第十五讲(无穷级数)ppt
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无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
第十五讲(无穷级数)ppt
将z 在
x a 代入展开式
上的正弦或余弦级数 .
二 . 实例分析
例 1. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:Biblioteka 解 : (1) 令则
( P375 例 1 )
e n1 (n 1) ! n 1 (n 1) un 1 n e n! un nn
故
1 ( n 1, 2 , )
21?2???nnnn??n??n222112nnp393例6n??xn?n???021?xsnn??xnn??21??2x2???n?nxx??22???n?nxx??122?n?xx2212xx?1?221?1?02???????snnnn的收敛域为2设1?122???n??xnxxsn??????2112nnnxx??n????21121nnxx0?x????12nnnxx??n??321nnxx??n???1212nnxxx2212xxx??21?122???n??xnxxsn??n????1212nnxxxxs???1n?nnx???10n?2?1xnxdx??xdxx??0nn????11??01?xxxd1lnx??1421ln21???????xxxxxxs故????22211nnn例17
上展成付氏级数
ba 将z x 代入展开式 2
在 上的付氏级数 .
方法 2.
令x
z a , 即 z xa
F ( z ) f ( x ) f ( z a ) , z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
2) 利用拆项相消法 ( 也叫裂项法 ) 求和 .
n
例如
•
1 k 1 ( 2k 1)( 2k 1) 1 1 1 n 1 1 ] [ ] [1 2 2n 1 2 k 1 2k 1 2k 1
x a 代入展开式
上的正弦或余弦级数 .
二 . 实例分析
例 1. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:Biblioteka 解 : (1) 令则
( P375 例 1 )
e n1 (n 1) ! n 1 (n 1) un 1 n e n! un nn
故
1 ( n 1, 2 , )
21?2???nnnn??n??n222112nnp393例6n??xn?n???021?xsnn??xnn??21??2x2???n?nxx??22???n?nxx??122?n?xx2212xx?1?221?1?02???????snnnn的收敛域为2设1?122???n??xnxxsn??????2112nnnxx??n????21121nnxx0?x????12nnnxx??n??321nnxx??n???1212nnxxx2212xxx??21?122???n??xnxxsn??n????1212nnxxxxs???1n?nnx???10n?2?1xnxdx??xdxx??0nn????11??01?xxxd1lnx??1421ln21???????xxxxxxs故????22211nnn例17
上展成付氏级数
ba 将z x 代入展开式 2
在 上的付氏级数 .
方法 2.
令x
z a , 即 z xa
F ( z ) f ( x ) f ( z a ) , z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
2) 利用拆项相消法 ( 也叫裂项法 ) 求和 .
n
例如
•
1 k 1 ( 2k 1)( 2k 1) 1 1 1 n 1 1 ] [ ] [1 2 2n 1 2 k 1 2k 1 2k 1
高数无穷级数复习(课堂PPT)
2 !
n !
x(1,1)
23
二、例题 n1
例1
判
断
级:数 (1)敛
散 n n
性 ;
解
1
1
nn nn
nn
un (n 1 )n
(1
1
, )n
n1(n1)n n
n
n2
ln i (1 m n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
又 lim nn 1 n
ln im un10,
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x( , )
co x s 11x 21x 4 ( 1 )n x 2n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
22
ln1(x)x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
23
n
x(1,1]
(1x )
1 x ( 1 )x 2 ( 1 ) (n 1 )x n
任意项级数
1. 若SnS,则级数;收敛 2. 当 n,un0,则级数 ; 发散 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
4
2、幂级数
(1) 收敛性
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
a.代数运算性质:
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
R m R 1 ,iR 2 n
加减法
anxn bnxn cn xn .
n0
n0
n0
x R ,R
高等数学-无穷级数ppt
级数分类
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学-无穷级数课件
lim
n
Sn
lim na
n
所以级数
aq
n 1
发散.
n 1
当
q
1时， aqn1
1n1，a 其前n项和
n 1
n 1
a，当n为奇数时 Sn 0，当n为偶数时
显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数
aq
n发1 散.
n 1
综上所述，等比级数
aq
n
，1 当
q
1 时收敛,
当
q 1
n 1
时发散.结论记住
注意 几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函
数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
2．数项级数的基本性质
性质1
如果级数
u
n
收敛，其和为s,
k为常数，则级数
n 1
ku
n
也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数 kun也发散.
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质5只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
件，也就是说，即使
lim
n
un
0 ，也不能由此判定级
数
un
n 1
收敛.下面的例正说明了这一点：lim 1
n n
0
，
但级数
1
发散.
n n 1
例7
证明调和级数
1
是发散级数.
n n1
证
调和级数部分和
Snn1如图，源自u收敛．n
n 1
无穷级数
第5章无穷级数无穷级数是研究函数的一个重要的工具，在许多抽象理论和应用学科中，都处于重要的地位. 无穷级数就其实质而言，是极限理论的深入，它包括常数项级数和函数项级数两部分. 利用级数不仅可表示初等函数，也可以表示很多有用的非初等函数，进而用级数来研究这些函数，例如可用幂级数来研究复杂函数的性质；还可以加深对中小学数学理论的理解，例如关于循环小数的理论，中学数学用表的制作等. 本章先讨论常数项级数，而后在函数项级数中重点介绍幂级数和三角级数.5.1常数项级数的概念和性质5.1.1 常数项级数的概念定义5.1设为无穷数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式，（5.4）称为常数项级数或无穷级数，简称为级数，其中称为常数项级数的通项或一般项. 此级数也常写作记称为级数的部分和，部分和构成的数列记为定义5.2若级数的部分和数列有极限，即，则称级数收敛，为其和，此时，如果不存在，则称级数发散．由于级数收敛等价于其部分和数列收敛，因此，级数收敛和数列收敛有着极为密切的关系：级数与数列同时收敛或同时发散. 如果级数收敛于，则部分和，它们之间的差称为级数的余项. 显然有，而是用近似代替所产生的误差.例1判断级数的收敛性.解，，所以，，即级数收敛，其和为1.例2证明发散．证此数项级数的部分和数列为显然这个部分和数列发散，因此由级数收敛的定义知，此数项级数发散．例3讨论等比级数（或称几何级数）（5.5）的收敛性，其中.解当时, 级数的部分和为.当时, 由于，故数列有极限，即级数(5.5)收敛，其和为.当> 1时, 由于, 故，即数列没有极限, 所以级数(5.5)发散.当时, ，数列没有极限, 所以级数(5.5)发散.当时, 级数为，由例2知，此级数发散，即级数(5.5)发散.由上面的讨论可知，等比级数当<1时收敛；当1时发散.例如级数是公比的等比级数，<1,故该级数收敛，且其和为=2 .而级数是公比的等比级数，，则级数发散.例4证明调和级数发散.证所以，调和级数发散.5.1.2 级数收敛的基本性质性质1 如果级数收敛于，则级数收敛于，其中是常数. 也就是说,当级数收敛时, 有= k.证设级数的部分和为，级数的部分和为，则，，这就说明级数收敛，且和为.由极限的性质知道，当0时，极限与必同时存在或同时不存在，故级数与级数具有相同的收敛性.性质2如果级数与级数均收敛，其和分别是与，则级数也收敛，且其和为，即== s.证设级数和级数的部分和分别是和，则级数部分和为于是所以，收敛。
无穷级数课件
un vn
1 n 0 n!
收敛.
un 和 v n
n 1 n 1
是两个正项级数，
(1)若级数 vn 收敛，则级数
n 1
u n 也收敛；
n 1
(2)若级数
u n 发散，则级数
n 1
v n 也发散.
n 1
P 级数 1（ P 0 ）的敛散性 例2 讨论 p n 1 n 1 1 ，因为 1 发散，所以由比较判别法知， 解 当 P 1时，n p n n 1 n
数 u n 收敛.下面的例9正说明了这一点： 0 ， lim n n
n 1
1
但级数 1 n 1
n
发散.
例7 证
证明调和级数 1 是发散级数. n 1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
调和级数部分和 S n 1 如图，
n k 1
k
考察曲线
1 y , x 1, x n 1和y 0 x
A Ak 1
k 1 n n 1
1 dx ln x |1 n ln n 1 1 x
而
lim ln1 n
n
，表明A的极限不存在，所以该级
数发散.
二、正项级数及其敛散性
如果 u n ≥0（n=1,2,3…），则称级数
u n 为正项级数
n 1
1 n 1 1收敛. n 1 n 1 2 nn 1
注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
1 n 0 n!
收敛.
un 和 v n
n 1 n 1
是两个正项级数，
(1)若级数 vn 收敛，则级数
n 1
u n 也收敛；
n 1
(2)若级数
u n 发散，则级数
n 1
v n 也发散.
n 1
P 级数 1（ P 0 ）的敛散性 例2 讨论 p n 1 n 1 1 ，因为 1 发散，所以由比较判别法知， 解 当 P 1时，n p n n 1 n
数 u n 收敛.下面的例9正说明了这一点： 0 ， lim n n
n 1
1
但级数 1 n 1
n
发散.
例7 证
证明调和级数 1 是发散级数. n 1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
调和级数部分和 S n 1 如图，
n k 1
k
考察曲线
1 y , x 1, x n 1和y 0 x
A Ak 1
k 1 n n 1
1 dx ln x |1 n ln n 1 1 x
而
lim ln1 n
n
，表明A的极限不存在，所以该级
数发散.
二、正项级数及其敛散性
如果 u n ≥0（n=1,2,3…），则称级数
u n 为正项级数
n 1
1 n 1 1收敛. n 1 n 1 2 nn 1
注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
级数教学ppt课件
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
25
例2
讨论无穷级数
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
的收敛性.
解
un
1 (2n 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
,
Sn
1 1 3
1 35
1 (2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
n1
n1
n1
注意：不能去括号 20
例4 已知 (1)n1 un 2 , u2n1 5 , 求 un .
n1
n1
n1
解 (u2n1 u2n ) 8 , 记 S n u 1 u 2 u n ， n1
所以
lim
n
S2n
8
,
由性质2，
lim
n
lim
n
S S
2n
2n1
S
S
lim
n
Sn
S
,则称无穷级数
un 收敛,
n1
这时极限 S 叫做级数 un 的和，并写成
n1
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
3
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如 果 q 1，
Sn
a
aq
aq2
aq n1
a aqn 1q
，
当q 1时,
lim qn 0
n
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0
tan x d x un
n
练 习
设 un 4 tan n x d x 0
1 (1) 求 (un un 2 ) 的值 ; n1 n un (2) 试证级数 ( 0) 收敛 . ( 1999 考研 ) n 1 n 1 提示 : (1) 利用 un un 2 n 1 1 un 1 1 1 (2) 利用 un , n (n 1) n n 1 n
展开
an x
n
积分或求导
n
* n an x
(2) 函数的付氏级数展开法 ( P397, 2 ) 主要注意以下三方面的问题: 1) 付氏级数展开的基本公式 ( P 397 ) 说明: 展开式只对连续点成立 . 2) 求付氏系数的技巧: 利用周期性和奇偶性 简化计算. 若 f (x) 以 T 为周期 , 则有
k 1
(1 2 ) ( n 2 n 1 ) 1 1 2 n 2 n 1
(2) 利用正项级数判敛法 (参考 P373 表6-1 ) 必要条件 满足
比值审敛法
不满足 发 散
1
比较审敛法
根值审敛法
不定 积分判别法 用它法判别 部分和极限
说明 (P374 说明) :
n
a
n 0
n
x
逐项求导或求积分
n
* n an x
难
求和 对和式积分或求导
S ( x)
S ( x)
*
端 点 收 敛 性 可 能 变
在 收 敛 区 间 内 进 行
3) 转化为方程求解
导出和函数满足的方程
4) 数项级数求和
直接求和: 直接变形 , 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
2n 1 2
n
.
n 1
Sn
1S 2 n
1 1 2n 1 1 n1 n 1 2 2 2
Sn 3
1 2
n2
2n 1 n , 故 lim S n 3 , n 2
这说明原级数收敛 , 其和为 3 .
例 2. 判别
的敛散性, 若收敛, 求其和.
进行拆项相消
1 1 1 2 1 2 (n 1)( n 2) 1 1 lim S n , 这说明原级数收敛 , 其和为 . n 4 4
2n 1 1 3 5 Sn 2 3 n (3) n . 2 2 2 2 2 n 1 5 2n 1 1 3 1 Sn 2 Sn 2 3 n 2 2 2 2 3 5 2n 1 1 2 3 4 n 1 2 2 2 2
当
( n 1)
(
在
与
之间 )
难点: ① 求
时 , “～” 改为 “ = ” 号. ② 证明
说明 : 求 f (x) 的幂级数与把 f (x) 展开成幂级数不是 一回事. 前者不考虑收敛问题 , 用记号“～” 表 后者 示, 必须级数收敛于 f (x) , 用 “ = ” 号表示 . 例如,
( n 1, 2 , ) 0 2 0 n f ( x) ～ 0 0 x x x 2! n!
n lim 2 n (ln n )
利用比较判别法知原级数发散 .
(2)
1 n)
2
n2 ( ln
;
法2. 由于
1 相应函数 f ( x) 在 x ln x 1 考查弱级数 n ln n n2
非负单调递减 ,
1 由P373积分判别法， 发散 n 2 n ln n
1
收 敛
1
发 散
比值法使用方便 , 根值法应用广些 .
(3) 任意项级数判敛法 ( P374 , 5 ) 绝对收敛 : 级数 收敛 收敛
( 可用正项级数 判敛法判别 )
条件收敛 : 交错级数
若 说明 : 证明 证
发散
敛散性判别法 : 且 则级数收敛 . 莱布尼兹判别法
的方法: ( P375 ) 证
3) 奇偶延拓及周期延拓的方法
例如 , 定义在任意有限区间上的函数付氏展开方法
方法 1.
ba ba , 即 z x 令x z 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2
周期延拓
ba ba F ( z) 在 , 2 2
上展成付氏级数
ba 将z x 代入展开式 2
在 上的付氏级数 .
方法 2.
令x
z a , 即 z xa
F ( z ) f ( x ) f ( z a ) , z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
2) 对非标准形式 (缺项或通项为复合式)的幂级数
求收敛域有两种方法 :
但收敛域必须 通过代换 转化成标准形式讨论 回到原变量
将 x 看作参数 , 利用数项级数判敛法解不等式
(2) 幂级数的和函数的求法 ( P.385 , 2 ) 1) 初等变形 分解套用已知公式 ; 求部分和等
2) 分析变形 变换求和与求导或求积分的顺序
2n 1
2n 1 1 1 1 1 1 2 3 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 1 n 1 1 1 2n 1 1 1 2n 1 1 2 n 1 1 n1 n 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2
(3)
因此原级数仅为条件收敛 .
例 6. 试证明交错级数 分析 : 此级数虽然为交错级数 , 但
条件收敛 . (P380 例 4)
u2 n
不满足
1 , u2 n 1 2 n 1
1 , 2n
u2 n1 u2 n
故无法应用莱布尼兹法则 . 但是莱布尼兹法则是判敛的充分条件,而非必要条件,
因此必须另找其它方法 .
n 1
tan x d x
n
(P377 例 2)
解 : (1) 由于
利用比值判敛法可知强级数
2n
n
n 1
收敛 ,
于是根据比较判敛法知原级数收敛 .
(2)
1
2 ( ln n ) n2
;
法1. 考查
因为
x lim f (x ) lim 2 x x ln x x x lim lim x 2ln x x 2
1 lim S 而 ) 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 ) lim ( S 2 n n
n
S
n
n
2n
例 6. 试证明交错级数
3. 函数的幂级数及付式级数展开法 (P395 - P408 ) (1) 函数的幂级数展开法 ( P295 , 1 )
1) 直接展开法 适用于: 在点 利用泰勒公式 的某邻域函数的高阶导数有界,
且在
的高阶导数表达式有规律可寻 ( 时 为麦克 劳林级数 )
～
( ) n 1 Rn ( x) ( x x0 ) (n 1) ! f
解:
ln( n 1) ln( n 1) 2 ln n
利用 “拆项相消”
ln( 1 1 ) ln 2
n
, 故原级数收敛 , 其和为
例 3. 判断下列级数的敛散性 2 n
(1)
n cos 2
4
n 1
n
2
;
(2)
n2
( ln n)2 ;
1
(3)
0
从而
这说明级数
发散 .
1 (2) 3 2 n 3 n 2n n 1 1 1 因 n3 3n 2 2n n(n 1)( n 2) 1 1 1 ( n 1, 2 , ) 2 n(n 1) (n 1)( n 2) n n 1 1 1 1 Sn 3 2 2 k 1 k (k 1) (k 1)( k 2) k 1 k 3k 2k
将z 在
x a 代入展开式
上的正弦或余弦级数 .
二 . 实例分析
例 1. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
解 : (1) 令
则
( P375 例 1 )
e n1 (n 1) ! n 1 (n 1) un 1 n e n! un nn
故
1 ( n 1, 2 , )
a (2) sin( n ) ln n n2
(a 0)
a a n ) (1) sin 因 sin( n ln n ln n
n 充分大 a 0 ln n 2
对充分大的 n , 原级数化为交错级数 , 又知
a a sin sin ln n ln (n 1) a lim sin 0 a ln n n sin ln n 1 lim 所以原级数收敛 , 但因 a n ln n
f
(Hale Waihona Puke )(0) 0这说明只有 x = 0 时 f (x) 才能展成幂级数 .
2) 间接展开法 转化为已知展式的函数 ( P396 ) 变量代换法 . 例如
分解法
例如分解
1 2 n ( x ) n! n 0
且 展式已知 .
*
利用微分和积分变形
f ( x)
难
求导或求积分
n
f ( x)
a (2) sin( n ) ln n n2
解 : (1) u n