第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题ppt课件 高中数学复习专题
圆锥曲线中的定点、定值问题课件-2025届高三数学一轮复习
有lMN：x＝2＋1＝3，也过定点(3,0)， 故直线MN过定点，且该定点为(3,0)．
(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
解：由A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)， 则 lAE：y＝yx33－ －yx11(x－x1)＋y1，由 y21＝4x1，y22＝4x2， 故 y＝yy4323－－yy4121x－y421＋y1＝y3＋4xy1－y3＋y21 y1＋y1＝y3＋4xy1＋y3y＋1y3y1， 同理可得 lBD：y＝y4＋4xy2＋y4y＋2y4y2，
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M， N，证明：线段MN的中点为定点．
解：证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在， 设PQ：y＝k(x＋2)＋3， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程
y＝k(x＋2)＋3， y92＋x42＝1， 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，
[kx1＋(2k＋3)](x2＋2)＋[kx2＋(2k＋3)](x1＋2) (x1＋2)(x2＋2)
＝2kx1x2＋x(14xk2＋＋32)((xx11＋＋xx22))＋＋44(2k＋3)
＝32k4(kk22＋＋19364k(kk)－22＋＋893kk(4)－k4＋1k263＋4k)k((2292＋kk＋＋933))＋＋44(2k＋3)＝13068＝3， 所以线段MN的中点是定点(0,3)．
综合①②知，|MN|＝4 3，为定值．
规律方法
由特殊到一般法求定值问题的两个常用技巧
圆锥曲线定点问题 ppt课件
y＝kx＋m， (2)设点 P(x0，y0)，由 x42＋y32＝1
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由题意知 Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0， 化简得 4k2－m2＋3＝0，
∴x0＝－4k42k＋ m3＝－4mk，y0＝m3 ，∴P－4mk，m3 .
y＝kx＋m，
由x＝4
得 Q(4，4k＋m)，
假设存在点 M，坐标圆为 锥曲线(x定点1， 问题 0)，
则M→P＝－4mk－x1，m3 ，M→Q＝(4－x1，4k＋m). ∵以 PQ 为直径的圆恒过 M 点，∴M→P·M→Q＝0， 即－1m6k＋4kmx1－4x1＋x21＋1m2k＋3＝0， ∴(4x1－4)mk ＋x21－4x1＋3＝0 对任意 k，m 都成立. 则4x21x－1－44x＝1＋03，＝0，解得 x1＝1，
圆锥曲线定点问题
(1)解 依题意得 e＝ac＝ 23，
(2 分)
过右焦点 F 与长轴垂直的直线 x＝c 与椭圆xa22＋by22＝1，
联立解得弦长为2ab2＝1，∴a＝2，b＝1，
所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
(4 分)
圆锥曲线定点问题
(2)证明 设 P(1，t)，kPA＝1t－＋02＝3t ， 直线 lPA：y＝3t (x＋2)，
圆锥曲线定点问题
解 (1)由 e＝12可得 a2＝4c2，① S△F1AF2＝12|AF1||AF2|sin 60°＝ 3，可得|AF1||AF2|＝4， 在△F1AF2 中，由余弦定理可得 |F1A|2＋|F2A|2－2|F1A|·|F2A|cos 60°＝4c2， 又|AF1|＋|AF2|＝2a，可得 a2－c2＝3，② 联立①②得 a2＝4，c2＝1.∴b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
圆锥曲线有关的定点定值、最值范围问题PPT课件
必 备 知 识方 法
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有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不 求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简 化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2－y1|，其 中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形： |x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2； |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2. (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法” 来简化运算．
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2．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标 函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和 不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个 合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题， 这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标 等，要根据问题的实际情况灵活处理．
∞)．]
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4．(2012·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为 曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x 的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则 实数a＝________.
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解析
因曲线
C2：x2＋(y＋4)2＝2
2
42
2，所以 a＝94.
答案
9 4
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本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题 之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最 值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．
新高考数学圆锥曲线热点问题-第2课时 定点、定值、探索性问题精品课件
解:(1)根据题意,可得焦点F的坐标为,则当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=,代入抛物线方程可得y2=2p·,则A,B,所以|AB|=2p,又|OF|=,所以S△AOB=·|OF|·|AB|=×2p==8,解得p=4,所以抛物线E的标准方程为y2=8x.
课堂考点探究
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则有k1===,同理k2=.设直线AC的方程为x=ty+3,与抛物线方程联立,得y2-8ty-24=0,所以y1y3=-24,同理y2y4=-24,所以y3=-,y4=-,所以====.设直线AB的方程为x=my+2,与抛物线方程联立,得y2-8my-16=0,所以y1y2=-16,所以==,所以为定值.
(2)证明:直线CD过定点.
课堂考点探究
即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.①将x=my+n代入+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=,代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0,解得n=-3(舍去)或n=.故直线CD的方程为x=my+,即直线CD过定点.若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点.综上,直线CD过定点.
课堂考点探究
[总结反思] 解决存在性(探索性)问题的一些技巧:(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.(2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去.(3)核心变量的求法:①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解.②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解.
圆锥曲线中的定点、定值问题-高中数学总复习课件
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
2
代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
2
2
2
3
2
2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
2023高考数学一轮总复习第八章圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线中的定点定值与存在性问题ppt课件
【点拨】 圆锥曲线中定点问题的两种解法：①引进参数法：引进动点的坐标或动 线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点， 在直线过定点问题中体现为寻找过定点直线系方程；②特殊到一般法：根据动点 或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
(2022 石嘴山市第三中学高三模拟)已知 F 是抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点， 点 M(x0，4)在抛物线上，且|MF|＝54x0. (1)求抛物线 C 的标准方程； (2)若 A，B 是抛物线 C 上的两个动点，且 OA⊥OB，O 为坐标原点，求证：直线 AB 过定点.
所以T→A·T→B＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋kx1＋13·kx2＋13
＝(k2＋1)x1x2＋13(k2－3)(x1＋x2)＋19(k2＋9)＝9（k21＋2）[(k2＋1)(k2－18)－2k2(k2－3)
＋(k2＋9)·(k2＋2)]＝0，
所以T→A⊥T→B，所以以 AB 为直径的圆恒过点 T(1，0).
命题角度 2 圆过定点 (2019 北京卷)已知抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1).
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M， N，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B. 求证：以 AB 为直径的圆经 过 y 轴上的两个定点.
由
y＝kx＋m， x42＋y2＝1，得
(4k2
＋
1)x2
＋
8kmx
＋
4(m2
－
1)
＝
解：(1)设直线 l：x＝my＋1 与 y2＝2px 联立消去 x 得，y2－2pmy－ 2p＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2p. 因为O→A·O→B＝－3，所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋ y1y2＝(1＋m2)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝(1＋m2)(－2p)＋2pm2＋1＝－2p＋ 1＝－3，解得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
圆锥曲线中定点和定值问题的解题方法PPT课件
x2 a2
y2 b2
1a
b
0上的任一点
N x0,
y0 处的切线方程
是
x0 x a2
y0 y b2
1 ，求证：直线
AB
恒过定点
C
，并求出定点
C
的坐标。
CHENLI
5
一、定点的探究与证明问题 定点问题2：圆过定点
【揭阳一模】 在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C 的方程为 x2 4y ，
CHENLI
7
二、定值的探究与证明问题
【听课手册 P41 页】 3．[2012·辽宁卷改编] 已知过点(0，1)的直线与抛物线 x2＝4y 交于不同的两点 A，B，过 A，B 分别作抛物线的切
线，则两切线交点的纵坐标为定值，这个定值是________．
CHENLI
8
二、定值的探究与证明问题
【说明】 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素 无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能 是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表 达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当 使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要 注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参 数问题解决．
求解定值问题的两大途径 (1) 由特例得出一个值(此值一般就是定值)
证明定值：将问题转化为证明 待证式与参数(某些变量)无关 (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足 的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得 定值.
CHENLI
15
补充题目
F(
2,0) ，其短轴
上的一个端点到 F 的距离为 3 ，
（1）求椭圆 C 的离心率及其方程；
2023年高考一轮复习 —圆锥曲线中的定点、定值问题(共15张PPT)
解: (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点(x0，y0)，则有 y21＝2px1，y22＝2px2， 两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)， 所以 kAB＝xy11－ －yx22＝22yp0＝p2＝1， 所以 p＝2，抛物线方程为 y2＝4x. (2)证明：设直线 MN 的方程为 x＝my＋n(由题意知直线 MN 的斜率一定不为 0)， M(x3，y3)，N(x4，y4)， 联立yx2＝＝m4xy＋，n， 消去 x 得，y2－4my－4n＝0， 由 Δ＝16m2＋16n＞0 得 m2＋n＞0.
[针对训练] (2022·邯郸开学摸底考)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的焦距为 2 3，且过点
3，12.
(1)求椭圆方程；
(2)设直线 l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆 C 于 A，B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直
线 x＝12上，求证：线段 AB 的中垂线恒过定点 N.
(2)证明：由题意可得 A(－1,0)，B(1,0)，易知直线 l 斜率不为 0，设直线 l：x＝
ny＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，把直线 l 的方程代入双曲线方程，整理可得(4n2 －1)y2＋16ny＋12＝0，Δ＝64n2＋48＞0，由根与系数的关系得 y1＋y2＝－4n126－n 1，
2．已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为 4，直线 2x－y＝0 为双曲 线 C 的一条渐近线． (1)求双曲线 C 的标准方程； (2)记双曲线 C 的左、右顶点分别为 A，B，过点 T(2,0)的直线 l，与双曲线交 于两点 M，N，直线 MA 交 y 轴于点 P，直线 NB 交 y 轴于点 Q，记△PAT 面积为 S1，△QBT 面积为 S2，求证：SS12为定值． 解：(1)由题意可知 b＝2，因为 C 的一条渐近线方程为 y＝2x，所以ba＝2，解 得 a＝1，所以双曲线的标准方程为 x2－y42＝1.
2019年高考数学二轮复习 专题7 解析几何 3.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题课件 理
∴
������2-������1 ������2-2
=
������2-������1 ������������2-1
=
������2-������1 ������22+������1������1-1
=
2������1(������2-������1)
������2+������1-2������1=2y1,所以
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点 A,B 为动直线 y=k(x-2)(k≠0)与椭圆 C 的两个交点,证 明:在 x 轴上是否存在定点 E,使������������2 + ������������ ·������������为定值,并求出定值.
13
考向一 考向二 考向三
解: (1)由离心率为 36,得������������ = 36,即 c= 36a,①
M1N
的方程为
y=2y1(x-2)+y1=2y1 x-32 ,
故直线 M1N 恒过定点 32,0 .
4
考向一 考向二 考向三
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
10
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
y＝k（x－1） 则 x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122， |AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （3＋8k42k2）2－4×43k＋2－4k122＝12（3＋1＋4kk22）.
4
直线 MA 的方程为 y＋1＝xy11＋＋12(x＋2)，则 P－4，－2（x1y＋1＋2 1）－1， 即 P－4，－（mmy1＋－22）y1. 直线 NA 的方程为 y＋1＝xy22＋＋12(x＋2)，则 Q－4，－2（x2y＋2＋2 1）－1， 即 Q－4，－（mmy2＋－22）y2.
5
所以||BPBQ||＝（mmy＋1－2）2 y1（mmy＋2－2）2 y2 ＝mmyy11yy22－ －22yy12＝mm8822＋＋mm 44－－22yy21 ＝yy11＋ ＋yy22－ －22yy12＝1. 综上，||BPBQ||＝1.
圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
1
定值问题
(2020·高考北京卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 过点 A(－2，－1)，且 a＝ 2b. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 B(－4，0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x＝－4 于点 P，Q，求||BPBQ||的值．
17
圆锥曲线中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该 方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为 坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
圆锥曲线定点定值问题29页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。—，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
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(1)法一：由已知 A(a,0)，F(c,0)，设 B(x0，y0)，C(－x0－y0)，则 a－x0 y0 D( ，－ )， 2 2 → → → → ∵B，F，D 三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝ a－3x0 3y0 ( ，－ )， 2 2 a－3x0 3 ∴－ y0(c－x0)＝－y0· ， 2 2 1 ∴a＝3c，从而 e＝ . 圆锥曲线的 定点、定值、存在性问题
方法结论
定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx＋b，然后 利用条件建立 b，k 等量关系进行消元，借助于直线系方程 找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．
x2 y2 [典例](2017· 洛阳模拟)设椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞ a b b＞0)的右焦点为 F，右顶点为 A，B，C 是椭圆 上关于原点对称的两点(B，C 均不在 x 轴上)， 线段 AC 的中点为 D，且 B，F，D 三点共线． (1)求椭圆 E 的离心率； (2)设 F(1,0)，过 F 的直线 l 交 E 于 M，N 两点，直线 MA，NA 分别 与直线 x＝9 交于 P，Q 两点．证明：以 PQ 为直径的圆过点 F.
x－3 y ∴直线 AM 的方程为 ＝ ， y1 ny1－2 6y1 6y2 ∴P(9， )，同理 Q(9， )， ny1－2 ny2－2 → → 6y1 6y2 从而FP· FQ＝(8， )· (8， ) ny1－2 ny2－2 36y1y2 ＝64＋ 2 n y1y2－2ny1＋y2＋4
36×－64 8n2＋9 ＝64＋ －64n2 32n2 ＋ 2 ＋4 2 8n ＋9 8n ＋9 36×－64 ＝64＋ ＝0. 36 ∴FP⊥FQ，即以 PQ 为直径的圆恒过点 F.
演练冲关
→ → OQ· PF＝3＋3m－tn， → → OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， → → 由OP· PQ＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知 m2＋n2＝2， 故 3＋3m－tn＝0. → → → → 所以OQ· PF＝0，即OQ⊥PF，又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
方法结论
解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直 接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有 参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出 来，并令其系数为零，可以求出定值．
x2 y2 [ 典例 ](2017· 沈阳模拟 ) 已知椭圆 C： 2＋ 2 ＝ 1(a ＞ b＞ 0) 的左焦点为 a b 2 F1(－ 6，0)，e＝ . 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上一动点，由 原点 O 向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4 引两条切 线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2 为定值． (3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2 是否为定值？若是，求出该值； 若不是，请说明理由．
2 2 同理，可得(x2 － 4) k － 2 x y k ＋ y 0 2 0 0 2 0－4＝0， 2 2 ∴k1，k2 是方程(x2 0－4)k －2x0y0k＋y0－4＝0 的两个不相等的
实数根，
2 y 0－ 4 2 ∴x0－4≠0，Δ＞0，k1k2＝ 2 . x0－4 2 x2 y 1 2 0 0 2 ∵点 R(x0，y0)在椭圆 C 上，∴ ＋ ＝1，即 y0＝6－ x0， 12 6 2
2 (1)由题意得，c＝ 6，e＝ ，解得 a＝2 3， 2 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 12 6 (2)由已知，直线 OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆 R 相切， |k1x0－y0| 2 2 2 ∴ ＝ 2 ，化简得 ( x － 4) k － 2 x y k ＋ y 0 1 0 0 1 0－4＝0， 2 1＋k1
2
→ 2 NM. (1)求点 P 的轨迹方程； → → (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP· PQ＝1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
演练冲关
→ → (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝ (0，y0)， → → 2 由NP＝ 2 NM得 x0＝x，y0＝ y. 2 x2 y2 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以 ＋ ＝1. 2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2. (2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则 → → OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，
法二： 设直线 BF 交 AC 于 D， 连接 OD， 由题意知， OD 是△CAB 1 → → 的中位线，∴OD 綊 AB，∴AB∥OD， 2 ∴△OFD∽△AFB. c 1 1 ∴ ＝ ，解得 a＝3c，从而 e＝ . 3 a－c 2 (2)∵F 的坐标为(1,0)， ∴c＝1，从而 a＝3，∴b2＝8.
x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1. 9 8 设直线 l 的方程为 x＝ny＋1，(n≠0) ny＋1 x＝ 由x2 y2 ⇒(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0， ＋ ＝1 9 8 －16n －64 ∴y1＋y2＝ 2 ，y1y2＝ 2 ， 8n ＋9 8n ＋9 其中 M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．
类题通法
定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明， 求 解的方法常见的有如下两种： (1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程 求出定点； (2)曲线过定点， 先用特殊位置的曲线探求定点， 再证明曲线 过该点，与变量无关．
演练冲关
x2 (2017· 高考全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C： 2 → ＋y ＝1 上， 过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N， 点 P 满足NP＝