高中数学建模论文

数学建模之观影的最佳位置

山东省茌平县第一中学高二（9）班李成真

指导老师于海霞摘要

当今这个时代，电影是一种喜闻乐见的大众艺术，人们喜欢在闲暇时间走进影院，体验其中的喜怒哀乐。而同时，作为一种消费，人们总是希望自己能坐在电影院的最佳位置，使得视觉，听觉得到最好的享受，本文章从看电影时观众的舒适度出发，对影院的座位设计进行了探讨，而我也专门到电影院采集了相关的一些数据，比如大屏幕的长宽，地板倾角θ等，通过查阅文献，我了解到影院座位的舒适程度主要取决于视角α.和仰角β,视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角, 越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, 太大使人的头部过分上仰, 引起不适, 一般要求仰角β不超过30。【1】在了解了这些之后，并通过非线性规划，自学了Matlab软件，利用其进行了计算。

关键词

电影院最佳位置仰角视角 Matlab

前言

电影是一种表演艺术、视觉艺术及听觉艺术，利用胶卷、录像带或数位媒体将影像和声音捕捉，再加上后期的编辑工作而成。电影艺术诞生于1895年12月28日。电影于1896年8月传入中国上海。随着人们生活质量的提高，更高的生活品质成为人们的追求，电影作为一个雅俗共赏的消遣方式，越来越受到人们的关注，而中国的票房也逐年升高，除了引进的外国大片获得很高的票房，如《阿凡达》、《泰坦尼克号》等，国产影片也令人刮目相看，《泰囧》、《大闹天宫》、《私人定制》等创造了一个又一个票房奇迹。从中我们看到电影在人们生活中的重要性，也因此，为吸引观众，影院开始引入高科技，如3D

技术、曲面屏幕、IMAX大屏，除此之外，在设计时影院也充分考虑了观众看电影时的舒适度，对于影院的地板倾角，前后排椅子之间的距离，以及观众离屏幕的距离都进行了精心设计。可是尽管如此，不同的位置看电影，感受肯定会有很大差异，根据这个想法，我们进行了数学建模。

建模构想

看电影时的舒适感取决于视角α和仰角β，所以在选取最佳位置时要综合考虑两者，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角, 越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, 太大使人的头部过分上仰, 引起不适,一般要求仰角β不超过30。所以如果坐的太靠前，导致仰角太大，除了脖子会感到酸痛外，视野及画面感也不好，甚至会感到头晕。而坐的太靠后，又可能会觉得画面不是那么的清晰，甚至被前面的观众挡住视线，看不到屏幕的最下面。所以，看电影挑选位置是一门学问。

设影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H，影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ,第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为d, D, 观众的平均座高为c (指眼睛到地面的距离), 为了得到这些基本参数，我专门来到电影院采集数据，询问了电影院工作人员，在说明来意之后，她热心的为我解答甚至专门拿出了电影院建设之初的相关材料，而我也得知了参数h = 1.8, H= 5, d= 4.5, D= 19，c = 1.1(单位m )。地板线的倾角θ= ,并且查出电影院一般的中等

放映厅排数为19排，这样就可以求出每两排之间间距为

(19-4.5)/18=0.8m

图一.询问工作人员关于影院参数的问题

本文从观众看电影的视角和仰角入手，列出非线性方程，并力求使得视角最大化，仰角最小化，从而可求出观影的最佳位置。

图二. 电影院座位图

基本假设：

1.每位观众坐下后眼睛到地面的距离相等。

2.忽略前排观众对后排观众的阻挡，每个人都可以完整的看到整个大屏幕

3.本文中用到的电影院的各种数据是标准电影院，但不代表所有的放映厅，因其规格不同。

4.不考虑曲面屏幕对视觉带来的影响。

模型的建立：

考虑到看电影的每个人是离散的，因此，在知道电影院的座位一共有22排后，就可以将看电影的最佳位置转变为一个个离散的点。除此之外，最佳位置一定位于最中央的一列上的某个位置，因此，可以通过求解哪一排的观影效果最好来确定最佳位置。这样问题就转化为一个平面的几何问题，从而可以绘制出影院放映厅内的剖面图，如下图所示。且各未知量均标记在图上。

图三.放映厅剖面图

模型求解

为达到”视角尽可能大, 仰角尽可能小”的目的, 就在λ线(视觉线)上选择合适的点使得角α尽量大, 但角β尽量小, 最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点; 由于α的变化范围在0o - 90o 之间, α-β的范围在-90o - 90o 之间, 所以α和α- β的大小可用正切( tan)和反正切函数( arctan)来衡量, 如图1所示, 即有:

tan βx

L H -= x

H h L -+=-arctan βα (L + h > H 时为正)

令：f(x)=tan β F （x)=α

因此可得到目标函数:

x L

H x f -=)(

)arctan(arctan )(x

H h L x L H x F -++-=

约束条件为：

影院中每排据屏幕的距离x 可表示为:

)1)(1(8.0m n Z n n d x ≤≤∈-+=+且

其中: L 表示观众眼睛到水平面的距离, n 表示影院中座位的排数。

对于这个多目标问题, 用“主目标优化法”对模型进行求解。进一步分析, 人们看电影时, 视角大时能达到更好的观看效果, 而通过调整颈部的扭转角度,也就是仰角，只要角度不太大, 是不会给人们的身体带来较大的不适感, 特别是电影内容比较精彩时, 人们会更忽略颈部的轻微不适感。一般情况下, 当仰角不超过30o 时, 短时间内人们是不会感觉不舒适的。也就是说, 视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更为重要。所以F(x) 为主要目标, f( x ) 降为约束条件, 那么问题转化为一个非线性规划[2]

那么，F （x)约束条件为：