高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-5-1

3.5 第1课时 二元一次不等式(组)所表示的平
面区域
基础巩固
一、选择题
1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞2
x －y ＋3＜0
表示的平面区域是( )
[答案] D
2．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )
[答案] B
3．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2：3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ≤5x ，y ∈N
*
B.⎩⎨⎧
50x ＋40y ≤2000
x y ＝23
C.⎩⎨
⎧
5x ＋4y ≤200x y ＝
23
x 、y ∈N
*
D.⎩⎨⎧
5x ＋6y ＜100x y ＝23
[答案] C
[解析] 因为请工匠每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2 000元，∴50x ＋40y ≤2 000即5x ＋4y ≤200.x 、y 表示人数∴x 、y ∈N *，∴答案为C.
4．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0
－1≤x ≤4表示的平面区域是( )
A ．两个三角形
B ．一个三角形
C ．梯形
D ．等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图，∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图A 所示的对角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图B.
5．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )
A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) [答案] B
[解析] ∵Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ＜0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点的集合．∴(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0∴－7＜a ＜24.
6．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0y ≥0
y －x ≤2
表示的平面区域，则当a 从－2
连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )
A.34 B ．1 C.7
4 D ．2 [答案] C
[解析] 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其
边界组成的图形，当α从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．
S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝7
4.
二、填空题
7．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为35
5，且P 在3x ＋y
－3＞0表示的区域内，则a ＝________.
[答案] 3
[解析] 由题意，得|1－2a ＋2|5
＝35
5，
∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示区域内， ∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 8．若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≤0y ≥a
0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，
则a 的取值范围是________．
[答案] [5,7)
[解析] 如图所示，由区域可知，若为三角形，则5≤a ≤7.
三、解答题
9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1＞0x ＋2y ＋1≥0
1＜|x －2|≤3
表示的平面区域．
[解析] 不等式x －2y ＋1＞0表示直线x －2y ＋1＝0右下方的点的集合；
不等式x ＋2y ＋1≥0表示直线x ＋2y ＋1＝0上及其右上方的点的集合；
不等式1＜|x －2|≤3可化为－1≤x ＜1或3＜x ≤5，它表示夹在两平行线x ＝－1和x ＝1之间或夹在两平行线x ＝3和x ＝5之间的带状区域，但不包括直线x ＝1和x ＝3上的点．所以，原不等式表示的区域如下图所示．
能力提升
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0x －1≤0
ax －y ＋1≥0，(a 为常
数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3 [答案] D
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1
x ＝1，得A (1，a ＋1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
x ＋y －1＝0，得B (1,0)， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1x ＋y －1＝0，得C (0,1)． ∵S △ABC ＝2，且a >－1， ∴S △ABC ＝1
2|a ＋1|＝2，∴a ＝3.
2．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0x ＋y －4≤0
x ≥0，y ≥0
表示的平面区域为A ，二
元一次不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤4
0≤y ≤5
2
表示的平面区域为B ，则A 与B 的关系
是( )
A ．A ⊆
B B ．B ⊆A
C ．B A
D ．A B
[答案] C
[解析] 画出平面区域A 、B 如图，可见A B .
二、填空题
3．已知集合A ＝{(x ，y )|x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|(y －x )(y ＋x )≤0}，M ＝A ∩B ，则M 的面积为________．
[答案] 1
[解析] 集合A 表示的平面区域是一正方形，B ＝{(x ，y )|(y －x )(y ＋x )≤0}＝{(x ，y )|y |≤|x |}
如图M ＝A ∩B 为图中阴影部分是两个边长为2
2的小正方形区
域．
4.⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ＋3y ＜12x －y ≤－1y ≥0所表示的平面区域内整点个数是______个．
[答案] 8
[解析] A (－1,0)、B (4,0)、C (97，167)
整点有：(－1,0)、(0,0)、(1,0)、(2,0) (0,1)、(1,1)、(2,1)、(1,2) 三、解答题
5．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2x ≤0x ＋2y ＋3＞0
5x ＋3y －5＜0表示的平面区域，并求平面
区域内有多少个整点．
[解析] 不等式y －2x ≤0表示直线y －2x ＝0的右下方区域(含边界)，x ＋2y ＋3＞0表示直线x ＋2y ＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x ＋3y －5＜0表示直线5x ＋3y －5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如图所示的△ABC 区域．可求得A (－35，－65)，B (511，1011)，C (197，－20
7)，所以△ABC 区域内的
点(x ，y )满足－35≤x ＜197，－207＜y ＜10
11
.
∵x ，y ∈Z ，
∴0≤x ≤2，－2≤y ≤0，且x ，y ∈Z.
经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．
6．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜3
2y ≥x
3x ＋2y ≥6
3y ＜x ＋9
表示的平面区域的面积．
[解析] 不等式x ＜3表示直线x ＝3左侧点的集合．
不等式2y ≥x ，即x －2y ≤0表示直线x －2y ＝0上及左上方点的集合．
不等式3x ＋2y ≥6，即3x ＋2y －6≥0表示直线3x ＋2y －6＝0上及右上方点的集合．
不等式3y ＜x ＋9即x －3y ＋9＞0表示直线x －3y ＋9＝0右下方点的集合．
综上可得，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示． 因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A 、B 、C 、D ，如图．
可知A (0,3)、B (34，38)、C (3，3
2)、D (3,4)
S 四边形ABCD ＝S 梯形AOED －S △COE －S △AOB ＝12(OA ＋DE )·OE －12OE ·CE －1
2OA ·x B ＝12(3＋4)×3－12×3×32－12×3×34＝578.。