第三讲 双曲线(学案)

第三讲 双曲线
一．基本概念
1.双曲线的定义：
平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ． 反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？
2a =12
F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．
试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ． 2：双曲线的标准方程：
222
2
2
2
2
1,(0,0,)x y a b c a b a
b -
=>>=+（焦点在x 轴）
，其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ． 思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？
3：双曲线
22
2
2
1y
x
a b
-
=的几何性质? 范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）．
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =
>．
渐近线：双曲线
222
2
1y x a
b
-
=的渐近线方程为： ．
新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线． 二．基础训练 1．若椭圆
2
2
125
16
x
y
+
=和双曲线
2
2
14
5
x
y
-
=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的
值为（ ）． A ．
212
B ．84
C ．3
D ．21
2．以椭圆2
2
125
16
x y
+
=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）
． A.
2
2
116
48
x
y
-
= B.
2
2
19
27
x
y
-
= C.
2
2
116
48
x
y
-
=或
2
2
19
27
x
y
-
= D. 以上都不对
3．已知双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线2
24y x =的
准线上，则双曲线的方程为（ ）
A ．
2
2
136
108
x
y
-
= B ．
2
2
19
27
x
y
-
= C ．
2
2
1108
36
x
y
-
= D ．
2
2
127
9
x
y
-
=
4．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12
PF Q π=
，
则双曲线的离心率e 等于（ ）．
A.112+
5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线F B 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此
双曲线的离心率为
A ． C ．
12
D ．
12
+
6．设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线
222
2
x y 1a
b
-
=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足
∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为
A ．x x ±y=0 C ．x =0 D ±y=0 7．已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，
则12||||PF PF =
A ．2
B ．4
C ．6
D ． 8
8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. 9．方程
2
2
141x
y
k
k
+
=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．
10．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为222
2
1x y a
b
-
=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求
此双曲线的方程． 11.由双曲线
4
9
2
2
y
x
-
=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，
求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.
三.例题分析
例1.已知两点A 0)，B(0)
，动点P 在y 轴上的射影为
Q ，2
PA PB 2PQ
⋅=
，
（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为
k 的值及此时点C 的坐标.
例2.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2
,且过点P （4，-
10
）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1MF ²2MF =0； （3）求△F 1MF 2的面积.
例3.已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0. (1)求双曲线C 的方程;
(2)若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2
81,求k 的取值范围.
四.巩固练习
1．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2
1π
=
Q PF ，则双曲线的离心率
e 等于（ ）
A ．12-
B ．2
C ．12+
D ．22+
2．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）
A ．（3
15,
3
15-
） B ．（3
15,
0） C ．（0,3
15-
） D ．
（1,3
15--）
3．双曲线2
2
1tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为___。

4．若直线1y kx =-与双曲线224x y -=始终有公共点，则k 取值范围是 。

5．当00
0180α从到变化时，曲线22cos 1x y α+=怎样变化？ 6．设12,F F 是双曲线116
9
2
2
=-
y
x
的两个焦点，点P 在双曲线上，且0
1260F P F ∠=，求△12F P F 的面积。

7.求与双曲线
9
16
2
2
y
x
-
=1共渐近线，且过点A （2
3
，-3）的双曲线方程.
8.已知定点A （0，7）、B （0，-7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆， 求另一焦点F 的轨迹方程.
9.已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线x 2
-2
2
y
=1于A 、B 两点，且ON =2
1
（OA +OB ）.
（1）求直线AB 的方程；
（2）若过N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD ²AB =0，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？
10.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B. （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，
求出k 的值；若不存在，说明理由.。