3-3 二次函数 三年模拟精选33
九年级中考三轮考前冲刺数学压轴题：二次函数专题强化训练练习(二)
2021年中考三轮考前冲刺数学压轴题：二次函数专题强化训练练习（二）1、如图，已知，二次函数的图像交轴正半轴于点，顶点为，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，的正切值为.（1）求二次函数的解析式与顶点坐标；（2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值.2、如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G 的坐标；（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．3、如图，抛物线y =12（x ﹣3）2−32与x 轴交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点，顶点D ． （1）求点A 、B 、D 三点的坐标；（2）连结CD 交x 轴于G ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，交抛物线对称轴于E ，求出E 点的纵坐标；（3）以②中点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标．4、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），OB =OA ，且∠AOB =120°． （1）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△OBC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为抛物线上一点，点N 为对称轴上一点，是否存在点M 、N 使得A 、O 、M 、N 构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5、已知抛物线L：y＝x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．6、已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+√3对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．7、如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．8、如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且周长取最大值时，求点G的坐标．9、如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．（1）求直线AD的解析式．（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。
中考数学总复习《二次函数的三种形式》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数的三种形式》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与c的部分对应值如下表则下列判断中正确的是().A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根2．若b<0，则二次函数y=x2-bx-1的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将二次函数y=2x2﹣4x+1化成顶点式是（）A．y=2（x+1）2﹣1B．y=2（x﹣1）2﹣1C．y=2（x+1）2+1 D．y=2（x﹣1）2+14．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4B．y=（x﹣1）2+4C．y=（x+1）2+2D．y=（x﹣1）2+25．二次函数y＝x2－6x＋5的图像的顶点坐标是（）A．(－3，4)B．(3，－4)C．(－1，2)D．(1，－4)6．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（）A．y=（x-2）2-1B．y=（x+2）2-1C．y=（x-2）2+7D．y=（x+2）2+77．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1B．直线x=-1C．直线x=2D．直线x=-28．已知二次函数的解析式为：y=-3（x+5）2﹣7，那么下列说法正确的是（）A．顶点的坐标是（5，-7）B．顶点的坐标是（-7，-5）C．当x=-5时，函数有最大值y=-7D．当x=-5时，函数有最小值y=-79．在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（）A．x轴与⊙P相离；B．x轴与⊙P相切；C．y轴与⊙P与相切；D．y轴与⊙P相交．10．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x-2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0，5B．0，1C．-4，5D．-4，111．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE⊙x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为（）A．y= 14（x+3）2B．y= 14（x﹣3）2C．y=﹣14（x+3）2D．y=﹣14（x﹣3）212．抛物线y=−(x−1)2−2的顶点坐标是（）A．（－1，－2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（1，2）二、填空题(共6题；共6分)13．将二次函数y=﹣2x2+6x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，则y=．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为15．已知某抛物线的顶点是(2,−1)，与y轴的交点到原点的距离为3，则该抛物线的解析式为．16．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为.17．将二次函数y=x2﹣2x+4化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．18．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．三、综合题(共6题；共74分)19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y=x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，⊙AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．21．用配方法将二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴（1）y=2x2+6x﹣12（2）y=﹣0.5x2﹣3x+3．22．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．23．已知二次函数y=x2−4x+3.（1）将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式：；（2）这个二次函数图象与x轴交点坐标为；（3）这个二次函数图象的最低点的坐标为；（4）当y<0时，x的取值范围是.24．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】C13．【答案】﹣2（x﹣32）2﹣1214．【答案】y=﹣2（x+2）2+115．【答案】y=(x−2)2−1或y=−12(x−2)2−116．【答案】( 32,- 14)17．【答案】（x﹣1）2+318．【答案】y=x2-8x+20．19．【答案】（1）解：设直线OA的解析式为y=kx∵A（2，4）∴2k=4，解得k=2∴线段OA所在直线的函数解析式为y=2x；（2）解：∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，∴y=2m（0≤m≤2），∴M（m，2m），∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2）∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2）∴当m=1时，PB最短当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2；（3）解：若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1）则方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．即方程a2﹣3a+4=0有解∵⊙=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．∴二次函数的图象不过点Q．20．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2）将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN⊙x轴将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4）∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4∴⊙AMB的面积为S=S⊙AMN+S梯形MNOB﹣S⊙AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4=2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．21．【答案】（1）解：y=2x2+6x﹣12=2（x+ 32）2﹣32，则该抛物线的顶点坐标是（﹣32，﹣32）对称轴是x=﹣3 2（2）解：y=﹣0.5x2﹣3x+3=﹣12（x+3）2+ 152，则该抛物线的顶点坐标是（﹣3，152），对称轴是x=﹣322．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4）令x=0，则y=﹣3∴与y轴交点为（0，﹣3）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：x…﹣10 123…y=x2﹣2x﹣3…0﹣3﹣4﹣30…（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜1223．【答案】（1）y＝（x－2）2－1（2）（1，0）或（3，0）（3）（2，－1）（4）1＜x＜324．【答案】（1）解：y=（x2﹣2x+1）﹣4=（x﹣1）2﹣4（2）解：令y=0，得x2﹣2x﹣3=0解得x1=3，x2=﹣1∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）。
初三二次函数压轴题精选-二次函数综合压轴题（含答案）
初三⼆次函数压轴题精选-⼆次函数综合压轴题（含答案）⼆次函数压轴题1、如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另⼀点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所⽰的位置沿x 轴的正⽅向匀速平⾏移动，同时⼀动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所⽰）.①当t=25时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；②设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形⾯积为S ，试问S 是否存在最⼤值？若存在，求出这个最⼤值；若不存在，请说明理由．2、已知⼆次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)．(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中⼀个动点到达端点时，另⼀个也随之停⽌运动．设运动时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平⾏线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的⾯积为S 求⾯积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值范围；当t 为何值时，S 有最⼤值或最⼩值．O A B C P QMN第2题图3、如图，P为正⽅形ABCD的对称中⼼，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴⽅向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O出发沿OM⽅向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。
求：（1）C的坐标为；（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最⼤值。
二次函数基础精选33题
二次函数基础精选33题1. 已知抛物线y=(m-1)x 2，且直线y=3x+3-m 经过第一、二、三象限，则m 的取值范围是 .2. 已知二次函数y=αx 2(α≠0,α为常数)，则y 与x 2成 比例.3. 若y=2221()m m m m x--+是二次函数，则m= . 4. 若函数y=(m 2-1)x3+(m+1)x 2的图象是抛物线，则m= .5. 点Α（-2,α）是抛物线y=x2上一点，则α= ；Α点关于原点的对称点B 是 ；Α点关于y 轴的对称点C 是 ，其中点B 、点C 在抛物线y=x2上的是 .6. 抛物线y=2x2+bx+c 的顶点坐标是（1，-2），则b= ，c= .7. 已知一个二次函数的图象经过(-2,0)、(1,0)、(0,2)三点，则这个二次函数的解析式为 .8. 若抛物线y=x 2-6x+c 的顶点在x 轴上，则c 的值是 .9. 在下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）.（Α）xy+x 2=1 （B ）x 2+y+2=0 （C ）y 2-αx=-2 （D ）x 2-y 2+1=010.在同一直角坐标系中，作y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的图象，它们的共同特点是（ ）. （Α）都是关于x 轴对称，抛物线开口向上（B ）都是关于y 轴对称，抛物线开口向上（C ）都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点（D ）都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点11.若二镒函数y=(m+1)x 2+m 2-2m-3的图象经过原点，则m 的值必为（ ）.（Α）-1或3 （B ）-1 （C ）3 （D ）无法确定12.已知原点是抛物线y=(m+1)x 2的最高点，则m 的取值范围是（ ）.（Α）m<-1 （B ）m<1 （C ）m>-1 （D ）m>-213.二次函数y=α(x+k)2+k(α≠0),无论k 为何实数值，其图象的顶点在（ ）.（Α）直线y=x 上 （B ）直线y=-x 上 （C ）x 轴上 （D ）y 轴上14.把函数y=-3x 2的图象沿x 轴翻折，得到的图象的解析式是 .15.抛物线y=-3x 2+bx+c 是由抛物线y=-3x2-bx+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的,则b= ,c= .16.已知抛物线y=x 2+(m-2)x-2m ，当m 时，顶点在y 轴上；当m 时，顶点在x 轴上；当m 时，抛物线经过原点.17.当m= 时，抛物线y=5x 2+(m 2-4)x+1-m 的顶点在y 轴的正半轴上.18.开口向下的抛物线y=(m 2-2)x 2+2mx+1的对称轴经过点（-1，3），则m= .19.抛物线y=1+2x-12x 2可由抛物线y=-12x2向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到.20.对于y=αx 2(α≠0)的图象，下列叙述正确的是（ ）.（Α）α越大开口越大，α越小开口越小（B ）α越大开口越小，α越小开口越大（C ）|α|越大开口越小，|α|越小开口越大（D ）|α|越大开口越大，|α|越小开口越小21.直线y=αx 与抛物线y=αx 2(α≠0)( ).（Α）只相交于一点（1，α） （B ）只相交于一点（0，0）（C ）没有交点 （D ）相交于两点（0，0），（1，α）22.二次函数y=αx 2+bx+c 经过点（-1，12）、（0，5），且当x=2时，y=-3,则α+b+c 的值为（ ）（Α）-4 （B ）-2 （C ）0 （D ）123. 已知函数y=αx 2+bx+c 的图象如图8-98所示，那么此函数的解析式为（ ）. （Α）211322y x x =-- （B ）211322y x x =-+ （C ）211322y x x =+- （D ）211322y x x =--+ 24.把抛物线y=2x 2-2x-3向左平移1/2个单位，再向上平移5/2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）.（Α）y=2x 2+34 （B ）y=2(x-1)2-1 （C ）y=2x 2-6 （D ）y=2x 2-125.已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象顶点是（1，-3），则b 和c 的值是（ ）。
初三二次函数综合练习题
初三二次函数综合练习题一、选择题1. 已知二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为（2，3），则该二次函数的对称轴是（）。
A. x=2B. x=2C. y=2D. y=32. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，则a的取值范围是（）。
A. a>0B. a<0C. a≠0D. 无法确定3. 已知二次函数y=x^22x3的图象上存在一点P，使得P到原点的距离等于5，则点P的坐标可能是（）。
A. (4, 3)B. (4, 3)C. (4, 3)D. (4, 3)4. 下列二次函数中，图象开口向上且顶点在第一象限的是（）。
A. y=x^2+2x+1B. y=x^22x1C. y=x^22x+1D. y=x^2+2x1二、填空题5. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（1，2）和（1，6），则该二次函数的对称轴为直线______。
6. 二次函数y=x^24x+3的图象与x轴的交点坐标为______。
7. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（h，k），则该二次函数的最小值为______。
8. 已知二次函数y=x^2+2x+3的图象与y轴的交点坐标为______。
三、解答题9. 已知二次函数y=x^26x+9的图象，求该函数的顶点坐标、对称轴及开口方向。
10. 已知二次函数y=2x^2+4x+6的图象与x轴有两个交点，求这两个交点的坐标。
11. 设二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（0，3）、（1，2）和（2，1），求该二次函数的解析式。
12. 已知二次函数y=x^24x+3与y=x^2+2x+5的图象相交于A、B两点，求线段AB的长度。
13. 已知二次函数y=x^22x3的图象上存在一点P，使得P到直线y=2x的距离等于1，求点P的坐标。
14. 设二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（2，1），求该二次函数的最大值。
(word版)初三数学二次函数专题训练(含答案),文档
二次函数专题训练〔含答案〕一、填空题1.把抛物线y1x2向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个2单位，得抛物线.2 .函数y2x2x图象的对称轴是，最大值是.3 .正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是.4.二次函数y2x28x 6，通过配方化为y a(x h)2k的形为.5.二次函数y ax2c〔c不为零〕，当x取x，x〔x≠x〕时，函数值相等，那么1212x1与x2的关系是.6.抛物线y ax2bx c当b=0时，对称轴是，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在y轴侧.7.抛物线y 2(x1)23开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.8 .假设a0，那么函数y2x2ax5图象的顶点在第象限；当x a时，函4数值随x的增大而.二次函数9.口抛物线y ax2bx c〔a≠0〕当a0时，图象的开口a0时，图象的开，顶点坐标是.y1(x h)2，开口，顶点坐标是，对称轴2是.11.二次函数y3(x)2()的图象的顶点坐标是〔1，-2〕.12.y1(x1)22，当x时，函数值随x的增大而减小.313.直线y2x1与抛物线y5x2k交点的横坐标为2，那么k=，交点坐标为.14.用配方法将二次函数y x22x化成y a(xh)2k的形式是. 315.如果二次函数yx26x m的最小值是1，那么m的值是.二、选择题：16.在抛物线y2x23x1上的点是〔〕1A.〔0，-1〕B.1,0 C.〔-1，5〕D.〔3，4〕217.直线y5x2与抛物线yx21x的交点个数是〔〕22个个个 D.互相重合的两个18.关于抛物线y ax2bx c〔a≠0〕，下面几点结论中，正确的有〔〕①当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当0时，情况相反.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④一元二次方程ax2bx c 0〔a≠0〕的根，就是抛物线y ax2bx c与x轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C.①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，那么图象的对称轴是〔〕A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数yax b的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函yax2bx-3的大致图象是〔〕图代13-2-1221.假设抛物线y ax2bxc的对称轴是x 2,那么ab〔〕A.2B.11D.2422.假设函数y a1，-2〕，那么抛物线的图象经过点〔xA.质说得全对的是〔〕开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y ax2(a 1)x a3的性轴相交轴相交轴相交轴相交23.二次函数y x2bxc中，如果b+c=0，那么那时图象经过的点是〔〕A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.〔-1，1〕224.函数y ax2与y a〔a0〕在同一直角坐标系中的大致图象是〔〕x图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线y x2bx c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S△ABC=6，那么b的值是〔〕A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数y ax2〔a 0〕，假设要使函数值永远小于零，那么自变量x的取值范围是〔〕A．X取任何实数00或x027.抛物线y2(x3)24向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为〔〕A.y2(x4)26B.y2(x4)22C.y2(x2)22D.y3(x3)2228.二次函数y x2ykx9k2〔k0〕图象的顶点在〔〕轴的负半轴上轴的正半轴上轴的负半轴上轴的正半轴上29.四个函数：y x,y x1,y1〔x0〕，y x2〔x0〕，其中图象经过原x点的函数有〔〕个个个个30.不管x为值何，函数y ax2bx c〔a≠0〕的值永远小于0的条件是〔〕0，00,03C．a0,00,0三、解答题31.二次函数y x22ax 2b 1和y x2(a 3)x b21的图象都经过x轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.32.二次函数y ax2bx c的图象经过点A〔2，4〕，顶点的横坐标为1，它2的图象与x轴交于两点B〔x1，0〕，C〔x2，0〕，与y轴交于点D，且x12x2213，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似〔O为坐标原点〕？假设存在，请求出过P，B两点直线的解析式，假设不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：〔1〕直线AB的解析式；〔2〕抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线y ax23x c交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方向于C点，过A，B，C三点做⊙D，假设⊙D与y轴相切.〔1〕求a，c满足的关系；〔2〕设∠ACB=α，求tgα；〔3〕设抛物线顶点为 P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇局部为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求〔1〕桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；〔2〕BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；〔3〕按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA〔或OA＇〕区域平安通过？请说明理由.4图代13-3-1736.：抛物线yx 2 (m 4)x m 2与x 轴交于两点A(a,0),B(b,0)〔ab 〕.O为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 和⊙O 在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并12指出两圆的位置关系.37.如果抛物线yx 2 2(m 1)x m 1与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴（ 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上， OA 的长是a ，OB 的长是b.1〕求m 的取值范围；2〕假设a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；〔3〕 设〔2〕中的抛物线与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点是 M ，问：抛物线上是否存 在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？假设存在，求出 P 点的坐标；假设不存在，请说明理由.38.：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点 P ，使是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-181〕假设AE=2，求AD 的长.〔2〕当点A 在EP 上移动〔点A 不与点E 重合〕时，①是否总有ADED？试证明AH FH你的结论；②设 ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.二次函数yx2(m24m5)x2(m24m9)的图象与x 轴的交点为2240. A ，B 〔点A 在点B 右边〕，与y 轴的交点为 C.1〕假设△ABC 为Rt △，求m 的值；2〕在△ABC 中，假设AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；〔3〕设△ABC 的面积为 S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值 .如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ，满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.5图代13-3-191〕求⊙C 的圆心坐标.2〕过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.〔3〕抛物线yax 2bx c 〔a ≠0〕的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.直线y1x 和yx m ，二次函数yx 2pxq 图象的顶点为M.21x 与y〔1〕假设M 恰在直线yx m 的交点处，试证明：无论m 取何实数值，2二次函数yx 2 pxq 的图象与直线 y xm 总有两个不同的交点.〔2〕在〔1〕的条件下，假设直线y x m 过点D 〔0，-3〕，求二次函数yx 2pxq 的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20〔3〕 在〔2〕的条件下，假设二次函数 y x 2 pxq 的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线y1x 上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上.242.如图代 13-3-20，抛物线yx 2 ax b 与x 轴从左至右交于A ，B 两点，（ 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.1〕求点C 的坐标；2〕求抛物线的解析式；3〕假设抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.6参 考 答 案动脑动手设每件提高x 元〔0≤x ≤10〕，即每件可获利润〔2+x 〕元，那么每天可销售〔100-10x 〕件，设每天所获利润为y 元，依题意，得y (2x)(10010x)10x 2 80x 20010(x4)2 360.∴当x=4时〔0≤x ≤10〕所获利润最大，即售出价为 14元，每天所赚得最大利润 360元.2.∵ymx 23m 4x 4，3∴当x=0时，y=4.当mx 23m 4x4 0,m0时m 1 3,m 24.33m即抛物线与y 轴的交点为〔0，4〕，与x 轴的交点为A 〔3，0〕，B4,0.3m1〕当AC=BC 时，43,m 4.3m4x 2 9 ∴y492〕当AC=AB 时，AO 3,OC4,AC 5.∴45 .33mm 112 .∴,m 231时，y1x 2 11x4；6当m666当m2时，y2x22x4.3333〕当AB=BC 时，44 2342，3m3m∴m8.77∴y8x244x4.721可求抛物线解析式为：y4x24,y1x211x4,y2x22x4或8x244x 96633y4.7213.〔1〕∵[(25)]24(226)m mm22m21(m2 1)20图代13-3-21∴不管m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.令y=0，得x2(m25)x2m260(x2)(xm23)0，∴x12,x2m23.∴两交点中必有一个交点是A〔2，0〕.〔2〕由〔1〕得另一个交点B的坐标是〔m2+3,0〕.d m232m21，∵m2+100，∴d=m2+1.3〕①当d=10时，得m2=9.∴A〔2，0〕，B〔12，0〕.y x214x24(x7)225.该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为〔7，-25〕，∴AB的中点E〔7，0〕.过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，那么PE 1AB5,PM2b2,ME2(7a)2，2∴(7a)2b252.①∵点PD在抛物线上，8∴b(a 7)2 25. ②解①②联合方程组，得 b 1 1,b 2 0.当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，那么-25≤b -1；△ ABP 为钝角三角形时，那么 b -1，且b ≠0.同步题库一、 填空题1.y1(x2)2,y1(x 2)23；2.x1,1；3.y(x3)29；4.224 8y2(x2)22；5. 互为相反数；轴，左，右；7. 下，x=-1,(-1,-3) ，x-1；8.四，增大；9.向上，向下，b ,4ac b 2 ,xb ； 10.向下，〔h,0〕，x=h ；2a4a2a1 2，-2；-1；，〔2，3〕；14.yx13；15.10.9二、选择题 28. C三、解答题解法一：依题意，设M 〔x 1，0〕，N 〔x 2，0〕，且x 1≠x 2，那么x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴x 1 x 22a ，x 1·x 22b1. ∵x 1，x 2又是方程x 2 (a3)xb 21 0的两个实数根，∴ x1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴2a a 3,2b 1 1 b 2.解得a 1, 或a 1,b 0;b2.当a=1,b=0 时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数y x 2 2x 3和yx 22x 3符合题意.∴a=1，b=2.解法二：∵二次函数yx 22ax 2b 1的图象对称轴为x a ，9二次函数 yx 2 (a 3)x b 21的图象的对称轴为 xa3，2又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线 .∴a3.a2解得a1.∴两个二次函数分别为yx 2 2x 2b1和yx 2 2xb 21.依题意，令y=0，得x 2 2x 2b 1 0，x 2 2xb 2 10.①+②得b 22b 0. 解得b 1 0,b 22.∴a 1,a 1,b 0;或2.b当a=1，b=0时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为y x 22x 3和yx 2 2x3符合题意.∴a=1，b=2.32.解：∵y ax 2 bx c 的图象与x 轴交于点B 〔x 1，0〕，C 〔x 2，0〕，∴x 1 x 2b,x 1x 2c .aa又∵x 12 x 22 13即(x 1x 2)2 2x 1x 2 13，∴( b )22 c 13 .①aa又由y 的图象过点A 〔2，4〕，顶点横坐标为1，那么有4a+2b+c=42，②b 1③2a.2解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.10∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为〔-2，0〕，〔3，0〕.与y 轴交点D 坐标为〔0，6〕.设y 轴上存在点 P ，使得△POB ∽△DOC ，那么有 〔1〕 当B 〔-2，0〕，C 〔3，0〕，D 〔0，6〕时，有OB OP ,OB 2,OC 3,OD6.OCOD∴OP=4，即点P 坐标为〔0，4〕或〔0，-4〕.当P 点坐标为〔0，4〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 OBOP,OB2,OD6,OC3. OD OC ∴OP=1，这时P 点坐标为〔0，1〕或〔0，-1〕.当P 点坐标为〔0，1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得1k.2∴y1x1.2当P 点坐标为〔0，-1〕时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有0=-2k-1 ，得k 1 .2∴y1x1.22〕当B 〔3，0〕，C 〔-2，0〕，D 〔0，6〕时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9， 或y1x 1，3 或y11. x 3解：〔1〕在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为〔4，0〕. ∴ ∠ABC=90°. ∵△CBD ∽△BAO ，∴OB OA2OCOB ，即OB=OA ·OC.11又∵CO=1，OA=4，∴OB2=1×4=4.∴OB=2〔OB=-2舍去〕∴B点坐标为〔0，2〕.将点B〔0，2〕的坐标代入y=k(x-4)中，得k 1.1x 2∴直线的解析式为：y2.2〔2〕解法一：设抛物线的解析式为y a(x1)2h，函数图象过A〔4，0〕，B〔0，2〕，得25a h0,a h 2.解得a1,h25. 1212∴抛物线的解析式为：y1(x1)225. 1212解法二：设抛物线的解析式为：y ax2bx c，又设点A〔4，0〕关于x=-1的对称是D.∵CA=1+4=5，∴CD=5.∴OD=6.∴D点坐标为〔-6，0〕.将点A〔4，0〕，B〔0，2〕，D〔-6，0〕代入抛物线方程，得16a4b c0,c2,36a6b c0.解得a 1,b1,c2. 126∴抛物线的解析式为：y1x21x2.12634.解：〔1〕A，B的横坐标是方程ax23x c 0的两根，设为x1,x2〔x2x1〕，C的纵坐标是C.又∵y轴与⊙O相切，∴OA2·OB=OC.∴x1·x2=c2.又由方程ax23x c0知x1x2c，a12∴c2c，即ac=1.a〔2〕连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴AE1AB .1 2ACBADBADE.2ax ，∵0,x21∴ABx 2x 1 9 4ac5a.aAE5.2a又ED=OC=c ，∴tg AE 5 .DE23〕设∠PAB=β，∵P 点的坐标为3, 5 ，又∵a0，2a 4a∴在Rt △PAE 中，PE5.4a∴PE5tg.AE2∴tgβ=tg α.∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵∠ADE+∠DAE=90°PA 和⊙D 相切.解：〔1〕设DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y ax 2 c ，由题意得 G 〔0，8〕，D 〔15，〕.138c,解得a1 , ∴9025ac.c 8.∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为 y1x 2 8.∵AD1且AD=5.5,90AC4∴×4=22(米).∴cc2OC 2 (OA AC) 2(1522〕=74 〔米〕.答：cc ＇的长为 74米. 〔2〕∵EB 1,BE 4，BC=16.BC 4∴∴AB=AC-BC=22-16=6〔米〕.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是 6米.〔3〕在y1x 2 8中，当x=4时，901737y16 8 .90 45∵37 (7 0.4) 1970.4545∴该大型货车可以从 OA 〔OA ＇〕区域平安通过.解:〔1〕∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即 a0，b0.∴方程x 2 (m 4)x m 2 0的两个根a ，b 异号.ab=m+20，∴m-2.〔2〕当m-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形.根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 22 2m=-4时，四边形POOQ 是矩形.1 2根据题意，计算得S四边形POOQ1b 2〔或1a 2或1〕.1 222〔3〕∵(m 4)2 4(m 2)(m2)240∴方程x 2 (m 4)x m 2 0有两个不相等的实数根.∵ m-2，∴a b m4 0,ab m 20.14∴a0，b0.∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧，并且两圆内切.解：〔1〕设A，B两点的坐标分别是〔x1，0〕、〔x2，0〕，∵A，B两点在原点的两侧，∴x1x20，即-〔m+1〕0，解得m-1.∵[2(m1)]24(1)(m1)4m24m84(m1)272当m-1时，0，∴m的取值范围是m-1.2〕∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k〔k0〕，那么x1=3k，x2=-k，∴3k k2(m1),3k(k)(m1).解得m12,m21 .143∵m x2时，x1〔不合题意，舍去〕，33∴m=2∴抛物线的解析式是y x2x3.〔3〕易求抛物线y x22x3与x轴的两个交点坐标是A〔3，0〕，B〔-1，0〕与y轴交点坐标是C〔0，3〕，顶点坐标是M〔1，4〕.设直线BM的解析式为y px q，4 p1 q,那么0p(1)q.p2,解得q 2.∴直线BM的解析式是y=2x+2.设直线BM与y轴交于N，那么N点坐标是〔0，2〕，∴SBCM SBCNSMNC111111221.设P点坐标是〔x,y〕，15∵SABP8S BCM，∴1AB y81. 2即14y8.2∴y4.∴y4.当y=4时，P点与M点重合，即P〔1，4〕，当y=-4时，-4=-x2+2x+3，解得x122.∴满足条件的P点存在.P点坐标是〔1，4〕，(122,4),(122,4).38.〔1〕解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，∴AD2=AE·AB=2×〔2+6〕=16.∴AD=4.图代13-2-23〔2〕①无论点A在EP上怎么移动〔点A不与点E重合〕，总有证法一：连结DB，交FH于G，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEB.又∵BH⊥AH，BE为直径，∴∠BDE=90°AD ED.AH FH ∴有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB和△DHB中，DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，∴△DFB∽△DHB.BH=BF，∴△BHF是等腰三角形.BG⊥FH，即BD⊥FH.16∴ED∥FH，∴AD ED.AH FH图代13-3-24证法二：连结DB，∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEF.又∵DF⊥AB，BH⊥DH，∴∠EDF=∠DBH.以BD为直径作一个圆，那么此圆必过F，H两点，∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.∴ED∥FH.∴AD EDAH .FH ②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，∴∴△DFE∽△BDE，EFED，即ED2EFEB.ED EB∴x26(6y)，即y1x26.6∵点A不与点E重合，∴ED=x0.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，那么OD⊥PH.∴OD∥BH.又POPE EO639,PB12，OD PO,BH ODPB4，BH PB PO ∴BF BH4,EF EB BF642，2由ED=EF·EB得x2 2 612，x0，∴x23.∴0x≤23.〔或由BH=4=y，代入y1x26中，得x23〕617故所求函数关系式为y1 x2 6〔0x ≤2 3〕.639.解：∵yx2m 4m5 x 2m24m 9(x2)[xm24m9],222∴可得A(2,0),Bm 24m 9 ,0,C0,2m 24m9 .22〔1〕∵△ABC 为直角三角形，∴OC 2OB ，AO24m9即4m24m92m，22化得(m 2)20.∴m=2.〔2〕∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即m 24m 9 2 .2∴OC2m 24m94.∴ACBC5.22过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB·OC=BC ·AD.∴8AD.58∴sin ACBAD 5 4 .AC2 55图代13-3-25〔3〕S ABC1AB CO21m 24m 9 22m 24m9222(u2)u(u1)21.∵u m 2 4m9 1 ，2 2181，即m5∴当u2时，S 有最小值，最小值为.24解：〔1〕∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为32,0，B 点坐标为0,24.55∴⊙C 的圆心C 的坐标为 16 ,12.52〕由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB，∴∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt△AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OE OC ,OFOC .AB OA AB OB∴OE5,OF20.3E 点坐标为〔 5，0〕，F 点坐标为0,20，3∴切线EF 解析式为y4x 20 .3 3〔3〕①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为16,12 4，可得5 5b16, 5,2a 5 a324ac b 2 324ab1,524.24 cc. 55∴y5x 2 x 24 .32 5②当抛物线开口向上时 ,顶点坐标为16,124，得5 519b 16,5,2a 5a 4acb 28, b8 4,4a52424c.c .5541. ∴综合上述，抛物线解析式为〔1〕证明：由y5 x 2 4x 24 .8 5y5x 2 x24或y 5x 2 4x 24.325 85y1x, 2 yxm,有1xxm ，3221∴x mxmy m .2,3 , 32 1∴交点 M()m,m332m 21m此时二次函数为yx3 3x24mx 4m 2 1m .y ，有 3 93由②③联立，消去x24m1x4m 22m0.3934m1 244m 22m39316m 2 8m116m 28m9 3 931 0.∴无论m 为何实数值，二次函数y x 2pxq 的图象与直线yxm 总有两个不同的交点.20图代13-3-26〔2〕解：∵直线y=-x+m过点D〔0，-3〕，∴-3=0+m，∴m=-3.∴M〔-2，-1〕.∴二次函数为y(x2)21x24x3(x3)(x1).图象如图代13-3-26.3〕解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，∴MC为△CMA外接圆直径.∵P在y 1x上，可设Pn,1n，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，22∴∠CPM=Rt∠.过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的延长线交于点Q.由勾股定理，有222212MP QP(n2)2n1.MQ，即MP222NC2NP231n n2.CP2220.CM而MP 2CP2CM2，21n2∴(n2)21n13n220，22即52260，n n2∴5n24n120，(5n6)(n2)0.21∴n 16,n 22.5 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴n 6，5此时1 32n.5∴P 点坐标为6 ,3.5解：〔1〕根据题意，设点A 〔x 1，0〕、点〔x 2，0〕，且C 〔0，b 〕，x 10，x 20，b0，∵x 1，x 2是方程 x 2 axb0的两根， ∴x 1 x 2a,x 1x 2b .2在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC=OA ·OB.∵ OA=-x∴ bb0,∴b=1，∴C 〔0，1〕.〔2〕在Rt △AOC 的Rt △BOC 中，1,OB=x 2，2=-x 1·x 2=b.OCOC 1 1 x 1x 2 a tgtgx 1x 2x 1x 22.OAOBb∴a2.∴抛物线解析式为yx 2 2x1.图代13-3-27〔3〕∵y x 2 2x1，∴顶点P 的坐标为〔1，2〕，当x 2 2x 1 0时，x12. ∴A(12,0),B(12,0).延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1， ∴点D 坐标为〔-1 ，0〕. ∴S 四边形ABPC S DPB S DCA221DB y p 1AD yc221(22)21(22)1 2232(平方单位).223。
中考数学《二次函数的三种形式》专项练习题(带答案)
中考数学《二次函数的三种形式》专项练习题（带答案）一、单选题1．如图，在ΔABC中，∠B=90°，tan ∠C=34,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发，在运动过程中，ΔPBQ的最大面积是()A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x-1）2-4，则b、c的值为()A．b=2，c=﹣6B．b=2，c=0C．b=﹣6，c=8D．b=﹣6，c=23．把二次函数y=-14x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式（）A．y=-14（x+2）2+2B．y=14（x-2）2+4C．y=-14（x+2）2+4D．y=(12x-12)2+34．若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m>−14；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，符合题意结论的个数是（）A．0B．1C．2D．35．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是() A．y =-2x2 + 8x +3B．y =-2x2 –8x +3C．y = -2x2 + 8x –5D．y =-2x2 –8x +27．若二次函数y=x2+bx+5，配方后为y=（x﹣3）2+k，则b与k的值分别为（）A．﹣6，﹣4B．﹣6，4C．6，4D．6，﹣48．函数图象过点（0，4），顶点坐标是（-2，3）的二次函数解析式( ) A．y=14（x-2）2-3B．y=14（x-2）2+3C．y=14（x+2）2+3D．y=14（x+2）2-39．用配方法求抛物线y=x2﹣4x+1的顶点坐标，配方后的结果是（）A．y=（x﹣2）2﹣3B．y=（x+2）2﹣3C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x+2）2﹣510．二次函数y=(x-1)2+2图象的顶点坐标是（）A．(1，-2)B．(1，2)C．(-1，2)D．(-1，-2)11．函数y=2x（x-3）中，二次项系数是（）A．2B．2x2C．－6D．-6x12．若二次函数y=x2−mx+6配方后为y=(x−2)2+k，则m, k 的值分别为（）A．0，6B．0，2C．4，6D．4，2二、填空题13．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）14．将抛物线y=﹣﹣12x2﹣3x+1写成y=a（x+h）2+k的形式应为．15．抛物线y=(x-1)(x+5)的对称轴是直线．16．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为17．将二次函数y=x2﹣2x化为顶点式的形式为：．18．二次函数y=x2+4x+66的最小值为三、综合题19．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？20．已知二次函数y=−12x2+x+32．（1）将y=−12x2+x+32化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；（2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；（3）请用描点法画出此二次函数的图象．21．抛物线y=ax+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是和；②抛物线经过点（－3，）；（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．22．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．23．已知二次函数y=−x2+4x+5，完成下列各题：（1）将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．（3）在直角坐标系中，画出它的图象．（4）根据图象说明：当x为何值时，y>0；当x为何值时，y<0．24．已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，△AOB=30°．（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的△P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2 √3，P（m，2）（m＞0），求m 的值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】y=2x2﹣114．【答案】y=﹣12（x+3）2+11215．【答案】x=-216．【答案】517．【答案】y=（x﹣1）2﹣118．【答案】220．【答案】（1）解：y=−12x2+x+32=−12(x2−2x)+32=−12(x−1)2+2（2）解：由（1）知，该二次函数的图象的顶点坐标为(1,2)（3）解：列表：x…−10123…y…0 1.52 1.50…图象如图所示：21．【答案】（1）（-2，0）；（1，0）；8（2）解：依题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1）由点（0，-4）在函数图象上，代入得-4=a（0+2）（0-1）解得：a=2．∴y=2（x+2）（x-1）即所求抛物线解析式为y=2x2+2x-422．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4= 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2）对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0∴函数的最小值为：﹣1 223．【答案】（1）解：y=-x2+4x+5=-（x2-4x+4）+9=-（x-2）2+9；故它的顶点坐标为（2，9）、对称轴为：x=2（2）解：图象与x轴相交是y=0，则：0=-（x-2）2+9解得x1=5，x2=-1∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为（5，0），（-1，0）；当x=0时，y=5∴与y轴的交点坐标为（0，5）（3）解：画出大致图象为（4）解：-1＜x＜5时y＞0；x＜-1或x＞5时y＜024．【答案】（1）解：如图1作AC△OB于C点由OB=OA=6，得B点坐标为（6，0）由OB=OA=6，△AOB=30°，得OA=3 √3AC= 12OA=3，OC=OA•cos△AOC= √32∴A点坐标为（3 √3，3）；（2）解：如图2由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得OC=BC=CE= 12OB=3即E点坐标为（3，﹣3）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣3，将B点坐标代入，解得a= 13抛物线的解析式为y= 13（x﹣3）2﹣3化简得y= 13x2﹣2x；（3）解：如图3PN=2，CN= √3，PC=1△CNP=△AOB=30°NP△OBNE=2，得ON=4由勾股定理，得OE= √ON2−NE2=2 √3，即N（2 √3，2）．N向右平移2个单位得P（2 √3+2，2）N向左平移2个单位，得P（2 √3﹣2，2）m的值为2 √3+2或2 √3﹣2．。
初三下二次函数练习题及答案
初三下二次函数练习题及答案一、选择题1.下面哪一个函数是二次函数？A. y = 3x + 1B. y = x² + 2x + 1C. y = 4^xD. y = √x2.二次函数y = ax² + bx + c图象是抛物线，开口向上的条件是：A. a > 0B. a < 0C. b > 0D. b < 03.已知二次函数y = x² - 4x + 3的顶点为（2，-1），则a、b、c的值分别为：A. a = 1，b = -4，c = -1B. a = 1，b = 4，c = -3C. a = 1，b = -4，c = 3D. a = 1，b = -2，c = -3二、计算题1.已知二次函数y = x² - 3x + 2，求该函数的顶点坐标和对称轴的方程式。
解答：顶点的横坐标为x = -b/2a，所以 x = -(-3)/(2*1) = 3/2。
将x = 3/2代入原函数可得y = (3/2)² - 3*(3/2) + 2 = -1/4。
所以，该二次函数的顶点坐标为(3/2, -1/4)。
对称轴的方程式为x = 3/2。
2.已知二次函数y = 2x² - 4x + 1，求该函数的零点。
解答：函数的零点即为使得y = 0的x的值。
将y = 0代入原函数可得2x² - 4x + 1 = 0。
使用求根公式可解得x = (4 ± √(16 - 4*2*1))/(2*2) = (4 ± √8)/4 = (1 ± √2)/2。
所以，该二次函数的零点为x = (1 + √2)/2和x = (1 - √2)/2。
三、应用题1.小明将一长方形花坛围起来，其中一边贴着墙，另外三边用栅栏围起来。
已知墙的一段长为4米，花坛的面积为12平方米。
若栅栏的费用为每米15元，求栅栏的总费用。
解答：设花坛的另外两条边长分别为x和y，则有xy = 12。
2020年中考数学重点题型突破易错点：3-3-1《二次函数的图象与性质》试题及答案-精选.doc
二次函数的图象与性质易错清单1.二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.【例1】(2014·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.【答案】∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴b=-4a,即4a+b=0,所以①正确.∵当x=-3时,y<0,∴9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误.∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0.而b=-4a,∴a+4a+c=0,即c=-5a.∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.∵抛物线开口向下,∴a<0.∴8a+7b+2c>0.所以③正确.∵对称轴为直线x=2,∴当-1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小.所以④错误.故选B.【误区纠错】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.2.二次函数和最值问题【例2】(2014·浙江舟山)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m 的值为().【解析】二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.【答案】二次函数的对称轴为直线x=m,①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在.②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,【误区纠错】本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.名师点拨1.掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.2.能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.3.会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.4.能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.提分策略1.二次函数的图象与性质的应用.(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方法;②顶点公式法,顶点坐标为.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y 轴交点;⑤与x轴交点.【例1】(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式;(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1<x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果);(4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来.【解析】(1)根据配方法的步骤进行计算.(2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错.(3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小.(4)抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的横坐标即为方程x2-4x+3=2的两根.【答案】(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3-4=(x-2)2-1.(2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),列表如下:x…0 1 2 3 4 …y… 3 0 -1 0 3 …描点作图如图.(3)y1>y2.(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根.2.二次函数的解析式的求法.二次函数的关系式有三种:(1)一般式y=ax2+bx+c;(2)顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m,n)为顶点坐标;(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.【例2】已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.【解析】根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.3.二次函数的图象特征与系数的关系的应用.二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由的符号确定.【例3】(2014·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断①;先根据抛物线的开口向下可知a<0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②;一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,则可转化为ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c 和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可.【答案】①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故①正确.②∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0.∵对称轴,∴ab<0.∵a<0,∴b>0.∴abc<0,故②正确.③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点.由图可得,m>2,故③正确.故选D.4.二次函数的图象的平移规律的应用.(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决.(2)平移的变化规律可为:①上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.②左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k.【例4】(2014·甘肃兰州)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为().A. y=-2(x+1)2+2B. y=-2(x+1)2-2C. y=-2(x-1)2+2D. y=-2(x-1)2-2【解析】根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.”【答案】把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C.专项训练一、选择题1. (2014·江苏句容一模)若抛物线y=mx2+(m-3)x-m+2经过原点,则m的值为().A. 0B. 1C. 2D. 32.(2014·辽宁营口模拟)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是().3. (2014·安徽安庆正月21校联考)抛物线y=ax2+bx-3经过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为().A. 3B. 9C. 15D. -154.(2013·山东德州一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③④b>1.其中正确的结论是().A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④(第4题)(第5题)5.(2013·山西中考模拟六)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为().6. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是().二、填空题7. (2014·安徽安庆正月21校联考)如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.(第7题)8. (2014·甘肃天水模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分.其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:(1)abc<0;(2)2a-b=0;(3)4a+2b+c=0;(4)若(-5,y1), 是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是.(填序号)(第8题)9.(2014·辽宁大连二模)如图是函数y=x2+bx-1的图象,根据图象提供的信息,确定使-1≤y ≤2的自变量x的取值范围是.(第9题)10.(2014·山东德城模拟)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是.(第10题)11. (2013·江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0),另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式是.12. (2013·北京龙文教育一模)点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,若x2>x1>1,则y1与y2的大小关系是y1y2.(用“>”“<”或“=”填空)13. (2013·河北一模)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于点O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bx<kx的解集为.(第13题)三、解答题14. (2014·北京平谷区模拟)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;(2)关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1的图象C1经过(k-1,k2-6k+8)和(-k+5,k2-6k+8)两点.①求这个二次函数的解析式;②把①中的抛物线E沿x轴翻折后,再向左平移2个单位,向上平移8个单位得到抛物线.设抛物线C2交x轴于M,N两点(点M在点N的左侧),点P(a,b)为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN≤45°时,直接写出a的取值范围.(第14题)15. (2014·安徽安庆二模)如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P为AC中点,E 为边AB上一动点,F为边BC上一点,且满足条件∠EPF=45°,记四边形PEBF的面积为S1.(1)求证:∠APE=∠CFP;(2)记△CPF的面积为S2,CF=x.①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值;②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.(第15题)16. (2013·山东德州一模)如图,Rt△ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(-3,0),(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D 是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若点M是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.(第16题)参考答案与解析1. C[解析]将(0,0)代入函数关系式即可.2. D[解析]假设函数在D选项中正确,则m<0,∴-m>0,抛物线的开口向上,顶点的横坐标.所以D正确,别的选项这种假设均不成立.3. C[解析]将点(2,4)代入抛物线方程,得4a+2b-3=4,∴4a+2b=7.∴8a+4b+1=2×7+1=15.4. D[解析]①∵抛物线的开口向上,∴a>0.∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0.∵对称轴为,∴a,b同号,即b>0.∴abc<0.故本结论错误.②当x=1时,函数值为2,∴a+b+c=2.故本结论正确.③∵对称轴,解得.又b>1,∴.故本结论错误.④当x=-1时,函数值<0,即a-b+c<0(1),又a+b+c=2,将a+c=2-b代入(1)式,得2-2b<0,∴b>1.故本结论正确.综上所述,其中正确的结论是②④.5. D[解析]由题意,知a2-2=0,且a>0.6.C[解析]当a>0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A,D不正确;由B,C中二次函数的图象可知,对称轴,且a>0,则b<0,但B中,一次函数a>0,b>0,排除B.7.36[解析]10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则到达顶点时是18秒,所以通过拱梁部分的桥面OC共需18×2=36秒.8. (1)(2)(4)[解析]其对称轴为x=-1,且过点(-3,0),则另一个交点是(1,0).当x=2时,函数值大于零,即4a+2b+c>0,∴(3)错误,其余的均正确.9. 2≤x≤3或-1≤x≤0[解析]把(3,2)代入y=x2+bx-1,得b=-2,当y=-1时,x=-1或x=2,观察可知:使-1 ≤y≤2的自变量x的取值范围是2≤x≤3或-1≤x≤0.10.x<-1或x>3[解析]观察可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0),所以不等式ax2+bx+c>0的解集是x<-1或x>3.11.y=x2-2x-3[解析]用待定系数法求二次函数解析式.12.< [解析]先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1,再根据二次函数图象上的点,x>1时,y随x的增大而增大.13. 0<x<3[解析]利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式.14. (1)在x2-mx+m-1=0中,Δ=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2.∵当m取任何值时,(m-2)2≥0,∴无论m取任何实数时,方程总有实数根.(2)①∵抛物线y1=x2-mx+m-1过点(k-1,k2-6k+8)和点(-k+5,k2-6k+8),15. (1)∵∠EPF=45°,∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°.在等腰直角△ABC中,∠PCF=45°,则∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°,∴∠APE=∠CFP.(2)①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,在等腰直角△ABC中,AC=AB=4,又P为AC的中点,则AP=CP=2,如图(1),过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,(第15题(1))∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,∴2≤x≤4.②如图(2)所示:(第15题(2))图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称, 此时EB=BF,即AE=FC,(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5.∴C,D两点的坐标分别是(5,4),(2,0).∴点C和点D在所求抛物线上.。
二次函数经典考题 (431)
二次函数经典考题
33．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2
【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，
故选：A．
34．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误；
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确；
故选：B．
第1页共1页。
二次函数压轴题分类精选---正方形
二次函数压轴题分类精选---正方形二次函数作为高中数学中的重要内容之一，经常被用于解决各种实际问题。
在考试中，常常会出现一些经典的“压轴题”，此文档将为大家分类精选一些关于正方形的二次函数题目。
一、求解二次函数的顶点坐标在解决与正方形相关的二次函数题目时，我们经常需要求解二次函数的顶点坐标。
顶点坐标表示平面上的一个特殊点，它对应二次函数的最值。
通过求解顶点坐标，我们可以得到函数的最大值或最小值。
例如：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是已知的实数，求该函数的顶点坐标。
这类题目要求我们利用二次函数的顶点公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 求解顶点的 $x$ 坐标，然后代入函数表达式中求解$y$ 坐标。
二、求解二次函数与坐标轴的交点正方形的特点之一是它的四个顶点恰好落在坐标轴上。
因此，在解决与正方形相关的二次函数题目时，我们常常需要求解函数与坐标轴的交点。
例如：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是已知的实数，求该函数与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点坐标。
这类题目要求我们将 $y$ 设为零，然后解方程求解 $x$ 坐标，或者将 $x$ 设为零，解方程求解 $y$ 坐标。
三、求解二次函数的解集当解决与正方形相关的二次函数题目时，有时需要求解函数的解集。
解集表示函数在坐标系中与坐标轴或者其他函数相交的点的集合。
例如：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是已知的实数，求该函数与直线 $y = k$ 的交点坐标。
这类题目要求我们将函数表达式与直线的方程相等，然后解方程求解交点坐标。
四、求解二次函数的参数有时，我们需要根据已知条件来求解二次函数的参数。
这些已知条件可以是函数与其他函数或者直线的关系，也可以是函数图像上的特定点。
例如：已知二次函数顶点坐标为 $(h, k)$，已知过顶点的直线方程为$y = mx + n$，求解函数参数 $a, b, c$。
二次函数练习题三年级
二次函数练习题三年级一、填空题1. 二次函数的一般形式是 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \neq 0 \)。
若 \( a > 0 \)，则函数图像是_________。
2. 若二次函数的图像开口向上，且顶点坐标为 \( (h, k) \)，则该二次函数的解析式可以表示为_________。
3. 二次函数 \( y = x^2 4x + 3 \) 的顶点坐标是_________。
4. 二次函数 \( y = 2x^2 + 4x + 2 \) 的对称轴是_________。
5. 若二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像与 x 轴交于点\( A(1, 0) \) 和 \( B(3, 0) \)，则该二次函数的解析式为_________。
6. 二次函数 \( y = x^2 2x + 1 \) 的图像与 y 轴的交点坐标是_________。
7. 若二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像经过点 \( (1, 2) \)，\( (2, 3) \)，\( (3, 4) \)，则 \( a + b + c =\)_________。
8. 二次函数 \( y = x^2 6x + 9 \) 的图像在 x 轴上的截距是_________。
二、选择题9. 下列函数中，属于二次函数的是（）A. \( y = 2x + 3 \)B. \( y = x^2 + 3x + 2 \)C. \( y = \frac{1}{x} \)D. \( y = |x| \)10. 二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像开口向下，则下列结论正确的是（）A. \( a > 0 \)B. \( a < 0 \)C. \( b > 0 \)D. \( c < 0 \)11. 下列二次函数中，顶点在第一象限的是（）A. \( y = x^2 4x + 4 \)B. \( y = x^2 + 4x 4 \)C. \( y = x^2 + 4x + 4 \)D. \( y = x^2 4x 4 \)12. 二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像与 x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（）A. \( b^2 4ac > 0 \)B. \( b^2 4ac = 0 \)C. \( b^2 4ac < 0 \)D. 无法确定三、解答题13. 求二次函数 \( y = x^2 4x + 4 \) 的顶点坐标和对称轴。
二次函数模拟试题
二次函数模拟试题二次函数是高中数学中重要的内容之一，其模拟试题是检验学生对该知识点掌握程度的有效方式。
本文将为您提供一份二次函数模拟试题，帮助您巩固对该知识点的理解和应用。
题目一：已知二次函数y = ax² + bx + c的图象抛物线的顶点为V(-3, 4)，并且过点(-2,2)。
求该二次函数的解析式并写出其图象。
解析：根据已知条件，我们可以得到以下方程组：1. 4 = a(-3)² + b(-3) + c2. 2 = a(-2)² + b(-2) + c首先，我们需要求解方程组确定二次函数的解析式。
解方程组：将方程2乘以3，得到 6 = 3a(-2)² + 3b(-2) + 3c将方程1减去方程2，得到 4 - 2 = a[(-3)² - (-2)²] + b(-3 + 2) + c - 3a - b化简得到，2 = -a + b - 3同时，由于抛物线的顶点为(-3, 4)，取x = -3代入解析式求得的方程式，得到4 = a(-3)² + b(-3) + c联立以上两式，我们可以得到以下的方程组：2 = -a + b - 34 = -9a - 3b + c进一步整理得到：-9a -3b + c = 4-a + b = 5我们可以使用消元法解这个方程组。
将方程2乘以3变为 -3a + 3b = 15，并与方程1相加，可以消去b项：-9a + c = 19现在我们得到了一个关于a和c的方程，可以解得：a = -1c = 10将a和c的值代入任意一个原方程即可解得b：-1 + b = 5b = 6因此，二次函数的解析式为 y = -x² + 6x + 10，图象如下所示：（此处，请自行插入抛物线图象）题目二：已知二次函数y = ax² + bx + c的顶点为V(2, -3)。
若二次函数与x轴交于点A，与y = -2x + 4交于点B。
2022版初中数学三年模拟：二次函数
2022版初中数学三年模拟：二次函数一、单选题1．（2019·北京丰台·一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A ．18B ．36C ．41D ．582．（2021·北京·二模）如图，小聪要在抛物线y ＝x （2-x ）上找一点M （a ，b ），针对b 的不同取值，所找点M 的个数，三个同学的说法如下，小明：若b ＝-3，则点M 的个数为0；小云：若b ＝ 1，则点M 的个数为1；小朵：若b ＝ 3，则点M 的个数为2．下列判断正确的是（ ）．A ．小云错，小朵对B ．小明，小云都错C ．小云对，小朵错D ．小明错，小朵对3．（2021·北京石景山·一模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为2194y x x =-+； ②若点(1,)B n -在这个二次函数图象上，则n m >；③该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-； ④当06x <<时，8m y <<，所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．（2021·北京平谷·一模）已知二次函数2y x mx n =++，当0x =和2x =时对应的函数值相等，则下列说法中不正．．确．的是（ ） A ．抛物线2y x mx n =++的开口向上 B ．抛物线2y x mx n =++与y 轴有交点C ．当1n >时，抛物线2y x mx n =++与x 轴有交点D ．若()()121,,3,P y Q y -是抛物线2y x mx n =++上两点，则12y y =5．（2021·北京顺义·一模）已知y 是x 的函数，下表是x 与y 的几组对应值：4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．（2020·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy 中，点()()2A 12B 23y ax -=，，，，的图象如图所示，则a 的值可以为（ ）A ．0.7B ．0.9C ．2D ．2.1二、填空题 7．（2021·北京丰台·一模）写出一个图象开口向上，顶点在x 轴上的二次函数的解析式_______．8．（2021·北京顺义·二模）二次函数2y x c =+的图象与x 轴无交点，写出一个满足条件的实数c 的值为_________．9．（2021·北京昌平·二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x ＝4；乙：顶点到x 轴的距离为2，请你写出一个符合条件的解析式：_________．10．（2020·北京平谷·一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （0≤x ≤3）的图象如图所示，则y 的取值范围是_____．11．（2021·北京丰台·二模）已知抛物线()21y x m x =-+与x 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m 的取值范围是________．12．（2021·北京朝阳·一模）如图，直线y kx b =+与抛物线2y x 2x 3=-++交于点,A B ，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，则不等式223x x kx b -++>+的解集为_____．13．（2019·北京石景山·二模）如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．14．（2021·北京西城·一模）将二次函数2y x 的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x 的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x 的取值范围是__________．15．（2021·北京丰台·一模）京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G ．点A ，B ，C ，D 分别是图形G 与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0,3)-，AB 为半圆的直径，且4AB =，半圆圆心M 的坐标为(1,0)．关于图形G 给出下列四个结论，其中正确的是________（填序号）．①图形G 关于直线1x =对称；②线段CD 的长为3③图形G 围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④当42a -≤≤时，直线y a =与图形G 有两个公共点．16．（2021·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy 中，()0,1A ，()1,1B ，有以下4种说法：①一次函数y x =的图象与线段AB 无公共点；②当0b <时，一次函数y x b =+的图象与线段AB 无公共点；③当1k >时，反比例函数k y x=的图象与线段AB 无公共点； ④当1b >时，二次函数21y x bx =-+的图象与线段AB 无公共点．上述说法中正确的是__________．17．（2020·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有五个点(2,0),(0,2),(2,4),(4,2),(7,0)A B C D E ---，将二次函数2(2)(0)y a x m m =-+≠的图象记为W ．下列的判断中①点A 一定不在W 上；②点B ，C ，D 可以同时在W 上；③点C ，E 不可能同时在W 上．所有正确结论的序号是_________．三、解答题18．（2021·北京大兴·一模）已知抛物线24y x x c =-+经过点(−1，8)．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x 轴交点的坐标．19．（2020·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y ＝ax 与抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W ．（1）求抛物线顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当a ＝12时，写出区域W 内的所有整点坐标；（3）若区域W 内有3个整点，求a 的取值范围．20．（2021·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y ax a x =-+．（1）若抛物线过点(2,0)，求抛物线的对称轴；（2）若()()1122,,,M x y N x y 为抛物线上两个不同的点．①当124x x +=-时，12y y =，求a 的值；②若对于122x x >≥-，都有12y y <，求a 的取值范围．21．（2021·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243(0)y ax ax a a =-+>与y 轴交于点A ． （1）求点A 和抛物线顶点的坐标（用含a 的式子表示）；（2）直线3y ax a =-+与抛物线243y ax ax a =-+围成的区域（不包括边界）记作G ．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．①当1a =时，结合函数图象，求区域G 中整点的个数；②当区域G 中恰有6个整点时，直接写出a 的取值范围．2022版初中数学三年模拟：二次函数参考答案1．C【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y =ax 2+bx +c (a ≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃∴旋钮的旋转角度x 在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.故选C ，【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．2．C【分析】根据题意，分3b =-、1b =、3b =三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵点(),M a b ，当3b =-时，则()32a a -=-，整理得2230a a --=，∵()4430∆=-⨯->，∴有两个不相等的值，∴点M 的个数为2；当1b =时，则()12a a =-，整理得2210a a -+=，∵4410∆=-⨯=，∴a 有两个相同的值，∴点M 的个数为1；当3b =时，则()32a a =-，整理得2230a a -+=，∵4430∆=-⨯<，∴点M 的个数为0；∴小明错，小云对，小朵错故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．3．C【分析】根据待定系数法，可判断①，根据二次函数的图像的对称性可判断②③，根据二次函数的图像，可直接判断④．【详解】解：由二次函数图像可知：2(2)9y a x =-+，把（0，8）代入得：28(02)9a =-+， 解得：14a =-，即：2211(2)9844y x x x =--+=-++，故①错误； ∵点A (6，m )，(1,)B n -在这个二次函数图象上，又∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为：直线x =2，且2-(-1)＜6-2，∴n m >，故②正确；∵抛物线的对称轴为：直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为(8，0)，∴该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-，故③正确；由二次函数的图像可知：当06x <<时，9m y <≤，故④错误．∴正确结论的序号是：②③，故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，是解题的关键．4．C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称性、与坐标轴交点等性质逐条判断即可．【详解】解：二次函数2y x mx n =++二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A 正确，不符合题意；当0x =时，y n =，抛物线与y 轴有交点为（0，n ），故B 正确，不符合题意；二次函数2y x mx n =++，当0x =和2x =时对应的函数值相等，它的对称轴为0212x +==，即12m -=，2m =-，抛物线解析式为22y x x n =-+，若抛物线22y x x n =-+与x 轴有交点，则2(2)40n --≥，解得1n ≤，故C 错误，符合题意；()()121,,3,P y Q y -两点关于抛物线对称轴直线1x =对称，所以12y y =，故D 正确,不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，根据相关性质准确进行推断．5．C【分析】根据表格中x 和y 值得变化规律判断即可．【详解】解：根据表格数据判断xy =6，故有可能为反比例函数；x 从-3到3，y 的值在增加，然后x 从3到6，y 值在减小，所以也有可能是二次函数．故选：C【点睛】本题主要考查函数的基本关系，能够从自变量何因变量的数值变化判断函数类型是解题的关键．6．B【分析】分别将A ，B 两点的横坐标代入2y ax =，由图像知，1x =-时2y ax =的函数值2<，当2x =时，2y ax =的函数值3>，列出不等式组，即可求解．【详解】解：将1x =-代入2y ax =中时，得：y a =，将2x =代入2y ax =中时，得：4y a =，根据图像可知，1x =-时2y ax =的函数值2<，当2x =时，2y ax =的函数值3>，则有：243a a <⎧⎨>⎩ ，解得：324a <<， 故选B ．【点睛】本题考查二次函数，难度一般，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．7．()221y x =+【分析】开口向上，顶点在x 轴上的函数是()2y a x h =-（a>0）的形式，举一例即可．【详解】解：开口向上，即0a >，顶点在x 轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，例如()221y x =+．（答案不唯一）故答案为：()221y x =+．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式2()y a x k h =-+，顶点坐标是(k ，h )，此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系．8．1（答案不唯一）【分析】二次函数的顶点是()0,c ，图象与x 轴无交点，则函数顶点应该在x 轴上方，据此可求解．【详解】解：∵二次函数2y x c =+的图象与x 轴无交点，∴顶点()0,c 在x 轴上方，∴0c >，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的图象，掌握顶点坐标与图象位置的关系是关键．9．2(4)2y x =--（答案不唯一）．【分析】由题意，得到抛物线的顶点坐标为(4,2)或(4,2)-，然后判断开口方向，即可得到抛物线的解析式．【详解】解：根据题意，∵抛物线的对称轴是直线x ＝4，顶点到x 轴的距离为2，∴抛物线的顶点坐标为(4,2)或(4,2)-，∴符合条件的解析式为：2(4)2y x =--；（答案不唯一）故答案为：2(4)2y x =--．（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握题意，正确得到抛物线的顶点坐标．10．﹣1≤y ≤3【分析】根据图象中的数据可以得到当0≤x ≤3时，函数值y 的取值范围．【详解】解：由图象可知，当0≤x ≤3时，函数值y 的取值范围﹣1≤y ≤3．故答案为：﹣1≤y ≤3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 11．01m <<【分析】先求出抛物线与x 轴交点的横坐标，然后根据抛物线()21y x m x =-+与x 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．【详解】解：∵抛物线()()211y x m x x x m =-+=--，∴当y=0时，()1=0x x m --，解得0,1x x m ==+，∵抛物线()21y x m x =-+与x 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，∴112m <+<，∴01m <<．故答案为：01m <<．【点睛】本题考查抛物线与x 轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x 轴交点，列不等式，解不等式是解题关键．12．03x <<【分析】根据函数的解析式2y x 2x 3=-++，得A （0，3），B 的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答．【详解】∵2y x 2x 3=-++，∴2230x x -++=，解得x =3或x =-1，∴点B 的坐标为（3，0），当x =0时，y =3，∴点A 的坐标为（0，3），∴不等式223x x kx b -++>+的解集为03x <<,故答案为：03x <<．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．13．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25． 【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：()23134y x =--+， 当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位， 故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤； 令3x =-，则33 2.254y =-+=． 故水管AB 的长为2.25m ． 故答案为()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．14．03x <<【分析】根据“左+右-”法则得到新函数的解析式为2(3)y x =-，根据图象解题即可．【详解】解：将二次函数2y x 的图象向右平移3个单位得到一个新函数：2(3)y x =- 画图如下，由图象可知，当03x <<时，恰好2y x 的图象从左往右上升，而另一个函数2(3)y x =-从左往右下降，故答案为：03x <<．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．①②【分析】由题意很明显可以得到图形G 的对称轴为1x =，故①正确；构造直角三角形，利用勾股定理求得OC 的长，进而求得CD 的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；最后将4a =-，2a =，代入图中，不能得出结论④，故④错误．【详解】由圆M 可知()10A -，，()30B ，，()10M ，， 且点A ，B 在抛物线上，∴图形G 关于1x =对称，故①正确；连接CM ，在Rt MOC 中，1OM =， 2CM =，2221OC ∴=-=又()03D -，， 3OD ∴=，3CD OC OD ∴=+=+根据题意得，由图形G 围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误；由题意得()10A -，，()30B ，， 当4a =-时，与图形G 有一个公共点，当2a =时，与图形G 由两个公共点，故④错误；故答案为①②．【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标．16．②③【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐条判断即可．【详解】解：一次函数y x =经过点()1,1B ，故①错误；一次函数y x =刚好经过点()1,1B ，向下平移直线y x =，此时0b <，直线y x b =+与线段AB 无公共点，故②正确； 反比例函数1y x =的图象刚好经过点()1,1B ，当1k >时，反比例函数k y x=的图象沿着y x =向远离原点的方向平移，与线段AB 无公共点，故③正确；二次函数21y x bx =-+的图象一定经过()0,1A ，故④错误；故答案为：②③．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握相关函数的性质，进行准确推理判断． 17．①②【分析】由m≠0可得点A 不在抛物线上，故可判断①；先根据B ，C 两点坐标求出函数关系式，再把D 点坐标代入即可判断点D 是否在函数图象上；将C 、E 两点坐标代入2(2)y a x m =-+，能求出a ，m 则可判断出C 、E 均在函数图象上，否则，则不在函数图象上.由二次函数2(2)(0)y a x m m =-+≠知其顶点坐标为（2，m ），而m≠0，故（2，0）不在函数图象上，所以，点A 不在函数图象上，即点A 一定不在W 上，故①正确；把C （-2，4），B （0，-2）代入2(2)(0)y a x m m =-+≠得，16442a m a m +=⎧⎨+=-⎩， 解得，124a m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴21(2)42y x =-- 当x=4时，y=-2,所以，点D 在函数21(2)42y x =--的图象上， 因此，点B ，C ，D 可以同时在W 上，故②正确；把C （-2，4），E （7，0）分别代入2(2)(0)y a x m m =-+≠得，164250a m a m +=⎧⎨+=⎩， 解得，491009a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴24100(2)99y x =--+ 所以，点C ，E 可能同时在W 上，故③错误.故答案为：①②.【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，运用待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键.18．（1）抛物线解析式为243y x x =-+；（2）抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．（1）把已知点的坐标代入24y x x c =-+中得到关于c 的方程，然后解方程即可；（2）通过解方程2430x x -+=可得到抛物线与x 轴的交点坐标．【详解】解：（1）∵抛物线24y x x c =-+经过点(−1，8)，∴()2148c -++=，解得：3c =，∴抛物线解析式为243y x x =-+；（2）当0y =，则2430x x -+=．解得1213x x ，==，∴抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．19．（1）（1，﹣a ﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）区域W 内有3个整点，a 的取值范围为：a ＝13或﹣32≤a ＜﹣1 【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线y ＝12x 和抛物线y ＝12x 2﹣x ﹣1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a ＞0、a ＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．【详解】解：（1）y ＝ax 2﹣2ax ﹣1＝a （x ﹣1）2﹣a ﹣1，故顶点的坐标为：（1，﹣a ﹣1）；（2）a＝12时，概略画出直线y＝12x和抛物线y＝12x2﹣x﹣1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）①当a＞0时，由（2）知，当a＝12时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a＞12时，区域W内的所有整点数多于3个；当13<a12<时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a＝13时，区域W内的所有整点数有3个；当0＜a＜13时，区域W内的所有整点数多于3个；②当a＜0时，当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；当a＜﹣32时，区域W内的所有整点数多于3个；∴区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣32≤a＜﹣1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝13或﹣32≤a＜﹣1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．20．（1）抛物线的对称轴1x =；（2）①1=5a -；②105a -≤<． 【分析】（1）抛物线2(1)y ax a x =-+过点(2,0)，可得42(1)=0a a -+，解得：1a =，抛物线为22y x x =-，利用抛物线的对称轴公式求即可，（2）①又()()1122,,,M x y N x y 为抛物线上两个不同的点．可得()222111222(1)1y ax a x y ax a x =-+=-+；，当124x x +=-时，12y y =，可得，()221212(1)10ax ax a x a x --+++=，因式分解得()()()121210x x a x x a ⎡⎤-+-+=⎣⎦，可得()()1210a x x a +-+=，可求1=5a -， ②若对于122x x >≥-，都有12y y <， 当0a >时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为：11022x a=+>，在对称轴左侧，在直线x =-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有122x x >≥-，都有12y y >，故0a >不可能，当0a <，()()1122,,,M x y N x y 在对称轴右侧，都有12y y <，抛物线对称轴在直线x =-2左侧，可抛物线对称轴为：()1112222a x a a-+=-=+≤-，解得15a ≥-即可． 【详解】解：（1）抛物线2(1)y ax a x =-+过点(2,0)，则42(1)=0a a -+，解得：1a =，抛物线为22y x x =-， 抛物线的对称轴21221b x a -=-=-=⨯， （2）①∵()()1122,,,M x y N x y 为抛物线上两个不同的点．()222111222(1)1y ax a x y ax a x =-+=-+；，当124x x +=-时，12y y =，()22112212(1)14ax a x ax a x x x ⎧-+=-+⎨+=-⎩，()221212(1)10ax ax a x a x --+++=，因式分解得()()()121210x x a x x a ⎡⎤-+-+=⎣⎦，∵12x x ≠，124x x +=-，∴()()1210a x x a +-+=，∴410a a ---=， ∴1=5a -， ②若对于122x x >≥-，都有12y y <，()221122(1)1ax a x ax a x -+<-+，()()()121210x x a x x a ⎡⎤-+-+<⎣⎦，∵122x x >≥-，∴120x x ->，∴()()1210a x x a +-+<，12224x x x +>≥-，当0a >时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为：()1110222a x a a -+=-=+>， 在对称轴左侧，在直线x =-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有122x x >≥-，都有12y y >，故0a >不可能，当0a <，()()1122,,,M x y N x y 在对称轴右侧，都有12y y <，当抛物线对称轴在直线x =-2的左侧，即抛物线对称轴为：()1112222a x a a-+=-=+≤-， 整理得15a ≥-， 解得15a ≥-，∴105a -≤<． 【点睛】本题考查抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，因式分解，抛物线的性质，解一元一次不等式，掌握抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，因式分解，抛物线的性质，解一元一次不等式，利用两函数值相等构造方程，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式是解题关键．21．(1) A 的坐标为（0，3a ），顶点为（2，﹣a ）；（2）①2个；②1.5＜a ≤2．【分析】（1）把抛物线解析式化成顶点式直接可求；（2）①由已知求出解析式，画出函数图象，观察图象可得；②确定抛物线与直线与坐标轴的交点，明确区域位置，结合函数图像求取值范围即可．【详解】解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a ＝a （x ﹣2）2﹣a ，∴顶点为（2，﹣a ）；把x=0代入243y ax ax a =-+得，3y a =，点A 的坐标为（0，3a ）；（2）①∵a ＝1，∴抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x +3，顶点坐标为（2，-1），与y 轴交点为（0,3），当y=0时，0＝x 2﹣4x +3，解得11x =，23x =，与x 轴的两个交点分别是（1,0）和（3,0），直线解析式为：3y x =-+，当x=0时，y=3,当y=0时，x=3，直线与x 轴、y 轴交点分别是（3，0）和（0,3）； 在平面直角坐标系中画出图象如图所示：观察图象可知，区域G 中整点的个数为2个，分别是（1,1），（2,0）；②由图象可知抛物线经过（1,0），（3,0），（0,3），直线经过（0,3）和（3,0），故区域内整点横坐标只能是1或2，如图所示当a=2时，区域内恰好有6个整点，当a＞2时，区域内的整点多于6个，当a=1.5时，区域内恰好有5个整点，综上所述：1.5＜a≤2．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合，解题关键是熟练运用函数知识进行计算，树立数形结合思想，结合函数图象解决问题．。
二次函数-三年中考数学真题分项汇编(原卷版)
二次函数一、单选题(共0分)1．（2022年浙江杭州）已知二次函数2y x ax b =++（a ，b 为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题①：该函数的图像经过点(3，0)；命题①：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；命题①：该函数的图像的对称轴为直线1x =．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ） A ．命题①B ．命题①C ．命题①D ．命题①2．（2022年浙江宁波）点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ） A ．2m >B ．32m >C ．1m <D ．322m <<3．（2020年浙江湖州）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( ) A ．y=2x -3B ．y=2x +3C ．y=2(3)x +D ．y=2(3)x -4．（2020年浙江温州）已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312y x x m =--+上的点，则（ ） A ．3y <2y <1yB ．3y <1y <2yC ．2y <3y <1yD ．1y <3y <2y5．（浙江衢州2020年）二次函数y =x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位6．（2022年浙江绍兴）已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ） A ．0，4B ．1，5C ．1，－5D ．－1，57．（2022年浙江温州）已知点(,2),(,2),(,7)A a B b C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ） A ．若0c <，则a c b << B ．若0c <，则a b c << C ．若0c >，则a c b <<D ．若0c >，则a b c <<8．（2020年浙江杭州）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0 C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞09．（2022年浙江舟山）已知点(,)A a b ，(4,)B c 在直线3y kx =+（k 为常数，0k ≠）上，若ab 的最大值为9，则c 的值为（ ） A ．52B ．2C ．32D ．110．（浙江杭州2021年）在“探索函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：()0,2A ，()10B ,，()3,1C ，()2,3D ，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（ ）A ．52B ．32C ．56D ．1211．（浙江杭州2021年）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ） A ．212y x x =+和21y x =-- B ．212y x x =+和21y x =-+ C ．11y x =-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+12．（浙江绍兴2021年）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值613．（2020年浙江宁波）如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．4ac ﹣b 2＞0C ．c ﹣a ＞0D ．当x ＝﹣n 2﹣2（n 为实数）时，y≥c14．（2020年浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2+ax +1，y 2＝x 2+bx +2，y 3＝x 2+cx +4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac ．设函数y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ） A ．若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C ．若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0D ．若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝015．（2020·浙江台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v （单位：m/s ）与运动时间t （单位：s ）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y （单位：m ）与运动时间t （单位：s ）之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．16．（浙江湖州2021年）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1P AB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；①当122x x <-时，12S S <；①当12221x x ->->时，12S S >；①当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题17．（浙江台州2021年）以初速度v （单位：m/s ）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝vt -4.9t 2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v 1，经过时间t 1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v 2，经过时间t 2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 2（如图2）．若h 1＝2h 2，则t 1：t 2＝_____．18．（浙江湖州2021年）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当ba的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则ba的值是____．三、解答题19．（2022年浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)①求点A ，B ，C 的坐标； ①求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM ①AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．20．（浙江湖州2021年）如图，已知经过原点的抛物线22y x mx =+与x 轴交于另一点A (2，0)．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标； （2）求直线AM 的解析式．21．（2020年浙江温州）已知抛物线21y ax bx =++经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a ，b 的值；（2）若(5，1y )，(m ，2y )是抛物线上不同的两点，且2112y y =-，求m 的值．22．（2022年浙江宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ≤≤，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y 关于x 的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？23．（浙江宁波2021年中考数学试卷）如图，二次函数()()1y x x a =--（a 为常数）的图象的对称轴为直线2x =．（1）求a 的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．24．（2022年浙江绍兴）已知函数2=-++（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．y x bx c(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．25．（2022年浙江嘉兴）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L1的函数表达式．(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．26．（2020年浙江宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+4x ﹣3图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是（1，0）．（1）求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当y ＞0时x 的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D 恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．27．（2022年浙江金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量1y （吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为21y ax c =+，部分对应值如表：售价x （元/千克）… 2.5 3 3.5 4 …需求量1y （吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 …①该蔬菜供给量2y （吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为21y x =-，函数图象见图1．①1~7月份该蔬菜售价1x （元/千克），成本2x （元/千克）关于月份t 的函数表达式分别为11=22x t +，2213342x t t =-+，函数图象见图2．请解答下列问题： (1)求a ，c 的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．28．（浙江温州2021年）已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，29．（浙江衢州2021年）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．①为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．30．（浙江绍兴2021年）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径4AB=，且点A，B关于y轴对称，杯脚高4DO=，杯底MN在x轴上．CO=，杯高8（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．31．（浙江杭州2021年）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．32．（浙江金华2021年）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为()21566y x =--+．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，10m OE =， 1.8m,EF EF OD =⊥．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．33．（2022年浙江杭州）设二次函数212y x bx c =++（b ，c 是常数）的图像与x 轴交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数1y 的表达式及其图像的对称轴．(2)若函数1y 的表达式可以写成()2122y x h =--（h 是常数）的形式，求b c +的最小值．(3)设一次函数2y x m =-（m 是常数）．若函数1y 的表达式还可以写成()()122y x m x m =---的形式，当函数12y y y =-的图像经过点()0,0x 时，求0x m -的值．34．（2020年浙江杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝x 2+bx +a ，y 2＝ax 2+bx +1（a ，b 是实数，a ≠0）． （1）若函数y 1的对称轴为直线x ＝3，且函数y 1的图象经过点（a ，b ），求函数y 1的表达式．（2）若函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，求证：函数y 2的图象经过点（1r，0）． （3）设函数y 1和函数y 2的最小值分别为m 和n ，若m +n ＝0，求m ，n 的值．35．（2022·浙江丽水）如图，已知点()()1122,,,M x y N x y 在二次函数2(2)1(0)y a x a =-->的图像上，且213x x -=．(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；①若12y y =，求顶点到MN 的距离；(2)当12x x x ≤≤时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.3二次函数
一、选择题
1．(2015·浙江温州模拟(2)，1，4分)若二次函数y＝2x2的图象经过点P(1，a)，则a的值为()
A.1
2B．1 C．2 D．4
2．(2015·浙江温州模拟(2)，6，4分)如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(1，0)，对称轴是x＝－1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是()
A．(－3，0) B．(－2，0)
C．(3，0) D．(2，0)
3．(2014·浙江宁波期中，5，3分)对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是()
A．顶点坐标为(－3，2) B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时y随x增大而增大D．当x≥3时y随x增大而减小
4．(2013·浙江湖州中考模拟七，8，3分)函数y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象大致是()
5．(2013·浙江湖州中考模拟十，8，3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2，0)，O(0，
0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是()
A．y1＞y2B．y1＝y2 C．y1＜y2D．不能确定
6．(2014·浙江杭州朝晖中学三模，8，3分)设函数y＝kx2＋(3k＋2)x＋1，对于任意负实数k，当x<m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为()
A．2 B．－2 C．－1 D．0
二、填空题
7．(2015·浙江吴兴区一模，11，4分)二次函数y＝x2＋2x＋2的最小值为________．
8．(2014·浙江台州温岭四中一模，14，5分)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 向上平移2个单位，
再向右平移1个单位后得到的抛物线为y ＝－12x 2，则b ＝____，c ＝____．
9. (2014·浙江杭州江干一模，16，4分)如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积．若
关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交
点，则m 的值为________．
三、解答题
10．(2015·浙江杭州模拟(35)，22，12分)阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a ＋b ≥2ab .
当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．
证明：∵(a －b )2≥0，∴a －2ab ＋b ≥0，∴a ＋b ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．
(1)已知x >0，求函数y ＝2x ＋2x 的最小值．
(2)问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时
(含70公里和110公里)，每公里耗油⎝ ⎛⎭
⎪⎫118＋450x 2升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．
①求y 关于x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)；
②求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一位)．。