第七章 7.2一元二次不等式及其解法
2021届高考数学一轮必备 7.2《一元二次不等式及其解法》考情分析学案(1)
一元二次不等式及其解法考情分析1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．基础知识1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左侧化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确信一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确信受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有紧密联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．假设一元二次不等式通过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(现在Δ＝b 2－4ac ＞0)，那么可依照“大于取两边，小于夹中间”求解集．2.(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号阻碍不等式的解集；不要忘了二次项系数是不是为零的情形；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；假设不能因式分解，那么可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 题型一 一元二次不等式的解法【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，那么x 0的取值范围是( )A. (－∞，－ 1)∪(1，＋∞)B. (－∞，－1)∪[1，＋∞)C. (－∞，－3)∪(1，＋∞)D. (－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案：B解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1⇔x 0≥1，或x 0<－1.【变式1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的概念域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的概念域为[1,3)． 答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】7. 假设不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，那么a 的取值范围是________．答案：a ≥－5解析：由题意，分离参数后得，a ≥－(x ＋4x)，设f (x )＝－(x ＋4x)，x ∈(0,1]，那么只要a ≥[f (x )]max 即可，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，因此[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5. 【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0， 即0＜x ＜2a.当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜0.题型三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4a ＋2a －1＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，a －2a ＋3＞0，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，因此a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．【变式3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]． 重难点冲破【例4】设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)假设x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数． [解析] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋x －a 2x＝(x －a )(2ln x ＋1－a x)．因为x ＝e 是f (x )的极值点，因此f ′(e)＝(e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a e ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经查验，符合题意，因此a ＝e 或a ＝3e(2)①当0＜x ≤1时，关于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，第一有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2， 解得3e －2e ln 3e≤a ≤3e＋2e ln 3e由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝⎛⎭⎪⎫2ln x ＋1－a x .令h (x )＝2ln x ＋1－a x，那么h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2e ln 3e 3e＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.又h (x)在(0，＋∞)内单调递增，因此函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，那么1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 因此要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝x 0－a 2ln x 0≤4e 2，1f 3e ＝3e －a 2ln 3e ≤4e 2，2成立．由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0＞1，注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e.再由(3)和函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e. 由(2)解得，3e －2e ln3e≤a ≤3e＋2e ln 3e.因此3e －2e ln 3e≤a ≤3e.综上，a 的取值范围为3e －2e ln 3e≤a ≤3e.巩固提高一、选择题1.已知集合M ＝{y |y ＝2x ，x >0}，N ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，那么M ∩N 为( ) A. (1,2) B. (1，＋∞) C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)答案：A解析：集合M ＝{y |y >1}，集合N ＝{x |0<x <2}，因此M ∩N ＝(1,2)． 2. 不等式x 2－4>3|x |的解集是( )B. (－∞，－1)∪(4，＋∞)C. (－∞，－4)∪(1，＋∞)答案：A解析：∵|x |2－3|x |－4>0， ∴(|x |－4)(|x |＋1)>0，∴|x |>4，x >4或x <－4，选A 项．3. 在R 上概念运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A. 1B. 2C. 4D. 8答案：C解析：(x －a )⊗(x －b )>0，即(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，该不等式的解集为[2,3]，说明方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.4.不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A. {x |1<x <2}B. {x |x <2且x ≠1}C. {x |－1<x <2且x ≠1}D. {x |x <－1或1<x <2} 答案：D解析：(x －2)(x 2－1)<0， (x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2，应选D 项．5.已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，那么实数a 的取值范围是( ) A. a <－35或a >1B. －35<a <1C. －35<a ≤1或a ＝－1D. －35<a ≤1答案：D解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0. 解得－35<a <1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35<a ≤1.。
7-2一元二次不等式及其解法 课件【共102张PPT】
则原不等式的解集是x2<x<1a
；
当a＝12时，原不等式的解集是∅；
当a>12时，1a<2，则原不等式的解集是x1a<x<2
.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2，即原不等式的解集是{x|x>2}．
(3)当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a<0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)x－1a>0， 由于1a<2，故原不等式的解集是
角度Ⅱ.含参二次不等式的解法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0. (1)当a>0时，原不等式可以化为a(x－2) x－1a <0，根据不等式的性质，这个不等 式等价于(x－2)·x－1a<0. 因为方程(x－2)x－1a＝0的两个根分别是2，1a， 所以当0<a<12时，2<1a，
k1－k2或x>1－
1－k2 k
；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R.
解/题/感/悟(小提示，大智慧) 对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨 论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需 要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总 之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根 的大小！
(1)解析：由不等式x(1－2x)＞0，得不等式x(2x－1)＜0，解得0＜x＜12. (2)解析：当a＜0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为 x－1a (x－2)>0，解得x>2或 x<1a；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.
#7.2一元二次不等式及其解法
2.
aa12 x2.
综上, 当a>1时, 原不等式解集为 {x|xa a 1 2或x2}; 当0<a<1时, 原不等式解集为 {x|2xaa12};
当 a=0时, 原不等式解集为∅ ;
当 a<0时, 原不等式解集为 {x|aa12x2}.
例5. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
x
2}.
高三数学第一轮复习
临沂第一中学 李福国
不等式的基本性质 两个实数大小的比较
不
一元二次不等式及 其解法
不等式的实际应用
等
关
系 及
二元一次不等式(组) 与平面区域
简单的线性规划问题
不
等
式
基本不等式
最大(小) 值问题
绝对值不等式
绝对值的解法
1.一元二次不等式的解集
Δ=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g (x) 2 x2 9 x ,x [2 ,3 ],
则问题转化为 m≤g(x)min
gm in(x)g(3)9,m≤9.
（1）变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够 将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于 不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化 归为解关于参数的不等式的问题．
所以 a ≥ 1，故选 C
由不等式 xy ≤ ax2 2 y2 ，可以得到
a≥
xy 2 y2 x2
(完整版)高中数学一元二次不等式及其解法-知识点剖析
一元二次不等式及其解法-知识点剖析一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1）ax 2+bx+c>0（a>0）； （2）ax 2+bx+c<0（a>0）.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2+bx+c=0的根确定.设Δ=b 2-4ac ，则： ①Δ>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的解x 1、x 2，则不等式（1）的解集为{x|x>x 2或x<x 1}，不等式（2）的解集为{x|x 1<x<x 2}；②Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的解，即x 1=x 2，则不等式（1）的解集为{x|x≠x 1}，不等式（2）的解集为；③Δ<0时，方程ax 2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解集为. 2．解一元二次不等式的一般步骤：当a>0时，解形如ax 2+bx+c>0（≥0）或ax 2+bx+c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定对应方程ax 2+bx+c=0的解； （2）画出对应函数图象的简图； （3）由图象得出不等式的解集.二、一元二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系 由下表可以看出ax 2+bx+c>0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆>，，00a ax 2+bx+c<0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆<.00a ，判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根 有两相异实根x 1，2=aacb b 242-±-有两相等实根x 1=x 2=-a b 2 没有实根一元二次不等式的解集 ax 2+bx+c >0（a>0） {x|x>x 2或x<x 1}{x ∈R |x≠-ab2} Rax 2+bx+c <0（a>0）{x|x 1<x<x 2}φφ三、简单的分式不等式的解法 分式不等式同解不等式四、简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f （x ）>0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是： （1）将f （x ）最高次项的系数化为正数；（2）将f （x ）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）；（4）根据曲线显现出的f （x ）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0.解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）≤0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为{x|x≤-2或1≤x≤2或x=-1}. 知识探究问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题?探究：①要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x 2-2x-1<0，需首先转化为x 2+2x+1>0求解. ②若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论.例如：解关于x 的不等式ax 2-（a+1）x+1<0.首先对a 进行讨论，若a=0，原不等式⇔-x+1⇔{x|x>1}；若a<0，原不等式⇔（x-a 1）（x-1）>0⇔{x|x<a 1或x>1}； 若a>0，原不等式⇔（x-a1）（x-1）<0.①其解的情况应由a1与1的大小关系进行确定，故当a=1时，式①⇔{x|x ∈}；当a>1时，式①⇔{x|a1<x<1}；当0<a<1时，式①⇔{x|1<x<a1}.注：对上述类型的二次不等式要搞清楚讨论的依据. 问题2：解简单的分式不等式应该注意哪些问题？探究：对于简单的分式不等式不能直接去分母，要把不等号的一边化为0，然后用商的符号法则化为不等式（组）求解.例如：解不等式1x 15x ++<3，应先将不等式转化为1x 15x ++-3<0，即1x 1)2(x +-<0，可化为⎩⎨⎧>+<-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+>-0101x ，x ，（即化为不等式①），也可直接等价于2（x-1）（x+1）<0（转化为不等式）来求.还应注意对含等号的分式不等式，首先保证分母不为0. 例如：解不等式1x 15x ++≤1⇔1x 1)2(x +-≤0⇔⎩⎨⎧>+≤-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+≥-0101x ，x 或直接等价于()()⎩⎨⎧≠+≤+-.010112x ，x x 练习请你和你的同学根据下面所给的材料，探究、讨论窗户应设计成怎样的尺寸.要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图3-2-4所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?图3-2-4。
7.2一元二次不等式及其解法
§7.2 一元二次不等式及其解法(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是［-12 , -31］，则不等式x 2－bx －a <0的解集是 ( )A.(2,3)B.(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 2.不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为 ( )A.{x |0<x <3}B.{x |x <0，或x >3}C.{x |－2<x <1}D.{x |x <－2，或x >1}3.不等式4x －2≤x －2的解集是 ( ) A.(－∞，0］∪(2,4］ B.［0,2)∪［4，＋∞)C.［2,4)D.(－∞，2］∪(4，＋∞)4.(2010·全国Ⅱ)不等式x －3x ＋2<0的解集为 ( ) A.{x |－2<x <3} B.{x |x <－2}C.{x |x <－2，或x >3}D.{x |x >3}5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1 (a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈［－1,1］时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是 ( )A.－1<b <0B.b >2C.b <－1或b >2D.不能确定二、填空题(每小题6分，共24分)6.不等式2－x x －1≥0的解集是 . 7.(2010·全国Ⅰ)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 . 8.若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x ＋6)＋f (x )<2f (4)的解集为 .9.在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y ).若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是 .三、解答题(共41分)10.(13分)解不等式：log 12(3x 2－2x －5)≤log 12(4x 2＋x －5).11.(14分)当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是全体实数？12.(14分)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.答案 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C6.(1,2］7. {}x | －2＜x ＜－1或x ＞28. (0,2)9. ⎝⎛⎭⎫－12，32 10. 解 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2x －5≥4x 2＋x －5， ①4x 2＋x －5>0， ② 解①得x 2＋3x ≤0，即－3≤x ≤0.解②得x >1或x <－54. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3≤x <－54. 11. 解 ①当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立；若a ＝－1，原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集是全体实数的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1. 综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解集是全体实数. 12. 解 (1)依题意，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 又售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为x ∈［0,2］.(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是［12, 2］.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法课件(理)
b(a≠0)的形式．当 a＞0 时，解集为
；当 a＜0 时，解集为
．若
关于 x 的不等式 ax>b 的解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是
．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，
称为___Байду номын сангаас______不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的
类型二 一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0;
(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1＜0;
(4)x2－2x＋2＞0.
解：(1)方程 x2－7x＋12＝0 的解为 x1＝3，x2＝4. 而 y＝x2－7x＋12 的图象开口向上，可得原不等式 x2－7x
＋12＞0 的解集是{x|x＜3 或 x＞4}．
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
①
②
{x|x1＜x＜x2}
∅
无实根 R ③
4.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为 0， 左边化为gf（（xx））的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
gf（（xx））＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0；
gf（（xx））＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
于号取 ，小于号取 ”求解集．
(4)一元二次不等式的解：
函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式及解法课件
例1：解不等式4x2-4x +1>0
解： 因为△= 16 -16 =0
另解:由于4x2-4x+1
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
=(2x-1)2≥0
x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
或 ax2 bx c 0(a 0)又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
△>0 y
x1 O x2 x
△=0 y
a(ax>2+0b)的x+根c大小=0 于于有x100,两x在夹2相(x异两中1<实x边间2根) ，有x两O1=相xx2=等1 实2ba根x
新知讲解
一元二次不等式
形如 x2 5x 0 这样只含一个 未知数，并且未知数最高次数 为2的不等式。
探究新知
思考：
那么一元二次不等式 x2 5x 0 怎样
去求解呢？
探究新知
y
我们来考察它与其所对的二次
y>0,x轴
函数 y x2 5x 的关系：
上方
（1）当 x 0 或 x 5 时，y 0
●
O
（2）当 x 0 或 x 5 时，y 0
（3）当0 x 5 时，y<0
●
x
5
y=0，x
轴上
y<0，x轴 下方
结论：
结合图像知不等式 x2 5x 0 的解集
是 {x | 0 x 5}
一元二次不等式及其解法 高考数学真题详细解析 高考数学真题复习
7.2 一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．(－1,2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2] 解析 ∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎨⎧x ＋x －，x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]． 答案 B2. 若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1,选B. 答案 B3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )． A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A4. 已知全集U 为实数集R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －m >0，集合∁U A ＝{y |y ＝x 13，x ∈[－1,8]}，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析 集合∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ＝x 13，x ∈[－1，8]＝[－1,2]，故不等式x ＋1x －m >0，即不等式(x ＋1)(x －m )>0的解集为(－∞，－1)∪(m ，＋∞)，所以m ＝2. 答案 A5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )． A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是 (－2,1)． 答案 B6．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152 B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7]解析 由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8. 答案 C7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )． A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B ．[－3，－1] C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C 二、填空题8．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 解析 原不等式等价于⎩⎨⎧x ＜－1，－x －1－－x或⎩⎨⎧－1≤x ≤3，x ＋1－－x 或⎩⎨⎧x ＞3，x ＋1－x －，解得1≤x ≤3或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ≥1}．答案 {x |x ≥1}9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1.②⎩⎨⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0.综上可知：－1＜x ＜2－1. 答案 (－1，2－1)10．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________． 解析 由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]． 答案 (－∞，－1]11．已知f (x )＝⎩⎨⎧1x －2x，－x 2－x ＋x ，则不等式f (x )≤2的解集是________．解析 依题意得⎩⎨⎧1x －2≤2，x >2，或⎩⎨⎧－x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得x ∈(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.答案 (－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞12．若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________．解析 (等价转化法)将原不等式化为：m (x 2－1)－(2x －1)＜0.令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )＜0恒成立，只需⎩⎨⎧f －＜0，f＜0即可，即⎩⎨⎧－x 2－－x －＜0，x 2－－x －＜0，解得－1＋72＜x ＜1＋32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32 【点评】 本题用改变主元的办法，将m 视为主变元，即“反客为主”法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决. 三、解答题13．已知f (x )＝2x 2－4x －7，求不等式f x－x 2＋2x －1≥－1的解集．解析 原不等式可化为2x 2－4x －7－x 2＋2x －1≥－1，等价于2x 2－4x －7x 2－2x ＋1≤1，即2x 2－4x －7x 2－2x ＋1－1≤0， 即x 2－2x －8x 2－2x ＋1≤0. 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0. 所以原不等式等价于⎩⎨⎧x 2－2x －8≤0，x 2－2x ＋1≠0.即⎩⎨⎧－2≤x ≤4，x ≠1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x <1或1<x ≤4}． 14．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )，x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可． 解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0， ∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数． 则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.15．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)． (1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500，由月利润不少于1 300(元)，得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元． 16．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解析 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1； (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. ①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1；③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.。
7.2__一元二次不等式及其解法
(1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. 思维启迪 首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.
由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，
f f
((2)2)00,即2x22x2
2x 2x
3 1
0
0
① ②
9分
解①, 得x 1 7 或x 1 7 ,
2
2
解②, 得 1 3 x 1 3 .
2
2
由①②得 -1 7 x 1 3 .
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
A. ( 1 , 1) 32
B. (, 1) (1 ,) 32
C. ( 1 , 1) 23
D. (, 1) (1 ,) 23
（）
解析 不等式 ( 1 x)(x 1) 0,
2
3
同解于( x 1 )(x 1) 0,
23
又∵相应方程 ( x 1 )(x 1) 0 的两根为 23
x1
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
当a=1时,有x≠1, 此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}. 综上可知:当a<0或a>1时, 原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
高考数学一轮复习 专题7.2 一元二次不等式及其解法(练)
专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【答案】92．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【答案】{x |－1<x <2}【解析】∵2x 2－x <4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．【答案】{x |x ＞1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【能力提升】11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－3212．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}【解析】法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.。
高考数学一轮复习 专题7.2 一元二次不等式及其解法(讲
专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。
一元二次不等式及其解法课件
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的_根__是二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的_零__点__．___
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴 方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象 的开口方向向下．
(2)若a＜0，则2a＜x＜－a， 此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}； (3)若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为 当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}； 当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}； 当a＝0时，∅.
三个“二次”之间的关系 一元二次不等式解集的端点，即对应二次方程的 根，也是对应二次函数的零点．
一元二次不等式的解法
一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标 准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过 方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；
解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类 讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次 项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根 的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层 次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】 解答本题通过因式分解，结合二 次函数图象分类讨论求解． 【解】 方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
7.2 一元二次不等式及其解法
7.2 一元二次不等式及其解法一、填空题1.若a<0,则不等式22230x ax a --<的解集是 .解析 ∵22230x ax a --=, ∴123x a x a =,=-. 又a<0,∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}.答案 {x|3a<x<-a}2．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 解析 由x 2－2x －3<0，得(x －3)(x ＋1)<0，即－1<x <3.∴A ＝{x |－1<x <3}．又∵B ＝{x |1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |1≤x <3}．答案 {x |1≤x <3}3.已知不等式ax 2＋bx ＋1≥0的解集为{x|－5≤x≤1}，则a ＋b 等于 .解析 由题意得，a ＜0且－5＋1＝－b a ，－5×1＝1a， ∴a ＝－15，b ＝－45，∴a ＋b ＝－1. 答案 －14．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0 即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 (2,3)5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝ (x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案 (－2,1)6．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________．解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤ a5，而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤ a5＜5，所以80≤a ＜125.答案 [80,125)7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ≤0，x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________．解析 由题意知⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＞x 或⎩⎨⎧ x ＞0，x ＋1＞x ，解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0.答案 {x |x ≠0}8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2， 则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案 (－1,3)9．不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值集合为________． 解析 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]．答案 (－∞，0]10．不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞2}，则a ，b 的值依次为________．解析 由题意，1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0两根，所以a ＝－3，b ＝2. 答案 －3,211．函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋1， x ＜0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1， 所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1. 答案 (－∞，2－1]12．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ e 2x ＋13－x ＜1，则A ∩B ＝________. 解析 由|2x －1|＜3，得－3＜2x －1＜3，即－1＜x ＜2，A ＝{x |－1＜x ＜2}．由e2x ＋13－x ＜1，得2x ＋13－x ＜0，即(2x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＜－12或x ＞3， B ＝{x |x ＜－12或x ＞3}．故A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12 13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”．乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是________． 解析 采用丙的方法：由xy ≤ax 2＋2y 2，得ax 2≥xy －2y 2，a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2.因为x ∈[1,2]，y ∈[2,3]， 所以1≤yx ≤3.所以y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18. 当yx＝1，即x ＝2，y ＝2时取最大值－1，所以a ≥－1. 答案 [－1，＋∞)二、解答题14.已知不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式2()ax ac b x -++bc<0.解析 (1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b},所以x=1与x=b 是方程2ax -3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得3121b a b a ⎧+=,⎪⎨⎪⨯=.⎩解得 12a b =,⎧⎨=.⎩ 所以 12a b =,⎧⎨=.⎩(2)原不等式2()ax ac b x -++bc<0,可化为2(2)x c x -++2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.综上所述:当c>2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为∅.15．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )， x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧ m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0 ⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]， 记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67， ∴m ＜67. 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.16．已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －a x －a 2＋1＜0，x ∈R . (1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解析 (1)若4∈B ，则4－a 3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜4. ∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)．(2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}．①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在． ③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 17．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解析 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅.②当Δ＞0时，即b ＞－6时，方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ，所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅； b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即3x 2－a (6－a )x －b ＜0.因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧ a ＝3＋3，b ＝9.18．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解析 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2<－2，g －2≥0，即错误!⇔错误! 此不等式组无解．③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2>2，g 2≥0，即错误!⇔⎩⎨⎧ a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7，⇔－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2]．。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
结束
考点一
一元二次不等式的解法
[题组练透]
1．已知函数
2 2x ＋1，x≤0， f(x)＝ －2x，x>0，
则不等式 f(x)－x≤2 的
解集是________．
1 解析：当 x≤0 时，原不等式等价于 2x ＋1－x≤2，所以－ ≤x 2
2
≤0；当 x>0 时，原不等式等价于－2x－x≤2，所以 x>0．综上
2．设集合 S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T ＝________.
解析： 由题意得 T＝ {x|－4≤x≤1}， 根据补集定义， ∁RS＝{x|x≤ －2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．答案：(－∞，1]
3．不等式 ax ＋bx＋2>0 ________．
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
一元二次不等式及其解法
结束
考点二
含参数的一元二次不等式的解法 [典例引领]
1 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以ax－a (x－1)
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
1 所述，原不等式的解集为x|x≥－2 ． 1 答案：x|x≥－2
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
一元二次不等式及其解法
结束
2． (2016· 南通一中检测)不等式－3x2＋6x>2 的解集为________．
课后· 三维演练
一元二次不等式及其解法
结束
3．解下列不等式： (1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§7.2一元二次不等式及其解法知识梳理：1．“三个二次”的关系有两相等实2.(x－a)(课前检测：1．函数f(x)＝3x－x2的定义域为()A．[0,3] B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案 A解析由3x－x2≥0得x(x－3)≤0，∴0≤x≤3，∴函数f(x)＝3x－x2的定义域为[0,3]．2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．3．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x <1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1<x ≤3}D ．{x |1<x <3} 答案 C解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.故原不等式的解集为{x |1<x ≤3}．4．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0， 即k 2>2，∴k >2或k <－ 2. 应用示例：题型一 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a . 综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a 或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(1)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集是________． 答案 (1)(－2,3) (2)(－12，1]解析 (1)由题意，知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a <0即2x 2－2x －12<0，其解集为{x |－2<x <3}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，(*) 由(*)解得－12<x ≤1.题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以－4<m ≤0. (2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3) 答案 (1)A (2)C解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可， 联立方程解得x <1或x >3. 题型三 一元二次不等式的应用例3 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________． 答案 20解析 由题意得， 3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 最小值为20.思想与方法系列10：转化与化归思想在不等式中的应用典例：(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24. ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c . ∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别. 课堂小结：方法与技巧： 1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a <0的情形转化为a >0时的情形． 2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图像在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想． 3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．失误与防范： 1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.课后作业：。