2013届高中人教版B版理科数学专题训练及解析80
2013大纲版高考数学理科试题及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩 免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62．()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i3．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥- ，则=λ（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 6．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 （A ）()10613--- （B ）()101139-- （C ）()10313-- （D ）()1031+3- 7．()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）1688．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是 （A ）[-1,0] （B ）[1,)-+∞ （C ）[0,3] （D ）[3,)+∞10．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（A ）23 （B （C ）3（D ）13 11．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k =（A ）12 （B）2（C（D ）2 12．已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是（A ）()y f x =的图像关于(),0π中心对称 （B ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称（C ）()f x的最大值为2（D ）()f x 既奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知α是第三象限角，1sin 3a =-，则cot a = .14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）。
2013年数学试卷(理科)解析卷
2013年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C． D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6与a m，进而得到公差d，由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
2013年高考理科数学试题解析
2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足错误！未找到引用源。
(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4（B ）－45错误！未找到引用源。
（C ）4（D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i +-=2243(34)(34)(34)i i i ++-+=3455i+，故z 的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。
C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为52，则C 的渐近线方程为 A .14y x =± B .13y x =± C .12y x=± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52c a=，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x=±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈，∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3错误！未找到引用源。
2013高考数学人教B版阶段性测试题二
阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011～2012·上佛山市质检)下列函数中既是奇函数，又在区间(－1,1)上是增函数的为( )A ．y ＝|x |B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 3[答案] B[解析] y ＝|x |是偶函数，y ＝e x＋e －x为偶函数，y ＝－x 3是减函数，故选B. 122．(2011～2012·江西赣州市期末)若f (x )＝1log 12x －，则f (x )的定义域为( )A ．(12，1)B ．(12，1]C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] A[解析] 要使f (x )有意义，应有log 12 (2x －1)>0，∴0<2x －1<1，∴12<x <1，故选A.3．(2011～2012·上学期青岛市期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πxx f x －＋x，则f (43)＋f (－43)的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1[答案] D[解析] ∵－43<0，∴f (－43)＝cos(－4π3)＝cos(－2π＋2π3)＝cos 2π3＝－12，又∵43>0，∴f (43)＝f (43－1)＋1＝f (13)＋1＝f (13－1)＋1＋1＝f (－23)＋2＝cos(－2π3)＋2＝－12＋2＝32，∴原式＝－12＋32＝1.4．(文)(2011～2012·黄冈市期末)设n ∈{－1，12，1,2,3}，则使得f (x )＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] f (x )＝x n为奇函数，则n ＝－1,1或3，又f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴n ＝－1，故选A.(理)(2011～2012·河北衡水中学调研)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f (x )下列关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] D[解析] ∵f (x )定义域为[－1,5]，∴f (x )不是周期函数，故①假；当x ∈[0,2]时，f ′(x )≤0，∴f (x )为减函数，故②真；∵f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，在(4,5)上单调递减，极大值f (0)＝2，f (4)＝2，极小值f (2)未知，区间端点值f (－1)＝1，f (5)＝1，故在定义域[－1,5]内的最大值为2，∴当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值为2，则t 的最大值应为5，故③假；由于极小值f (2)未知，当1<a <2时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象交点个数不一定是4，∴y ＝f (x )－a 不一定有4个零点，故④假，∴真命题有1个．5．(文)(2011～2012·东营市期末)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )[答案] B[解析] 解法一：在函数y ＝x12－1中，x ＝1时，y ＝0；x ＝0时，y ＝－1，故其关于x轴对称的函数图象过(1,0)，(0,1)点，故选B.解法二：y ＝x 12－1可由y ＝x 的图象向下平移一个单位得到，再将其关于x 轴对称知选B.(理)(2011～2012·重庆市期末)函数y ＝2|log 2x |－|x －1|的图象大致是( )[答案] D[解析] x ≥1时，y ＝2|log 2x |－|x －1|＝2log 2x－(x －1)＝1，排除C ；0<x <1时，y ＝22|log 2x |－|x －1|＝2－log 2x －(1－x )＝1x＋x －1.令x ＝12，则y ＝32，排除A 、B ，故选D.6．实数a ＝0.32，b ＝log20.3，c ＝(2)0.3的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] C [解析] a ＝0.32<0.30＝1，∴0<a <1，b ＝log20.3<log 21＝0，c ＝(2)0.3>(2)＝1，∴b <a <c .7．(2011～2012·重庆市期末)把函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos(x ＋π3)的图象向右平移π3个单位得到图象对应函数y＝2cos x 为偶函数，故若左移m 个单位后所得图象关于y 轴对称，则m 最小值为π－π3＝2π3(注意此函数的半个周期为π)．8．(文)(2011～2012·豫南九校联考)函数f (x )＝(13)x－x 的零点所在区间为( )A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1)D ．(1,2)[答案] B[解析] f (0)＝1>0，f (13)＝393－33>0，f (12)＝33－22<0，知f (x )的零点所在区间为(13，12)． (理)(2011～2012·河北五校联盟模拟)若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] ∵a 、b ∈Z ，b －a ＝1，∴a 、b 是相邻的两个整数，令f (x )＝ln x ＋x －4，则f (1)＝－3<0，f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，∴f (x )在(2,3)上存在零点，即方程ln x ＋x －4＝0在(2,3)上有根，又f (x )为增函数，∴方程ln x ＋x －4＝0在(2,3)上有且仅有一根，∴a ＝2.9．(文)(2011～2012·兰州一中期末)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a[答案] C[解析] 由f (x )＝f (2－x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又x <1时，(x －1)f ′(x )<0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，1)上为增函数，f (3)＝f (2－3)＝f (－1)，∵－1<0<12，∴f (－1)<f (0)<f (12)，∴f (3)<f (0)<f (12)，即c <a <b .(理)(2011～2012·泉州五中模拟)定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不确定[答案] A[解析] 由f (3－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝32对称，当x >32时，由(x －32)f ′(x )<0得f ′(x )<0，∴f (x )在(32，＋∞)上单调递减，∵x 1<x 2，x 1＋x 2>3， ∴当x 1>32，x 2>32时，有f (x 1)>f (x 2)，当x 1<32时，必有x 2>32，∴f (x 1)＝f (3－x 1)>f (x 2)．10．(2011～2012·吉林延吉市质检)函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．0[答案] B[解析] ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∵f (x －1)是奇函数，∴f (－x －1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，在此式中以x ＋1代替x 得f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (8.5)＝f (0.5)＝9.[点评] 令F (x )＝f (x －1)，∵F (x )为奇函数， ∴F (－x )＝－F (x )，∴f (－x －1)＝－f (x －1)．11．(文)若关于x 的方程log 12x ＝m1－m 在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[分析] 要使方程有解，只要m 1－m 在函数y ＝log 12x (0<x <1)的值域内，即m1－m>0. [解析] ∵x ∈(0,1)，∴log 12 x >0，∴m1－m>0，∴0<m <1.(理)(2011～2012·陕西师大附中模拟)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.52[答案] C[解析] 令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1x，令F ′(x )＝0，∵x >0，∴x ＝22，当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减，∴当x ＝22时，F (x )取到极小值，此时|MN |取到最小值，∴t ＝22. 12．(文)已知函数f (x )＝lne x －e －x2，则f (x )是( )A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减 [答案] A [解析] 由e x －e －x2>0得e x >1ex ，∴x >0，故f (x )为非奇非偶函数， 又e x为增函数，e －x为减函数，∴e x －e －x2为增函数，∴f (x )为增函数，故选A.(理)( 2011～2012·山东苍山县期末)设函数f (x )，对任意的实数x 、y ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，则f (x )在区间[a ，b ]上( )A ．有最大值f (a ＋b2)B ．有最小值f (a ＋b2)C ．有最大值f (a )D ．有最小值f (a ) [答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得f (0)＝0，令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∵x >0时，f (x )<0，设a ≤x 1<x 2≤b ，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在区间[a ，b ]上为减函数，故f (x )在[a ，b ]上有最大值f (a )，选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2011～2012·山东省苍山县期末)若幂函数f (x )的图象经过点A (2,4)，则它在A 点处的切线方程为________．[答案] 4x －y －4＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点A (2,4)，∴4＝2α，∴α＝2，∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，故点A 处切线的斜率k ＝4，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.14．(文)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则当x <0时f (x )<0的解集是________． [答案] (－2,0)[解析] 当x ≥0时，由f (x )＝2x－4<0得0<x <2， ∵f (x )为偶函数，∴x <0时，由f (x )<0得－2<x <0.(理)(2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟)函数f (x )＝(|x |－1)(x ＋a )为奇函数，则f (x )的增区间为________．[答案] (－∞，－12]和[12，＋∞)[解析] ∵f (x )是奇函数，x ∈R ，∴f (－2)＝－f (2)， ∴a ＝0，∴f (x )＝x (|x |－1)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －x ≥0－x x ＋x <0，∴f (x )的单调增区间为(－∞，－12]和[12，＋∞)．15．(文)已知f (x )＝log a x ，(a >0且a ≠1)满足f (9)＝2，则f (3a)＝________. [答案] 3[解析] ∵f (9)＝2，∴log a 9＝2，∴a ＝3，∴f (3a)＝log 33a＝a ＝3.(理)定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子：⎝⎛⎭⎪⎫2tan5π4⊗ln e ＋lg100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值是________．[答案] 4[解析] 由框图知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －1a a ≤ba ＋1b a >b∵2tan5π4＝2，ln e ＝1,2>1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2tan5π4⊗ln e ＝2⊗1＝2＋11＝3， 又∵lg100＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴lg100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2⊗3＝3－12＝1，∴原式＝3＋1＝4.16．(2011～2012·黄冈市模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x >00 x ＝0－1 x <0，g (x )＝x 2f (x －1)(x ∈R )，则函数g (x )的零点个数有________个．[答案] 2[解析] g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x >10 x ＝1－x 2 x <1，故零点有2个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2011～2012·安徽省六校教育研究会联考)已知函数f (x )＝(x 2－ax )e x(x ∈R )，a 为实数．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在闭区间[－1,1]上为减函数，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e xf ′(x )＝2xe x ＋x 2e x ＝(x 2＋2x )e x ，由f ′(x )> 0⇒x >0或x <－2，故f (x )单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)． (2)由f (x )＝(x 2－ax )e x，x ∈R 得，f ′(x )＝(2x －a )e x ＋(x 2－ax )e x＝[x 2＋(2－a )x －a ]e x， 记g (x )＝x 2＋(2－a )x －a ， 依题意可得，当x ∈[－1,1]时，g (x )≤0恒成立，结合g (x )的图象特征得⎩⎪⎨⎪⎧g＝3－2a ≤0g －＝－1≤0即a ≥32，∴a 的取值范围是[32，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2011～2012·河北衡水中学调研)设函数f (x )＝ax ＋x x －1(x >1)，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从2,3,4,5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率．[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立． 设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1x －2＝a x －2－1x －2令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0 解得：x ＝±a a＋1∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0 x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0 ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋2－b ∴2a ＋2－b >0∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3， 当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4， 当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有9种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种， ∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝912＝34. 19．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·南通市调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－ 13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．[解析] 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋25003， 所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝112×223＋12＝25003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝14912.所以，S (t )的最大值为25003，最小值为8.(理)(2011～2012·黄冈市期末)某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元．(1)把每件产品的成本费P (x )(元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；(2)如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过3000件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价Q (x )与产品件数x 有如下关系：Q (x )＝170－0.05x ，试问生产多少件产品时，总利润最高？(总利润＝总销售额－总的成本)[解析] (1)P (x )＝12500x＋40＋0.05x由基本不等式得P (x )≥212500×0.05＋40＝90 当且仅当12500x＝0.05x ，即x ＝500时，等号成立．答：P (x )＝12500x＋40＋0.05x ，成本的最小值为90元．(2)设总利润为y 元，则y ＝xQ (x )－xP (x )＝－0.1x 2＋130x －12500＝－0.1(x －650)2＋29750 当x ＝650时，y max ＝29750.答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a 、b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f a ＋f ba ＋b>0.(1)若a >b ，比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14； (3)记P ＝{x |y ＝f (x －c )}，Q ＝{x |y ＝f (x －c 2)}，且P ∩Q ＝∅，求c 的取值范围． [解析] 设－1≤x 1<x 2≤1，则x 1－x 2≠0， ∴f x 1＋f －x 2x1＋－x 2>0.∵x 1－x 2<0，∴f (x 1)＋f (－x 2)<0. ∴f (x 1)<－f (－x 2)．又f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)． ∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )是增函数． (1)∵a >b ，∴f (a )>f (b )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －12≤1，－1≤x －14≤1，x －12<x －14，∴－12≤x ≤54.∴不等式的解集为{x |－12≤x ≤54}．(3)由－1≤x －c ≤1，得－1＋c ≤x ≤1＋c ， ∴P ＝{x |－1＋c ≤x ≤1＋c }．由－1≤x －c 2≤1，得－1＋c 2≤x ≤1＋c 2， ∴Q ＝{x |－1＋c 2≤x ≤1＋c 2}． ∵P ∩Q ＝∅，∴1＋c <－1＋c 2或－1＋c >1＋c 2， 解得c >2或c <－1.∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2011～2012·豫南九校联考)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数f (x )； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解析] (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品数为kx 2，在一个星期内商品的销售利润为f (x )，由题意得：24＝k ·22，∴k ＝6，所以f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072(0≤x ≤30) (2)f ′(x )＝－18(x －2)(x －12) 令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝12，∴定价为18元时利润最大．22．(本小题满分14分)(2011～2012·江苏无锡市辅仁中学模拟)对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )＝a ·f 1(x )＋b ·f 2(x )，那么称h (x )为f 1(x )、f 2(x )的生成函数．(1)下面给出两组函数，h (x )是否分别为f 1(x )、f 2(x )的生成函数？并说明理由； 第一组：f 1(x )＝sin x ，f 2(x )＝cos x ，h (x )＝sin(x ＋π3)； 第二组：f 1(x )＝x 2－x ，f 2(x )＝x 2＋x ＋1，h (x )＝x 2－x ＋1.(2)设f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝log 12 x ，a ＝2，b ＝1，生成函数h (x )．若不等式3h 2(x )＋2h (x )＋t <0在x ∈[2,4]上有解，求实数t 的取值范围．(3)设f 1(x )＝x ，f 2(x )＝1x(1≤x ≤10)，取a ＝1，b >0，生成函数h (x )使h (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[解析] (1)①设a sin x ＋b cos x ＝sin(x ＋π3)， 即a sin x ＋b cos x ＝12sin x ＋32cos x ，取a ＝12，b ＝32，所以h (x )是f 1(x )，f 2(x )的生成函数．②设a (x 2－x )＋b (x 2＋x ＋1)＝x 2－x ＋1， 即(a ＋b )x 2＋(b －a )x ＋b ＝x 2－x ＋1， 则{ a ＋b ＝b －a ＝－b ＝1，该方程组无解．所以h (x )不是f 1(x )，f 2(x )的生成函数．(2)h (x )＝2f 1(x )＋f 2(x )＝2log 2x ＋log 12 x ＝log 2x ，若不等式3h 2(x )＋2h (x )＋t <0在x ∈[2,4]上有解， 即t <－3h 2(x )－2h (x )＝－3log 22x －2log 2x ，x ∈[2,4]．设s ＝log 2x ，则s ∈[1,2]，y ＝－3log 22x －2log 2x ＝－3s 2－2s ＝－3(s ＋13)2＋13，∴y max ＝－5，∴t <－5.(3)由题意得，h (x )＝x ＋bx(1≤x ≤10，b >0)， 令h ′(x )＝1－b x2＝0，则x ＝b ，1°若b ∈[1,10]，则h (x )在[1，b ]上递减，在[b ，10]上递增， 则h min ＝h (b )＝2b ，所以{ 1≤bb ≥b ，得1≤b ≤4.2°若b ≤1，则h (x )在[1,10]上递增，则h min ＝h (1)＝1＋b ，所以⎩⎨⎧b ≤11＋b ≥b，得0<b ≤1.3°若b ≥10，则h (x )在[1,10]上递减，则h min ＝h (10)＝10＋b10，则⎩⎪⎨⎪⎧b ≥1010＋b 10≥b ，此时无解．综上可知，0<b ≤4.1．(2011～2012·深圳市一调)已知符号函数sgn(x )＝{ 1，x >0，，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由sgn(x )的定义知，sgn(ln x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >10，x ＝1－1，0<x <1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x x >10 x ＝1－1－ln 2x 0<x <1，由⎩⎪⎨⎪⎧x >11－ln 2x ＝0得x ＝e ，又⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1－1－ln 2x ＝0无解，f (1)＝0，∴f (x )的零点有2个．2.(2011～2012·江苏无锡市辅仁中学模拟)如右图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法一：当l 增大时，d 增大，且d 随l 增大的速度先快后慢，到l ＝π时，d 达到最大值，然后d 随l 的增大而减小，减小的速度先慢后快，故选C.解法二：设OA 逆时针旋转到OP 的位置的转角为θ，则0≤θ≤2π，∴l ＝r ·θ＝θ；当θ＝0时，d ＝0，当0<θ<π时，d ＝2sin θ2，当θ＝π时，d ＝2，当π<θ<2π时，d ＝2sin 2π－θ2＝2sin θ2，当θ＝2π时，d ＝0，验证可知，对∀θ∈[0,2π]，有d ＝2sin θ2，∴d ＝2sin l2，故选C.3．已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，若设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2010的值为( )A ．－log 20112010－2B ．－1C ．log 20112010－1D ．1[答案] B[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1×x 2×…×x 2010＝12×23×34×…×20102011＝12011，则log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2010＝log 2011(x 1×x 2×…×x 2010)＝log 201112011＝－1，故选B. 4．函数f (x )＝2x＋b ，点P (5,2)在函数f (x )的反函数f －1(x )的图象上，则b ＝________. [答案] 1[解析] ∵点P 在函数f (x )的反函数图象上，∴P ′(2,5)在函数f (x )的图象上，∴22＋b ＝5，∴b ＝1.5．(2011～2012·豫南九校联考)奇函数f (x )(x ≠0)在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，那么不等式f (x －1)<0的解集是____________．[答案] {x |x <0或1<x <2}[解析] ∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，f (1)＝0，∴0<x <1时，f (x )<0，又f (x )为奇函数，∴x <－1时，f (x )<0，∴不等式f (x －1)<0化为0<x －1<1或x －1<－1，∴1<x <2或x <0.6．(2011～2012·辽宁本溪一中、庄河高中联考)函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，有下列命题：①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是2；③f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数； ④f (x )没有最大值．其中正确命题的序号是________．(请填上所有正确命题的序号) [答案] ①④[解析] f (x )为偶函数，故①真；∵x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，∴f (x )≥lg2，故②假；∵f (12)＝lg 52，f (1)＝2，f (2)＝lg 52，∴③假，∵x >0时，f (x )＝lg(x ＋1x)>lg x ，故f (x )无最大值，∴④真．7．工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧16－x ，0<x ≤c23，x >c，(c 为常数，且0<c <6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)[解析] (1)当x >c 时，p ＝23，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·x ·3－23·x ·32＝0； 当0<x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－x ·x ·3－16－x ·x ·32＝x －2x 2－x.∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x 2－x 0<x ≤c 0 x >c(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0. 当0<x ≤c 时， ∵y ＝x －2x 2－x，∴y ′＝32·9－4x－x ＋x －2x 2－x 2＝x －x －－x2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)．∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间(0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝c －2c 2－c.②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减． ∴y 最大值＝f (3)＝92.综上，若0<c <3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 若3≤c <6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．8．(2011～2012·安徽东至县一模)已知函数y ＝－x 2＋ax －a 4＋12在区间[0,1]上的最大值是g (a )．(1)写出g (a )的函数表达式； (2)求g (a )的最小值．[解析] (1)y ＝－(x 2－ax )－a 4＋12＝－(x －a2)2＋a 24－a 4＋12，①a 2∈[0,1]，即a ∈[0,2]时，y max ＝f (a 2)＝a 24－a 4＋12，②a 2∈(－∞，0]时，a ∈(－∞，0]，y max ＝f (0)＝－a 4＋12， ③a 2∈(1，＋∞)时，a ∈(2，＋∞)，y max ＝f (1)＝3a 4－12. ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24－a 4＋12，a－a 4＋12，a3a 4－12，a(2)①当0≤a ≤2时，g (a )＝a 24－a 4＋12＝14(a －12)2＋716， ∴当a ＝12时，g (a )min ＝716，②当a ≤0时，g (a )＝－a 4＋12在(－∞，0]上是单调递减函数，∴当a ＝0时，g (a )min ＝12③当a >2时，g (a )＝3a 4－12在(2，＋∞)上是单调递增函数，∴g (a )>34×2－12＝1， 综上可知：g (a )min ＝716.。
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (理科) word解析版
2013北京高考理科数学试题及解析第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
第一部分一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( )． A ．{0} B ．{－1,0} C ．{0,1} D ．{－1,0,1} 答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．3．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1 B.23 C.1321 D.610987答案 C解析 执行一次循环后S ＝23，i ＝1，执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )．A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1 答案 D解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程y ＝±bax ，y ＝±2x .7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )．A.43 B ．2 C.83 D.1623 答案 C解析 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)．∴直线l 的方程为y ＝1.∴所求面积S ＝4－⎠⎛2－2x 24 d x＝4－⎪⎪x 3122－2＝83.8．设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )．A .⎝⎛⎭⎫－∞，43B .⎝⎛⎭⎫－∞，13C .⎝⎛⎭⎫－∞，－23D .⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 C 解析作不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有m<1－2m.若可行域存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则可行域内含有直线y ＝12x －1上的点，只需边界点(－m,1－2m)在y＝12x －1上方，且(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m<1－2m ，1－2m>－12m －1，m<－12m －1.得m<－23.第二部分二、填空题9．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 答案 1解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1.10．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.11. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.12．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案 96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种类共有4A 44＝96.13. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.14. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．答案 255解析 取B 1C 1中点E 1，连接E 1E ，D 1E 1，过P 作PH ⊥D 1E 1，连接C 1H .∴EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，PH ∥EE 1，∴PH ⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴P 到C 1C 的距离为C 1H .当点P 在线段D 1E 上运动时，最小值为C 1到线段D 1E 1的距离．在Rt △D 1C 1E 1中，边D 1E 1上的高h ＝2×15＝255.三、解答题15．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A∴cos A ＝63.(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去． 故c 的值为5.16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 (1)在3月1日到3月13日这13天中，5日，8日这两天空气重度污染．∴此人到达当日空气重度污染的概率P ＝213.(2)依题意X ＝0,1,2P (X ＝0)＝513，P (X ＝1)＝413，P (X ＝2)＝413.∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－12132×513＋⎝⎛⎭⎫1－12132×413＋⎝⎛⎭⎫2－12132×413＝116169. (3)由图知，从3月5日开始连续三天空气质量指数方差最大．17. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求证二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．(1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC . (2)解在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＝03y 1－4z 1＝0∴取向量n 1＝(0,4,3)由⎩⎪⎨⎪⎧B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0.取向量n 2＝(3,4,0)∴cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625.(3)证明 设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. ∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0则λ＝925，因此BD BC 1＝925.18．设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．(1)解 由y ＝ln xx ，得y ′＝1－ln x x 2，x >0.∴k ＝y ′|x ＝1＝1－ln 112＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.(2)证明 要证明，除切点(1,0)外，曲线C 在直线l 下方．只要证明，对∀x >0且x ≠1时，x －1>ln xx.设f (x )＝x (x －1)－ln x ，x >0，则f ′(x )＝2x －1－1x ＝(2x ＋1)(x －1)x因此f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增． ∴f (x )>f (1)＝0，即x (x －1)>ln x故当x >0且x ≠1时，x －1>ln xx成立．因此原命题成立．19．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形． 因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2因为M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．20．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d (n ＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1,2,3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为 1.(1)解 d 1＝1，d 2＝1，d 3＝3，d 4＝2. (2)证明 充分性：若{a n }为公差为d 的等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 于是A n ＝a n ＝a 1＋(n －1)d ，B n ＝a n ＋1＝a 1＋nd . 因此d n ＝A n －B n ＝－d (n ＝1,2,3，…)．必要性：因为d n ＝－d ≤0，∴A n ＝B n ＋d n ≤B n ∵a n ≤A n ，a n ＋1≥B n∴a n ≤a n ＋1，于是A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1. 因此a n ＋1－a n ＝B n －A n ＝－d n ＝d . 故数列{a n }是公差为d 的等差数列． (3)证明 1°首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，矛盾． 2°{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项． {a n }中一定存在项为1，否则与d 1＝1矛盾； 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾；因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a i ＝1，此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾．综上{a n}中没有超过2的项．所以由1°，2°知，{a n}中的项只能为1或2.∵对任意n≥1，a n≤2＝a，∴A n＝2，故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对任意正整数n，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}中有无穷多项为1.。
2013年高考理科数学大纲卷-答案
【答案】B【解析】(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+(2m n λ∴+=+，(1,m n -=--）()()m n m n +⊥-，()()0m n m n +-==0【提示】给出两个向量，利用向量的坐标运算，再根据向量的垂直的性质求值【考点】向量的坐标运算【解析】原函数的定义域为1220PA PA y k x =.2[PA k ∈-【提示】设0(,x y P 34.利用斜率计算公式可得12PA k ，再利用已.函数1AC C =，所以1CC O 内作1BDC O O =，所以DH ，则DH 1=，AB 3CD1BDC O O =1122(2,2)(2,2)(MA MB x y x y =+-+-=将上面各个量代入，化简得利用1122(2,2)(2,2)0MA MB x y x y =+-+-=【考点】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算 sin 2(1x x =3342 45480A=（种）.直线2260.= KOM中，360的表面积为4πR 4120.（Ⅱ）由（Ⅰ）知60，所以2sin sin A BDOP O =所以因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE CD ∥.因此PB CD ⊥.PB PO P =，故CD ，FG PD ⊥为坐标原点，OE 的方向为的空间直角坐标系||2AB =，则(0,0,2).(22,PC =，(0,PD =-(2,0,AP =，(2,AD =设平面PCD 的法向量为1(,,n x y z =则1(,)(22,2,n x y PC =-，1(,,)(0,2,2)n PD x y z =--=0z =，1y =-，得0，1z =，故1(0,1,1)n =-. 的法向量为2(,n m p =22(,)(2,0,2)n m p AP =，22(,)(2,2,0)n m D p A =-0=，1，得1p =，1=-，故2(1,1,n =-， 1212126,3||||n n n n n n <>==-12,n n <>等于二面角A PD -312A A ，121())(P A A A P A =123)(B B A P B =131)(B B P B =009()1122()()8P X P X P X ===++=.2|||=3(BF x 22|BF AB =2与C 的两个交点间的距离为11 / 11。
2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（ ） （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ． （2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（ ）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ． （3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ） （A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈． 综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-． 又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ． （8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） （A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ． （11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（ ） （A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ）（A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列 （D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ． 又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C． （19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==． 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=． （20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重 合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =． 当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =． （21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++， 故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =． （2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>． 即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ． 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增． 而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆 于点D ． （1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。
2013年高考全国卷理科数学高清解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】()f x 的定义域为M=[-1,1],故2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【答案】C【解析】故选择C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。
5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22124ππ-=-，选A.6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = 2z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =【答案】D【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故22c d =+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；a ,b ,c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A =,所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形。
2013年高考(新课标I卷)理科数学试卷(word版精编精校含答案详解)供河北、河南、山西、陕西使用
2013年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（新课标I 卷）使用省份：河北、河南、山西、陕西注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则（A ）=B A ∅ （B ）R =B A （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样 （B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为 （A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=（5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+（B ）8π8+（C ）π6116+（D ）16π8+（9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
2013年全国统一高考大纲版理科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考大纲版理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},B＝{4,5},M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.62.(5分)＝( )A.－8B.8C.－8iD.8i3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－14.(5分)已知函数f(x)的定义域为(－1,0),则函数f(2x＋1)的定义域为( )A.(－1,1)B.C.(－1,0)D.5.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)6.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)7.(5分)(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.5B.8C.12D.188.(5分)椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2,－1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B. C. D.9.(5分)若函数f(x)＝x2＋ax＋是增函数,则a的取值范围是( )A.[－1,0]B.[－1,＋∞)C.[0,3]D.[3,＋∞)10.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.212.(5分)已知函数f(x)＝cosxsin2x,下列结论中不正确的是( )A.y＝f(x)的图象关于(π,0)中心对称B.C.D.f(x)既是奇函数,又是周期函数二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知α是第三象限角,sinα＝－,则cotα＝.14.(5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)15.(5分)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点,则a的取值范围是.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }的前n项和为Sn.已知S3＝a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求二面角A－PD－C的大小.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.21.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.22.(12分)已知函数.(I)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值；(II)设数列{an }的通项an＝1＋.2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},B＝{4,5},M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6【分析】利用已知条件,直接求出a＋b,利用集合元素互异求出M中元素的个数即可.【解答】解：因为集合A＝{1,2,3},B＝{4,5},M＝{x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},所以a＋b的值可能为：1＋4＝5、1＋5＝6、2＋4＝6、2＋5＝7、3＋4＝7、3＋5＝8,所以M中元素只有：5,6,7,8.共4个.故选：B.【点评】本题考查集合中元素个数的最值,集合中元素的互异性的应用,考查计算能力.2.(5分)＝( )A.－8B.8C.－8iD.8i【分析】复数分子、分母同乘－8,利用1的立方虚根的性质(),化简即可.【解答】解：故选：A.【点评】复数代数形式的运算,是基础题.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解：∵,.∴＝(2λ＋3,3),.∵,∴＝0,∴－(2λ＋3)－3＝0,解得λ＝－3.故选：B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)已知函数f(x)的定义域为(－1,0),则函数f(2x＋1)的定义域为( )A.(－1,1)B.C.(－1,0)D.【分析】原函数的定义域,即为2x＋1的范围,解不等式组即可得解.【解答】解：∵原函数的定义域为(－1,0),∴－1＜2x＋1＜0,解得－1＜x＜－.∴则函数f(2x＋1)的定义域为.故选：B.【点评】考查复合函数的定义域的求法,注意变量范围的转化,属简单题.5.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)【分析】把y看作常数,求出x：x＝,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解：设y＝log2(1＋),把y看作常数,求出x：1＋＝2y,x＝,其中y＞0,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数：y＝,故选：A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.6.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)【分析】由已知可知,数列{an }是以－为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an＋1＋an＝0∴∴数列{an}是以－为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得,S10＝＝3(1－3－10)故选：C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题7.(5分)(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.5B.8C.12D.18【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项,令x的指数为2,写出出展开式中x2的系数,第二个因式y2的系数,即可得到结果.【解答】解：(x＋1)3的展开式的通项为Tr＋1＝C3r x r令r＝2得到展开式中x2的系数是C32＝3,(1＋y)4的展开式的通项为Tr＋1＝C4r y r令r＝2得到展开式中y2的系数是C42＝6,(1＋x)3(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是：3×6＝18,故选：D.【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,本题解题的关键是写出二项式的展开式,所有的这类问题都是利用通项来解决的.8.(5分)椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2,－1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B. C. D.【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1(－2,0),右顶点A2(2,0).设P(x,y)(x≠±2),代入椭圆方程可得.利用斜率计算公式可得,再利用已知给出的的范围即可解出.【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1(－2,0),右顶点A2(2,0).设P(x0,y)(x≠±2),则,得.∵＝,＝,∴＝＝,∵,∴,解得.故选：B.【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键.9.(5分)若函数f(x)＝x2＋ax＋是增函数,则a的取值范围是( )A.[－1,0]B.[－1,＋∞)C.[0,3]D.[3,＋∞)【分析】由函数在(,＋∞)上是增函数,可得≥0在(,＋∞)上恒成立,进而可转化为a≥－2x在(,＋∞)上恒成立,构造函数求出－2x在(,＋∞)上的最值,可得a的取值范围.【解答】解：∵在(,＋∞)上是增函数,故≥0在(,＋∞)上恒成立,即a≥－2x在(,＋∞)上恒成立,令h(x)＝－2x,则h′(x)＝－－2,当x∈(,＋∞)时,h′(x)＜0,则h(x)为减函数.∴h(x)＜h()＝3∴a≥3.故选：D.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档.10.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.【分析】设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解：设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),＝(1,1,0),＝(1,0,－2),＝(1,0,0),设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取＝(2,－2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||＝,故选：A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.11.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2),代入抛物线方程,利用＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝0,即可求出k的值.【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点(2,0),由题意可知：斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2), 代入抛物线方程,得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0,△＞0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1＋x2＝4＋,x1x2＝4.∴y1＋y2＝,y1y2＝－16,又＝0,∴＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝＝0∴k＝2.故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.12.(5分)已知函数f(x)＝cosxsin2x,下列结论中不正确的是( )A.y＝f(x)的图象关于(π,0)中心对称B.C.D.f(x)既是奇函数,又是周期函数【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式,对A、B两项加以验证,可得它们都正确.根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简,得f(x)＝2sinx(1－sin2x),再换元：令t＝sinx,得到关于t的三次函数,利用导数研究此函数的单调性可得f(x)的最大值为,故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证,可得D项正确.由此可得本题的答案.【解答】解：对于A,因为f(π＋x)＝cos(π＋x)sin(2π＋2x)＝－cosxsin2x,f(π－x)＝cos(π－x)sin(2π－2x)＝cosxsin2x,所以f(π＋x)＋f(π－x)＝0,可得y＝f(x)的图象关于(π,0)中心对称,故A正确；对于B,因为f(＋x)＝cos(＋x)sin(π＋2x)＝－sinx(－sin2x)＝sinxsin2x,f(－x)＝cos(－x)sin(π－2x)＝sinxsin2x,所以f(＋x)＝f(－x),可得y＝f(x)的图象关于直线x＝对称,故B正确；对于C,化简得f(x)＝cosxsin2x＝2cos2xsinx＝2sinx(1－sin2x),令t＝sinx,f(x)＝g(t)＝2t(1－t2),－1≤t≤1,∵g(t)＝2t(1－t2)的导数g'(t)＝2－6t2＝2(1＋t)(1－t)∴当t∈(－1,－)时或t∈(,1)时g'(t)＜0,函数g(t)为减函数；当t∈(－,)时g'(t)＞0,函数g(t)为增函数.因此函数g(t)的最大值为t＝－1时或t＝时的函数值,结合g(－1)＝0＜g()＝,可得g(t)的最大值为.由此可得f(x)的最大值为而不是,故C不正确；对于D,因为f(－x)＝cos(－x)sin(－2x)＝－cosxsin2x＝－f(x),所以f(x)是奇函数.因为f(2π＋x)＝cos(2π＋x)sin(4π＋2x)＝cosxsin2x＝f(x),所以2π为函数的一个周期,得f(x)为周期函数.可得f(x)既是奇函数,又是周期函数,得D正确.综上所述,只有C项不正确.故选：C.【点评】本题给出三角函数式,研究函数的奇偶性、单调性和周期性.着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知α是第三象限角,sinα＝－,则cotα＝2.【分析】根据α是第三象限的角,得到cosα小于0,然后由sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,进而求出cotα的值.【解答】解：由α是第三象限的角,得到cosα＜0,又sinα＝－,所以cosα＝－＝－则cotα＝＝2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道基础题.学生做题时注意α的范围.14.(5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480 种.(用数字作答) 【分析】排列好甲、乙两人外的4人,然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可. 【解答】解：6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人,有中方法,然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位,有种方法,所以共有：＝480.故答案为：480.【点评】本题考查了乘法原理,以及排列的简单应用,插空法解答不相邻问题.15.(5分)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点,则a 的取值范围是[,4] .【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入y＝a(x＋1)中,求出y＝a(x＋1)对应的a的端点值即可.【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0).所以当y＝a(x＋1)过点B(0,4)时,得到a＝4,当y＝a(x＋1)过点A(1,1)时,对应a＝.又因为直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点.所以≤a≤4.故答案为：[,4]【点评】在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解：如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角根据题意得OC＝,CK＝在△OCK中,OC2＝OK2＋CK2,即∴r2＝4∴球O的表面积等于4πr2＝16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }的前n项和为Sn.已知S3＝a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式.【分析】由,结合等差数列的求和公式可求a2,然后由,结合等差数列的求和公式进而可求公差d,即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为d由得,3∴a2＝0或a2＝3由题意可得,∴若a2＝0,则可得d2＝－2d2即d＝0不符合题意若a2＝3,则可得(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)解可得d＝0或d＝2∴an ＝3或an＝2n－1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,等比数列的性质的简单应用,属于基础试题18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(II)由(I)得到A＋C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A－C),变形后将cos(A ＋C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A－C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A－C的值,与A＋C的值联立即可求出C的度数.【解答】解：(I)∵(a＋b＋c)(a－b＋c)＝(a＋c)2－b2＝ac,∴a2＋c2－b2＝－ac,∴cosB＝＝－,又B为三角形的内角,则B＝120°；(II)由(I)得：A＋C＝60°,∵sinAsinC＝,cos(A＋C)＝,∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝,∴A－C＝30°或A－C＝－30°,则C＝15°或C＝45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求二面角A－PD－C的大小.【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,过点P作PO⊥平面ABCD于O,连接OA、OB、OD、OE.可证出四边形ABED是正方形,且O为正方形ABED的中心.因此OE⊥OB,结合三垂线定理,证出OE ⊥PB,而OE是△BCD的中位线,可得OE∥CD,因此PB⊥CD；(II)由(I)的结论,证出CD⊥平面PBD,从而得到CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,可得FG∥CD,所以FG⊥PD.连接AF,可得AF⊥PD,因此∠AFG为二面角A－PD－C的平面角,连接AG、EG,则EG∥PB,可得EG⊥OE.设AB＝2,可求出AE、EG、AG、AF和FG的长,最后在△AFG中利用余弦定理,算出∠AFG＝π－arccos,即得二面角A－PD－C的平面角大小.【解答】解：(I)取BC的中点E,连接DE,可得四边形ABED是正方形过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形,∴PA＝PB＝PD,可得OA＝OB＝OD因此,O是正方形ABED的对角线的交点,可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD,得直线OB是直线PB在内的射影,∴OE⊥PB∵△BCD中,E、O分别为BC、BD的中点,∴OE∥CD,可得PB⊥CD；(II)由(I)知CD⊥PO,CD⊥PB∵PO、PB是平面PBD内的相交直线,∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,则FG为△PCD有中位线,∴FG∥CD,可得FG⊥PD连接AF,由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD,∴∠AFG为二面角A－PD－C的平面角连接AG、EG,则EG∥PB∵PB⊥OE,∴EG⊥OE,设AB＝2,则AE＝2,EG＝PB＝1,故AG＝＝3在△AFG中,FG＝CD＝,AF＝,AG＝3∴cos∠AFG＝＝－,得∠AFG＝π－arccos,即二面角A－PD－C的平面角大小是π－arccos.【点评】本题给出特殊的四棱锥,求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小,着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识,属于中档题.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.【分析】(I)令A1表示第2局结果为甲获胜,A2表示第3局甲参加比赛时,结果为甲负,A表示第4局甲当裁判,分析其可能情况,每局比赛的结果相互独立且互斥,利用独立事件、互斥事件的概率求解即可.(II)X的所有可能值为0,1,2.分别求出X取每一个值的概率,列出分布列后求出期望值即可.【解答】解：(I)令A1表示第2局结果为甲获胜.A2表示第3局甲参加比赛时,结果为甲负.A表示第4局甲当裁判.则A＝A1•A2,P(A)＝P(A1•A2)＝P(A1)P(A2)＝；(Ⅱ)X的所有可能值为0,1,2.令A3表示第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜.B 1表示第1局结果为乙获胜,B2表示第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜,B3表示第3局乙参加比赛时,结果为乙负,则P(X＝0)＝P(B1B2)＝P(B1)P(B2)P()＝.P(X＝2)＝P(B3)＝P()P(B3)＝.P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.从而EX＝0×＋1×＋2×＝.【点评】本题考查互斥、独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和期望等知识,同时考查利用概率知识解决问题的能力.21.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1＋x2＝,,再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解：(I)由题设知＝3,即＝9,故b2＝8a2所以C的方程为8x2－y2＝8a2将y＝2代入上式,并求得x＝±,由题设知,2＝,解得a2＝1所以a＝1,b＝2(II)由(I)知,F 1(－3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2－y 2＝8 ① 由题意,可设l 的方程为y ＝k(x －3),|k|＜2代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤－1,x 2≥1,x 1＋x 2＝,,于是 |AF 1|＝＝－(3x 1＋1), |BF 1|＝＝3x 2＋1, |AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1,即故＝,解得,从而＝－ 由于|AF 2|＝＝1－3x 1,|BF 2|＝＝3x 2－1,故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4,|AF 2||BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16 因而|AF 2||BF 2|＝|AB|2,所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.22.(12分)已知函数.(I)若x ≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值；(II)设数列{a n }的通项a n ＝1＋.【分析】(I)由于已知函数的最大值是0,故可先求出函数的导数,研究其单调性,确定出函数的最大值,利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围,即可求得其最小值； (II)根据(I)的证明,可取λ＝,由于x ＞0时,f(x)＜0得出,考察发现,若取x ＝,则可得出,以此为依据,利用放缩法,即可得到结论【解答】解：(I)由已知,f(0)＝0,f′(x)＝＝,∴f′(0)＝0欲使x ≥0时,f(x)≤0恒成立,则f(x)在(0,＋∞)上必为减函数,即在(0,＋∞)上f′(x)＜0恒成立,当λ≤0时,f′(x)＞0在(0,＋∞)上恒成立,为增函数,故不合题意,若0＜λ＜时,由f′(x)＞0解得x＜,则当0＜x＜,f′(x)＞0,所以当0＜x＜时,f(x)＞0,此时不合题意,若λ≥,则当x＞0时,f′(x)＜0恒成立,此时f(x)在(0,＋∞)上必为减函数,所以当x＞0时,f(x)＜0恒成立,综上,符合题意的λ的取值范围是λ≥,即λ的最小值为( II)令λ＝,由(I)知,当x＞0时,f(x)＜0,即取x＝,则于是a2n －an＋＝＋＋…＋＋＝＝＝＝＞＝ln2n－lnn＝ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法,解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法,本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想,有一定的难度。
2013年全国高考理科数学试题和答案(新课标卷)
极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ。 （Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
（24） （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3. （Ⅰ）当 a=-2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集； （Ⅱ）设 a＞－1，且当 x∈[－错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ，错误！未找到 引用源。)时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围.
4
4 2 俯视图
9、设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m 系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m＝ ( ) A、5 B、6 错误！未找到引用源。 C、7 D、8
＋1
展开式的二项式
x2 y2 10、已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 a b AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( ) 2 2 2 2 x y x y x2 y2 A、 ＋ ＝1 B、 ＋ ＝1 错误！未找到引用源。 C、 ＋ ＝1 45 36 36 27 27 18 x2 y2 D、 ＋ ＝1 18 9
（Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为 1，BC=错误！未找到引用源。 ，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径。
（23） （本小题 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
x=4+5cost 已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 y=5+5sint
(20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M：(x＋1)2＋y2=1，圆 N：(x－1)2＋y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最 长时，求|AB|.
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(43)立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离求解
课时作业(四十三)［第43讲 立体几何中的向量方法(二)一一空间角与距离求解］［时间：45分钟 分值：100分］基础热身 1. 点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s = (1, — 1,1)的直线I 的距离为• 6,则点M 的坐标是()A . (0,0,戈)B . (0,0, ±3)C . (0,0, ±3)D . (0,0, ±1)2.若a = (1,2,1), b = (— 2,0,1)分别是直线11,2的方向向量，则丨1,2的位置关系是( )A •平行B •异面C .相交D .相交或异面3.两平行平面a, B 分别经过坐标原点 O 和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n =(—1,0,1)，则两平面间的距离是()A.| C. ,3 D . 3 ,24.方向向量为s = (1,1,1)的直线I 经过点A(1,0,0)，则坐标原点0(0,0,0)到该直线的距离 是()A. . 3B. .2C.^6D."^AB = AC = 1,Z ACD = 90 °将它沿对角线 AC 折起，使 7.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，146 ‘222.‘17 A.亍 B . 2 17D.^-&在棱长为1的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为 棱A 1B 1上的一点，且 AQ = X 0三 疋1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )长度分别为6,4,4,则其顶点到底面的距离为(能力提升 1 2 C.5 D.5 ABCD 中,5 5 A .可 B .— I"6•在平行四边形厂亚心A. . 3 C.丁D^5~14. (10分)如图K43 — 7,放置在水平面上的组合体由直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1与正三棱 锥B — ACD 组成，其中，AB 丄BC.它的正视图、俯视图、侧视图的面积分别为 2 2 + 1,2 2 + 1,1. (1) 求直线CA 1与平面ACD 所成角的正弦值；(2) 在线段AC 1上是否存在点P ,使B 1P 丄平面ACD ?若存在，确定点 P 的位置；若不 存在，说明理由.图 K43 — 39.如图K43 — 3,四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD 丄平面 ABCD ，且PD =AD = 1 , AB = 2,点E 是AB 上一点，当二面角 P — EC — D 的平面角为,AE =()A . 1 B.1C . 2 — 2D . 2 — .310.O — ABC 的侧棱 OA , OB , OC 两两垂直，E 为OC 的中点，且 OA = 1, EAB 与平面ABC 夹角的余弦值是 ______________ .则平面K43 — 4,已知四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形, b ,12 .如图K43 — 5, AO 丄平面 a, BC 丄OB , BC 与平面 a 的夹角为30 ° AO = BO = BC =a ，贝H AC = _____________________ .13.如图K43 — 6,在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点 M 至煩线AD 1距离的最小值为 ____________.图 K43 — 715. (13分)[2011安徽师大附中三模] 如图K43 —8,已知AB丄平面ACD , DE丄平面ACD , △ ACD为等边三角形，AD = DE = 2AB, F为CD的中点.(1) 求证：AF //平面BCE ;(2) 求证：平面BCE丄平面CDE ;⑶求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.难点突破16. (12分)[2011湖北卷]如图K43 —9，已知正三棱柱E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.(1) 当CF = 1时，求证：EF丄A1C; ABC —A1B1C1的各棱长都是4,⑵设二面角 C图K43 —9【基础热身】1. B ［解析］设M(0,0, z),直线的一个单位方向向量s o4. D ［解析］直线I 的一个单位法向量 到直线I 的距离为 d =「oA|2-OA s o |2= 1— ；33 2 =扌【能力提升】 5.C ［解析］建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0), D(0,0,0) ,D i (0,0,1), C i (0,2,1),6. D ［解析］I/ ACD = 90 ° ••• AC CD = 0. 同理 BA AC = 0, •/ AB 和 CD 成 60°角，•〈 BA , CD > = 60°或 120° •/ EBD = EBA + A C + C D ,• BD 2= BA 2 + AC 2 + CD 2 + 2BA CD + 2BA AC + 2AC CD BA 2 + AC 2 + CD 2+ 2BA CD4 〈 BA , CD > = 60° , =2 〈 BA , CD > = 120° , •- |BD|= 2或.2,即B 、D 间的距离为2或.2,故选D.7. C ［解析］设三棱锥为 P — ABC ,且PA = 6, PB = PC = 4,以P 为原点建立空间直角 坐标系如图，则 P(0,0,0), A(6,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4), PA = (6,0,0), AB = (— 6,4,0), AC =(— 6,0,4)，设面 ABC 的一个法向量为 n = (x , y , z)，贝U n 丄AB , n 丄AC ,—6x + 4y = 0, 3所以 c , c ? y = z =；x ,所以可选面 ABC 的一个法向量为n = (2,3,3), —6x + 4z = 0 2 '课时作业(四十三)，故点M到直线的距离 d = •” |OM |2 — OM s 0|2=-2. D ［解析］根据共线向量定理，显然 异面.z 2— £z 2 = .6,解得 z = ±3. 3a ,b 不平行，所以l i , I 2的位置关系是相交或 3. B ［解析］两平面的一个单位法向量 |OA n o |=22. n 0= —三2, 0, -2，故两平面间的距离 d =s o = 向量OA =(i,o,o )，故点o AD i = (— 2,0,1), D C 1 = (0,2,1)，故异面直线 AD 1和&D 所成角的余弦值为 |cos 〈 AD 1 ,DC 1〉1=|AD 1 DC 1| = |AD 1||DC 1|15.=3+ 2X 1 x 1 x cos 〈 BA , C DXH ，如果我们能求 出向量GH ,是常方便，因此用坐标的方法，解决这个问题.x =人| 1 y=5，9. D ［解析］以D 为原点，射线 DA , DC , DP 为x , y , z 轴正方向建立空间直角坐标 系，如图，设 E(1, y °,0)(0 w y 0 w 2)，则 EC = (— 1,2 — y °,0),设平面PEC 的法向量为 n 1 = (x , y , z),x : y : z = (2 — y o ) ： 1 ： 2,n 1 PC = 0 记 n 1= (2 — y °,1,2),而平面ECD 的法向量n 2= (0,0,1)，则二面角P — EC — D 的平面角B 满足cos 0= |cos< n 1, 〉l亞n 2> |= 2 ,. n In 1 112I ___________ 2 ________ 曇小 c 匚 --cos 0= = 2 2 2 — = ? y °= 2—冷 3.|n1 • 217(2— y 0 2+ 12+ 22 12如图，以射线DA , 人 1), E’，0, 2 :，GE =匕 -1, 0, 2数 x , y 使GH = GE + xEF + yED i = — y , — H x ,—：+；y ，由于 GH 丄EF , GH 丄 ED i ,0，-入-所以-y ,-y ,G 向平面D i EF 作垂线，垂足为 H ，由于点H 在平面D i EF 内，故存在实2 +切、丄 1丄1 、―入 + X ,— + ^y .°, 1, o = o , 1 1 、 ―入+ X ,— 2+ 1y --1,0,2= 0,解得$ 故GH = — 5，0, — 5，所以|諭=卡，即点G 到平面D 1EF 的距离是-55.n i EC = 0, ?厂x + y(2―y 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(新课标全国卷B)理科与答案
2013年全国卷新课标 数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22=:3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==. 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤. 10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为113O ABC V -==，2S ABC O ABC V V --== 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为 A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+ D. )2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12xy e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =.令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1ln 2-.所以d=1x e x -=，min d =.所以)min min ||21ln 2PQ d ==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=-a a b+b2410=-=+b，解得=b14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 【解析】38. 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 . 【解析】1830.由1(1)21n n n a a n ++-=-得，22143k k a a k --=-……① 21241k k a a k +-=-……②,再由②-①得,21212k k a a +-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭, 0A π<<，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c --=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c a A bc +--=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 0A π<<，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S =△，1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==.18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112A CBC A A a ===，直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴=， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠=，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C E C DE C D ∠===，130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 26n n n n θ⋅===, 30θ∴=. 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABDS =△得, 11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m 的方程为0x +=. 由py x 22=得22x y p=,xy p '=.由3x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为6p⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n 的方程为0x -=.所以坐标原点到m ，n3=.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CFBD ∴且 =CF BD ， 又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围. 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++- ()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围. 解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(二).pptx
1
1
11
中点．
（Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l
平面 ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二面角 A A1M N 的余弦值
．
C
D
AP
B
C1
D1
A1
B1
20．(本小题满分 13 分)
D． 2
4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选 出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则
换届后不同的任职结果有（ ）
A．16 种
B．18 种
C．20 种
D．22 种
5．（5分）若在区域
为（ ）
A．
B．
内任取一点 P，则点 P 恰好在单位圆x2+y2=1 内的概率
C．
D．
6．（5分）设直线 l 的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线 l 的倾斜角 α 的范围是（ ）
A． [0，π）
B．
C．
D．
7．（5 分）下列命题正确的有 ①用相关指数R2 来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题 p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x ﹣2 x﹣1≤0”；
①若 A, B,C 三个点共线， C 在线段上，则 C 是 A, B,C 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 A, B,C, D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
2013高考数学 阶段性测试题八 新人教B版
阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011～2012·四中期中)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0垂直，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．10D ．2 [答案] D[解析] 由条件知，4－m m ＋2·(－2)＝－1，∴m ＝2.(理)(2011～2012·某某某某市期末)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的值为( )A ．3或－1B ．0或3C ．0或－1D ．0或3或－1 [答案] C[解析] 集合A 与B 都是直线上的点构成的集合， ∵A ∩B ＝∅，∴两直线平行，∴1a －2＝a 23a ≠62a ，∴a ＝－1，又a ＝0时，两直线显然平行，∴a ＝0或－1.2．(文)(2011～2012·某某五中模拟)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 [答案] C[解析]∵a 2＝4，∴a ＝2，设左、右焦点分别为F 1、F 2，则由定义知||PF 1|－|PF 2||＝4，∴||PF 1|－8|＝4，∴|PF 1|＝12或4.(理)(2011～2012·某某市期末)以双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定[答案] C[解析]双曲线的焦点F(－c,0)到渐近线y＝bax的距离为d＝|－bc|a2＋b2＝b，故⊙F与渐近线相切．3．(2011～2012·东营市期末)已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是( )A.3B．2 3C．62D．3[答案] C[解析]抛物线y2＝－8x的焦点F(－2,0)，根据抛物线的定义知，d1＋d2＝|PF|＋d2，显然当由点F向直线x＋y－10＝0作垂线与抛物线的交点为P时，d1＋d2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2.4．(2011～2012·某某铁人中学期末)将一X坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( )A．(4，－2) B．(4，－3)C．(3，32) D．(3，－1)[答案] A[解析]解法一：由条件知，点(10,0)与(－6,8)关于折线对称，故折线过点(2,4)，斜率k＝－1 8－6－10＝2，故折线所在直线方程为y－4＝2(x－2)，即2x－y＝0，与点(－4，2)重合的点M和点(－4,2)的中点应在直线2x－y＝0上，经检验知，只有A适合，故选A.解法二：设与点C(－4,2)重合的点为D，又A(10,0)，B(－6,8)，则必有AB∥CD，∴k AB＝k CD，∵k AB＝－12，∴k CD＝－12，经检验知，只有A适合．5．(文)(2011～2012·某某市期末)点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0[答案] C[解析]圆心C(1,0)，k PC＝－1，∴k AB＝1，排除A、B、D，选C.(理)(2011～2012·某某市期末)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 [答案] B[解析] 直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1，∴倾斜角为135°，故直线l 的倾斜角α＝135°＋15°＝150°，斜率k l ＝tan α＝－33，方程为y ＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0， ∵圆心C (－3,0)到直线l 距离d ＝2，∴直线与圆相切．6．(2011～2012·滨州市沾化一中期末)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是( )A.2B. 3C.3＋12 D.5＋12[答案] D[解析] 设F (c,0)，B (0，b )，则k FB ＝b－c，由条件知ba ·(－b c)＝－1，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0， ∴e 2－e －1＝0，∵e >1，∴e ＝5＋12. 7．(2011～2012·四中期末)曲线x 2＋y |y |＝1与直线y ＝kx 有且仅有两个公共点，则k 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－1,1) D ．[－1,1] [答案] C[解析] 方程x 2＋y |y |＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1y <0，其图形如图，若直线y ＝kx 与此曲线有且仅有两个公共点，则－1<k <1.8．(2011～2012·某某市质检)抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1 B.32C ．2 D.52[答案] D[解析]∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2，∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.9．(2011～2012·某某苍山县期末)设椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1[答案] B[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，故选B.10．(2011～2012·某某市一模)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] C[解析]⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心C (－1,2)在直线2ax ＋by ＋6＝0上，∴a －b －3＝0，由点P (a ，b )向圆引切线，设切线长为l ，则l 2＝|PC |2－r 2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2b 2＋4b ＋18＝2(b ＋1)2＋16≥16，∴l ≥4，当b ＝－1，a ＝2时，l min ＝4.11．(2011～2012·某某省某某市质检)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成75的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.63737C.324 D.31010[答案] C[解析] 由条件知，b2＋c2－b 2＝75，∴c ＝3b ，∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝9(c 2－a 2)，∴e 2＝98，∴e ＝324.12．(2011～2012·龙文中学、程溪中学、芗城中学三校联考)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的一个焦点与抛物线x 2＝4y 的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为( )A ．5y 2－54x 2＝1 B.x 25－y24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1 [答案] A[解析] 抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1a ＝12b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝45，∴双曲线方程为y 215－x 245＝1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2011～2012·某某一中期末)经过点M (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．[答案] 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0[解析] 过原点时，直线方程为y ＝32x ，不过原点时，设方程为x a ＋y a ＝1，∴2a ＋3a＝1，∴a ＝5，∴方程为x ＋y －5＝0.14．(文)(2011～2012·某某某某期末)若圆(x －2)2＋y 2＝2与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相切，则双曲线的离心率是________．[答案] 2[解析] 圆心(2,0)到直线y ＝b ax 的距离d ＝|2b |a 2＋b 2＝2，∴b 2＝a 2，∴c 2－a 2＝b 2，∵e >1，∴e ＝ 2.(理)(2011～2012·黄冈市期末)已知直线ax ＋y ＋2＝0与双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是_____ ___．[答案]255[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，由条件知a ＝±2，∴两平行线2x ＋y ＋2＝0与y ＝－2x ＝0之间的距离是d ＝25＝255.15．若方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值X 围是________．[答案]⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z[解析] 根据题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2αcos α<0sin2α>0，化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )．16．(2011～2012·某某苍山县期末)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．[答案]x 24－y 212＝1[解析] 在⊙C 方程中，令x ＝0得y 2－4y ＋8＝0无解，令y ＝0得x 2－6x ＋8＝0，∴x ＝2或4，故双曲线方程中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2011·某某某某一模)已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程． [解析] (1)设P (x ，y )，则Q (x ，－2)， ∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1. 当x ≠0时，得y x ·－2x＝－1，化简得x 2＝2y .当x ＝0时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0. ∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)． (2)解法一：∵直线l 2与曲线C 相切， ∴直线l 2的斜率存在． 设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0.∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22.由(0,2)到直线l2的距离d＝|－2＋b|k2＋1＝12·k2＋4k2＋1＝12(k2＋1＋3k2＋1)≥12×2k2＋1·3k2＋1＝ 3.当且仅当k2＋1＝3k2＋1，即k＝±2时，等号成立，此时b＝－1.∴直线l2的方程为2x－y－1＝0或2x＋y＋1＝0. 解法二：由x2＝2y，得y′＝x.∵直线l2与曲线C相切，设切点M的坐标为(x1，y1)，其中y1＝12x21，则直线l2的方程为：y－y1＝x1(x－x1)，化简得x1x－y－12x21＝0.点(0,2)到直线l2的距离d＝|－2－12x21|x21＋1＝12·x21＋4x21＋1＝12(x21＋1＋3x21＋1)≥12×2x21＋1·3x21＋1＝ 3.当且仅当x21＋1＝3x21＋1，即x1＝±2时，等号成立．∴直线l2的方程为2x－y－1＝0或2x＋y＋1＝0.(理)已知动圆过定点P(1,0)，且与直线x＝－1相切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，若OA⊥OB，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．[解析](1)设圆心M(x，y)．由题意知点M到点P的距离等于点M到直线x＝－1的距离，故点M的轨迹C是以P(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线．∴轨迹C的方程是y2＝4x.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)．代入C 的方程并整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－2kbk 2，x 1x 2＝b 2k2.故y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b ) ＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4b k.由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k 2＋4bk＝0，解得b ＝－4k 或b ＝0(舍去)． 此时，直线AB 的方程为：y ＝kx －4k ， 即y ＝k (x －4)．此时直线AB 过定点(4,0)．当直线AB 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 可知A 、B 两点的坐标分别是(4，－4)、(4,4)． 此时直线AB 也过定点(4,0)． 综上所述，直线AB 恒过定点(4,0)．18．(本小题满分12分)(2011～2012·某某日照模拟)设椭圆C 1和抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中点和C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：(1)求曲线C 12(2)设直线l 与椭圆C 1交于不同两点M 、N ，且OM →·ON →＝0，请问是否存在直线l 过抛物线C 2的焦点F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意(－2,0)，一定在椭圆C 1上，设C 1方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝2，∴椭圆C 1上任何点的横坐标|x |≤2. 所以(2，22)也在C 1上，从而b 2＝1，∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1.从而(3，－23)，(4，－4)一定在C 2上， 设C 2的方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p ＝2，即C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设直线l 过C 2的焦点F (1,0)． 当l 的斜率不存在时，则M (1，32)，N (1，－32)． 此时OM →·ON →＝1－34＝14≠0，与已知矛盾．当l 的斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)代入C 1方程并整理得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k2.y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)＝－3k21＋4k2， ∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴k 2－4＝0，k ＝±2，∴存在符合条件的直线l 且方程为y ＝±2(x －1)．19．(本小题满分12分)(2011～2012·某某市质检)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求双曲线C 的离心率；(2)若双曲线C 的右焦点坐标为(3,0)，则以双曲线的焦点为焦点，过直线g ：x －y ＋9＝0上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．[解析] (1)由题设知：l 的方程为y －3＝1×(x －1)，即y ＝x ＋2，代入C 的方程，并化简得：(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0(*) 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b2b 2－a 2，由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故4a2b 2－a 2＝2，即b 2＝3a 2.故c ＝2a ，∴e ＝2， 验证可知方程(*)的Δ>0.(2)双曲线的左、右焦点为F 1(－3,0)、F 2(3,0)，点F 1关于直线g ：x －y ＋9＝0① 的对称点F 的坐标为(－9,6)，直线FF 2的方程为x ＋2y －3＝0② 解方程组①②得交点M (－5,4)，此时|MF 1|＋|MF 2|最小，所求椭圆的长轴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|FF 2|＝65， ∴a ＝35，又c ＝3，∴b 2＝36，故所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.20．(本小题满分12分)(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝121a 2＋94b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝01a 2＋94b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵a 2＝4，b 2＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2. 以PF 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＝2516，圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，半径为54.∵两圆心之间的距离为0－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34－02＝34＝2－54， 故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．(理)(2011～2012·某某一中期末)已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为12.(1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R 、T ，且满足OR →·OT →＝8.若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得：b ＝23，e ＝c a ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝12a ＝2c ，∴c ＝2，a ＝4，故椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在满足题意的直线l .易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，故直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为：y ＝kx －4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4x 216＋y 212＝1可得：(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0，则Δ＝(－32k )2－4(3＋4k 2)×16>0，∴k 2>14，设R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k3＋4k2x 1x 2＝163＋4k2，∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16 ＝16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝－48－48k23＋4k 2， ∵OR →·OT →＝8，∴x 1x 2＋y 1y 2＝8，∴163＋4k 2－48－48k 23＋4k 2＝8，∴k 2＝12>14，∴k ＝±22， ∴直线l 的方程为：y ＝±22x －4， 故存在直线y ＝±22x －4满足题意． 21．(本小题满分12分)(文)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，左焦点为F ，点M (x 0,0)且椭圆的长半轴长是－x 0与半焦距的等比中项，OM →＝4OF →.(1)求椭圆的离心率e ；(2)过左焦点F 且斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝－2，求椭圆的方程．[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，F (－c,0)，则由条件知，－x 0·c ＝a 2，∴x 0＝－a 2c，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0.由OM →＝4OF →得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0＝4(－c,0)．∴a 2c ＝4c ，∴e ＝c a ＝12. (2)设直线AB 的方程为y ＝2(x ＋c )，直线AB 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)可得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2.由⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2y ＝2x ＋c，消去y 得，11x 2＋16cx －4c 2＝0.x 1＋x 2＝－16c 11，x 1x 2＝－411c 2. OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2，且y 1·y 2＝2(x 1＋c )(x 2＋c )＝2x 1x 2＋2c (x 1＋x 2)＋2c 2. ∴3x 1x 2＋2c (x 1＋x 2)＋2c 2＝－2. 即－1211c 2－3211c 2＋2c 2＝－2.∴c 2＝1.则a 2＝4，b 2＝3.椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(理)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝2 2.记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．[解析] (1)解法1：由|PM |－|PN |＝22知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右支；其实半轴长a ＝2，半焦距c ＝2，虚半轴长b ＝c 2－a 2＝2，所以W 的方程为x 22－y 22＝1，(x ≥2)．解法2：设动点P 的坐标为(x ，y )， 则|PM |＝x ＋22＋y 2，|PN |＝x －22＋y 2，由条件得x ＋22＋y 2－x －22＋y 2＝22，化简得W 的方程为x 22－y 22＝1，其中x ≥ 2.(2)解法1：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得 (1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0， 故x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2 ＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0，从而OA →·OB →>2 综上，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 解法2：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．再设直线AB 方程为x ＝my ＋r ，与W 的方程联立，消去x 得(m 2－1)y 2＋2mry ＋(r 2－2)＝0 故y 1＋y 2＝－2mr m 2－1，y 1y 2＝r 2－2m 2－1所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 1y 2＋(my 1＋r )(my 2＋r ) ＝(m 2＋1)y 1y 2＋mr (y 1＋y 2)＋r 2＝(m 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2－2m 2－1＋mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mr m 2－1＋r 2＝－2m 2－2m 2－1＝－2－4m 2－1由x 1x 2>0不难得到0≤m 2<1于是OA →·OB →＝－2－4m 2－1≥－2－(－4)＝2当且仅当m ＝0时，上式中“＝”成立．因此当直线AB 的方程为x ＝r ，即AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.22．(本小题满分14分)(文)(2011～2012·某某市调研)设A 1、A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切． (1)求证：1a 2＋1b2＝1；(2)P 是椭圆E 上异于A 1，A 2的一点，直线PA 1，PA 2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3)直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，且OM →·ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．[解析] (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 1，A 2与B 分别为椭圆E 的左右顶点与上顶点，所以A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B (0，b )，直线A 2B 的方程是x a ＋y b＝1. 因为A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切， 所以11a 2＋1b 2＝1，即1a 2＋1b2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则直线PA 1，PA 2的斜率之积为kPA 1·kPA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝－13⇒x 20a 2＋3y 20a 2＝1，而x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以b 2＝13a 2.结合1a 2＋1b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝43.所以，椭圆E 的方程为x 24＋3y 24＝1.(3)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．①若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，将y ＝kx ＋m 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得，x 2a 2＋kx ＋m2b 2＝1.化简得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0(Δ>0)．∴x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，x 1＋x 2＝－2a 2kmb 2＋a 2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝a 2k 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＋km (－2a 2km b 2＋a 2k 2)＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k2.因为OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 代入得(a 2＋b 2)m 2－a 2b 2(1＋k 2)＝0.结合(1)的1a 2＋1b2＝1，得m 2＝1＋k 2.圆心到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2＝1，所以直线l 与圆C 相切．②若直线l 的斜率不存在，设直线l ：x ＝n .代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b1－n 2a2. ∴|n |＝b1－n 2a2，∴a 2n 2＝b 2(a 2－n 2)． 解得n ＝±1，所以直线l 与圆C 相切．(理)(2011～2012·某某质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点．过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．[解析] (1)∵椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得e ＝c a ＝22.∵椭圆经过点(6，1)，∴6a 2＋1b2＝1.又a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)解法一：连结OM ，OP ，OQ ，依题意可设M (－4，m )， 由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知 △OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°， ∵|OP |＝22，∴|OM |＝42， ∴－42＋m 2＝42，又m >0，解得m ＝4，∴M (－4,4)， ∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ， ∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1， 设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ，∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°，∴∠OPA ＝30°， 由|OP |＝22知|OA |＝2， 即点O 到直线PQ 的距离为2， ∴|n |12＋－12＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0. 解法二：同解法一求得M (－4,4)，设P (x 1，y 1)，则由圆的切线性质知∠OPM 为直角， 故有k OP ·k PM ＝－1， 即y 1x 1·y 1－4x 1＋4＝－1，整理得x 21＋y 21＝4y 1－4x 1，又点P (x 1，y 1)在圆O ：x 2＋y 2＝8上，故有x 21＋y 21＝8， ∴4y 1－4x 1＝8，即y 1－x 1＝2，同理设Q(x2，y2)，则有y2－x2＝2，∴直线PQ的方程为x－y＋2＝0.解法三：同解法一求得M(－4,4)，则以OM为直径的圆K的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8，与圆O：x2＋y2＝8联立消去x2，y2得直线PQ的方程为x－y＋2＝0.解法四：同解法一求得M(－4,4)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则过P，Q的圆O：x2＋y2＝8的切线方程分别为x1x＋y1y＝8，x2x＋y2y＝8，它们都过点M(－4,4)，故有－4x1＋4y1＝8，－4x2＋4y2＝8，∴直线PQ的方程为－4x＋4y＝8，即x－y＋2＝0.1．(2011～2012·西城区期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于( )A．8 B．6 C．4 D．2[答案] B[解析]抛物线准线l：x＝－2，P到l距离d＝4－(－2)＝6，∴|PF|＝6.2．(2011～2012·某某某某一中、庄河高中联考)设平面区域D是由双曲线x2－y24＝1的两条渐近线和直线6x－y－8＝0所围成三角形的边界及内部，当P(x，y)∈D时，x2＋y2＋2x 的最大值是( )A．24 B．25C．4 D．7[答案] A[解析]在双曲线方程中，a＝1，b＝2，渐近线y＝±2x，区域D为△OAB及其内部，令r＝x2＋y2＋2x，则(x＋1)2＋y2＝r＋1，则r＋1表示点P到(－1,0)点距离的平方，易求得A(1，－2)，B(2,4)，则点P与B重合时r取到最大值，此时r＝24.3．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|的值是________．[答案]22[解析] 由已知2bc ＝a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝c ＝22a . 设P (x 0，y 0)，则x 0＝－c ，|y 0|＝|PF 1|. ∵－c2a 2＋y 20b2＝1， ∴y 20b 2＝1－c 2a 2＝b 2a 2＝12， ∴|y 0|＝22b ，∴|PF 1||OB 2|＝22b b ＝22. 4．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值X 围为________．[答案]⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110 [解析] 易知7－1≤|FP n |≤7＋1，若a 1＝7－1，a n ＝7＋1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒d ＝a n －a 1n －1＝7＋1－7－1n －1≤220＝110(n ≥21)，即0<d ≤110，当d <0时，－110≤d <0，故有d ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，过双曲线的右焦点F作直线l ，使l 垂直l 1于P 点，且与双曲线交于点A .(1)当l 1与l 2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4时，求该双曲线方程； (2)若双曲线的离心率e ∈[2，3]时，求|AF →||AP →|的取值X 围．[解析] (1)∵l 1与l 2的夹角为60°， ∴b a ＝tan30°或b a＝tan60°， ∴a ＝3b 或b ＝3a ，又c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝3b ＝1或⎩⎨⎧a ＝1b ＝3，∴双曲线方程为x 2－y 23＝1或x 23－y 2＝1.(2)不妨设F (c,0)，直线l 的方程为：y ＝－ab (x －c )，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x y ＝－ab x －c得点P 的横坐标为a 2c，∴点P 在双曲线C 的右准线上，过点A 作右准线的垂线并交左准线于点Q ，则 |AF →||AP →|＝|AF ||AQ |·|AQ ||AP |＝e ·sin∠APQ ， 又∠APQ ＝∠POF ，且tan ∠POF ＝ba(O 为坐标原点)， ∴sin ∠APQ ＝ba 2＋b 2，∴|AF →||AP →|＝ba ，而e 2＝1＋b 2a 2，且e ∈[2，3]，∴ba∈[1，2]，∴|AF →||AP →|的取值X 围是[1，2]．6．(2011～2012·某某某某调研)设抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .(1)当M 的坐标为(0，－1)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB 恒过定点(0，m )．[解析] (1)当M 的坐标为(0，－1)时，设过M 点的切线方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4＝0，令Δ＝(4k )2－4×4＝0，解得k ＝±1， 代入方程得x ＝±2，故得A (2,1)，B (－2,1)， 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4. 易知此圆与直线l ：y ＝－1相切．(2)证法一：设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为(y －y 1)＝k (x －x 1)，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4(kx 1－y 1)＝0，Δ＝(4k )2－4×4(kx 1－y 1)＝0， 又因为x 21＝4y 1，所以k ＝x 12.从而过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214，又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 12x 0－x 214①即y 0＝x 12x 0－y 1，同理可得过点B (x 2，y 2)的切线为y ＝x 22x －x 224，又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 22x 0－x 224② 即y 0＝x 22x 0－y 2，即点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均满足y 0＝x2x 0－y ，即x 0x ＝2(y 0＋y )，故直线AB 的方程为x 0x ＝2(y 0＋y )，又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任何x 0成立，所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．证法二：设过M (x 0，y 0)的抛物线的切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k ≠0)，代入x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4kx －4(y 0－kx 0)＝0，Δ＝(4k )2＋4×4(y 0－kx 0)＝0， 即k 2＋x 0k ＝y 0＝0，从而k 1＝－x 0＋x 20－4y 02，k 2＝－x 0－x 20－4y 02，此时x 1＝2k 1，x 2＝2k 2，所以切点A ，B 的坐标分别为A (2k 1，1k 21)，B (2k 2，1k 22)，因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝x 02，x 1＋x 22＝2k 1＋2k 22＝k 1＋k 2k 1k 2＝x 0，y 1＋y 22＝1k21＋1k 222＝k 1＋k 22－2k 1k 22k 1k 22＝x 20－2y 02， 所以AB 的中点坐标为(x 0，x 20－2y 02)，故直线AB 的方程为y －x 20－2y 02＝x 02(x －x 0)，即x 0x ＝2(y 0＋y )，又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任意x 0成立，所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．证法三：由已知得y ＝x 24，求导得y ＝x2，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故过点A (x 1，y 1)的切线斜率为k ＝x 12，从而切线方程为(y －y 1)＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214，又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 12x 0－x 214①即y 0＝x 12x 0－y 1，同理可得经过点B (x 2，y 2)的切线为y ＝x 22x －x 224，又切线过点M(x0，y0)，所以得y0＝x22x0－x224②即y0＝x22x0－y2，即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足y0＝x2x0－y，即x0x＝2(y0＋y)，故直线AB的方程为x0x＝2(y0＋y)，又M(x0，y0)为直线l：y＝－m(m>0)上任意一点，故x0x＝2(y－m)对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点(0，m)．。
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80推理与证明基础巩固强化1.(2011·江西文，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49[答案] B[解析]75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.3．(文)将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在( ) A ．第44行第78列 B ．第45行第78列 C ．第44行第77列 D ．第45行第77列[答案] B[解析] 第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.(理)(2012·西安五校第一次模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)[答案] B[解析] 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n ＋1，且每组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.4．(文)(2011·绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378 [答案] C[解析] 将三角形数记作a n ，正方形数记作b n ，则a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b n ＝n 2，由于1225＝352＝49×(49＋1)2，故选C. (理)n 个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] A[解析]观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与相同，故选A.5．(2012·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝a x－a－x，C(x)＝a x＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③[答案] B[解析]经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(a x＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(a x＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.6．(文)定义某种新运算“⊗”：S＝a⊗b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4[答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.(理)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1、x 2、…、x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．3 B.23 C ．3 3 D. 3 [答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.7．设f (x )定义如表，数列{x n }满足x 1＝5，x n ＋1＝f (x n )，则x 2014的值为________.[答案] 1[解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，∴x 2014＝x 4＝1.8．(文)(2012·陕西文，12)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为__________________． [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116 [解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1， 所以第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116.[点评] 在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识． (理)(2011·台州模拟)观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， ……由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＝________.[答案] 12n (n ＋1)[解析] 由给出等式观察可知，x 2的系数依次为1,3,6,10,15，…，∴a 2＝12n (n ＋1)．9．(文)如图数表满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第n (n >1)行第2个数为f (n )，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f (n )＝__________，并可解得通项f (n )＝________.[答案] f (n )＝f (n －1)＋n －1；f (n )＝n 2－n ＋22[解析] 观察图表知f (n )等于f (n －1)与其相邻数n －1的和． ∴递推关系为f (n )＝f (n －1)＋n －1， ∴f (n )－f (n －1)＝n －1， 即f (2)－f (1)＝1， f (3)－f (2)＝2， f (4)－f (3)＝3， …f (n )－f (n －1)＝n －1， 相加得f (n )＝n 2－n ＋22. (理)观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α－1； ②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________. [答案] 962[解析] 由题易知：m ＝29＝512，p ＝5×10＝50 m －1280＋1120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162.∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962. 10．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：a ＋12＋b ＋12≤2.[证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1，故只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证ab ≤14.∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立.能力拓展提升11.(文)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∵g (x )＝f ′(x )，∴g (－x )＝－g (x )，选D.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a 1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a 2.对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a 3.当a 3>a 1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a 1的取值范围是( )A ．[－12,24]B ．(－12,24)C ．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[24，＋∞) [答案] D[解析] 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a1＋36，a1＋18，a1＋36，1＋18出现的机会是均等的，由4a1，故在上面四个表达式中，有3于当a3>a1时甲胜，且甲胜的概率为34个大于a1，∵a1＋18>a1，a1＋36>a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a1＋36>a1得a1>－12，由1＋18>a1得，a1<24，故当－4a112<a1<24时，四个数全大于a1，当a1≤－12或a1≥24时，有且仅有3个大于a1，故选D.12．(2012·深圳调研)在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“⊳”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R，i为虚数单位)，当且仅当“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2时，z1⊳z2”．下列命题为假命题的是()A．1⊳i⊳0B．若z1⊳z2，z2⊳z3，则z1⊳z3C．若z1⊳z2，则对于任意z∈C，z1＋z⊳z2＋zD．对于复数z⊳0，若z1⊳z2，则z·z1⊳z·z2[答案] D[解析]对于A，注意到1＝1＋0×i，i＝0＋1×i,0＝0＋0×i,1>0，则1⊳i,0＝0且1>0，则i⊳0，因此有1⊳i⊳0，A正确．对于B，由z1⊳z2得“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”；由z2⊳z3得“a2>a3”或“a2＝a3且b2>b3”，于是有“a1>a3”或“a1＝a3且b1>b3”，即有z1⊳z3，选项B正确．对于C ，设z ＝a ＋b i ，由z 1⊳z 2得“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”，所以“a 1＋a >a 2＋a ”或“a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b >b 2＋b ”，即有z 1＋z ⊳z 2＋z ，因此选项C 正确．对于D ，取z ＝1－2i ⊳0，z 1＝3，z 2＝3i ，此时z ·z 1＝3－6i ，z ·z 2＝6＋3i ，z ·z 2⊳z ·z 1，因此选项D 不正确．综上所述，选D.13．(2011·蚌埠市质检)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t ＝7at ，(a 、t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________.[答案] 55[解析] 类比所给等式可知a ＝7，且7t ＋a ＝72·a ，即7t ＋7＝73，∴t ＝48.∴a ＋t ＝55.14．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) [解析] f (2)＝f (21)＝1＋22，f (4)＝f (22)>2＝2＋22，f (8)＝f (23)>52＝3＋22，f (16)＝f (24)>3＝4＋22，…，f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)． 15．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m ；现已知等比数列{b n }(n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，先类比上述结论，得出在等比数列{b n }中b n ＋m 的表达式，再证明你所得出的结论．[解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b n a m ，数列中的bn －am n －m可以类比等比数列中的n －m b n a m ，故b m ＋n ＝n －m b n a m .证明如下：设b n ＝b 1q n －1，则b n ＋m ＝b 1q n ＋m －1，∵b m ＝a ，b n ＝b ，∴b n a m ＝b n n b m m ＝(b 1q n －1)n (b 1q m －1)m ＝b n －m 1·q n (n －1)－m (m －1)＝b n －m 1·q (n －m )(n ＋m －1)， ∴n －m b n am ＝b 1q n ＋m －1＝b m ＋n . 16．(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析] (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)推广后的三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.1．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ，即V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得r＝3V.S1＋S2＋S3＋S42．(2011·陕西文，13)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案]5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.[点评]观察各等式特点可得出一般结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.3．(1)由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比得到“若a、b、c为三个平面向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)”(2)在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝2a n＋2，通过归纳得到猜想a n＝2n－2(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”(4)若f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2＋1 上述四个推理中，得出的结论正确的是________．[答案] (2)(3)[解析] (1)不正确，(a ·b )·c 与c 共线，a ·(b ·c )与a 共线，而a 与c 不一定共线；(2)正确，由a n ＋1＝2a n ＋2得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，∴{a n ＋2}是首项为a 1＋2＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋2＝2n ，∴a n ＝2n －2；(3)正确，由四面体ABCD 的任意一个顶点如A ，向对面作垂线垂足为O ，则△BOC ，△COD ，△BOD 分别为△ABC ，△ACD ，△ABD 在平面BCD 内的射影，而S △ABC ＋S △ACD ＋S △ABD >S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD ≥S △BCD ；(4)错误，f (x )＝cos2x ＋sin2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π2＋sin π2＋1＝2≠2＋1.4．经过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为________．[答案] x 0x a 2＋y 0y b 2＝1[解析] 过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程是把圆的方程中的x 2、y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0、y 0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点P (x 0，y 0)的切线方程也是把椭圆方程中的x 2、y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0、y 0代替，即得到切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.例如过椭圆x 24＋y 2＝1上一点(1，32)的切线方程为x 4＋32y ＝1，即x ＋23y －4＝0.5．(2012·温州适应性测试)若数列{a n }的各项按如下规律排列：21，31，32，41，42，43，51，52，53，54，…，n ＋11，n ＋12，…，n ＋1n ，…，则a 2012＝________.[答案] 6459[解析] 依题意得，将该数列中分子相同的项分成一组，第n 组中的数出现的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分子均是n ＋1，相应的分母依次由1增大到n .由于1953＝62×(62＋1)2<2012<63×(63＋1)2＝2016，又2012＝1953＋59，因此题中的数列中的第2012项应位于第63组中的第59个数，则题中的数列中的第2012项的分子等于64，相应的分母等于59，即a 2012＝6459.6．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a 、b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a 、b 、c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .[解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，∴ab ＋1>a ＋b .(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . 你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即x i ∈R ，|x i |<1(i ＝1,2，…，n )时，有________．7．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34.8.如图(1)，过四面体V－ABC的底面内任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1、B1、C1分别是所作直线与侧面交点．求证：OA1 VA＋OB1VB＋OC1VC为定值．分析：考虑平面上的类似命题：“过△ABC底边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，求证OA1AC ＋OB1BC为定值”．这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其为定值1.另外，过A，O分别作BC垂线，过B，O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1.[证明]如图(2)，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC 1VC∩AB＝L，则有△MOA1△MAV，△NOB1△NBV，△LOC1△LCN.得OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC ＝OM AM ＋ON BN ＋OL CL .在底面△ABC 中，由于AM ，BN ，CL 交于一点O ， ∴OM AM ＋ON BN ＋OL CL ＝S △OBC S △ABC ＋S △OAC S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC ＝1. ∴OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值1.。