2019年高考数学(文)一轮复习第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积及其应用学案
2019-2020年高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课件理
核心规律 1.实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都 表示纯虚数． 2.设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复 数问题实数化是解决复数问题的常用方法． 3.在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多 项式运算法则进行，除法法则需分母实数化．
满分策略 1.判定复数是不是实数，仅注意虚部等于 0 是不够的， 还需考虑它的实部是否有意义． 2.注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚 数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不 对了． 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照 搬到复数集中来．例如，若 z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能 推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立.
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2019/7/20
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2019年高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定理及坐
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示[考纲传真] (教师用书独具)1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(对应学生用书第71页)[基础知识填充]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， 3a ≠0，b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 1λ＝μ＝0.2x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC ．( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(5)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( )A ．5B ．13C ．17D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋223．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝0 [假设λ1≠0，由λ1e 1＋λ2e 2＝0，得e 1＝－λ2λ1e 2，∴e 1与e 22是平面内一组基底矛盾，故λ1＝0，同理，λ2＝0，∴λ1＋λ2＝0.]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.－6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．(1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎨⎪⎧4＝5－x ，解得⎨⎪⎧x ＝1，]图421A ．12a ＋12b B ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b (2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.(1)D (2)43 [(1)∵在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴AE →＝12AC →.∵O 是BE 边的中点，∴AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.]应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 [跟踪训练] 如图422，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝3BC ，CN ＝3CD ，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.图422[解] ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标.【导学号：79140151】[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)． 利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程组进行求解.[跟踪训练] (1)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)(1)A (2)B [(1)设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A ．(2)∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝3(PA →＋AC →)．∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →，又AQ →＝AP →＋PQ →，∴BC →＝3[PA →＋2(AP →＋PQ →)]＝(－6,21)．]已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB →＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，a ∥b ；a ∥2y 1＝其中x 1，，b x 2，y 2当涉及向量或点的坐标问题时一般利用比较方便.2.与向量共线有关的题型与解法证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程组求解[跟踪训练b ＝(1，－2b )，则B ．1 D ．－2(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实【导学号：79140152】－4)，由a ∥(a ＋2b )，得2(m －4)＝4m ，m ＝－4，故选A ．(2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.]。
2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应
第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的 投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为 【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为 卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》 当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为 一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实 数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［ 平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。
2019版高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充
意义．
2017·山东卷，2 四则运算(特别是除法运
4．会进行复数代数形式的四则运 2017·北京卷，2 算)是高考考查的主要内
算．
Hale Waihona Puke 容，复数的几何意义常5．了解复数代数形式的加、减运算 的几何意义.
分值：5分
与解析几何知识交汇命 题.
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1．复数的有关概念 (1) 复 数 的 概 念 ： 形 如 a ＋ bi(a ， b∈R) 的 数 叫 做 复 数 ， 其 中 a ， b 分 别 是 它 的 _实__部___ 和 _虚__部___. 若 __b_＝__0_ ， 则 a ＋ bi 为 实 数 ； 若 b≠0 ， 则 a ＋ bi 为 虚 数 ； 若 __a_＝__0_且__b_≠_0__，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且__b_＝__d___(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_a_＝__c_且__b_＝__－__d__(a，b，c，d∈R)．
一 复数的有关概念
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即 可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【例 1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )
解析 (1)错误．若a＝i，则a2＝－1<0，因而(1)错． (2)错误．若两个复数为虚数，或一个为实数，一个为虚数，则它们不能比较大 小． (3)错误．当虚部也为0时，则此复数为实数0. (4)正确．由复数的几何意义可知该结论正确．
2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4讲
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四讲 数系的扩充与复数的引入
1 2 3
知 识 梳 理 考 点 突 破 名 师 讲 坛 思 想 方 法
4
知 识 梳 理
• 1．复数的有关概念 • (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中 a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。i是虚数单位。规 2 4 k ＝－ 1 由此可知： 定 i i ＝1.i4k 1. ＝i，i4k 2＝－1，i4k 3＝－i，
考 点 突 破
考点 1
复数的概念
1＋ai (1)(2017· 湖南三湘名校联盟联考)已知 为纯虚数(i 是虚数单位)， 1－i 则实数 a＝ 导学号 58532722 ( A A．1 B．－1 ) C．2 D．－2
z (2)(文)(2016· 全国Ⅲ)若 z＝4＋3i，则|z|＝ 导学号 58532723 ( D ) A．1 B．－1 4 3 C．5＋5i 4 3 D．5－5i
z2＋z1 ①交换律：z1＋z2＝_________________ ； z1＋(z2＋x3) ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝_________________.
1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小． 1＋i 1－i 2．(1± i) ＝± 2i； ＝i； ＝－i. 1－i 1＋i
2
(3)复数的几何表示： 复数 z＝a＋bi(a， b∈R) → 向量OZ.
一一 对应 一一 对应
复平面内的点 Z(a， b)
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(a＋c)＋(b＋d)i ； ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________ (a－c)＋(b－d)i ； ②减法：z －z ＝(a＋bi)－(c＋di)＝_________________
2019届高考数学一轮复习第4单元平面向量数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课件理
课前双基巩固
知识聚焦
1.向量的有关概念及表示 名称 向量 向量的模 定义 在平面中,既有 大小 又有 方向 的量 向量 a 的 大小 ,也就是表示向量 a 的有向线 段������������ 的 长度 (或称模) 的向量 表示 用 a,b,c,…或������������ ,���������何意义.
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度 ★☆☆
平面向量的 概念辨析、应用等 概念
平面向量的 加、减、数乘运算及其应 线性运算 用
共线向量
2016全国卷Ⅱ3,2015全国 卷Ⅰ7
★★☆
根据向量共线确定参数值、 2015全国卷Ⅱ13 应用等
★☆☆
教学参考
真题再现
平面向量的概念 及其线性运算
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第24讲 PART 4
考试说明
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.
2.理解向量的几何意义.
3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
|a| 或 |������������ |
用
零向量 长度为 0 单位向量 长度等于
0 表示
1 个单位的向量
用 e 表示,|e|=
1
课前双基巩固
方向 相同 或相反的非零向量(或称共线向 量)
平行向量
a∥b a=b 向量 a 的相反向量是 -a
相等向量 长度 相等且方向 相同 的向量 相反向量 长度 相等,方向 相反 的向量 说明:零向量的方向是 不确定的 、 任意的 . 规定:零向量与任一向量 平行 .
2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与
第4讲 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0， 则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c， d∈R)．
(4)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的 模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2. 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量O→Z.
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c ＋di≠0)．
3．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平 面上对应的点分别为 A，B，C，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)， 则 λ＋μ 的值是____1____．
[解析] 由条件得O→C＝(3，－4)，O→A＝(－1，2)，
2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1讲
法则(或几何意义)
运算律
减法
做 a 与 b 的差， 即 a＋(－b)＝a－b
三角形 法则 __________
a－b＝a＋(－b)
向量运算
定义
法则(或几何意义) (1)模：|λa|＝|λ||a| ；
运算律
实数 λ 与向量 数乘
(2)方向：
当 λ>0 时，λa 与 a 的方向 a 的积是一个 相同 __________ 向量 __________ 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向 记作 λa 相反 __________ ； 当 λ＝0 时，λa＝0
4．(2017· 太原模拟)向量 e1，e2，a，b 在正方形网格中的位置．如图所示， 向量 a－b 等于 导学号 58532627 ( C ) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
• [解析] 由图可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，故选C．
5．(2015· 新课标 2)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 1 λ＝__________. 导学号 58532628 2
[ 解析]
∵a、b 不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数 m，使入 a 1 ，解得 λ＝2.
λ＝m＝0 ＋b＝m(a＋2b)即(λ－m)a＝(2m－1)b，∴ 2m－1＝0
考 点 突 破
考点 1
向量的基本概念
(1)给出下列命题： 导学号 58532629 ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②单位向量都相等； → → ③若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB＝DC，则 ABCD 为平行四边形； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤已知 λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
2019版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第26讲平面向量的数量积与平面向量应用
第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲要求考情分析命题趋势1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2016·全国卷Ⅰ，132016·全国卷Ⅲ，32016·北京卷，42016·天津卷，72016·山东卷，81.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题．2．数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.分值：5分1．平面向量的数量积若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b ＝±|a||b|__.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影__|b |cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝__|a |cos 〈a ，e 〉__； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔__a·b ＝0__；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝__|a||b|__；当a 与b 反向时，a·b ＝__－|a||b|__，a·a ＝__a 2__，|a|＝__a·a __；(4)cos θ＝__a ·b |a ||b |__；(5)|a·b|__≤__|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝__b·a __(交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝__a ·(λb )__(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝__a·c ＋b·c __. 5．平面向量数量积性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__； 由此得到：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝__x 2＋y 2__，或|a |＝__x 2＋y 2__；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝__(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2__；(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__. 6．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2； (3)(a －b )2＝__a 2－2a·b ＋b 2__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零．( √ ) (2)若a ∥b ，则必有a·b ≠0.( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( × ) (4)若a·b <0，则向量a ，b 的夹角为钝角．( × )解析 (1)正确．由向量投影的定义可知，当两向量夹角为锐角时结果为正，为钝角时结果为负，为直角时结果为零．(2)错误．当a 与b 至少有一个为0时a ∥b ，但a·b ＝0. (3)正确．由数量积与向量线性运算的意义可知，正确． (4)错误．当a·b ＝－|a||b|时，a 与b 的夹角为π. 2．下列四个命题中真命题的个数为( C )①若a·b ＝0，则a ⊥b ；②若a·b ＝b·c ，且b ≠0，则a ＝c ；③(a·b )·c ＝a·(b·c )；④(a·b )2＝a 2·b 2.A ．4B ．2C ．0D ．3解析 a·b ＝0时，a ⊥b ，或a ＝0，或b ＝0.故①命题错．∵a·b ＝b·c ，∴b·(a －c )＝0.又∵b ≠0，∴a ＝c ，或b ⊥(a －c )．故②命题错误．∵a·b 与b·c 都是实数，故(a·b )·c 是与c 共线的向量，a·(b·c )是与a 共线的向量，∴(a ·b )·c 不一定与a·(b·c )相等．故③命题不正确．∵(a·b )2＝(|a||b|cos θ)2＝|a |2|b |2cos 2θ≤|a |2·|b |2＝a 2·b 2.故④命题不正确． 3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝( D ) A ．－32B ．－23C ．23D ．32解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos∠BAC ＝3×2×14＝32.4．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝( A ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析 λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)．∵λa ＋b 与a 垂直， ∴(λa ＋b )·a ＝10λ＋10＝0，∴λ＝－1.5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( C ) A ．13 B ．135C ．655D ．65解析 |a |cos θ＝a·b |b|＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝1365＝655.一 平面向量的数量积运算求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．【例1】 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝__23__.解析 (1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1. (2)|a ＋2b |＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.二 平面向量的夹角与垂直(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a ⊥b ⇔a·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．【例2】 (1)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝__10__.(2)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞__. 解析 (1)如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →，∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0， ∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(62－42)＝12×20＝10. (2)a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 三 平面向量的模及综合应用向量模的运算方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用|a|＝x 2＋y 2. (2)若向量a ，b 是非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a|2＝a 2＝a·a 或|a ±b|2＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．【例3】 (1)在平面直角坐标系内，已知B (－3，－33)，C (3，－33)，且H (x ，y )是曲线x 2＋y 2＝1上任意一点，则BH →·CH →的最大值为__63＋19__.(2)(2018·河北石家庄二模)已知向量a ，b ，c 满足|a|＝2，|b|＝a·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0，则|b －c|的最大值是__2＋1__.解析 (1)由题意得BH →＝(x ＋3，y ＋33)，CH →＝(x －3，y ＋33)，所以BH →·CH →＝(x ＋3，y ＋33)·(x －3，y ＋33)＝x 2＋y 2－9＋63y ＋27＝63y ＋19≤63＋19，当且仅当y ＝1时取最大值． (2)设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝a·b |a||b|＝33×2＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA →＝a ，OB →＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )，∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)·(6－3x )＋(y －2)·(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1.又知b －c ＝(3－x ，－y )， ∴|b －c|＝(x －3)2＋y 2≤(3－2)2＋(0－1)2＋1＝2＋1， 即|b －c |的最大值为2＋1.1．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( C ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析 ∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( A )A ．12 B ．32 C ．－12D ．－32解析 由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos ∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A ．3．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是__33__. 解析 因为(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2， 故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a·b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b|，求f (x )的最大值和最小值． 解析 (1)a·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x .∵a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2， ∴|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x＝1时，f (x )取得最大值－1.易错点 忽视或弄错向量的几何表示错因分析：利用向量的几何意义表示三角形的四心，关键是弄清这四心的定义及性质． 【例1】 已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心解析 第一个条件表明O 到A ，B ，C 三顶点的距离相等，即为△ABC 的外心，设D 为BC 的中点，则NB →＋NC →＝2ND →，∴NA →＋2ND →＝0，则N 为△ABC 的中线AD 靠近D 的三等分点，即为△ABC 的重心；由PA →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(PC →－PA →)＝0，∴PB →·AC →＝0，同理PA →·BC →＝0，PC →·AB →＝0，则知P 与三顶点的连线和对边垂直，所以P 为△ABC 的垂心，故选C ．答案 C【跟踪训练1】 已知O 是平面内的一定点，A ，B ，C 是此平面内不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( C )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．课时达标 第26讲[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．一、选择题1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( D ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析 由向量垂直的充要条件，得2(x －1)＋2＝0.解得x ＝0.2．已知非零向量a ，b ，|a|＝|b|＝|a －b|，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( C ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32解析 设|a|＝|b|＝|a －b|＝1，则(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1， ∴a·b ＝12，∴a·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝1＋12＝32.∵|a ＋b|＝a 2＋b 2＋2a·b ＝1＋1＋1＝3，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝321×3＝32. 3．已知向量|OA →|＝2，|OB →|＝4，OA →·OB →＝4，则以OA →，OB →为邻边的平行四边形的面积为( A )A ．4 3B ．2 3C ．4D ．2解析 因为cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝42×4＝12，所以∠AOB ＝60°，sin ∠AOB ＝32.所以所求的平行四边形的面积为|OA →|·|OB →|·sin∠AOB ＝43，故选A ．4．(2018·山西四校二联)已知平面向量a ，b 满足a·(a ＋b )＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( D )A ．－12B ．－32C ．12D ．32解析 ∵a·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝22＋2×1×cos〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32，故选D ．5．(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( C )A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析 因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB →|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2B ＝π－B ，所以3B ＝π，B ＝π3，故△ABC 是等边三角形．6．(2018·福建厦门模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( C )A ． 2B ．2C ． 6D ．6解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 120°＝－12|AB →||AC →|＝－1，得|AB →||AC →|＝2，|BC →|2＝|AC→－AB →|2＝AC →2＋AB →2－2AB ·AC →＝AC →2＋AB →2＋2≥2|AC →||AB →|＋2＝6，当且仅当|AC →|＝|AB →|时等号成立．所以|BC →|≥6，故选C ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝__－2__.解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2得a ·b ＝0，即m ＋2＝0，∴m ＝－2.8．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为__90°__.解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.9．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是__[－52，1]__.解析 设P (x ，y )，则PA →·PB →＝(－12－x ，－y )·(－x,6－y )＝x (x ＋12)＋y (y －6)≤20，又x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0，所以点P 在直线2x －y ＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P在圆x 2＋y 2＝50上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图象(图略)，可得－52≤x ≤1，故点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]．三、解答题10．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b|，②|4a －2b|； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解析 由已知得，a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b|＝43.②∵|4a －2b|2＝16a 2－16a·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b|＝163.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0. ∴k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．11．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解析 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1， 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 12．如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实数m ，n 的值．解析 (1)由已知易知OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝－3，OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|·cos ∠AOC ＝－4，OB →·OC →＝0，∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OB →·OC →)＝9，∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3.(2)由OC →＝mOA →＋nOB →可得OA →·OC →＝mOA →2＋nOA →·OB →，且OB →·OC →＝mOB →·OA →＋nOB →2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4.。
2019版高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充
解析 (1)正确．由定义知模为 1 的向量叫单位向量，与方向无关． (2)错误．零向量的方向是任意的． (3)错误．可能相同，也可能相反，若有零向量，则两向量方向不定． (4)错误．两向量模长相等，但两向量方向不定． (5)正确.A→B＋B→A＝A→B－A→B＝0.
2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( D )
运算律
加法
求两个向 量的和的 运算
___三__角__形___法则
交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
__平__行__四__边__形___法则
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求 a 与 b 的相反
减法 向量－b 的和的 运算叫做 a 与 b
a－b＝a＋(－b)
的差
数乘
即1λ＝＝－3μμ，， ∴λμ＝＝－31，31.
一 平面向量的概念
平面向量概念中的几点注意 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函 数图象平移混为一谈． (4)非零向量 a 的单位向量是|aa|.
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第23讲 平面向量的概念及其线性运算
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概念和两个向量相等的 含义． 3．理解向量的几何表示．
2017·全国卷Ⅱ，4 2017·浙江卷，15 2016·全国卷Ⅱ，13 2015·陕西卷，8
平面向量的线性 运算及其几何意 义是高考的重 点，主要以三角
3．平面向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得__b_＝__λ_a__.
近年届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入演练直击高
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第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i）2的虚部是________．［解析] （1＋i）2＝2i,所以该复数的虚部为2。
［答案］ 22．复数z满足（z－3）（2－i）＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数错误!为________．［解析] 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋错误!＝3＋错误!＝3＋2＋i＝5＋i,所以错误!＝5－i。
［答案］ 5－i3．设复数z的共轭复数为错误!,若z＝1－i（i为虚数单位),则错误!＋z2的值为________．[解析］依题意得错误!＋z2＝错误!＋(1－i)2＝错误!－2i＝i－2i＝－i。
［答案］－i4．在复平面内O为坐标原点，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA→和错误!，则|错误!｜＝________.［解析] 由复数的几何意义知，错误!＝（1，1），错误!＝(1，3)，则错误!＝错误!－错误!＝（1，3）－（1,1)＝(0，2），所以|错误!|＝2。
［答案］ 25．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z＝错误!的共轭复数是错误!＝a＋b i(a,b∈R）,其中i为虚数单位，则点(a，b)为________．[解析］因为z＝错误!＝－2－i，所以错误!＝－2＋i.［答案］ (－2，1）6．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R,i是虚数单位,则点P(a，b)到原点的距离等于________．[解析] 由已知a i＋2＝b－i，所以错误!所以点P（－1，2）到原点距离|OP｜＝错误!。
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第三节 平面向量的数量积及其应用[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(对应学生用书第61页)[基础知识填充]1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图431，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．图431(2)当θ＝0°时，a 与b 共线同向． 当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． 2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·C ．4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．[1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 3．当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( ) (2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝C ．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA→||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A ．]3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C ．]4．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.7 [∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.](对应学生用书第62页)E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18 C ．14D ．118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 【导学号：00090135】 (1)B (2)1 1 [(1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B ．(2)法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.][规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1] (1)已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( ) A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5(2)(2018·榆林模拟)已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上．若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为( ) 【导学号：00090136】A ．0B ．833C ．－4D ．4(1)C (2)C [(1)因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.(2)由AB →·AF →＝3得AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·DF →＝3， 所以|DF →|＝1，|CF →|＝2，所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝－6＋2＝－4.]角度1 (1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a－2b )，则|b |＝( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2018·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(1)B (2)2 [(1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又∵|a －b |＝2，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2，故选B ．(2)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2) ＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.]角度2 平面向量的夹角(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)223 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9， 所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8， 所以|b |＝22，a·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a·b |a||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.] 角度3 平面向量的垂直(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．－5 [∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5.][规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. 3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【导学号：00090137】[解] (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等． [变式训练2] (2018·郴州模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域．[解] (1)∵a∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1) ∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，得sin x ＝－32cos x ，∴tan x ＝sin x cos x ＝－32，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝125. (2)∵a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)， ∴a·b ＝sin x cos x －32，b 2＝cos 2x ＋(－1)2＝cos 2x ＋1，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝a·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin 2x ＋12(1＋cos 2x )－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.故函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.。