人教A版高中必修二试题3-1-2两条直线平行与垂直的判定
高一数学人教版A版必修二练习3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 Word版含解析
两条直线平行与垂直的判定【课时目标】．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．．两条直线平行与斜率的关系()对于两条不重合的直线，，其斜率分别为、，有∥⇔．()如果直线、的斜率都不存在，并且与不重合，那么它们都与垂直，故．．两条直线垂直与斜率的关系()如果直线、的斜率都存在，并且分别为、，那么⊥⇔．()如果两条直线、中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么与的位置关系是．一、选择题．有以下几种说法：(、不重合)①若直线，都有斜率且斜率相等，则∥；②若直线⊥，则它们的斜率互为负倒数；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．以上说法中正确的个数是()．．．．．以(－)、(，－)、()为顶点的三角形是()．锐角三角形．钝角三角形．以点为直角顶点的直角三角形．以点为直角顶点的直角三角形．已知()，()，直线与直线＝垂直，则的值()．．．．－．已知()，(，＋)，(＋)，()，且直线与直线平行，则的值为()．．．或．或．若直线、的倾斜角分别为α、α，且⊥，则有()．α－α＝°．α－α＝°．α－α＝°．α＋α＝°．顺次连接(－)，()，()，(－)所构成的图形是()．平行四边形．直角梯形．等腰梯形．以上都不对二、填空题．如果直线的斜率为，⊥，则直线的斜率为．．直线，的斜率，是关于的方程－－＝的两根，若⊥，则＝；若∥，则＝．．已知直线的倾斜角为°，直线经过点(，)，(－，－)，则直线，的位置关系是．三、解答题．已知△三个顶点坐标分别为(－，－)，()，(，)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．。
高一数学人教A版必修2达标训练：3-1-2两条直线平行与垂直的判定 含解析 精品
更上一层楼基础·巩固1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a 等于( )A.2B.1C.0D.-1思路解析:两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a(a+2)=-1，∴a=-1，选D.答案:D2.已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为( )A.0B.-8C.2D.10思路解析:由已知得)2(4---m m =-2,∴m=-8. 答案:B3.顺次连结A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点所组成的图形是( )A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对 思路解析:由斜率公式可得k AB =k CD =31，而k AD =-3,k BC =21-.所以AB ∥CD 且AD 与BC 不平行.所以四边形为梯形.又k AD ·k AB =-1，则AD ⊥AB.所以为直角梯形.答案:B4.直线x+ay+6=0与直线(a-2)x+3y+2a=0平行，则a 的值等于( )A.-1或3B.1或3C.-3D.-1思路解析:考查两直线平行的条件和利用反代法解选择题.将a=-1代入，可得两直线方程分别为x-y+6=0和-3x+3y-2=0，两直线的斜率均为-1，且不相同；将a=3代入，可得两直线方程分别为x+3y+6=0和x+3y+6=0，两直线相同.故选D.答案:D5.已知直线(m+2)x+(1-m)y=0与直线(m-1)x+(2m-3)y+2=0垂直，则m 的值为( )A.-1B.1C.1或5D.23- 思路解析:考查两直线垂直的条件.由于两直线垂直，则有(m+2)(m-1)+(1-m)(2m-3)=0，解得m=1或m=5.故选C.答案:C6.若直线经过点A(a-2，-1)和B(-a-2，1)，且与经过点C(-2，1)、斜率为32-的直线l 垂直,则实数a 的值是( ) A.32- B.23- C.32 D.23 思路解析:直线AB 与直线l 垂直，由两直线垂直的关系，有 k AB =231)2(2)1(1=-=------a a a ,∴a=32-. 答案:A7.已知两条直线l 1:ax+3y-3=0,l 2:4x+6y-1=0.若l 1∥l 2，则a=____________.思路解析:两条直线l 1:ax+3y-3=0,l 2:4x+6y-1=0.若l 1∥l 2，323-=-a ，则a=2.答案:2综合·应用8.过点A(0，37)与B(7，0)的直线l 1与过点(2，1),(3，k+1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为( )A.-3B.3C.-6D.6思路解析:若l 1和l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l 1⊥l 2. 而.2311,3173721k k k k l l =--+=-=-= 由1521-=l l k k ，得k=3. 答案:B9.已知直线l 1经过点A(2，a)、B(a-1，3)，直线l 2经过点C(1，2)、D(-2，a+2).(1)若l 1∥l 2，求a 的值；(2)若l 1⊥l 2，求a 的值.思路解析:由C 、D 两点的横坐标可知l 2的斜率一定存在；由A 、B 两点的横坐标可知l 1的斜率可能存在也可能不存在，因此应注意对a 的取值的讨论.解:设直线l 2的斜率为k 2，则k 2=3)2(1)2(2a a -=--+-. (1)若l 1∥l 2，则l 1的斜率k 1=3a -， 又k 1=aa a a --=---33)2(23=-1，∴a=3. (2)若l 1⊥l 2，①当k 2=0时，此时a=0，k 1=-1，不符合题意;②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，此时k 1=-1.∴由k 2·k 1=-1，可得a=-3.10.已知三个点A(2，2)、B(-5，1)、C(3，-5)，试求第四个点D 的坐标，使这四个点构成平行四边形.思路解析:平行四边形的两组对边分别平行，若设D(x ，y)，则可列出两个关于x 、y 的方程，解方程组即可.另外，平行四边形顶点的顺序未定，引起分类讨论：若以AC 为对角线，则形成平行四边形ABCD ；若以BC 为对角线，则形成平行四边形ACDB ；若以AB 为对角线，则形成平行四边形ACBD ，共有三个解.解:若以AC 为对角线，则形成平行四边形ABCD 1，设D 1(x 1，y 1).由于BC ∥AD 1，AB ∥CD 1，∴k BC =1AD k ，k AB =1CD k .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+---=--+.355212,2235511111x y x y 解得⎩⎨⎧==-4,y 10,x 11 即D 1(10，-4).若以BC 为对角线，则形成平行四边形ACD 2B.设D 2(x 2，y 2)，同理,可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-+-=-+.355212,5132522222x y x y解得⎩⎨⎧==-6,y -4,x 22即D 2(-4，-6). 若以AB 为对角线，则形成平行四边形ACBD 3.设D 3(x 3，y 3)，同理,可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--++-=-+.223551,5132523333x y x y 解得⎩⎨⎧==8,y -6,x 33 即D 3(-6，8).故当点D 的坐标为(10，-4)或(-4，-6)或(-6，8)时，这四个点构成平行四边形.。
【课堂新坐标】高中数学人教版必修二练习：3.1.2两条直线平行与垂直的判定（含答案解析）
【课堂新坐标】高中数学人教版必修二练习：3.1.2两条直线平行与垂直的判定（含答案解析）学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是() A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，m－4－2－m＝－2，得m＝－8.【答案】 A3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为() A．－30°B．30°C．150°D．120°【解析】k AB＝4－13－0＝3，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C.【答案】 C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C5．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】∵k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14 . 又P 、Q 、S 、R 四点不共线，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS .故①②④正确．【答案】 C二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【导学号：09960101】【解析】由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1，所以m －34－－·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6. 【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，即y －2x －3＝－1，① y －1x ＝1，②联立①②解方程组得x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)．【答案】 (2,3)三、解答题8．(2016·泰安高一检测)已知A ?1，－a ＋13，B 0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a(a ≠2)．由－a 3×12－a ＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直． 9．已知在?ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断?ABCD 是否为菱形．【解】(1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，故?ABCD 为菱形．[自我挑战]10．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194C ．5D ．4【解析】由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B. 【答案】 B。
【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：3-1-2两条直线平行与垂直的判定(含答案解析)
1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．答案：A2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3B ．3C ．－13 D.13解析：因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3. 答案：B3．已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( )A ．0°B ．135°C ．90°D ．180°解析：∵kl 1＝0且l 1⊥l 2，∴kl 2不存在，直线l 2的倾斜角为90°.答案：C4．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12， ∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 答案：－1 75．已知的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D 的坐标．解：设D(m ，n)，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4. 所以顶点D 的坐标为(3,4)．课堂小结 1.代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l 1、l 2存在斜率k 1、k 2，则l 1∥l 2k 1＝k 2(其中l 1，l 2不重合)；若l 1、l 2可能重合，则k 1＝k 2l 1∥l 2或l 1与l 2重合．l 1⊥l 2k 1·k 2＝－1.。
高一数学人教A版必修2课后练习3.1.2两条直线平行与垂直的判定及解析
课后导练基础达标1直线l 1的倾斜角为30°,直线l 2⊥l 1,则直线l 2的斜率为( ) A.3 B.3- C.33 D.33- 解析：设l 1的斜率为k 1,则k 1=tan30°=33,设l 2的斜率为k 2,∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1.∴k 2=3-. 答案：B2若l 1与l 2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1,α2,斜率分别为k 1,k 2,则下列命题,其中正确命题的个数是( )①若l 1∥l 2,则斜率k 1=k 2 ②若k 1=k 2,则l 1∥l 2 ③若l 1∥l 2,则倾斜角α1=α2 ④若α1=α2,则l 1∥l 2A.1B.2C.3D.4解析：由两线平行的判定方法可知,①②③④都正确.答案：D3已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m 的值( )A.-8B.0C.2D.10解析：k AB =24+-m m ,由24+-m m =-2,得m=-8. 答案：A4直线l 过点(a,b)和(b,a),其中a≠b ,则( )A.l 与x 轴垂直B.l 与y 轴垂直C.l 过一、二、三象限D.l 的倾角为135°解析：设直线l 的斜率为k,倾斜角为α.则k=tanα=ab b a --=-1,∴α=135°. 答案：D5若直线l 1∥l 2,且l 1的倾斜角为45°,l 2过点(4,6),则l 2还过下列各点中的( )A.(1,8)B.(-2,0)C.(9,2)D.(0,-8)解析：∵k 1=tan45°,又l 1∥l 2.∴k 2=1.设过点(x,y),则46--x y =1. 即y=x+2,代入检验可知选B.答案：B6原点在直线l 上的射影是P(-2,1),则l 的斜率为_______.解析：设l 的斜率为k,由条件知k OP =21-,又知l ⊥OP, ∴21-k=-1.∴k=2. 答案：27已知点P(3,m)在过M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m 的值是____________.解析：因为P,M,N 三点共线,所以k PM =k MN .即3241231+--=-+m .得m=-2. 答案：-28顺次连结A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),所组成的图形ABCD 是什么图形？解析：如图.∵k AB =314235=+-k BC =216235-=--, k CD =313603=+-, k DA =3403+--=-3. 则k AB =k CD .∴AB ∥CD.k AB ·k DA =-1.∴AD ⊥AB,同理AD ⊥DC.又k BC ≠k AD .∴AD 与BC 不平行.故四边形ABCD 是直角梯形.综合运用9过点(6,3),(0,3)的直线与过点(2,6),(2,0)的直线的位置关系为( )A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合解析：由条件知k 1=320336-=--, k 2=2312602-=--. ∴k 1·k 2=-1.答案：B10已知直线l 1的斜率为3,直线l 2经过点A(1,2),B(2,a),若l 1∥l 2,则a 的值为________;若l 1⊥l 2,则a 的值为____________.解析：k 1=3.k 2=a-2,若l 1∥l 2,则k 1=k 2.即a-2=3.∴a=5,若l 1⊥l 2,则k 1·k 2=-1.即3(a-2)=-1.得a=35. 答案：5 5/311已知△ABC 的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),求顶点A 的坐标.解：设A(a,b),∵H 为△ABC 的垂心,∴AH ⊥BC,BH ⊥AC.又知k AH =32+-a b ,k BC =41-,k BH =51-,k AC =63+-a b , 由⎩⎨⎧-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙+--=-∙+-.62,19.1)51(63,1)41(32b a a b a b 解得 ∴A 的坐标为(-19,-62).拓展探究12已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D 的坐标,使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列).解：如图,设D(a,b),(1)当AB ∥CD,且∠BAD=90°时,∵k AD =a b 3-,k AB =3,k CD =3-a b .由于AD ⊥AB.且AB ∥CD. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∙-.59,518,33,133b a a b a b 解得 此时AD 与BC 不平行.(2)当AD ∥BC 且∠ACD=90°时,此时D(3,3),此时AB 与CD 不平行.故点D 的坐标为(3,3)和(59,518).。
人教新课标版数学高一人教A版必修2练习3-1-2两条直线平行与垂直的判定
双基达标 (限时20分钟)1．下列说法正确的有( )．①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，所以①不正确；当两条直线垂直于x 轴时，两直线平行，但斜率不存在，所以②不正确，④正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线垂直，所以③不正确．故选A.答案 A2．已知过A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )．A ．－8B ．0C ．2D ．10解析 由题意可知，k A B ＝4－m m ＋2＝－2， 所以m ＝－8.答案 A3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )．A ．－23B ．－32 C.23 D.32解析 由于直线l 与经过点(－2,1)且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2.∵k l ＝1－(－1)－a －2－(a －2)＝－1a ， ∴－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，∴a ＝－23. 答案 A4．直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过A (－2，－1)，B (3,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析 ∵直线l 1的倾斜角为45°，∴k 1＝1.又∵直线l 2过A (－2，－1)，B (3,4)，∴k 2＝4－(－1)3－(－2)＝1. ∴k 1＝k 2，∴l 1与l 2平行或重合．答案 平行或重合5．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是________． 解析 ∵l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，不妨设斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.答案 垂直6．(2012·威海高一检测)已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，过求点D 的坐标．解 设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k AD ＝y x －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AB ·k CD ＝－1，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1×y －4x ＝－1y x －1＝－23，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝－6， 即D (10，－6)．综合提高 (限时25分钟)7．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )．A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3) 解析 设P (0，y )，∴k 2＝y －1，∵l 1∥l 2，∴y －1＝2，∴y ＝3，故选D.答案 D8．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( )．A ．135°B ．45°C ．30°D ．60°解析 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－b b －1－a＝－1， ∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.答案 B9．(2012·济宁高一检测)若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD .其中正确的序号是________．解析 ∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .答案 ①④10．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ，1，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析 由题意得，l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∵k 1＝－a 2，k 2＝3，∴－a 2＝3，∴a ＝－6.答案 －611．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．解 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，k 1不存在，a －2＝3，则a ＝5；当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6. 综上可知，a 的值为5或－6.12．(创新拓展)已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解 (1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6， ∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．。
2019年数学人教A必修二3.1 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
(2)当 m＝－2 时，直线 PQ 的斜率不存在，而直线 MN 的斜 率存在，MN 与 PQ 不平行，不合题意； 当 m＝－1 时，直线 MN 的斜率不存在，而直线 PQ 的斜率 存在，MN 与 PQ 不平行，不合题意； 4－m 4－m 当 m≠－2 且 m≠－1 时，kPQ＝ ＝ ， m－（－2） m＋2 3－1 2 kMN＝ ＝ . m ＋ 2－ 1 m ＋ 1
过点 A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1，2)，Q(－5， 0)的直线垂直，则 m＝__________．
解析：由题意得，直线 AB 的斜率存在且 kAB·kPQ＝－1. m－ 1 0－2 即 × ＝－1， －1－m －5－1 解得 m＝－2.
答案：－2
两条直线平行的判定及应用 (1)根据下列给定的条件， 判断直线 l1 与直线 l2 是否平 行： ①l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8， －7)；
解：设所求点 D 的坐标为(x，y)，由于 kAB＝3，kBC＝0，所 以 kAB·kBC＝0≠－1，即 AB 与 BC 不垂直，故 AB，BC 都 不可作为直角梯形的直角边．
(1)若 CD 是直角梯形的直角边， 如图所示，则 BC⊥CD，AD⊥CD， 因为 kBC＝0， 所以 CD 的斜率不存在， 从而有 x＝3.又因为 kAD＝kBC， y－ 3 所以 ＝0，即 y＝3， x 此时 AB 与 CD 不平行， 故所求点 D 的坐标为(3，3)．
因为直线 PQ∥直线 MN， 所以 kPQ＝kMN， 4－m 2 即 ＝ ，解得 m＝0 或 m＝1. m＋ 2 m ＋ 1 当 m＝0 或 1 时，两直线不重合． 综上，m 的值为 0 或 1.
判断两条直线是否平行的步骤
人教A版高中必修二试题3.1.2两条直线平行与垂直的判定习题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、选择题1、下列说法正确的有（ ）(注：两直线可以重合)①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1=0的两根，则l 1与l 2的位置关系是（ ）A 、平行B 、重合C 、相交但不垂直D 、垂直3、给定三点A （1，0）、B （－1，0）、C （1，2），则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点（ ）A 、（0，1）B 、（0，0）C 、（－1，0）D 、（0，－1）4、已知直线x+my +6=0和(m －2)x+3y +2 m =0互相平行，则实数m 的取值为（ ）A ．—1或3B ．—1C ．—3D ．1或—35、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（ ）A m=1B m=±1C ⎩⎨⎧-≠=11n mD ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 6、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by －c=0，则ab=1是l 1||l 2的（ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件7、与直线2x +3y －6=0关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ）A ．2x +3y +8=0B ．2x +3y +7=0C ．3x －2y －12=0D ．3x －2y +2=08、已知P(a,b )与Q(b －1,a +1)(a≠b －1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是（ ）A x+y =0B x －y =0C x +y －1=0D x －y +1=09、如果直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－210、两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是A.A 1A 2+B 1B 2=0B.A 1A 2－B 1B 2=0C.2121B B A A =－1D.2121A A B B =－1 11、点A （4，0）关于直线l ：5x +4y +21=0的对称点是（ ）A （－6，8）B （－8，－6）C （6，8）D （―6，―8）12、直线xsinα+ycosα+1=0与xcosα－ysinα+2=0直线的位置关系是（ ）A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定二、填空题13、直线ax +3y +1=0与直线2x +(a +1)y +1=0平行,则a 的值是 .14、若直线x+ay +2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a 等于15、已知点A (1,2)、B (3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是 .16、点P （2，5）关于直线x +y =1的对称点的坐标是 .17、已知点M （0，－1），点N 在直线x －y+1=0上，若直线MN 垂直于直线x+2y －3=0，则点N 的坐标是 .18、直线02052:1=+-y x l 和0102:2=--y mx l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为__________.三、解答题19、已知直线l 1: x +(1+m)y +m －2=0 , l 2: 2m x +4y +16=0 当且仅当m 为何值时直线l 1与l 2分别有下列关系？(1) l1⊥l2 (2). l1∥l220.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m的值.21、已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD。
高中数学必修二人教A版练习：3.1.2两条直线平行与垂直的判定含解析.doc
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【选题明细表】1.(2018·贵州贵阳高一检测)若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列说法:(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2;(2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;(3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2;(4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2.其中正确说法的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:需考虑两条直线重合的特殊情况,(2),(4)都可能是两条直线重合,(1),(3)正确.2.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为( B )(A)-1 (B)(C)2 (D)解析:由k AB=k PQ,得=,即m=.故选B.3.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是( B )(A)梯形(B)平行四边形(C)菱形(D)矩形解析:如图所示,易知k AB=-,k BC=0,k CD=-,k AD=0,k BD=-,k AC=,所以k AB=k CD,k BC=k AD,k AB·k AD=0,k AC·k BD=-,故AD∥BC,AB∥CD,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直.所以四边形ABCD为平行四边形.4.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( C )(A)-30° (B)30°(C)150° (D)120°解析:因为==,所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l2∥l1,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.解析:因为l2∥l1,且l1的倾斜角为45°,所以==tan 45°=1,即=1,所以a=4.答案:46.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x= ,y= .解析:因为l1⊥l2,且l1的斜率为2,则l2的斜率为-,所以==-,所以x=-1,y=7.答案:-1 77.(2018·南京检测)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,), N(-2,-2),则两直线l1与l2的位置关系是.解析:由题意知,k1=tan 60°=,k2==,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.答案:平行或重合8.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.解:设D(x,y),则k CD=,k AB=3,k CB=-2,k AD=.因为k CD·k AB=-1,k AD=k CB,所以所以即D(0,1).9.(2018·湖南师大附中高一测试)已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lo x等于( D )(A)3 (B)(C)2 (D)-解析:由题意得=2,得x=3,所以lo3=-.10.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C )(A)(0,-6) (B)(0,7)(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.又k AP=,k BP=,k AP·k BP=-1,即·(-)=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C.11.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则给出下面四个结论:①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确结论的序号是 . 解析:因为k AB=-,k CD=-,k AC=,k BD=-4,所以k AB=k CD,k AC·k BD=-1,所以AB∥CD,AC⊥BD.答案:①④12.已知△ABC的顶点坐标为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,试求m的值.解:k AB==-,k AC==-,k BC==m-1.若AB⊥AC,则有-·(-)=-1,所以m=-7;若AB⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=3;若AC⊥BC,则有-·(m-1)=-1,所以m=±2.综上可知,所求m的值为-7,±2,3.13.已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(2,1),中心E(3,3).(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形;(2)点P(x,y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动,求的取值范围. 解:(1)因为平行四边形的对角线互相平分,所以由中点坐标公式得C(5,4),D(4,5).所以k AB=-1,k BC=1.所以k AB·k BC=-1,所以AB⊥BC,即平行四边形ABCD为矩形.又|AB|=,|BC|=3,所以|AB|≠|BC|,即平行四边形ABCD不是正方形.(2)因为点P在矩形ABCD的边界及内部运动,所以的几何意义为直线OP的斜率.作出大致图象,如图所示, 由图可知k OB≤k OP≤k OA,因为k OB=,k OA=2,所以≤k OP≤2,所以的取值范围为[,2].。
高中数学人教A版必修2一课三测：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
3．1.2两条直线平行与垂直的判定填一填1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在对应关系l1⊥l2(两直线斜率都存在，且都不为零)⇔k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2图示判一判1.2．若l1∥l2，则k1＝k2.(×)3．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(√) 4．若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(×)5．若两条不同的直线l1⊥l2，则它们的斜率之积为－1.(×)6．若两条直线斜率不等，则这两条直线不平行．(√)7．若l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则l2的倾斜角为30°.(√)8．若l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为120°.(√)想一想1.那么这两条直线都与x轴垂直吗？提示：在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一定相等；当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴．2．如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？若k 1·k 2≠－1，则两条直线能否垂直？提示：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积不一定等于－1，也可能它们的斜率一个是0，另一个不存在；若k 1·k 2≠－1，则两条直线一定不垂直．3．判断两条直线是否平行的步骤是什么？ 提示：4．使用斜率公式判定两直线垂直的步骤是什么？提示：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．思考感悟：练一练1.已知点A(1,2)，( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案：B2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率为( ) A ．－3 B ．3C ．－13D .13答案：B3．已知直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＝2，l 1⊥l 2，则k 2＝________.答案：－124．直线l 1过A(－2，m)和B(m,4)，直线l 2的斜率为－2，且l 1∥l 2，则m ＝________. 答案：－85．已知点A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．①AB ∥CD ②AB ⊥CD ③AC ∥BD ④AC ⊥BD 答案：①④知识点一两条直线的平行关系1.若l 1与l 2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，有下列说法： (1)若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2；(2)若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2；(3)若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2；(4)若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l2.其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4)都可能是两条直线重合，(1)(3)正确． 答案：B2．若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，m)的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B .17C ．2D .12解析：由k AB ＝k PQ ，得0－(－2)5－2＝m －1－1－2m，即m ＝17.故选B .答案：3.①两条平行直线的斜率相等；②若两条不同直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数； ③若一条直线的斜率为tan α，则这条直线的倾斜角为α；④若两条不同直线的倾斜角的正弦值相等，则这两条直线平行． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：①不正确，当两条直线斜率存在时才相等；②不正确，如一条直线平行于x 轴，斜率为0，另一条直线与x 轴垂直，斜率不存在，但它们也垂直；③不正确，需加上条件0°≤α<180°；④不正确，如两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝150°，虽有sin α1＝sin α2，但它们不平行(若正切值相等，则两条直线平行)．答案：D4．直线l 1过A(－1，m)，B(m,1)，l 2过C(－1,1)，D(1,0)，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．－3B ．－13C ．3D .13解析：∵k 1＝1－m m －(－1)＝1－mm ＋1k 2＝0－11－(－1)＝－12l 1⊥l 2∴k 1·k 2＝1－m m ＋1×(－12)＝－1解得m ＝－135.( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形 解析：如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．答案：B6．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD. 解析：设D(x ，y)，则k CD ＝yx －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1.因为k CD ·k AB ＝－1，k AD ＝k CB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧yx －3×3＝－1，y ＋1x －1＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即综合知识 两条直线平行与垂直的判定7.121212，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1，即－b2＝－1，∴b ＝2；若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，∴b ＝－98.答案：2 －988．已知点A(m －1,2)，B(1,1)，C(3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解析：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3.(2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ；②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2，由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1.解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.基础达标一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若直线l 1，l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线的斜率kl 1·kl 2＝1，则l 1⊥l 2C ．若直线l 1，l 2的斜率都不存在，则l 1∥l 2D ．若直线l 1，l 2的斜率存在但不相等，则l 1与l 2不平行解析：直线l 1，l 2的斜率相等时，l 1和l 2可能重合，故A 错；若kl 1·kl 2＝－1，则l 1⊥l 2，故B 错；直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l1，l2可能重合，故C 错；故选D .答案：D2．过点A(4，a)，B(5，b)的直线与直线l 平行，又直线l 的斜率为1，则a 与b 满足( ) A ．b －a ＝1 B ．a －b ＝1 C ．b ＋a ＝1 D ．b ＋a ＝－1解析：依题意，k AB ＝b －a5－4＝1，所以b －a ＝1，故选A .答案：A3．下列直线中，与已知直线y ＝－43x ＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0解析：先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；直线与y 轴交点需在y 轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．答案：B4．若A(0,1)，B(3，4)在直线l 1上，且直线l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．－30° B ．30° C ．150° D ．120°解析：因为kl 1＝4－13－0＝3，所以l 1的倾斜角为60°.因为两直线垂直，所以l 2的倾斜角为60°＋90°＝150°.故选C .5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：∵k AB ＝1－(－1)1－5＝－12，k BC ＝3－12－1＝2，∴k AB ·k BC ＝－1，∴AB ⊥BC ，故选A .答案：A6．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y)．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C . 答案：C7．过点A(0,3)，B(7,0)的直线l 1与过点C(2,1)，D(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 的值为( )A .37B ．－37C .73D ．－73解析：因为直线l 1与直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，由l 1⊥l 2，而kl 1＝0－37－0＝－37，kl 2＝(k ＋1)－13－2＝k ，又由kl 1·kl 2＝－1，得k ＝73，故选C .答案：C 二、填空题8．已知直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是________． 解析：由根与系数的关系，得kl 1·kl 2＝－1，所以l 1⊥l 2. 答案：l 1⊥l 29．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a 的值为________．解析：因为l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，所以kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a ＝4.答案：4 10．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：因为l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，所以7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，所以x ＝－1，y ＝7.答案：－1 7 11．已知平行四边形ABCD 中，点A(1,1)，B(－2,3)，C(0，－4)，则点D 的坐标为________．解析：设点D(x ，y)，则k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，即3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得x＝3，y ＝－6，故D 的坐标为(3，－6)．答案：(3，－6) 12．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则给出下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD.其中正确结论的序号是________．解析：因为k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，所以k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1，所以AB ∥CD ，AC ⊥BD. 答案：①④ 三、解答题13．已知△ABC 的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．解析：k AB ＝1－(－1)1－5＝－12，k AC ＝m －(－1)2－5＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1.若AB ⊥AC ，则有－12·⎝⎛⎭⎫－m ＋13＝－1， 所以m ＝－7；若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3；若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2.综上可知，所求m 的值为－7，±2,3.14．已知直线l 1经过点A(3，m)，B(m －1,2)，直线l 2经过点C(1,2)，D(－2，m ＋2)． (1)当m ＝6时，试判断直线l 1与l 2的位置关系． (2)若l 1⊥l 2，试求m 的值．解析：(1)当m ＝6时，A(3,6)，B(5,2)，C(1,2)，D(－2,8)．kl 1＝6－23－5＝－2，kl 2＝2－81＋2＝－2，故kl 1＝kl 2此时，直线l 1的方程为：y －6＝－2(x －3)，经验证点C 不在直线l 1上，从而l 1∥l 2.(2)kl 2＝m ＋2－2－2－1＝－m3，l 2的斜率存在．若l 1⊥l 2，当kl 2＝－m3＝0时，m ＝0，则A(3,0)，B(－1,2)，此时直线l 2的斜率存在，不符合题意，舍去；当kl 2＝－m 3≠0时，kl 1＝m －24－m，故－m 3·m －24－m ＝－1，解得m ＝3或m ＝－4.综上：m ＝3或m ＝－4.能力提升15.已知A(－m －3,2)，B(＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解析：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行，因为AB ⊥CD ， 所以CD 与x 轴不垂直，－m ≠3，m ≠－3.①当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1.所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当CD 与x 轴垂直时，－m ＝3，即m ＝－3不满足题意． ③当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，即2－(m ＋1)·2(m ＋1)m ＋3＝－1，解得m ＝1. 综上，m 的值为1或－1.16．已知在平行四边形ABCD 中， A(1,2)，B(2,1)，中心E(3,3)． (1)判断平行四边形ABCD 是否为正方形；(2)点P(x ，y)在平行四边形ABCD 的边界及内部运动，求yx的取值范围．解析：(1)因为平行四边形的对称线互相平分， 所以由中点坐标公式得C(5,4)，D(4,5)． 所以k AB ＝－1，k BC ＝1. 所以k AB ·k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ，即平行四边形ABCD 为矩形． 又|AB|＝2，|BC|＝32，所以|AB|≠|BC|， 即平行四边形ABCD 不是正方形．(2)因为点P 在矩形ABCD 的边界及内部运动，所以yx的几何意义为直线OP 的斜率．作出大致图象，如图所示，由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，因为k OB ＝12，k OA ＝2，所以12≤k OP ≤2，所以yx 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.由Ruize收集整理。
21人教版高中a版数学同步必修2模块练习题--3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(可编辑word)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础过关练题组一两条直线平行1.有下列说法:①若直线l1和l2的斜率相等,则l1∥l2;②若l1∥l2,则两直线的斜率相等;③若两条直线l1和l2中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则l1与l2相交;④若直线l1与l2的斜率都不存在,则l1∥l2.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42.经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则m的值是( )A.4B.1C.1或3D.1或43.若直线l1∥l2,且l1的倾斜角为45°,l2过点(4,6),则l2还过下列各点中的( )A.(1,8)B.(-2,0)C.(9,2)D.(0,-8)4.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )A.(3,4)B.(4,3)C.(3,1)D.(3,8)5.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,0)和点N(-3,5)的直线平行,则m 的值为 .6.已知直线l 1的倾斜角为60°,直线l 2经过点A(1,√3),B(-2,-2√3),则直线l 1,l 2的位置关系是 .7.已知直线l 1经过点A(0,-1)和点B (-4a ,1),直线l 2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l 1与l 2没有公共点,求实数a 的值.题组二 两条直线垂直8.已知直线l 1与l 2,则下列条件中使得l 1⊥l 2的是( ) ①l 1的斜率为-23,l 2经过点A(1,1),B (0,-12);②l 1的倾斜角为45°,l 2经过点P(-2,-1),Q(3,-5);③l1经过点M(1,0),N(4,-5),l2经过点R(-6,0),S(-1,3).A.①②B.①③C.②③D.①②③9.已知直线l1的倾斜角为30°,直线l2⊥l1,则直线l2的斜率为( )A.√3B.-√3C.√33D.-√3310.已知点A(0,1),点B的横坐标与纵坐标满足x+y=0.若AB⊥OB,则点B的坐标是.11.(2020陕西高一期末)已知点M(2,2)和N(-6,-2),试在y轴上找一个点P,使∠MPN为直角.题组三两条直线平行与垂直的应用12.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)构成的图形是( )A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对13.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .14.(2020河北高一期末)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).(1)若l1∥l2,求a的值;(2)若l1⊥l2,求a的值.能力提升练一、选择题1.(★★☆)若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,且l1⊥l2,则有( )A.α1-α2=90°B.α2-α1=90°C.|α2-α1|=90°D.α1+α2=180°2.(★★☆)若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是( )A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直3.(2018福建闽清一中高一期末,★★☆)已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值是( )A.1B.32C.72D.1或724.(★★☆)若直线l1的斜率k1=34,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为( )A.1B.3C.0或1D.1或35.(★★☆)已知点A(0,1),B(4,2),若点P在坐标轴上,则满足PA⊥PB的点P的个数是( )A.1B.2C.3D.46.(★★☆)已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为( )A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)二、填空题7.(★★☆)已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2√2),B(0,2-2√2),C(4,2),则△ABC是.(填△ABC的形状)8.(★★★)光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率为.三、解答题9.(2018江西兴国高一期末,★★☆)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m 的值.10.(2018山东高青一中高一月考,★★★)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形ABCD为直角梯形.11.(★★★)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.答案全解全析 基础过关练1.A ①④错误,忽略了l 1与l 2有可能重合的情况;②错误,忽略了斜率不存在的情况;只有③正确,故选A.2.B 由题意,知4-mm -(-2)=1,解得m=1.3.B 设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,因为l 1的倾斜角为45°,所以k 1=1.又因为l 1∥l 2,所以k 2=1.结合选项可知当l 2过点(4,6),(-2,0)时,k 2=1.故选B.4.A 设顶点D 的坐标为(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有k AB =k DC ,k AD =k BC , 所以{0-11-0=3-n4-m ,n -1m -0=3-04-1,解得{m =3,n =4.所以顶点D 的坐标为(3,4).5.答案 -1解析 因为MN∥PQ,所以k MN =k PQ ,即5-0-3-2=2-2mm -3,解得m=-1.经检验,当m=-1时,直线PQ 与直线MN 不重合,故满足题意.6.答案 平行或重合解析 由题意可知直线l 1的斜率k 1=tan 60°=√3,直线l 2的斜率k 2=-2√3-√3-2-1=√3,因为k 1=k 2,所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合.7.解析 由题意得l 1∥l 2,所以k l 1=k l 2.因为k l 1=k AB =1-(-1)-4a-0=-a 2,k l 2=k MN =-2-10-1=3,所以-a2=3,所以a=-6.经检验,当a=-6时,直线AB 与直线MN 不重合,故满足题意.8.B 如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.结合题知①③正确.故选B. 9.B 解法一:∵直线l 1的倾斜角为30°, ∴k l 1=tan 30°=√33,∵l 1⊥l 2,∴k l 1·k l 2=-1,∴k l 2=-√3.解法二:∵直线l 1的倾斜角为30°,直线l 2⊥l 1,∴直线l 2的倾斜角α=30°+90°=120°,∴直线l 2的斜率k=tan 120°=-√3.故选B. 10.答案 (-12,12)解析 设点B 的坐标为(a,-a).由题意知a≠0,因为AB⊥OB,所以-a -1a·-a a =-1,解得a=-12.经检验,a=-12满足题意.所以点B 的坐标为(-12,12).11.解析 因为点P 在y 轴上,所以设点P 的坐标为(0,y). 因为∠MPN 为直角,所以PM⊥PN.设直线PM 的斜率为k PM ,直线PN 的斜率为k PN , 则k PM ·k PN =-1,即y -20-2·y -(-2)0-(-6)=-1,解得y=±4.所以点P 的坐标是(0,4)或(0,-4).12.B 易求得k AB =k DC ,k AD ≠k BC ,k AD ·k AB =-1,所以顺次连接A,B,C,D 构成的图形为直角梯形. 13.答案 -2;2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2=m 2,若l 1⊥l 2,则m2=-1,∴m=-2.当m=-2时,关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两根,∴m=-2满足题意.若l 1∥l 2,则k 1=k 2,即关于k 的方程2k 2-4k+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4×2×m=0, ∴m=2.14.解析 设直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2, 则k 1=2-aa -4,k 2=2-(a+2)1-(-2)=-a3. (1)若l 1∥l 2,则2-a a -4=-a3,解得a=1或a=6.经检验,当a=1或a=6时,l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2,则①当k 2=0时,解得a=0,k 1=-12,不符合题意;②当k 2≠0时,l 1的斜率存在,此时k 1=2-aa -4. 由k 1k 2=-1可得2-aa -4·(-a3)=-1,解得a=3或a=-4. ∴当a=3或a=-4时,l 1⊥l 2.能力提升练一、选择题1.C 由题意,知α1=α2+90°或α2=α1+90°,所以|α2-α1|=90°.2.D 设直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2=-1,所以l 1⊥l 2.3.D 因为k 1,k 3是方程2x 2-3x-2=0的两根,解方程得{k 1=-12,k 3=2或{k 1=2,k 3=-12.又l 1∥l 2,所以k 1=k 2,所以k 1+k 2+k 3的值是1或72.4.D ∵l 1⊥l 2,∴k 1·k 2=-1,即34×a 2+1-(-2)0-3a=-1(a≠0),解得a=1或a=3.经检验,a=1和a=3均满足题意.5.C 当点P 在x 轴上时,设其坐标为P(x,0), 由PA⊥PB 可得0-1x -0×0-2x -4=-1,即x 2-4x+2=0,由于Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,故方程有两个不相等的实数根,即在x 轴上有两个点符合题意;当点P 在y 轴上时,PA 的斜率不存在,故当PB 的斜率为0时,满足题意,此时点P 的坐标为(0,2). 综上,满足PA⊥PB 的点P 的个数是3.6.A 设顶点A 的坐标为(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH 的斜率存在, 所以{k AH ·k BC =-1,k BH ·k AC =-1,即{y -2x+3×(-14)=-1,-15×y -3x+6=-1,解得{x =-19,y =-62,即顶点A 的坐标为(-19,-62).二、填空题7.答案 直角三角形解析 因为AB 边所在直线的斜率k AB =2-2√2-(2+2√2)0-2=2√2,CB 边所在直线的斜率k CB =2-2√2-20-4=√22,AC 边所在直线的斜率k AC =2-(2+2√2)4-2=-√2,所以k CB ·k AC =-1,所以CB⊥AC,所以△ABC 是直角三角形.8.答案 52解析 如图,设B(a,0),C(0,b),过点B,C 作两条法线交于点E,则∠E=90°.所以∠ECB+∠EBC=90°,所以2∠ECB+2∠EBC=180°. 又由反射角等于入射角,可得∠DCB+∠ABC=180°,所以AB∥CD, 所以k AB =k CD ,即0-4a -(-3)=b -60-(-1).①由反射角等于入射角,还可得直线AB 的倾斜角与直线BC 的倾斜角互补, 所以k AB =-k BC ,即0-4a -(-3)=-b -00-a .② 联立①②,得{a =-75,b =72.所以B (-75,0),C (0,72).所以k BC =52.三、解答题9.解析 如图,直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l 1的斜率k 1=tan 60°=√3.当m=1时,直线AB 的斜率不存在,此时l 2的斜率为0,不满足l 1∥l 2.当m≠1时,直线AB 的斜率k AB =m -1-21-m =m -31-m ,∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2=m -1m -3.∵l 1与l 2平行或重合,∴k 1=k 2,即√3=m -1m -3,解得m=4+√3.10.解析 要使四边形ABCD 是直角梯形,则有2种情形,如图所示:①AB∥CD,AB⊥AD,此时A(2,-1).∴m=2,n=-1.②AD∥BC,AD⊥AB,∴{k AD =k BC ,k AD ·k AB =-1,即{n -2m -2=2-(-1)4-5,n -2m -2·n -(-1)m -5=-1, 解得{m =165,n =-85. 综上,{m =2,n =-1或{m =165,n =-85.11.解析 (1)证明:设A,B 的横坐标分别为x 1,x 2.则由题意,知x 1>1,x 2>1,A(x 1,log 8x 1),B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1),D(x 2,log 2x 2),且log 8x 1x 1=log 8x 2x 2, 又k OC =log 2x 1x 1=3log 8x 1x 1,k OD =log 2x 2x 2=3log 8x 2x 2,由此得k OC =k OD ,即点O,C,D 在同一条直线上.(2)由(1)知B(x 2,log 8x 2),C(x 1,log 2x 1).由直线BC 平行于x 轴,得log 2x 1=log 8x 2.所以x 2=x 13,将其代入log 8x 1x 1=log 8x 2x 2,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由x 1>1,知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1,所以x 1=√3,于是A(√3,log 8√3).。
2016秋数学人教A版必修2练习：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 含解析
[A基础达标]1．下列说法中正确的是（）A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B．平行的两条直线的倾斜角一定相等C．垂直的两直线的斜率之积为－1D．只有斜率相等的两条直线才一定平行答案:B2．直线l过(m，n）、(n,m）两点，其中m≠n,mn≠0，则( ) A．l与x轴垂直B．l与y轴垂直C．l过原点和第一、三象限D．l的倾斜角为135°解析：选D。
直线的斜率k＝错误!＝－1，所以直线l的倾斜角为135°。
3．若过点A（2，－2），B(5，0)的直线与过点P（2m，1），Q （－1，－m）的直线平行，则m的值为（）A．－1 B．1C．2 D．错误!解析：选B.由错误!＝错误!，得m＝1。
故选B。
4．已知直线l1经过点A（0，－1)和点B错误!,直线l2经过点M（1，1）和点N（0，－2）,若l1与l2没有公共点，则实数a的值为（）A.错误!B．－错误!C．6 D．－6解析:选D。
由题意得l1∥l2，则错误!＝错误!，解得a＝－6。
5．设点P（－4，2），Q(6，－4)，R(12，6)，S（2，12），则下面四个结论:①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS;④RP⊥QS.正确的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析:选C。
因为k PQ＝错误!＝－错误!，k SR＝错误!＝－错误!，k PS＝错误!＝错误!，k QS＝错误!＝－4,k PR＝错误!＝错误!。
又P、Q、S、R四点不共线,所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS。
故①②④正确．6．已知定点A（1，3）,B(4,－2），在y轴上求一点C,使得AC ⊥BC，那么C点坐标是________．答案：(0，2）或(0，－1）7．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2），B(0，1)，C（4，3），点D（m，1）在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．解析：设直线AD,BC的斜率分别为k AD，k BC，由AD⊥BC得k AD·k BC＝－1，所以错误!×错误!＝－1⇒m＝错误!.答案：错误!8．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1)，B（1,0）,C （4,3）,则顶点D的坐标为__________．解析：设D(m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有k AB＝k DC，k AD＝k BC,所以错误!解得错误!所以点D的坐标为(3，4）．答案:（3,4)9．当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1,m－2）的直线：（1)倾斜角为135°；(2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直;（3）与过两点（2，－3），（－4,9）的直线平行．解:（1)由k AB＝错误!＝－1，得2m2＋m－3＝0,解得m＝－错误!或1.（2)由错误!＝3及垂直关系，得错误!＝－错误!，解得m＝错误!或－3。
人教A版高中必修二试题3-1-2两条直线平行与垂直的判定
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）第3章 3.1 3.1.2一、选择题1．过点A (1,2)和点B (－3,2)的直线与x 轴的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合D ．以上都不对[答案] B[解析] ∵A 、B 两点纵坐标相等， ∴直线AB 与x 轴平行．2．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3) [答案] D[解析] 设P (0，y ) ∵l 1∥l 2 ∴y －10＋1＝2∴y ＝3 故选D.3．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194 C ．5D ．4[答案] B[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆， 所以AB ⊥BC ∴4－03－2·4－y 3－0＝－1 ∴y ＝194故选B.4．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)、(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．1[答案] A[解析] ∵l 1∥l 2且k 1不存在，∴k 2不存在， ∴x ＝2 故选A.5．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．120° C ．45°D ．135°[答案] C[解析] k MN ＝－3－22＋3＝－1 ∴和l 垂直的直线斜率k ＝1，∴α＝45°，故选C.6．直线l 1⊥l 2，又l 2过点A (1,1)，B (m ，n )，l 1与y 轴平行则n ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．不存在 [答案] A[解析] ∵l 1∥y 轴，∴l 1的斜率不存在，又l 1⊥l 2 ∴l 2的斜率为0，∴n ＝1 故选A.7．已知A (－1,2)，B (1,3)，C (0，－2)，点D 使AD ⊥BC ，AB ∥CD ，则点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－97，47 B.⎝⎛⎭⎫547，137 C.⎝⎛⎭⎫383，133 D.⎝⎛⎭⎫387，57 [答案] D[解析] 设D (x ，y )，∵AD ⊥BC ， ∴y －2x ＋1·3－(－2)1－0＝－1，∴x ＋5y －9＝0， ∵AB ∥CD ，∴y ＋2x ＝3－21－(－1)，∴x －2y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y －9＝0x －2y －4＝0得，⎩⎨⎧x ＝387y ＝57，故选D.8．已知点M (1，－3)、N (1,2)、P (5，y )，且∠NMP ＝90°，则log 8(7＋y )的值为( )A ．1 B.23 C ．0D.12[答案] B[解析] ∵∠NMP ＝90°且k MN 不存在 ∴k MP ＝0 ∴y ＝－3 ∴log 8(7＋y )＝log 84＝23.9．A (m,2)、B (－2，m )、C (1,2)、D (－5,5)，若AB ∥CD 则m ＝( ) A.23B ．6C ．1D ．－6[答案] B[解析] ∵AB ∥CD ，∴m －2－2－m ＝5－2－5－1∴m ＝6.10．若Rt △ABC 的三边长分别为a 、b 、c (a <b <c )，则三点P (a ＋b ，c )，Q (b ＋c ，a )，R (a ＋c ，b )的关系是( )A ．组成直角三角形B ．构成非直角三角形C ．这三点共线D ．以上都不对 [答案] C[解析] ∵0<a <b <c ，∴k PQ ＝a －c (b ＋c )－(a ＋b )＝－1，k PR ＝b －c(a ＋c )－(a ＋b )＝－1，又直线PQ 与PR 有公共点P ，∴P 、Q 、R 三点共线． 二、填空题11．平行四边形ABCD 中，已知三个顶点坐标为A (－3,1)、B (3,0)、C (－1,2)，则D 点坐标为________．[答案] (－7,3)[解析] 设D (x ，y ) ∵AB ∥CD ∴y －2x ＋1＝1－0－3－3又∵AD ∥BC ，∴y －1x ＋3＝2－1－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7y ＝312．直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是______．[答案] 1；－33[解析] ∵k AB ＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°. (1)∵l 1与l 垂直，∴kl 1＝1.(2)∵∠ABC ＝15°，∠CDB ＝135°， ∴∠β＝135°＋15°＝150°，∴kl 2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－33. 三、解答题13．已知四边形MNPQ 的顶点M (1,1)，N (3，－1)，P (4,0)，Q (2,2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．[解析] ∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1∴MN ∥PQ 又∵k MQ ＝2－12－1＝1 k NP ＝0＋14－3＝1 ∴MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形又k MN ·k MQ ＝－1 ∴MN ⊥MQ ∴四边形MNPQ 为矩形．14．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形． [解析] ∵k AB ＝3，k BC ＝0，∴k AB ·k BC ≠－1，即AB 与BC 边不垂直．故由四边形ABCD 为直角梯形可知，AD (或CD )为垂直于两底的腰． (1)当AD 为垂直于两底的腰时，有AB ⊥AD ，AB ∥CD ，设D (x ，y )，则有 ⎩⎨⎧ 3×y －3x＝－1yx －3＝3，∴⎩⎨⎧x ＝185y ＝95.(2)当CD 为垂直于两底的腰时，有AD ∥BC ，CD ⊥BC ，设D (x ，y )，∴y －3x ＝0且直线CD 的斜率不存在，则D (3,3)，综上知D (3,3)或D ⎝⎛⎭⎫185，95.15．已知：A (1，－1)，B (5，－1)，C (3,2)三点，试判断△ABC 形状． [解析] 由A 、B 点坐标可知，AB ∥x 轴AC 边所在直线的斜率为k AC ＝32，BC 边所在直线的斜率为k BC ＝－32，∴tan A ＝k AC ＝32，tan B ＝－tan(180°－B )＝－k BC ＝32，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．16．已知A (1,2)、B (－2，－1)，在坐标轴上求一点C ，使△ABC 为直角三角形． [分析] 点C 可能在x 轴上，也可能在y 轴上，直角顶点可能为A 也可能为B 或C ，故应分类讨论．[解析] (1)设C (x,0)，若AB ⊥BC ，则由k AB ·k BC ＝－1，得x ＝－3；若AB ⊥AC ，则x ＝－1；若BC ⊥AC ，则x ＝－1±172.(2)设C (0，y )，若AB ⊥BC ，则y ＋12×1＝－1，∴y ＝－3；若AB ⊥AC ，则y －2－1×1＝－1，∴y ＝3；若AC ⊥BC ，则y －2－1·y ＋12＝－1，∴y ＝1±172，故这样的点C 有八个，即(－1,0)、(－3,0)、⎝⎛⎭⎪⎫－1－172，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋172，0、(0，－3)、(0,3)、⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋172、⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－172.17．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解析] 设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD . ∴▱ABCD 为菱形．。
人教新课标版数学高一人教A版必修2试题 两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2m m －3，解得m ＝－1. 2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C 如右图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0) 解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 即y ＋52·(－y －66)＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)． 4．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得k AB ＝－4－26－(－4)＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，k AD ＝12－22－(－4)＝53，k AC ＝6－212－(－4)＝14，k BD ＝12－(－4)2－6＝－4，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD . 5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．二、填空题6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m＝－1，∴m ＝0. 答案：07．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a ＝4. 答案：48．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在． 则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x＝－1，解得x ＝－9. 答案：(－9,0)三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34，或m ＝－1. 10．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m －1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92. 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.。
人教A版高中数学必修2：3.1.2直线的平行和垂直的判定(平行班).2doc
90
斜率存在
tan 2
1
tan 1
即k1 k2 1
想一想 k1 k2 1
除了两条直线的斜率都存在且k1 k2 1
外,还有什么情况，会有 l1 l2 呢？
练一练
3、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6) 判断直线AB与PQ的位置关系.
4、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，试 判断△ABC的形状.
2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3)试判断 四边形ABCD的形状，并给出证明.
两直线垂直的判定
l1⊥l2 成立条件：
k1k2 ＝ -1
y l2
l1
两条直线l1、l2的斜率存
在,且分别为k1、k2
α1 α2
x
l1 ⊥ l2
2
1
笛卡儿的思想核心是：把几何学 的问题归结成代数形式的问题，用代 数学的方法进行计算、证明，从而达 到最终解决几何问题的目的。依照这 种思想他创立了我们现在称之为的 “解析几何学”。
回忆旧知
1.在平面几何中我们怎样判断两条直线 平行？
2.什么是倾斜角？什么叫斜率？
两直线平行的判定
l1∥l2
k1＝k2
y
l1 l2
成立条件：
两条不重合的直线l1、l2 斜率分别为k1、k2
o α1 α2
x
l1∥l2
不重合
1 2
斜率存在
tan1 tan2
即k1 k2
想一想
若两条直线l1，l2的斜率不存在， l1 // l2吗？
试一试
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[答案]D
[解析]设P(0，y)∵l1∥l2∴ ＝2
∴y＝3故选D.
3．已知两点A(2,0)、B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O、A、B、C四点共圆，那么y的值是()
A．19B.
C．5D．4
[答案]B
[解析]由于A、B、C、O四点共圆，
8．已知点M(1，－3)、N(1,2)、P(5，y)，且∠NMP＝90°，则log8(7＋y)的值为()
A．1B.
C．0D.
[答案]B
[解析]∵∠NMP＝90°且kMN不存在∴kMP＝0
∴y＝－3∴log8(7＋y)＝log84＝ .
9．A(m,2)、B(－2，m)、C(1,2)、D(－5,5)，若AB∥CD则m＝()
15．已知：A(1，－1)，B(5，－1)，C(3,2)三点，试判断△ABC形状．
[解析]由A、B点坐标可知，AB∥x轴
AC边所在直线的斜率为kAC＝ ，
BC边所在直线的斜率为kBC＝－ ，
∴tanA＝kAC＝ ，
tanB＝－tan(180°－B)＝－kBC＝ ，
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
16．已知A(1,2)、B(－2，－1)，在坐标轴上求一点C，使△ABC为直角三角形．
A．60°B．°
C．45°D．135°
[答案]C
[解析]kMN＝ ＝－1∴和l垂直的直线斜率k＝1，∴α＝45°，故选C.
6．直线l1⊥l2，又l2过点A(1,1)，B(m，n)，l1与y轴平行则n＝()
A．1B．－1
C．2D．不存在
[答案]A
[解析]∵l1∥y轴，∴l1的斜率不存在，又l1⊥l2
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴ ，解得 ，
∴D(－1,6)．
(2)∵kAC＝ ＝1，kBD＝ ＝－1，
∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD.
∴▱ABCD为菱形．
∴l2的斜率为0，∴n＝1故选A.
7．已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为()
A. B.
C. D.
[答案]D
[解析]设D(x，y)，∵AD⊥BC，
∴ · ＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴ ＝ ，∴x－2y－4＝0，
由 得， ，故选D.
[分析]点C可能在x轴上，也可能在y轴上，直角顶点可能为A也可能为B或C，故应分类讨论．
[解析](1)设C(x,0)，若AB⊥BC，则由kAB·kBC＝－1，得x＝－3；若AB⊥AC，则x＝－1；若BC⊥AC，则x＝ .
(2)设C(0，y)，若AB⊥BC，则 ×1＝－1，
∴y＝－3；
若AB⊥AC，则 ×1＝－1，∴y＝3；
[解析]∵kMN＝ ＝－1，kPQ＝ ＝－1
∴MN∥PQ又∵kMQ＝ ＝1kNP＝ ＝1
∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形
又kMN·kMQ＝－1∴MN⊥MQ∴四边形MNPQ为矩形．
14．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形．
[解析]∵kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC≠－1，即AB与BC边不垂直．
故由四边形ABCD为直角梯形可知，AD(或CD)为垂直于两底的腰．
(1)当AD为垂直于两底的腰时，有AB⊥AD，AB∥CD，设D(x，y)，则有
，∴ .
(2)当CD为垂直于两底的腰时，有AD∥BC，CD⊥BC，设D(x，y)，∴ ＝0且直线CD的斜率不存在，则D(3,3)，综上知D(3,3)或D .
所以AB⊥BC∴ · ＝－1∴y＝
故选B.
4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(x,6)，且l1∥l2，则x＝()
A．2B．－2
C．4D．1
[答案]A
[解析]∵l1∥l2且k1不存在，∴k2不存在，
∴x＝2故选A.
5．已知直线l与过点M(－ ， )，N( ，－ )的直线垂直，则直线l的倾斜角是()
[答案]1；－
[解析]∵kAB＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°.
(1)∵l1与l垂直，∴kl1＝1.
(2)∵∠ABC＝15°，∠CDB＝135°，
∴∠β＝135°＋15°＝150°，
∴kl2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－ .
三、解答题
13．已知四边形MNPQ的顶点M(1,1)，N(3，－1)，P(4,0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形．
第3章3.13.1.2
一、选择题
1．过点A(1,2)和点B(－3,2)的直线与x轴的位置关系是()
A．相交B．平行
C．重合D．以上都不对
[答案]B
[解析]∵A、B两点纵坐标相等，
∴直线AB与x轴平行．
2．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()
A．(3,0)B．(－3,0)
A. B．6
C．1D．－6
[答案]B
[解析]∵AB∥CD，∴ ＝ ∴m＝6.
10．若Rt△ABC的三边长分别为a、b、c(a<b<c)，则三点P(a＋b，c)，Q(b＋c，a)，R(a＋c，b)的关系是()
A．组成直角三角形
B．构成非直角三角形
C．这三点共线
D．以上都不对
[答案]C
[解析]∵0<a<b<c，∴kPQ＝ ＝－1，kPR＝ ＝－1，
又直线PQ与PR有公共点P，∴P、Q、R三点共线．
二、填空题
11．平行四边形ABCD中，已知三个顶点坐标为A(－3,1)、B(3,0)、C(－1,2)，则D点坐标为________．
[答案](－7,3)
[解析]设D(x，y)∵AB∥CD∴ ＝
又∵AD∥BC，∴ ＝ ，解得
12．直线l过点A(0,1)和B(－2,3)，直线l绕点A顺时针旋转90°得直线l1，那么l1的斜率是______；直线l绕点B逆时针旋转15°得直线l2，则l2的斜率是______．
若AC⊥BC，则 · ＝－1，∴y＝ ，
故这样的点C有八个，即(－1,0)、(－3,0)、 、 、(0，－3)、(0,3)、 、 .
17．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？
[解析]设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，