150502九年级下几何专题
九年级下期数学专题复习 第七讲几何复习(二)
九年级下期数学专题复习第七讲几何（二）考点一：角平分线的性质定理和判定定理的应用1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.53．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO= ．4．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．5.如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．6．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）考点二：线段的垂直平分线性质定理判定定理的应用1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．12．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 度．3．课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示解的度数：θ3= ，θ4= ，θ5= ；（2）图1-图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜n 0180）；（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．4．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．考点三：等腰（边）三角形的性质及判定的应用1．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为 2．衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF 、AG 分别架在墙体的点B 、点C 处，且AB=AC ，侧面四边形BDEC 为矩形．若测得∠FAG=110°，则∠FBD=3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C在半圆圆心上，点B在半圆上，则∠A的度数约为4．（2011•巴彦淖尔）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒5．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是7．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC= °．8．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为．9．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是度．10．如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有11．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=4 3，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有12.△ABC中，AB=AC，P是平面上一点，若△BCP、△ABP、△ACP都是等腰三角形，则满足条件的点P有个。
解直角三角形与几何综合(压轴题专项)—2023-2024学年九年级数学下册(浙教版)(解析版)
解直角三角形与几何综合【典例1】如图，在Rt△AEB中，∠AEB=90°，点C在线段BE的延长线上，过点C作CD∥AB，连接AD，再过点A作AF⊥CD于点F；（1）如图1，连接EF，若∠BAE=30°，∠D=45°，DF=6，AE=4，求线段EF的长；（2）如图2，在线段CE上取一点H，连接AH、DH，当AH平分∠BHD，∠ABH=∠DAH时，求证：DH=HC+ 2HE．（3）如图3，在（2）的条件下，连接ED，若AE=12，BE=4，当(ED+DF)取得最小值时，请直接写出线段AH的长．（1）过点E作EM⊥AF于M，利用勾股定理可得EM=√AE2−AM2=2√3，EF=√EM2+MF2=2√7；（2）连接AC，过A作AW⊥HD于，则有∠AWH=∠AWD=90°，可证Rt△AHE≌Rt△AHW(HL)，则HE=HW，然后可得A、H、C、D四点共圆，则可证△AEC≌△AWD(AAS)，进而问题可求证；（3）在线段EB上截取EG=EH，延长AF交BC的延长线于M，连接AG，AC，DM，可证得△AEG≌△AEH(SAS)，，利用解直角三角形可得EM=36，再由勾股定理可得AM=△AGC≌△AHD(SAS)，设∠BAE=α，则tanα=13√AE2+EM2=12√10，作点E关于DM的对称点E′，连接EE′，DE′，EE′交DM于P，则DE=DE′，由于ED+ DF=DE′+DF≥EF，故当且仅当E′、D、F三点共线时，ED+DF=EF为最小值，过点E′作E′N⊥BC于N，过点D作DK⊥CM于K，应用解直角三角形即可求得答案．（1）解：过点E作EM⊥AF于M，如图1，则∠AME=∠EMF=90°，∵AF⊥CD，CD∥AB，∴∠BAF=∠AFD=90°，∵∠BAE=30°，∴∠EAM=60°，∴∠AEM=30°，∵AE=4，AE=2，∴AM=12在Rt△AEM中，EM=√AE2−AM2=√42−22=2√3，在Rt△ADF中，∠D=45°，DF=6，∴AF=DF=6，∴MF=AF−AM=6−2=4，在Rt△EMF中，EF=√EM2+MF2=√(2√3)2+42=2√7，∴线段EF的长为2√7；（2）证明：连接AC，过A作AW⊥HD于W，如图2，则∠AWH=∠AWD=90°，∵∠AEB=90°，∴∠AEH=90°，∵AH平分∠BHD，AE⊥HB，AW⊥HD，∴AE=AW，在Rt△AHE和Rt△AHW中，{AH=AHAE=AW，∴Rt△AHE≌Rt△AHW(HL)，∴HE=HW，∵CD∥AB，∴∠ABH+∠BCD=180°，∵∠ABH=∠DAH，∴∠DAH+∠BCD=180°，∵∠DAH与∠BCD在DH异侧，∴A、H、C、D四点共圆，∴∠ACH=∠ADW，∵AE=AW，∠AEC=∠AWD=90°，∴△AEC≌△AWD(AAS)，∴EC=WD，∴DH=HW+WD=HE+EC=HE+HE+HC，即DH=HC+2HE；（3）解：如图3，在线段EB上截取EG=EH，延长AF交BC的延长线于M，连接AG，AC，DM，则CG=HC+2HE，由（2）得DH=HC+2HE，∴CG=DH，在△AEG和△AEH中，{EG=EH∠AEG=∠AEH=90°AE=AE，∴△AEG≌△AEH(SAS)，∴AG=AH，∠AGC=∠AHE，∵AH平分∠BHD，∴∠AHE=∠AHD，∴∠AGC=∠AHD，∴△AGC≌△AHD(SAS)，∴AC=AD，∵AF⊥CD，∴DF=CF，∴DM=CM，设∠BAE=α，则tanα=BEAE =412=13，∵∠BAE+∠MAE=∠AME+∠MAE=90°，∴∠AME=∠BAE=α，∴AEEM =tanM=13，∴EM=3AE=3×12=36，∴AM=√AE2+EM2=√122+362=12√10，如图4，作点E关于DM的对称点E，连接EE′，DE′，EE′交DM于P，则DE=DE′，∴ED+DF=DE′+DF≥E′F，当且仅当E′、D、F三点共线时，ED+DF=EF为最小值，过点E′作E′N⊥BC于N，过点D作DK⊥CM于K，则∠AMD=∠CE′E=∠CE′N=∠CDK=∠AME=α，设CF=DF=x，则FM=CFtanα=3x，∴CM=√CF2+FM2=√x2+(3x)2=√10x，∵sin∠DCK=DKCD =FMCM，即DK2x=√10x，∴DK=3√105x，∵cos∠DCK=CKCD =CFCM，即CK2x=√10x，∴CK=√105x，∴MK=CM−CK=√10x−√105x=4√105x，∴tan2α=DKMK =3√105x4√105x=34，∴PEPM =tan2α=34，设PE=3y，则PM=4y，∵PE2+PM2=EM2，∴(3y)2+(4y)2=362，∴y=365（负值舍去），∴PE=3×365=1085，PM=4×365=1445，∴EE′=2PE=2165，∵sin2α=ENEE′=PEEM，即EN2165=108536，∴EN=64825，∴MN=EM−EN=36−64825=25225，∴E′N=ENtan2α=6482534=86425，∴CN=E′N⋅tanα=86425×13=28825，∴CM=CN+MN=28825+25225=1085，∴FM=CM⋅cosα=1085×3√1010=162√1025，CF=13FM=54√1025，∴AF=AM−FM=12√10−162√1025=138√1025，在Rt△ADF中，AD=√AF2+DF2=(138√1025)+(54√1025)=12√615，∵∠DAH=∠ABH=∠MAE，∴∠DAH−∠MAH=∠MAE−∠MAH，即∠DAF=∠HAE，∴cos∠DAF=cos∠HAE，∴AFAD =AEAH，即138√102512√615=12AH，∴AH=12√61023．1．（2023·辽宁·中考真题）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF,连接BF．交DE于点M．（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；（2）如图2．当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当BC=6，CE=2时，请直接写出AM的长．【思路点拨】（1）可证得∠BAD=∠BAE=30°，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果；（2）连接BD、DF，可证明△BAD≌△CAE，从而∠ABD=∠ACE=120°，BD=CE，进而得出∠DBE=60°，从而得出∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，从而BD∥EF，结合BD=EF得出四边形BDFE是平行四边形，从而得出DM=EM；（3）分为两种情形∶当点E在BC的延长线上时，作AG⊥BC于G，可得出CG=3，AG=3√3，从而EG=CG+ CE=3+2=5，进而得出AE=2√13，进一步得出结果；当点E在BC上时，作AG⊥BC于G，可得出EG=1，AE=2√7，进一步得出结果．【解题过程】（1）解∶∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，∠BAC，∴∠BAC=60°，∠BAE=12∴∠BAE=30°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAD=∠DAE−∠BAE=60°−30°=30°，∴∠DAE=∠BAE，∴DM=EM；（2）解：如图l，DM=EM仍然成立，理由如下∶连接BD、DF，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE=180°−∠ACB=120°，BD=CE，∴∠DBE=∠ABD−∠ABC=120°−60°=60°，∴∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，∴BD∥EF，∵CE=EF，∴BD =EF ，∴四边形BDFE 是平行四边形，∴DM =EM ；（3）解：如图2，当点E 在BC 的延长线上时，作AG⟂BC 于G ，∵∠ACB =60°，∴CG =AC ⋅cos60°=12AC =3，AG =AC ⋅sin60°=√32AC =3√3，∴EG =CG +CE =3+2=5，∴AE =√AC 2+EC 2=√(3√3)2+52=2√13．由（2）知∶DM =EM ，∴AM ⊥DE ，∴∠AME =90°，∴∠AED =60°，∴AM =AE ⋅sin60°=2√13×√32=√39，如图3，当点E 在BC 上时，作AG ⊥BC 于G ，由上知∶AG =3√3，CG =3，∴EG =CG −CE =3−2=1，∴AE=√AG2+EG2=√(3√3)2+12=2√7，∴AM=2√7×√32=√21，综上所述∶AM=√39或√21．2．（22·23下·安徽·专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，ACBC=m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．（1）特例发现：如图1，当m=1，AE落在直线AC上时．①求证：∠DAC=∠EBC；②填空：CDCE的值为；（2）类比探究：如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG=∠BCE，CG交AE于点H．探究CGCE的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用：在（2）的条件下，当m=√22，D是BC的中点时，若EB⋅EH=6，求CG的长．【思路点拨】（1）①由折叠知，∠AFB=90°=∠ACB，再由等角的余角相等，即可得出结论；②由①知，∠DAC=∠EBC，再判断出AC=BC，进而用ASA判断出，△ACD≌△BCE，即可得出结论；（2）同（1）①的方法，即可得出结论；（3）先判断出DF是△BCE的中位线，得出DF∥CE，进而得出∠BEC=∠BFD=90°，∠AGC=∠ECG，∠GAH=∠CEA，再判断出AG=CE，设CG=x，则AG=√2x，BE=2x，得出AG=CE进而用AAS判断出△AGH≌△ECH，得出GH=12x，再用勾股定理求出AH=32x，即可得出结论．【解题过程】（1）如图1，延长AD交BE于F，由折叠知，∠AFB=90°=∠ACB，∴∠DAC+∠ADC=∠BDF+∠EBC=90°，∵∠ADC=∠BDF，∴∠DAC=∠EBC；②由①知，∠DAC=∠EBC，∵m=1，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(ASA)，∴CD=CE，=1，∴CDCE故答案为1．（2）如图2，延长AD交BE于F，由（1）①知，∠DAC=∠EBC，∵∠ACG=∠BCE，∴△ACG∽△BCE，∴CGCE =ACBC=m；（3）由折叠知，∠AFB=90°，BF=FE，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴DF是△BCE的中位线，∴DF∥CE，∴∠BEC=∠BFD=90°，∠AGC=∠ECG，∠GAH=∠CEA，由（2）知，△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=90°，ACCD =AC12BC=2m=√2，∴CGAG =tan∠GAC=DCAC=1√2，设CG=x，则AG=√2x，BE=2x，∴AG=CE，∴△AGH≌△ECH(AAS)，∴AH=EH，GH=CH，∴GH=12x，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AH=√AG2+GH2=32x，∵EB⋅EH=6，∴2x⋅32x=6，∴x=√2或x=−√2（舍)，即CG=√2．3．（22·23·濮阳·一模）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动．【动手实践】（1）如图（1），已知正方形纸片ABCD，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠使AD与AM重合，折痕为AF，易知点E、M、F共线，则∠EAF=°，EF、BE、DF三条线段的关系为；【拓展应用】（2）解决下面问题：①如图（2）作FN⊥AE于点N，交AM于点P，求证：△ANP≌△FNE；②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在△AEF边上，AB=3，请直接写出此时BE的长度．【思路点拨】∠BAD=45°．由∠AME=（1）根据折叠的性质可得∠EAM=∠EAB,∠FAM=∠FAD，由此可得∠EAF=12∠B=90°,∠AMF=∠D=90°可得E、M、F三点共线．又由ME=BE,MF=DF可得EF=BE+DF．（2）①由∠ANF=90°，∠EAF=45°可得∠AFN=45°，于是可得AN=FN，由“同角的余角相等”可得∠EAM=∠NFE，最后根据角边角即可证明△ANP≌△FNE．②分两种情况：当点N落在AE上时，当点N落在AF上时，分别利用三角函数解直角三角形即可求得BE的长．【解题过程】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°,AB=AD．∵△ABE沿AE折叠后得△AME，△ADF沿AF折叠后得△AMF，∴△AME≌△ABE,△AMF≌△ADF，∴∠EAM=∠EAB,∠FAM=∠FAD，∠BAD=45°，∴∠EAM+∠FAM=∠EAB+∠FAB=12即∠EAF=45°．∵∠AME=∠B=90°,∠AMF=∠D=90°，∴∠AME+∠AMF=180°．∴E、M、F三点共线．∵ME=BE,MF=DF，∴ME+MF=BE+DF，∴EF=BE+DF．故答案为：45，EF=BE+DF．（2）①∵FN⊥AE，∴∠ANF=∠FNE=90°．∵∠EAF=45°，∴∠AFN=45°，∴AN=FN．∵△AEM中，∠AME=90°，∴∠EAM+∠AEM=90°．∵△FNE中，∠FNE=90°，∴∠NFE+∠AEM=90°，∴∠EAM=∠NFE．在△ANP和△FNE中，{∠NAP=∠NFEAN=FN∠ANP=∠FNE，∴△ANP≌△FNE(ASA)．②如图，当点N落在AE上时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠B=∠D=∠BAD=90°．由折叠的性质可得∠AEB=∠AEM=∠CEF，∵∠AEB+∠AEM+∠CEF=180°，∴∠AEB=∠AEM=∠CEF=60°．∵AB=3，∴BE=ABtan∠AEB =ABtan60°=√3=√3；如图，当N落在AF上时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠B=∠D=∠BAD=90°，由折叠的性质可得∠AFE=∠CFE=∠AFD，又∵∠AFE+∠CFE+∠AFD=180°，∴∠AFE=∠CFE=∠AFD=60°，∴DF=ADtan∠AFD =ADtan60°=3√3=√3，∴CF=CD−DF=3−√3，∴EC=CF⋅tan∠CFE=(3−√3)×√3=3√3−3，∴BE=BC−EC=3−(3√3−3)6−3√3，综上，BE的长为√3或6−3√3．4．（22·23下·泉州·模拟预测）已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD的中点，点F是AB上的动点，连接FP并延长交CD的延长线于点M，过点P作PE⊥FM，交直线BC于点E，连接EF．（1）求tan∠PEF的值；（2）如图2，连接EM，点Q是EM的中点．①当∠AFP=2∠BEF时，求PQ的长；②点F从A点运动到B点的过程中，求点Q经过的路径长．【思路点拨】（1）作PG⊥BC于点G，由四边形ABCD是矩形，点P是AD的中点，得∠A=∠B=∠PGB=90°，PA=PD=1 2AD=3，可证明△APF∽△GPE，则tan∠PEF=PFPE=PAPG=34；（2）①作EF的垂直平分线KN交BE于点N，连接FN，则∠BEF=∠NFE，所以∠BNF=2∠BEF，则∠AFP=∠BNF，可证明∠NFP=∠EPM=90°，则FN∥PE，所以∠BEF=∠NFE=∠PEF，则BF=PF，由勾股定理得32+(4−PF)2=PF2，求得PF=258，则FE=12524，再证明PF=PM，则PQ=12FE=12548；②作PG⊥BC于点G，连接AG、PC，取PC的中点I，连接IQ，可证明PC∥AG，则∠DPI=∠PAG，再证明△PFE∽△PAG，得∠PFE=∠PAG，可推导出∠DPI=∠MPQ，则∠IPQ=∠DPM=∠APF，再证明△PIQ∽△PAF，则∠PIQ=∠PAF=90°，可知点Q在线段PC的垂直平分线上运动，延长IQ、PD交于点L，当点F从点A运动到点B，则点Q从点I运动到点L，由ILPI =tan∠DPI=tan∠PAG=PGPA=43，求得IL=43PI=103，则点Q经过的路径长是103．【解题过程】（1）解：作PG⊥BC于点G∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=6，点P是AD的中点，∴∠A=∠B=∠PGB=90°，PA=PD=12AD=3，∴四边形ABGP是矩形，∴PG=AB=4，∠APG=90°，∵PE⊥FM，交直线BC于点E，∴∠FPE=90°，∴∠APF=∠GPE=90°−∠FPE，∵∠A=∠PGE=90°，∴△APF∽△GPE，∴tan∠PEF=PFPE =PAPG=34，∴tan∠PEF的值是34；（2）解：①作EF的垂直平分线KN交BE于点N，连接FN，则EN=FN，如图2所示：∴∠BEF=∠NFE，∴∠BNF=∠BEF+∠NFE=2∠BEF，∵∠AFP=2∠BEF，∴∠AFP=∠BNF，∴∠AFP+∠BFN=∠BNF+∠BFN=90°，∴∠NFP=∠EPM=90°，∴FN∥PE，∴∠BEF=∠NFE=∠PEF，∵BF⊥EB，PF⊥EP，∴BF=PF，∵AP2+AF2=PF2，AF=4−BF=4−PF，∴32+(4−PF)2=PF2，解得PF=258，设PF=3m，则PE=4m，由3m=258得m=2524，∴FE=√PF2+PE2=√(3m)2+(4m)2=5m=5×2524=12524，∵AF∥DM，∴PFPM =PAPD=1，∴PF=PM，∵点P是FM的中点，点Q是EM的中点，∴PQ=12FE=12×12524=12548，∴PQ的长是12548；②作PG⊥BC于点G，连接AG、PC，取PC的中点I，连接IQ，如图3所示：∵BC=AD=6，GB=PA=3，∴CG=BC−GB=6−3=3=∵CG∥AP，∴四边形APCG是平行四边形，∴PC∥AG，∴∠DPI=∠PAG，∵PFPE =PAPG，∴PFPA =PEPG，∴△PFE∽△PAG，∴∠PFE=∠PAG，∴∠DPI=∠PFE，∵∠MPQ=∠PFE，∴∠DPI=∠MPQ，∴∠DPI−∠DPQ=∠MPQ−∠DPQ，∴∠IPQ=∠DPM=∠APF，∵PC=AG=√PA2+PG2=√32+42=5，∴PI=12PC=12×5=52，∴PIPA =523=56，∵FEPF =53，FE=2PQ，∴2PQPF =53，∴PQPF =56=PIPA，∴△PIQ∽△PAF，∴∠PIQ=∠PAF=90°，∴点Q在线段PC的垂直平分线点上运动，延长IQ、PD交于点L，当点F从点A运动到点B，则点Q从点I运动到点L，∵ILPI =tan∠DPI=tan∠PAG=PGPA=43，∴IL=43PI=43×52=103，∴点Q经过的路径长是103．5．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋转180°至四边形AEST的位置；（4）延长PQ ，ST 交于点F ．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的： ①点Q ，A ，T 在一条直线上； ②四边形FPGS 是矩形； ③△FQT≌△HMN ；④四边形FPGS 与△ABC 的面积相等． 【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形ABCD 中，AD∥BC ，P ，Q 分别是AB ，CD 的中点，连接PQ ．求证：PQ =12(AD +BC )． 【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD ，AD∥BC ，AD =2，BC =8，CD =9，sin∠DCB =45，小丽分别取AB ，CD 的中点P ，Q ，在边BC 上作MN =PQ ，连接MQ ，她仿照小宏的操作，将四边形ABCD 分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM 的长． 【思路点拨】（1）由旋转的性质得对应角相等，即∠ABC =∠QAD ，∠ACB =∠TAE ，由三角形内角和定理得∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB =180°，从而得∠QAD ＋∠BAC ＋∠TAE =180°，即Q ，A ，T 三点共线；（2）梯形中位线的证明问题常转化为三角形的中位线问题解决，连接AQ 并延长，交BC 的延长线于点E ，证明△ADQ≌△ECQ ，可得AQ =EQ ，AD =CE ，由三角形中位线定理得PQ =12BE =12(AD +BC )；（3）过点D 作DR ⊥BC 于点R ，由DC =9，sin∠DCB =45得DR =365，从而得S 梯形ABCD =12×(2+8)×365=36，由【发现】得S 正方形GEST =S 梯形ABCD ，则GE =6，PE =3，由【任务2】的结论得PQ =5，由勾股定理得EQ =4．过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H ．由CQ=92及sin∠DCB =45得QH =185，从而得CH =2710，证明△PEQ∽△QHM ，得HM =245，从而得BM =BC −HM −CH =12．【解题过程】 [任务1]证法1：由旋转得，∠QAD =∠ABC ，∠TAE =∠ACB ． 在△ABC 中，∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB =180°， ∴∠QAD ＋∠BAC ＋∠TAE =180°， ∴点Q ，A ，T 在一条直线上．证法2：由旋转得，∠QAD =∠ABC ，∠TAE =∠ACB ．∴AQ∥BC，AT∥BC．∴点Q，A，T在一条直线上．[任务2]证明：如图1，连接AQ并延长，交BC的延长线于点E．∵AD∥BC，∴∠DAQ=∠E．∵Q是CD的中点，∴DQ=CQ．在△ADQ和△ECQ中，{∠DAQ=∠E,∠AQD=∠EQC, DQ=CQ,∴△ADQ≌△ECQ(AAS)．∴AQ=EQ，AD=CE．又∵P是AB的中点，∴AP=BP，∴PQ是△ABE的中位线，∴PQ=12BE=12(CE+BC)，∴PQ=12(AD+BC)．[任务3]的方法画出示意图如图2所示．由【任务2】可得PQ ∥BC ，PQ =12(AD +BC )=12×(2+8)=5． 过点D 作DR ⊥BC ，垂足为R ． 在Rt △DCR 中，sin∠DCB =DR CD ，∴DR =CD ⋅sin∠DCB =9×45=365．∴S 正方形GEST =S 梯形ABCD =12×(2+8)×365=36，∴GE =6，PE =3．在Rt △PEQ 中，由勾股定理得EQ =√PQ 2−PE 2= √52−32=4． 过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H ． ∵Q 是CD 的中点， ∴CQ =12CD =12×9=92．在Rt △QHC 中，sin∠DCB =QH CQ，∴QH =CQ ⋅sin∠DCB =92×45=185．又由勾股定理得CH =√CQ 2−QH 2=√(92)2−(185)2=2710．由PQ ∥BC ，得∠PQE =∠QMH ． 又∵∠PEQ =∠QHM =90°， ∴△PEQ∽△QHM ． ∴PE QH =EQ HM ，即3185=4HM ，∴HM =245．∴BM =BC −HM −CH =8−245−2710=12．6．（23·24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【基本图形】（1）如图1，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点H ，交AD于点E．求证：CEBD =CDBC；【类比探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°,AD=4，BC=9，CD=7．E是边AB上的一动点，过点C作CG⊥ED，交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．试探究CFDE是否为定值?若是，请求出CFDE的值；若不是，请说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD沿BD翻折得到△CBD，点E,F分别在边AB,AD上，连接CF,DE．若∠AED=∠AFC，且CFDE =35，则ADAB的值为______（直接写出结果）．【思路点拨】（1）证明△CED∽△BDC，利用相似三角形的性质即可证明CEBD =CDBC；（2）过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H，首先证明四边形ABCH为矩形，易得AB=CH，BC=AH，再证明△DEA∽△CFH，由相似三角形的性质可得CFDE =CHAD，然好由勾股定理解得CH=2√6，即可证明CFDE=CHAD=√62，即可获得答案；（3）过点C作CG⊥AD于点G，交BD于点H，作HM⊥CD于点M，证明CG∥AB，易得∠ABD=∠GHD，再证明△AED∽△GFC，由相似三角形的性质可得CFDE =CGAD=35，由折叠的性质可得AD=CD，∠ADB=∠CDB，设GC=3x，则AD=CD=5x，由勾股定理可得DG=√CD2−CG2=4x，然后由角平分线的性质定理可得HG=HM，结合S△HDG+S△CHD=S△CDG，可求得HG=4x3，然后可推导tan∠ABD=tan∠DHG=DGHG=3，即可获得ADAB得值．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°，∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠BCH=∠BCH+∠ECD=90°，∴∠DBC=∠ECD，∴△CED∽△BDC，∴CE BD =CDBC；（2）CFDE是否为定值，如下图，过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H，∴∠A=∠B=∠H=90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB=CH，BC=AH，∵∠GFD=∠HFC，∠GDF=∠ADE，又∵∠GFD+∠GDF=∠HFC+∠HCF，∴∠ADE=∠HCF，∵∠A=∠H，∴△DEA∽△CFH，∴CF DE =CHAD，∵BC=9，CD=7，AD=4，∴DH=AH−AD=BC−AD=5，∴CH=√CD2−DH2=2√6，∴CF DE =CHAD=2√64=√62，∴CF DE 为定值√62；（3）如下图，过点C作CG⊥AD于点G，交BD于点H，作HM⊥CD于点M，∴∠CGF=∠A=90°，∴CG∥AB，∴∠ABD=∠GHD，∵∠AED=∠AFC，∠CGF=∠A，∴△AED∽△GFC，∴CF DE =CGAD=35，∵将△ABD沿BD翻折得到△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB，设GC=3x，则AD=CD=5x，∴DG=√CD2−CG2=4x，∵HG⊥AD，HM⊥CD，∠ADB=∠CDB，∴HG=HM，∵S△HDG+S△CHD=S△CDG，即12×4x×HG+12×5x×HM=12×3x×4x，∴HG=4x3，∴tan∠ABD=tan∠DHG=DGHG =4x43x=3，∴ADAB=3．7．（21·22九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF′G′，（1）如图1，连接CG′,EF′，求证：△BEF′∽△BCG′；（2）当点G′恰好落在直线AE上时，若BF=3，求EG′的值；（3）如图3，连接GG′，当GG′与BE交于点F时，猜想FG与FG′的数量关系，并证明．【思路点拨】（1）平行得到△BFG∽△BEC，得到BFBE =BGBC，旋转得到BF=BF′,BG=BG′,∠GBF=∠G′BF′，进而得到BF′BE =BG′BC，∠FBF′=∠GBG′，即可得证；（2）分点G′在线段AE和在线段EA的延长线上，两种情况进行讨论求解；（3）过点F作FH⊥BG于点H，过点B作BP⊥GG′于点P，易得BH=FH，根据矩形的性质，平行线的性质，得到∠FGB=∠ECB=∠CED，进而得到tan∠FGB=tan∠CED=CDDE =32，cos∠FGB=cos∠CED=EDCE=2√1313，推出tan∠FGB=FHGH =32，cos∠FGB=PGBG=2√1313，设FH=3a,HG=2a，分别求出FG,FG′，即可得解．【解题过程】（1）证明：∵FG∥CE，∴△BFG∽△BEC，∴BF BE =BGBC，∵将△BFG绕点B旋转得到△BF′G′，∴BF=BF′,BG=BG′,∠GBF=∠G′BF′，∴BF′BE =BG′BC，∠FBF′=∠GBG′，∴BF′BG′=BEBC，∴△BEF′∽△BCG′；（2）解：∵矩形ABCD中，AB=3,BC=5，∴AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE =∠EBC =45°， ∴∠ABE =∠AEB =45°， ∴AE =AB =3，BE =3√2， 由（1）知：BFBE =BGBC ，即：3√2=BG 5，∴BG =5√22， ∴BG ′=BG =5√22， ①当点G ′在线段AE 上时，在Rt △BAG ′中，AG ′=√G ′B 2−AB 2=√142， ∴EG ′=AE −AG ′=3−√142； ②当点G ′在线段EA 的延长线上时，在Rt △BAG ′中，AG ′=√G ′B 2−AB 2=√142， ∴EG ′=AE +AG ′=3+√142；综上：EG ′=3−√142或3+√142； （3）FGFG ′=137；证明如下：过点F 作FH ⊥BG 于点H ，过点B 作BP ⊥GG ′于点P ，由（2）知，∠FBC =45°，AE =3， ∴BH =FH ， ∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC,AD =BC =5,CD =AB =3,∠D =90°， ∴DE =5−3=2，∠CED =∠ECB ，∴CE=√DE2+CD2=√13，∵FG∥CE，∴∠FGB=∠ECB=∠CED，∴tan∠FGB=tan∠CED=CDDE =32，cos∠FGB=cos∠CED=EDCE=2√1313，∴tan∠FGB=FHGH =32，cos∠FGB=PGBG=2√1313，设FH=3a,HG=2a，则：FG=√FH2+HG2=√13a，BH=FH=3a，∴BG=BH+HG=5a，∴PG=10√1313a，∵旋转，∴BG=BG′，∴GG′=2PG=20√1313a，∴FG′=GG′−FG=7√1313a，∴FG FG′=√13a7√13a13=137．8．（21·22下·沧州·二模）如图1，在一平面内，线段AB=20，M，N是线段AB上两点，且AM=BN=2，点C从点M开始向终点N AC，BC为边在线段AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，设AC=x．（1）直接写出CD和BE位置关系：______；（2）如图2，连接AE，BD，求证：AE=BD；（3）如图3，点G，点H分别是CD，BE的中点，①求当x为何值时，线段GH取得最小值？最小值是多少？②当线段GH取得最小值此时，求△ACE的面积；（4）如图4，设DE的中点为P，则点P移动路径的长为______．【思路点拨】（1）根据平行线的判定即可；（2）证明△ACE≌△DCB(SAS)即可；（3）①连接AG并延长交直线BE于F，连接CH、CF，先证明四边形CGFH是矩形，得FC=GH，当FC⊥AB 时GH最小即可，②过E作EK⊥AB于K，∠ECB=60°，再根据三角函数及三角形的面积公式即可；（4）以点A为原点，直线AB为x轴，过点A垂直于直线AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EH⊥AC于点H，再表示出点P的坐标即可．【解题过程】（1）解：在等边△ACD和等边△BCE中，∴∠ACD=∠B=60°，∴CD∥BE．故答案为：平行．（2）解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即：∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE=BD；（3）解：①连接AG并延长交直线BE于F，连接CH、CF，∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠B=60°，∴CD∥BE，∴∠DCH=∠CHB，∵点G，点H分别是CD，BE的中点，∴∠AGC=∠CHE=∠CHB=90°，∠BAF=30°∴∠CGF=∠AGC=∠DCH=90°，∴∠CGF=∠CHE=∠DCH=90°，∴四边形CGFH是矩形，∴FC=GH，∴当FC⊥AB时GH最小，在△ABF中，AF=ABsin60°=在△AFC中，AC=AFcos30°=15，FC=AF⋅sin30°=5√3，∵2≤AC≤18，∴当x=15时，线段GH取得最小值，最小值是5√3；②过E作EK⊥AB于K，∠ECB=60°，在△CEK中，∠ECB=60°，CB=AB−AC=5，EK=CE⋅sin60°=5√3，2∴S △ACE =12⋅AC ⋅EK =754√3；（4）解：如图，以点A 为原点，直线AB 为x 轴，过点A 垂直于直线AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点D 作DG ⊥AC 于点G ，过点E 作EH ⊥AC 于点H ，则M(2,0),B(20,0),N(18,0),C(x,0)， AC =x,BC =20−x ，∵△ACD,△BCE 均为等边三角形，∴∠DAC =∠ECH =60°，AG =12AC =x2,CH =12BC =20−x 2，∴AH =AC +CH =x +20−x 2=x2+10，∴DG =OG ⋅tan60°=x 2×√3=√3x2，EH =CH ⋅tan60°=(10−x2)×√3=−√3x2+10√3，∴D(x 2,√3x 2)，E(x2+10,−√3x 2+10√3)，则DE 的中点为P 的坐标为P(x2+5,5√3)(2≤x ≤18)， ∵P 的纵坐标为定值，即点P 在平行于x 轴的直线上运动， x =2时，P 1(6,5√3)， x =18时，P 2(14,5√3)，点P 移动路径的长为P 1P 2=14−6=8， 故答案为：8．9．（23·24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在▱ABCD 中，∠A =60°，AB =4，AD =6，点E 在边BC 上，且BE =2，动点P 从点E 出发，沿折线EB −BA −AD 以每秒2个单位长度的速度运动．作∠PEQ =60°，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连接PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（t >0）（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为______；（2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE．（3）如图②，当点Q在边DC上运动时，证明：PD=CQ．（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和▱ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的值．【思路点拨】（1）首先证明四边形ABEQ是平行四边形，取QE中点M,连接BM，则△AQP是直角三角形，利用勾股定理解题即可；（2），过点D作DN⊥BC于点N,在Rt△QNC中,CN=2，EN=2，在Rt△QCN中,利用勾股定理求出QN= 2√3，然后根据tan∠PQE=tan∠QEC=DN解题即可；EN（3）连接DE,过点D作DG⊥BC于点G,利用ASA证明△PED≌△QEC解题即可；（4）当Q点位于CD中点时.四边形EPFQ与ABCD重叠部分四边形为轴对称四边形，根据题意求出t的值．【解题过程】（1）)解: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BE，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A=60°，∴∠ABC=120°，又∵∠PEQ=60°，∴∠ABE+∠PEQ=180°，∴AB∥QE，∴四边形ABEQ是平行四边形.∴QE=AB=4,AQ=BE=2，取QE中点M,连接BM，∴QM=ME=2，又∵∠PEQ=60°，∴△BME是等边三角形，∴QM=BM=ME，∴∠MBE=60°，∴∠MQP=∠QPM=30°,∴∠QPE=90°，∵AQ∥BE，∴∠AQP=90°，∴△AQP是直角三角形，∴在Rt△AQP中QP=√AB²−AQ²=√42−22=2√3，∴当P点和B点重合时,PQ的长为2故答案为：2√3；（2）)解:∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AD∥BC,∠A=∠C=60°∴∠PQE=∠QEC∵BC=AD=6,BE=2.∴CE=4如图2，过点D作DN⊥BC于点N,在Rt△QNC中,∠QNC=90°,∠C=60°∴∠NQC=30°∴CN=12CD=12×4=2，∴EN=EC−CN=4−2=2∴在Rt△QCN中,∴QN=√CQ²−CN²=√42−22=2√3，∴tan∠PQE=tan∠QEC=DNEN =2√32=√3，∴当Q点和D点重合时,tan∠PQE=√3；（3）证明:连接DE,过点D作DG⊥BC于点G,如图3由(2)知EC=CD=4,∠C=60°，∴△CDE是等边三角形∴DE=EC=CD=4又∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠ADC=120°又∵∠PEQ=60°，∠DEC=∠C=∠EDC=60°，∴∠PED+∠DEQ=∠QEC+∠DEQ，∴∠PDE=∠QCE=60°，∠PED=∠QEC，∴△PED≌△QEC(ASA)，∴PD=QC，（4）解:由题意得，当Q点位于CD中点时.四边形EPFQ与ABCD重叠部分四边形为轴对称四边形.理由如下：如图4，连接DE，由(3)知△CDE是等边三角形,∵Q点为CD的中点，∴QD=QC=1CD=22∴QE⊥CD，∴∠CQE=90°，又∵∠C=60°∴∠CEQ=30°∴∠PEQ=60°∴∠PEC=90°∴PE⊥BC，又∵AD∥BC，∴PE⊥AD∴DE=4,PE=2√3，PD=2，∴PD=QD，∴Rt△PDE≌Pt△QDE(HL).∴四边形EPFQ与ABCD的重叠部分为EPDQ为轴对称四边形，∴P点的运动轨迹为EB+BA+AP=2+4+4=10，∵P点的速度为2个单位长度每秒，∴2t=10∴t=5∴t的值为5．10．（21·22·武汉·模拟预测）问题背景：如图（1），在四边形ABCD中，P是BC上一点，∠ABC=∠BCD=∠APD，求证：△ABP∽△PCD；尝试运用：如图（2），D,E,F三点分别在等边△ABC边BC,AB,AC上，∠ABC=∠EDF,BD=CD．已知BC=4，设EF=x,△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（不求自变量x的取值范围）；拓展创新：如图（3），D是等边△ABC边BC上一点，连接AD,E是AD上一点，CD=2BD,∠BEC=120°，请用一个等式直接写出BE与CE的数量关系．【思路点拨】问题背景：如图（1），根据三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似证明即可；尝试运用：过点D分别作DG⊥AB,DH⊥AC，垂足分别为G,H，如图所示，D，E，F三点分别在等边ΔABC边BC，AB，AC上，∠ABC=∠EDF，BD=CD．已知BC=4，设EF=x，ΔDEF的面积为y，根据相似三角形判定与性质，再结合解直角三角形即可得到答案；拓展创新：将ΔBCE绕点C顺时针旋转60°，作DF∥CE，如图所示，可得DF∥CE∥AE′，证得△BDF∽△BCE，设BE=m，EC=x，可得EF的长，由△DFE∽△AE′E，利用相似三角形的性质可得结果．【解题过程】问题背景：证明：如图所示：∵∠ABC=∠APD，∴∠BAP+∠BPA=∠CPD+∠BPA，∴∠BAP=∠CPD，又∵∠ABP=∠PCD，∴△ABP∽△PCD；尝试运用：解：过点D分别作DG⊥AB,DH⊥AC，垂足分别为G,H，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∠ABC=∠EDF，∴∠ABC=∠EDF=∠C=60°，由（1）知△BDE∽△CFD，∴BECD =DEFD，∵BD=CD，∴BEBD =DEFD，又∵∠ABC=∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED=∠DEF，∴DG=DH，在Rt△BDG中，∠ABC=60°，BD=2，则sinB=DGBD =DG2，即DG=2×√32=√3，∴DH=√3，∴y=√32x；拓展创新：解：CE=√2BE．将△BCE绕点C顺时针旋转60°，作DF∥CE，如图所示：∵将△BCE绕点C顺时针旋转60°得到△ACE′，∴BE=AE′，∠AE′C=120°，CE=CE′，∵DF∥CE，∠BEC=120°，∴∠CEE′=60°，∴△CEE′为等边三角形，∴∠CE′E=60°，EE′=CE，∴∠AE′B=60°，∴CE∥AE′，∵DF∥CE，∴DF∥AE′，∴△BDF∽△BCE，∴BFBE =DFCE=BDBC=13，设BE=m，∴BF=13m，EF=23m，设CE=x，∴DF=x3，∵△DFE∽△AE′E，∴EFEE′=DFAE′，∴23mx=13xm，∴x2=2m2，∵x>0，m>0，∴x=√2m，∴EC=√2BE．11．（22·23·信阳·三模）综合与实践【问题情境】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D为BC边上一动点（不与B，C重合），连接AD，以AD为始边顺时针作∠ADE=β(α+β=180°)，DF平分∠ADE．【初步探究】（1）如图1，DE与AC的延长线交于点E，若α=60°，β=120°，CD=2BD，则BDCF的值为_____，∠CDF与∠E的数量关系是_________．【类比探究】（2）如图2，DE与AC的延长线交于点E，若α=β=90°，CD=2BD，求出BDCF的值及∠CDF与∠E的数量关系．【拓展应用】（3）如图3，DE与AC交于点E，α=β=90°，∠CAD=15°，AB=6√2，将△ADF绕点在平面内自由旋转，当B，A，F三点共线时，直接写出AFBD的值．【思路点拨】（1）可证得△ABD∽△DCF，从而BDCF =ABCD，进而得出BDCF=32，由∠BAD+∠DAE=60°可得出∠CDF=∠E；（2）可证得△ABD∽△DCF，从而得出BDCF =ABCD，进而得出BDCF=3√24，根据∠BAD+∠DAE=90°可推出∠CDF=∠E；（3）作AH⊥BC于H，作AR⊥DF，交DF的延长线于R，解直角三角形ABH求得AH=6，解Rt△ADH求得AD的值，解Rt△ADR求得AR和BR的值，解Rt△ARF求得AF和RF，进而求得AF，当F在BA的延长线上时，解Rt△DFX求得FX和DX的值，解Rt△ADX求得BD，进一步得出结果；当F在AB上时，作DV⊥AB于V，同样的方法得出结果．【解题过程】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∵∠ADF=12∠ADE=60°，∴∠DB+∠CDE=120°，∴∠BAD=∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴BDCF =ABCD，∵CD=2BD，∴AB=BC=32CD，∴BDCF =32，∵∠BAD+∠DAE=60°，∴∠CDF+60°−∠E=60°，∴∠CDF=∠E，故答案为：32，相等；（2）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∴∠BAD+∠ADB=135°，∵∠ADF=12∠ADE=45°，∴∠DB+∠CDE=135°，∴∠BAD=∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴BDCF =ABCD，∵CD=2BD，∴BC=32CD，∵AB=√22BC，∴BDCF =3√24，∵∠BAD+∠DAE=90°，∴∠CDF+90°−∠E=90°，∴∠CDF=∠E；（3）如图1，作AH⊥BC于H，作AR⊥DF，交DF的延长线于R，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，BH=CH，∴AH=√22AB=6，在Rt△ADH中，∠ADH=∠DAC+∠C=60°，AH=6，∴AD=6 sin60°=4√3，在Rt△ADR中，AD=4√3，∠ADF=45°，∴AR=DR=√22AD=2√6，在Rt△ARF中，AR=2√6，∠AFR=∠DAC+∠ADF=15°+45°=60°，∴AF=2√6 sin60°=√6√32=4√2，RF=2√6=√6√3=2√2，∴AF=2FR=DF=DR−RF=2√6−2√2，如图2，当F在BA的延长线上时，作DX⊥AF于X，在Rt△DFX中，DF=2√6−2√2，∠DFX=60°，∴FX=12DF=√6−√2，DX=DF⋅sin60°=3√2−√6，在Rt△ADX中，BX=AB+AF+FX=6√2+4√2+√6−√2=9√2+√6，DX=3√2−√6，∴BD=√(9√2+√6)2+(3√2−√6)2=2√48+6√3，∴ AFBD =√22√48+6√3=√24+3√324+3√3，如图3，当F在AB上时，作DV⊥AB于V，由上知：FV=√6−√2，DV=3√2−√6，∴BV=AB−AF−FV=6√2−4√2−(√6−√2)=3√2−√6，∴BD=√2BV=√2(3√2−√6)，∴AFBD =√2√2(3√2−√6)=3√2+√63，综上所述： AFBD =√24+3√324+3√3或3√2+√63．12．（23·24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，点B在线段AO上，且AB=2BO，若点P在x轴的正半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．①点B的坐标__________．②求证：△BOP∼△PCE；（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为(8，0)．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D．若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上．连接PC，则点P的坐标__________．（3）如图3，若∠BPO=60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C．若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标__________．【思路点拨】（1）①根据OA=6,AB=2OB求解即可.②根据两角对应相等，两三角形相似证明即可.（2）如图2中, 过点C′作C′G⊥OC于G, 延长PB交DA的延长线于F.设OP=x,则PC=4−x.在Rt△EBC′中，根据C′P2=PG2+C′G2,构建方程求解即可.（3）如图3中, 由题意∠PBQ=∠ECP=90°, 分四种情形, 当∠PE1B=30°时, 以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似, 当∠PBE2=30°时, 以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似, 当∠PE3B=30°时, 以点E,P,C 为顶点的三角形和△BPE相似，当∠PBE4=30°时, 以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似, 分别求解即可.【解题过程】（1）①∵A(0,6)，∴OA=6,∵AB=2BO,∴AB=4, OB=2,∴B(0,1)；故答案为：(0,1)②证明: 如图1中,∵PQ⊥PB,EC⊥OC,∴∠ECP=∠BPE=∠POB=90°,∴∠OPB+∠EPC=90°,∠EPC+∠CEP=90°,∴∠OPB=∠PEC,∴△BOP∽△PCE.（2）如图2中, 过点C′作C′G⊥OC于G, 延长PB交DA的延长线于F.设OP=x, 则PC=4−x.∵AF∥OP,∴∠F=∠BPO，∠FAB=∠BOP，∴△FBA∽△PBO,∴FAOP =ABOB=2，∴AF=2x,∵∠EPC+∠OPB=90°,∠EPC′+∠C′PF=90°∵∠EPC=∠EPC′，∴∠C′PF=∠OPB，∵∠OPB=∠F,∴∠F=∠C′PF，∴C′F=C′P=PC=8−x,∴AC′=8−3x，∴C′D=3x，∴PG=PC−CG=8−4x,在Rt△EBC′中,∵C′P2=PG2+C′G2，∴(8−x)2=(8−4x)2+62,解得x=65或x=2,∴P(65，0) 或(2,0).故答案为：(65，0) 或(2,0)；（3）如图3中,∵OB=2,∠POB=90°,∠OPB=60°,∴∠PBO=30°,∴OP=OB⋅tan30°=2√33，PB=2OP=4√33，∵∠BPQ=90°,∴∠QPC=30°,∵∠PBQ=∠ECP=90°,∴当∠PE1B=30°时, 以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似,∴PE1=√3PB=4,∴E1C=12PE1=2,PC=2√3∴OC=8√33,∴E1(8√33，2)，当∠PBE2=30°时, 以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似,，同法可得E2(4√33，23).当∠PE3B=30°时, 以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似,同法可得E3(−4√33，−2).当∠PBE4=30°时, 以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似,同法可得E4(0，−23).综上所述，满足条件的点E的坐标为(8√33，2)或(4√33，23)或(−4√33，−2)或(0，−23).13．（23·24·全国·专题练习）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A′处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B′处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE的值；（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD=10,AE=6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+53EF的值．【思路点拨】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得A′B=2，设AE=A′E=x则BE=AB−AE=6−x，Rt△A′BE中利用勾股定理求得x=103，则AE=103，BE=6−103=83，进而求解即可；（2）由矩形的性质和翻折性质得到∠EBC=∠BDA，证明△EBC∽△BDA，利用相似三角形的性质求得BC= 4，则BD=10，在Rt△ABD中，利用勾股定理求得AD=8，进而求得BC=8,CE=3可求解；（3）证明△AEF∽△ADC得到CD=53EF，则BD+53EF=BD+CD=BC；设EF=3k，CD=5k，过点D作DH⊥AC于H，证明△CHD≌△FHD(ASA)得到DF=CD=5k，在Rt△EFD中，由勾股定理解得k=1，进而可求得AC=5√5．过B作BG⊥AC于G，证明∠CBG=∠CDH=∠DAC，则sin∠CBG=sin∠DAC=√55，cos∠CBG=cos∠DAC=2√55，再证明AG=BG，在Rt△BCG中利用锐角三角函数和AG+CG=BG+CG= AC，求得BC，即可求解．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10,CD=AB=6,∠A=∠B=∠C=90°，由翻折性质得AD=A′D=10,AE=A′E，在Rt△A′CD中，A′C=√A′D2−CD2=√102−62=8，∴A′B=BC−AC=2，。
九下几何知识点总结
九下几何知识点总结在九年级下册几何中，学生将学习一系列重要的几何知识点，这些知识将帮助他们更好地理解和应用几何学的概念和方法。
本文将对九年级下册几何知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
1. 圆的性质在九年级下册几何中，学生将学习圆的性质。
圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质。
在学习圆的性质时，学生将学习到圆的直径、半径、圆心、弦、切线等概念。
他们将学会如何计算圆的周长和面积，以及如何求解与圆相关的各种问题。
2. 圆的相交在九年级下册几何中，学生还将学习两个或多个圆相交的情况。
他们将学会如何判定两个或多个圆是否相交，以及如何计算两个或多个相交圆的交点和共切线等相关问题。
学生还将学会如何利用相交圆的性质解决与相交圆相关的各种问题。
3. 圆锥和圆柱在九年级下册几何中，学生将学习圆锥和圆柱的相关知识。
他们将学会计算圆锥和圆柱的体积和表面积，并学会如何应用这些知识解决与圆锥和圆柱相关的问题。
4. 三角形的性质在九年级下册几何中，学生将继续学习三角形的性质。
他们将学会计算三角形的周长和面积，并学会如何利用三角形的性质解决与三角形相关的各种问题。
学生还将学会使用勾股定理、正弦定理和余弦定理等方法计算和证明三角形的各种性质。
5. 直角三角形在九年级下册几何中，学生将学习直角三角形及其性质。
他们将学会如何计算直角三角形的各种性质，并学会如何应用直角三角形的性质解决与直角三角形相关的各种问题。
6. 平行线和相似三角形在九年级下册几何中，学生将学习平行线和相似三角形的相关知识。
他们将学会如何判定两条直线是否平行，以及如何利用平行线的性质解决与平行线相关的各种问题。
学生还将学会如何判定两个三角形是否相似，以及如何利用相似三角形的性质解决与相似三角形相关的各种问题。
7. 圆锥曲线在九年级下册几何中，学生还将学习圆锥曲线的相关知识。
他们将学会如何绘制和分析椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线，并学会如何利用圆锥曲线的性质解决与圆锥曲线相关的各种问题。
人教课标版九年级数学(下册)专题六《几何综合探究题》PPT课件
7、(2017·安徽)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.
（1）如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分
别与边BC,CD交于点E,F. ① 证明:BE=CF; ② 求证:BE2=BC·CE. （2）如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于
数学 专题六 几何综合探究题
几何综合探究题 是指以几何知识为主
或以几何变换为主的一类综合题，涉及知识主 要包括几何的定义、公理、定理以及几何变换 等内容．
解题策略：解决几何型综合题的关键是把 代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有 机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决 问题的目的．
几何综合探究题型连续5年作为安徽中考 压轴题.主要涉及利用三角形相似或全等的判定 及性质进行相关的探究与证明、三角形和四边 形的综合探究与证明(常涉及线段的数量和位置 关系、求线段长、特殊图形的判定等),这是安徽 中考对几何推理与证明能力考查的必然体现.把 观察、操作、证明融于一体,展示了数学探究的 过程和方法,体现了对数学活动经验的关注,也体 现了对培养学生发现和提出问题、分析和解决 问题能力的关注.预计2018年仍会考查与全等或 相似三角形有关的探究.（命题预测）
例题 、 如图示，已； 知CD是RtΔABC的斜 边AB上的高．
求证：（1）AC2 AD AB
变式一：变换结论（挖掘或推广结论）
1、如图示，已知CD是RtΔABC的斜边AB上 的高． 求证 ：（2）CD2 AD BD
（3）BC2 BD BA
变式二：弱化条件 ； （减少条件，一般化条件，部分开放条件）
1．（08安徽中招20T，本题12分）如图四边形ABCD 和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点， BR分别交AC、CD于点P、Q。 （1）请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)； （2）求BP∶PQ∶QR
九年级下册数学几何图形知识点
九年级下册数学几何图形知识点数学几何是高中数学中的一块重要内容，也是九年级下册的数学知识点之一。
掌握好几何图形的性质和应用，对于学习高中数学以及之后的相关学科都有着重要的作用。
本文将介绍九年级下册数学几何图形的主要知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 点、线和面的关系在几何学中，点、线和面是最基本的概念。
点是没有长度、宽度和高度的，是几何图形的基本元素；线是由无数个点连在一起形成的，只有长度没有宽度；而面则由无数条线组成，有长度和宽度。
在空间中，点确定一条线，线确定一个面，而面又可以由不同的线相交形成不同的图形。
2. 三角形的分类与性质三角形是几何图形中非常常见的一种形状，也是九年级学习的重点。
根据角度和边长的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三个边长相等，三个角也都相等；等腰三角形的两边相等，两个角也相等；普通三角形则没有两边或两个角相等的性质。
3. 四边形的性质与分类四边形是由四条线段围成的图形，包括矩形、正方形、平行四边形等。
矩形的四个角都是直角，对边相等；正方形是矩形的一种特殊情况，四边和四个角都相等；平行四边形的对边平行，对边相等。
4. 圆的性质与相关概念圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
圆的重要性质包括半径、直径、弧和圆心角。
半径是连接圆心和圆上任一点的线段，直径是过圆心的一条线段，弧是圆上两点之间的一段曲线，而圆心角则是以圆心为顶点的角。
圆的周长的计算公式是2πr，面积的计算公式是πr²。
5. 直线、平面的位置关系在几何学中，直线和平面是两个基本概念，它们之间有着复杂的位置关系。
直线与平面只能有三种关系，要么直线在平面内，要么直线与平面相交，要么直线平行于平面。
直线和平面的位置关系在解题中常常需要通过观察和分析图形来判断。
通过学习以上几何图形的知识点，同学们可以进一步了解几何形状的性质和应用，能够更好地解决与几何相关的问题。
数学九年级下册知识点几何
数学九年级下册知识点几何几何是数学中的一个重要分支，它研究物体的形状、大小以及它们之间的关系。
在九年级下册的数学中，我们将学习一些重要的几何知识点。
本文将对这些知识点进行简要介绍。
1. 点、线、面在几何学中，我们首先需要了解的是点、线和面的概念。
点是几何中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。
线由无数个点连成，在几何中用直线表示。
面是由无数个点和线围成的，是二维的。
2. 角的概念角是由两条射线共享一个端点所形成的图形。
角可以分为锐角（小于90度）、直角（等于90度）和钝角（大于90度）三种类型。
我们可以用度数来度量角的大小。
3. 三角形三角形是由三条线段组成的多边形，它是几何学中最简单的多边形之一。
三角形的内角之和等于180度。
根据三条边的长度，我们可以将三角形分类为等边三角形（三条边相等）、等腰三角形（两条边相等）和普通三角形。
4. 直线和平行线直线是不弯曲的无限延伸的路径。
平行线是永远不相交的直线，在同一个平面上，它们的方向始终相同，但是不会相交。
5. 矩形和正方形矩形是四边形的一种，它的对边相等且平行，对角线相等且垂直。
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且四个角都是直角。
6. 圆和圆心圆是由等距离于圆心的所有点组成的图形。
圆心是圆的中心点，半径是由圆心到圆上任意一点的距离。
7. 投影定理投影定理是几何学中的重要定理之一。
它指出对于两个相似的三角形，它们的对应边成比例。
8. 相似三角形相似三角形是指具有相同的形状但是大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边成比例。
9. 圆的周长和面积圆的周长是圆上的一条线段，它的长度等于圆的周长。
圆的面积是圆内部的区域，可以用公式πr^2计算，其中r是圆的半径。
10. 三角形的周长和面积三角形的周长是三条边的长度之和。
三角形的面积可以使用海伦公式或底边高公式来计算，具体公式可以根据三角形的类型来确定。
以上是九年级下册数学中的一些几何知识点的简要介绍。
九年级数学下册高频考点小专题二反比例函数与几何图形
人生若只如初见 任你方便时来 随你心性而去 却为何，有人
为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
晨起凭栏眺 但见云卷云舒
风月乍起
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春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标； (2)若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； (3)若反比例函数y＝(x＞0)的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
参考答案
1．B 2.C 3.A 4.过C点作CE⊥BD于E.∵三角形OBA为等腰直角三角形，∠OBA＝90°，∴OB ＝AB.设A(a，a)，∴a·a＝4，∴a＝2或a＝－2(舍去)，即OB＝2.又∵△CBD为等腰直角三角形， ∠BCD＝90°，∴CE＝BE＝DE.设CE＝b，则OE＝b＋2，OD＝2＋2b，∴C点坐标为(b＋2，b)．∴(b ＋2)·b＝4.解得b＝－1或b＝－－1(舍去)．∴OD＝2.∴点D的坐标为(2，0)． 5.(1)k＝2.(2)∵ * OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，∴C′点坐标是(－1，－2)．∵k＝2，∴反比例函数解析式 为y＝.把C′点坐标(－1，－2)代入函数解析式得：y＝＝－2.∴点C′在反比例函数y＝的图象 上． 6.(1)△P1OA1的面积将逐渐减小．(2)作P1C⊥OA1，垂足为C.∵△P1OA1为等边三角形，∴OC ＝1，P1C＝，∴P1(1，)．代入y＝，得k＝.∴反比例函数的解析式为y＝.作P2D⊥A1A2，垂足为D. 设A1D＝a，则OD＝2＋a，P2D＝a，OA2＝2＋2a，∴P2(2＋a，a)，A2(2＋2a，0)．代入y＝，得(2 ＋a)·a＝，化简得a2＋2a－1＝0，解得a＝－1±.∵a＞0，∴a＝－1＋.∴点A2的坐标为(2，0)．
九年级下册数学几何知识点
九年级下册数学几何知识点几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间中的形状、大小和位置关系等，对于培养学生的空间想象力和逻辑思维能力具有重要意义。
在九年级下册的数学学习中，几何知识点是一个重要的内容。
本文将为大家总结九年级下册数学几何知识点，帮助同学们更好地掌握相关知识。
一、三角形的性质三角形是几何学研究中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质。
在九年级下册中，我们需要掌握以下几个重要的三角形性质：1. 三角形内角和定理：任意三角形内角的和等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形外角和定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和，即∠D=∠A+∠B。
3. 三角形的中线定理：三角形内任意一条中线，将三角形分成两个面积相等的小三角形，并且中线的长度等于被分割的两边长度的一半。
4. 三角形的高线定理：三角形内任意一条高线，将三角形分成两个面积相等的小三角形，并且高线的长度等于被分割的两边长度的一部分。
5. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在九年级下册的数学学习中，我们需要掌握以下相似三角形相关知识点：1. 相似三角形的判定：两个三角形的对应角相等，则它们是相似的；或者两个三角形的对应边成比例，则它们是相似的。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，即若∠A≅∠D，则AB/DE=AC/DF=BC/EF。
三、平行线和比例定理平行线和比例定理是几何学中的重要概念和定理，具有广泛的应用。
在九年级下册的数学学习中，我们需要掌握以下平行线和比例定理的相关知识点：1. 平行线的判定：两条直线的对应角相等，则它们是平行的。
2. 平行线的性质：平行线之间的任意一对对应角相等；平行线切割的两个平行线的相交线段成比例。
3. 相关定理：如果一条直线被两条平行线切割，那么这两条平行线上的对应线段成比例（平行线分线段）。
浙教版初中数学九年级下册专题50题(含答案)
浙教版初中数学九年级下册专题50题含答案一、单选题1．下列几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．250 ，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．3．下列四个几何体中，主视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝125，则cosB的值为（）A．1213B．512C．125D．5135．这是由5个小正方体搭成的几何体，从以下方向看这个几何体看到的图形形状相同的是（）A．正面和上面B．正面和左面C．左面和上面D．正面、左面和上面6．如图，在Rt ABC中，斜边AB m=，A32∠=，则直角边BC的长为()A．msin32B．ncos32C．msin32D．mcos327．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当时，点在圆上B．当时，点在圆内；C．当时，点在圆外D．当时，点在圆内．9）A．B．C．D．10．在Rt ABC∆中，90︒∠=C，若三角形各边同时扩大三倍，则tan A的值（）A．扩大为原来的3倍B．不变C．缩小为原来的13D．不确定11．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．正方体B．圆锥C．三棱柱D．四棱柱12．下列几何体的主视图与其他三个不同的是（）A．B．C．D．13．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）.A．内切B．相交C．外切D．外离14．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（）A．15πB．30πC．45πD．60π15．如图，在平面直角坐标系中，Rt∠OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，点C的坐标为（12，0），点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为（）A B C D．16．如图，AB是∠O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC∠AB交∠O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ∠AB交∠O于点D，点C，D位于AB 两侧，连结CD交AB于点E，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大17．如图的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．18．如图，点D、E分别是O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若O 的半径为2，则DE的长等于()B C．1DA19．如图，在锐角∠ABC中，∠B＝60°，AD∠BC，AD＝3，AC＝5，则BC的长为()B．7C．5.5D．4＋A．4∠∠DFP∠∠BPH；∠DP2=PH·PC；∠若AB=2，则S△BPD1；其中正确的是（）A ．∠∠∠∠B ．∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠二、填空题21．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（ ）A ．8πB ．16πC ．D ．4π22．ABC 中，若sin A ，tan B ∠C =_______．23．小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算tan 22.5︒时，如图，在Rt ACB 中，9045C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，所以tan 22.51AC CD ︒====，类比小明的方法，计算tan15︒的值为________．24．某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37︒减至30︒，已知原楼梯长为5米，则调整后的楼梯会加长________________米．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）25．一般地，用光线照射物体，在某个平面 （地面、墙壁等） 上得到的影子叫做物体的________．照射光线叫做________，投影所在的平面叫做________．26．在Rt ACB △中，斜边13cm AB =，直角边5cm AC =，以直线AB 为轴旋转1周形成纺锤形，则这个纺锤形的表面积为____________．27．如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是______．28．如图1，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体，右侧方格中分别画出了几何体的视图．按所画的视图，最多还能在图1中添加__________个小正方体．29．如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为1:2.4i=，它把物品从地面A送到离地面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为______．30．如图,AB是∠O的直径,C、D是圆上的两点.若BC=8,2cos3D=,则AB的长为________.31．如图，∠ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分别是BC、AC边上的动点，且∠ADE＝∠ABC，连接BE，则∠AEB的面积的最小值为_______．32．如图，在正方形ABCD中，AD=BC绕点B逆时针旋转30︒得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则CE的长为______．33．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．34．如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥，2BE =，3cos 5A =，则菱形的周长为 _____．35．半径为4cm 的圆内正六边形的边心距是______cm ． 36．如图， 在矩形纸片ABCD 中，24==AD AB ，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点， 点E ，F 分别在AB ，CD 上， 且AE CF =.将AEM ∆沿EM 折叠， 点A 的对应点为点P ，将NCF ∆沿NF 折叠， 点C 的对应点为点Q ，当四边形PMQN 为菱形时， 则AE =_______．37．某数学课外活动小组想利用树影测量树高,他们在同一时刻测得一身高为1.5 m 的同学的影长为1.35 m,由于大树靠近一幢建筑物,因此树影的一部分落在建筑物上,如图所示,他们测得地面部分的影长为3.6 m,建筑物上的影长为1.8 m,则树的高度为________.38．如图，在平面直角坐标系中，130,MOA ︒∠=1122233341,,A n n n A B B A B B A B B B B +△△△……△都是等边三角形，点123,,?··n A A A A 在轴上，点1231,,n B B B B +……在OM 上，1223341//////n n A B A B A B A B y +……轴，1OA =n 个等边1n n n A B B +△的面积是__________．39．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为____．40．如图，半径为2的∠O 与直线l 相切于点A ，P 是∠O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ∠l ，垂足为B ，连接P A ．设P A =x ，PB =y ，则（x -y ）的最大值是________．三、解答题41．(1)计算：6sin60°+(π0﹣|﹣2|；(2)化简：(2x﹣3y)2﹣(2x+y)(2x﹣y).42．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），点C在y轴的正半轴上，且CO＝4OA，CM是∠ABC的中线．（1）求直线CM的表达式；（2）点Q是射线CM上的一个动点，当∠QMB与∠COM相似时，求点Q的坐标．43．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米？44．如图，如图，△ABC中，点O是边AB上任意一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AC于E，交AB交于D，给出下列信息：∠∠C＝90°；∠∠BDF＝∠F；∠AC是∠O 的切线；（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．（2）如果CF＝1，sin A=35，求∠O的半径．45．（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°|1（2）解方程：x2﹣5x+4＝0．46．如图，已知ABC 是等边三角形，以AB 为直径作O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE AC ⊥于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若ABC 的边长为4，求EF 的长度． 47．计算：48．已知二次函数21342y x x =-+.（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M ，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，连结AC 、BC,若∠ACB =90°. ∠求此时抛物线的解析式；∠以AB 为直径作圆，试判断直线CM 与此圆的位置关系，并说明理由.49．如图，正方形ABCD 中，G 是BC 中点，DE∠AG 于E ，BF∠AG 于F ，GN∠DE ，M 是BC 延长线上一点． （1）求证：∠ABF∠∠DAE（2）尺规作图：作∠DCM 的平分线，交GN 于点H （保留作图痕迹，不写作法和证明），试证明GH=AG ．50．如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E为对角线AC上的动点，EF∠DE交BC 边于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）当AE＝2时，求EDEF_______；（2）点H在AD上且HD＝3，连接HG，则HG的取值范围是_______．参考答案：1．B【分析】根据主视图是从正面看看到的图形进行逐一判断即可．【详解】解：A、正方体从正面看看到的图形是正方形，不是三角形，不符合题意；B、圆锥从正面看看到的图形是三角形，符合题意；C、圆柱从正面看看到的图形是长方形，不是三角形，不符合题意；D、长方体从正面看看到的图形是长方形，不是三角形，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了简单几何图的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．2．A【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R-CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M-为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【详解】解：利用该型号计算器计算2sin50°，按键顺序正确的是．故选：A．【点睛】本题主要考查了利用计算器求数的开方，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．3．D【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：A、B、C三种几何体的主视图是D几何体的主视图是故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．A【分析】根据正切的定义有tan A125BCAC==，可设BC=12x，则AC=5x，根据勾股定理可计算出AB=12x，然后根据余弦的定义得到cos BBCAB=，代入可得结论．【详解】如图，∠∠C=90°，tan A125 =，∠tan A125 BCAC==．设BC=12x，则AC=5x，∠AB===13x，∠cos B12121313 BC xAB x===．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．5．B【分析】先确定三视图的形状，再根据图形的形状确定是否相同即可．【详解】解：从正面看得到的图形是两列，左边列3个正方形，右边列1个正方形，从左面看得到的图形是两列，左边列3个正方形，右边列1个正方形，从上面看得到的图形是两列，左边列2个正方形，右边列1个正方形，∠三视图中主视图与左视图得到的图形形状相同．故选B．【点睛】本题考查组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．6．A【分析】根据正弦的定义解答．【详解】在Rt ABC中，BC sinAAB=，则BC AB sinA msin32=⋅=，故选A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做A∠的正弦是解题的关键．7．C【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，设圆心角的度数是n度，则3180nπ⨯=2π，解得：n=120．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．B【详解】如图：∠A （1，0），∠A 的半径是2，∠AC=AE=2，∠OE=1，OC=3，A 、当a=-1时，点B 在E 上，即B 在∠A 上，故本选项错误；B 、当a=-3时，B 在∠A 外，即说当a ＜1时，点B 在圆A 内错误，故本选项正确；C 、当a ＜-1时，AB ＞2，即说点B 在圆A 外正确，故本选项错误；D 、当-1＜a ＜3时，B 在∠A 内正确，故本选项错误；故选B ．9．B【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【详解】解：如图，连接O A 、OB ；过点O 作OG ∠AB 于点G ．在Rt △AOG 中，OG∠AOG =30°，∠OA=2，∠这个正六边形的面积=6S △OAB =1622⨯⨯= 故选：B ．【点睛】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．10．B【分析】三角函数值的大小只跟角的大小有关,，当角度一定时，其三角函数值不变.【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知若各边长都扩大三倍，则tan A 的值不变． 故选B ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义.根据锐角A 的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可直接得到答案.11．C【分析】根据三棱柱的三视图解题．【详解】直三棱柱的主视图是三角形，左视图是矩形，俯视图是一个矩形，且矩形的中间有一条实线，故C 选项符合题意，选项A 、B 、D 均不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 12．C【详解】试题分析：根据几何体的三视图可知，A 、B 、D 的主视图都是下面有3个小正方形，上面中间有1个小正方形，而C 图的主视图上面有2个小正方形，与其他三个不同． 故选C ．考点：几何体的三视图．13．B【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则d ＞R ＋r ；外切，则d ＝R ＋r ；相交，则R−r ＜d ＜R ＋r ；内切，则d ＝R−r ；内含，则d ＜R−r ．（d 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径）．【详解】根据题意，得R ＋r ＝5＋3＝8，R−r ＝5−3＝2，圆心距＝7，∠2＜7＜8，∠两圆相交．故选：B ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．D 【分析】圆锥的侧面积：122S r l rl ππ=⋅⋅=，求出圆锥的母线l 即可解决问题．【详解】解：圆锥的母线10l =，∠圆锥的侧面积10660ππ=⨯⨯=，故选D ．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．15．B【分析】作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ∠OA 于N ，则此时P A +PC 的值最小，根据锐角三角函数可得∠B =60°，再由勾股定理可求出AM =32，再根据直角三角形的性质可得AN =12AD =32，从而得到DN CN =1，即可求解，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．【详解】解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ∠OA 于N ，则此时P A +PC 的值最小，根据题意得：DP =P A ，AD ∠OB ，∠P A +PC =PD +PC =CD ，∠B （3，∠OAB =90°，∠ABOA =3，∠tan AB AOB OA ∠==， ∠∠B =60°，由勾股定理得：OB∠12×OA ×AB =12×OB ×AM ，∠AM =32， ∠AD =2×32=3， ∠∠AMB =90°，∠B =60°，∠∠BAM =30°，∠∠BAO =90°，∠∠OAM=60°，∠DN∠OA，∠∠NDA=30°，∠AN=12AD=32，由勾股定理得：DN∠C（12，0），∠CN=3﹣12﹣32=1，在Rt∠DNC中，由勾股定理得：DC=即P A+PC故选：B【点睛】本题主要考查了坐标与图形，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．B【分析】连接OC，OD，PD，CQ.设PC=x，OP=y.延长CP与圆交于点F，证∠FOD为直角，得到∠PCE=45°，可得△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=0D2÷2=12.5，即可判断，【详解】解：连接OC，OD，PD，CQ.设PC=x，OP=y.延长CP与圆交于点F，∠PC∠AB，QD∠AB，∠∠CPO=∠OQD=90°，∠PC=OQ，OC=OD，∠Rt△OPC∠Rt△DQO，∠Rt△OPC∠Rt△DQ0，∠∠FOD=90°，∠∠PCE=45°，∠OP=DQ=y，∠△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=0D2÷2=12.5.故选B.【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 17．C【分析】安装几何体三视图进行判断即可；【详解】解：本几何体的俯视图是后排有三个，前排有两个，即答案为C.【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握是从物体正面、左面和上面看物体以及较好的空间思维能力是解答本题的关键.18．A【分析】连接BO 并延长交∠O 于F ，连接CF ，则BF 为∠O 的直径，证∠BCF =90°，∠F =∠A =60°，求出BF =4，BC =DE =12BC 【详解】解：连接BO 并延长交∠O 于F ，连接CF ，则BF 为∠O 的直径，∠∠BCF =90°，∠∠ABC 是等边三角形，∠∠A =60°，∠∠F =∠A =60°，∠∠O 的半径为2，∠BF =4，∠BC =∠点D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，∠DE =12BC故选A【点睛】本题考核知识点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的性质;3．三角形中位线定理．解题关键点：理解相关知识点.19．A【详解】∠AD∠BC 于点D ，∠∠ADB=∠ADC=90°，∠∠B=60°，AD=3，AC=5，∠tanB=AD BD=4，∠BD=3=∠BC=BD+CD=4故选A.20．A【分析】由等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF=30°，即可判断∠；利用角的和差关系，根据两角对应相等，得到∠DFP∠∠BPH ，可以判断∠；由相似三角形的性质，得到DP PH PC DP=，即可判断∠；先得到PM 和PN 的长度，由面积的割补法，即可求出面积，可对∠进行判断；即可得到答案.【详解】解：∠∠BPC 是等边三角形，∠BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD 中，∠AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∠∠ABE=∠DCF=30°，∠BE=2AE ；故∠正确；∠PC=CD ，∠PCD=30°，∠∠PDC=75°，∠∠FDP=15°，∠∠DBA=45°，∠∠PBD=15°，∠∠FDP=∠PBD ，∠∠DFP=∠BPC=60°，∠∠DFP∠∠BPH ；故∠正确；∠∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC ，∠∠DPH∠∠CPD ， ∠DP PH PC DP=， ∠DP 2=PH•PC ，故∠正确；如图，过P 作PM∠CD ，PN∠BC ，∠正方形的边长AB=2，∠BPC 为正三角形，∠∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=2，∠∠PCD=30°，PM=PC•sin30°=1， ∠S △BPD =S 四边形PBCD -S △BCD =S △PBC +S △PDC -S △BCD∠11122122121222BPD S ∆=⨯⨯⨯-⨯⨯=-=；故∠正确； ∠正确的结论有：∠∠∠∠；故选：A.【点睛】本题考查的解直角三角形，特殊角的三角函数，正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．21．A【详解】解：圆锥的侧面积=底面周长×母线长故选A ．22．105°【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出∠A 、∠B 的度数，然后根据三角形的内角和定理求出∠C 的度数．【详解】解：∠sin A =tan B =，∠45A ∠=︒，30B ∠=︒，∠180A B C ∠+∠+∠=︒，∠1801804530105C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为105︒．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键．23．2【分析】仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可．【详解】解：如图，在Rt ACB 中，9030C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，∠∠BAD =∠D ，2AB BD AC ==，∠cos BC AC ABC =⋅∠，∠(2CD BC BD AC =+=，∠∠ABC =∠BAD +∠D ，∠=15D ︒∠，∠tan =tan15=AC D CD ︒∠故答案为：2．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意构造出含15度角的直角三角形是解题的关键．24．1【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化． 【详解】解：由题意得：sin 375h ︒=，∠3535h =⨯=， ∠调整后的楼梯长36sin 30==︒， ∠调整后的楼梯会加长：651m -=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键．25． 投影 投影线 投影面【解析】略26．21020cm 13π 【分析】根据勾股定理求出BC 的长，利用等积法求出斜边AB 上的高，即圆锥底面圆的半径，进而根据纺锤形的表面积是两个圆锥的侧面积之和求出答案即可．【详解】解：∠Rt ACB △中，斜边13cm AB =，直角边5cm AC =，∠12(cm)BC =，∠Rt ACB △斜边AB 上的高为51260=(cm)1313⨯， 以直线AB 为轴旋转1周形成纺锤形是由两个同底的圆锥组成的几何体，底面圆周长为601202=π(cm)1313π⨯， ∠纺锤形的表面积为()()211201020ππ512cm 21313=⨯⨯+=， 故答案为：21020πcm 13【点睛】此题考查了圆锥的侧面积，勾股定理等知识，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．27．8【分析】在俯视图上摆小立方体，确定每个位置上最多可摆小立方体的个数，即可得出答案．【详解】解：在俯视图标出相应位置上最多可摆小立方体的个数，如图：∠搭成这个几何体的小正方体的个数最多是8．【点睛】本题考查了由简单的组合图形的三视图推测小立方体的个数，解题关键是根据三视图的特点，在俯视图上摆小立方体，确定每个位置上最多可摆小立方体的个数．28．5【分析】根据几何体的三视图进行判断即可．【详解】根据几何体的三视图可得第一层最多可以添加4个小正方体第二层最多可以添加1个小正方体第三层最多可以添加0个小正方体故最多还能在图1中添加5个小正方体故答案为：5．【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．29．13m##13米【分析】根据坡度的概念求出AF，然后根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，过B作BF∠AF于F，由题意得，BF＝5米，∠斜坡的坡度i＝1∠2.4，∠BFAF＝12.4，即512.4AF=，解得：AF＝12（米），由勾股定理得，AB13（米）．故答案是：13米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角三角形的问题成为解答本题的关键．30．12【分析】连接AC，先根据圆周角定理得到∠B=∠D，然后根据锐角三角函数求出AB的长度．【详解】连接AC，根据圆周角定理可知：∠B=∠D，∠AB是直径，∠∠ACB是直角，∠cos∠B=BCAB=cos∠D=23，∠BC=8，∠AB=12，故答案为：12.【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.31【分析】过点A作AH∠BC于H，过点E作EK∠BA交BA的延长线于K．设AE=y，BD=x．利用相似三角形的性质求出y的最小值，可得结论．【详解】解：过点A作AH∠BC于H，过点E作EK∠BA交BA的延长线于K．设AE=y，BD=x．∠AB=AC=2，AH∠BC，∠BAC=120°，∠BH=CH，∠BAH=∠CAH=60°，∠BH=CH=AB∠BC =2BH∠CDx ，EC =2-y ，在Rt △AEK 中，EK =AE ，∠S △ABE =12AB •EK =12， ∠∠ADC =∠ADE +∠EDC =∠ABC +∠DAB ，∠ADE =∠ABD ，∠∠EDC =∠DAB ，∠∠C =∠ABD ，∠∠ADB ∠∠DEC ， ∠AB DB DC EC=，2x y=-，整理得y =12x 2+2=12（x 2+12， ∠12＞0， ∠xy 的值最小，最小值为12，∠∠ABE 的面积的最小值【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．32．2【分析】由旋转的旋转得到30,,CBP BC BP ∠=︒=结合正方形的性质证明ABP 为等边三角形，求解30,DAE ∠=︒ 利用锐角三角函数求解,DE 从而可得答案．【详解】解：由旋转得：30,,CBP BC BP ∠=︒=正方形ABCD ，90,AB BC AD CD ABC BAD ADC ∴====∠=∠=∠=︒,60,AB BP ABP ∴=∠=︒ABP ∴为等边三角形，60,BAP ∴∠=︒30,DAE ∴∠=︒tan ,DE DAE AD∠== 2,DE ∴=2.CE DC DE ∴=-=故答案为： 2.【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．33．48【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl 代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl ，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π， 故60π=π×10×r ，解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高∠圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∠它的面积=1128=482⨯⨯， 故答案为：48【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．34．20【分析】根据菱形的性质可得AB BC CD AD ===，结合3cos 5AE A AD ==，设3AE k =，则5AD k =，再建立方程求解k 的值，从而可得答案．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB BC CD AD ===，∠DE AB ⊥，∠90DEA ∠=︒， ∠3cos 5AE A AD ==， 设3AE k =，则5AD k =，∠5322BE k k k =-==，∠1k =，∠5AD =，∠菱形的周长44520AD ==⨯=，故答案为：20．【点睛】本题考查的是菱形的性质，锐角三角函数的应用，熟记锐角的余弦的定义，并灵活应用是解本题的关键．35．【分析】求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等边三角形，于是可得到正六边形的边长，再根据等边三角形的性质和锐角三角函数的定义解答即可．【详解】如图所示，连接OA ，OB ，∠多边形为正六边形， ∠∠AOB=3606=60°， 又∠OA=OB ，∠∠AOB 是等边三角形，∠AB=OA=4．过O 作OE∠AB 于E ；∠∠AOB 是等边三角形， ∠12,302AE AB AOE ==∠=，tan 3203AE OE ∴===故答案为：【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键．36．4【分析】连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于H，延长QP交AB于G．解直角三角形求出AG，EG即可解决问题．【详解】如图，连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于H，延长QP交AB于G．∠四边形PNQM是菱形，∠MN∠PQ，∠点M、N分别是AD、BC的中点，∠AM=BN，又∠矩形ABCD中，AM∠BN，∠A=90°，∠四边形AMNB是矩形，∠∠AMN=90°∠PQ∠AD∠BC，∠AG=DK=OM=12AB=14AD=1，∠PM=AM=2，∠sin∠MPO=12，∠∠MPO=30°，∠∠EPM=90°，∠∠EPG=90°-30°=60°∠OG=2，，∠AE=AG-EG=1-（）故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．37．5.8m【分析】根据同一时刻影长与物长的比值相等即可解题.【详解】解：如下图,延长光线交地面与点C, 由题可知：AB BC =1.51.35,∠AB=1.8, ∠BC=1.62,∠如果没有建筑物遮挡,树的影长为3.6+1.62=5.22米,∠树高：5.22=1.5:1.35,∠树高=5.8米【点睛】本题考查了平行投影的实际应用,属于简单题,熟练应用平行投影的概念是解题关键.38．4n -【分析】利用三角函数求出12A B =2，得到112A B B S △=21211s 60422A B in ⨯⋅=22322311=s 601622A B B in S A B =⋅⨯=△33423411=s 6064422A B B i S A B n ⋅=⨯=△. 【详解】∠12A B ∠y 轴，∠∠O 12A B =90°，∠130,MOA ︒∠=1OA =∠12A B =2，∠112A B B S △=21211s 60422A B in ⨯⋅==， ∠∠22OA B =90°-∠223B A B =30°=1MOA ∠，∠22223OB A B B B ==，121A A OA =∠ 2OA 23A B =4，∠ 22322311=s 601622A B B in S A B =⋅⨯=△同理：3348OA A B =，∠33423411=s 6064422A B B i S A B n ⋅=⨯=△ ，第n 个等边1n n n A B B +△的面积是4n -故答案为：4n -【点睛】此题考查图形类规律的探究，等边三角形的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，等腰三角形的等角对等边证明边相等，根据图形求出面积得到规律是解题的关键. 39．2【分析】以AB 为边向右作等边ABF △，作射线FQ 交AD 于点E ，过点D 作DH ∠QE 于点H ，证明△BAP△△F AQ ，由全等性质可以得到∠ABP =∠AFQ ，进一步解三角形求得AE 的值，判断出点Q 的运动轨迹是射线FE ，在∠DHE 中，当点Q 与点H 重合时，DH 的值最小，利用特殊角的锐角三角函数值求解即可．【详解】解：以AB 为边向右作等边ABF △，作射线FQ 交AD 于点E ，过点D 作DH ∠QE 于点H ，如下图：∠四边形ABCD 是矩形∠∠ABP =∠BAE =90∠∠ABF 和∠APQ 是等边三角形∠∠BAF =∠P AQ =60，BA =F A ，P A =QA∠∠BAP +∠P AF =∠P AF +∠F AQ∠∠BAP =∠F AQ在∠BAP 和∠F AQ 中，BA FA BAP FAQ PA QA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BAP FAQ ≅∠∠ABP =∠AFQ =90∠∠F AE =906030-=∠∠AEF =903060-=∠AB =AF =4∠4=cos303AF AE = ∠点Q 的运动轨迹是射线FE∠AD =BC =∠DE =AD -AE ∠DH ∠EF ，∠DEH =∠AEF =60∠43sin 6023DH DE ===由垂线段最短可知，当点Q 与点H 重合时，DH 的值最小，最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查三角形全等的性质和证明，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值计算等相关知识点，能够根据已知条件作出相关的辅助线是解题重点．40．1【分析】作直径AC ，连接CP ，得到∠APC ∠∠PBA ，得到AP AC PB PA =，得到214y x =，所以22211121444()x y x x x x x -=-=-+=--+，得到当2x =时，x y -有最大值是1． 【详解】解：如图，作直径AC ，连接CP ，∠AC 为直径，∠∠CP A =90°，∠AB 为切线，∠CA ∠AB ，又∠PB ∠l ，∠AC ∠PB ，∠△APC ∠△PBA ， ∠AP AC PB PA=， ∠P A =x ，PB =y ，r =2， ∠4x y x=， ∠214y x =， ∠22211121444()x y x x x x x -=-=-+=--+， ∠当2x =时，x y -有最大值是1，故答案为：1．【点睛】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．41．(1)-1；(2)10y 2﹣12xy ．【分析】（1）本题需根据零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再去括号合并同类项即可求解．【详解】(1) 6sin60°+(π0﹣|﹣2|＝612+- ＝﹣1；(2)(2x ﹣3y )2﹣(2x +y )(2x ﹣y )＝4x 2﹣12xy +9y 2﹣4x 2+y 2＝10y 2﹣12xy ．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值、完全平方公式、平方差公式、特殊角的三角函数值等考点的运算．42．（1）y ＝−2x ＋4；（2）（135，−65）或（5，−6） 【分析】（1）根据点A 、B 的坐标和CO ＝4OA 可以推知点C 的坐标，结合CM 是∠ABC 的中线求得点M 的坐标，利用待定系数法确定函数关系式；（2）求出OM 的长，再利用勾股定理列式求出CM ，令y ＝0，解关于x 的一元二次方程求出点B 的坐标，得到OB 的长度，再求出BM ，然后分：∠∠BQM ＝90°时，∠COM ∽∠BQM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ ，过点Q 作QD ∠x 轴于D ，解直角三角形求出BD 、QD ，然后求出OD ，从而写出点Q 的坐标；∠∠MBQ ＝90°时，∠COM ∽ ∠QBM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ ，再写出点Q 的坐标．【详解】解：（1）∠点A 的坐标分别为（−1，0），∠OA ＝1．又∠CO ＝4OA ，∠CO ＝4，则C （0，4）．又∠点B 的坐标为（5，0），CM 是∠ABC 的中线，∠M （2，0）．设直线CM 的表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0），则420b k b =⎧⎨+=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩，。
2025年冀教版九年级下册数学期末复习阶段拔尖专训3 分类讨论思想在圆中的应用类型
∵ ∠ = 45∘ ,∴ 点的横、纵坐
标相等.可设(, ).
∵ ∠ = 90∘ ,∴ 是直径.
∴ Rt△外接圆的圆心为的中
点.
设的中点为，则( 3, 1).
过点作 ⊥ 于点，过点作
//，交于点，连接.
∴ 点在以为圆心，半径为10 cm的圆上.
∴ 当，，三点在同一条直线上时，线
段有最值.
∴ 当点在⊙ 内时，的最小值
1 = − 1 = 12 − 10 = 2(cm)；
当点在⊙ 外时，的最大值
2 = + 2 = 12 + 10 = 22(cm).
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类型2 点在圆上的位置引发的分类讨论
2.如图，已知，两点的坐标分别为(2 3, 0)，(0,2)，是
△外接圆上的一点，且∠ = 45∘ ，求点的坐标.
【解】当点在第一象限时，如图
所示.
∵ ，两点的坐标分别为
(2 3, 0)，(0,2)，
∴ = 2， = 2 3.
半径为 3，点从点开始，在△的边
上沿 − − − 方向运动.
（1）⊙ 在从点出发至回到点的过程中，
6
与△的边相切了___次；
（2）当⊙ 与边相切时，求的长度.
【解】当⊙ 与边相切时，分点在边
上与在边上两种情况，如图所示：
当在边上，⊙ 与边相切时，设切点
∴ ∠′ = 30∘ .
∴ =
3
′
3
= 1. ∴ = − = 8 − 1 = 7.
∴ ′ = ′ 2 + 2 =
( 3)2 + 72 = 2 13.
综上所述，的长度为2或2 13.
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150502九年级下数学几何专题【题型一】考察概念基础知识点型例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为 。
例2 如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______．图1 图2 图3例3 （切线）已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ． 【题型二】折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。
例4（绍兴）D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD∠等于 。
例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（图5），则着色部分的面积为（ ）A ． 8B ．11C ． 4D ．52图4 图5 图3【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。
例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ）A.2235cm π-B 2435cm π-C 24235cm π- D 2232cm π-D CB A E F G 【题型四】证明题型：第二轮复习之几何（一）——三角形全等【判定方法1：SAS 】例1 （2011广州）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。
求证：△ACE ≌△ACF例2 （2010长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．【判定方法2：AAS （ASA ）】例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+．例4 （2011浙江台州）如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。
求证：△AEF ≌△CHG.ADF EB C【判定方法3：HL （专用于直角三角形）】例5 （ 2011重庆江津）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC上, 且AE=CF.(1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.对应练习1. （2011湖北宜昌）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.(1)证明：∠DFA = ∠FAB； (2)证明: △ABE≌△FCE.2.（2011贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，CDE ∆是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F .（1）求证:BCE ADE ∆≅∆；(5分) （2）求AFB ∠的度数.(5分) 3．（2010广东肇庆）如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 相交于F ．(1)求证：△CEB ≌△ADC ；(2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长．AB CEFBD F E第二轮复习之几何（二）——三角形相似Ⅰ.三角形相似的判定例1（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.例2（2011襄阳）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。
（1）求证：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度数；（3）当APAB的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．2.相似与圆结合，注意求证线段乘积，一般是转化证它所在的三角形相似。
将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似例3（2010•日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC 与D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB•CE．FEDCBA3.相似与三角函数结合，①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化，然后求线段的长度②求某个角的三角函数值，一般会先将这个角用等角转化，间接求三角函数值例4 （2011四川南充市）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=31,求tan∠EBC的值.星期六课外作业一、选择题1、如图1，将非等腰ABC△的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D 为AB边的中点，则下列结论：①BDF△是等腰三角形；②DFE CFE∠=∠；③DE 是ABC△的中位线，成立的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③图1 图22.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°3. （2011四川凉山州）如图3，在ABC△中，13AB AC==，10BC=，点D为BC的中点，DE DE AB⊥，垂足为点E，则DE等于（）A．1013B．1513C．6013D．7513MEDCBA图3 图4 图54. （2011四川南充市）如图4，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5. （2011山东济宁）如图5，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 6.（2009深圳）如图6，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC = 120°，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（） A.C. D. 图67.如图7，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点1A 处。
已知3=OA ，1=AB ，则点1A 的坐标是（ ）。
A 、（23，23） B 、（23，3） C 、（23，23） D 、（21，23） 三、解答题1如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE.求证：DF ＝DC ．GFE CBAD2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．3. （2011山东日照）如图9，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证： ME=BD ．4. （2011山东日照）如图5AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；（2）AC 2＝AB ·AD ．5．(2011遵义) 把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两点均在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。
（1）求证：△BHE ≌△DGF ；（2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。
AC BDPQAB DE F6．（2011四川内江）如图8，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将 一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合， 连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．第二轮复习之几何（三）——四边形例1 （2011广东）如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE。
已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F ，连结DF 。
（1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形。
例2 （2010安徽省中中考）如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC⑴求证：四边形BCEF 是菱形⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDEACDE例3 （2010·潼南中考）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一 点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长.例4 （2009崇左中考）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD BC ∥，AB DC =，2AD =，4BC =延长BC 到E ，使CE AD =． （1）证明：BAD DCE △≌△；（2）如果AC BD ⊥，求等腰梯形ABCD 的高DF的值．【对应练习】1.（2011海南) 如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且AP=BQ ． （1）求证：△BDQ ≌△ADP ；（2）已知AD=3，AP=2，求cos ∠BPQ 的值(结果保留根号)．D A BE2、（2009年新疆）如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．3．(2011肇庆) 如罔7，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，（1）求证：△BEC ≌△DEC ：（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．4. （2011河南）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长CB 到点E ，使BE =AD ，连接DE 交AB 于点M .（1）求证：△AMD ≌△BM E ；（2）若N 是CD 的中点，且M N=5，BE =2，求BC 的长.第二轮复习之几何（四）——圆Ⅰ、证线段相等例1：（2010年金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF =BF ；（2）若CD =6， AC =8，则⊙O 的半径为 ___ ，CE 的长是 ___ ．ABDEFCB2、证角度相等例2（2010株洲市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上一点，30ABC ∠=︒，过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：（1）CAB BOD ∠=∠；（2）ABC ∆≌ODB ∆．3、证切线点拨：证明切线的方法——连半径，证垂直。