第三章第7讲正弦定理与余弦定理

第7讲 正弦定理与余弦定理1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝12ab sin_C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．三角形解的判断1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B ．59 C.53D ．1 解析：选B.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.2．(必修5 P8练习T2(1)改编)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解 C ．有一解 D ．解的个数不确定解析：选B.因为a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin 45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两个．4．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC的面积为42，则c ＝________．解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.答案：14 5．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：因为 3sin A ＝2sin B ，所以 3a ＝2b . 又a ＝2， 所以 b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以 c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， 所以 c ＝4. 答案：4考点一 利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P76]利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合； (3)解三角形与三角恒等变换结合．(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2015·高考安徽卷)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．[解] (1)选C.设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90.所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－110＝31010.在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.1.(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .从而sin A ＋sin B ＝2sin C ．由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P76]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰钝角三角形．判断三角形形状的两种途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2.(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 的形状为________． 解析：(1)依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，则sin(B ＋C )＝sin 2A ，由三角形内角和，得sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，即sin A ＝1，所以∠A ＝π2.即△ABC 为直角三角形． (2)由b ＝a sin C 可知b a ＝sin C ＝sin Bsin A ，由c ＝a cos B 可知c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得b 2＋c 2＝a 2，即三角形一定是直角三角形，A ＝90°，所以sin C ＝sin B ，所以B ＝C ，即b ＝c .故△ABC 为等腰直角三角形． 答案：(1)A (2)等腰直角三角形考点三 与三角形面积有关的问题[学生用书P77](2016·唐山统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B＝b cos C ＝3.(1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .[解] (1)由正弦定理得sin C sin B ＝sin B cos C ， 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，C ＝45°. 因为b cos C ＝3，所以b ＝3 2.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7.又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝25，所以c ＝5.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．3.在△ABC 中，已知A ＝45°，cos B ＝45.(1)求sin C 的值；(2)若BC ＝10，求△ABC 的面积．解：(1)因为cos B ＝45，且B ∈(0°，180°)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35.sin C ＝sin(180°－A －B )＝sin(135°－B )＝sin 135°cos B －cos 135°sin B ＝22×45－⎝⎛⎭⎫－22×35＝7210. (2)由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，即1022＝AB7210，解得AB ＝14， 则△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×14×10×35＝42.,[学生用书P77])交汇创新——解三角形与数列的交汇(2014·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．所以cos B 的最小值为12.本题是解三角形问题和数列的交汇，其解题思路是由数列问题转化为边角的等式关系，再利用正、余弦定理即可求解．本题体现了高考试题的设计理念和意图，在命题上追求知识间的交汇，有时也与不等式、直线、圆等知识交汇命题，注重考查知识应用能力．(2016·山西省四校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a 、b 、c 成等差数列；(2)若B ＝π3，S ＝43，求b .解：(1)证明：由正弦定理得：sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝32sin B ，即sin A ·1＋cos C 2＋sinC ·1＋cos A 2＝32sin B ，所以sin A ＋sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin B . 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B . 因为sin(A ＋C )＝sin B ，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，即a ＋c ＝2b ， 所以a 、b 、c 成等差数列．(2)因为S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，所以ac ＝16.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ， 由(1)得a ＋c ＝2b ，所以b 2＝4b 2－48，所以b 2＝16，即b ＝4.1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋c sin C <a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形解析：选B.由正弦定理得b 2＋c 2<a 2，由余弦定理可得cos A <0，故△ABC 是钝角三角形．2．由下列条件解△ABC ，其中有两解的是( ) A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80° B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60° C ．a ＝14，c ＝16，A ＝45° D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°解析：选C.对于A ，由A ＝45°，C ＝80°，得B ＝55°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得，a ＝b sin A sin B ＝102sin 55°，c ＝20sin 80°sin 55°，此时△ABC 仅有一解，A 不符合条件；对于B ，由a ＝30，c ＝28，B ＝60°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝844，可得b ＝2211，此时△ABC 仅有一解，B 不符合条件；对于D ，由a ＝12，c ＝15，知a <c ，则A <C ，而A ＝120°，得C 也为钝角，此时△ABC 无解，D 不符合条件；对于C ，由a ＝14，c ＝16，A＝45°及正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝16×2214＝427>22，又c >a ，故C >45°，由正弦函数的图象和性质知，此时△ABC 有两解，故选C.3．(2016·东北三校高三模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．1B ．2 3C ．3 2D ．3解析：选A.因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，所以bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，所以c ＝3b ，所以b ＝1，c ＝3，故选A. 4．(2016·兰州市实战考试)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边．若b sinA ＝3c sinB ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 6解析：选D.b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝6，故选D.5．(2016·大连一模)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( )A.32 B ．332 C.34D ． 3 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×12，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt △ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝332，即BC 边上的高为332.6．(2016·哈尔滨一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝1，a ＝2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为( )A.33 B ．36 C.233D ． 3 解析：选B.当C 取最大值时，cos C 最小，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3c 2＋14c ＝14⎝⎛⎭⎫3c ＋1c ≥32，当且仅当c ＝33时取等号，且此时sin C ＝12，所以当C 取最大值时，△ABC 的面积为12ab sinC ＝12×2c ×1×12＝36.7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4. 答案：48．在△ABC 中，b ＝c cos A ＋3a sin C ，则角C 的大小为________． 解析：因为b ＝c cos A ＋3a sin C ，由余弦定理得b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc＋3a sin C .即b 2＋a 2－c 2＝23ab sin C . 所以2ab cos C ＝23ab sin C ，即tan C ＝33.又0<C <π，所以C ＝π6.答案：π69．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为 a ＝4，b ＝5，c＝6，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：110．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________．解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C .因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以a ＋c ＝2b ，又a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2， 故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.12．(2016·洛阳统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值．解：(1)因为cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， 所以2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0，所以cos C ＝－22.又C ∈(0，π)，所以C ＝3π4.(2)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， 所以c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ，所以sin A ＝15sin C ＝1010.因为S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ，所以12ab sin C ＝22sin A sin B ，所以ab sin Asin B sin C ＝2，由正弦定理得：⎝⎛⎭⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.1．(2016·河北省衡水中学调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0，2) 解析：选A.因为B ＝2A ， 所以sin B ＝sin 2A ，所以sin B ＝2sin A cos A ， 所以b ＝2a cos A ，又因为a ＝1，所以b ＝2cos A . 因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，即 0<A <π2，0<2A <π2，0<π－A －2A <π2，所以π6<A <π4，所以22<cos A <32，所以2<2cos A <3， 所以b ∈(2，3)． 2．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，所以a 2－b 2＝c 2－bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc .所以b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，所以∠A ＝60°.因为△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，所以S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.答案： 33．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为c ＝2，C ＝π3，所以由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积为3，所以12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4.解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A ) ＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ， 所以cos A ·(sin A －sin B )＝0，所以cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，因为0<A <π，所以A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S .满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求C 的值；(2)若a ＋b ＝4，求周长的范围与面积S 的最大值．解：(1)因为S ＝34(a 2＋b 2－c 2)， 所以12ab sin C ＝34·2ab cos C ， 即tan C ＝3，又0<C <π，所以C ＝π3. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，又a ＋b ＝4.所以c 2＝a 2＋(4－a )2－a (4－a )＝3a 2－12a ＋16＝3(a －2)2＋4，由a ＋b ＝4，a >0，b >0知0<a <4.所以4≤c 2<16，所以2≤c <4.所以周长a ＋b ＋c ∈[6，8)．又由a ＋b ＝4，知4≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．所以ab ≤4，所以S ＝12ab sin C ≤12×4×32＝3， 即当a ＝b ＝2时，S max ＝ 3.。