【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评选修2－1(A 版)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确．答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)．设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0，即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0，且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题，则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5，即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。

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【红对勾】人教 A 版高中数学选修 2-1 单元综合测试一篇一：2013 版【名师一号】高中数学(人教 A 版)选修 2-1 全册综合测试题(含详解) 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网本册综合测试 (时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1．已知 p：2x－3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ?/p. ∴p2A．0) C．(0,1)．答案 C 3．已知命题 p：3 是奇数，q：3 不是质数．由它们构成的“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的命题中真命题有() A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个解析命题 p 为真，q 为假，∴“p∨q”为真，“p∧q”、“綈 p”为假，故应选 B. 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网答案 B x2y24．4k＝1 的离心率 e∈(1,2)，则 k 的取值范围是() A．(－∞，0)B．(－3,0) C．(－12,0)D．(－60，－12) x2y2 解析由 4k1 表示双曲线知，k 4－k∵1 ∴4 答案 C 5．下列结论正确的个数是(“?x∈R，x2＋1>0p：?x∈R，x2＋2x＋1≤0，则綈 p：?x∈R，x2 ＋2xA．0B．C．2 解析綈 p：?x∈R，x2＋2x＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B 6．设 α，β，γ 是互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出下列命题： ①若 m⊥α， m⊥β，则 α∥β； ②若 α⊥γ， β⊥γ，则 α∥β； ③若 m⊥α， m∥β，则 α⊥β； ④若 m∥α，n⊥α，则 m⊥n. 其中真命题的个数是() 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 1 / 10A．1B．2 C．3D．4 解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C 7．已知 a＝(m＋1,0,2m)，b＝(6,2n－1,2)，若 a∥b，则 m 与 n 的值分别为() 11A.52B．5,2 11C5，－2D．－5，－2 解析 ∵a∥b，∴a＝λb， m? ?∴?0??2∴m 答案 8y2＝2px 的准线上，则 p 的值为() A．2B．3 C．4D．42 2p 解析设双曲线的焦距为 2c，由双曲线方程知 c2＝3＋16，则其左焦点为(p316，0)．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 p 由抛物线方程 y2＝2px 知其准线方程为 x＝－2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知， p2p23＋16＝4p>0，解得 p＝4. 答案 C x2y2 9．已知双曲线 a－b1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为() 43A.3B.2 5C.3D．2 解析 a，又|又|c∴a 答案 10．如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC＝AA1，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 ∠ABC＝90°，点 EF 分别是棱 AB，BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是() A．45° C．90°B．60° D．120° 解析建立空间直角坐标如图所示． 1 故 EF 与 BC1 所成的角为 60°. 答案 B 11．给出下列曲线，其中与直线 y＝－2x－3 有交点的所有曲线是() 22xx①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③2＋y2＝12－y2＝1. A．①③B．②④ 2 / 10篇二：新人教 A 版高中数学选修 2-2 综合测试题【1】及答案高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题 1．在数学归纳法证明“1?a?a? 的左边为（）Ａ．1 答案：ＣＢ．1?aＣ．1?aＤ．1?a2 21?an?1?a?(a?1，n?N?)”时，验证当 n?1 时，等式 1?an 1?∞)上是增函数，2．已知三次函数 f(x)?x3?(4m?1)x2?(15m2?2m?7)x?2 在 x?(?∞，则 3 m 的取值范围为（）Ａ．m?2 或 m?4Ｂ．?4?m??2 Ｃ．2?m?4Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ 3．设 f(x)?(ax?b)sinx?(cx?d)cosx，若 f?(x)?xcosx，则 a，b，c，d 的值分别为（）Ａ．1，1， 0 ，0 答案：ＤＢ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1 ，，且在点 Q(2，?1)处的切线平行于直线 y?x?3，4．已知抛物线 y?ax2?bx?c 通过点 P(11) 则抛物线方程为（）Ａ．y?3x2?11x?9 Ｃ．y?3x2?11x?9 答案：Ａ 5．数列?an?满足 an?11?2a，0≤a≤，nn?6?2??若 a1?，则 a2004 的值为（） 17?2a?1≤a?1， nn??2Ｂ．y?3x2?11x?9 Ｄ．y??3x2?11x?9 Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．1 7 答案：Ｃ 6．已知 a， b 是不相等的正数，x?，y?，则 x，y 的关系是（）Ａ．x?y 答案：ＢＢ．y?x Ｃ．x?Ｄ．不确定 m?2i(m?R)不可能在（） 1?2i Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限答案：Ａ，D?A 的运算分别对应下图中的 8．定义 A?B，B?C，C?D7．复数 z? Ｄ．第四象限（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列 3 / 10（）的运算的结果（）Ａ．B?D，A?DＢ．B?D，A?C Ｃ．B?C，A?DＤ．C?D，A?D 答案：Ｂ 9．用反证法证明命题“a，b?N，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除．” 则假设的内容是（）Ａ．a，b 都能被 5 整除Ｂ．a，b 都不能被 5 整除Ｃ．a 不能被 5 整除Ｄ．a，b 有 1 个不能被 5 整除答案：Ｂ 10．下列说法正确的是（）Ａ．函数 y?x 有极大值，但无极小值Ｂ．函数 y?x 有极小值，但无极大值Ｃ．函数 y?x 既有极大值又有极小值Ｄ．函数 y?x 无极值答案：Ｂ 11．对于两个复数????11? ，???，有下列四个结论：①???1；②?1；③?1；?22?④?3??3?1．其中正确的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4 答案：Ｂ 12．设 f(x)在[a，b]上连续，则 f(x)在[a，b]上的平均值是（）Ａ．f(a)?f(b)2Ｂ．?f(x)dx ab Ｃ．1bf(x)dx?a2Ｄ．1bf(x)dx ?ab?a 答案：Ｄ二、填空题 13．若复数 z?log2(x2?3x?3)?ilog2(x?3)为实数，则 x 的值为答案：4 14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆） ○●○○●○○○●○○○○● 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前 2006 年圆中有实心圆的个数为．答案：61 ，2]上的最大值为 3，最小值为?29，则 a，b 的 15．函数 f(x)?ax3?6ax2?b(a?0)在区间[?1 值分别为．答案：2，3 16．由 y2?4x 与直线 y?2x?4 所围成图形的面积为答案：9 三、解答题 17．设 n?N?且 sinx?cosx??1，求 sinnx?cos n，2，3，4 时的值，归纳猜测 x 的值．（先观察 n?1 sinnx?cosnx 的值．） 4 / 10解：当 n?1 时，sinx?cosx??1；当 n?2 时，有 sin2x?cos2x?1；当 n?3 时，有 sin3x?cos3x?(sinx?cosx)(sin2x?cos2x?sinxcosx)，而 sinx?cosx??1， ∴1?2sinxcosx?1，sinxcosx?0． ∴sin3x?cos3x??1．当 n?4 时，有 sin4x?cos4x?(sin2x?cos2x)2?2sin2xcos2x?1．由以上可以猜测，当 n?N?时，可能有 sinnx?cosnx?(?1)n 成立． 18．设关于 x 的方程 x2?(tan??i)x?(2?i)?0，（1）若方程有实数根，求锐角?和实数根； π（2）证明：对任意??kπ?(k?Z)，方程无纯虚数根． 2 解：（1）设实数根为 a，则 a2?(tan??i)a?(2?i)?0，即(a2?atan??2)?(a?1)i?0．，?a2?atantan??2?0，?a??1 由于 a，tan??R，那么? ??tan??1．a?1?1?? 又 0???π， 2 ，?a??1?得?π ??．??4 （2）若有纯虚数根?i(??R)，使(?i)2?(tan??i)(?i)?(2?i)?0，即(??2???2)?(?tan??1)i?0， ???2???2?0，由?，tan??R，那么? ?tan??1?0，? 由于??2???2?0 无实数解． π 故对任意??kπ?(k?Z)，方程无纯虚数根． 2 0)是函数 f(x)?x3?ax 与 g(x)?bx2?c 的图象的一个公共点，两函数的 19．设 t?0，点 P(t，图象在点 P 处有相同的切线．（1）用 t 表示 a，b，c；，3)上单调递减，求 t 的取值范围．（2）若函数 y?f(x)?g(x)在(?1 0)，所以 f(t)?0，即 t3?at?0．解：（1）因为函数 f(x)，g(x)的图象都过点(t，因为 t?0，所以 a??t2． g(t)?0，即 bt2?c?0，所以 c?ab． 0)处有相同的切线，又因为 f(x)，g(x)在点(t，所以 f?(t)?g?(t)，而 f?(x)?3x2?a，g?(x)?2bx，所以 3t2?a?2bt．将 a??t2 代入上式得 b?t．因此 c?ab??t3．故 a??t2，b?t，c??t3．（2）y?f(x)?g(x)?x3?t2x?tx2?t3，y??3x2?2tx?t2?(3x?t)(x?t)．当 y??(3x?t)(x?t)?0 时，函数 y?f(x)?g(x)单调递减． t 由 y??0，若 t?0，则??x?t； 3 t 若 t?0，则 t?x??． 3 t??t??，3)???，t?或(?1，3)??t，??．，3)上单调递减，则(?1 由题意，函数 y?f(x)?g(x)在 (?13??3?? 所以 t≤?9 或 t≥3．，3)上不是单调递减的．又当?9?t?3 时，函数 y?f(x)?g(x)在(?1 ?9?所以 t 的取值范围为??∞，?∞?． ?3， 5 / 1020．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若 a?b?c，且 a?b?c? 0? 解：此命题是真命题． ∵a?b?c?0，a?b?c，∴a?0，c?0． ? ，即证 b2?ac?3a2，也就是证(a?c)2?ac?3a2，篇三：【红对勾】2016-2017 学年高中数学必修二(人教 A 版)：模块综合测试模块综合试题时间：120 分钟分值：150 分第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．下列命题正确的是() A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一个平面，第三条直线与其相交，由公理 1 可知，这三条直线共面，故 B 正确．答案：B 2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0 与直线 2x＋3y＋5＝0 平行，则 a 的值为() A．－64C．－5 B．6 4D.5a－22 解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－a＝－3a＝6. 答案：B 3．圆台侧面的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30°，一个底面的半径是另一个底面半径的 2 倍．求两底面的面积之和是() A．3πa2C．5πa2 B．4πa2 D．6πa2 解析：设圆台上底面半径为 r，则下底面半径为 2r，如图所示，∠ASO＝30°， r 在 Rt△ SA′O′中，＝sin30°， SA′∴SA′＝2r. 2r 在 Rt△ SAO 中，SAsin30°， ∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即 4r－2r＝2a，r＝a. ∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. 答案：C 4．若直线 l 过点 A(3,4)，且点 B(－3,2)到直线 l 的距离最远，则直线 l 的方程为() A．3x－y－5＝0C．3x＋y＋13＝0 B．3x－y＋5＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：当 l⊥AB 时，符合要求． 4－21 ∵kAB＝，∴l 的斜率为－3， 3＋33 6 / 10∴直线 l 的方程为 y－4＝－3(x－3)，即 3x＋y－13＝0. 答案：D 5．过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2＋y2－4y＝0 所截得的弦长为() A.3C.6 B．2 D．23 解析：直线方程为 y3x，圆的标准方程为 x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线 y3x 的距离 d22 －1＝3. 答案：D 6．如图，在三棱锥 S－ABC 中，G1，G2 分别是△ SAB 和△ SAC 的重心，则直线 G1G2 与 BC 的位置关系是( ) A．相交 C．异面 B．平行 D．以上都有可能 |3×0－2|?3?＋?－1? 2 2 ＝1.故所求弦长 l＝题图答图解析：连接 SG1，SG2 并延长分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 SGSGN.∵GM＝GN，∴G1G2∥MN. 12 ∵M，N 分别为 AB，AC 的中点， ∴MN∥BC.故 G1G2∥BC. 答案：B 7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为 S1，S2，S3，则() A．S1 B．S3 S?2?2 解析：设棱锥的底面面积为 S.由截面的性质，可知 S＝ ??1 ?1S21 ＝4；S1S2＝2；? ?2 1S?32 ＝＝S，故 S1 4 答案：A 8．在圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中，若 D2＝E2>4F，则圆的位置满足() A．截两坐标轴所得弦的长度相等 B．与两坐标轴都相切 C．与两坐标轴相离 D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0. ∴圆被 x 轴截得的弦长为|x1－x2|＝D－4F. 同理得圆被 y 轴截得的弦长为 E－4F＝D－4F.故选 A. 答案：A 7 / 109．在如图所示的空间直角坐标系 O－xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)， (2,2,0)， (1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( ) A．①和②B．③和①C．④和③D．④和② 解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选 D. 答案：D 10．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是正方形 ADD1A1 和正方形 ABCD 的中心，G 是 CC1 的中点，设 GF，C1E 与 AB 所成的角分别为 α，β，则 α ＋β 等于() A．120°B．90°C．75°D．60° 解析：根据异面直线所成角的定义知 α＋β＝90°. 答案：B 11．已知点 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB8 / 109 / 1010 / 10。

【红对勾】高中数学单元综合测试三新人教A版选修2-1(1)

单元综合测试三时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，假设CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，那么A 1B →＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c解析：结合图形，得A 1B →＝A 1A →＋AC →＋CB →＝－c －a ＋b ＝－a ＋b －c ，应选D. 答案：D2．已知a ＝(－5,6,1)，b ＝(6,5,0)，那么a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向答案：A3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，假设(a ＋b )⊥c ，那么x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－6 解析：a ＋b ＝(－2,1,3＋x )，由(a ＋b )⊥c ， ∴(a ＋b )·c ＝0.∴－2－x ＋2(3＋x )＝0，得x ＝－4. 答案：B4．假设a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a ，b 的夹角的余弦值为89，那么λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255 D ．2或－255解析：a·b ＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ2×3×89.解得λ＝－2或255. 答案：C5．已知空间四边形ABCD 每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 别离是AB 、AD 、DC 的中点，那么a 2是以下哪个选项的计算结果( )A ．2BC →·CA →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →解析：2BC →·CA →＝－a 2，A 错；2AD →·DB →＝－a 2，B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，D 错；只有C 对．答案：C6．假设A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87C.87D.1914解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，那么|AB →|＝1－x 2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值，应选C. 答案：C7．已知ABCD ，ABEF 是边长为1的正方形，FA ⊥平面ABCD ，那么异面直线AC 与EF 所成的角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图1，由于EF ∥AB 且∠BAC ＝45°，因此异面直线AC 与EF 所成的角为45°，应选B. 答案：B图1图28．如图2所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，那么sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( ) A.12 B.21015 C.23 D.1115解析：以DA ，DC ，DD ′所在的直线别离为x ，y ，z 轴成立直角坐标系O －xyz ，设正方体棱长为1，那么D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，那么DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，那么sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.答案：B 图39．如图3，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，那么C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C.2 D.3解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝2.答案：C10．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，那么存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，假设OP →＝2OA →－2OB →－OC →，那么P 、A 、B 、C 四点共面；④假设{a ，b ，c }为空间的一个基底，那么{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }组成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：①错，应为充分没必要要条件．②错，应强调b ≠0.③错，∵2－2－1≠1.⑤错，由数量积的运算性质判别．答案：C11．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，那么二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )A.6 B.3C.66D.62解析：设PA ＝AB ＝2，成立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0,0)，平面PBC 的一个法向量是n ＝(33，1,1)．那么cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33|m ||n |＝331×213＝77.∴正切值tan 〈m ，n 〉＝6.答案：A 图412．(2020·辽宁高考)如图4，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，那么以下结论中不正．．确．的是( ) A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .又∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC .其中SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥面SDB ，从而AC ⊥SB .故A 正确；易知B 正确；设AC 与DB 交于O 点，连结SO .那么SA 与平面SBD 所成的角为∠ASO ，SC 与平面SBD 所成的角为∠CSO ，又OA ＝OC ，SA ＝SC ，∴∠ASO＝∠CSO .故C 正确；由排除法可知选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u ＝(－2，－1,1)，那么l 与α的夹角为________．解析：∵cos 〈v ，u 〉＝|－2＋1－2|6×6＝12，∴〈v ，u 〉＝60°.∴l 与α的夹角为30°. 答案：30°14．如图5所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，那么GE →＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－23AM →＋AD →＋14DB →＝－23×12(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →，故GE →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →图5 图615．如图6所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，那么PA 与底面ABC 所成的角为________．解析：由于PA ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，因此OP ⊥面ABC ，∠PAO 为所求角，不妨设BC ＝1，那么OA ＝12，cos ∠PAO ＝12，因此∠PAO ＝60°.答案：60°16．(2020·全国高考)已知点E 、F 别离在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，那么面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．图7解析：延长FE 、CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，那么GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于H ，连结EH ，那么∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EBBH＝23.答案：23三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是不是存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，假设OE →⊥b ，那么OE →·b ＝0，因此－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，现在E 点坐标为E (－65，－145，25)．图818．(12分)如图8，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1. 图9证明：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，且C 1C 垂直底面． ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图9，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，那么E (0,2,2)， ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→.∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.19．(12分)已知M 为长方体AC 1的棱BC 的中点，点P 在长方体AC 1的面CC 1D 1D 内，且PM ∥BB 1D 1D ，试探讨点P 的确切位置．图10解：以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，如图10成立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c .依照题意可设A (a,0,0)，B (a ，b,0)，D 1(0,0，c )，P (0，y ，z )，那么M (12a ，b,0)．又PM ∥BB 1D 1D ，依照空间向量大体定理，必存在实数对(m ，n )，使得PM →＝mDB →＋nDD 1→，即(12a ，b －y ，－z )＝(ma ，mb ，nc )，等价于⎩⎪⎨⎪⎧12a ＝mab －y ＝mb －z ＝nc⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，y ＝12b ，z ＝－nc ，n ∈R ，那么点P (0，b2，－nc )．∴点P 在面DCC 1D 1的DC 的中垂线EF 上．20．(12分)在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两相互垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 别离是BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ； (2)EG ⊥PG ，EG ⊥BC .图11证明：(1)以三棱锥的极点P为原点，以PA、PB、PC所在的直线别离为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，那么A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．于是PA→＝(3,0,0)，FG→＝(1,0,0)．故PA→＝3FG→.∴PA∥FG.又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.(2)∵EG→＝(1，－1，－1)，PG→＝(1,1,0)，BC→＝(0，－3,3)．∴EG→·PG→＝1－1＝0，EG→·BC→＝3－3＝0.∴EG⊥PG，EG⊥BC.图1221．(12分)(2020·天津高考)如图12，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1BB1的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．图13解：如图13所示，成立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，－22，5)，A1(22，22，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5)．(1)易患AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23.因此异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －22x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)，一样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－22x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)，于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝27×7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357. 因此二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)．设M (a ，b,0)，那么MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎨⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN→·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧22－a ·－22＝0，22－a ·－2＋322－b ·－2＋52×5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，因此线段BM 的长|BM →|＝104.图1422．(12分)如图14，在矩形ABCD 中，点E ，F 别离在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 别离在线段FD ，BC 上，假设沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：法一：(1)取线段EF 的中点H ，连结A ′H . 因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，因此A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ⊂平面A ′EF ，因此A ′H ⊥平面BEF .如图15成立空间直角坐标系A －xyz ，图15 则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)，故FA ′→＝(－2,2,22)，FD →＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，那么n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)．故cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝33. 因此二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，那么M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，因此CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214，经查验，现在点N 在线段BC 上，因此FM ＝214. 法二：(1)取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A ′G ，A ′H ，GH .图16因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，因此A ′H ⊥EF ，又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，因此A ′H ⊥平面BEF ，又AF ⊂平面BEF ，故A ′H ⊥AF ，又因为G ，H 是AF ，EF 的中点，易知GH ∥AB ，因此GH ⊥AF ，于是AG ⊥面A ′GH ，因此∠A ′GH 为二面角A ′－DF －C 的平面角，在Rt △A ′GH 中，A ′H ＝22，GH ＝2，A ′G ＝23，因此cos ∠A ′GH ＝33. 故二面角A ′－DF －C 的余弦值为33.(2)设FM＝x，因为翻折后，C与A′重合，因此CM＝A′M，而CM2＝DC2＋DM2＝82＋(6－x)2，A′M2＝A′H2＋MH2＝A′H2＋MG2＋GH2＝(22)2＋(x＋2)2＋22，得x＝214，经查验，现在点N在线段BC上，因此FM＝214.。

高中数学人教版选修2-1模块综合检测(一) Word版含答案

模块综合检测（一）(时间分钟，满分分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．命题“∃∈－＞”的否定是( )．∃∈－≤．∀∈－＞．∀∈－≤．∃∈－＞解析：选由特称命题的否定的定义即知．．已知条件甲：＞；条件乙：＞，且＞，则( )．甲是乙的充分但不必要条件．甲是乙的必要但不充分条件．甲是乙的充要条件．甲是乙的既不充分又不必要条件解析：选甲乙，而乙⇒甲．．对∀∈，则方程＋＝所表示的曲线不可能的是( )．两条直线．圆．椭圆或双曲线．抛物线解析：选分＝及＞且≠，或＜可知：方程＋＝不可能为抛物线．．下列说法中正确的是( )．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真．“＞”与“＋＞＋”不等价．“＋＝，则，全为”的逆否命题是“若，全不为，则＋≠”．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选.．已知空间向量＝(，)，＝(－)，若－与垂直，则等于( )())())解析：选由已知可得－＝()－(－，)＝(，－)．又∵(－)⊥，∴－＋－＋＝.∴＝，＝.∴＝＝()).．(山东高考)已知直线，分别在两个不同的平面α，β内，则“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选由题意知⊂α，⊂β，若，相交，则，有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则，的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选.．已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一个焦点与抛物线＝的焦点重合，则该双曲线的方程是( )－＝－＝－＝－＝解析：选由已知得＝，＝，∴＝，＝，且焦点在轴，所以方程为－＝.．若直线＝与双曲线－＝(＞，＞)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) ．(，) ．(，＋∞)．(，] ．[，＋∞)解析：选双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为＝.由条件知，应有＞，故＝＝＝＞.．已知(－)，()是椭圆＋＝的两个焦点，点在椭圆上，∠＝α.当α＝时，△面积最大，则＋的值是( )．．．．解析：选由△＝·＝，知点为短轴端点时，△面积最大．此时∠＝，得＝＝，＝＝，故＋＝.．正三角形与正三角形所在平面垂直，则二面角的正弦值为( )解析：选取中点，连接，.建立如图所示坐标系，设＝，则，，.∴＝，＝，＝.由于＝为平面的一个法向量，可进一步求出平面的一个法向量＝(，－，)，。

(人教版)高中数学选修2-1检测模块综合检测A Word版含答案

模块综合检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“存在实数，使＞”的否定是( )．对任意实数，都有＞．不存在实数，使≤．对任意实数，都有≤．存在实数，使≤解析：利用特称(存在性)命题的否定是全称命题求解．“存在实数，使＞”的否定是“对任意实数，都有≤”．故选.答案：．在命题“若∈，()＝，则函数()是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是( ) ．．．．解析：原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题．答案：．已知直线⊥平面α，直线⊂平面β，则“∥”是“α⊥β”的( )．充要条件．必要条件．充分条件．既不充分也不必要条件解析：⇒⇒α⊥β，∴“∥”是“α⊥β”的充分条件，⇒∥.答案：．已知命题：若＋＝(，∈)，则，全为；命题：若>，则<.给出下列四个复合命题：①且；②或；③¬；④¬.其中真命题的个数是( )．．．．解析：命题为真，命题为假，故或真，¬真．答案：．已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且＝，＝－＋－，则点的坐标为( )．(－，－) ．(－，，－)．(，－，－) ．(－)解析：设点的坐标为(，，)，则有＝(，，－)＝(－，－)，∴(\\(＝－，＝，－＝，))解得(\\(＝－，＝，＝.))故选.答案：．如下图所示，正四棱柱－中，＝，则异面直线与所成角的余弦值为( )解析：连接，则∥，∠为与所成角，不妨设＝，则＝∠＝＝＝.答案：．以－＝－的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：双曲线－＝－，即－的焦点为(，±)，顶点为(，±)．所以对椭圆＋＝而言，＝，＝.∴＝，因此方程为＋＝.答案：．如图，在锐二面角α－－β的棱上有两点，，点，分别在平面α、β内，且⊥，∠＝°，＝＝＝，与所成角为°，则的长度为( )－．解析：＝＝＝＝＝－.答案：．设，是双曲线－＝(>)的两个焦点，点在双曲线上，且满足：·＝，·＝，则的值为( )．．解析：双曲线方程化为－＝(>)，∵·＝，∴⊥.。

高中数学人教A版选修2-1模块综合测评-含答案解析

人教A 版选修2-1模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.544．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．45．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π47．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤58．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－110．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±1211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155 D.1520二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．14．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______.16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12.18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →²QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)易知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， 2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝2 3. ∴椭圆的方程为x 24＋23＋y 223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM .∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，M (0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→²n ＝0，AB 1→²n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→²n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→²OB →＝－3，求这个抛物线的方程．【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c ，0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55.人教A 版选修2-1模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“非p 且非q ”，D 正确．【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π4【解析】以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1AB C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞16．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______.【解析】如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】 31717。

红对勾45分钟RJ数学A版必修2综合测评(一)

必修二模块综合测评(一)限时：120分钟满分：150分答题表1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等2．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等3．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则P A与对角线BD的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直相交D．异面垂直4.已知M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为()5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD ＝2，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是() A．16π B．20πC．12π D．8π7．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x2＋y2＋4y－6＝0C．x2＋y2－2x＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6＝08．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( )A ．±4B ．±2 2C ．±2D ．±29．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值等于( )A.14B.34C.32D ．210．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BB 1＝4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R －PQMN 的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于________．答案1．B 2.A3．D 菱形ABCD 中，AC ⊥BD .又PC ⊥平面α. ∴PC ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AC . 又P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥P A .显然P A 与BD 异面，故P A 与BD 异面垂直． 4．B 由正视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.5．B 设长方体的过一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，并且长为a ，b 的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a ＝4cos60°＝2，b ＝4cos60°＝2.根据长方体的对角线性质，有a 2＋b 2＋c 2＝42，即22＋22＋c 2＝42.∴c ＝2 2.因此长方体的体积V ＝abc ＝2×2×22＝8 2.6．C 把这四点再补四点可作为一个正方体的顶点，则这八个顶点都在球面上，球为正方体的外接球，所以23＝2R ，R ＝3，S ＝4πR 2＝12π，故选C.7．B 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x ＋2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋(λ－2)x ＋2λy －3λ＝0.依题意，－λ－22＝0，λ＝2. 故圆的方程为x 2＋y 2＋4y －6＝0. 8．C9．B y －2x －1表示圆x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )与A (1,2)连线的斜率．由A (1,2)作圆的两条切线，较小的斜率即为所求．10．C 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x ＋4y －11＝0的距离为1的点有3个． 11．C 设四棱锥R －PQMN 的高为d ，则d ＝322，S四边形PQMN＝12(1＋3)×32＝62，V R －PQMN ＝13S 四边形PQMN ·d ＝13×62×322＝6，故选C.12．B ∵y (y －mx －m )＝0， ∴y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0，消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.13.16π3解析：由三视图知该几何体是半径为2的半球，所以其体积为12×43π×23＝16π3.14.直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点且|AB |＝23，则实数a ＝________.15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．16.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.三、解答题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．18．(12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠BAC 的角平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．答案14.0解析：因为圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝2，且|AB |＝23，故圆心到直线的距离d ＝r 2－(|AB |2)2＝4－(3)2＝1，即|a －2＋3|a 2＋1＝1，所以|a ＋1|＝a 2＋1，平方得a 2＋2a ＋1＝a 2＋1，解得a ＝0.15．(π－2)4π解析：设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为(14πR 2－12R 2)，水的体积为V 水＝(14πR 2－12R 2)h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x h ＝(π－2)4π. 16．③解析：①中，直线CC 1与B 1E 都在面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，面ABC ⊥面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直；③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得面ABC ⊥面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．17．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：V 圆锥＝13πr 2h 1＝13π×22×2＝8π3，V 圆柱＝πr 2h 2＝π×22×10＝40π，V 圆柱′＝πr 2h 3＝π×42×1＝16π，所以此组合体的体积为V ＝8π3＋40π＋16π＝1763π.18．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1,0)．所以直线AB 的斜率k AB ＝1，又x 轴是∠BAC 的角平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)． ① 又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为 y －2＝－2(x －1)． ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即点C 的坐标为(5，－6)．19.(12分)已知圆C 经过A (2,4)、B (3,5)两点，且圆心C 在直线2x －y －2＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋3与圆C 总有公共点，求实数k 的取值范围．20．(12分)如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：平面A 1AC ⊥平面BA 1C ；(2)求VA 1－ABC 的最大值．答案19.解：(1)由于AB 的中点坐标为(52，92)，k AB ＝1，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－x ＋7，圆心C 是直线y ＝－x ＋7与直线2x －y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋7，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即圆心C (3,4)，又半径为|CA |＝(2－3)2＋(4－4)2＝1，故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1.(2)圆心C (3,4)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k －4＋3|1＋k2，由题意d ≤1，化简得4k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤34. 20．解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC ⊥AC .又AA 1⊥底面ABC ，∴BC ⊥AA 1，∴BC ⊥平面A 1AC .由面面垂直的判定定理知，平面A 1AC ⊥平面BA 1C .(2)在Rt △ACB 中，设AC ＝x ，则BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)．故VA 1－ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12AC ×BC ×AA 1＝13x 4－x 2(0<x <2)．VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2) ＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2，∴0<x 2<4.∴当x 2＝2，即x ＝2时，VA 1－ABC 的值最大，即(VA 1－ABC )max ＝23.21.(12分)已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半，求：(1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求证：AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．答案21.解：(1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点间距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2.平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．22．解：(1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 的中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 即是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.。

高中数学人教A版选修2-1 章末综合测评1 Word版含答案

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】 A4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.【答案】 A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的() 【导学号：18490031】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】 A7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y ＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．∅B．{c|c<－1}C．{c|c≥－1} D．R【解析】命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝∅，故选A.【答案】 A8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是() A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0【解析】由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎨⎧k ＜0，Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C9．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．綈p ∨qC ．綈q ∧pD ．q【解析】很明显命题p 为真命题，所以綈p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以綈q 是真命题．所以綈p ∨q 为假命题，綈q ∧p 为真命题，故选C.【答案】 C10．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．【答案】 D11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1【解析】因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x )，故綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.【答案】 B12．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)【解析】因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题．所以点P为直线y ＝2x －3与直线y ＝－3x ＋2的交点．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，即点P 的坐标为(1，－1)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．【答案】 p ∨q 与綈p14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】依题意，⎩⎨⎧f （1）＝3－m ≤0，f （2）＝8－m >0，∴3≤m <8. 【答案】 [3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，使x 30>x 20”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0.【解】 (1)綈q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．【解】 (1)因为{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⇒/ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a ，b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎨⎧m <13，m >0⇔ 0<m <13.所以p 是q 的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围. 【导学号：18490033】【解】 2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 为真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 为真时，m ≤－1或m ≥3.因为“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以得⎩⎨⎧m >1，－1<m <3，即1<m <3，即m 的取值范围为(1，3)．20．(本小题满分12分)已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，有p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．【解】当命题p 是真命题时，由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≥－2，所以有m ＜－ 2.当命题q 是真命题时，由于x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．考虑到函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p 为假，q 为真，此时有⎩⎨⎧m ≥－2，－2＜m ＜2，解得－2≤m ＜2，所以实数m 的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0的解集的真子集．法一因为方程t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 法二令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2，因为f (1)＝0，所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 22．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 ∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．可以发现，x 1＝x 3，∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0， ②由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)．代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2.∴∠A ＝90°.∴结论成立．。

高中数学人教A版选修2-1选修2-1综合检测(A卷)及详细解答.docx

选修2-1综合检测（A 卷）时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 圆心(a ，b)，半径r ＝2，若a ＝b ，则圆心(a ，b)到直线y ＝x ＋2的距离d ＝2＝r.∴直线与圆相切；若直线与圆相切，则|a －b ＋2|2＝2，此时a ＝b 或a －b ＝－4，∴是充分不必要条件，故应选A .2．设直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则直线l 1、l 2的夹角是( )A ．arccos 1515 B ．π－arcsin 21015 C ．arcsin 21015D ．arccos(－1515) [答案] A[解析] a ·b ＝－4，|a |＝23，|b |＝25， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－1515，∴l 1与l 2夹角为arcocs1515. 3．(2010·陕西文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p2＝4，p ＝2.4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则ΔPF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，又有|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213∵(213)2＝62＋42，∴∠F 1PF 2＝90° ∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.5．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B 是A 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[3，＋∞)C ．[0,3]D ．(－∞，3][答案] D[解析] A ＝{x |－2≤x ≤5}，由条件知B ⊆A ，当B ＝∅时显然适合题意，即m ＋1>2m －1得m <2 当B ≠∅时需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5解得2≤m ≤3，故m ∈(－∞，3]，选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[答案] A[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→ ＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→＝－(DB →＋DD 1→)－DD 1→＝－DB 1→－DD 1→＝－(DB 1→＋DD 1→)≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝(B 1D 1→＋B 1B →)＋DD 1→ ＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→.7．(2010·上海文，16)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查了任意角的三角函数值及充要条件问题． ∵tan(2k π＋π4)＝1，而tan x ＝1⇒x ＝k π＋π4k ∈Z ，故选A.8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55.9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.10．设有语句p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，则下面给出的命题中是真命题的一个是( )A ．若p 则qB ．若綈p 则綈qC ．若q 则綈pD ．若綈p 则q[答案] C[解析] p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，即綈q ：x ＝1或x ＝－9. ∴p ⇒綈q ，即q ⇒綈p .11．如图，在正三棱锥P —ABC 中，D 是侧棱P A 的中心，O 是底面ABC 的中点，则下列四个结论中正确的是( )A ．OD ∥平面PBCB ．OD ⊥P AC ．OD ⊥AC D ．P A ＝2OD [答案] D[解析] PO ⊥底面ABC ，即△P AO 为直角三角形．又D 为P A 中点，则P A ＝2OD . 12．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F 1，点P 在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF 1的斜率为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案] B[解析] 如图l 1与渐近线平行，l 2与x 轴垂直，当过F 1的直线由l 1逆时针转到l 2时，与左下支相交，此时k >1；当过F 1的直线逆时针由l 2转到x 轴时，与左下支相交，此时k <0，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．[答案] ②[解析] ①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1B 1C 1D 1四点共面．所以①中逆命题不真．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的这两条直线不会有公共点．所以②中逆命题是真命题．14．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案]24[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠CBE ＝60°.连结CE ，如图所示，设正方形的边长为1， ∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°，∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1. 连结CF ，∵BC ∥AD ，∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角．又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2. 又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2， ∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24.解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12.|BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2， ∴|BF →|＝2，BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12，∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24，即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24. 15．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，……，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1100的等差数列，则n 的最大值为________．[答案] 200[解析] 欲使n 取最大值，则|P 1F |应取最小值|P n F |应取最大值，∴|P 1F |＝a －c ＝1，|P n F |＝a ＋c ＝3，|P n F |＝|P 1F |＋(n －1)·d ，当d ＝1100时，n ＝201.而d >1100，∴n 的最大值为200. 16．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝52[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ，故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)，∴2λ＝5，∴λ＝52.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解析] 设△ABC 重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)由重心坐标公式得 ⎩⎨⎧x ＝－2＋0＋x13y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz . (1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°. ∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)，又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)， ∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，设CM →＝λDP →＋μDA →，则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32， ∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵C ∉平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . (2)作BE ⊥P A 于E ，|PB |＝|AB |＝4， ∴E 为P A 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)．∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0， ∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面P AD ，由于BE ⊂平面P AB ，则平面P AB ⊥平面P AD .[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常将几何证明方法与代数证明方法结合使用．19．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 2＋8a 2(1－a 2)>0.解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2得，－2a 21－a2＝28960.由a >0，所以a ＝1713.20．(本小题满分12分)已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：若A 则B .使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．[解析] 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5.已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1.令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4.由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题的假命题．[点评] 只要使P Q 的a 的值都满足题设要求，∴⎩⎨⎧1－a 5≤121＋a 5≥1，(等号不同时成立)∴a ≥4.因此选取的a 的值满足a ≥4的都可以．21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，面A 1ACC 1⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成的锐二面角的大小．[解析] 过A 1作A 1O ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OC 、OA 1分别为y 轴、z 轴建立坐标系，易证A (0，－3，0)，B (263，33，0)，A 1(0,0，3)，则AB →＝(263，433，0)，AA 1→＝(0，3，3)，则平面ABC 的法向量n 1＝(0,0，3)．则平面A 1ABB 1的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·AB →＝(263，433，0)·(x ，y ，z )＝263x ＋433y ＝0，∴x ＝－2y .∵n 2·AA 1→＝(0，3，3)·(x ，y ，z )＝3y ＋3z ＝0， ∴y ＝－z .令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n 2＝(2，－1,1)．又设平面A 1ABB 1与平面ABC 所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12，∴θ＝60°.∴面ABC 与面A 1ABB 1所成的锐二面角的大小为60°.22．(本小题满分14分)(2010·安徽理，19)已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；[解析] 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式．点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识．解题思路是：(1)利用待定系数法求标准方程．(2)利用向量法或角平分线的性质求直线方程．(3)利用平方差法或代数法判定是否存在这样一点．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)由e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆的方程具有形式x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)解法1：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以直线AF 1的方程为：y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为：x ＝2.由点A 的椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数．设P (x ，y )为l 上任一点，则 |3x －4y ＋6|5＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10得2x －y －1＝0，所以直线l 的方程为：2x －y －1＝0. 解法2：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)．∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)．∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.。

高中数学人教A版选修2-1 模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确．【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4 D.π4【解析】以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1AB C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C. 【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b 2a 2＋b 2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】 31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，3)，2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2.∴c＝2，a＝3＋1，b2＝a2－c2＝2 3.∴椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.图3(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．【解】(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，∴AB⊥平面P AD.∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33.故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c ，0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55.。

【红对勾】高中数学单元综合测试二新人教A版选修2-1(1)

单元综合测试二时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，应选A. 答案：A2．(2020·新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的核心，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：∵F (3,0)，AB 的中点N (－12，－15)， ∴k AB ＝－15－0－12－3＝1.又∵F (3,0)，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，易知a 2＋b 2＝9①再设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有x 21a 2－y 21b 2＝1②x 22a 2－y 22b 2＝1③由②－③可得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝k AB ＝1.*又∵x 1＋x 22＝－12，y 1＋y 22＝－15，∴*式可化为b 2a 2×(－12－15)＝1，∴b 2a 2＝54④由①和④可知b 2＝5，a 2＝4， ∴双曲线的方程为x 24－y 25＝1，应选择B.答案：B3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案：B4．假设点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，那么点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2，那么点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，因此动点P 的轨迹为抛物线，应选D.答案：D5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，那么动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，应选D. 答案：D6．(2020·课标全国高考)设直线l 过双曲线C 的一个核心，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为( )A.2 B.3C ．2D ．3解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，那么易求得|AB |＝2b 2a，∴2b 2a＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，应选B.答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的核心作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，那么如此的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由概念|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴如此的直线有且仅有两条．答案：B8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，那么l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：设l 与椭圆的两交点别离为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，因此y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：D9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右核心作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的核心在x 轴上，对称中心在座标原点且两条渐近线别离过A 、B 两点，那么双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.32解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±bax ，因为A 、B在渐近线上，因此1＝b a·2，b a＝22，e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋b a2＝62. 答案：C10．双曲线x 2m－y 2n＝1(mn ≠0)有一个核心与抛物线y 2＝4x 的核心重合，那么m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对解析：抛物线y 2＝4x 的核心为F (1,0)，故双曲线x 2m－y 2n＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.答案：C11．设F 1，F 2是双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b <0)的左、右核心，点P 在双曲线上，假设PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，那么双曲线的离心率为( )A.1＋52B.1＋32C ．2 D.1＋22解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，那么由勾股定理，得|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，①由双曲线的概念，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A12．已知F 1，F 2别离为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右核心，P 为双曲线右支上的任意一点，假设|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，那么双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(1,2] C ．(1，3] D ．(1,3] 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca≤3，得e ∈(1,3]，应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个核心是(10，0)，那么双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个核心是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝114．椭圆x 29＋y 22＝1的核心为F 1，F 2，点P 在椭圆上，假设|PF 1|＝4，那么|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆的概念知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，因此|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1的左、右核心，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，那么点M 的轨迹方程是________．解析：由题意知|MP |＝|F 1P |， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a . ∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.答案：(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 216．(2020·浙江高考)设F 1，F 2别离为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右核心，点A ，B 在椭圆上，假设F 1A →＝5F 2B →，那么点A 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由F 1(－2，0)，F 2(2，0)且F 1A →＝5F 2B →得x 2＝15(x 1＋62)，y 2＝15y 1.又A 、B 两点在椭圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x 1＋622－x 2175＋y 2125＝1，消去y 1得x 1＋622－x 213＝24，有x 1＝0，从而y 1＝±1，故点A 的坐标为(0,1)和(0，－1)．答案：(0，±1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共核心，而且离心率为52的双曲线方程．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴核心是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的核心也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(10分)(2020·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个极点取得的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.因此椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标知足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2.从而y 1＝4k1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2)．以下分两种情形：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)．QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 21＋4k 2＋6k1＋4k 2(4k1＋4k 2＋6k1＋4k 2) ＝416k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147.因此y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.19．(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证： (1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px的核心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24，也成立．(2)由抛物线的概念，知|FA |＝x 1＋p2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p 22＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立． 20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，PA →·PB →＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及现在点C 的坐标．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，那么点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.∵PA →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2，即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为m 1：y ＝kx ＋b .由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.①把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0，则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 现在，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．21．(14分)(2020·江西高考) 图2设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)假设C 2通过C 1的两个核心，求C 1的离心率； (2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，假设△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．解：(1)因为抛物线C 2通过椭圆C 1的两个核心F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可得c 2＝b 2.由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12，因此椭圆C 1的离心率e ＝22. (2)由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)，(x 1>0)，那么由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0，因此－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0① 由于点N (x 1，y 1)在C 2上，故有x 21＋by 1＝b 2② 由①②得y 1＝－b 4，或y 1＝b (舍去)，因此x 1＝52b ，故M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b4)，因此△QMN 的重心为(3，b4)，由重心在C 2上得：3＋b 24＝b 2，因此b ＝2，M (－5，－12)，N (5，－12)，又因为M ，N 在C 1上，因此±52a 2＋－1224＝1，得a 2＝163.因此椭圆C 1的方程为：x 2163＋y 24＝1，抛物线C 2的方程为：x 2＋2y ＝4.22．(12分)(2020·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 别离是双曲线E 的左、右极点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右核心且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，知足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，那么e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ·(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，因此x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。

人教版高中数学选修2-1 模块综合检测卷(附答案解析)

a2 a 6 ∴ a 6 0
a 2 a 3 0 即 a 6
解得 a 3 或 6 a 2 ，故选 D.
2 y2 5. 如图，椭圆 x 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为坐标原点)的值为 25 9 y A. 8 B.2 M C .4 D. 3 2 N 【答案】 C. x F1 O F2 【解析】∵ O 为 F1 F2 的中点, N 为 MF1 的中点，
PA n 【解析】 PA 1, 2, 4 , n 2, 2,1 ,∴ 点 P 2,1, 4 到平面的距离为 d 10 . 3 n
15. 设抛物线 y 2 mx m 0 的准线与直线 x 1 的距离为 3,则抛物线的方程为【答案】 y 8 x 或 y 16 x .
∴ ON / / MF2 且 ON 1 MF2 . ∵ MF1 MF2 2a 10 2 ∴ MF2 10 MF1 10 2 8 ，∴ ON 4 .
2 y2 6.已知椭圆的标准方程为 x 2 2 1 a b 0 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF x a b 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP 2PB ，则椭圆的离心率为
二、填空题.（每小题 5 分，共 4 小题） 13. 命题“ n N * , f n N * 且 f n n ”的否定形式为【答案】 n0 N , f n0 N 或 f n0 n0 .
* *

4
3 ，∴ b 2 ， a 2 4

【红对勾】高中数学模块综合测试新人教A版选修2-1(1)

模块综合测试时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．那么以下判定正确的选项是( )A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．綈p ∧q 为真命题D ．綈p ∨綈q 是假命题解析：易知p 假，q 真，从而可判定得C 正确．答案：C2．已知a ，b ∈R ，那么“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也没必要要条件解析：∵ln a >ln b ⇔a >b >0，(13)a <(13)b ⇔a >b .而a >b >0是a >b 的充分而没必要要条件． ∴“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b ”的充分而没必要要条件．答案：A3．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又没必要要条件答案：B4．以双曲线x 24－y 212＝－1的核心为极点，极点为核心的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的核心为(0,4)、(0，－4)，极点坐标为(0,23)、(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 答案：D5．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为极点，且以该双曲线的右核心为核心的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9.∴右核心的坐标为(3,0)，故抛物线的核心坐标为(3,0)，极点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A6．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的核心，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x解析：由已知椭圆与双曲线有公共核心得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2.而由双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x .答案：D7．关于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，那么( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面解析：由已知得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，∴四点P 、A 、B 、C 共面．答案：B 图18．如图1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 别离为A 1B 1、CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，那么α的集合是( )A ．{π2}B ．{α|π6≤α≤π2}C ．{α|π4≤α≤π2} D ．{α|π3≤α≤π2} 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 上，易证D 1N ⊥平面ADEM .此题也可成立空间直角坐标系用向量求解．答案：A 图29．如图2，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，假设点P 知足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，那么|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA 2→＋14BC 2→＋BD 2→－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD → ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.答案：D10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A.24 B.23 C.33 D.32解析：成立如图3所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，那么n ＝(1，－1，－1)，图3∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33.答案：C 11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个核心为F 1、F 2，假设P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，那么双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 图4解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图4. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a . ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a .∴c ≤3a . 又∵c >a ，∴a <c ≤3a . ∴1<ca≤3，即1<e ≤3.答案：B12．(2020·全国高考)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .假设该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，那么圆N 的面积为( )A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 图5解析：由圆M 的面积知圆M 的半径为2，|OM |＝42－22＝23.|ON |＝|OM |·sin30°＝3.从而圆N 的半径r ＝42－3＝13，因此圆N 的面积S ＝πr 2＝13π.应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分) 图613．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，那么OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12(12OB →＋12OC →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c14．假设命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，那么“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：p 为假命题，因为a 符号不定，q 为假命题，因为a 、b 大小不确信．因此p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．答案：綈p15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，那么d 1＋d 2的最小值是________．图7解析：如图7，依照概念，d 1即为P 到核心(1,0)的距离，∴d 1＋d 2的最小值也确实是核心到直线的距离． ∴(d 1＋d 2)min ＝|1＋2×0－12|5＝1155.答案：115516．有以下命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的核心；②“－12<x <0”是“2x 2－5x －3<0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，那么a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，那么a ，b ，c 三向量必然也共面；⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0.其中正确的命题有________．(把你以为正确的命题的序号填在横线上)解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3<0，∴－12<x <3.又－12<x <0⇒－12<x <3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而没必要要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 能够不共面，例如平行六面体以一个极点为起点引出的三个向量，故④错； ⑤中，Δ＝9－12<0，故对∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立．答案：①⑤三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．假设p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解：对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f 0>0.解得0<m <4. 又∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是2＋1≤m <4.18．(12分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m ∈R)，双曲线G 与椭圆D 有相同的核心，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两核心为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，核心在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么G 的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.当m ＝5时，圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4.∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1. 19．(12分)已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体， (1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．图8解：(1)如图8，取AA ′的中点E ，D ′F ＝2FC ′，EF →＝12AA ′→＋BC →＋23AB →.(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34.20．(12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是不是存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？解：假设存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立，∵f (x )的图象过点(－1,0)， ∴a －b ＋c ＝0.①∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立，∴当x ＝1时，也成立，即1≤f (1)≤1， ∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝1，②由①②得b ＝12，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，1－2a x 2－x ＋2a ≥0恒成立．当a ＝0或1－2a ＝0时，上述不等式组可不能恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－4a 12－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14.∴存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．图921．(12分)(2020·辽宁高考)如图9，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．图10解：如图10，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴成立空间直角坐标系D －xyz .(1)证明：依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，那么DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)．因此PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQDC ，因此平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，那么⎩⎨⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)．设m 是平面PBQ 的法向量，那么⎩⎨⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0.可取m ＝(1,1,1)，因此cos 〈m ，n 〉＝－155. 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. 22．(12分)已知椭圆C 的中心在座标原点，核心在x 轴上，椭圆C 上的点到核心距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右极点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右极点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2， ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右极点D (2,0)， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均知足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)． ∴直线l 过定点，定点坐标为(27，0)．。

人教A版高中数学选修2-1综合测试卷学生版.docx

高中数学学习材料唐玲出品高中数学选修2-1综合测试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个2.(2014·蚌埠高二检测)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥lC.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l23.(2014·吉林高二检测)“1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2014·广州高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.5.(2014·昌平高二检测)已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是 ( )A.命题p：∀x∈R，x≤2B.命题p：∃x0∈R，x0<2C.命题p：∀x∈R，x≤-2D.命题p：∃x0∈R，x0<-26.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为( )A.1B.C.D.7.(2014·东城高二检测)过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若=10，则AB 的中点到y轴的距离等于( )A.1B.2C.3D.48.(2014·牡丹江高二检测)在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·=0，||·||=2，则a的值为( )A.2B.C.1D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2014·广州高二检测)抛物线焦点在y轴上，且被y=x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为.12.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM 的最小值为.13.(2014·青岛高二检测)在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量= .14.(2014·武汉高二检测)曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点(-1，1)；②曲线C关于点(-1，1)对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则+不小于2k.④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，所有正确结论的序号是.15.(2014·长沙高二检测)点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y=l g(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围.18.(12分)(2014·黄山高二检测)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1. (2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l 的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.20.(12分)(2014·秦皇岛高二检测)设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.(1)求|PF1|的长度. (2)求的值.21.(13分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.22.(14分)(2013·天津高考)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.。

高中数学人教A版选修2-1选修2—1综合测练卷一.docx

模块综合测评选修2－1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③﹁ p ；④﹁q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( ) A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0°5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．46．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.255C.155D.1057．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 3 D ．2 39．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 610．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形11.已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线(2)y k x =-与此抛物线相交于,P Q 两点，则11||||FP FQ +=（） A. 12B. 1C. 2D. 412．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A.12(,)33 B.1(,1)2 C. 2(,1)3 D.111(,)(,1)322二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“ ﹁p ”中是真命题的有__________．15．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________． 16．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共4小题，满分70分．17．(10分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝⎛⎭⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切． (1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点M ⎝⎛⎭⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P的坐标．19．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．20．(12分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A -CD -E 的余弦值．20. （本小题满分12分）已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点)0,1((F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1． (1)求曲线C 的方程；(2)已知点P 是曲线C 上一个动点，点Q 是直线052=++y x 上一个动点，求||PQ 的最小值. (3)是否存在正数m ，对于过点)0,(m M 且与曲线C 有两个交点B A ,的任一直线，都有FA ·0<FB ？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x ，直线)0(≠=k kx y 与椭圆M 交于B A 、两点，直线x ky 1 -=与椭圆M 交于D C 、两点，P 点坐标为(,0)a ，直线PA 和PB 斜率乘积为21-．（1）求椭圆M 离心率；（2）若弦AC 的最小值为362，求椭圆M 的方程．。

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单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句不是命题的有()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④答案：C2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0 B．2C．3 D．4解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A⊆B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直⇔直线l与平面α垂直，故选C.答案：C4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是()A．若a∈A，则b∉B B．若a∉A，则b∉BC．若b∉B，则a∉A D．若b∈B，则a∈A解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“非p”与“非q”真假不同B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题C．命题“非p”与“q”真假相同D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题⇒p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题⇒p和q都是假命题，则非p 和非q都是真命题．答案：D6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由向量的运算即可判断．答案：D7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于“A⇒B，A⇐/ B”等价于“綈A⇐綈B，綈A⇒/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A9．下列全称命题中，正确的是()A．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin yB．∀x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos yC．∀x，y∈{锐角}，cos(x＋y)<sin x＋cos yD．∀x，y∈{锐角}，cos(x－y)<cos x＋sin y解析：由于cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y，而当x，y∈{锐角}时，0<cos y<1,0<sin x<1，所以cos(x－y)＝cos x cos y＋sin x sin y<cos x＋sin y，故选项D正确．答案：D10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈Z，x3>x2”的否定是“∃x∈Z，x3<x2”C．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：A为全称命题；B中否定应为∃x0∈Z，x30≤x20；C中应为充分不必要条件．答案：D11．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k<0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p”且“綈q”为假解析：由题意知p真，q假．再进行判断．答案：D12．已知向量a＝(x，y)，b＝(cosα，sinα)，其中x，y，α∈R，若|a|＝4|b|，则a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是() A．λ>3或λ<－3 B．λ>1或λ<－1C．－3<λ<3 D．－1<λ<1解析：由已知|b|＝1，∴|a|＝4|b|＝4.又∵a·b＝x cosα＋y sinα＝x2＋y2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4，由于a·b<λ2成立，则λ2>4，解得λ>2或λ<－2，这是a·b<λ2成立的充要条件，因此a·b<λ2成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，如果对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则a 的取值范围是________．解析：由已知∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立．显然a ＝0不合题意，所以⎩⎨⎧a >0Δ＝4－4a <0⇒a >1. 答案：a >115．试写出一个能成为(a －2)2(a －1)>0的必要不充分条件________．解析：(a －2)2(a －1)>0的解集记为B ＝{a |a >1且a ≠2}，所找的记为集合A ，则B A .答案：a >1(不惟一)16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α＝5tan β； ④圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x ，所得弦长为2. 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：对于①易知p 真，q 真，故命题p ∧綈q 假，①正确；对于②l 1与l 2垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展示整理即得；对于④可求得弦长为455，④错．答案：①③三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：綈p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，使b ≠c .綈p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.命题Q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故綈P ∧Q 为真命题，或P ∧綈Q 为真命题，则⎩⎨⎧ a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎨⎧ 0≤a <4a >14.解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)． 19．(12分)求证：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1.证明：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是：Δ＝4－4a >0⇔a <1，并且a <0，从而a <0.有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证．20．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3. 设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.∴2<x <3满足不等式a <9x －2x 2.∵当2<x <3时，9x －2x 2＝－2(x 2－92x ＋8116－8116)＝－2(x －94)2＋818∈(9，818]，即9<9x －2x 2≤818，∴a ≤9. 21．(12分)给出命题p ：“在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2)和Q (cos x ，－1)，∀x ∈[0，π]，向量OP→与OQ →不垂直．”试判断该命题的真假，并证明．解：命题p 是假命题，证明如下：由OP →和OQ →不垂直，得cos x (2cos x＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：2cos 2x －cos x ≠0，所以cos x ≠0或cos x ≠12.而当x ∈[0，π]时，cos π2＝0，cos π3＝12，故存在x ＝π2或x ＝π3，使向量OP→⊥OQ →成立，因而p 是假命题． 22．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－b2)2＋3b24≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.。