江苏省大丰市高中数学第一章三角函数第三章三角恒等变换综合检测苏教版必修4 新人教A版 Word版 含答案
数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案
第三章 三角恒等变换一、选择题.1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.23-B.21 -C.21D.232. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．A.43B.83 C.81D.413. 函数y =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．A.4π B.2π C. π D. 2π4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+B.12-C.2D. 25. 化简2cot 2tan2cos 1ααα-+，其结果是( )．A.21-sin 2α B.21sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α6. 若sin (α + β)=21，sin (α - β)=31，则βαtan tan 为( )．A. 5B. - 1C. 6D.617. 设tan θ和tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4π是方程x 2+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．A. p + q + 1 = 0B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5B. -4≤a ≤4C. -3≤a ≤3D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤49. 若α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3 ,π，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2tan αB. 2sin αC. 2cot αD. 2cos α二、填空题.1.︒+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =32，则 cos (α - β)= ___________．4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23π2θ＞21，则2sin2cos sin 1θθθ--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=21，tan β=51，tan γ=81，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．三、解答题．1. 已知α，β为锐角，cos α =54，tan (α - β)= -31，求cos β的值．2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-21，cos α + cos β =27，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -41sin 4α sin 2α．参考答案一、选择题．1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -21． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21sin 150°sin 30°=81． 3. C 【解析】y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21sin 2 x -21cos 2 x = -21cos 2x . ∴ T =π22π=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x= 1 +⎪⎭⎫⎝⎛-4π2sin 2x ．∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】αααααααααααα2sin 21cos sin cos 2sin2cos2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =21，sin αcos β - cos αsin β =31． ∴ 2sin αcos β =65， 2cos αsin β =61．∴ βαtan tan = 5． 7. B【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+qp θθθθ4πtan tan 4πtan tanθθθπtan 1tan 14tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθθθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=，θθθq tan 1tan tan 2+-=．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =21时，f (x )max =214414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；当 cos x = - 1时，f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C【解析】ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22222222αααααααααααααααα-++++-+-++=2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sinαααααααα-++--+=．∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，，∴ 2α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sinααααααααα=-+++-+．三、解答题．1. 【解】∵ cos α =54，∴ sin α =53．∵ α，β 为锐角， ∴ -2π＜α - β＜2π． ∵ tan (α - β)=31-，∴ cos (α - β)=10103，sin (α - β)=1010-cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos (α - β)+ sin αsin (α - β)=10509．2. 【解】② 27cos cos ①21sin sin =+-=-βαβα①2 + ②2，得 sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2cos α cos β + cos 2 β = 2.∴ cos (α + β)= 0． 又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =2π， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -21． sin 2α + cos 2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =41． 又sin 2α + cos 2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，∴ sin α =417-． ∴ sin (α - β)= sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-αα2π= - cos 2α = 2sin 2α -1 = 47-． 3. 【解】∵ tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=A A tan 1tan 1+-，∴ 3tan A =AA tan 1tan 22+-，∴ tan A =31，或 tan A = - 2．当tan A =31时，tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=21，p = -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121 = -65，q =21×31=61．当tan A = - 2时，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π= -3，p = -(-2 - 3) = 5，q = (-2)×(-3) = 6．4. 【证明】cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = (cos 4 α + sin 4 α)(cos 2 α + sin 2 α)(cos 2 α - sin 2 α)- cos 2α= (cos 4 α + sin 4 α)cos 2α - cos 2α =(cos 4 α + sin 4 α - 1)cos 2α= [cos 4 α +(sin 2 α - 1)(sin 2 α + 1)] cos 2α = [cos 4 α - cos 2 α(sin 2 α + 1)]cos 2α = - 2cos 2 αsin 2 αcos 2α = -41sin 4αsin 2α．。
苏教版必修4第三章三角恒等变换单元测验试卷(答案)
第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
把答案填在题中横线上）1. 在△ABC中，若cos Bcos C-sin Bsin C≥0，则这个三角形一定不是三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC的内角A满足sin 2A= ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y=f（x）=sin x+ cos x+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根，，则sin（+）= .5. 已知：-=，tan=3m，tan=3-m，则m = .6. 已知函数f(x)=cos(2x+)+sin 2x，则 f（x）的最小正周期为 .7. 已知函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-的最大值为，且f()= ，则f(-)= .8. 函数y=2sin x-cos 2x的值域是 .9. 设-＜＜，- ＜＜，tan，tan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根，则+的值为 .10. = .11. 已知f（cos x）=cos 2x，则f（sin x）的表达式为．12. 函数y=lg（sin x+cos x）的单调递减区间为．13.函数f(x)=cos x-cos 2x(x∈R)的最大值等于．14. 若f（x）是以5为周期的函数，f（3）=4，且 cos=，则f（4cos2）= .二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f（x）=2cos2x+2 sin xcos x．（1）求函数f（x）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC中，若f （C）=2，2sin B=cos（A-C）-cos（A+C），求tan A的值．16.(12分)已知0＜x＜,化简:lg(cosx·tan x+1- 2sin2)+lg[2cos(x-)-lg(1+sin 2x).17. (12分) 已知向量a =(cos，sin)，b =(cos，sin)，|a–b |= ．（1）求cos（-）的值；（2）若0＜＜，＜＜0，且sin= ，求sin．18. （12分）已知函数f（x）=tan x，x∈（0，）．若x1，x2∈（0，），x1≠x2，证明 [f（x1）+ f（x2）]＞f（）．19. （16分）已知为第二象限的角，sin=，为第一象限的角，cos=．求tan（2-）的值．20.(16分)已知-＜x＜0，sin x+cos x=. （1）求sin x-cos x的值；（2）求的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 锐角解析：在△ABC中，若cos Bcos C-sin Bsin C≥0，则有 cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2. 解析：由sin 2A=2sin Acos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析： == =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+ cos x+2=2（ sin x+ cos x ）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得 2sin（x+）+2=m有两个不等实数根，，且这两个实数根关于直线x+=或直线 x+=对称，故有=，或 =，故 +=或+=，故 sin（+）= ．5. 解析：∵-=，∴tan（–）=tan = .又tan=3m，tan=3-m，∴tan（–）== =（3m-3-m），∴（3m-3-m）= ，即3m-3-m=，整理得：（3m）2-3m-1=0，解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m=．6. π 解析：函数f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos 2xcos-sin 2xsin =- sin 2x+，所以函数f(x)的最小正周期是T==π．7. 0或–解析：∵函数f(x)=acos2x-bsin xcos x-=a• -b•sin 2x- =•cos 2x-b•sin 2x．它的最大值为 =，故有a2+b2=1．①再由f()= 可得-a- b=，即 a+b=- ②由①②解得∴f(- )= -a+ b =- ，或 f(- )= -a+ b =0．8. [，3] 解析：由题意可得：y=2sin x-cos 2x=2sin2x+2sin x-1=2(sin x+)2，又sin x∈[-1，1]，当sin x=-时，函数f（x）取到最小值为，当sin x=1时，函数f（x）取到最大值为3，综上函数f（x）的值域是[，3]．9. 解析：∵tan，tan是方程x2-3x+4=0的两个不等实根，∴有tan+tan=3，①tan•tan=4，②∴tan（+）= = =-.∵＜＜，＜＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数，∴0＜＜，0＜＜，∴0＜+＜π，∴+=.10. 2 解析：原式=====2.11. f（sin x）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x=2cos2x-1，∴f（cos x）=cos 2x=2cos2x-1．∴f（sin x）=2sin2x-1=-（1-2sin2x）=-cos 2x．故答案为f（sin x）=-cos 2x．12. [ +2kπ，+2kπ）解析：由题意，令m=sin x+cos x= sin（x+），由m＞0得，2kπ＜x+ ＜π+2kπ，解得- +2kπ＜x＜+2kπ，∴函数的定义域是（+2kπ，+2kπ）.又∵y=lg x在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin（x+ ）的递减区间，∴ +2kπ≤x+≤ +2kπ，解得+2kπ≤x≤+2kπ，∴所求的单调递减区间是[ +2kπ，+2kπ）．13. 解析： f（x）=cosx-cos2x=cosx-（2cos2x-1）=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+，所以f（x）的最大值为．14.4 解析：∵4cos2=4（2cos2-1）=-2，∴ f（4cos2）=f（-2）=f（-2+5）=f（3）=4．二、解答题15. 解：（1）f（x）=1+cos 2x+ sin 2x=2sin（2x+）+1.∵-≤x≤,∴- ≤2x+≤.∴- ≤sin(2x+)≤1.∴f（x）∈[0，3]，即f（x）的值域为[0，3].（2）由f（C）=2得2sin（2C+ ）+1=2，∴sin（2C+ ）= ．∵0＜C＜π∴＜2C+ ＜.∴2C+= ∴C= ∴A+B=．又∵2sin B=cos（A-C）-cos（A+C），∴2sin B=2sin Asin C，∴2sin( -A)= sin A，即 cos A+sin A= sin A，∴( -1)sin A= cos A，∴tan A= =．16.解：∵ 0<x<，∴原式=lg(cos x·+cos x)+lg(cos x+ sin x)-lg(1+sin 2x)=lg(sin x+cos x)+lg(cos x+sin x)-lg(1+sin 2x)=lg(sin x+cos x)2-lg(1+sin 2x)=lg(1+sin 2x)-lg(1+sin 2x)=0.17. 解：（1）∵a =(cos，sin)，b =(cos，sin)，∴a–b =(cos-cos ，sin-sin)．∵| a–b |= ，∴ = ，即2-2cos(-)= ，∴cos(-)= ．（2）∵0＜＜，–＜＜0，∴0＜-＜π.∵cos(-)= ，∴sin(-)= ．∵sin=- ，∴cos= ，∴sin=sin[（-）+]=sin（–）cos +cos（–）sin= × ×(- )= .18. 证明：tan x1+tan x2=+===.∵x1，x2∈（0，），x1≠x2，∴2sin（x1+x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1-x2）＜1，从而有0＜cos（x1+x2）+cos（x1-x2）＜1+cos（x1+x2），由此得tan x1+tan x2＞，∴（tan x1+tan x2）＞tan，即 [f（x1）+f（x2）]＞f（）．19. 解：∵为第二象限角，sin=，∴cos=- ，tan=- ，tan2=-又∵为第一象限角，cos=，∴sin=，tan=，∴tan（2–）= ==.20.解：（1）由sin x+cos x=，得sin2x+2sin xcos x+cos2x=，即2sin xcos x=-.∴（sin x-cos x）2=1-2sin xcos x=.又∵ -＜x＜0，∴ sin x＜0，cos x＞0，sin x-cos x＜0，故sin x-cos x=-.（2）==sin xcos x（2-cos x-sin x）=（–）×（2–）=-. 备注：以下内容仅显示部分，需完整版请下载！Tagged:三角恒等变换高一数学单元测验。
数学苏教版必修4 第3章 三角恒等变换 综合检测 Word版含解析
(时间：分钟，满分：分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．请把答案填在题中横线上)．(α－°)(°＋α)＋(α－°)(°＋α)＝．解析：原式＝[(α－°)－(°＋α)]＝(－°)＝°＝.答案：．计算－的值为．解析：－＝(×)＝＝.答案：已知α＝－，则(α＋π)的值是．解析：(α＋π)＝α＋()π－α()π)＝＝－.答案：－函数＝ ·( ＋ )的最小正周期＝．解析：＝( ＋)＝＋＝＋)＝( －)＋＝(－)＋，∴最小正周期＝π.答案：π． °＋ °＋° °＝．解析：原式＝(°＋°)(－° °)＋°· °＝(－° °)＋° °＝.答案：已知α是第二象限角，且α＝－，则α＝．解析：由α是第二象限角，且α＝－，得α＝；∴α＝αα＝－，α＝α－α＝；∴α＝α α)＝－.答案：－已知α＝，则α＋α)＝．解析：α＋α)＝αα)＋α α)＝α α)＝α)＝.答案：若(α＋β)＝，(α－β)＝，则α β)＝．解析：由已知得：αβ＋αβ＝，αβ－αβ＝，∴αβ＝，αβ＝－，∴α β)＝α β α β)＝－.答案：－°－°)＝．解析：原式＝°－(＋°))＝°－°)＝.答案：若α是第三象限角，且α＝－，则等于．解析：∵α是第三象限角，且α＝－，∴α＝－＝－，∴＝α＋α)＝＝－.答案：－已知α＝－，则α－ α＋)＝．解析：α－α＋)＝α－α）α－α α)＝α－α）α（α－α）)＝α)＝－.答案：－计算°－() ° °)＝．解析：原式＝° °)＝°＋(()) °))－() ° °)＝.答案：函数()＝＋的最大值为．解析：∵()＝＋＝＋＋＝＋(＋)，∴当＋＝π＋(∈)，即＝π＋(∈)时，()取最大值＋.答案：＋已知是△的一个内角，设()＝ ·＋，若()－<恒成立，则实数的取值范围是．解析：()＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝＋.∵()－<恒成立，∴> －恒成立．∵<<π，∴< ≤.∴－< －≤，故>.答案：(，＋∞)二、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分分)已知(α－β)＝，α＝，且α∈(，)，β∈(－，)，求β的值．解：由已知得：－β∈(，)，又α∈(，)，∴α－β∈(，π)；∵(α－β)＝，∴(α－β)＝；由α∈(，)及α＝得α＝；∴β＝[α－(α－β)]＝α(α－β)－α(α－β)＝×－×＝＝－.(本小题满分分)已知α∈(，)，α＝，求α和(α＋)的值．解：由已知得α＝，∴α＝，∴α＝α－α)＝＝.∵α∈(，)，∴α∈(，π)，∵α＝>，∴α∈(，)，∴α＝，α＝.∴(α＋)＝α·＋α·＝×＋×＝. (本小题满分分)如图，、是单位圆上的点，是圆与轴正半轴的交点，点的坐标为(，)，△为正三角形．求∠和∠的值．解：∵点的坐标为(，)，根据三角函数定义可知：＝，＝，＝；∴∠＝＝，∠＝＝.∵△为正三角形，∴∠＝°，∴∠＝(∠＋°)＝∠°－∠°＝×－×＝.。
2019-2020年高中数学 第3章 三角恒等变换章末过关检测卷 苏教版必修4
2019-2020年高中数学 第3章 三角恒等变换章末过关检测卷 苏教版必修4一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°的值为( )A .12B ．－12C .22 D ．－22解析：原式＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin 45°＝22.故选C . 答案：C2．(xx·江西卷)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C .13D .23解析：∵sin α2＝33，∴cos α＝1－2sin 2α2＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13.故选C .答案：C3．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C . 2D ．2解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4＝－2，故选B . 答案：B4．(xx·浙江卷)函数f(x)＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2解析： f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，振幅为1，T ＝2πω＝2π2＝π，故选A .答案：A5．化简21－sin 8＋2＋2cos 8 得( )A ．2sin 4B ．2sin 4－4cos 4C ．4cos 4－2sin 4D ．－2sin 4解析：原式＝2sin 24＋cos 24－2sin 4cos 4＋ 2＋2（2cos 24－1）＝2（sin 4－cos 4）2＋2|cos 4| ＝2(cos 4－sin 4)－2cos 4＝－2sin 4. 答案：D 6．函数f(x)＝32sin 2x －12cos 2x ＋12在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B .1＋32 C .32D ．1＋ 3 解析：f(x)＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，且π4≤x ≤π2，得π2≤2x ≤π， ∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴当2x －π6＝π2，即当x ＝π3时，函数f(x)有最大值1＋12＝32.故选C .答案：C7．设向量a ＝(sin 15°，cos 15°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a 、b 的夹角为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°解析：∵|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 30°＝12， ∴a 、b 的夹角θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝60°. 答案：B8．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：利用诱导公式及倍角公式进行转化或利用“切化弦”． 方法一 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α.∴2α－β＝π2.方法二 tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z.∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z.当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. 答案：B9．(xx·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6，此时关于y 轴对称，则m －π6＝k π，k ∈Z ，所以m ＝π6＋k π，k ∈Z.当k ＝0时，m 的最小值是π6，故选B.答案：B10．观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos 50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34，…，由此得出以下推广命题不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34解析：由3个等式观察可知，其结构形式如A 选项， 且β－α＝30°. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(xx·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________．解析：∵cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，∴cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－7912．设f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )有最大值4，则a ＝________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )max ＝3＋a ＝4.∴a ＝1. 答案：113．(xx·四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：sin 2α＝－sin α，∴cos α＝－12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝2π3.所以tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝3，故填 3.答案：314．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如下图所示，则f (x )的解析式为________________．解析：由题意知A ＝2，56－13＝12是f (x )周期的14，故T ＝2.∴ω＝2π2＝π.则f (x )＝2sin(πx ＋φ)，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2代入知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2 得φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)求cos 20°cos 10°sin 20°＋3sin 10°tan 70°－2cos 40°的值．解析：原式＝cos 20°cos 10°sin 20°＋3sin 10°sin 70°cos70°－2cos 40°＝cos 20°cos 10°＋3sin 10°cos 20°sin 20°－2cos 40°＝cos 20°（cos 10°＋3sin 10°）sin 20°－2cos 40°＝2cos 20°（cos10°sin 30°＋sin 10°cos 30°）sin 20°－2cos 40°＝2cos 20°sin40°－2sin 20°cos 40°sin 20°＝2sin 20°sin 20°＝2.16.(本小题满分12分)已知sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求cos 2β的值．解析：由sin(α－β)＝35及α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得：cos(α－β)＝ －45，由sin(α＋β)＝－35及α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π得：cos(α＋β)＝ 45.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1. 17．(本题满分14分)(xx·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解析：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝⎛－sin θcos π3＋⎦⎥⎤⎭⎪⎫cos θsin π3＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3， 所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.18．(本小题满分14分)设函数f ()x ＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R)．且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π3.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值．解析：(1)f ()x ＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋a＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12＋a .依题意得2ω·π3＋π6＝π2⇒ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＋a ，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，从而f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6 上的最小值为3＝－12＋12＋a ，故a＝ 3.19．(本题满分14分)(xx·陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)f (x )＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12·cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.最小正周期T ＝2π2＝π，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.20．(本小题满分14分)设a ∈R，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x , 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4， 11π24上的最大值和最小值．解析：f (x )＝a sin x cos x －cos 2 x ＋sin 2x＝a2sin 2x －cos 2x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2.。
【配套K12】江苏省大丰市高中数学 第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换综合检测 苏教版必修4
第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换1．A 函数()sin (cos sin )f x x x x =⋅-的最小正周期是（ ） A. π4 B. π2C. πD. 2π2．A 将函数()sin y x x x =+∈R 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. 5π63．A 已知函数2()sin 12x f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.4．B 已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是( )A. ()y f x =的图像关于()π,0中心对称B. ()y f x =的图像关于直线π2x =对称C. ()f x 的最大值为2D.()f x 既是奇函数，又是周期函数5．B 已知函数()sin()cos(),6π3πf x x x =-+-2()2sin2x g x =.求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.6．B 将函数()sin R y x x x =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B. π6 C. π3 D. 5π67．B 已知向量1(cos ,),2x =-a,cos 2),x x x ∈=R b ，设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.8．C 若1cos cos sin sin ,2x y x y += 2sin 2sin 23x y +=， 则sin()________x y +=.9．C 已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；(1)若()y f x =在π2π[,]43-上单调递增，求ω的取值范围； (2)令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b (,R a b ∈且a b <)满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．。
江苏省大丰市高中数学 第三章 三角恒等变换综合检测
三角恒等变换综合检测1．A已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α=（ ）.A. -1 B. 2-C. 2D. 12．A 在△ABC 中，已知22sin 1cos 22A BC +=+，求C 的大小.3．A 在△ABC 中，若2cos sin sin ,B A C =则△ABC 的形状一定是（）. A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等边三角形 4．C 在△ABC 中，若tan tan tan 0,A B C ++>则△ABC 是（ ）.A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 形状不确定5．B 已知π5sin()413x -=,π04x <<, 求cos 2πcos()4xx +的值.6．B 若tan =3，求sin2的值.7．C 求证：22ππsin cos cos()sin ()36αααα++--的值是与α无关的定值.8．B(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)+︒+︒+︒+︒9．B 求cos20cos40cos80︒︒︒的值.10．A 函数f (x)=sin x(cos x－sin x)的最小正周期是( )A. π4B.π2C. πD. 2π11．A 设θ为第二象限角，若π1tan()42θ+=，则sin cosθθ+=__．12．B 求值：o o o otan20tan4020tan40++.13．C 已知1sin cos ()1sin cosx xf xx x+-=++，(1)计算f (x)+ f (－x)的值；(2)判断函数f (x)的奇偶性.14．C 在△ABC 中，若tan A +tan B +tan C >0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定15．C o o 4cos50tan 40-= ( )ABC．116．C 方程x 2－2a sin(cos x )+a 2=0仅有一个解，求a 的值.3.3几个三角恒等式无三角恒等变换综合检测(本章复习) 1．A 2．2π33．C. 4．C. 5．2413 6．75 7．证明：原式π1cos(2)1cos 2π3cos cos()223αααα---=-++ 11ππcos 2cos(2)cos cos()2233αααα=-+-++ 11ππcos 2(cos cos 2sin sin 2)2233ππcos (cos cos sin sin )33αααααα=-+++-11ππcos 2(cos cos 2sin sin 2)2233ππcos (cos cos sin sin )33αααααα=-+++-211cos 2cos 22241cos cos 22αααααα=-+++-1111cos 2cos 24444αα=-+=.8．222. 9．18 10．C 11．13．(1) 0(2) f (x )的定义域为π2π2x k ≠-+且π2π,Z x k k ≠-+∈，定义域不关于原点对称，所以 f (x )为非奇非偶函数。
【配套K12】江苏省大丰市高中数学 第三章 三角恒等变换综合检测 苏教版必修4
三角恒等变换综合检测1．A 已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α=（ ）.A. -1B. 22- C. 2D. 12．A 在△ABC 中，已知22sin 1cos 22A BC +=+，求C 的大小.3．A 在△ABC 中，若2cos sin sin ,B A C =则△ABC 的形状一定是（）. A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等边三角形4．C 在△ABC 中，若tan tan tan 0,A B C ++>则△ABC 是（ ）.A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 形状不确定5．B 已知π5sin()413x -=,π04x <<, 求cos 2πcos()4xx +的值.6．B 若tan =3，求sin2 cos2 的值.7．C 求证：22ππsin cos cos()sin ()36αααα++--的值是与α无关的定值.8．B(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)+︒+︒+︒+︒L9．B 求cos20cos40cos80︒︒︒的值.10．A 函数f (x)=sin x(cos x－sin x)的最小正周期是( )A. π4B.π2C. πD. 2π11．A 设θ为第二象限角，若π1tan()42θ+=，则sin cosθθ+=__．12．B 求值：o o o otan20tan4020tan40++.13．C 已知1sin cos ()1sin cosx xf xx x+-=++，(1)计算f (x)+ f (－x)的值；(2)判断函数f (x)的奇偶性.14．C 在△ABC 中，若tan A +tan B +tan C >0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定15．C o o 4cos50tan 40-= ( )AB．2C．116．C 方程x 2－2a sin(cos x )+a 2=0仅有一个解，求a 的值.3.3几个三角恒等式无三角恒等变换综合检测(本章复习) 1．A 2．2π33．C. 4．C. 5．2413 6．75 7．证明：原式π1cos(2)1cos 2π3cos cos()223αααα---=-++ 11ππcos 2cos(2)cos cos()2233αααα=-+-++ 11ππcos 2(cos cos 2sin sin 2)2233ππcos (cos cos sin sin )33αααααα=-+++-11ππcos 2(cos cos 2sin sin 2)2233ππcos (cos cos sin sin )33αααααα=-+++-211cos 2cos 22241cos cos 22αααααα=-+++-1111cos 2cos 24444αα=-+=.8．222. 9．18 10．C 11．13．(1) 0(2) f (x )的定义域为π2π2x k ≠-+且π2π,Z x k k ≠-+∈，定义域不关于原点对称，所以 f (x )为非奇非偶函数。
高中数学 第3章 三角恒等变换综合检测 苏教版必修4
第3章 三角恒等变换(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中的横线上) 1．(2013·淮安高一检测)已知函数f (x )＝sin x cos x ，则f (－1)＋f (1)＝________. 【解析】 ∵f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴此函数是奇函数， 故f (－1)＋f (1)＝0. 【答案】 02.tanπ121－tan2π12＝________.【解析】 原式＝12×2tanπ121－tan2π12＝12tan π6＝36. 【答案】363．若sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，则cos 2β＝________.【解析】 由已知得：sin[(α－β)－α]＝45，所以sin β＝－45，所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－2×(－45)2＝－725.【答案】 －7254．(2013·雅安高一检测)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.【解析】 sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.【答案】 －15．cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α－π3)＝________.【解析】 ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝265.∴cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210.【答案】 1＋62106.sin180°＋2α1＋cos 2α·cos 2αcos 90°＋α等于________．【解析】 原式＝－sin 2α·cos 2α1＋cos 2α·－sin α＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 【答案】 cos α7．已知tan(α＋β)＝25，tan(α＋π4)＝322，那么tan(β－π4)＝________.【解析】 tan(β－π4)＝tan[(α＋β)－(α＋π4)]＝tan α＋β－tan α＋π41＋tan α＋βtan α＋π4＝25－3221＋25×322＝14.【答案】 148．(2013·课标全国卷Ⅱ改编)已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝________.【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2(α＋π4)＝1＋cos 2α＋π 22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 【答案】 169．(2013·余姚高一检测)在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为________三角形．【解析】 在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B2cosA ＋B2，∴2cos2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形． 【答案】 直角10．求值：sin 10°＋cos 70°sin 80°＋cos 20°＝________.【解析】 原式＝sin 10°＋sin 20°cos 10°＋cos 20°＝2sin 15°cos 5°2cos 15°cos 5°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝1－331＋33＝2－ 3.【答案】 2－ 311．在△ABC 中，若sin 2B ＝sin A sinC ，则cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )的值为________． 【解析】 cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝cos 2B －cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－2sin 2B ＋2sin A sinC ＝1.【答案】 112．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.【解析】 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)，∵α，β为锐角，∴π4－α，β∈(－π2，π2)，且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.【答案】 113．已知tan 2θ＝34(π＜θ＜32π)，则2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4的值为________．【解析】 ∵tan 2θ＝34，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34， 又π＜θ＜3π2，∴tan θ＝13.∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝2. 【答案】 214．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间[π24，13π24]上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数图象重合．其中正确说法的序号是________．【解析】 y ＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)＝cos(2x －π3)＋cos(π2－π3＋2x )＝cos(2x －π3)－sin(2x －π3)＝2cos(2x －π12)，其最大值为2，是周期函数，周期为2π2＝π.由2k π≤2x －π12≤π＋2k π，得π24＋k π≤x ≤13π24＋k π，f (x )的减区间为[π24＋k π，13π24＋k π](k ∈Z)， 它在[π24，13π24]上递减，将y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将变为y ＝2cos[2(x ＋π24)]＝2cos(2x ＋π12)的图象，∴①②③正确，④错误． 【答案】 ①②③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知cos 2θ＝78，θ∈(π2，π)，求sin(θ＋π6)－sin 2θ的值．【解】 ∵cos 2θ＝78，θ∈(π2，π)，∴cos θ＜0，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝78，∴cos 2θ＝1516，∴cos θ＝－154，sin θ＝14，∴sin(θ＋π6)－sin 2θ＝sin θ·cos π6＋cos θsin π6－2sin θcos θ＝14×32－154×12＋2×14×154＝38－158＋158＝38. 16．(本小题满分14分)化简： 2sin 50°＋sin 80°1＋3tan 10°1＋cos 10°.【解】 原式＝2sin 50°＋2sin 80°cos 10°12cos 10°＋32sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 80°cos 10°cos60°－10°2cos 5°＝222sin 50°＋22cos 50°cos 5°＝2cos 50°－45°cos 5°＝2.17．(本小题满分14分)(2013·湖南高考)已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．【解】 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14.(2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x )＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14，即cos(2x －π3)<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z.解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z.故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z}．18．(本小题满分16分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β.【证明】 ∵tan(α－β)＝sin 2β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β， ∴tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β， 整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β. ∴tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 19．(本小题满分16分)(2013·潍坊高一检测)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cosβ，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【解】 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45，将向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)代入上式得12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π.由cos(α－β)＝35，得sin(α－β)＝45.又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝3365.20．(本小题满分16分)(2013·陕西高考)已知向量a ＝(cos x ，－12)，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．【解】 f (x )＝(cos x ，－12)·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x＝cos π6sin 2x －sin π6 cos 2x ＝sin(2x －π6)．(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，得当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12；当2x －π6＝56π.即x ＝π2时，f (π2)＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.。
江苏省大丰市高中数学第一章三角函数综合检测苏教版必修4(new)
三角函数综合检测1．C 已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是（ ）。
A. ()y f x =的图象关于()π,0中心对称B 。
()y f x =的图象关于直线π2x =对称C 。
()f x 的最大值为1D 。
()f x 既是奇函数，又是周期函数 2．C 已知函数π()sin()2k f x x =+,()1ππ,,22Z k k x k +⎡⎫∈∈⎪⎢⎣⎭，①函数()f x 周期为2π；②函数()f x 值域为[]1,1-；③函数()f x 为奇函数；④函数()f x 与10x y =有7个交点. 其中正确命题的个数有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3．A 使sin cos x x >成立的x 的一个变化区间是（ )。
A 。
(,)44ππ- B. (,0)43π-C 。
()43π-π,- D. (,)22π3π 4．A 函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）。
5．B 已知α=3π-，β=3π4，角θ为第三象限角.（1）写出与角β终边相同的角γ的集合： ； （2）sin γ= ； (3）若角θ的终边经过点(3,1)P --，则cos θ= ;（4）若sin θ=45-，则tan θ= ； （5)若tan θ= 4，则2sin 3cos 4cos 5sin θθθθ-=- ； （6）若cos cos 22θθ=-，则角2θ是第______象限角; （7)若1sin cos 8θθ⋅=，且5ππ4θ<<，则cos sin θθ-= . 6．B 已知角α= 4，请在下图中画出角α的正弦线、余弦线和正切线，并标注相应字母。
如图，则:（1)cos α=_________；（用正确的数学符号填空)(2）tan α=__________。
（用正确的数学符号填空)7．B 计算（1)7πsin()3-=_________； (2）19cos 6π= _________； （3）11π8π7πsin cos tan 634++= _________; (4)22ππsin ()sin ()36αα-++= _________.8．B 已知函数π()2sin(2)3f x x =-。
数学苏教版高一必修4_第3章_三角恒等变换_综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 答案：122．计算2cos 2π8－1的值为________． 解析：2cos 2π8－1＝cos(2×π8)＝cos π4＝22. 答案：223.已知tan α＝－43，则tan(α＋134π)的值是________． 解析：tan(α＋134π)＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134π＝ －43＋11－（－43）×1＝－17. 答案：－174.函数y ＝sin x ·(cos x ＋sin x )的最小正周期T ＝________．解析：y ＝sin x (cos x ＋sin x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∴最小正周期T ＝π.答案：π5．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝________．解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°·tan 42°＝3(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3. 答案： 36.已知α是第二象限角，且cos α＝－45，则tan 2α＝________． 解析：由α是第二象限角，且cos α＝－45，得sin α＝35； ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725； ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247. 答案：－2477.已知sin 2α＝13，则tan α＋1tan α＝________． 解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112sin 2α＝6. 答案：68.若sin(α＋β)＝47，sin(α－β)＝67，则tan αtan β＝________． 解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＝47， sin αcos β－cos αsin β＝67， ∴sin αcos β＝57，cos αsin β＝－17， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－5. 答案：－59.3－sin 70°2－cos 210°＝________． 解析：原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2. 答案：210.若α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于________． 解析：∵α是第三象限角，且sin α＝－2425， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－725， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43. 答案：－4311.已知cos α＝－14，则cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝________． 解析：cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝22（cos α－sin α）2cos 2α－2sin αcos α＝22（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝24cos α＝－ 2. 答案：－ 212.计算2cos 55°－3sin 5°cos 5°＝________． 解析：原式＝2cos （60°－5°）－3sin 5°cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 5°＋32sin 5°－3sin 5°cos 5°＝1. 答案：113.函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x 的最大值为________．解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )，即x ＝kπ＋π8(k ∈Z )时，f (x )取最大值1＋ 2. 答案：1＋ 214.已知B 是△ABC 的一个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：f (B )＝4sin B cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＋cos 2B ＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B )＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，∴m >2sin B －1恒成立．∵0<B <π，∴0<sin B ≤1.∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.答案：(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝35，sin α＝3365，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，求sin β的值． 解：由已知得：－β∈(0，π2)，又α∈(0，π2)， ∴α－β∈(0，π)；∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45； 由α∈(0，π2)及sin α＝3365得cos α＝5665； ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝3365×35－5665×45＝－12565×5＝－513. 16.(本小题满分14分)已知α∈(0，π2)，sin α＝55，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值． 解：由已知得cos α＝255，∴tan α＝12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－（12）2＝43. ∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)， ∵tan 2α＝43>0，∴2α∈(0，π2)， ∴sin 2α＝45，cos 2α＝35. ∴sin(2α＋π3)＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.17.(本小题满分14分)如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为(35，45)，△AOB 为正三角形．求sin ∠COA 和cos ∠COB 的值．解：∵点A 的坐标为(35，45)，根据三角函数定义可知：x ＝35，y ＝45，r ＝1； ∴sin ∠COA ＝y r ＝45， cos ∠COA ＝x r ＝35. ∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°＝35×12－45×32＝3－4310. 18.(本小题满分16分)设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)． 解：∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. 故由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19， 得sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，由sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，得cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53. ∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)] ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫75272－1＝－239729. 19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ，(1)求f (x )的最大值及相应的x 的值；(2)若f (θ)＝35，求cos 2(π4－2θ)的值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin (2x －π4)， ∴当2x －π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋38π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 2； (2)由f (θ)＝sin 2θ－cos 2θ，及f (θ)＝35得： sin 2θ－cos 2θ＝35， 两边平方得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625，∴cos 2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin 4θ＝1625. 20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2， (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的值域；(3)求当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点．解：(1)∵f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2＝12sin x ＋32(1＋cos x )＝sin(x ＋π3)＋32， ∴最小正周期T ＝2π.(2)由f (x )＝sin(x ＋π3)＋32，得 f (x )的值域为[32－1，32＋1]． (3)令f (x )＝0，即sin(x ＋π3)＋32＝0， 也就是sin(x ＋π3)＝－32； ∵x ∈[π，2π]，∴x ＝π或x ＝43π， ∴当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点为x ＝π与x ＝43π.。
高中数学 第三章 三角恒等变换章末检测(A)(含解析)苏教版必修4
第3章 三角恒等变换(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝________.2.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．3．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则sin (x ＋y)＝________.4．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________．5．已知sin (45°＋α)＝55，则sin 2α＝________.6．若sin x －sin y ＝－13，cos x －cos y ＝14，则cos (x －y)的值是________．7．若函数f(x)＝sin (2x ＋θ)＋3cos (2x ＋θ)为奇函数，则θ的取值集合是________．8．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为________． 9．函数y ＝2sin x(sin x ＋cos x)的最大值为______．10．化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α＝________.11．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝______.12．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.13．函数y ＝sin 2x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π6的图象中相邻对称轴的距离是________． 14．已知cos (α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan (α＋β)及α＋β的值．16．(14分)已知函数f(x)＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．17．(14分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．18．(16分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．19．(16分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．20．(16分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值．第3章 三角恒等变换(A)1.32 解析 (cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．1解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1，∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1.3．1解析 ∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ， ∴sin 2x ＝sin 2y ，又∵x，y 均为锐角且x≠y， ∴2x＝π－2y ，x ＋y ＝π2，∴sin (x ＋y)＝1. 4．a<c<b解析 a ＝2sin 59°<2×32＝62，a<c. b ＝2sin 61°>2×32＝62，b>c. 从而a<c<b.5．－35解析 sin (α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55， ∴sin α＋cos α＝105. 两端平方，∴1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.6.263288 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x －sin y ＝－13①cos x －cos y ＝14 ②①2＋②2得2－2(sin x sin y ＋cos x cos y)＝25144.∴cos (x －y)＝263288.7.⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝k π－π3，k ∈Z解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ. f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝0. ∴π3＋θ＝k π，即θ＝k π－π3，k ∈Z . 8．－22解析 ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π， 则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， 化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)，∴tan θ＝－22. 9.2＋1解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x＝2sin(2x －π4)＋1，∴y max ＝2＋1. 10．tan 2α解析 原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αsin 2α＋cos 2α2cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α. 11．－33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝12或－1.∵π2<α<π，∴sin α＝12， ∴α＝56π，∴tan α＝－33.12.43解析 sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，故tan α＝2.又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝43. 13.3π2解析 y ＝sin 2x 3＋cos 2x 3cos π6－sin 2x 3·sin π6＝cos 2x 3cos π6＋sin 2x 3sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π6，T ＝2π23＝3π，相邻两对称轴的距离是周期的一半． 14.3365解析 由于α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，因此α－β∈(0，π)．又由于cos(α－β)＝35>0，因此α－β∈(0，π2)．sin(α－β)＝45且cos β＝1213，sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365. 15．解 ∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.16．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.17．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3 ＝－255×12－55×32＝－25＋1510.18．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．19．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)．因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin22x 0＋π6＝－45.所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.20．解 (1)tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝22. 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以β＝3π4.。
数学苏教版必修4 第3章 三角恒等变换 综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把★答案★填在题中横线上)1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. ★答案★：122．计算2cos 2π8－1的值为________． 解析：2cos 2π8－1＝cos(2×π8)＝cos π4＝22. ★答案★：223.已知tan α＝－43，则tan(α＋134π)的值是________． 解析：tan(α＋134π)＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134π＝ －43＋11－（－43）×1＝－17. ★答案★：－174.函数y ＝sin x ·(cos x ＋sin x )的最小正周期T ＝________．解析：y ＝sin x (cos x ＋sin x )＝sin x cos x ＋sin 2x＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∴最小正周期T ＝π.★答案★：π5．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝________．解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°·tan 42°＝3(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3.★答案★： 36.已知α是第二象限角，且cos α＝－45，则tan 2α＝________． 解析：由α是第二象限角，且cos α＝－45，得sin α＝35； ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725； ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247. ★答案★：－2477.已知sin 2α＝13，则tan α＋1tan α＝________． 解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112sin 2α＝6. ★答案★：68.若sin(α＋β)＝47，sin(α－β)＝67，则tan αtan β＝________． 解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＝47， sin αcos β－cos αsin β＝67， ∴sin αcos β＝57，cos αsin β＝－17， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－5. ★答案★：－59.3－sin 70°2－cos 210°＝________． 解析：原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2. ★答案★：210.若α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于________． 解析：∵α是第三象限角，且sin α＝－2425， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－725， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43. ★答案★：－4311.已知cos α＝－14，则cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝________． 解析：cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝22（cos α－sin α）2cos 2α－2sin αcos α＝22（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝24cos α＝－ 2. ★答案★：－ 212.计算2cos 55°－3sin 5°cos 5°＝________． 解析：原式＝2cos （60°－5°）－3sin 5°cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 5°＋32sin 5°－3sin 5°cos 5°＝1. ★答案★：113.函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x 的最大值为________．解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )，即x ＝kπ＋π8(k ∈Z )时，f (x )取最大值1＋ 2. ★答案★：1＋ 214.已知B 是△ABC 的一个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (B )＝4sin B cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＋cos 2B ＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B )＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，∴m >2sin B －1恒成立．∵0<B <π，∴0<sin B ≤1.∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.★答案★：(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝35，sin α＝3365，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，求sin β的值．解：由已知得：－β∈(0，π2)，又α∈(0，π2)， ∴α－β∈(0，π)；∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45； 由α∈(0，π2)及sin α＝3365得cos α＝5665； ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝3365×35－5665×45＝－12565×5＝－513. 16.(本小题满分14分)已知α∈(0，π2)，sin α＝55，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值． 解：由已知得cos α＝255，∴tan α＝12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－（12）2＝43. ∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)， ∵tan 2α＝43>0，∴2α∈(0，π2)，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35. ∴sin(2α＋π3)＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.17.(本小题满分14分)如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为(35，45)，△AOB 为正三角形．求sin ∠COA 和cos ∠COB 的值．解：∵点A 的坐标为(35，45)，根据三角函数定义可知：x ＝35，y ＝45，r ＝1； ∴sin ∠COA ＝y r ＝45， cos ∠COA ＝x r ＝35. ∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°＝35×12－45×32＝3－4310. 18.(本小题满分16分)设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)．解：∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. 故由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19， 得sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，由sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，得cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53. ∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)] ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫75272－1＝－239729. 19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ，(1)求f (x )的最大值及相应的x 的值；(2)若f (θ)＝35，求cos 2(π4－2θ)的值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x＝2sin (2x －π4)， ∴当2x －π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋38π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 2； (2)由f (θ)＝sin 2θ－cos 2θ，及f (θ)＝35得： sin 2θ－cos 2θ＝35， 两边平方得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625， ∴cos 2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin 4θ＝1625. 20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2， (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的值域；(3)求当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点．解：(1)∵f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2＝12sin x ＋32(1＋cos x )＝sin(x ＋π3)＋32， ∴最小正周期T ＝2π.(2)由f (x )＝sin(x ＋π3)＋32，得 f (x )的值域为[32－1，32＋1]． (3)令f (x )＝0，即sin(x ＋π3)＋32＝0， 也就是sin(x ＋π3)＝－32； ∵x ∈[π，2π]，∴x ＝π或x ＝43π， ∴当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点为x ＝π与x ＝43π.。
苏教版高中数学必修四第三章三角恒等变换模块检测
模块检测(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝________.解析 cos(2π－α)＝53＝cos α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－23，∴sin(π－α)＝sin α＝－23. 答案 －23 2．若＝3a ，＝－5a ，且，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵＝3a ，＝－5a ，∴＝－35∴∥且即ABCD 是梯形．∴四边形为等腰梯形． 答案 等腰梯形3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析 由t (a ＋λb )＝－(b －2a ) ∴⎩⎨⎧t ＝2λt ＝－1 ∴λ＝－12. 答案 －124．若函数f (x )＝cos(ωx )·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos(ωx )·sin(ωx )＝12sin(2ωx )T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. 答案 15．已知α∈(0，π)，cos(π＋α)＝35，则sin α＝________. 解析 由cos(π＋α)＝－cos α，cos α＝－35，α∈(0，π) ∴sin α＝45. 答案 456．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________.解析 由已知得：sin α＝－2cos α. 由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＋(－2cos α)2＝1 ∴cos 2α＝15，∴sin α·cos α＝－2cos 2α＝－25. 答案 －257．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．解析 由题意知α的终边在第三象限， 且sin α·cos α＝34 ∴tan α＝3或33， ∴a ＝－43或－43 3. 答案 －43或－43 38．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为________．解析 由题设得：A ＝2，n ＝2，ω＝4，又x ＝π3时 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋φ＝±1，且0＜φ＜π2，故φ＝π6. 答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋29．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由a ，b 共线，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1) ∴λ＝2.sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2 ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝13.答案 1310．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．解析 |a －t b |＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝1＋t 2－2t a ·b 又∵a ·b ＝cos 55°cos 25°＋sin 55°sin 25°＝cos 30°＝32 ∴|a －t b |＝1＋t 2－3t ＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14∴|a －t b |的最小值为12. 答案 12 11.将函数y ＝sin ωx ，(ω＞0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为________．解析 将y ＝sin ωx 向左平移π6个单位，得： y ＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ6 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝－1由五点作图得：7ωπ12＋ωπ6＝3π2 ∴ω＝2.∴解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π312．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πsin α＝35， ∴cos α＝－45 ∴tan α＝－34∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.答案 1713．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝2cos 2 x 2cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∵f (x )的最大值为2＋3 ∴a 2＝3，∴a ＝±3. 答案 ±314．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，若＝＝1，那么c ＝________.答案2二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知0＜x ＜π2，化简：lgcos x ·tan x ＋1－2sin 2x2＋lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－lg(1＋sin 2x )． 解 ∵0＜x ＜π2，∴原式＝lg(cos x ·sin xcos x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2 ωx ，(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2 ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.17．(本小题满分14分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )(1)若a ·b ＝0，求角A . (2)若a ·b ＝－15，求tan 2A .解 (1)由已知a ·b ＝0，得(sin B ＋cos B )·sin C ＋cos C ·(sin B －cos B )＝0 化简得：sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0 即sin A ＋cos A ＝0∴tan A ＝－1，而A ∈(0，π) ∴A ＝34π (2)∵a ·b ＝－15，即sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15 ∴sin A ＋cos A ＝－15①将①平方得：1＋2sin A ·cos A ＝125 ∴2sin A ·cos A ＝－2425＜0∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πsin A －cos A ＝1－2sin A ·cos A ＝75 ∴sin A ＝35 cos A ＝－45 ∴tan A ＝－34∴tan 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－916＝－247. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4(1)若a ∥b ，求tan α的值． (2)若a ·b ＝178，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解 (1)∵a ∥b ∴2sin α＝cos α 故tan α＝12. (2)a ·b ＝178，所以sin α·cos α＋2＝178 即sin 2α＝14因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2α＝154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝2＋308.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝3sin 2 x ＋23sin x cos x ＋5cos 2 x . (1)求函数f (x )的周期和最大值； (2)已知f (α)＝5，求tan α的值． 解 (1)f (x )＝3＋3sin 2x ＋2cos 2 x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4∴周期T ＝2π2＝π，最大值为6 (2)由f (α)＝5，得： 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋4＝5∴3sin 2α＋cos 2α＝1 即 23sin αcos α＝2sin 2α ∴sin α＝0或tan α＝ 3 ∴tan α＝0或tan α＝ 3. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝4cos 4 x －2cos 2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1712π的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 2 2xcos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1712π＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝2cos 56π＝－ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π ∴x ＝π8时，g (x )max ＝2， x ＝π2时，g (x )(min)＝－1.。
高中数学 第三章《三角恒等变换》章节测试 苏教版必修4
【高中数学苏教版必修4 】第三章《三角恒等变换》章节测试§3.1两角和与差的三角函数重难点：掌握余弦的差角公式的推导并能灵活应用；能利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式，学会推导两角和差的正切公式．考纲要求：①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式．经典例题：已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，11cos cos cos ACB+=-求cos2A C -的值.当堂练习：1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ） A ．21+ B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ） A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则（ ）A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－5665 6．οοο75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81 D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，111tan ,tan ,tan ,258αβγαβγ===++则等于（ ）A ．3πB ．4π C ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=010．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >o，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12．οοοο50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．4313．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B= .15．若),24cos()24sin(θθ-=+οο则)60tan(ο+θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知ο0βαβαcos ,cos ,90且ο<<<是方程02150sin 50sin 222=-+-οοx x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.第3章 三角恒等变换§3.2二倍角的三角函数重难点：理解二倍角公式的推导，并能运用二倍角公式灵活地进行化简、求值、证明．考纲要求：①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系示．经典例题：已知1cos sin 1cos sin ()1sin cos 1sin cos x x x x f x x xx x+---=+---+．（I ）化简f （x ）；(II) 是否存在x ，使得21tan2tan ()2sin xxf x x+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.当堂练习：1．οοοο15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是（ ） A ．45 B ．26 C ．23 D ．431+2．如果sin 1,sin cos 1cos 2αααα=++那么的值是 （ ）A ．57 B ．58 C ．1 D ．1529 3．已知θ为第Ⅲ象限角，则θcos 21212121++等于 （ ）A ．4sinθB ．4cosθC ．4sin θ-D ．4cosθ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（ ）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0] 5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos 2++的值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 6．οοοο80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为 （ ）A ．161 B ．161-C ．163 D ．163-7．οοοο48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为 （ ）A ．161 B ．161-C ．321 D ．81 8．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是（ ）A ．2α是第I 第限角B．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ） A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－72410．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于 （ ）A ．232-B ．232C ．32D ．32- 11．已知θ为第Ⅱ象限角，225sin sin 240,θθ+-= 则cos2θ的值为 （ ）A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值为（ ）A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 13．οοοο100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的值为 .15．已知θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简οοο100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅.20．不查表求值：οοοοοο40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅.21．已知函数5sin 12()(0),()22sin 2f f θθθπθθ=-+<<将表示成关于θcos 的多项式．必修4 第3章 三角恒等变换§3.3几个三角恒等式重难点：了解和差化积公式和积化和差公式的推导并能简单运用．考纲要求：①能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三组公式不要求记忆．经典例题：证明：内切圆半径为定值r 的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小．当堂练习：1.求值:cos 72π+cos 74π+cos 76π2.证明：tan 23x－tan 2x =x x x 2cos cos sin 2+3.已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。
数学苏教版必修4 第1章 三角函数 综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把★答案★填在题中横线上) 1．72°＝________rad.解析：72°＝72·π180 rad ＝2π5.★答案★：2π52.若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________．解析：由三角函数定义得tan α＝－21＝－2.★答案★：－23.若cos(2π－α)＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝________．解析：cos(2π－α)＝cos α＝53，又α∈(－π2，0)，∴sin α＝－23，∴sin(π－α)＝sin α＝－23.★答案★：－234.某扇形的面积为1 cm ，它的弧长为2 cm ，那么该扇形圆心角弧度数为________．解析：由⎩⎨⎧12lr ＝1，|α|＝l r，得α＝2.★答案★：25.设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，有下列图象：其中，函数d ＝f (l )的图象大致是________．解析：令AP ︵所对的圆心角为θ，由OA ＝1，知l ＝θ，sin θ2＝d 2，所以d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)．结合四个图象可知填③.★答案★：③6.函数y ＝tan(x －π6)的定义域是________．解析：由x －π6≠π2＋k π(k ∈Z )，解得x≠2π3＋k π(k ∈Z )．★答案★：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠k π＋2π3，k ∈Z7.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . ★答案★：y ＝1＋cos 2x8.为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________．解析：由函数图象可知，要出现50次最大值，至少需要4914个周期．∴T ≤1－04914＝4197.∴ω＝2πT ≥2π4197＝197π2.★答案★：197π29.若0≤α≤2π，sin α>3cos α，则α的取值范围是________． 解析：∵sin α>3cos α，∴⎩⎨⎧cos α>0，tan α>3，或⎩⎨⎧cos α<0，tan α<3，或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α>0.又∵0≤α≤2π，∴π3<α<π2或π2<α<4π3或x ＝π2，即x ∈(π3，4π3)．★答案★：(π3，4π3)10.已知函数f (x )＝3sin πxk的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期为________．解析：T ＝2π⎪⎪⎪⎪πk ＝2|k |.由题意知⎝⎛⎭⎫k 2，3在圆上， 得k 24＋3＝k 2， 所以|k |＝2，所以T ＝4. ★答案★：411.先将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，再变化各个点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的图象，则ω＝________，φ＝________．解析：因为函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2π3，所以ω＝3.又因为将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，可得函数y ＝sin(x －π3)的图象，故可判断函数y ＝sin(ωx ＋φ)中φ＝－π3.★答案★：3 －π312.方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈[－3，2]． 作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3与y ＝1－2a 在[0，π]上的图象(图略)，当3≤1－2a <2时，原方程有两个不等的实根，故－12<a ≤1－32.★答案★：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－3213.函数f (x )＝2cos(x －π4)－1在区间(0，π)内的零点是________．解析：函数f (x )＝2cos(x －π4)－1的零点即方程2cos(x －π4)＝1的解，也就是方程cos(x －π4)＝12的解，∴x －π4＝2k π±π3(k ∈Z )，即x ＝2k π＋7π12或x ＝2k π－π12(k ∈Z )，∴在区间(0，π)内的解是x ＝7π12.★答案★：7π1214.函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C .①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是________．解析：①f (11π12)＝3sin(116π－π3)＝3sin 32π＝－3，∴直线x ＝1112π为对称轴，①对；②由－π12＜x ＜5π12⇒－π2＜2x －π3＜π2，由于函数y ＝3sin x 在(－π2，π2)内单调递增，故函数f (x )在(－π12，5π12)内单调递增，②对；③∵f (x )＝3sin 2(x －π6)，∴由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin2(x －π3)的图象，得不到图象C ，③错．★答案★：2二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝cos(2x ＋π3)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)用五点法作出函数f (x )在一个周期内的图象．解：(1)∵f (x )＝cos(2x ＋π3)，∴T ＝π.(2)列表：x －π6 π12 π37π12 5π6 2x ＋π3 0 π2π 3π2 2π cos(2x ＋π3)1 0 －1 0116.(本小题满分14分)已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求1cos 2x －sin 2x的值．解：(1)法一：联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2x ＋cos 2x ＝1. ②由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0.∵－π2＜x ＜0，∴⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45.所以sin x －cos x ＝－75.法二：∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝(15)2，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925.③又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，∴sin x －cos x ＜0.④由③④可知sin x －cos x ＝－75.(2)由已知条件及(1)可知⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45.∴tan x ＝－34.∴1cos 2x －sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x cos 2x －sin 2xcos 2x＝tan 2x ＋11－tan 2x＝（－34）2＋11－（－34）2＝257. 17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由题意得2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)先把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x的图像，再把y ＝sin 2x 图象上所有点向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32的图象． 18.(本小题满分16分)(1)已知角α终边上一点P (－3，y )且sin α＝24y ，求cos α的值．(2)若f (x )＝sin πx6，试求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)的值．解：(1)由y 3＋y 2＝24y 解得y ＝±5或y ＝0；当y ＝±5时cos α＝－64；当y ＝0时，x ＝－3，r ＝3＋y 2＝3，故cos α＝x r ＝－33＝－1，∴cos α＝－64或－1.(2)∵f (x )＝sin πx6的周期为T ＝12，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (12)， f (13)＋f (14)＋…f (24)，…，f (1 993)＋f (1 994)＋…＋f (2 004)是相等的，把它们看成一个个整体，则有： f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝167[f (1)＋f (2)＋…＋f (12)]＋f (2 005)＋…＋f (2 015)，∵f (1)＋f (2)＋…f (12)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋…＋sin 12π6＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015) ＝167×0＋f (2 004＋1)＋…＋f (2 004＋11)＝f (1)＋…＋f (11)＝0.19.(本小题满分16分)设函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋a －1，已知不等式1≤f (x )≤174对一切x∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝(1－sin 2x )＋sin x ＋a －1＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－(sin x －12)2＋a ＋14.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时f (x )max ＝a ＋14；当sin x ＝－1时，f (x )min ＝a －2.∵1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，∴f (x )max ≤174且f (x )min ≥1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174，a －2≥1，得3≤a ≤4，故a 的取值范围是[3，4]．20.(本小题满分16分)求关于x 的函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值．解：设cos x ＝t ，则函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)即为关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)(－1≤t ≤1)；该二次函数图象关于t ＝a2对称，故分三种情况讨论：(1)当a2≤－1即a ≤－2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，1]上为增函数，所以t ＝－1时y min ＝2＋2a －(2a ＋1)＝1；(2)当－1<a 2<1即－2<a <2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，a2]上为减函数、在区间[a 2，1]上为增函数，所以t ＝a 2时，y min ＝2×a 24－2a ×a 2－(2a ＋1)＝－a22－2a－1；(3)当a2≥1即a ≥2时，关于t 的二次函数y ＝2t 2－2at －(2a ＋1)在区间[－1，1]上为减函数，所以t ＝1时，y min ＝2－2a －(2a ＋1)＝1－4a ；综上知：原函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤－2，－a22－2a －1，－2<a <2，1－4a ，a ≥2.。
苏教版数学高一必修四 作业 第三章《三角恒等变换》章末检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．sin 75° cos 30°－cos 75° sin 30°的值为________．解析：sin 75° cos 30°－cos 75° sin 30°＝sin(75°－30°)＝sin 45°＝22. 答案：222．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为________． 解析：原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 答案：－33．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为________． 解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251－12·(－25)＝－112. 答案：－1124．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：a ＝ 2 sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°，所以a <c <b .答案：a <c <b5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________. 解析：sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos 2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝725. 答案：7256．f (sin x )＝cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：f (sin x )＝cos 2x ＝1－2sin 2x∴f (x )＝1－2x 2∴f (32)＝1－2×(32)2＝－12. 答案：－127．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________． 解析：∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3) ∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)． 答案：x ＝k π2＋π12，k ∈Z 8．化简sin (α＋30°)＋sin (30°－α)cos α＝________. 解析：原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°＋sin 30°cos α－cos 30°sin αcos α＝2cos αsin 30°cos α＝1. 答案：19．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________．解析：tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)＝3－3tan 19°tan 41°.∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3.答案： 310．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 解析：依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋(12)2＝2， 故(sin α＋cos α)2＝74； 又α∈(0，π2)， 因此有sin α＋cos α＝72， 所以cos 2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案：－142 11.2cos 5°－sin 25°cos 25°＝________. 解析：原式＝(sin 85°－sin 25°)＋cos 5°cos 25° ＝2cos 55°sin 30°＋cos 5°cos 25°＝cos 55°＋cos 5°cos 25°＝2cos 30°cos 25°cos 25°＝2×32＝ 3. 答案： 312．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tan β＝12，β是第三象限角，则cos α的值为________．解析：∵sin (α－β)＝1010，α－β是第一象限角， ∴cos(α－β)＝3 1010.∵tan β＝12，β是第三象限角， ∴sin β＝－55，cos β＝－2 55.则cos α＝cos[β＋(α－β)]＝cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β) ＝－2 55×3 1010＋55×1010＝－5 5050＝－22. 答案：－2213．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin 2x ＋2cos 2x 1＋tan x的值为________． 解析：∵3＋2sin x ＋2cos x ＝3＋2 2sin(x ＋π4)>0， ∴sin x －2cos x ＝0.∴tan x ＝2.∴原式＝2cos x (sin x ＋cos x )1＋sin x cos x＝2cos 2x (sin x ＋cos x )cos x ＋sin x ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ＝1＋1－tan 2x 1＋tan 2x ＝1＋1－41＋4＝25. 答案：2514．已知α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，tan α21－tan 2α2＝14，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为________． 解析：由tan α21－tan 2α2＝14得tan α＝12， 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]可得tan(α＋β)＝2tan α＝1，注意到α＋β∈(0，π2)， 所以α＋β＝π4. 答案：π4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知cos α－sin α＝3 25，且π<α<32π，求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值． 解：因为cos α－sin α＝3 25，所以1－2sin αcos α＝1825， 所以2sin αcos α＝725. 又α∈(π，3π2)， 故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－4 25， 所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×(－4 25)3 25＝－2875. 16．(本小题满分14分)设x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的最值． 解：y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6) ＝cos 2(x －π6)＋2sin(x －π6) ＝1－2sin 2(x －π6)＋2sin(x －π6) ＝－2[sin(x －π6)－12]2＋32. ∵x ∈[0，π3]， ∴x －π6∈[－π6，π6]．∴sin(x －π6)∈[－12，12]， ∴y max ＝32，y min ＝－12. 17．(本小题满分14分)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．解：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4， 得：sin (π4＋θ)cos (π4＋θ)＋sin (π4－θ)cos (π4－θ) ＝sin (π4＋θ＋π4－θ)cos (π4＋θ)cos (π4－θ) ＝2(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ) ＝2cos 2θ－sin 2θ＝4. 则cos 2θ＝34. ∵－π<θ<－π2， ∴cos θ＝－32，sin θ＝－12， ∴sin 2θ－2sin θ·cos θ－cos 2θ＝－1＋32. 18．(本小题满分16分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－2 77，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2； (2)tan(α＋β)．解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2， ∴sin(α－β2)＝ 1－cos 2(α－β2)＝217， cos(α2－β)＝ 1－sin 2(α2－β)＝ 32. ∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)·cos(α2－β)＋sin(α－β2)·sin(α2－β) ＝(－2 77)×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<34π， ∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5 714， ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－5 33， ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5 311. 19．(本小题满分16分)(2012·四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2·cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值． 解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为[－22，22]． (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35. 所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4) ＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，x ∈R(其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小正周期为π2，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx＝2(sin ωx ·32＋cos ωx ·12) ＝2(sin ωx ·cos π6＋cos ωx ·sin π6) ＝2sin(ωx ＋π6)． ∵x ∈R ，∴f (x )的值域为[－2,2]．(2)∵f (x )的最小正周期为π2， ∴2πω＝π2，即ω＝4. ∴f (x )＝2sin(4x ＋π6)， ∴2k π＋π2≤4x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z. 即12k π＋π12≤x ≤12k π＋π3，k ∈Z. ∵x ∈[0，π2]，∴π12≤x ≤π3. ∴f (x )的单调递减区间为[π12，π3]．。
苏教版高中数学必修四第三章三角恒等变换章末质量评估
章末质量评估(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．cos 2 75°＋cos 2 15°＋cos 75°cos 15°的值为________．解析 原式＝sin 2 15°＋cos 2 15°＋sin 15°·cos 15°＝1＋12sin 30°＝54. 答案 542．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为________．解析 原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15°＝sin(45°－15°)＝12. 答案 123．(2010·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝________. 解析 cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19. 答案 －194．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为________．解析 tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1. 答案 15．已知f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝________. 解析 f (cos x )＝2cos 2 x －1∴f (sin 15°)＝2sin 2 15－1＝－cos 30°＝－32 答案 －326．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是________．解析 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2α＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋2＝76.答案 767．函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为________．解析 y ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y max ＝2. 答案 28．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tanα2＝________. 解析 1＋tan α21－tan α2＝sin α2＋cos α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝sin α2＋cos α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α ∵α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴原式＝－12. 答案 －129．已知sin α＝45，且sin α－cos α＞1，则sin 2α＝________. 解析 sin α－cos α＞1 ∴1－2sin α·cos α＞1 ∴sin α·cos α＜0sin α＝45 ∴cos α＝－35∴sin 2α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425答案 －242510．△ABC 中，tan A ＝－2，tan B ＝13，则C ＝________. 解析 ∵tan A ＝－2，tan B ＝13 ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－1∵tan C ＝－tan(A ＋B )＝1而C ∈(0，π)，∴C ＝π4. 答案 π4 11．函数y ＝sin x cos x1＋sin x ＋cos x的最大值与最小值分别为________．解析 设t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4(－2≤t ≤2)，sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝12(t －1)(t ≠－1)， 所以y min ＝－2＋12，y max ＝2－12.答案2－12、－(2＋1)212．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.解析 0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜34π ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223， ∵－π2＜β＜0 ∴π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 答案53913．已知f (α)＝1＋cos 2α1tan α2－tan α2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f (α)取得最大值时α的值是________．解析 f (α)＝1＋cos 2α1tan α2－tan α2＝2cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2 ＝2cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝sin αcos 2αcos α＝12sin 2α，当2α＝π2，即α＝π4时，函数f (α)取得最大值． 答案 π414．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＋f (2011)＝________.解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3－π3＝2sin π4x ， ∴f (x )的周期T ＝2ππ4＝8.又f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＋f (2 011) ＝251×0＋f (1)＋f (2)＋f (3) ＝2sin π4＋2sin 2π4＋2sin 3π4 ＝2＋2＋2＝2＋2 2. 答案 2＋2 2二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(本小题满分14分)(1)化简(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ，(0＜θ＜π)．(2)求值1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°. 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2|cos θ2|＝－cos θ2·cos θ|cos θ2|因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ. (2)原式＝2cos 2 10°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 2 5°－sin 2 5°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.16．(本小题满分14分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3－cos πx 4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求g (x )＝f (－2－x )；当x ∈[0,2]时，求函数y ＝g (x )的最大值． 解 (1)f (x )＝cos π4x cos π3＋sin π4x sin π3－cos πx 4＝32sin π4x －12cos π4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6.故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)由题设条件得g (x )＝f (－2－x )＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(－2－x )－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－π4x －π6 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4x －π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π6. 当0≤x ≤2时，π6≤π4x ＋π6≤2π3， 设t ＝π4x ＋π6，则y ＝－cos t ，且t ∈[0，π]时是增函数， 因此y ＝g (x )在区间[0,2]上的最大值为 g (x )max ＝－cos 2π3＝12.17．(本小题满分14分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α＜0，故tan α＝12(舍去)．∴tan α＝－43. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3 ＝－255×12－55×32＝－25＋1510.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]． 而f (x )＝m ＋2， 所以m ＋2∈[2,3]， 即m ∈[0,1]．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2 x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2 x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2 x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.20．(本小题满分16分)已知函数f (t )＝ 1－t1＋t，g (x )＝cos x ·f (sin x )＋sin x ·f (cos x )，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，1712π.(1)将函数g (x )化简成A sin(ωx ＋φ)＋B ，(A ＞0，ω＞0)，φ∈[0,2π)的形式． (2)求函数g (x )的值域． 解 (1)g (x )＝cos x ·1－sin x1＋sin x＋sin x ·1－cos x1＋cos x＝cos x ·(1－sin x )2cos 2 x ＋sin x ·(1－cos x )2sin 2 x＝cos x ·1－sin x |cos x |＋sin x ·1－cos x|sin x |. 因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，17π12， 所以|cos x |＝－cos x ，|sin x |＝－sin x . 所以g (x )＝cos x ·1－sin x －cos x ＋sin x ·1－cos x－sin x＝sin x ＋cos x －2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2.(2)由π＜x ≤17π12，得5π4＜x ＋π4≤5π3.令u ＝x ＋π4，则5π4＜u ≤5π3. 因为sin u 在⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，3π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，5π3上为增函数，又sin 5π3＜sin 5π4， 所以sin 3π2≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜sin 5π4(当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，17π12时 )， 即－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜－22，所以－2－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2＜－3.故g (x )的值域为[－2－2，－3)．。
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第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换
1．A 函数()sin (cos sin )f x x x x =⋅-的最小正周期是（ ） A. π4 B. π2
C. π
D. 2π
2．A 将函数()sin y x x x =+∈R 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. 5π6
3．A 已知函数
2
()sin 12x f x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.
4．B 已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是( )
A. ()y f x =的图像关于()π,0中心对称
B. ()y f x =的图像关于直线π2x =
对称
C. ()f x
D.()f x 既是奇函数，又是周期函数
5．B 已知函数()sin()cos(),6π3πf x x x =-+-2()2sin
2
x g x =.求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.
6．B 将函数()sin R y x x x =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.
π12 B. π6 C. π3 D. 5π6
7．B 已知向量1(cos ,),2x =-a
,cos2),x x x ∈=R b ，设函数()·
f x =a b . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x )在π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.
8．C 若1cos cos sin sin ,2
x y x y += 2sin 2sin 23
x y +=， 则sin()________x y +=.
9．C 已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；
(1)若()y f x =在π2π[,]43
-
上单调递增，求ω的取值范围； (2)令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b (,R a b ∈且a b <)满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．。