平面向量数乘运算
平面向量的向量积
平面向量的向量积在数学中，平面向量的向量积是一种重要的运算，它可以帮助我们解决许多与平面几何相关的问题。
本文将详细介绍平面向量的向量积的定义、性质以及应用。
一、定义平面向量的向量积又称为叉乘或矢量积，用符号"×"表示。
对于平面上的两个向量u和v，它们的向量积u×v定义为一个新的向量，满足以下条件：1. 向量积的模长等于原向量模长的乘积与它们夹角的正弦值，即|u×v| = |u||v|sinθ，其中θ为u和v的夹角。
2. 向量积的方向垂直于平面，它的方向遵循右手法则，即将右手的四指指向向量u，再将四指转向向量v，大拇指的方向就是向量积的方向。
二、性质平面向量的向量积具有以下性质：1. u×v与v×u方向相反，但模长相等。
2. u×(v+w) = u×v + u×w，即向量积满足分配律。
3. (ku)×v = k(u×v) = u×(kv)，其中k为实数。
4. 若u与v共线或其中一个向量为零向量，则它们的向量积为零向量。
三、几何意义平面向量的向量积在几何上有重要的意义，它可以用来求解以下问题：1. 判断两个向量的方向是否一致：若u×v为零向量，则u和v共线；若u×v不为零向量，则u和v不共线。
2. 求两个向量所夹的平行四边形的面积：若u和v为非零向量，则其所夹平行四边形的面积为|u×v|。
3. 求三个非共面向量构成的平行六面体的体积：若u、v和w为非共线向量，则该平行六面体的体积为|u·(v×w)|，其中·表示点积。
四、计算方法平面向量的向量积可以用行列式的形式进行计算。
设u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)，则u×v = x₁y₂ - x₂y₁。
这种计算方法可以轻松求解向量积的模长和方向。
平面向量的向量积与平面方程
平面向量的向量积与平面方程平面向量的向量积是向量分析中的重要概念，它在解决平面几何和空间几何问题中发挥着重要作用。
本文将介绍平面向量的向量积的定义、性质以及与平面方程的关联。
一、平面向量的向量积的定义平面向量的向量积又称为叉乘，它是一个二元运算，用符号"×"表示。
给定两个平面向量a和b，它们的向量积a×b的模记为|a×b|，方向与a、b所在的平面垂直，并符合右手法则。
二、平面向量的向量积的性质1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)，其中k为实数。
4. 垂直性：a与b的向量积a×b的方向垂直于a和b所在的平面。
5. 模长关系：|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为a和b之间的夹角。
三、平面向量的向量积与平面方程的关联1. 平面方程的一般形式平面方程的一般形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为方程的系数，D为常数。
平面上的一个法向量可以表示为n = (A, B, C)。
2. 设平面上有两个向量a和b，它们的向量积为n，即n = a×b。
则平面方程可以表示为n·(P-P0) = 0，其中P(x,y,z)为平面上的任意一点，P0(x0,y0,z0)为平面上的一点。
3. 利用向量积求解平面方程已知平面上的三个点A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，可以通过构造两个向量AB和AC，然后计算它们的向量积n = AB×AC来求解平面方程。
四、示例应用假设平面上有三个点A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)。
首先，计算向量AB和向量AC：AB = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)AC = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)然后，计算向量积n = AB×AC：n = (3, 3, 3)×(6, 6, 6) = (0, 18, -18)最后，代入其中一点A，可得平面方程：0(x-1) + 18(y-2) - 18(z-3) = 0即 18y - 36z + 18 = 0，这就是所求平面的方程。
7.1.4平面向量的数乘
3a与a的方向相反 3a 3 a
一、向量的数乘运算的定义：
实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下： （1） a a ; （2） 当 0, a与a 的方向相同；当 0, a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
因为O分别为AC，BD的中点，所以 1 1 1 1 AO AC （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2 1 1 1 1 OD BD （b − a）＝ a＋ b， 2 2 2 2
AO、 OD 可以用向量a，b线性表示．
运用知识
强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
例1：计算下列各式
(1)(3) 4a (2)3(a b ) 2(a b ) a
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
ad????b试用ab表示向量解ac????abbd????b?a因为o分别为acbd的中点所以1122????????aoac1212abab1122????????odbd12?12b?aab1212ab和12?12ab都叫做向量ab的线性组合或者说aood????????可以用向量ab线性表示
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
向量的数乘
一、①λ
a 的定义及运算律 b=λa 向量a与b共线
②向量共线定理 (a≠0)
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
平面向量的数乘运算
平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算是向量的一个基本运算。
在实际生活和工作中，平面向量数乘运算经常用来求出向量的长度和方向，计算两个向量之间的关系，解决各种几何问题等等。
下面我们就来详细了解平面向量的数乘运算。
1.定义对于一个数k和一个平面上的向量A，我们定义向量kA为长度为|k|倍的向量，且与A的方向相同（若k>0）或相反（若k<0）。
即kA=k*|A|*u，其中|A|为向量A的长度，u为A的单位向量，k为实数。
2.性质平面向量的数乘运算有以下基本性质：（1）交换律：kA = Ak；（2）结合律：k(lA) = (kl)A；（3）分配律：(k+l)A = kA + lA；（4）数乘0得零向量：0A = 0；（5）数乘-1得反向量：(-1)A = -A。
其中，（1）和（2）很容易证明，（3）可以利用向量的加法证明，（4）和（5）也很显然。
3.向量的长度我们知道，向量的长度表示为|A|，表示从向量的起点到终点的距离。
对于向量A来说，它的数乘kA的长度为|kA|=|k||A|，即kA的长度等于k乘以A的长度。
因此，我们可以利用向量的数乘运算来求出一个向量的长度，或者利用向量的长度来计算它的数乘。
4.向量的方向向量的方向是向量自身的属性，一般用单位向量来表示。
对于一个向量A来说，它的单位向量为u=A/|A|，即除以向量的长度之后所得到的向量。
对于向量kA来说，它与A的方向相同（若k>0）或相反（若k<0），因此kA的单位向量为u=A/|A|。
因此，我们可以利用向量的数乘运算来求出一个向量的方向，或者利用向量的方向来计算它的数乘。
5.应用平面向量的数乘运算在实际生活和工作中有很多应用，比如：（1）计算两个向量之间的关系。
如果向量A和向量B之间的夹角为θ，则有A·B=|A||B|cosθ，其中·表示向量的点积。
如果将向量A数乘k，向量B数乘l，则有(kA)·(lB)=kl(A·B)，即两个向量的数乘之后再点乘等于原向量点乘之后再数乘。
向量数乘运算及几何意义
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
平面向量的数乘和运算律
平面向量的数乘和运算律一、平面向量的数乘和运算律1、向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。
①常用结论$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbolb|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。
②向量加法的运算律交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。
结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbola+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。
2、向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。
向量的数乘运算
[典例 3] 设 a，b 是不共线的两个非零向量． (1)若―O→A ＝2a－b，―O→B ＝3a＋b，―O→C ＝a－3b，求证：A， B，C 三点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值； (3)若―OM→＝m a，―ON→＝n b，―O→P ＝α a＋β b，其中 m，n， α，β 均为实数，m≠0，n≠0，若 M，P，N 三点共线，求证： mα ＋nβ＝1.
A．k＝0
B．k＝1
C．k＝2 解析：当
k＝12时，mD＝．－ke＝1＋12 12e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时 m，n 共线． 答案：D
3.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若―AB→＝a， ―A→ C ＝b，则―AM→等于( )
A.12(a－b)
B．－12(a－b)
[方法技巧] 用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形 法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量 关系，然后解关于所求向量的方程．
[对点练清]
1．在△ABC 中，若点 D 满足―BD→＝2―D→C ，则―AD→等于( )
A.13―AC→＋23―AB→
2．在四边形 ABCD 中，若―AB→＝－12―CD→，则此四边形是(
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
解析：因为―AB→＝－12―CD→，所以 AB∥CD，且 AB≠CD，所
以四边形 ABCD 是梯形．
答案：C
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，―AB→ ＋―AD→＝λ―AO→，则 λ＝________. 解析：∵四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，∴―AB→＋―AD→＝―A→ C ＝2―AO→，∴λ＝2. 答案：2
平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示我很乐意帮你撰写这篇关于平面向量数乘运算的坐标表示的文章。
在文章中，我将从简单的概念和基本原理开始，逐步深入探讨这个主题，帮助你更好地理解这一数学运算的重要性和应用。
1. 什么是平面向量？在开始探讨平面向量数乘运算的坐标表示之前，让我们先来回顾一下什么是平面向量。
平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示在平面上。
平面向量通常表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
2. 数乘运算的定义数乘运算是指一个向量与一个标量相乘的操作。
在数乘运算中，向量的大小会根据标量的大小进行缩放，方向保持不变。
数乘运算的结果是一个新的向量。
3. 坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示非常重要。
通过坐标表示，我们可以清晰地看到向量与标量相乘后的变化。
假设有向量a = (a1, a2)，标量k，那么a与k的数乘结果可以表示为ka = (ka1, ka2)。
4. 数乘运算的性质数乘运算具有一些重要的性质，比如分配律、结合律等。
这些性质对于理解和运用数乘运算非常重要。
5. 应用举例平面向量数乘运算的坐标表示在几何学、物理学等领域有着广泛的应用。
比如在物理学中，力的合成就常常会用到平面向量的数乘运算，通过坐标表示可以清晰地看到力的变化和合成结果。
总结和回顾通过本文的介绍，我希望你能够更好地理解平面向量数乘运算的坐标表示。
数乘运算是向量运算中的重要部分，通过坐标表示可以更直观地看到向量的变化，这对于理解和运用向量运算有着重要的意义。
个人观点和理解在我的个人看来，平面向量数乘运算的坐标表示是向量运算中的基础而重要的一部分。
通过数乘运算，我们可以更清晰地看到向量的变化和作用，这有助于我们在实际问题中更好地运用向量概念。
希望你也能对这一主题有深刻的理解和灵活的运用。
在知识文章格式的指导下，我将本文按照序号标注的格式进行撰写，以便更好地呈现文章内容。
文章总字数大于3000字，不用出现字数统计。
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数乘运算课件及答案
【对点练清】 1．若典例 3 中条件“―A→B ＝2e1－8e2”改为“―A→B ＝2e1＋ke2”且 A，B，D
三点共线，如何求 k 的值？
解：因为 A，B，D 三点共线，所以―A→B 与―B→D 共线．设―A→B ＝λ―B→D (λ∈R)， ∵―B→D ＝―C→D －―C→B ＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
2e2＝3e1＋6e2， ―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2， ―A→C ＝―A→B ＋―B→C ＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2. (1)―A→D ＝3(e1＋2e2)＝3―A→B ，∴―A→B 与―A→D 共线． (2)―B→C 与―B→D 不共线．(3)―C→D 与―A→C 不共线．
【对点练清】
1．设向量
a
＝3i＋2j，b
＝2i－j，求13a
－b
－a
－23b
＋(2b
－a
)．
解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a
＝13－1－1a ＋－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.
2．已知 a 与 b ，且 5x＋2y ＝a ,3x－y ＝b ，求 x，y .
知识点一 向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算：
定义
一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫做 向量的数乘，记作 λa
长度
|λa |＝|λ||a |
λ＝0
方 向
λ＞0
λ＝0
λa 的方向与 a 的方向_相__同___ λa ＝_0__
λa 的方向与 a 的方向_相__反___
高中数学 必修2(人教版)6.2.3向量的数乘运算
方法归纳
三点共线的证明问题及求解思路 (1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量 共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． (2)若A，B，C三点共线，则向量 A→B ， A→C ， B→C 在同一直线 上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系， 而向量共线定理是实现线性关系的依据．
方法归纳 (1)直接法
用已知向量表示其他向量的两种方法
(2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四 边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于 所求向量的方程．
跟踪训练1 如图，ABCD是一个梯形，A→B∥C→D且|A→B|＝2|C→D |，M，N分别是DC，AB的中点，已知 A→B ＝e1， A→D ＝e2，试用e1， e2表示下列向量．
微点2 证明三点共线 例3 已知e1，e2是两个不共线的向量，若 A→B ＝2e1－8e2， C→B ＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
证明：∵C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2， ∴B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2. 又A→B＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴A→B＝2B→D，∴A→B∥B→D. ∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵a＝16b，∴a与b共线． (3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)， ∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.
∵e1与e2是两个不共线向量，∴11－ ＋33λλ＝ ＝00， . 这样的λ不存在，因此a与b不共线．
状元随笔 向量共线的判定一般是用其判定定理，即 →a 是一
个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得 →b ＝λ →a ，则向量 →b 与 非零向量 →a 共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量 来表示，进而互相表示，由此判断共线．
教案平面向量的数乘运算
教案：平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入向量的概念，回顾向量的定义和表示方法。
2. 引入数乘运算的概念，解释数乘运算的含义。
二、平面向量的数乘运算规则1. 展示平面向量的数乘运算例子，引导学生总结数乘运算的规律。
2. 讲解平面向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘法以及向量的数乘。
三、数乘运算的性质1. 引导学生思考数乘运算的性质，如交换律、结合律等。
2. 讲解数乘运算的性质，并通过示例进行说明。
四、数乘运算在实际问题中的应用1. 给出实际问题，引导学生运用数乘运算进行解决。
2. 讲解数乘运算在实际问题中的应用方法，如速度和加速度的合成等。
五、巩固练习1. 提供练习题，让学生独立完成，巩固对数乘运算的理解和应用。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示向量和数乘运算的示例和性质。
2. 练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对数乘运算的理解程度和应用能力。
3. 学生练习题的完成情况。
教学时间安排：1. 第一节课：介绍平面向量的数乘运算概念。
2. 第二节课：讲解平面向量的数乘运算规则。
3. 第三节课：讲解数乘运算的性质。
4. 第四节课：讲解数乘运算在实际问题中的应用。
5. 第五节课：巩固练习和解答学生问题。
教案：平面向量的数乘运算（续）六、数乘运算与向量长度的关系1. 回顾向量长度的定义和计算方法。
2. 讲解数乘运算与向量长度的关系，引导学生理解数乘运算对向量长度的影响。
七、数乘运算与向量方向的关系1. 讲解数乘运算与向量方向的关系，包括数乘运算对向量方向的影响。
2. 引导学生通过示例理解数乘运算对向量方向的影响。
八、数乘运算的逆元素1. 引入逆元素的概念，解释数乘运算的逆元素。
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是解决几何问题中常用的数学工具之一。
本文将介绍平面向量的概念以及常见的运算方法。
一、平面向量的概念平面向量是指具有大小和方向的量。
通常用有向线段来表示，标志有向线段的箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量常用大写字母表示，例如A、B。
二、平面向量的表示平面向量可以分为简易表示法和坐标表示法两种方式。
1. 简易表示法在平面上，我们可以通过箭头的起点和终点来表示向量的方向和大小。
例如，向量AB表示从点A指向点B的向量，大小为AB的长度。
2. 坐标表示法使用坐标系来表示平面向量。
在二维坐标系中，平面上的向量可以表示为 <x, y> 的形式，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
三、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数乘三种运算。
1. 加法运算设有向量A和向量B，它们的和向量记作A + B。
假设A = <a1,a2>，B = <b1, b2>，则A + B = <a1 + b1, a2 + b2>。
2. 减法运算设有向量A和向量B，它们的差向量记作A - B。
假设A = <a1, a2>，B = <b1, b2>，则A - B = <a1 - b1, a2 - b2>。
3. 数乘运算设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA。
假设A = <a1, a2>，则kA = <ka1, ka2>。
数乘可以改变向量的大小和方向，当k大于0时，向量的方向与原向量一致，当k小于0时，向量的方向与原向量相反。
四、平面向量的性质平面向量具有以下性质：1. 相等性两个向量相等表示它们的大小和方向都相同。
2. 平移性向量的平移不会改变其大小和方向。
3. 共线性若两个向量的方向相同或者相反，则它们共线。
4. 三角形法则若将两个向量的起点连结，形成的三角形的第三条边是这两个向量的和向量。
教案平面向量的数乘运算
平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：第一章：平面向量数乘运算的概念1.1 向量的概念回顾1.2 数乘运算的定义1.3 数乘运算的性质第二章：平面向量的数乘运算规则2.1 数乘运算的分配律2.2 数乘运算的结合律2.3 数乘运算的单位向量第三章：数乘运算在坐标系中的应用3.1 坐标系的回顾3.2 数乘运算在坐标系中的表示3.3 数乘运算在坐标系中的应用举例第四章：数乘运算与向量长度的关系4.1 向量长度的概念回顾4.2 数乘运算与向量长度的关系4.3 数乘运算在求向量长度中的应用第五章：数乘运算与向量方向的关系5.1 向量方向的概念回顾5.2 数乘运算与向量方向的关系5.3 数乘运算在改变向量方向中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量数乘运算的概念、规则及其应用。
2. 通过示例和练习，让学生熟练掌握数乘运算的计算方法。
3. 利用坐标系，直观地展示数乘运算在实际问题中的应用。
教学评估：1. 课堂练习：布置相关的习题，检查学生对数乘运算的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置综合性较强的题目，巩固学生对数乘运算的应用能力。
3. 单元测试：进行全面的测试，评估学生对平面向量数乘运算的整体掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示平面向量数乘运算的概念、规则及应用。
2. 坐标系模型：准备实物或电子模型，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。
3. 练习题库：收集相关的习题，供课堂练习和课后作业使用。
第六章：数乘运算与向量加法的结合6.1 向量加法的概念回顾6.2 数乘运算与向量加法的结合规则6.3 数乘运算在向量加法中的应用举例第七章：数乘运算与向量减法的结合7.1 向量减法的概念回顾7.2 数乘运算与向量减法的结合规则7.3 数乘运算在向量减法中的应用举例第八章：数乘运算与向量数乘的结合8.1 向量数乘的概念回顾8.2 数乘运算与向量数乘的结合规则8.3 数乘运算在向量数乘中的应用举例第九章：数乘运算在实际问题中的应用9.1 数乘运算在物理学中的应用9.2 数乘运算在工程学中的应用9.3 数乘运算在其他领域的应用第十章：总结与拓展10.1 数乘运算的总结10.2 数乘运算的拓展学习10.3 数乘运算在后续课程中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算与向量加法、减法、数乘的结合规则及其应用。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
平面向量的数乘运算课件
已知平面向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$\theta $，且$|\overset{\longrightarrow}{a}| = m,|\overset{\longrightarrow}{b}| = n$，求 $|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}|$的值。
典型例题分析
• 解：$|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}| = \sqrt{(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})^{2}} = \sqrt{|\overset{\longrightarrow}{a}|^{2} + 2\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} + |\overset{\longrightarrow}{b}|^{2}}$$= \sqrt{m^{2} + 2mn\cos\theta + n^{2}}$。
03
平面向量的数乘运算的 应用
在几何中的应用
向量数量积的几何意义
平面向量的数乘运算可以表示向量的 长度和方向，其几何意义可以应用于 解决几何问题中的长度、角度、面积 等问题。
平行四边形的性质
三角形的重心坐标
利用数乘运算可以求出三角形重心的 坐标，从而解决与重心坐标相关的几 何问题。
平面向量向量数乘运算及其几何意义
要点二
数乘运算的数乘分配律
$(\lambda_1\lambda_2)\overset{\longrightarrow}{ a} = \lambda_1(\lambda_2\overset{\longrightarrow}{a} )$。
坐标表示
• 平面向量数乘运算的坐标表示：设 $\overset{\longrightarrow}{a} = (x, y)$，$\lambda$ 为实数，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$夹角是指两个向量之间 的夹角，可以用字母表示。
向量的夹角范围是$[0,\pi]$， 其中$0$表示两个向量同向， $\pi$表示两个向量反向。
向量的夹角可以通过向量的点 积计算得到。
03
平面向量数乘的几何应用
平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等
当两个向量平行时，它们的长度相等且方向相同。
向量的方向
平面向量数乘的结果不仅可以改变向量的长度，还可以改变向量的方向，因此可以用来描述几何图形 的旋转和变形。
与三角函数的联系
三角恒等式
平面向量数乘的结果可以用来表示三角 函数中的恒等式，如 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb等。
VS
向量的夹角
平面向量数乘的结果还可以用来计算两个 向量的夹角，进而用来描述两个向量之间 的角度关系。
• 平面向量数乘运算在坐标表示下的性质：在二维直角坐标系中，如果 $\overset{\longrightarrow}{a} = (x, y)$，$\lambda > 0$，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$，其方向与 $\overset{\longrightarrow}{a}$ 相同；如果 $\lambda < 0$，则 $\lambda\overset{\longrightarrow}{a} = (\lambda x, \lambda y)$，其方向与 $\overset{\longrightarrow}{a}$ 相反。
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解2: 过点B作BE,使 BE AC 连接CE 则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中 点，则D也是AE中点.
Ｃ 由向量加法平行四边形法则有
E
AB AC AE 2 AD 1 AD ( AB AC ) 2
例6: 如图，在 OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
二、知识应用： 1.证明 向量共线； 2.证明 三点共线: AB=λBC 3.证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
A,B,C三点共线；
直线AB∥直线CD
例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
三点共线。 提示：设AB = a BC = b
1 OA (OB OC ), 即OC 2OA OB 2a b. 2
1 (1) D是ABC 中BC 边上一点，且 BD BC ，设 AB a, AC b, 3 A 则AD等于 C ） （
1 A. ( a b) 3 1 C . ( 2a b) 3
1 B. (b a ) 3 1 D. ( 2b a ) B 3
2b
2a
结论: 2a+2b=2(a+b)
三、向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a;
(2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
特别地:（ ） a a a b a b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
（4）证明三点共线方法
例3.OM ma , ON nb , OP a b (a与b不共线)，当M、N、P共线时， 求证： 1 m n
a （3） 的含义： a
小结回顾:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线
例1.计算： （ ） 3） 4a 1（ (2) 3(a b) 2(a b) a (3) (2a 3b c) (3a 2b c）
解: (1) 原式 = -12a (2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b
(3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c
例2
2 1 （ ）已知 e1 , e2均为非零向量，设 a 4e1 e2 , b e1 e 2 , 说明b与a关系 1 5 10
（2） 与b是非零不共线向量, OA 2a b , OB 3a b , OC a 3b a 求证 : AB // BC
（3） 与b是非零不共线向量, 设OA a, OB b , OC 3a 2b a 证明 : A、B、C三点共线
1 OB 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA a， b， 请用
a， b表示向量 ， . OC DC
B
D b E A 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
分析: 解题的关键是建立
OC, OD与a， b
a
解：因为A是BC的中点，所以
O
C
2 2 5 DC OC OD OC OB 2a b b 2a b 3 3 3
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
练习2:
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并比较。
a
3(2a )
结论: 3(2a)=6
a
3(2a )
(2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。
b a
=
6a
2a 2b
a b
A B C D
练习1:
如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)..
a O a -a B -a -a -a P
PB= (-a)+(-a) )+(-a) =-3a
a
a
A
OA= a+a+a =3a
探究: 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运
C.3个
D.4个
例4:若
其中a , b
3m 2n a
m 3n b 是已知向量,求 m ， n
分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过 解方程组获得
解：记 3m 2n
a ①， 3n b m
②
2 1 a b, 5 5 2 1 b a 5 5
3②得 3m 9n 3b ③
3 2 1 3 ①-③得 n 11 a 11 b, m 11 a 11 b
x y
例5 如图所示，已知 OA ' 3OA , A ' B ' 3 AB , 说明 向量 OB 与 OB 的关系．
'
B
'
解： 因为 OB' OA' A' B'
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ , 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ a±λμ b 1 2
如图: ABCD的两条对角线交于点 C M,且 AB a, AD b , 试 D
求 MA, MB, MC, MD.
A M B
思考:
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？ 对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得 b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长 度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时，有b=μa;
当a与b反方向时，有b=-μa， 所以始终有一个实数λ，使b=λa。
定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.
思考：（）为什么规定 0 （2） b 0 , 则情况会怎样？ 1 a 若
2.2 平面向量的线性运算 ——数与向量的乘法
复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b
a a
b
O. B
o.
a+b A B
A
a+b
C
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. b
a
-b
a
b
o.
A B A
o.
a-b
B
a 3a = a + a + a
a
数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 方向放大或缩短.若 a 0 ,当 1时，沿 a 的方 向放大了 倍.当〈〈 时， a 的方向缩短了 倍. 0 1 沿 1 当 1时,沿 a 的反方向放大了 倍.当 〈〈0时， 沿 a 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
AD AB BD
Ａ
1 AB BC 2
1 1 AB ( AC AB ) ( AB BC ) 2 2
（２） 原式左边
Ｂ
Ｄ
Ｃ
AB 2 AB 2BC CA AB 2 AC CA
AB AC 2 AD 右边
所以，所证等式成立
Ａ
Ｂ Ｄ
B
3OA 3 AB
3(OA AB)
o A
A
'
3OB 所以， ' 与OB 共线同方向，长度是OB 的3倍 OB 问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?
反馈演练：
1. 在ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
解：因为
1 (1) AD ( AB AC ) (2)3AB 2BC CA 2 AD 2
D
C
(2) 在平行四边形ABCD中,AB a, AD b, AN 3NC,M为BC的
1 1 中点,则 MN 等于＿＿＿＿＿＿ b a 4 4
分析:由
1 所以 AN 3NC , 得4 AN 3 AC （a b）AM a b, 3 , 2 3 1 1 1 MN (a b) (a b) a b 4 2 4 4
对于实数 和向量a、 m b ，恒有m（a b ma mb; ） 对于实数 、n和向量a m ，恒有(m n)a ma na; 若ma mb(m R),则有a b; 若ma na(m、n R), a 0, 则有m n;
A.1个
B.2个
D
C
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
N A M B
基础知识反馈
(1).设 a
是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 a 的方向相反 C. a a
2
的方向相同 D. a a B. a与 a (2).下列四个说法正确的个数有( C ).
课堂小结：
一、①λ
a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa
②向量共线定理
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
共线
直线AB∥直线CD