ．64B [抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.]7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 D [由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]8．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)D [设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2， 即y 2＝12(x －1)．]9．已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )【导学号：97792117】A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆D [∵sin θ＋cos θ＝34，∴sin θcos θ＝－732.∵θ为△ABC 的一个内角，∴sinθ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴1－cos θ>1sin θ>0，∴方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1是焦点在y 轴上的椭圆．]10．设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Г上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32A [设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A.]11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)A [设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2，∴点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故双曲线的方程是x 2－y 28＝1(x >1)．]12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 D [因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C的方程为x 220＋y 25＝1，选D.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________． 513 [因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2与x 轴垂直，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，±53，所以|PF 2|＝53，则|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513.]14．如图1所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.【导学号：97792118】图18 [由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.]15．如图2等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．图2x 2＝4y [依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .]16．如图3，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．图33＋1 [如图，连接AF 1，由△F 2AB 是等边三角形，知∠AF 2F 1＝30°.易知△AF 1F 2为直角三角形，则|AF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 2|＝3c ，∴2a ＝(3－1)c ，从而双曲线的离心率e ＝ca＝1＋ 3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．[解] 设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16， 所以弦长为＋k2x 1－x 22＝2[4＋m2－4×16]＝2m 2＋8m . 由2m 2＋8m ＝6 2.解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值.【导学号：97792119】[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．[解] (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16.(2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9.∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)， ∴F 2(4,0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2(图略)，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4， 连接CP 3，CP 4(图略)，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意． 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意，得a 2－b 2a ＝22，又点(2，2)在C 上，所以4a 2＋2b2＝1，两方程联立，可解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 所以直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，所以k OM ·k ＝－12.故直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．[解] (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝k －x 1x 2＋12x 2＋x 1x 2＝k －14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．22．(本小题满分12分)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A ，短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围.【导学号：97792120】[解] (1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)， 设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－b a .(A 点坐标为(a,0)，B 点坐标为(0，b )时，同样有k ＝－ba)则有y －c ＝－b a ，∴y ＝bc a .①又∵点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴c 2a 2＋y 2b2＝1.② 由①②得c 2a 2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22. (2)设|QF 1|＝m ，|QF 2|＝n ，∠F 1QF 2＝θ， 则m ＋n ＝2a ，|F 1F 2|＝2c .在△F 1QF 2中，cos θ＝m 2＋n 2－4c 22mn＝m ＋n2－2mn －2a 22mn ＝a2mn－1≥a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ≤1，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-1：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1
|AF|=x1+
������ 2
,
|������������|
=
������2
+
���2���,
11
1
1
∴
|������������|
+
|������������|
=
������1
+
������ 2
+
������2
+
������ 2
=
������2
+
������ 2
+
������1
+
������ 2
2.设直线方程时,要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.
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题型一 题型二 题型三
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IANLI TOUXI
【变式训练2】 已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36,求弦所 在的直线方程.
方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0).
又抛物线的焦点到顶点的距离为 5,
������ ∴ 2 = 5. ∴ ������ = 10.
∴所求抛物线的方程为 y2=20x 或 y2=-20x.
解法二由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴,∴设抛物线的
方程为 y2=mx(m≠0).
又抛物线的焦点到顶点的距离为 5,∴
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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-1章末综合测评2 圆锥曲线与方程 含解析 精品
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.双曲线3x2－y2＝9的焦距为()A. 6B.26C.23D.4 3【解析】方程化为标准方程为x23－y29＝1，∴a2＝3，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，∴2c＝4 3.【答案】 D2.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是()【导学号：37792096】A.12 B.32C.1D. 3【解析】抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－y23＝1的渐近线3x－y＝0的距离为|3×1－1×0|(3)2＋12＝32，故选B.【答案】 B3.已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是()A.x＝－18 B.x＝12C.x＝18 D.x＝－12【解析】抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－12x，其准线方程为x＝18.【答案】 C4.已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB →·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14x B.y ＝±13x C.y ＝±12xD.y ＝±x【解析】 由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x . 【答案】 C6.如图1所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )图1A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【解析】 由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 【答案】 A7.如图2，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是()图2A.22B.24C.12D.32【解析】 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac ，即b ＝c . 于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8.若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F (－2,0)， 所以c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋1， 即4＝a 2＋1，解得a ＝ 3.设P (x ，y )，则OP →·FP →＝x (x ＋2)＋y 2， 因为点P 在双曲线x 23－y 2＝1上， 所以OP →·FP →＝43x 2＋2x －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－34－1.又因为点P 在双曲线的右支上，所以x ≥ 3. 所以当x ＝3时，OP →·FP →最小，且为3＋23， 即OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞). 【答案】 B9.已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( )A.12B.32C.72D.5【解析】 已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则点P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且a ＝32，c ＝2.所以|P A |的最小值是点A 到右顶点的距离，即为a ＋c ＝2＋32＝72，选C.【答案】 C10.已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )A.y 2＝2(x －1)B.y 2＝4(x －1)C.y 2＝x －1D.y 2＝12(x －1)【解析】设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y 02，所以⎩⎨⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1). 【答案】 D11.已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )【导学号：37792097】A.(1, 3]B.[3，＋∞)C.(1,2]D.[2，＋∞)【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0<m ≤4，又e ＝1＋b 2a 2＝1＋8m ，所以e ≥ 3.【答案】 B12.已知点P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点P 且与x 轴平行，若同时与直线l 、直线PF 、x 轴相切且位于直线PF 左侧的圆与x 轴切于点Q ，则点Q ( )A.位于原点的左侧B.与原点重合C.位于原点的右侧D.以上均有可能【解析】 设抛物线的准线与x 轴、直线l 分别交于点D ，C ，圆与直线l 、直线PF 分别切于点A ，B .如图，由抛物线的定义知|PC |＝|PF |，由切线性质知|P A |＝|PB |，于是|AC |＝|BF |.又|AC |＝|DO |，|BF |＝|FQ |，所以|DO |＝|FQ |，而|DO |＝|FO |，所以O ，Q 重合，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________. 【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3， 所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x14.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.【解析】 由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.【答案】 815.如图3所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.【导学号：37792098】图3【解析】 由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.【答案】 816.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|PQ |＝2，则直线l 的斜率等于________.【解析】 设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x ＋1)，联立得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2(k 2－2)k 2， ∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2， y 1＋y 22＝2k ，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k .又|FQ |＝2，F (1,0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4，解得k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程.【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18.(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点.(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值.【导学号：37792099】【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ①由题意知：⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ②由①②得c ＝6，∴b ＝8.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切.(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由.【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0). ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16. (2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45， ∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9.∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)，∴F 2(4,0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4， 连接CP 3，CP 4，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意. 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形.20.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积.【导学号：37792100】【解】 (1)∵e ＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.21.(本小题满分12分)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点.(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3. (2)四边形OABC 不可能为菱形.理由如下： 假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0).由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2， y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1， 所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.22.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切.(1)求椭圆C 的标准方程；【导学号：37792101】(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－b 2a 2.求证：△AOB 的面积为定值.【解】 (1)由题意得，b ＝|0－0＋6|2＝3，c a ＝12， 又a 2＋b 2＝c 2，联立解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 化简得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， 由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2， ∴3m 2－12k 23＋4k 2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3， ∵|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)·48(4k 2－m 2＋3)(3＋4k 2)2 ＝48(1＋k 2)(3＋4k 2)2·3＋4k 22＝24(1＋k 2)3＋4k 2. 又O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2. ∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224(1＋k 2)3＋4k 2 ＝12m 21＋k 2·24(1＋k 2)3＋4k 2 ＝123＋4k 22·243＋4k 2＝3，为定值.。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 检测(A)
第二章检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若圆(x-a )2+(y-b )2=r 2的圆心为抛物线y 2=4x 的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为 ( )A.(x-1)2+y2=6425B.x 2+(y ‒1)2=6425C.(x-1)2+y 2=1D.x 2+(y-1)2=1答案:C2.已知抛物线C 1:y=2x 2与抛物线C 2关于直线y=-x 对称,则抛物线C 2的准线方程是( )A.x=‒18B.x =12C.x=18D.x =‒12解析:抛物线C 1:y=2x 2关于y=-x 对称的抛物线C 2的解析式为-x=2(-y )2,即y 2=C 2的准线方程‒12x ,故为x=18.答案:C3.一根竹竿长为2米,竖直放在广场的水平地面上,在t 1时刻测得它的影长为4米,在t 2时刻测得它的影长为1米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,则在t 1,t 2这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为( )A.1∶1B .2∶1C .3∶1D.2∶1解析:根据题意,球形物体的高度一定,可设为h.则t 1时刻影子椭圆的长轴长2a=2h ,短轴长2b=h ,∴c 2=a 2-b 2=h22a=h ,短轴长‒ℎ24=34ℎ2,e 1=c a=3ℎℎ=3.t 2时刻影子椭圆的长轴长为2b c 2=a 2-b 2=ℎ2,则=ℎ24‒ℎ216=316ℎ2,∴c 2a 2=316ℎ2ℎ24=34.∴e 2=ca =32.∴e 1∶e 2=1∶1.答案:A4.已知动点P 到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离之和为≥1),则点P 轨迹的离心率的取值范围23λ(λ为( )A .[33,1)B.(33,32]C.(0,33]D.(32,1)解析:由题意,23λ>|F 1F 2|=2,∴点P 的轨迹是椭圆,其中a =3λ,c =1.∴e C.=13λ≤13.故选答案:C 5.若双曲线x 2a 2‒y 2b 2=1的一条渐近线经过点(3,‒4),则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53解析:∵双曲线的渐近线方程为y=(3,-4),±ba x ,且过点∴-4=‒ba ×3,∴b a =43.∴离心率e =1+(ba )2=1+(43)2=53,故选D.答案:D6.已知P ,Q 是椭圆9x 2+16y 2=1上的两个动点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则点O 到弦PQ 的距离必等于( )A.1B .34C.15D.145解析:考虑弦PQ 垂直于x 轴时,OP ⊥OQ ,且|OP|=|OQ|,所以△OPQ 为等腰直角三角形.故有|x P |=|y P |,代入椭圆方程,有9x 2P +16x 2P =1,解得 |x P |O 到弦PQ 的距离=15,即点为15.答案:C7.已知AB 为过椭△ABF 1的最大面积是(c 为半圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的中心的弦,F 1为一个焦点,则焦距)( )A.acB.abC.bcD.b2解析:△ABF1的面积为c·|y A|,因此当|y A|最大,即|y A|=b时,面积最大.答案:C8.已知点F,A分别为双曲线C:x 2a2‒y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足FB·AB=0,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.1+3D.1+5解析:∵FB·AB=0,∴FB⊥AB.∴b2=ac.又b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0.两边同除以a2,得e2-1-e=0⇒e =1+52.答案:D9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y =33(x‒1)或y=‒33(x‒1)C.y=3(x‒1)或y=‒3(x‒1)D.y =22(x‒1)或y=‒22(x‒1)答案:C10.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的标准方程为( )A.y2=-4xB.y2=4xC.x2=4yD.x2=-4y解析:过焦1的直线方程为y=x,可得y2-2py-p2=0,所以点F(p2,0)且斜率为‒p2,与抛物线方程联立y1+y2=2p=4.所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是 .答案:212.已知点P (a ,0),若抛物线y 2=4x 上任一点Q 都满足|PQ|≥|a|,则a 的取值范围是 .解析:设Q (x ,y ),则y 2=4x (x ≥0).∴|PQ|2=(x-a )2+y 2=(x-a )2+4x=x 2+2(2-a )x+a 2≥a 2.∴x 2+2(2-a )x ≥0.∵x ≥0,∴x+2(2-a )≥0,a ≤2+x 2.又x ≥0,∴a ≤2.答案:(-∞,2]13.在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径作圆,过点(a 2c,0)所作圆的两条切线互相垂直,e = .解析:设P ,Q.点M(a 2c,0),两个切点分别为因为|MP|=|MQ|,MP ⊥MQ ,所以四边形MPOQ 是正方形.又因为c=1,所以(a 21)2=2a 2.整理,得a e = 2.故=12=22.答案:2214.过双曲线C:x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ,则 .解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为yC 交于P (x 0,y 0).=b a(x ‒c ),与∵x 0=2a ,∴y 0=b a(2a ‒c ).又P (x 0,y 0)在双曲线C 上,∴(2a )2a2‒b 2a 2(2a -c )2b2=1,∴整理得a 2-4ac+c 2=0,设双曲线C 的离心率为e ,故1-4e+e 2=0.∴e 1=2),e 2=2‒3(舍去+ 3.即双曲线C 的离心率为2+ 3.答案:2+315.方程x 24-t +y 2t -1=1表示曲线C ,给出以下命题:①曲线C 不可能为圆;②若曲线C 为椭圆,则1<t<4;③若曲线C 为双曲线,则t<1或t>4;④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆,则1<t<52.其中真命题的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 解析:当t-1=4-t ,即t,故①错;=52时曲线表示圆若C 为椭圆,则{t -1>0,4-t >0,4-t ≠t -1,即1<t<4,且t ≠②错;52,故③中若曲线为双曲线,则(4-t )(t-1)<0,即t>4或t<1,故③正确;④显然正确.答案:③④三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)点A ,B 分别是椭⊥PF.求点圆x 236+y 220=1的长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,PAP 的坐标.分析由题意可得点A (-6,0),B (6,0),F (4,0).设点P 的坐标为(x ,y ),由AP ⊥FP ,P 在椭圆得AP ·FP =0,与点上联立组成方程组,即可求解x ,y 的值,即点P 的坐标.解:由已知可得点A (-6,0),B (6,0),F (4,0).设点P 的坐标是(x ,y ),则=(x +6,y ),=(x ‒4,y ),由已知,得{x 236+y 220=1,(x +6)(x -4)+y 2=0,解得xx=-6.=32或因为y>0,所以只能取x y =32,于是=532,故点P 的坐标是(32,532).17.(8分)如图,F 1,F 2分别是椭圆C ∠F 1AF 2=:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,60°.(1)求椭圆C 的离心率;(2)已知△AF 1B 的面积为403,求a ,b 的值.解:(1)由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a=2c ,所以e=12.(2)(方法一)a 2=4c 2,b 2=3c 2.直线AB 的方程可为y=‒3(x ‒c ).将其代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2, 得B(85c ,-335c ).所以|AB|=1+3·|85c -0|=165c.·|AB|sin ∠F 1AB由S △AF1B =12|AF 1|=12a ·165c ·32=235a 2=403,解得a=10,b=5 3.(方法二)设|AB|=t.因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t-a.由椭圆定义|BF 1|+|BF 2|=2a 可知,|BF 1|=3a-t.再由余弦定理(3a-t )2=a 2+t 2-2at cos 60°,可得t=85a.a=10,b=由S △AF 1B =12a ·85a ·32=235a 2=403,知5 3.18.(9分)如图,已知抛物线C 1:x 2+by=b 2经过椭圆C 2:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点.(1)求椭圆C 2的离心率;(2)设点Q (3,b ),又M ,N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点,若△QMN 的重心在抛物线C 1上,求C 1和C 2的方程.解:(1)因为抛物线C 1经过椭圆C 2的两个焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0),所以c 2+b ×0=b 2,即c 2=b 2.因为a 2=b 2+c 2=2c 2,所以椭圆C 2的离心率e =22.(2)由(1)可知a 2=2b 2,椭圆C 2的方程为x 22b2+y 2b 2=1.联立抛物线C 1的方程x 2+by=b 2,得2y 2-by-b 2=0,解得y=y=b (舍去),所以x=‒b2或±6b , 即M (-62b ,-b 2),N (62b ,-b 2).所以△QMN 的重心坐标为(1,0).因为重心在C 1上,所以12+b ×0=b 2,得b=1.则a 2=2.所以抛物线C 1的方程为x 2+y=1,椭圆C 2的方程为x 22+y 2=1.19.(10分)(2016·山东高考)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4,焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过动点M (0,m )(m>0)的直线交x 轴于点N ,交C 于点A ,P (P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长QM 交C 于点B.①设直线PM ,QM 的斜率分别为k ,k',证明k 'k 为定值;②求直线AB 的斜率的最小值.(1)解:设椭圆的半焦距为c.由题意知2a=4,2c=22,所以a=2,b=a 2-c 2= 2.所以椭圆C的方程为x 24+y 22=1.(2)①证明设点P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0).由点M (0,m ),可得点P (x 0,2m ),点Q (x 0,-2m ).所以直线PM 的斜率k =2m -m x 0=mx 0,直线QM 的斜率k'=-2m -mx 0=‒3m x 0.此-3.时k 'k =‒3.所以k 'k 为定值②解:设点A (x 1,y 1),点B (x 2,y 2).直线PA 的方程为y=kx+m ,直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立{y =kx +m ,x 24+y 22=1,整理得(2k 2+1)x 2+4mkx+2m 2-4=0.由x 0x 1x 1=2m 2-42k 2+1,可得=2(m 2-2)(2k 2+1)x 0,所以y 1=kx 1+m=2k (m 2-2)(2k 2+1)x 0+m ,同理x 2=2(m 2-2)(18k 2+1)x 0,y 2=-6k (m 2-2)(18k 2+1)x 0+m.所以x 2-x 1=2(m 2-2)(18k 2+1)x 0‒2(m 2-2)(2k 2+1)x 0=-32k 2(m 2-2)(18k 2+1)(2k 2+1)x 0,y 2-y 1=-6k (m 2-2)(18k 2+1)x 0+m ‒2k (m 2-2)(2k 2+1)x 0‒m =-8k (6k 2+1)(m 2-2)(18k 2+1)(2k 2+1)x 0,所以k AB=y 2-y 1x 2-x 1=6k 2+14k =14(6k +1k).由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k k .+1k ≥26,等号当且仅当=66时取得此m.时m 4-8m2=66,即=147,符合题意所以直线AB 的斜率的最小值为62.20.(10分)如图,已知抛物线C 1:y=14x 2,圆C 2:x 2+(y ‒1)2=1,过点P (t ,0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线C ,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标;(2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k (x-t ),y ,整理得x 2-4kx+4kt=0,由{y =k (x -t ),y =14x 2消去由于直线PA 与抛物线相切,得k=t.因此,点A 的坐标为(2t ,t 2).设圆C 2的圆心为点D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知,点B ,O 关于直线PD 对称,故{y 02=-x 02t +1,x 0t -y 0=0,解得{x 0=2t1+t 2,y 0=2t 21+t 2.因此,点B 的坐标为(2t1+t 2,2t 21+t 2).(2)由(1)知|AP|=t ·PA 的方程tx-y-t 2=0.1+t 2和直线点B 到直线PA 的距离是d =t 21+t 2.设△PAB 的面积为S (t ),所以S (t )·d =12|AP|=t 32.。
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章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3D [方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.]2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：97792116】A.12B.3 C ．1B [抛物线y 2＝4x 的焦点为－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为32＋3．已知椭圆A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若AF |，|F F |( )B.55D.5－2A [由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.]4．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83A [抛物线的焦点为(1,0)，由题意知1m＝2.即m ＝14，则n ＝1－14＝34，从而mn ＝316.]5．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 23＝1 C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 2＝D [由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝＝32，∴c ＝23，∴b 2＝42－(23)2＝4，∴椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.]6．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 D ．64(2,0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个＝12＋4＝16.]的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点( )B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 D [由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]8．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)D [设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2， 即y 2＝12(x －1)．]9．已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )【导学号：97792117】A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆D [∵sin θ＋cos θ＝34，∴sin θcos θ＝－732.∵θ为△ABC 的一个内角，∴sinθ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴1－cos θ>1sin θ>0，∴方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1是焦点在y 轴上的椭圆．]10．设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Г上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32A [设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A.]11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)A [设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2，∴点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2x 2－y 28＝1(x >1)．]12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的渐近线与椭圆C( )A.x 28＋y 22＝1＋y 26＝1 C.x 2＋y 2＝1 ＋y 25＝1 e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x C 的交点坐标4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C的方程为20＋5＝二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________． 513 [因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2与x 轴垂直，且点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，±53，所以|PF 2|＝53，则|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513.]14．如图1所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.【导学号：97792118】图18 [由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.]15．如图2等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．图2x 2＝4y [依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .]16．如图3，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．图33＋1 [如图，连接AF 1，由△F 2AB 是等边三角形，知∠AF 2F 1＝30°.易知△AF 1F 2为直角三角形，则|AF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 2|＝3c ，∴2a ＝(3－1)c ，从而双曲线的离心率e ＝ca＝1＋ 3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．[解] 设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．2＋2x 1－x 22＋m2－4×16]m 2＋8m . m2＋m ＝6m ＝1或＝－9.经检验，m ＝或m ＝－＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值.【导学号：97792119】[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．[解] (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16.(2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9.∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)， ∴F 2(4,0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2(图略)，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4， 连接CP 3，CP 4(图略)，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意． 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意，得a 2－b 2a ＝22，又点(2，2)在C 上，所以4a 2＋2b2＝1，两方程联立，可解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 所以直线OM 的斜率kOM ＝y M x M ＝－12k ，所以k OM ·k 故直线OM 的斜率与直线l 21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px ⎭⎪⎫，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；P (1,1)，得p ＝12.x ＝－14. y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝k －x 1x 2＋12x 2＋x 1x 2＝k －14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．22．(本小题满分12分)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A ，短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围.【导学号：97792120】[解] (1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)， 设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－b a .(A 点坐标为(a,0)，B 点坐标为(0，b )时，同样有k ＝－ba)则有y －c ＝－b a ，∴y ＝bc a .①又∵点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴c 2a 2＋y 2b2＝1.② 由①②得c 2a 2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22. (2)设|QF 1|＝m ，|QF 2|＝n ，∠F 1QF 2＝θ， 则m ＋n ＝2a ，|F 1F 2|＝2c .在△F 1QF 2中，cos θ＝m 2＋n 2－4c 22mn＝m ＋n2－2mn －2a 22mn ＝a2mn－1≥a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ≤1，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.。