2019年高考高三数学一轮统考综合训练题文科

高三文科数学一轮统考综合训练题（九）
一、选择题：共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R 是实数集，{21,M x
N y y x ⎧⎫=<==⎨⎬⎩⎭，则R N C M ⋂= A. ()1,2 B. []0,2 C. ∅ D. []1,2
2.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，112z i =+，i 为虚数单位.则12z z =
A.3
B. 5-
C. 5i -
D. 14i --
3.等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为
A.1
B. 12-
C. 112-或
D. 112
-或 4.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 5.已知圆C 的圆心与双曲线224413x y -
=的左焦点重合，又直线4360x y --=与圆C 相切，则圆C 的标准方程为
A. ()2214x y -+=
B. ()2212x y ++=
C. ()2211x y ++=
D. ()2214x y ++= 6.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><
⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为
A. 1,
6π B. 2,
4π C. 2,3π D. 2,6π
7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm ，图中粗线画出的
是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm
的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为
A. 320cm π
B. 3
16cm π
C. 312cm π
D. 3203
cm π 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章
算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为4，10，则输出的a 为
A.0
B.2
C.4
D.6
9.当102
x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是
A. ⎛ ⎝⎭
B. ⎫⎪⎪⎝⎭
C. (
D. )
10.设S 是实数集R 的非空子集，如果,,,a b S a b S a b S ∀∈+∈-∈有，则称S 是一个 “和谐集”.下面命题中假命题是
A.存在有限集{}{}00，是一个“和谐集”
B.对任意无理数a ，集合{}
,x x ka k z =∈都是“和谐集”
C.若12S S ≠，且12S S ，均是“和谐集”，则12S S ⋂≠∅
D.对任意两个“和谐集” 12,S S ，若12,S R S R ≠≠，则12S S R ⋃=
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点()1,2，则该双曲线的离心率为__________. 12.在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则()A B A C A D +⋅uu u r uuu r uuu r 的值为__________.
13.设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
则23z x y =-的最小值是________.
14.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长
为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6π
θ=，现在向该正方形
区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是
_________.
15.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x kx b =+（,k b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.现有如下函数： ①()3f x x =；②()2x f x -=；③()1,00,0
gx x f x x >⎧=⎨≤⎩；④()sin f x x x =+.
则存在承托函数的()f x 的序号为________.（填入满足题意的所有序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况，该题满分为12分.已知甲、乙两组的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数模糊，记为x .
（I ）求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定；
（II ）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同
学的得分之和低于20分的概率.
17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A,B,C 所对边分别为,,a b c ，已知()sin ()(sin sin )a c A b c B C -=-+. （I
）若b =ABC ∆周长取最大值时，求ABC ∆的面积；
（II ）设()()sin ,1,6cos ,cos 2m A n B A m n ==⋅u r r u r r ，求的取值范围.
18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD=3AB ， 平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM=AB ，,DM DC SM AD =⊥. （I ）证明：BM ⊥平面SMC ；
（II ）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分
别为1V V 与，求1V V
.
19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1112n n
a a +-=，且11,2a n N +=∈. （I ）设数列{}n
b 的前n 项和为n S ，若数列{}n b 满
足
)()()1
22212n n n n k b k N a a n k ++=-=∈=⎪⎪⎩，求64S ；
（II ）设1231111n n T a a a a =
+++⋅⋅⋅+，是否存在常数c ，使n T n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
为等差数列，请说明理由
.
20. （本小题满分13分）
已知圆()22:11M x y ++=，圆()2
2:125N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.
（I ）求曲线C 的方程；
（II ）过曲线C 上的一点81,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
作两条直线分别交曲线于A,B 两点，已知OA,OB 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率.
21. （本小题满分14分）
已知函数()ln x f x x e ax =-+，其中a R ∈，令函数()()1x g x f x e =++. （I ）当1a =时，求函数()1f x x =在处的切线方程；
（II ）当a e =-时，证明：()1g x ≤-；
（III ）当a e =-时，试判断方程()ln 12x g x x =
+是否有实数解，并说明理由.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为ρsin 2θ+4cosθ=0．
（Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设M （﹣2，0），求|
﹣|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f （x ）=|2x ﹣1|+3x ﹣4，记不等式f （x ）＜﹣3的解集为M ．
（Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）当x ∈M 时，证明：x [f （x ）]2﹣x 2|f （x ）|＜0．
高三文科数学一轮统考综合训练题（九）答案
22、解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得y=（x﹣2），
∴直线l的普通方程为=0．
由ρsin2θ+4cosθ=0，得ρ2sin2θ+4ρcosθ=0，
又∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的普通方程为y2=﹣4x．
（Ⅱ）设A，B对应的参数为t1，t2，
将代入y2=﹣4x，得：3t2+4t﹣8=0，∴，t1t2=﹣，
∵直线l的参数方程为可化为，
∴|MA|=|2t1|，|MB|=|2t2|，∴|﹣|===．
23、（Ⅰ）解：依题设，当x时，由f（x）=x﹣3＜﹣3，解得x＜0，此时x＜0，；
当x＞时，由f（x）=5x﹣5＜﹣3，解得x，此时x∈∅．
∴f（x）＜﹣3的解集为M=（﹣∞，0）．
（Ⅱ）证明：当x∈M时，要证x[f（x）]2﹣x2|f（x）|＜0，
只需证[f（x）]2﹣x|f（x）|＞0，
由（Ⅰ）知，当x∈M时，f（x）=x﹣3，
∴[f（x）]2﹣x|f（x）|=（x﹣3）（2x﹣3），
又∵x﹣3＜0，2x﹣3＜0，∴[f（x）]2﹣x|f（x）|＞0，
∴x[f（x）]2﹣x2|f（x）|＜0．。