浙教版2019-2020学年初中数学八年级下学期期末复习专题2 一元二次方程
浙教版初中数学第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)
专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1． 已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）5．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）6．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。
2.1 一元二次方程 浙教版八年级数学下册同步练习(含解析)
第2章一元二次方程2.1一元二次方程基础过关全练知识点1一元二次方程的相关概念1.(2022浙江诸暨浣纱中学月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x2-y=1B.x2+2x-3=0C.x2+1=3 D.x-5y=6x2.已知关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,则k=.3.若方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是.知识点2一元二次方程的一般形式4.下列方程是一元二次方程的一般形式的是()A.2x2-3x=0B.x2=1C.2x2-3x=-1D.2x2=-3x5.【新独家原创】四位同学一起做游戏,分别出一个一元二次方程,甲:x2-2x+3=0,乙:x2-2x=3,丙:3(x2-2x+1)=3,丁:3x2-x=3,当这四个方程化为一般形式时,常数项为0的赢,则这次游戏谁赢了()A.甲B.乙C.丙D.丁6.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项为0,则m等于() A.2 B.-2 C.2或-2 D.07.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为.知识点3列一元二次方程8.某班学生毕业时,都将自己的照片向本班其他同学送一张留念,全班一共送了1 260张,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=1 260 B.2x(x+1)=1 260C.x(x-1)=1 260D.x(x-1)=1 260×29.【教材变式·P26合作学习(1)变式】把面积为16 m2的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分,已知长方形的一边长为 6 m,求其邻边长(只需列出方程).10.根据下列问题列一元二次方程,并将方程化为一般形式.(1)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数;(2)一个长方形花坛,长20 m,宽8 m,在它的四周有等宽的鹅卵石路,形成一个大长方形,其面积是花坛面积的1.8倍,求路的宽度;(3)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长13 cm的直角三角形,求这个三角形的直角边长.能力提升全练11.(2022浙江温州外国语学校期中,6,)关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为()A.0B.±3C.3D.-312.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1,则下列等式成立的是() A.a+b+c=0 B.a-b+c=0C.-a-b+c=0D.-a+b+c=013.若(1-m)x m2+1+3mx-2=0是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是() A.-1 B.±1 C.-3 D.±314.方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数为正,其中一次项系数,常数项分别是()A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,115.已知x1=1,x2=-3是一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)的两个根,求a,b 的值.16.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?17.有一个三角形,面积为30 cm2,其中一边比这边上的高的4倍少1 cm,若设这边上的高为x cm,请你列出关于x的方程,并判断它是什么方程,若是一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.素养探究全练18.【代数推理】【运算能力】已知实数a是一元二次方程x2-2 022x+1=0的值.的解,求代数式a2-2 021a-a2+12 022答案全解全析基础过关全练1.B x2-y=1中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以A不符合题意;x2+2x-3=0符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,所以B符合题意;x2+1x =3中1x不是整式,不是一元二次方程,所以C不符合题意;x-5y=6中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以D不符合题意.故选B.2.3解析因为关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,所以22+2k-10=0,解得k=3.3.a≠2解析因为方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,所以a-2≠0,解得a≠2.4.A形如ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)是一元二次方程的一般形式.只有A符合题意,故选A.5.C x2-2x+3=0的常数项为3,所以甲输了;x2-2x=3化为一般形式为x2-2x-3=0,常数项为-3,所以乙输了;3(x2-2x+1)=3化为一般形式为x2-2x=0,常数项为0,所以丙赢了;3x2-x=3化为一般形式为3x2-x-3=0,常数项为-3,所以丁输了.故选C.6.B因为常数项为0,所以m2-4=0,解得m=2或-2,当m=2时,方程(m-2)x2+5x+m2-4=0变为5x=0,不是一元二次方程,所以m=2要舍去,故m=-2.7.5,-4,1解析5x2+1=4x移项,得5x2-4x+1=0,所以将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为5,-4,1.8.C全班有x名同学,根据“都将自己的照片向本班其他同学送一张留念”可知全班一共送了x(x-1)张照片,又全班一共送了1 260张照片,所以x(x-1)=1 260.9.解析设其邻边长为x m,则可列方程为x(x+6)=16.10.解析(1)设中间的奇数为x,则(x-2)2+x2+(x+2)2=251,化为一般形式:3x2-243=0.(2)设路的宽度为x m,则(20+2x)(8+2x)=1.8×20×8,化为一般形式:4x2+56x-128=0.(3)设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(17-x)cm,则x2+(17-x)2=132,化为一般形式:2x2-34x+120=0.能力提升全练11.D将(m-3)x2+m2x=9x+5整理得(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由题意得m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3,故选D.12.B把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.13.C由题意得1-m≠0且m2+1=2,解得m=-1.∴该方程的一次项系数为3m=-3.14.C5x2-1=4x化成一般形式是5x2-4x-1=0,它的一次项系数是-4,常数项是-1.故选C.15.解析 把x 1=1,x 2=-3分别代入一元二次方程ax 2+bx -3=0(a ≠0),得{a +b −3=0,9a −3b −3=0,解得{a =1,b =2.16.解析 原方程可化为(k -3)x 2-kx +1=0.(1)当k -3≠0,即k ≠3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元二次方程.(2)当k -3=0,-k ≠0,即k =3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元一次方程.17.解析 根据题意可得关于x 的方程为12x (4x -1)=30,它是一元二次方程,整理为一般形式为2x 2-12x -30=0,二次项系数为2,一次项系数为-12,常数项为-30.素养探究全练18.解析 因为实数a 是一元二次方程x 2-2 022x +1=0的解,所以a 2- 2 022a +1=0,所以a 2-2 022a =-1,a 2+1=2 022a , 所以原式=a 2-2 021a -2 022a 2 022=a 2-2 022a =-1.。
2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《一元二次方程根与系数的关系》单元考点练习及答案解析精品试卷
浙教版八年级下册第2章2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A、-4B、-1C、1D、42、△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A、m＞B、＜m≤9C、≤m≤9D、m≤3、已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A、19B、18C、15D、134、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A、1，﹣2B、﹣1，﹣2C、﹣1.2D、1，25、若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A、x2=﹣1B、x2=﹣3C、x2=﹣5D、x2=56、已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A、-1B、1C、-2D、27、方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A、﹣2012B、0C、2012D、20138、已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m﹣|=（）A、0B、C、D、0或9、如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、﹣2＜a＜2B、C、D、10、设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A、-4B、8C、6D、011、若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A、10B、9C、8D、712、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+的最小值为（）A、1B、2C、D、13、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A、x2+3x﹣2=0B、x2﹣3x+2=0C、x2﹣2x+3=0D、x2+3x+2=014、若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A、2005B、2003C、﹣2005D、401015、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A、x2+3x+4=0B、x2+4x﹣3=0C、x2﹣4x+3=0D、x2+3x﹣4=016、已知x1， x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则________．17、已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为________ ．18、等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于________．19、从﹣4、- 、0、、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在﹣1和1之间（包括﹣1和1），则取到满足条件的a值的概率为________．20、已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=________；当a为a ＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有________个．三、解答题（共3题；共15分）21、已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．22、已知x1， x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1， x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．23、已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？24、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．25、已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1， x2（用含m的代数式表示）；①求方程的两个实数根x1， x2（用含m的代数式表示）；②若mx1＜8﹣4x2，直接写出m的取值范围．26、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：(1)若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．(2)已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+ 的值；(3)已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1， x2，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选D．【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．2、【答案】B【考点】根与系数的关系，三角形三边关系【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，a+b=6，ab=m，∵a＜b+5，即a﹣b＜5，∴（a﹣b）2＜25，∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．3、【答案】B【考点】根与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以 3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．4、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故选：B．【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选A．【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．6、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A．【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整体代入的方法计算．7、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；由5n2+2n﹣3=0得 n1=， n2=﹣1．=，①当m=﹣1，n=时，原式=；②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；③当m=， n=时，原式=0；④当m=， n=﹣1时，原式=．综上所述，=0或．故答案为0或．【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．9、【答案】C【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得 a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．10、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，故选：A．【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．11、【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．故选C．【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．12、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，x 1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=4m2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m﹣）2+，所以m=时，x 1（x2+x1）+有最小值，最小值为．故选D．【分析】根据判别式的意义得到m≤，再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2m，x 1x2=m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=3m2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m﹣）2+，然后利用非负数的性质可判断x1（x 2+x1）+的最小值为．13、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．14、【答案】B【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．α是方程x2+2x﹣2005=0的根，得α2+2α﹣2005=0，即：α2+2α=2005．所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2005﹣2=2003．故选B．【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．15、【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3∴p=﹣4，q=3，∴原方程为x2﹣4x+3=0．故选C．【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．二、填空题16、【答案】m=1或m=5【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，∵，而由知，x1， x2异号．故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，则得：，从上面两式消去k，得：，即：m2﹣6m+5=0，解之得：m1=1，m2=5．故答案为：1或5．【分析】x1， x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．17、【答案】7【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴a2﹣a﹣3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．18、【答案】25或16【考点】根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案为25或16．【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．19、【答案】【考点】根的判别式，根与系数的关系，概率公式【解析】【解答】解：∵当a=﹣4时，原方程可化为﹣8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；当a=﹣时，原方程可化为﹣7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；当a=0时，原方程可化为﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，不符合题意；当a= 时，原方程可化为7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣，符合题意；当a=4时，原方程可化为8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2= ，符合题意．∴取到满足条件的a值的概率= ．故答案为：．【分析】分别把这5个数代入关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论．20、【答案】6；2【考点】分式有意义的条件，根与系数的关系【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，∴a=6；当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，∵a＜6，∴△=25﹣4a＞0，故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，即使分式无意义的x的值共有2个．故答案为6，2．【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．三、解答题21、【答案】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，∴x===±1，∴m=+1，n=﹣1；∴+====4．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】根据根与系数的关系求得一元二次方程的根，然后将其代入所求的代数式求值．22、【答案】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，∴﹣4≤k≤﹣，∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k ﹣6=﹣（k+5）2+19，∵﹣4≤k≤﹣，∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．23、【答案】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．四、综合题24、【答案】（1）解：根据题意得 [x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0，解得，x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，解得k1=2，k2=﹣5（不合题意舍去），∴k=2（2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0 4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，不可能是等腰三角形．②如果AB=5，或者AC=5x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0k2﹣7k+12=0（k﹣4）（k﹣3）=0k=4或者k=3（都符合题意）k=4时：x2﹣11x+30=0（x﹣5）（x﹣6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16，k=3时：x2﹣9x+20=0（x﹣4）（x﹣5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14 【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，结合实际意义可求k的值；（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长．25、【答案】（1）证明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是关于x 的一元二次方程，∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，∵m＞3，∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根（2）①由求根公式得x= ，∴x=1，或x= ，∵m＞3，∴＞3，当x1＜x2，∴x1=1，x2=2﹣；当x1＞x2，这种情况不存在；∴x1=1，x2=2﹣；②∵mx1＜8﹣4x2，∴m＜8﹣4（2﹣），解得：3＜m＜2 ．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m﹣3）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据mx1＜8﹣4x2，即可得到结果．26、【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，解得：x1=3，x2=1（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，+ = = = =﹣47；当a=b时，原式=2（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1， x2，则+= =﹣，•= = ，则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出+ 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1， x2，得出+ =﹣，•=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
浙教版2019-2020学年八年级数学下第二章一元二次方程测试题(含答案)
第2章 检测卷一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1．一元二次方程x 2＋1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．若代数式x 2＋5x ＋6与－x ＋1的值相等，则x 的值为( )A ．－1或－5B ．－6或1C ．－2或－3D ．－13．两个实根之和为3的一元二次方程是( )A ．2x 2－3x ＋1＝0B ．x 2＋1＝3xC ．x 2－3x ＋4＝0D ．3x 2＋9x －1＝04．关于x 的一元二次方程(a －4)x 2＋x ＋a 2－16＝0的一个根是0，则a 的值是( ) A ．－4B ．4C ．4或－4D ．－4或05．将一元二次方程x 2－2x －5＝0化为(x ＋a )2＝b 的形式，则b ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．136．已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根是x ＝3，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－27．把方程x 2－4x －7＝0化成(x －m )2＝n 的形式，则m ，n 的值是( )A ．2，7B ．－2，11C ．－2，7D ．2，118．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0没有实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．m >94B ．m <94C ．m ＝94D ．m <－949．若关于x 的一元二次方程(k ＋2)x 2＋3x ＋k 2－k －6＝0必有一根为0，则k 的值是( ) A ．3或－2B ．－3或2C ．3D ．－210．下面结论错误的是( )A ．方程x 2＋4x ＋5＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝5B．方程2x2－3x＋m＝0有实数根，则m≤9 8C．方程x2－8x＋1＝0可配方得(x－4)2＝15D．方程x2＋x－1＝0的两根为x1＝－1＋52，x2＝－1－52二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．写出二次项系数为5，以x1＝1，x2＝2为根的一元二次方程：______________________．12．一元二次方程x(x－1)＝x－1的解是________________．13．已知关于x的方程mx2＋2x－4＝0是一元二次方程，则m的取值范围是____________．14．已知方程x2－3x－4＝0的两个根为x1和x2，则x21＋x22＝____________．15．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的长方形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，并使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为__________________．(第15题)16．方程x2－2x－3＝0的一个实数根为m，则m2－2m＋2 017＝________．三、解答题(本题有7小题，共66分)17．(8分)用适当的方法解下列方程：(1)x2＋3x－4＝0；(2)(x＋1)2＝4x；(3)(x＋4)2＝5(x＋4); (4)(x－3)(x－1)＝3.18．(8分)关于x的方程x2－(k＋1)x－6＝0的一个根是2，求k的值和方程的另一个根．19．(8分)毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个教师纪念品，其中每个教师纪念品的成本比每个学生纪念品的成本多8元．(1)这两种不同纪念品每个的成本分别是多少？(2)如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余的学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？20．(10分)关于x的方程(k2＋2k－2)x2＋(k＋1)x－3＝0(k为常数)．(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k的值．(2)求k＝1时方程的解．(3)求出一个k(k≠1)的值，使这个k的值代入原方程后，所得的方程有一个解与(2)中方程的其中一个解相同．(本小题只需要求出一个k的值即可)21．(10分)已知a，b，c为一个三角形的三边长，且方程b (x2－1)－2ax＋c (x2＋1)＝0有两个相等的实数根．试判断此三角形的形状，并说明理由．22．(10分)如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙长25米)，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的长和宽各为多少米．设与墙平行的一边长为x米．(第22题)(1)填空：与墙垂直的一边长为________米；(用含x的代数式表示)(2)列出方程，并求出问题的解．23．(12分)杭州湾跨海大桥通车后，A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程比原来缩短了120 km.已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的103h缩短到2 h.(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物(不超过10车)从A地运到B地的运输费用为8 320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港每车的运输费用与(2)中相同，从宁波港到B地的海上运费计费方式是：若货物不超过10车，1车800元，货物每增加1车，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？答案一、1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A7．D8.A9.C10.A二、11.5x2－15x＋10＝012．x1＝x2＝113.m≠014.1715．(35－2x)(20－x)＝600(或2x2－75x＋100＝0) 16．2 020三、17.解：(1)x2＋3x－4＝0，x＝－3±9＋4×42×1＝－3±52.∴x1＝1，x2＝－4.(2)(x＋1)2＝4x，整理得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x1＝x2＝1.(3)(x＋4)2＝5(x＋4)，整理得(x＋4)(x＋4－5)＝0，即(x＋4)(x－1)＝0，∴x1＝－4，x2＝1.(4)(x－3)(x－1)＝3，化成一般形式为x2－4x＝0，即x(x－4)＝0.∴x1＝0，x2＝4.18．解：把x＝2代入x2－(k＋1)x－6＝0，得4－2(k＋1)－6＝0，解得k＝－2，则原方程为x2＋x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3.所以方程的另一个根为－3.19．解：(1)设每个学生纪念品的成本为x元，根据题意得50x＋10(x＋8)＝440，解得x＝6，∴x＋8＝6＋8＝14.答：每个学生纪念品的成本为6元，每个教师纪念品的成本为14元．(2)第二周单价降低x 元后，这周的销售量为(400＋100x )个，由题意得 400×(10－6)＋(10－x －6)(400＋100x )＋(4－6)[1 200－400－(400＋100x )]＝2500，即1 600＋(4－x )(400＋100x )－2(400－100x )＝2 500， 整理得x 2－2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝1， 则10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元． 20．解：(1)不一定是．当k 2＋2k －2＝0时该方程不是一元二次方程， 解得k 1＝－1＋3，k 2＝－1－ 3.(2)把k ＝1代入原方程得x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3.(3)把x ＝1代入原方程得k 2＋2k －2＋k ＋1－3＝0，整理得k 2＋3k －4＝0，(k ＋4)(k －1)＝0，解得k ＝－4，或k ＝1(舍去)．所以求出的k 值为－4. 点拨：(3)题答案不唯一，也可以把x ＝－3代入原方程解得k ＝－83或k ＝1(舍去)．21．解：此三角形是直角三角形．理由如下：原方程整理得，(b ＋c )x 2－2ax ＋c －b ＝0. 则(－2a )2－4(b ＋c )(c －b )＝0，整理得a 2＋b 2＝c 2. ∴此三角形是直角三角形． 22．解：(1)40－x2(2)根据题意得x ·40－x2＝180，整理得x 2－40x ＋360＝0，解得x 1＝20＋210，x 2＝20－210. ∵墙长25米，20＋210＞25， ∴x ＝20＋210不合题意，应舍去． ∵0＜20－210＜25， ∴x ＝20－210符合题意，此时40－x2＝10＋10.答：养鸡场的长是(20－210)米，宽是(10＋10)米．23．解：(1)设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x km，由题意得x＋120103＝x2，解得x＝180.∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180 km.(2)1.8×180＋28×2＝380(元)，∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是380元．(3)设这批货物有y车，由题意得y[800－20×(y－1)]＋380y＝8 320，整理得y2－60y＋416＝0，解得y1＝8，y2＝52(不合题意，舍去)，∴这批货物有8车．。
浙教版数学八年级下册 第二章一元二次方程单元综合复习
浙教版数学（八下） 第二单元综合复习一、 一元二次方程的求解1.因式分解法：若A ·B=0，则A=0或B=0.2.开平方法：形如x 2=a(a ≥0)，(mx ＋n)2=b(m ≠0，b ≥0)，可用开平方法直接求解.3.配方法：口诀——除移配开求答.(系数化为1)┘ 4.公式法：求根公式x=﹣b ±b 2-4ac2a （a ≠0）.【习题一】(2)已知(a 2＋b 2－1)(a 2＋b 2＋3)－12＝0，求a 2＋b 2的值.【习题二】解方程：x 2－b 2＝a(3x －2a ＋b).【习题三】解方程：(1)(3x ＋1)2＝9(2x ＋3)2； (2)(3x －11)(x －2)＝2；(3) x(x ＋1)3 －1＝(x －1)(x ＋2)4； (4)(3x －2)(3x ＋2)＝x.【习题四】设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，则这个直角三角形的斜边长为___________.【习题五】如果x-3是多项式2x 2-5x+m 的一个因式，则m 等于（ ） A ．6 B ．-6 C ．3 D ．-3 【习题六】用配方法解下列方程时，配方有错误．．的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．4t 2－4t －5＝0化为(2t －1)2＝6 D ．9y 2＋6y －2＝0化为(3y ＋1) 2＝3二、根系关系1.求根关系：x ＝﹣b ±b 2-4ac2a (a ≠0)2.判别式：△=b 2-4ac3.韦达定理：x 1＋x 2=﹣b a ，x 1·x 2=ca4.常见题型：(1)已知方程的一根，求另一根.(2)已知两数的和与积，构造一元二次方程解题. (3)求待定系数的值或取值范围. (4)求对称式和非对称式的值.【习题一】已知方程x 2-5x+15=k 2的一个根是2，则k 的值是_________，方程的另一个根为___________.【习题二】若m 为实数，方程x 2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x 2+3x-3=0的一个根，则x 2-3x+m=0的根是___________.【习题三】现定义运算“☆”，对于任意实数a 、b ，都有a ☆b=a 2-3a+b ，若x ☆2=6，则实数x 的值是_________.【习题四】若正数a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，则a 的值是___________.【习题五】已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0（a ≠0）有两个相等的实数根，求ab 2(a −2)2+b 2−4的值．【习题六】已知关于x 的方程x 2-（k+2）x+2k=0，若一个等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长与面积．【习题七】已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【习题八】若k是自然数，且关于x的二次方程（k-1）x2-px+k=0有两个正整数根，求k kp•（p p+k k）+k k-p+2 +kp+1的值.【习题九】已知α，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，求α2+3β2+4β的值．【习题十】设x1、x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个根，求x13-4x22+19的值.三、生活类应用1. 增长（降低）率问题若基数为a ，平均增长（降低）率为x ，则连续增长n 次后为a(1±x)n . 2. 数字问题① 有关三个连续整数（或连续奇数、连续偶数）的问题，设中间一个数为x ，再根据题 目中的条件用含x 的代数式表示其余两个数. ② 多位数的表示方法：a. 两位数＝(十位数字)×10＋（个位数字）；b. 三位数＝（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋（个位数字）；… 3. 利润问题① 毛利润＝售出价－进货价 ② 纯利润=售出价－进货价－其他费用 ③ 利润率＝利润成本×100%4. 储蓄问题① 利息＝本金×年（月）利润×年（月）数 ② 利息税＝利息×税率③ 本息和＝[1＋年（月）利率×年（月）数]×本金（不计利息税）④ 不计利息税后，且到期后又连本带利一起再存相同时间，且年利率不变时，本息和＝本金×（1＋年利率）年数【习题一】某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．100(1－x%)2＝81D ．100x 2＝81【习题二】三个连续自然数的平方和为50，求这三个数.在这个问题中，设中间的自然数为x ，则其余两个自然数为_________、_________，根据题意，可列出方程：________________________________.【习题三】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ） A ．(3+x)(4-0.5x)=15 B ．(x+3)(4+0.5x)=15 C ．(x+4)(3-0.5x ）=15 D ．(x+1)(4-0.5x)=15【习题四】近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【习题五】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【习题六】某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【习题七】明在2013年暑假帮某服装店买卖体恤衫时发现，在一段时间内，体恤衫每件80元销售时，每天销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件，已知该体恤衫进价是每件40元，请问服装店一天能赢利1200元吗？如果设每件降低x元，那么所列方程正确的是（）A．(80-x)(20+x)=1200 B．(80-x)(20+2x)=1200C．(40-x)(20+x)=1200 D．(40-x)(20+2x)=1200【习题八】某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50(1+x2)=196 B．50+50(1+x2)=196C．50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D．50+50(1+x)+50(1+2x)=196【习题九】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x．（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？四、几何应用1.常用勾股定理，面积公式，图形特点，平移，数形结合，三边关系等解题.【习题一】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【习题二】某初三一班学生上军训课，把全班人数的18排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生________人．【习题三】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80-100x-80x=7644 B．(100-x)(80-x)+x2=7644C．(100-x)(80-x)=7644 D．100x+80x=356习题三图习题四图【习题四】如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【习题五】一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，当AE=_____米时，有DC2=AE2+BC2．【习题六】百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价_________元，那么平均每天就可多售出_________件，现在一天可售出_________件，每件盈利_________元．【习题七】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2-1≥-1，即：3a2-1就有最小值-1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1．同样，因为-3a2≤0．所以-3a2+1≤1，即：-3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=________时，代数式-2（x+1）2-1有最________值（填“大”或“小”值为______. （2）当x=________时，代数式 2x 2+4x+1有最________值（填“大”或“小”）值为______. （3）矩形自行车场地ABCD 一边靠墙（墙长10m ），在AB 和BC 边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m 长的木板，当AD 长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？【习题八】在长方形ABCD 中，AB=16cm ，BC=6cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以3cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以2cm/s 的速度移动，点P 、Q 从出发开始，经过几秒时，点P 、Q 、D 组成的三角形是等腰三角形？浙教版数学（八下） 第二单元综合复习参考答案一、一元二次方程的求解习题一.(1)m=﹣1；x 1=﹣1＋72 ，x 2=﹣1－72.(2) a 2+b 2=3【解答】设a 2+b 2=n(n ≥0)，则原方程变形为(n-1)(n-3)-12=0.整理，得n 2+2n-15=0，即(n+5)(n-3)=0，,∴n 1=﹣5（不合题意，舍去），n 2=3，∴a 2+b 2=3. 习题二.x 1=2a+b ，x 2=a-b 【解答】x 2-b 2=a(3x-2a ＋b) x 2-b 2=3ax-2a 2+ab x 2-3ax+ 94-a 2=14-a 2+b 2+ab(x-32a)2=(12a+b)2∴x-32a=12a+b 或x-32a=-(12a+b)∴x 1=2a+b ，x 2=a-b.习题三.(1)x 1=﹣83 ，x 2=﹣109；(2)x 1=53 ，x 2=4；(3)x 1=2，x 2=﹣3；(4)x 1=1，x 2=﹣23 .习题四. 3【解答】∵a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长， 设斜边为c ，∴(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，根据勾股定理得：c 2（c 2+1）-12=0，即(c 2-3)(c 2+4)=0， ∵c 2+4≠0， ∴c 2-3=0，解得c= 3 或c=﹣ 3 (舍去)． 则直角三角形的斜边长为 3 ． 习题五. D【分析】x-3是多项式2x 2-5x+m 的一个因式，即方程2x 2-5x+m=0的一个解是3，代入方程求出m 的值． 习题六. B二、根系关系习题一. ±3，3【解答】已知方程x 2-5x+15=k 2的一个根为x l =2，设另一根是x 2， 则x 1+x 22，则另一个根x 2=3，k=±3．习题二【解答】解方程x 2+3x-3=0的根是，方程x 2-3x+m=0的一个根的相反数是方程x 2+3x-3=0的一个根，因而方程x 2+3x-3=0的一个根的相反数是方程x 2-3x+m=0的一个根，则x 2-3x+m=0的根是﹣(﹣3±21 2 )即3±212.习题三. 4或-1【解答】x ☆2=6，∴x 2-3x+2=6， ∴x 2-3x-4=0，∴(x-4)(x+1)=0， ∴x-4=0，x+1=0，∴x 1=4，x 2=-1. 习题四. 5 【解答】∵a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，∴a 2-5a+m=0①，a 2-5a-m=0②， ①+②，得2(a 2-5a)=0， ∵a ＞0，∴a=5． 习题五.4【解答】∵ax 2+bx+1=0（a ≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=0，即b 2-4a=0，∴b 2=4a ，∵ab 2(a −2)2+b 2−4 =ab 2a 2−4a+4+b 2−4 =ab 2a 2−4a+b 2 =ab 2a 2 ， ∵a ≠0，∴ab 2a 2 = b 2a =4aa =4.习题六. 周长=5，面积=154. 【解答】∵x 2-（k+2）x+2k=0，∴(x-k)(x-2)=0，解得：x 1=2，x 2=k ， ∵三角形是等腰三角形，当k=1时，不能围成三角形；当k=2时，周长为5. 如图：设AB=AC=2，BC=1， 过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∴BD=CD=12BC=12 ，∴AD=AB 2−BD 2 =152∴S △ABC =12×1×15 2 =154.习题七. (1)证明：∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m-2)2+4＞0，即△＞0，∴关于x 的方程x 2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根. (2) 另一根=3，周长=4+10 或4+2 2 【解答】根据题意，得12-1×(m+2)+(2m-1)=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为10 ， 该直角三角形的周长为1+3+10 =4+10 ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2 ，则该直角三角形的周长为1+3+2 2 = 4+2 2 .k是自然数，∴kk-p+2 +kp+1三、生活类应用习题一 .B习题二 .x-1 x+1 (x-1)2+x2+(x+1) 2=50习题三. A习题四.(1)20% (2)能实现【解答】(1)设每年平均增长的百分率为x．6000(1+x)2=8640，(1+x)2=1.44，∵1+x＞0，∴1+x=1.2，x=20%．(2)2012年该县教育经费为8640×(1+20%)=10368（万元）＞9500万元．故能实现目标．习题五.0.3或0.2【解答】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．习题六. 定价60元，进货100个 【解答】设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理，得x 2-110x+3000=0，解得x 1=50，x 2=60．当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去； 当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．∴当该商品每个定价为60元时，进货100个．习题七. D习题八. C习题九.(1)25只 (2) 35只，1950元【解答】(1)∵生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R ，P 与x 的关系式分别为R=500+30x ，P=170-2x ，∴（170-2x ）x-（500+30x ）=1750，解得 x 1=25，x 2=45（大于每日最高产量为40只，舍去）． ∴当日产量为25只时，每日获得利润为1750元.(2)设每天所获利润为W ，由题意得，W=（170-2x ）x-（500+30x ）=﹣2x 2+140x-500=﹣2（x 2-70x ）-500=﹣2（x 2-70x+352-352）-500=﹣2（x 2-70x+352）+2×352-500=﹣2（x-35）2+1950．当x=35时，W 有最大值1950元．四、 几何应用习题一. C【解答】设有x 个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛， x （x-1）÷2=21，解得x=7或-6（舍去），∴应邀请7个球队参加比赛． 习题二. 56【解答】设班级学生x 人，依题意，得(18)2+7=x ， 整理，得x 2-64x+448=0，解得x 1=56，x 2=8，当x=8时，18x=1，1人不能成为方阵，舍去. ∴此班有学生56人．习题三. C【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．习题四. B【解答】设AC 交A ′B ′于H ，∵∠A=45°，∠D=90°，∴△A ′HA 是等腰直角三角形，设AA ′=x ，则阴影部分的底长为x ，高A ′D=2-x ，∴x •（2-x ）=1，∴x=1，即AA ′=1cm ．习题五. 143 【解答】如图，连接CD ，设AE=x 米， ∵坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，∴AC=12米，∴EC=（12-x ）米，∵正方形DEFH 的边长为2米，即DE=2米，∴DC 2=DE 2+EC 2=4+(12-x)2，AE 2+BC 2=x 2+36，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴4+(12-x)2=x 2+36，解得：x=143米． 习题六. x 2x 20+2x 40-x每件应降20元【解答】设每件童装降价x 元，则(40-x)(20+2x)=1200即：x 2-30x+200=0，解得：x 1=10，x 2=20，∵要扩大销售量，减少库存，∴舍去x 1=10∴每件童装应降价20元．习题七.(1)-1，大，-1 (2) -1，小，-1(3)设AD=x ，S=x(16-2x)=-2(x-4)2+32，当AD=4m 时，面积最大值为32m 2．习题八. 2秒 或 16−243 7 秒 或 16+247 7 秒 或 ﹣32+659 5秒. 【解答】如图1，设时间为ts ，过P 作PM ⊥CD 于M ，过Q 作QN ⊥AB 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16cm ，AD=BC=PM=QN=6cm ，∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°， 则DM=AP=3t cm ，CQ=BN=2t cm ，分为三种情况：①当DP=PQ 时，则DM=MQ=3t cm ，∵3t+3t+2t=16，解得：t=2.②当∠PQD 为锐角时，DQ=PQ 时，在Rt △PNQ 中，由勾股定理得：(16-2t)2=62+(16-3t-2t)2，7t 2-32t+12=0，解得：t=32±443 14 =16±243 7， ∵t=16＋243 7 ＞163 （舍去），∴t=16－243 7.当∠PQD 为钝角时，如图2，QD=PQ ，则AP-DQ ≥0，即3t-（16-2t ）≥0，∴165 ≤t ≤163． ∵DQ=16-2t ，PH=6，QH=AP-DQ=5t-16，∴(16-2t)2=36+(5t-16)2，解得t=16±247 7 ， ∵t ≥165 ，∴t=16+247 7. ③当DP=DQ 时，在Rt △DAP 中，由勾股定理得：(16-2t)2=62+(3t)2，即5t 2+64t-220=0，解得t=−64±1259 10 =﹣32±659 5， ∵﹣32－659 5 ＜0，∴t=﹣32+659 5. 综上，经过2秒、16−243 7 、16+247 7 、﹣32+659 5秒时，点P 、Q 、D 组成的三角形是等腰三角形．。
浙教版八下第二章一元二次方程及解法复习
解一元二次方程时，我们先考虑用开平方法和
因式分解法，然后再考虑用公式法和配方法
☆对于（ax+m）2=n(n≥0) 的形式，我们通常选择开平方法。
☆对于右边化成零后左边可以因式分解的一元二次方程，我们
通常选择因式分解法。 ☆对于ax2+bx+c=0(a≠0)一般形式 ，a,b,c≠0时的方程以及 用上面两种方法解方程比较困难时选择公式法。 ☆配方法通常只用于x２＋px＋q＝０形式的方程。
一元二次方程及 解法复习
准备好了吗？
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？ 1、(x－1)２＝４ √ × √ ２、x2－2x=8 ４、x２＝y+１ ６、x３－２x２＝１ √ × ×
1 3、x2+ ＝１ x
５、x２＝x
７、３x２－５x＝２ √
８、x（x－２）＝１+x2 ×
火眼金睛
选择适当的方法解下列方程：
1、(x+1)2=4 2、４x２－９＝x(２x－３) 3、(x+1)(2x－1)=5 4、（y+1）2+2（y+1）+1=0
勇攀高峰
如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动 点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作 PM∥AB交BC于M。PN∥AD交DC于N，连接AM，设 AP=x。 （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由。 （2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与⊿ABM的面 积相等？ A
D P NBຫໍສະໝຸດ MC课堂小结：
通过今天的学习你 有什么收获？
已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=6，BC边上的高 AE=2，动点P从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位 的速度向点D运动，同时动点Q也从点C出发，在线段 BC上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点Q运动 到点B时，点P随之停止运动。连接AQ、PQ、PC。设 运动时间为t（秒）。 (1)当运动时间为1.5秒时，求出⊿ABM的面积。 (2)用含t的代数式来表示⊿PCQ的面积。 (3)当t为何值时，P、Q两点间的距离为 13 ？
浙教版2019-2020学年度第二学期八年级数学测试第2章一元二次方程
浙教版2019-2020学年度第二学期八年级数学测试第2章一元二次方程考试时间：100分钟；满分120分一、单选题1．（3分）下列方程是一元二次方程的是( ) A ．22x y 1+=B ．2x 10-=C ．1x 3x+= D ．4x 56x +=2．（3分）解一元二次方程x 2＋4x －1＝0，配方正确的是（ ） A ．()223x +=B ．()223x -=C ．()225x +=D ．()225x -=3．（3分）方程x 2﹣2x+3=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．只有一个实数根 C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根4．（3分）方程230x x +-=的两根分别是12x x 、，则12x x +等于 （ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-35．（3分）如果﹣1是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．﹣4 D ．﹣26．（3分）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．94m <B ．94m …C ．94m >D ．94m …7．（3分）若a 是方程22x x 30--=的一个解，则26a 3a -的值为( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-8．（3分）已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3B ．3或-1C ．1D ．-3或19．（3分）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=10．（3分）如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( )A ．16 m 2B ．12 m 2C ．18 m 2D ．以上都不对评卷人 得分二、填空题11．（4分）方程22x x =的根是____________12．（4分）方程(m-4)x |m|-2+8x+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=_________. 13．（4分）一元二次方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两根的平方和等于__________．14．（4分）已知23是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是________．15．（4分）若()()222393200x xx x +-++=，则23x x +=______.16．（4分）若α、β是方程2310x x +-=的两个实数根，代数式22ααβ+-的值是______．17．（4分）若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为______．18．（4分）某商品的进价为8元/件，若以10元/件出售，则每天可售出100件，如果每件涨价1元，其销售量减少10件，为了达到每天销售利润为320元，且又能减少该商品的积压，那么应定价为________元．三、解答题19．（8分）解方程：（1）()2231440x --=； （2）21683x x +=．20．（8分）解方程：()2(x 3)2x 3240-+--=．21．（8分）若α是方程2510x x -+=的一个根，求221αα+的值．22．（8分）关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值．23．（8分）已知m 是方程2201610x x -+=的一个根，试求22201620151m m m -++的值.24．（9分）已知：关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=. （1）求证：不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m 的取值范围.25．（9分）某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：设参加旅游的员工人数为x 人．（1）当25＜x ＜40时，人均费用为 元，当x≥40时，人均费用为 元； （2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？答案第1页，总1页参考答案1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A 9．B 10．C 11．0或2 12．-4 13．17 14．2+ 15．4或5 16．417．6或12或10 18．1219．（1）17.5x =，2 4.5=-x ；（2）114x =，234x =-20．1x 3=-，2x 7=． 21．22123αα+=．22．它的另一个根是﹣2，k 的值为﹣1 23．201524．（1）见解析；（2）12m <-25．（1）1000﹣20（x ﹣25）；700．（2）30名。
2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《一元二次方程》单元考点练习及答案解析四精品试卷
2.1 一元二次方程同步练习一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）1．5x 2+1=0 ( )2．3x 2+x 1+1=0 ( ) 3．4x 2=ax(其中a 为常数) ( )4．2x 2+3x=0 ( )5．5132+x =2x ( ) 6．22)(x x + =2x ( )7．｜x 2+2x ｜=4二、填空题1．一元二次方程的一般形式是________．2．将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为_______．3．将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为__________．4．方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为________，常数项为_______．5．方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是________，其二次项是________，一次项是__________，常数项是__________．6．若ab ≠0，则a 1x 2+b1x=0的常数项是_________．7．如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a_________．8．关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m______时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程．三、选择题1．下列方程中，不是一元二次方程的是_________． [ ]A ．2x 2+7=0B ．2x 2+23x+1=0 C ．5x 2+x1+4=0 D ．3x 2+(1+x) 2+1=02．方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是_________． [ ]A ．x 2－5x+5=0B ．x 2+5x+5=0C ．x 2+5x －5=0D ．x 2+5=03．一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是_________．[ ]A ．7x 2，2x ，0B ．7x 2，－2x ，无常数项C ．7x 2，0，2xD ．7x 2，－2x ，04．方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是________．[ ]A ．2B ．－2C ．32-D ．3221-+5．若关于x 的方程（ax+b ）(d －cx)=m(ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为_____．[ ]A ．mB ．－bdC ．bd －mD ．－(bd －m)6．若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是______.[ ]A ．2B ．－2C ．0D ．不等于27．若x=1是方程ax 2+bx+c=0的解，则_________． [ ]A ．a+b+c=1B ．a －b+c=0C ．a+b+c=0D ．a －b －c=08．关于x 2=－2的说法，正确的是_________． [ ]A ．由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B ．x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C ．x 2=－2是一个一元二次方程D ．x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解四、解答题现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来．参考答案一、1．√ 2．× 3．√ 4．√ 5．√ 6．√ 7．√二、1．ax2+bx+c=0(a≠0)2．5x2+6x－1=03．x2+1=0 4．0 85．5x2－22x+3=0 5x2 －22x 36．0 7．≠18．≠4 =4三、1．C 2．A 3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．C四、设计方案：即求出满足条件的便道及休息区的宽度．若设便道及休息区宽度为x米，则游泳池面积为(40－2x)(30－2x)米2，便道及休息区面积为2［40x+(30－2x)x］米2，依题意，可得方程：(40－2x)(30－2x)∶2［40x+(30－2x)x］=3∶2由此可求得x的值，即可得游泳池长与宽．。
2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《一元二次方程》综合能力训练及答案解析精品试卷
第二章一元二次方程综合能力训练题(二)一、选择题（3′×10=30′）1．下列方程是一元二次方程的是（）．A．（x－7）x=x2B．x3+2x+1=0 C．2x+1x+1=0 D．x2=12．一元二次方程x2－9=0的根为（）．A．3 B．－3 C．3或－3 D．03．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．m=±2 B．m=2 C．m=－2 D．m≠±24．若2x2+3与2x2－4互为相反数，则x为（）．A．12B．2 C．±2 D．±125．华联超市4月份的营业额为220万元，5月份营业额为242万元，如果保持同样的增长率，6月份应完成营业额（）万元．A．264 B．266.2 C．272.4 D．2866．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=b时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）．A．y2+y－b=0 B．y2－y－b=0 C．y2－b+b=0D．y2+y+b=07．用配方法解一元二次方程x2－4x－1=0，配方得到的方程是（）．A．（x－2）2=1 B．（x－2）2=4 C．（x－2）2=5 D．（x －2）2=38．一元二次方程5x2－7x+5=0的根的情况是（）．A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根9．用换元法解方程3x2+3x=22x x+1，若设x2+x=y，则原方程可化为关于y的一元二次方程是（）．A．3y2－y－2=0 B．3y2+y+2=0 C．3y2+y－2=0D．3y=2y+110．以1，3为根的一元二次方程是（）．A．x2+4x－3=0 B．x2－4x+3=0 C．x2+4x+3=0 D．－x2+4x+3=0二、填空题（3′×10=30′）11．写出两个一元二次方程，设每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1，即________．12．如果－4是关于x的一元二次方程2x2+7x－k=0的一个根，则k 的值为_____．13．方程x 2－3x=0的解是______．14．如图，小明家有一块长150cm ，宽100cm的矩形地毯为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为xcm ，则根据题意列方程为______．15．若x=1是一元二次方程ax 2+bx －2=0的根，则a+b=_______．16．已知m 是方程x 2－x －1=0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于_______．17．已知关于x 的方程2142242x x m x x x++++--=1仅有唯一的实数根，则m=______．18．已知关于x 的二次方程x 2－2（a －2）x+a 2－5=0的两根为α、β，且αβ=2α+2β，则a=_____，│α－β│=______． 19．甲，乙两人沿湖边绕湖而行，甲绕湖一周需1．5小时，•现两人同时同地出发相背而行，•两人相遇后继续往前再行2•小时，••才能回到原出发点，••则乙绕湖一周需______小时．20．若m 为实数，方程x 2－3x+m=0的一个根的相反数是方程x 2+3x－3=0的一个根，则x 2－3x+m=0的根是_______．三、解答题（共60′）21．（2×5′=10′）（1）解方程x2－2x－2=0（2）用配方法解方程x2－4x+1=022．（10′）已知一元二次方程x2－4x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x+k=0与x2+mx－1=0•有一个相同的根，求此时m的值．23．（6′）已知关于x的一元二次方程x2－（k+1）x－6=0的一个根是2，•求方程的另一根和k的值．24．（4′）解方程16（x－1）2=81．25．（4′）用配方法解方程x2－4x+3=0．26．（4′）解方程（x－5）2=2（5－x）27．（4′）解方程2x2－3x－1=028．（6′）已知关于x的方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围．（2）设x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两根，且x12+x22=9，求a的值．29．（6′）根据方程x（x+5）=36编一道应用题．30．（6′）A，B两地相距60千米，甲骑自行车从A地出发，乙骑摩托车从B•地出发相向而行．如果甲比乙早出发1小时40分钟，那么甲出发后3小时与乙相遇，•相遇后两人继续前进，当甲到达B地时，乙恰好也到达A地，求甲，乙两人速度．答案:一、1．D 2．C 3．B 4．D 5．B6．A 7．C 8．D 9．A 10．B二、11．x2－2x=0，x2+x=0 12．4 13．X1=0，x2=3 14．（150+2x）（100+2x）=2×100•×150 15．2 16．1 17．1或25 18．1 25 19．3 20．3212三、21．（1）x 1=1+3，x1=1－3（2）x 1=2+3，x2=2－322．k<4，m=023．根为－3，k为－2 •24．x1=134，x2=－5425．x 1=3，x 2=126．x 1=5，x 2=327．x 1=3174+，x 2=3174-28．（1）a ≤98（2）a=029．•一长方形的菜地面积为36平方米，长比宽多5米，求菜地的长和宽．30．甲的速度为12•千米/时，乙的速度为18千米/时．。
浙教版八年级数学下《第2章一元二次方程》章末复习课试卷含答案
章末复习课考点 1 一元二次方程的有关概念1．下列方程中，属于一元二次方程的是( C )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy ＋5y 2＝02．已知关于x 的方程x 2＋m 2x －2＝0的一个根是1，则m 的值是( C )A ．1B ．2C ．±1D ．±23．若n (n ≠0)是关于x 的方程x 2＋mx ＋3n ＝0的根，则m ＋n ＝__－3__．考点 2 一元二次方程的解法4．把方程x 2－4x －6＝0配方成(x ＋m )2＝n 的形式，结果应是( D )A ．(x －4)2＝2B ．(x －2)2＝6C ．(x －2)2＝8D ．(x －2)2＝105．方程x (x －1)＝x 的根是( D )A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝－2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝06．用适当的方法解下列方程．(1)(2x ＋3)2－25＝0；(2)4x 2－3x －1＝0；(3)3(x －2)2＝x (x －2)；(4)(x ＋1)(x ＋8)＝－2.【答案】 (1)x 1＝－4，x 2＝1 (2)x 1＝－14，x 2＝1 (3)x 1＝2，x 2＝3 (4)x 1＝－9＋412，x 2＝－9－4127．定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝ab ＋b ；当a <b 时，a ⊕b ＝ab －a .解方程(2x －1)⊕(x ＋2)＝0.解：①当2x －1≥x ＋2即x ≥3时，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)＋x ＋2＝0，解，得x ＝0或x ＝－2，∵x ≥3，∴x ＝0或x ＝－2均舍去；②当2x －1<x ＋2即x <3时，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－(2x －1)＝0，解，得x ＝－1或x ＝12， ∵x <3，∴x 1＝－1，x 2＝12都是原方程的解． 综上，方程的解为－1，12. 考点 3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系8．a ，b ，c 为常数，且(a －c )2＞a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为09．写出一个无实数根的一元二次方程： 答案不唯一，如x 2＋1＝0 ．10．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__k ≤5且k ≠1__．11．2018·南京设x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1，则x 1＝__－2__，x 2＝__3__．12．2018·内江已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根之和为__1__．【解析】 设x ＋1＝t ，方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2＋bt ＋1＝0，由题意可知t 1＝1，t 2＝2，∴t 1＋t 2＝3，∴x 3＋x 4＋2＝3，∴x 3＋x 4＝1.13．在一元二次方程x 2－2ax ＋b ＝0中，若a 2－b >0，则称a 是该方程的中点值．(1)方程x 2－8x ＋3＝0的中点值是__4__．(2)当a 2－b >0时，x 1，x 2为方程的两个根，求证：x 2－a ＝a －x 1.(3)已知x 2－mx ＋n ＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn 的值．解：(2)∵当Δ＝4(a 2－b )>0时，x 1，x 2为方程的两个实数根，∴x 1＋x 2＝2a ，∴x 2－a ＝a －x 1.(3)由中点值的定义得：m 2＝3，∴m ＝6. ∴x 2－6x ＋n ＝0.将x ＝2代入方程，得：4－12＋n ＝0，∴n ＝8，∴mn ＝48.考点 4 一元二次方程的应用14．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明两年的投资总额为8万元．若该校这两年购买实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为__2(1＋x)＋2(1＋x)2＝8__．15．观察图形规律：当n＝__5__时，图中“”的个数和内部“△”的个数相等．16．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1 400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.∴奖品数超过了30件．设总数为x件，则每件商品的价格为[40－(x－30)×0.5]元，根据题意可得x[40－(x－30)×0.5]＝1 400，解得x1＝40，x2＝70，∵x＝70时，40－(70－30)×0.5＝20＜30，∴x＝70，不合题意，舍去．答：王老师购买该奖品的件数为40.17．如图所示，△ABC是边长3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t(s)，解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？解：根据题意，得AP＝t(cm)，BQ＝t(cm)，在△ABC中，AB＝BC＝3 cm，∠B＝60°，∴BP＝(3－t) cm.在△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，当∠BQP ＝90°时，BQ ＝12BP ，即t ＝12(3－t )，t ＝1， 当∠BPQ ＝90°时，BP ＝12BQ ，3－t ＝12t ，t ＝2. 答：当t ＝1或t ＝2时，△PBQ 是直角三角形．18．阅读材料：【方法1】若x ＋2是x 2－mx －8的一个因式，我们不难得到x 2－mx －8＝(x ＋2)(x －4)， 易得m ＝2.【方法2】观察上面的等式，可以发现当x ＝－2时，x 2－mx －8＝(x ＋2)(x －4)＝0， 即x ＝－2是方程x 2－mx －8＝0的一个根，故将x ＝－2代入方程x 2－mx －8＝0，求得m ＝2.【应用】(1)若x －2是x 2－mx －6的一个因式，应用方法1求m 的值；(2)若x ＋1是2x 3＋x 2＋mx －6的一个因式，应用方法2求m 的值．解：(1)∵x 2－mx －6＝(x －2)(x ＋3)＝x 2＋x －6，∴m ＝－1.(2)∵x ＋1是2x 3＋x 2＋mx －6的一个因式，∴x ＝－1是方程2x 3＋x 2＋mx －6＝0的一个解，∴将x ＝－1代入方程，得－2＋1－m －6＝0，∴m ＝－7.。
2019-2020学年八年级数学下册第2章一元二次方程2.1一元二次方程练习新版浙教版 .doc
2019-2020学年八年级数学下册第2章一元二次方程2.1一元二次方程练习新版浙教版1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x＋1＝0 B ．ax 2－x ＋2＝0 C ．x(x ＋3)＝5 D ．3x 2－2y ＋4＝0 2．已知方程(m －2)x |m|＋mx －8＝0是关于x 的一元二次方程，则( )A ．m ＝±2 B．m ＝2 C ．m ＝－2 D ．m≠±23．关于x 的方程mx 2－3x ＋2＝x 2－mx 是一元二次方程，则m 的取值范围是____________．4．把方程x(x ＋2)＝5(x －2)化成一般形式，则a ，b ，c 的值分别是( )A ．1，－3，10B ．1，7，－10C ．1，－5，12D ．1，3，25．已知一元二次方程x 2－4＝0，则下列关于该一元二次方程的说法正确的是( )A ．不是一般形式B ．没有一次项系数C ．常数项是4D ．二次项系数是16．关于x 的一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x(x ＋1)化成一般形式后的二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为_______．7．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)2x(2x ＋1)＝x ＋3； (2)(7x －1)2＝6；8．若x ＝1是一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，则m 的值为____．9．若关于x 的一元二次方程ax 2＋b ＋5＝0(a≠0)的解是x ＝1，则2 016－a －b 的值是( )A ．2 019B ．2 020C ．2 021D ．2 02210．若方程(a －3)x 2＋a ＋1x －2＝0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是( )A ．a≥－1B ．a≠3 C．a ＞3 D ．a≥－1且a≠311．已知a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝0，4a －2b ＋c ＝0，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解的情况为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝－1，x 2＝－2C ．方程的解与a ，b 的取值有关D ．方程的解与a ，b ，c 的取值有关12．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－213．关于x 的方程mx(x －1)＝nx(x ＋1)＋2化成一般形式后为x 2－x －2＝0，则m ，n 的值依次是( )A ．1，0B ．0，1C ．－1，0D ．0，－114．若关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋5x ＋m 2－9＝0的常数项为0，则m 的值为____．15．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数，一次项系数及常数项．15．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数，一次项系数及常数项．17．有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，一个学童教他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？设竹竿长为x尺，请根据这一问题列出方程并化简方程，不必求解．18．已知一个一元二次方程的二次项的系数为1，它的两个根是33和－23，求这个一元二次方程．答案：1. C2. C3. m≠14. A5. D6. －17. (1) 解：一般形式：2x2＋(2－1)x－3＝0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是2，2－1，－3 (2) 解：一般形式：49x2－14x－5＝0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是49，－14，－58. －39. C10. D11. B12. A13. A14. －315. 解：(1)当m ＝3时，此方程是一元一次方程，其解为x ＝56(2)当m≠±3时，此方程为一元二次方程，其二次项系数，一次项系数及常数项分别为m 2－9，m ＋3，－516. 解：x(x －1)＝182，一般形式为x 2－x －182＝017. 解：设竹竿长为x 尺，根据题意，得(x －4)2＋(x －2)2＝x 2，化简得x 2－12x ＋20＝018. 解：设这个一元一次方程为x 2＋bx ＋c ＝0，将x 1＝33和x 2＝－23分别代入，解方程组得b ＝－3，c ＝－18，所以这个一元二次方程是x 2－3x －18＝0。
2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习二 一元二次方程
期末复习二一元二次方程复习目标必备知识与防范点一、必备知识：1．一元二次方程的一般形式：，其中a 0．2．解一元二次方程的常见方法：、、、等．3．当≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是.4．叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，b2-4ac＞b2-4ac 0⇔ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；b2-4ac 0⇔ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.5．一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= ．6．关于x的一元二次方程（m－4）x2+x+m2－16=0有一根为0，则m＝ . 7．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=bC．b=c D．a=b=c8． 某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买器材的投资的年平均增长率为x ，则可列方程 .9． 某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元． 当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件． 在此基础上，假设这种商品的单价每降低2元，每天就会多售出15件．（1）设商品的单价为x 元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： ；（2）设商品降价2y 元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： .二、防范点：1． 一元二次方程二次项系数不为0；2． 运用韦达定理时注意Δ≥0，a ≠0；3． 求二次三项式最值可运用配方法，也可用Δ.例题精析考点一 一元二次方程的解例1 （1）（雅安中考）已知关于x 的一元二次方程x 2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ）A ． 4，-2B ． -4，-2C ． 4，2D ． -4，2（2）设a 是关于x 的方程：x2-9x+1＝0的一个实数根，求a 2-7a+1182 a 的值； （3）已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx+2＝0与x 2＋2x+m ＝0有一个公共根，求这个公共根及m 的值.反思：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解. 遇到方程的解，一般先代入方程，再进行适当的变形.考点二解一元二次方程例2 （1）一元二次方程x2-23x=-3通过配方可化为（）A. （x-23）2=9B. （x-3）2=9C. （x-23）2=0D. （x-3）2=0（2）给出下列方程：①x2+6x-2=0；②3x2-4=0；③2y2-3y-1=0．你认为选用哪种方法解方程较简便（填序号）？开平方法：，配方法：，公式法：.例3 用适当的方法解下列方程（1）（2x-1）2-9=0；（2）x2-23x=1；（3）x（x-6）=-2（x-6）.反思：解一元二次方程的方法比较多，碰到方程先要选择一种较简便的方法求解．一般情况下一次项系数为0时，可选择直接开平方法；二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可选择配方法；能因式分解的用因式分解法，其他往往用公式法．解题过程中还要注意运用整体思想．考点三一元二次方程的判别式例4 （1）已知关于x的方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有实根，则m的取值范围是（）A．m≠2 B．m≤6且m≠2C．m＜6 D．m≤6（2）如果关于x 的一元二次方程kx 2-12 k x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .（3）如果x 2-2（m+1）x+16是一个完全平方式，则m= .（4）求代数式2x 2-3x+4的最小值.反思：第（1）小题须满足3个条件：k ≠0，Δ＞0，2k+1≥0；第（2）小题注意是方程，可允许m-2=0；第（3）小题二次三项式是完全平方式，则Δ＝0；第（4）小题可用配方法，也可用Δ法：设2x 2-3x+4＝y ，移项得2x 2-3x+4－y ＝0，将y 看做常数，方程必有实根，∴Δ＝9－8（4－y ）≥0，解得y ≥823，即2x 2-3x+4的最小值为823. 考点四 一元二次方程的应用（增长率，市场经济，几何等）例5 （1）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a 折的基础上再打a 折销售，现该商品的售价为128元，则a 的值是（ ）A ． 0.64B ． 0.8C ． 8D ． 6.4（2）某小区2016年底绿化面积为200平方米，计划2018年底绿化面积要达到288平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．（3）某学校八年级组织了一次乒乓球比赛，每班派一名同学代表班级进行比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，共比赛28场，该校八年级共有 个班级．（4）现有一块长80cm ，宽60cm 的矩形铜片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为2400cm2的无盖的长方体盒子，则x= cm ．（5）（沈阳中考）某商场购进一批单价为20元的日用商品. 如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是 元时，才能在半月内获得最大利润. 反思：（1）此题是打折问题，需注意：①利润的两种表示方法；②打几折，即原价的十分之几．（2）此题是一元二次方程的应用中增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．（3）此题是可以看成握手问题：计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为21x （x-1），而x 个人互赠明信片时，每两个人之间有两张明信片，故明信片共有x （x-1）张．（4）此题的关键是长方形与正方形的面积计算及推理．（5）此题的关键是销量随售价的变化规律，并根据相等关系列出方程．例6 如图1，有一块塑料长方形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ．（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由；（2）如图2，再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．反思：利用一元二次方程解决实际问题，往往要找到题意中的相等关系，当遇到直角三角形时常想到勾股定理，方程应用中的存在问题可用b 2-4ac 来解决.考点五 可化为解一元二次方程的探究例7 请阅读下列解方程x 4-2x 2-3=0的过程.解：设x 2=y ，则原方程可变形为y 2-2y-3=0由（y-1）2=4，得y 1=3，y 2=-1.当y=3，x2=3，∴x1=3，x2=-3，当y=-1，x2=-1，无解.所以，原方程的解为x1=3，x2=-3.这种解方程的方法叫做换元法.用上述方法解下面两个方程：（1）x4-x2-6=0；（2）（x2+2x）2-2（x2+2x）-3=0.反思：换元法可将高次方程化为一元二次方程. 换元后得新方程的解时，不能半途而废，须求出原方程的解.校对练习1．关于x的方程（m+1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A. 任意实数B. m≠-1C. m>1D. m>02．把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖盒子，如果这个盒子的容积为1500cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为xcm，则正确的方程是（）A. （2x-20）（x-20）=1500B. （2x-10）（x-20）=1500C. 10（2x-20）（x-20）=1500D. 10（x-10）（x-20）=15003．某G20商品专卖店每天的固定成本为400元，其销售的G20纪念徽章每个进价为3元，销售单价与日平均销售的关系如下表：（1）设销售单价比每个进价多x元，用含x的代数式表示日销售量；（2）若要使日均毛利润达到1840元（毛利润=总售价-总进价-固定成本），且尽可能多地提升日销售量，则销售单价应定为多少元？4．某小区有一块长18米，宽8米的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形花圃．为方便游人观赏，准备在花圃周边修建如图所示的“两横三纵”人行通道，其中横向人行通道的宽度是纵向人行通道宽度的一半．设纵向人行通道的宽度为x米，当x为何值时，花圃的面积之和为72平方米？5. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？参考答案【必备知识与防范点】1. ax 2+bx+c=0 ≠2. 因式分解法 直接开平方法 配方法 公式法3. b 2-4ac x=a ac b b 242-±- 4. b 2-4ac 方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根 = ＜ 5. -a b ac 6. －47. A8. 2（1+x ）+2（1+x ）2=89. （1）（x-20）（200+240x -×15）＝4500 （2）（20－2y ）（200+15y ）=4500【例题精析】例1 （1）D（2）∵a 是关于x 的方程：x 2-9x+1＝0的一个实数根，∴a 2-9a+1＝0，∴a 2＝9a －1，a 2+1＝9a ，a+a 1=9，原式＝（9a －1）-7a+1182+a ＝2a －1＋a 2＝2（a+a1）－1＝17. （3）设公共根为a ，有a2＋ma+2＝0①，a2＋2a+m ＝0②，由①－②得：（m-2）a+2-m=0，即（m-2）（a-1）=0，当m=2时，两方程相同，且方程无解，不符要求，∴a=1，代入①得：m=-3. ∴公共根为1，m 的值为－3.例2 （1）D （2）② ① ③例3 （1）x 1=2，x 2=-1； （2）x 1=3+2，x 2=3-2；（3）x 1=-2，x 2=6.例4 （1）D （2）－21≤k ＜21且k ≠0 （3）3或－5 （4）最小值823 例5 （1）C （2）20% （3）8 （4）10 （5）35例6 （1）能；设AP ＝x ，据BP 2+PC 2=BC 2有16＋x 2+（10-x ）2+16=100，解得：x 1=2，x 2=8，∴当AP ＝2cm 或8cm 时，三角板两直角边分别通过点B 与点C.（2）能；设AP ＝x ，据BP 2+PE 2=BE 2有16＋x2+（8-x ）2+16=64，解得：x 1=x 2=4，∴当AP ＝4cm 时，CE=2cm.例7 （1）x=±3； （2）x 1=-3，x 2=1，x 3=x 4=-1.【校内练习】1—2. BC3. （1）由表格可知，销售单价每增加1元时，其销售量减少40件，根据题意知，其销售量为560-40（x+3-4）=（-40x+600）个；（2）根据题意，得：（-40x+600）x-400=1840，整理，得：x2-15x+56=0，解得：x1=7，x2=8，因为要尽可能多地提升日销售量，所以x=7，此时销售单价为10元，答：销售单价应定为10元．4. 纵向人行通道的宽度为x 米，依题意可得：（18-3x ）（8-2×21x ）=72，解得：x 1=2，x 2=12（不合题意，舍去）．答：当x 为2时，花圃的面积之和为72平方米．5. （1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500-（55-50）×10=450（千克），所以月销售利润为：（55-40）×450=6750元.（2）由于水产品不超过10000÷40=250kg ，定价为x 元，则（x-40）[500-10（x-50）]=8000，解得：x 1=80，x 2=60. 当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg ＜250kg ，符合题意，当x 2=60时，进货500-10（60-50）=400kg ＞250kg ，舍去.答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元.。
2.3 一元二次方程的应用 浙教版数学八年级下册期末复习题
期末复习：一元二次方程应用21.在一幅长40cm、宽30cm的长方形风景画四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图。
如果要使整幅图的面积为2000cm²，设金色纸边的宽为x cm，那么可列方程（）。
A.x³+35x-200=0B.x²+35x+200=0C.x³+70x+800=0D.x²+70x-800=02、两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x，则所列方程为（）。
3、某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为（），解得年利率是（）。
4.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是（）。
5.某校去年投资3万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为10万元，若设该校这两年购买实验器材的投资额的年平均增长率为x，则可列方程为（）。
二、例题典型例题如图，在四边形OABC中，OA//CB，BC⊥y轴，OA与OC分别与x轴和y轴重合，∠OAB=45°，点A的坐标是（4，0），AB=22，连结OB，动点P从点O出发，沿折线O-B-A方向向终点A 匀速运动，另一动点Q从点O出发，沿射线OA方向匀速运动，若点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度是1个单位/秒，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.（1）直接写出点B的坐标。
（2）当点P在折线O-B-A上运动，点Q在线段OA上运动时时，请求出使△OPQ的面积等于1.5时t的值。
（3）当t为何值时，以点C、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形。
C BQ A【增长率问题】例1.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.【销售问题】例2.某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克。
2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《一元二次方程》单元考点练习及答案解析精品试卷
2.1 一元二次方程同步练习一、填空题1.某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________.2.某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.3.小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x，则方程为_____________.4.已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________.5.某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为___________.6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，且不考虑利息税，到期后本息共计1320元，若设年利率为x，根据题意可列方程_____________.7.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.8.方程(4－x)2=6x－5的一般形式为_____________，其中二次项系数为_________，一次项系数为_________，常数项为_________.9.如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.10.如图1，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x 的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为_____________，解得x=_________.图1二、选择题11.某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（）A.5(1+x)=9B.5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x)2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=912.下列叙述正确的是（）A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程B.方程4x2+3x=6不含有常数项C.(2－x)2=0是一元二次方程D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为013.两数的和比m少5，这两数的积比m多3，这两数若为相等的实数，则m等于（）A.13或1B.－13C.1D.不能确定14.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程应为（）A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000三、解答题15.某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？16.如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度.图217.直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.参考答案一、1.30(1+x)2=422.300（1－x)2=1603.500(1+x)2=6154.x2－6x+5=05.50(1+x)2=756.［2000(1+x)－1000］(1+x)=13207.15+15(1+x)+15(1+x)2=608.x2－14x+21=0 1 －14 219.a≠－2 10.x2－8x+7=0 1二、11.B 12.C 13.A 14.D三、15.20%16.2 m117.2。
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浙教版2019-2020学年初中数学八年级下学期期末复习专题2 一元二次方程一、单选题（共10题；共20分）1.下列方程是一元二次方程的是A. B. C. D.2.如果关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0有一个根为0，则m的值（）A. ﹣1B. 3C. ﹣1或3D. 以上答案都不对3.将方程x(x-2)=x+3化成一般形式后，二次项系数和常数项分别为( )A. -3，3B. -1，-3C. 1，3D. 1，-34.一元二次方程2x2＋6x＋3= 0 经过配方后可变形为（）A. =6B. =12C.D.5.用公式法解方程x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（）A. 16B. 4C.D. 646.方程x（x﹣1）＝5（x﹣1）的解是（）A. 1B. 5C. 1或5D. 无解7.如果关于x的方程x2﹣x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（）A. k＞0B. k≥0C. k＞4D. k≥48.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从1月份的300万元，连续两个月降至260万元，设每月平均下降率为x，则可列方程（）A. B. C. D.9.如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为35 米，与墙平行的边留有1 米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为160 平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（）A. 7.5 米B. 8米C. 10米D. 10米或8米10.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（）A. 10B. 9C. 7D. 5二、填空题（共6题；共7分）11.关于x的一元二次方程ax2+bx－2020=0有一个根为x=－1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．12.若关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则________.13.若2(x-1)2-8=0，则x的值为________．14.关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是________.15.某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价____________元．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.三、解答题（共8题；共77分）17.已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0的两个正实数根，且满足2x1+x2＝7，求实数k的值.18.解方程：（1）(x+2)2=4(自选方法)（2）2x²-x-1=0(配方法)、（3）x²-1=4x(公式法)（4）x²-1=2x+2(因式分解法)19.已知m是方程的一个根，求的值．20.阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：（ 1 ）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0.解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0.解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意.舍去）当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0.解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意.舍去）∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2.（ 2 ）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0.21.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记“ ”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程① ；方程② ；方程③ 这几个方程中，是倍根方程的是________（填序号即可）；（2）若是倍根方程，则的值为________；22.将4个数a，b，c，d 排成2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式．（1）若＝0，求x的值；（2）若＝6，求x的值．23.随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数量是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；（3）求2021年底全省5G基站的数量．24.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？（2）当t为何值时，PQ的长度等于8 cm？（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PCQ的面积等于？答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解：A.是一元一次方程，故A不符合题意；B.是二元二次方程，故B不符合题意；C.是一元二次方程，故C符合题意；D.是分式方程，故D不符合题意.故答案为：C.【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.2.【答案】B【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x＝0代入方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0中，得m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或﹣1，当m＝﹣1时，原方程二次项系数m+1＝0，舍去，故答案为：B．【分析】把x＝0代入方程（m2﹣1）x2+（m+1）x﹣2＝0中，解关于m的一元二次方程即可求得m的值．3.【答案】D【考点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】去括号：x2-2x=x+3，移项合并：x2-3x-3=0.二次项系数1，常数项-3.故选D.【分析】先将方程化为一般式，然后求出结论即可.4.【答案】C【考点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＋3= 0∴∴∴故答案为：C【分析】先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数变为1，然后配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得到答案．5.【答案】D【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】解：故答案为：D【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可.6.【答案】C【考点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：原方程可化为x（x﹣1）﹣5（x﹣1）＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5.故答案为：C.【分析】先把方程右边的因式移到左边，再提取公因式x﹣1，即可利用因式分解法求出x的值.7.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】∵关于x的方程x2- x+1=0有实数根，∴，解得：k≥4．故答案为：D．【分析】由被开方数非负结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．8.【答案】D【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题【解析】【解答】设每月平均下降率为x，得故答案为：D.【分析】设每月平均下降率为x ，根据1月份生产总值×（1-平均下降率）2=3月份生产总值列出方程即可.•9.【答案】C【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：设鸡场的长为x，因为篱笆总长为35米，由图可知宽为：米，则根据题意列方程为：，解得：x1＝16，x2＝20（大于墙长，舍去），宽为：=10（米），所以鸡场的长为16米，宽为10米，即鸡场与墙垂直的边长为10米．故答案为：C．【分析】设长为x，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，长用的篱笆为（x−1）米，与2倍的宽长的总和为篱笆的长35米，长×宽＝面积160平方米，根据这两个式子可解出长和宽的值．10.【答案】C【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ＝22﹣（﹣3）＝7．故答案为：C．【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整体代入的方法计算．二、填空题11.【答案】1；-2019 答案不唯一【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x＝-1代入ax2＋bx−2020＝0得a-b−2020＝0，当a＝1时，b＝-2019．故答案为：1，-2019．答案不唯一【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝-1代入方程得到a-b−2020＝0，于是a取1时，计算对应的b的值．答案不唯一12.【答案】2【考点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，∴，解得：.故答案为：2.【分析】根据b，c是常数且，a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，利用二次项系数、一次项系数、常数项的和是0列关于k的方程即可得答案.13.【答案】3或-1【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：2(x-1)2-8=0(x-1)2＝4x-1=±2x1=3，x2=-1故答案为：3或-1．【分析】由题意解方程，求出方程的解即可求出答案．14.【答案】－2【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，解得a≤- ，且a≠-1，则a的最大整数值是-2.故答案为：-2.【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围.还要注意二次项系数不为0.15.【答案】4【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题【解析】【解答】解：设每件应降价x元，根据题意得（20+5x）（44-x）=1600解之：x1=36，x2=4.∵x≤10∴x=4故答案为：4.【分析】设每件应降价x元，用含x的代数式表示出销售量及每一件的利润，再根据销售量×每一件的利润=1600，列方程求出方程的解，即可得到符合题意的x的值。