数学分析的基本内容和方法

渤海大学数理学院

毕业论文

论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法

系别：数学系

专业年级：数学与应用数学专业07级

姓名：王迪

学号：********

指导教师：***

日期：2011年5月20日

目录

一、数学分析中的研究对象 (3)

二、数学分析的基本内容 (3)

三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3)

1.极限概念 (4)

2.连续和一致连续的概念 (5)

3.收敛和一致收敛概念 (6)

4.导数概念 (6)

5.微分概念 (7)

6.原函数和不定积分 (7)

7.定积分 (8)

8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8)

9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9)

10.连续与一致连续的关系 (9)

11.收敛和一致收敛的关系 (9)

12.连续、不定积分和定积分的关系 (10)

13.微分和积分的关系 (10)

四、数学分析的主要计算 (11)

1.极限的求法 (12)

2.微分学中的计算 (13)

3.积分学中的计算 (14)

4.无穷级数中的计算 (14)

五、数学分析的主要理论 (15)

1.实数的连续性和极限的存在性 (16)

2.连续函数的基本性质 (17)

3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18)

4.积分中的理论 (19)

5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20)

6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21)

六、数学分析的基本方法 (21)

七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)

简述数学分析中的基本内容和方法

王迪

（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）

摘要：数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

关键词：极限，微分，积分，近似。

Contents and methods of mathematical analysis

Wang di

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)

Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems.

Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.

引言

数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析正是其中最重要的一个环节。数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。在后期的研究中，一方面不断借鉴已有的研究成果，另一方面要开拓思路，通过分析数学家们的探索与解决，将其中的数学思想与哲学思想体现出来，深入发掘，力争体现数学分析的重大影响。

一、数学分析中的研究对象

数学分析就是要研究初等函数和各种形式表示的函数的某些性质，如极限的存在性，连续性，可导性，可积性等；研究函数的各种运算，如极限的运算，微分学饿运算，积分学的运算等等。

二、数学分析的基本内容

基本内容有极限和级数，主要包括连续函数及其性质，实数理论，数值级数，幂级数和傅里叶级数；微分学主要包括一元函数的导数和微分的计算，微分学的基本定理，微分学的应用以及泰勒公式，还包括多元函数的微分学；积分学主要包括一元函数的不定积分和定积分以及广义积分，多元函数的重积分和曲线积分。

三、数学分析中的基本概念和相互关系

1.极限概念