第5讲-巧用递推解析
数学递推关系问题：解决递推关系
数学递推关系问题：解决递推关系数学中的递推关系是指一个序列中的每一项都可以由前面一项或多项递推出来的关系。
在解决数学递推关系的问题时，我们通常需要确定递推关系的形式，进而找到规律并求解特定项或整个序列的值。
本文将介绍解决递推关系问题的一般方法和常见技巧。
一、确定递推关系的形式对于给定的数学递推关系，我们首先需要确定它的形式。
递推关系的形式可以通过观察序列中的数值规律来确定。
常见的递推关系形式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
以等差数列为例，递推关系通常可表示为：an = an-1 + d，其中an表示第n项，d表示公差。
通过观察序列中相邻项之间的差值是否恒定，我们就可以判断出递推关系的形式。
对于其他形式的递推关系，也可以通过类似的方法进行确定。
需要注意的是，递推关系的形式不一定是唯一的，可能存在多种可能性。
因此，在确定递推关系的形式时，我们需要仔细观察序列中的数值规律，并进行推断和验证。
二、找到规律求解确定递推关系的形式后，我们就可以利用找到的规律来求解特定项或整个序列的值。
以等差数列为例，如果我们已知了序列的首项a1和公差d，可以通过递推公式an = an-1 + d来求解其他项的值。
例如，要求解第n项的值an，可以通过递推公式反复递推计算得到。
除此之外，还可以借助数学方法和工具求解递推关系问题。
例如，对于等比数列，我们可以通过求解特征方程来找到递推关系的通项公式，进而求解特定项的值。
另外，对于一些特殊的递推关系，可能存在已知的求解方法和技巧。
例如，斐波那契数列的递推关系可以通过矩阵乘法或黄金分割公式求解。
三、举例分析为了更好地理解解决递推关系问题的方法和技巧，我们来看一个具体的例子：求解斐波那契数列的第n项的值。
斐波那契数列是一个经典的递推关系，其递推关系可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
为了求解第n项的值Fn，我们可以使用递推公式反复计算。
递推关系解题的关键技巧与应用
递推关系解题的关键技巧与应用递推关系（recurrence relation）是数学中常见的一种关系式，它可以通过前一项或前几项的数值来表示后一项。
在解决问题时，递推关系常常被用于推导出问题中的规律，从而找出解决方法。
本文将介绍递推关系解题的关键技巧以及应用。
一、递推关系解题的关键技巧1. 确定初始条件：在使用递推关系解题时，首先需要确定初始条件。
也就是说，要找到递推关系式中的第一个或前几个数值。
初始条件的确定通常需要根据问题的具体情况来判断。
2. 推导递推关系：通过观察问题中给出的数值和规律，可以尝试推导出递推关系。
这个关系有可能是数列、数表或者其他形式的递推公式。
3. 利用递推关系求解：一旦递推关系确定，就可以利用它来求解问题。
根据递推关系的定义，通过已知的数值逐步推导出后面的数值。
4. 验证解答的正确性：最后，需要验证所得到的解答是否正确。
可以通过递推关系来逐项验证，或者将解答代入原始问题中进行验证。
通过以上技巧的应用，可以更加轻松、高效地解决递推关系问题。
二、递推关系解题的应用递推关系的应用非常广泛，以下是一些常见的例子：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推关系问题。
其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
可以利用这个递推关系来求解斐波那契数列中的任意项。
2. 阶乘计算：阶乘是另一个常见的递推关系问题。
定义n的阶乘为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0的阶乘为1。
通过递推关系n! = n * (n-1)!，可以计算出任意非负整数的阶乘。
3. 数字排列组合：在某些排列组合问题中，递推关系也经常被使用。
比如在八皇后问题中，可以通过递推关系来确定皇后在每一行中的位置，从而求解出问题的解。
4. 动态规划问题：动态规划是一种使用递推关系进行求解的方法。
通过将问题分解为子问题，并利用递推关系求解子问题，最终得到原始问题的解。
第五讲递推与递归PPT课件
开始，每1项等于前面3项的和。
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)-----递推公式 f(1)=1 , f(2)=2 , f(3)=4 --------递推边界
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① #include <stdio.h> //上楼问题
② void main( )
③ { int x,n,i,a,b,c;
3)第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一 个，它也吃掉这个桃子，并拿走了其中一堆。
第三只，第四只，第五只猴子都依次如此分食桃子。 问：五只猴子采得一堆桃子数最少应该有几个呢？
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例2：猴子分食桃子---逆推法
算法分析：
先要找第N只猴子和其面前桃子数的关系。如 果从第1只开始往第5只找，不好找，但如果思路 一变，从第N到第1去，可得出下面的推导式：
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例11.2 骨牌问题---顺推法
➢长度为n时的骨牌铺放方案？ ➢从最简单的情况开始寻找问题解决的规律？--- 顺推 ➢以 f(i) 表示n=i时的铺放方案数目。 ➢当n=1时，只有1种铺法，即f(1)=1，如下左图所示： ➢当n=2时，只有2种铺法，即f(2)=2，如下右图所示。
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例11.2 骨牌问题---顺推法
n=1
f(n)=1
n=2
f(n)=2
n=3
f(n)=3
n=4
f(n)=3 + 1 =f[3]+ f[1]=4
n=5
f(n)=f(4)+f(2)
n=6
f(n)=f(5)+f(3)
n=7
f(n)=f(6)+f(4)
规律： f(n)=f(n-1)+f(n-3) (n>=4) 17
递推法知识点总结
递推法知识点总结递推法是数学中一个重要的工具，它在证明定理、解决问题和计算数值等方面都有广泛的应用。
递推法的基本思想是通过建立递推关系来求解问题，利用已知的前一项或前几项推导出后一项，是一种逐步推进的方法。
本文将介绍递推法的基本概念、应用场景和解决问题的方法，并总结了一些常见的递推法知识点。
一、基本概念递推法的基本概念包括递推关系、初始条件和递推式等。
1. 递推关系递推关系是指数列或函数中相邻项之间的关系，它描述了数列或函数中每一项与前一项之间的联系。
一般来说，递推关系可以用递推式来表示，是解决问题的基础。
2. 初始条件初始条件是指递推关系中的起始条件，也就是递推序列或函数中的第一项或前几项的值。
在解决递推问题时，初始条件的确定是非常重要的，它可以唯一确定递推序列或函数。
3. 递推式递推式是递推关系的具体表示，通过递推式可以确定数列或函数中每一项的值。
递推式通常是由递推关系和初始条件联合确定的，它可以用于求解递推序列或函数的任意项。
二、应用场景递推法在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种不定式、等差数列、等比数列、斐波那契数列、组合数学、数值计算等问题。
1. 不定式在解决不定式问题时，递推法通常可以用来寻找递推关系和递推式，通过递推关系和初始条件可以求解不定式的解集。
2. 等差数列和等比数列递推法是求解等差数列和等比数列的常用方法，通过建立递推关系和初始条件可以确定数列中的每一项的值，从而求解数列的和、通项公式等。
3. 斐波那契数列递推法是求解斐波那契数列的重要方法，通过递推关系和初始条件可以确定斐波那契数列中每一项的值，从而求解斐波那契数列的性质和特点。
4. 组合数学在组合数学中，递推法常常用于求解排列组合、图论、概率论等问题，通过递推关系和初始条件可以确定组合数学中的各种组合数量、排列数量等。
5. 数值计算递推法在数值计算中也有着广泛的应用，通过递推关系和初始条件可以确定数值序列或函数中每一项的值，从而实现对数值问题的求解。
利用数列递推公式解决递推数列问题
利用数列递推公式解决递推数列问题数列是数学中重要的概念之一，它由一系列有规律的数字组成，常常在各个学科和实际问题中使用。
解决递推数列问题是数学中的一项重要任务，而利用数列递推公式可以有效地解决这类问题。
本文将介绍数列递推公式的概念及其应用，并通过实例来解析其中的具体步骤。
一、数列递推公式的概念数列递推公式是指通过前几项数值和数列的规律来确定后面项数值的一种数学表达式。
在解决递推数列问题时，我们通常需要先分析给定的前几项数值，找到其中的规律，然后根据这个规律构建递推公式。
数列递推公式使得我们能够通过已知的数值计算出后续的数值，从而解决诸如求和、求递推数列第n项等问题。
二、数列递推公式的应用数列递推公式在各个学科中都有广泛的应用。
在数学中，递推数列是数列中的一种特殊形式，通过数列递推公式我们可以解决求递推数列的第n项、等差数列、等比数列等问题。
在物理学中，数列递推公式可以帮助我们求解加速度、速度等物理量随时间变化的规律。
在经济学中，数列递推公式则可以用来分析经济增长模型、利率变化规律等。
三、数列递推公式的解题步骤解决递推数列问题时，我们通常需要遵循以下几个步骤：1. 观察数列的前几项，寻找其中的规律。
可以通过计算相邻数值的差或者比值来发现规律。
例如，对于等差数列，相邻项之间的差是一个常数；对于等比数列，相邻项之间的比值是一个常数。
2. 基于观察到的规律，构建数列递推公式。
递推公式通常包含递推关系和初始项。
递推关系描述了当前项与前几项之间的关系，而初始项则是已知的数列中第一个或几个数值。
3. 利用递推公式计算出数列中的后续项。
通过不断代入递推关系，我们可以计算出数列中的任意项。
4. 验证数列递推公式的正确性。
可以通过计算递推数列的前几项，并与已知的数值进行比较验证公式的正确性。
通过以上步骤，我们可以解决各种递推数列问题，从简单的等差数列到复杂的非线性递推数列都可以应用数列递推公式进行求解。
四、实例分析以求解一个等差数列的第n项为例，说明数列递推公式的具体应用过程。
小六数学第5讲：递推与归纳
第五讲递推与归纳有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。
例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。
若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。
⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。
那么所求的是第六项是62=36。
我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。
像这种解题方法称为递推法。
1. 理解递推法的概念。
2. 会用递推法解题例1：999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？分析：我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。
9×9=81，有1个奇数；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数；999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数；……从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。
例2：如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？分析：先从AB之间只有一个点开始，在逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。
我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。
AB之间只有1个点：线段有 1+2=3条。
AB之间只有2个点：线段有 1+2+3=6条。
AB之间只有3个点：线段有 1+2+3+4=10条。
利用递推数列解题的技巧
利用递推数列解题的技巧递推数列是指由前面的数推导出后面的数的数列，通过递推关系式能够方便地计算出数列中的每个数。
递推数列在数学中起到了非常重要的作用，因为它不仅仅可以用于解决简单的数学问题，还可以帮助解决一些复杂的实际问题。
本文将详细介绍如何利用递推数列解题。
一、了解递推数列在解决递推数列问题之前，我们需要对递推数列有一个清晰的认识。
递归数列是指通过前面的项和某些规则来定义后面的项的数列。
例如，斐波那契数列就是一个递归数列，它的第n个项等于其前两个项的和，即f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
二、处理递推数列问题的方法1. 找出递归关系式在解决递推数列问题时，第一步是找出递归关系式。
递推数列的定义方式很容易推导出他们的递归关系，因为每个后续项都是由前面的项推导而来的。
例如，斐波那契数列的递归关系式是:f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
2. 利用递归关系求解一旦我们找到了递归关系式，我们可以通过迭代来计算递推数列中的每个数字。
在递归式中，我们知道了前面的数，我们便可以计算出后面的数。
例如，在斐波那契数列中，如果我们知道f(n-1)和f(n-2)，我们就可以计算出f(n)。
3. 处理初始值在进行迭代之前，我们必须确定数列的初始值。
在斐波那契数列的情况下，我们知道f(0) = 0，f(1) = 1。
这些初始值对于递推数列迭代方程式的计算至关重要。
4. 选择适当的算法在实际操作中，选择正确的算法是非常重要的。
在许多情况下，递推数列可以使用简单的迭代程序来计算，但在其他情况下，它们可能需要使用更复杂的算法。
对于具有大量项和复杂递归关系的递归数列，可以考虑使用递归或动态规划算法。
5. 求解完整的问题在处理递推数列问题时，我们必须要理解问题的完整性。
在斐波那契数列的情况下，我们可能需要找到特定的项，例如第30项或第100项。
三、实例解析以下是几个使用递归数列解决实际问题的实例：1. 若一个人每天可以吃掉前一天总数量的一半的葡萄，第十天还剩下2个葡萄。
高考数学二轮专题讲座五 递推数列及数列的应用
教考网特约名师高考数学二轮专题讲座五递推数列及数列的应用●考点透视阅读与数列相关的实际问题，并能够从中归纳、提炼出数列问题模型．能灵活运用等差数列、等比数列基础知识，求出数列问题的解．能用切合实际意义的语言表述问题的解．增强用数学的意识，体会数学就在我们身边．有关递推数列及数列的应用高考命题情况，我们首先观察一下2003年、2004年及2005年的全国卷及各省单独命题. 递推数列及数列的应用一道选择题或填空题，一道解答题，试题分数为15分至18分．有三分之一的省市放在压轴题.●名师串讲○重点讲解用数学不仅是用数学的知识，也包括用数学的方法、数学的思想．解数列应用题与解其他应用题一样，首先要认真阅读领悟，学会翻译（数学化）．其次再考虑用熟悉的知识建立数学模型，求出问题的解．最后，常常还需验证求得的解是否符合实际．○技巧方法纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●考题解析【例1】(2004年某某文史卷)已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(31,*∈-=N n a S S n n n （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证数列{}n a 是等比数列． 【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：利用a n 、S n 的关系式a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…)可求得1-n n a a 为常 数. 【标准答案】(Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21-又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a . (Ⅱ)当n>1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列. 【例2】(2004年全国卷理Ⅱ)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明：(1)数列{nS n }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n ． 【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解题突破口：利用a n 、S n 的关系式a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…)来解决此类问题.【标准答案】（1）： 由a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S ,又a n+1=S n+1－S n (n=1,2,3，…),则S n+1－S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列. (2)由数列{n S n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n =2n －1,∴S n+1=(n+1)2n (n ≥1)而a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，则a n =11-+n n S n －1=11-+n n ·(n －1)2n －2=(n+1)2n －2(n=2,3，…), ∴S n+1=4a n . 又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .【例3】(2004年某某文史类卷)设),2,1(,3235,35,11221 =-===++n a a a a a n n n （1）令1,(1,2......)n n n b a a n +=-=求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .【思路串讲】本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决 问题的能力. 解题突破口：利用已知条件找n b 与1+n b 的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.【标准答案】（I ）因121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++ 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b nn （II ）由得n n n n a a b )32(1=-=+ )()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=- 注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n n n 记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则 1832)3()1(232)21(3232)3(9)32(3])32(1[9,)32(])32(1[3)32()32()32(32131)2()32()32(23232),1()32(3221112111221-+++=-+++=+++=+-=--=--=-++++=⋅++⋅+=⋅++⋅+=-+---n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n na a a S n n T n n T n T n T 从而故两式相减得 【例4】某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【思路串讲】本题涉及的知识主要是等差数列、等比数列、函数性质等，这些都是高中数学的主干知识．所提出的两个问题，逐步推进，抓住数列、函数、不等式的知识网络交汇点，综合自然，独具匠心，合情合理，有较高的区分度．解题突破口：对于不进行技术改造，题目给出了纯利润的等差数列规律；而对于进行技术改造，题目给出了利润的通项公式．第(l)小题提出了在这两种情况下，分别求累计纯利润A n ，B n 的表达式．显然，求A n 用等差数列的求和公式；求B n 用特殊数列的求和方法，这里需拆项转化为常数数列和等比数列求和．对于A n 和B n 大小的比较，一般采用作差比较法．这里，关键是作差、变形后，如何判断A n －B n 的符号，需要考生具有观察分析能力和函数的思想，运用函数性质分析估算，最终要进行严密推理． 解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2；B n =500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 250－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2500－100) －(490n －10n 2) =10n 2+10n －n 250－100=10[n(n+1) －n 250－10]. 因为函数y=x (x +1) －x 250－10在（0，+∞）上为增函数， 当1≤n ≤3时，n(n+1) －n 250－10≤12－850－10<0； 当n ≥4时，n(n+1) －n 250－10≥20－1650－10>0. ∴仅当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.【例5】(2004年某某理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.【思路串讲】本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力. 解题突破口：利用图形及递推关系即可解决此类问题. 解答本题的主要错误为：(1)缺少严格的推理．如第(1)小题，由 a 1=a 2=a 3=2得a n =2．这仅仅是特殊到一般的猜想，要实现猜想，还必须进行严格证明．但是，甚至包括第(2)或(3)小题，不少考生也是由特殊到一般完成的所谓“证明”．(2)思维层次的薄弱．不能够充分利用“P n ＋3为线段P n P n ＋1的中点”这个重要的解题信息，进行理性化的分析和变换．(3)心理素质欠缺．本题字符较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．【标准答案】 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++- =)(41444n n y y --+ =,41n b - 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列． 【例6】(2004年全国卷理Ⅰ) 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.【思路串讲】本题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力. 解题突破口：利用数列求和知识及分奇偶性讨论求通项公式.【标准答案】（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k = a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=n n n a 【例7】（2004年某某理工卷）已知0>a ，数列}{n a 满足,1,11nn a a a a a +==+n=1，2，…． （Ⅰ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求A=n n a ∞→lim (将A 用a 表示)； （Ⅱ）设,2,1,=-=n A a b n n …，证明：)(1A b A b b n n n +-=+； （Ⅲ）若nn b 21||≤对,2,1=n …，都成立，求a 的取值X 围． 【思路串讲】 递推数列，也是一个高中数学的难点，常规的题型是应用特例验算得出数列的前几项，然后利用不完全归纳、猜想等，得出数列的一般规律，最后辅之以数学归纳法等的证明，这也就是“特例一一归纳一一猜想一一证明一一结论”的似真推理模式．本题中则是回避了这些常规问题，利用极限的运算法则求出数列的极限，并利用变量代换思想，得出另一个递推数列，并最终研究新递推数列的有关结论解题突破口：对于(l)显然想通过求出数列的通项公式再行求极限的办法是困难的，那就不妨使用极限的四则运算法则来求极限．对于(2)更多的应运用目标意识，将变量代换后，首先消去a n ，而得出b n 的关系，再行证明b n 与b n ＋l 间的关系．对于(3)应首先使用特例法，不妨先取n=l ，2，3，求出a 的取值X 围，然后从中发现规律，进而发现求a 的过程是有规律的，相似的，于是可用数学归纳法给出问题的统一处理．【标准答案】（Ⅰ）由 n n a ∞→lim 存在，且A=n n a ∞→lim （A ＞0），对nn a a a 11+=+两边取极限得，A=Aa 1+，解得A=242+±a a ,又A ＞0, ∴A=242++a a . (Ⅱ)由1;1n n n n ab A a a a =++=+得111n n b A a b A +++=++． ∴1111()n n n n n b b a A b A A b A A b A +=-+=-+=-+++．即1()n n n b b A b A +=-+对n=1,2,…都成立．（Ⅱ）邻21||1≤b ，得11|(|22a a -≤．∴21|)4(21|2≤-+a a ． ∴142≤-+a a ，解得23≥a ．现证明当23≥a 时，21||≤n b ，对2,1=n ，…都成立． ①当1=n 时结论成立（已验证）．②假设当)1(≥=k k n 时结论成立，既kk b 21||≤，那么 k k k k k A b A A b A b b 21||1|(|||||1⨯+≤+=+．故只须证明21||1≤+A b A k ，既证2||≥+A b A k 对23≥a 成立．由于23≥a 时，142≤-+a a ∴A ≥2． ∴1212||||≥-≥-≥+k k k b A A b 即2||≥+A b A k 故当23≥a 时， 1212121|1|+=⨯≤+k k k b ．即1+=k n 时结论成立．根据①和②，可知结论对一切正整数都有成立．故n n b 21||≤对,2,1=n …都成立的a 的取值X 围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23． ●误区诊断【例11】 (2000年全国高考题)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 误点：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.辨析：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题 属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.答案：(1) a n = 4000×［1－(54)n ］b n =1600×［(45)n －1］(2) 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.自主感悟：●真题演练1. （2001年某某春季卷） 若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为 （ ）A.}{12+k aB.}{13+k aC.}{14+k aD.}{16+k a 【答案】B2.(2005年某某卷) 已知数121211{},(),3,4,.lim 2,22n n n n n n x x x x x x n x x --→∞==+===满足若则（） A ．23 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B3.(2000年高考某某、某某卷)设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________．【答案】n1 4.（2003年全国高考题）已知数列).2(3,1}{111≥+==--n a a a a n n n n 满足（Ⅰ）求;,32a a （Ⅱ）证明.213-=n n a 【答案】（Ⅰ）a 2=4, a 3=13 .5. （2001某某春季高考）某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb 元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).【答案】(1) a 2=n 1(1－n 1)b ， a 3=n 1(1－n 1)2b ，…， a k =n 1 (1－n 1)k －1b ; (2)a k －a k +1=21n (1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3) eb b P n n =∞→)(lim .6.（2002年全国高考题）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）1231111111112n a a a a ++++≤++++【答案】（I ）1+=n a n （1≥n ）7. (2005年某某市春季卷) 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1） 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. （2）2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.●名师押题预测1：对于任意函数f （x ）定义域为D ，如图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入初始数据D x ∈0，输出)(01x f x =②若D x ∉1，则机器自动停止；若D x ∈1，则数据x 1反馈回输入端，再输出)(12x f x =，依次继续下去．设),0[,3)(2+∞∈--=x x x x f ．问（1）若输入一个初始数据x 0，使得机器运行一步后即停止工作，求x 0的取值X 围；（2）若输入一个初始数据x 0，使得机器能产生一个无穷的常数数列，求x 0的值；（3）若输入一个初始数据x 0，使得机器能产生一个无穷的递增数列，求x 0取值X 围． 思考∶认真读懂题意是解决问题的关键.答案∶（1）02310≥>+x （2）30=x （3）x 0＞3 预测2：已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列.若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，某某数a 、b 满足的条件．思考∶利用等差数列的定义判断{}n a 是否是等差数列.答案∶（Ⅰ）}{n a 不可能是等差数列 (Ⅱ) ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或 预测3：已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0. (1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆与+1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .思考∶利用二次函数h k x a x f +-=2)()(求)(x f .再用待定系数法求a n 和b n . 答案∶(1)f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.(2)a n =t1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)r n =2)1(21+++t t n ,S n =432(1)(2)t t t π++［(t +1)2n －1］ 预测4：设二次函数)(,*)](1,[,)(2x f N n n n x x x x f 时当∈+∈+=的所有整数值的个数为g(n).word11 / 11 （1）求g(n)的表达式.（2）设.,)1(*),()(321432123n n n n n S a a a a a S N n n g n n a 求--++-+-=∈+= （3）设l Z l l T b b b T n g b n n n nn 求若),(.,2)(21∈<+++== 的最小值. 思考∶由)(x f 的值域可求)(n g .讨论n 的奇偶性求n S . 答案∶（1） *).(32)(N n n n g ∈+=（2）.2)1()1(1+-=-n n S n n （3）l 的最小值是7.。
六年级奥数优胜教育第5讲：递推与归纳含答案
第五讲 递推与归纳A1. 100 条直线最多能把一个平面分成 _____ 个部分。
2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅 ,他用一个平底锅煎饼 ,他是这样煎饼的 : 每次只能放两个饼 每个饼正反面都要煎 ,煎每一面都要 1分钟 ,问他煎 10个这样的饼需要 ______ 分钟。
3. 上一段 11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级 ,那么要登上第 11级台阶有 ______ 种不同 的走法。
4. 请先计算 11× 11,111 × 111,1111 × 1111, 你能根据以上结果 , 不经过计算而直接写出 11111111×11111111= ________ 。
例 1： 999⋯999×999⋯999 的乘积中有多少个数字是奇数？10 个 9 10 个 9例 2：如图所示：线段 同的线段？ AB 上共有 10 个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 B a 8 例 3：计算 13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 得值。
例 4： 2000 个学生排成一行，依次从左到右编上 1～2000 号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，⋯⋯按这个规律如 此例 5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数 1 ；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上的数之和； 再把 4 段圆弧等分， 在分点上写上相邻两点上的数 之和，如此继续下去，问第 6 步后，圆周上所有点上的之和是多少？ 例 6： 4 个人进行篮球训练， 互相传球接球， 要求每个人接球后马上传给别人， 开始由甲发 球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？5. __ 我们知道三角形的内角和是180度,长方形的内角和是360 度,那么正十边形的内角和是____ 度。
高中数学解递推数列的方法和实例分析
高中数学解递推数列的方法和实例分析在高中数学中，递推数列是一种常见且重要的数列类型。
通过递推数列的解题，可以培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
本文将介绍高中数学解递推数列的方法，并通过具体的题目进行分析和说明。
一、递推数列的定义和性质递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
常见的递推数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
解题时，我们需要找到递推数列的递推关系，即通过前一项或前几项的数值关系来确定后一项的数值。
以等差数列为例，其递推关系为：an = an-1 + d，其中an表示第n项，d表示公差。
我们可以通过这个递推关系来求解等差数列中任意一项的数值。
二、递推数列的求解方法1. 直接法直接法是指通过递推关系式直接求解递推数列中任意一项的数值。
例如，已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第n项an的值。
根据递推关系an = an-1 + d，我们可以得到an = a1 + (n-1)d。
代入已知条件，可以得到an = 2 + (n-1)3 = 3n-1。
因此，第n项an的值为3n-1。
2. 通项公式法通项公式法是指通过求递推数列的通项公式来求解递推数列中任意一项的数值。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过已知的首项和公差（或公比）来推导出通项公式。
以等差数列为例，已知首项a1和公差d，我们可以通过求解递推关系式得到通项公式an = a1 + (n-1)d。
例如，已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第n项an的值。
根据通项公式，我们可以得到an = 2 + (n-1)3 = 3n-1。
因此，第n项an的值为3n-1。
3. 递推法递推法是指通过已知的前几项来逐步推导出后面的项的数值。
递推法常用于求解斐波那契数列等特殊的递推数列。
以斐波那契数列为例，已知前两项为1，1，求第n项的值。
根据递推关系式，我们可以得到an = an-1 + an-2。
通过逐步推导，可以得到斐波那契数列的前几项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...通过递推法，我们可以逐步计算出斐波那契数列的每一项的值。
四年级数学培优第5讲 巧添运算符号
第5讲巧添运算符号巧点晴——方法和技巧解决问题的常用方法：①计算、试验、合理地组合；②从后面开始思考的逆推法。
注意事项：(1)添运算符号的题目一般来讲解法都不是唯一的,如果题中没有特别的要求,则添出一种答案就算正确;(2)添运算符号不仅可以在两个数字之间添,也可以将相邻的几个数字看成一个数,再在这个数与其相邻的数之间添.巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴一、巧用递推法【例1】用下列各组数“凑24”。
（1）4，5，7，9 （2）3，7，8，8（3）2，2，8，8 （4）5，5，5，5（5）9，10，11，12 （6）2，4，6，13分析与解每一题给出一种算法如下：（1）4×7―（9―5）=24 （2）（7－3）×8－8=24（3）（8＋8÷2）×2=24 （4）5×5－5÷5=24（5）12＋11＋（10－9）=24 （6）13×2－6＋4=24小结你能否找到其他的算法？比一比谁算得快，谁算得巧。
做一做1 把下列每组中的四个数凑成24。
（1）1，1，5，7 （2）3，7，7，8（3）4，4，4，4 （4）5，8，11，12【例2】添上＋、－、×、÷、（）、[ ]等符号，使算式1 2 3 4 5=1成立。
分析与解我们可以用逆推法，从最后一步想起。
1 2 3 4□5=1，这里的□只能添减号或除号。
（1）如果是除号，1 2 3 □ 4，应等于5，这里的□可以添加号、减号、除号。
①如果是加号，1 2 3 应产生1，即：[（1＋2）÷3＋4]÷5=1②如果是减号，1 2 3 应产生9，即：[（1＋2）÷3－4]÷5=1③如果是除号，1 2 3应产生20，这是不可能的。
（2）如果是减号，1 2 3□4应等于6，这里的□可以添加号、减号或除号。
①如果是加号，1 2 3 应产生2，不可能；②如果是减号，1 2 3 应产生10，不可能；③如果是除号，1 2 3 应产生24，即：[（1＋23）÷3＋4]÷5=1 [（1＋2）×3－4]÷5=1（1＋23）÷4－5=1小结此题用逆推法，解题效果相当好。
第5讲-巧用递推解析
第5讲巧用递推巧点睛——方法和技巧数学中这样一类问题，按常规的方法去思考，一时不容易理出头绪，这时常常需要我们退到最简单的情形。
著名数学家华罗庚说过：“善于退，退到原始而不失重要性的地方，是学好数学的重要诀窍。
”从原始的、简单的情形开始枚举尝试，得出一些初步的结果，并逐次利用所得到的结果，推出后面的结论，这种方法蕴含的基本思路就是尝试、猜想、递推的方法。
巧指导——例题精讲A级竞赛初阶【例1】如图所示，从三个边长为1的小等边三角形开始，按螺旋式的方式依次画等边三角形，把画出的等边三角形按边长的长短由短到长排列：1,1,1,2,2,3,4,5，…请你算出第21个等边三角形的边长。
做一做 1 欢欢在一张大纸上建“长方形螺旋”，其方法是以厘米为单位画长度为1,1,2,2,3,3,4,4,…的线段，如图所示。
在总长度为3000厘米时，他的钢笔墨水用完了。
问：欢欢画的最长的线段是多少厘米？【例2】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干块小纸片，如果要分成不少于50块小纸片，那么至少要画多少条直线？请说明做一做 2 若把一个菠萝竖直切成11块，问：最少要切多少刀？【例3】如图，在2×2的方格中画一条直线，最多可穿过3个方格，在3×3的方格中画一条直线，最多可穿过5个方格，那么在10×10的方格中画一条直线，最多可穿过多少个方格？做一做 3 七条直线最多能把一个长方形分割成多少块？n条直线呢？B级更上层楼【例4】一只蚂蚁“侦察兵”在洞外发现了食物，它立刻回到蚁穴通知同伴。
假设一只蚂蚁在1分钟内可以把消息传达给4个同伴，那么不超过分钟，蚁穴的全部2000只蚂蚁都知道了这个消息。
（结果取整数）做一做 4 小华在荷塘里种了一棵莲藕，开始时它只有1片荷叶，以后每周都增加1倍的荷叶。
假如现在荷塘有1024片荷叶，在4周前有（）片荷叶。
【例5】一个活动性较强的细菌每经过10秒就分裂为一个活动性较强的与一个活动性较弱的细菌，而一个活动性较弱的细菌每经过20秒就分裂为两个活动性较弱的细菌。
利用数列递推公式解决实际问题的步骤
利用数列递推公式解决实际问题的步骤数列是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。
利用数列递推公式解决实际问题需要经过一系列的步骤。
本文将介绍这些步骤，并通过具体的例子来说明。
一、分析问题在解决实际问题时，首先需要对问题进行仔细分析。
明确问题涉及的内容和要求，理解问题背后的数学模型。
数列通常是描述一系列有规律的数值序列，因此需要找到问题中涉及的数列，并分析数列的特点和规律。
二、找到递推公式数列递推公式是数列中相邻项之间的关系式。
在解决实际问题时，寻找递推公式是重要的一步。
可以通过观察数列的前几项来猜测递推公式，然后通过数学归纳法或其他方法进行证明。
递推公式的形式多种多样，可以是线性递推、二次递推、指数递推等。
三、推导出通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。
一旦找到递推公式，就可以通过迭代或其他方法推导出通项公式。
通项公式可以方便地计算数列的任意一项，进而解决实际问题。
四、应用数列递推公式解决实际问题当有了递推公式和通项公式后，就可以应用它们来解决实际问题。
通过代入相关数值，计算出数列的具体项，满足问题中的条件和要求。
在解决问题的过程中，需要注意计算的准确性和有效性，避免出现计算错误或逻辑错误。
下面通过一个具体的例子来说明利用数列递推公式解决实际问题的步骤。
例：一辆汽车从起点出发，以每小时60公里的速度行驶。
从第2小时开始，每小时速度都比前一小时速度增加10公里。
问经过6小时后汽车行驶的总路程是多少公里？解：首先分析问题，我们需要确定这是一个数列问题。
题目中给出了每小时的速度是递增的，因此我们猜测这是一个等差数列。
为了验证我们的猜测，我们观察前几项的差值：10、20、30、40，符合等差数列的规律。
因此我们可以确定这是一个等差数列，首项a₁=60，公差d=10。
接下来，我们找到递推公式。
由于首项已知，我们只需要找到相邻项之间的关系。
根据等差数列的定义，第n项可以表示为前一项加上公差，即aₙ=aₙ₋₁+d。
递推关系的解
递推关系的解简介递推关系是数学领域中一种常见的描述数列的方式。
通过建立递推关系，我们可以根据已知的数值计算出后续的数值，从而得到数列的规律和性质。
本文将介绍递推关系的概念、求解方法以及应用举例。
递推关系的定义递推关系是指数列中的每一项都可以通过它的前一项或前几项计算得出。
一般来说，递推关系可用一个递推公式来表示，例如：a n=f(a n−1,a n−2,…,a n−k)其中a n表示数列的第n项，f是一个函数，a n−1,a n−2,…,a n−k是已知的前几项。
递推关系的求解就是要找到该函数f的具体形式，以便计算出数列的任意项。
递推关系的求解方法直接求解法对于一些简单的递推关系，我们可以直接观察规律，找到递推公式的具体形式。
例如，斐波那契数列的递推关系是a n=a n−1+a n−2，我们可以通过观察发现a n等于前两项的和。
递推公式的代入法对于一些较为复杂的递推关系，我们可以通过代入的方式求解。
首先，我们可以列出递推公式的前几项，然后将这些项代入递推公式中。
通过计算，我们可以发现一些规律，从而找到递推公式的具体形式。
递推关系转化为矩阵形式对于一些特殊的递推关系，我们可以将其转化为矩阵形式，进而求解。
如果递推关系具有如下形式：[a n a n−1⋮a n−k+1]=A⋅[a n−1a n−2⋮a n−k]其中A是一个矩阵，[a n a n−1⋮a n−k+1]和[a n−1a n−2⋮a n−k]分别表示数列的第n项和第n−1项到第n−k项的向量。
我们可以通过计算矩阵的幂，求得数列的任意项。
递推关系的应用举例斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推关系的例子。
该数列的递推关系是a n=a n−1+ a n−2，其中a1=a2=1。
通过不断求解递推关系，我们可以得到斐波那契数列的前几项：1,1,2,3,5,8,13,…。
等差数列和等比数列除了斐波那契数列，等差数列和等比数列也是常见的递推关系。
对于等差数列，递推关系为a n=a n−1+d，其中a1是首项，d是公差。
利用递推关系解决组合问题
利用递推关系解决组合问题在数学上，组合问题是指从给定集合中选取一定数量的元素（不能有序）的方式和数量。
解决组合问题可以用递推关系的方法来进行。
在这里，我们将探讨如何利用递推关系解决组合问题。
首先，让我们回顾一下组合的概念。
假设有一个具有n个元素的集合，我们想要从中选择r个元素（r≤n），这样的选择称为一个组合。
组合数通常表示为C(n,r)，表示从n个元素中选择r个元素的方式数量。
计算组合数可以用以下的组合公式：\[ C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。
然而，在某些情况下，直接计算组合数可能会比较麻烦，这时候可以利用递推关系来解决组合问题。
递推关系指的是通过已知的子问题的解来推导出更大规模问题的解。
在组合问题中，可以利用以下的递推关系来计算组合数：\[ C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1) \]这个递推关系的意思是，要么选择第n个元素，然后从前n-1个元素中再选择r-1个元素；要么不选择第n个元素，然后从前n-1个元素中选择r个元素。
通过不断地递归计算，最终可以得到从n个元素中选择r个元素的组合数。
举个例子来说明递推关系的运用。
假设我们想要从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数。
根据递推关系，可以得到以下计算过程：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2)C(4,3) = C(3,3) + C(3,2)C(4,2) = C(3,2) + C(3,1)C(3,3) = 1C(3,2) = 3C(3,1) = 3通过上面的计算过程，我们可以得到C(5,3)=10，即从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数为10种。
总而言之，递推关系是一种解决组合问题的有效方法。
通过不断地推导子问题的解，最终可以得到更大规模问题的解。
利用递推关系解决组合问题，不仅可以简化计算过程，还可以提高计算效率，是解决组合问题的一种重要方法。
小学数学中的递推和递归学习递推和递归的基本思想和方法
小学数学中的递推和递归学习递推和递归的基本思想和方法递推和递归是数学中常见的两种求解问题的方法。
在小学数学中，递推和递归的思想和方法被广泛运用，帮助学生理解和解决各种数学问题。
本文将介绍递推和递归的基本概念、思想和解题方法。
一、递推的概念和思想递推是一种基于已知条件来求解未知项的方法。
它利用已知的前一项或前几项，通过确定的规律来求解后一项或后几项。
递推的思想可以用一个简单的公式来表示：an = an-1 + d其中，an表示第n项，an-1表示第n-1项，d表示公差或增量。
通过递推的方法，我们可以简单地找到某个数列中任意一项的值。
例如，给定一个数列1，4，7，10...，我们可以通过递推的思想得到第n项的值为1+(n-1)×3。
递推的优势在于其简单直观的计算方式，对于小学生而言易于理解和掌握。
通过递推的训练，学生可以培养自己的数学思维和观察问题的能力。
二、递归的概念和思想递归是一种通过将问题分解为更小的相似问题并解决它们的方法。
在递归中，问题的解决依赖于其自身的解决方案。
递归的思想可以通过以下公式表示：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中，f(n)表示第n项的值，f(n-1)表示第n-1项的值，f(n-2)表示第n-2项的值。
递归的思想与递推相比，更注重将问题分解为更小、更简单的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。
通过递归的方法，我们可以解决一些相对复杂的问题，比如斐波那契数列等。
递归在小学数学中的应用更多地体现在解决一些较为复杂、具有迭代关系的问题上，培养学生的逻辑思考和问题分解的能力。
三、递推和递归的解题方法1. 递推的解题方法递推的解题方法相对简单明了。
首先，我们需要观察数列的前几项，找出其中的规律和增量。
然后，根据已知的前一项，利用所确定的规律来求解后一项。
以求解等差数列为例，我们可以通过观察得到等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)×d，其中a1为首项，d为公差。
递推算法分析课件
定义与特点
定义
递推算法是一种通过已知信息逐步推 导出其他信息的方法，通常从一个初 始状态出发，按照一定的规则逐步推 导出最终结果。
特点
递推算法具有明确性、可计算性和可 实现性，能够根据已知信息逐步推导 出结果，适用于解决一些具有规律性 的问题。
递推算法的分类
线性递推
根据已知的线性关系式，逐步推导出最终结果， 如等差数列求和等。
研究如何提高递推算法的稳定 性，减少初始值对结果的影响
，提高结果的可靠性。
探索新的应用场景
挖掘递推算法在其他领域的应 用潜力，如物理、化学、生物 等学科中的复杂问题求解。
REPORT
THANKS
感谢观看
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
O(2^n)等。
03
递推算法时间复杂度分析
递推算法的时间复杂度取决于递推关系的复杂度和递归深度。通过分析
递推关系，可以估算算法的时间复杂度，并比较不同算法的效率。
空间复杂度
1 2 3
空间复杂度定义
空间复杂度是衡量算法所需存储空间随输入规模 增长而增长的量级，也用大O表示法表示。
递归与堆栈空间
递归算法需要使用堆栈来保存递归过程中的状态 ，因此其空间复杂度通常较高。迭代算法则通常 只需少量额外空间。
要点二
详细描述
杨辉三角是一个由数字组成的三角形，每个数字是它正上 方和左上方的两个数字之和。从第二行开始，每个数字都 是上一行相邻两个数字之和。通过递推关系式，我们可以 依次生成每个数字，最终得到完整的杨辉三角。
插入排序算法的改进
总结词
插入排序算法是一种简单的排序算法，通过将元素逐个 插入到已排序序列中实现排序。
递推关系的求解及其应用
递推关系的求解及其应用递推关系的求解及其应用---------------------------------递推关系（Recurrence Relation）是数学中一种常见的表达形式，它可以用来描述一系列数据之间的关系。
它主要用来求解数列或函数在特定索引上的值。
递推关系可以说是一种数学模型，它可以帮助我们快速、有效地计算出一系列相关的数据。
一、递推关系的定义-------------------递推关系是一个由数学符号构成的表达式，它可以表示一组数据之间的相互关系。
例如，定义一个递推关系如下：$$a_n = a_{n-1} + 3, n \ge 1, a_0 = 1$$这表明，一个数列中，任意索引为$n$的值可以由前一个索引为$n-1$的值加上3得出，且当$n=0$时，$a_0=1$。
因此，我们可以通过这个递推关系来计算出数列中任意索引下的值。
二、递推关系的求解方法-------------------------递推关系有多种求解方法，我们常用的有三种：- 递归法：即采用递推关系本身来解决问题，即不断地用递推关系来计算出后一个值，从而得到想要求解的值。
- 迭代法：即采用循环的方式来求解递推关系。
例如，上面的例子可以用for循环来实现。
- 方程法：即将递推关系转化成方程，然后采用数学工具来求解。
三、递推关系的应用---------------------递推关系广泛应用于各个领域，例如：- 数学中常用来计算数列、序列和函数的值。
- 物理学中常用来表达复杂物理场之间的相互作用。
- 工程学中常用来表达工作流或运行流之间的相互作用。
- 生物学中常用来表达基因序列之间的相互作用。
- 电子工程中常用来表达信号传输之间的相互作用。
- 计算机科学中常用来表达存储器或寄存器之间的相互作用。
四、总结----------递推关系是一个常见的数学表达形式，它可以用来描述一系列数据之间的关系。
它有多种求解方法，如递归法、迭代法和方程法。
递推分析解题思路
递推分析解题思路递推算法给定⼀个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以⽤等号(或⼤于号、⼩于号)将Hn与其前⾯的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式⼦就叫做递推关系。
递推算法是⼀种简单的算法，即通过已知条件，利⽤特定关系得出中间推论，直⾄得到结果的算法。
递推算法分为顺推和逆推两种。
相对于算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,⽽直接从边界出发,直到求出函数值.⽐如阶乘函数：f(n)=n*f(n-1)在f(3)的运算过程中,递归的数据流动过程如下:f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}⽽递推如下:f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)由此可见,递推的效率要⾼⼀些,在可能的情况下应尽量使⽤递推.但是递归作为⽐较基础的算法,它的作⽤不能忽视.所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。
顺推法所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的⽅法叫顺推。
如斐波拉契数列，设它的函数为f(n),已知f(1)=1，f(2)=1;f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n>=3,n∈N)。
则我们通过顺推可以知道,f(3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3……直⾄我们要求的解。
逆推法所谓逆推法从已知问题的结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。
递推算法的经典例⼦【案例】从原点出发，⼀步只能向右⾛、向上⾛或向左⾛。
恰好⾛N步且不经过已⾛的点共有多少种⾛法？样例输⼊：N=2样例输出：result=7样例输⼊：N=3样例输出：result=17解题思路：要解决⾛N步共有多少种⾛法，我们在拿到题⽬的时候最直接的想法就是先画出当N=1、N=2、N=3。
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第5讲巧用递推
巧点睛——方法和技巧
数学中这样一类问题，按常规的方法去思考，一时不容易理出头绪，这时常常需要我们退到最简单的情形。
著名数学家华罗庚说过：“善于退，退到原始而不失重要性的地方，是学好数学的重要诀窍。
”从原始的、简单的情形开始枚举尝试，得出一些初步的结果，并逐次利用所得到的结果，推出后面的结论，这种方法蕴含的基本思路就是尝试、猜想、递推的方法。
巧指导——例题精讲
A级竞赛初阶
【例1】如图所示，从三个边长为1的小等边三角形开始，按螺旋式的方式依次画等边三角形，把画出的等边三角形按边长的长短由短到长排列：1,1,1,2,2,3,4,5，…请你算出第21个等边三角形的边长。
做一做 1 欢欢在一张大纸上建“长方形螺旋”，其方法是以厘米为单位画长度为1,1,2,2,3,3,4,4,…的线段，如图所示。
在总长度为3000厘米时，他的钢笔墨水用完了。
问：欢欢画的最长的线段是多少厘米？
【例2】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干块小纸片，如果要分成不少于50块小纸片，那么至少要画多少条直线？请说明
做一做 2 若把一个菠萝竖直切成11块，问：最少要切多少刀？
【例3】如图，在2×2的方格中画一条直线，最多可穿过3个方格，在3×3的方格中画一条直线，最多可穿过5个方格，那么在10×10的方格中画一条直线，最多可穿过多少个方格？
做一做 3 七条直线最多能把一个长方形分割成多少块？n条直线呢？
B级更上层楼
【例4】一只蚂蚁“侦察兵”在洞外发现了食物，它立刻回到蚁穴通知同伴。
假设一只蚂蚁在1分钟内可以把消息传达给4个同伴，那么不超过分钟，蚁穴的全部2000只蚂蚁都知道了这个消息。
（结果取整数）
做一做 4 小华在荷塘里种了一棵莲藕，开始时它只有1片荷叶，以后每周都增加1倍的荷叶。
假如现在荷塘有1024片荷叶，在4周前有（）片荷叶。
【例5】一个活动性较强的细菌每经过10秒就分裂为一个活动性较强的与一个活动性较弱的细菌，而一个活动性较弱的细菌每经过20秒就分裂为两个活动性较弱的细菌。
问：一个活动性较强的细菌，进过60秒可繁殖多少个细菌？
做一做 5 有一种细胞分裂的很快，每秒增加1倍。
在一只密封的瓶里，如果放进一个细胞，1秒后分裂成2个，2秒后分裂成4个……这样经过2分钟后，整个瓶子里就充满了这样的细胞。
如果一开始就放进2048个这样的细胞，经过多少秒后，细胞总是达到半瓶？
【例6】将一根长线对折后，再对折，共对折10次，得到一束线。
用剪刀把这束线剪成10等份，问：可以得到不同长度的短线段各多少根？
做一做 6 将一张长40厘米，宽1厘米的长方形连续折3次，得到宽不变的较短的长方形，然后从它的一端开始，每隔1厘米剪一刀，最后可得到边长为1厘米的小正方形多少块？长2厘米、宽1厘米的小长方形多少块？
C 级 勇夺冠军
【例7】已知在平面上画5个圆最多可以把平面分成22部分，如果再画一条直线，最多可以把平面分成多少部分？
做一做 7 三个三角形最多把平面分成多少部分？
巧练习——温故知新（五）
A 级 竞赛初阶
1、在一个数列中，首项之后的每一项都是它前一项各位数字的平方和。
也就是说，如果首项是12，第二项就是52122=+，第三项是2552=，第四项就是29522
2=+，以此类推。
请你求出首项是25的数列的第2007项的值。
2、小张将一些同样大小的正方形纸片摆放在桌子上，第一次在桌子中间放1张纸片（如图1 ），第二次在这个小正方形纸片周围再放一圈纸片（如图2），第三次在第二次摆放的图形外再放一圈纸片（如图3）……她按此规律共摆了十次，那么她共用了正方形纸片个。
3、将编号1,2,3，…，36的36名学生按编号顺序面向里站成一圈。
第一次，编号是1的同学向后转；第二次，编号是2,3的同学向后转；第三次，编号4,5,6的同学向后转……第36次，全体同学向后转。
这时，面向里的同学还有名。
4、如果我们将正方形按下图所示有规律的分割下去，到第11次分割时，这个“楼梯”级数等
于。
1 2 3 4
B级更上层楼
1、如图所示，4盏霓虹灯安装在大正方形的4个小正方形框里，3秒后，上下的灯互换图案，又过
了3秒，左右的灯互换图案……重复这样的变化规律，请画出经过1分钟霓虹灯的排列图案。
6、下面的数字按一定规律排列下去，请一步步分析，找出规律，并回答：（1）第7行右边第2个数是几？（2）第7行中共有几个数，这些数中最大的是几，总和是几？（3）第n行左边第2个数是几，共有几个数排成，这些数的总和是多少？
（一）行 1 1
（二）行 1 2 1
（三）行 1 3 3 1
（四）行 1 4 6 4 1
7、平面上有八条线段，问：（1）最多可能有几个交点？（2）在使交点最多且交点不是线段端点的情况下，这些线段可相互割成多少条线段？
6、有32个同学参加乒乓球赛，前两个阶段是淘汰赛，第三个阶段是循环赛（淘汰赛每阶段每队只
赛一场），问：要比赛多少场？
7、如图，有10个村庄，分别用A1，A2，A3，…，A10表示。
某人从A1出发，按箭头所指的方向
（不准反向）可以任选一条路线走向另外某村庄。
试问：从A1出发，按图中所示的方向绕一圈后再回到A1，有多少种不同的走法？
C级勇夺冠军
10、2009是一个四位数，将这个数的各位数字从大到小以及从小到大排列成两个数，并以大减小得
到9171（9200-29=9171），接着再将数9171的各位数字从大到小以及从小到大排列成两个数，并以大减小得到一个数。
继续这样做，得到一列数：
2009→9171→…
经过这样2009次操作后，这里的2010个数之和是。
11、如图，有A、B、C三根柱子，在A柱上套有编号（从下到上）为1，2,3,4,5,6,7,8,9,10的十
个圆环。
现要把A柱上套的圆环全部取下套到C柱上去，并遵守如下的两条取套规则：（1）每次只取下一个圆环，取下后应立即套在其他柱子上（这一过程叫做一次搬运）；（2）每根柱子上套的圆环的编号必须是上大下小。
试问：最少要搬动多少次，才能把A柱上的十个圆环全部套到C柱上去？
12、有一段楼梯有10级台阶，每步登2级或3级台阶，问：要登上第10级台阶有多少种不同的走
法？
13、把1～2001这2001个自然数按顺时针方向依次排在一个圆圈上，如图，从1开始顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4……这样，每隔一个数擦去一个数，转圈擦下去。
问：最后剩下一个数时，剩下的是哪个数？
14、有一段长绳，把它对折八次，然后用剪刀沿折完后的中点将它剪断。
请问剪完后，这段绳子共被分成几小段？。