(信号与系统)第四章2
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信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II
a0 f (t ) an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1
信号与系统第四章课后习题答案
其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 f (t ) = F [ ] = (-e-2t + 2e -4t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
-1
(8)
s+5 s ( s 2 + 2 s + 5) s+5 A B1s + B2 = = + s[( s + 1)2 + 4] s ( s + 1)2 + 4 A= s+5 gs = 1 s[( s + 1) 2 + 4)] s =0
(3) (2 cos t + sin t )U (t ) 查表得： s s + w2 w sin wtU (t ) « 2 s + w2 \ 根据拉氏变换的线性性质： 2s 1 2s + 1 (2 cos t + sin t )U (t ) « 2 + 2 = 2 s +1 s +1 s +1 cos wtU (t ) «
(9) 2d (t - t0 ) + 3d (t ) 根据时移特性：
d (t - t0 ) « e - st0
\ 2d (t - t0 ) + 3d (t ) « 2e - st0 + 3
(10) (t - 1)U (t - 1) 根据复频域微分特性： (-t ) n f (t ) « F ( n ) ( s ) 1 1 -tU (t ) « ( ) ' = - 2 s s 1 \tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e- s (t - 1)U (t - 1) « 2 s
\ cos tU (t ) «
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
信号与系统教案第4章
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变
化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，
当这些函数在区间(t1，t2)内满足
t2 t1 i
(t)
j* (t) d t
Ki
0,
0,
i j i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
第4-5页
■
©南昌大学测控系
信号与系统 电子教案
数—— 称为f(t)的傅里叶级数
f (t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn sin(nt)
n1
系数an , bn称为傅里叶系数
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
1
T
T 0
f
2 (t)dt
( A0 )2 2
1 n1 2
An2
| Fn
n
|2
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。
高速铁路信号系统-第四章 CTCS-2级列控系统
4.3 系统构成
CTCS-2 列控系统分为车载设备和地面设备两部分，地面设备又分为轨旁和室内设 备两部分
图4.1 CTCS-2系统构成图
4.3 系统构成
1．地面设备 列控中心的硬件设备结构要求与车站计算机联锁相同，采用联锁列控一体 化结构，根据列车占用情况及进路状态，通过对轨道电路及可变应答器信 息的控制产生行车许可信息和进路相关的线路静态速度曲线，并传送给列 车。 轨道电路采用ZPW-2000系列，完成列车占用检测及列车完整性检查，连 续向列车传送允许移动的控制信息。
4.4 技术规范
1．总体要求 （4）系统采用目标距离模式曲线监控列车安全运行。生成监控曲线所需的行车 许可、线路参数、限速等信息由轨道电路和应答器提供。 （5）列控车载设备具有设备制动优先和司机制动优先两种控车模式，一般应采 用设备制动优先控车模式。 （6）系统设备的可靠性、可用性、可维护性和安全性（RAMS）应符合EN50126 的有关规定。
4.4 技术规范
3．车站列控中心技术要求 （1）车站设置车站列控中心，主要用于实现对有源应答器报文的存储与控制。 报文存储器应至少有 20% 的余量。 （2）当车站联锁建立列车进路后，车站列控中心通过控制进站端处有源应答器 为列车提供车站进路信息和车站及区间的限速信息，车站进路信息报文包括：应 答器链接、线路速度、线路坡度、限速、轨道区段等信息；车站列控中心通过控 制出站端处有源应答器为列车提供限速信息，根据需要还可提供区间线路参数、 应答器链统
1 4.1 概述
2 4.2 技术条件
3 4.3 系统构成
4
4.4 技术规范
4.1 概 述
根据《CTCS技术规范总则》的描述，CTCS-2级列车控制系统是基于轨道电路和点式设备传 输信息的列车运行控制系统。它面向客运专线、提速干线，适用于各种限速区段，机车乘 务员凭车载信号行车。CTCS-2是结合中国实际情况，具有中国特色的列车控制系统，具有 以下特点： （1）基于轨道电路和应答器进行车地间信息传输。 （2）采用目标距离的控制模式，实现一次连续制动的控制方式。 （3）能在既有提速线路上叠加，实现在同一线路上与既有信号系统的兼容。 （4）采用了具有自主知识产权的ZPW-2000A型无绝缘轨道电路，采用国内已有厂家试制 成功的欧标应答器，这就意味着地面设备已能国产化。车载信号设备已通过引进设备实现 技术引进，最终实现国产化。
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-10页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
第5-17页
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1
t
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信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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0
2
4
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信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
《信号与系统》教与学第四章
j n e 3
j n
e3
1 n
sin
n 3
,
n
0, 1,
2,
2
《信号与系统》教与学第四章答案
4.4 周期信号 f (t ) 的双边频谱 Fn 如图所示，求其三角函数表达式。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念，单边谱与双边谱的关系。
（3）计算信号的功率。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念应用；帕斯瓦尔功率等式应用。
T
2
；
f
t
A0 2
n1
An
cos
nt n
；P
Fn 2 。
n
【解题方法：】利用已知条件观察求出 ，并带入公式计算求出各次谐波分量；
根据单边幅度谱和双边幅度谱的关系、单边相位谱和双边相位谱的关系画出双
边幅度谱和相位谱；最后利用帕斯瓦尔功率等式计算信号的功率。
解：（1）
x
t
16 cos
20
t
4
6
cos
30
t
6
4
cos
40
t
3
10 (rad/s) ，
T
2
2 10
1 (s) ， 5
周期信号所含谐波次数为二次，三次，四次；
求得。
（1） cos( t ) sin 2t
解： T1
《信与系统》教与学
4.14
利用能量等式
f
2 (t )dt
1 2
2
F ( j) d ，计算
sin t
2t
2
dt
。
【解题方法：】先利用门函数常用对和对称性求出 sin(2t) 的傅里叶变换， t
4.11 如下图所示信号， f1 (t ) 的傅立叶变换 F1 ( j ) 已知，求信号 f 2 (t ) 的傅立叶 变换 F2 ( j ) 。
解：
f2 (t ) f1 (t t0 ) f1(t t0 ) f1(t ) F1( j)
f1(t t0 ) F1( j)e jt0
9
《信号与系统》教与学第四章答案
解： T1
2
2(s )
T2
2 2
(s)
故该信号为非周期信号。
（2）
cos(
t)
sin(
t)
2
4
T1 T2
2
为无理数，
解： cos
2
t
,
2
4
(s)，
sin
4
t
,
2
8
(s)，
2
4
8 (s)。
4.2 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。
【解题方法：】首先根据函数的奇偶特性判断信号的傅立叶级数中包含的正、余 弦分量；再根据函数的谐波特性判断信号的傅立叶级数中包含的 奇谐分量、偶谐分量。
df (t) ( j ) F ( j ) dt
jt
df (t) dt
d( j) F(
d
j)
jF
(j)
j
dF ( j ) d
4t
df (t dt
信号与系统课件(郑君里版)第四章
2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
信号与系统第四章(2)
二. 零极点分布与h(t)的关系
∑ ∑ h(t)
=
L−1[H (s)] =
n
L−1 [
i =1
ki s− p
i
]=
n i=0
ki e pit
2 k1 eαt cos(ωt + θ )
jω
正弦振荡 (等幅)
h(t) 减幅的自由振荡
h(t)
2 k1 eαt cos(ωt + θ )
0
t
p 位于左半平面
+
R1
+
R2
H (s)与U s (s)无关， 由网络结构和参数决定
∴H (s) = I2(s) =
R1CS
U (s) s
R1LCS 2 + (R1R2C + L)S + R1 + R2
转移导纳函数
3、H (s)的一般性质。
(1 ) h ( t ) = L − 1 [ H ( s )]
证 : Q H (s) = Rzs (s) E(s)
当e(t) = δ (t)时E(s) = 1,
故rzs (t) = h(t) = L−1[H (s)]
此时Rzs (s) = H (s)
例3、试求图示电路的冲激 响应u1(t)。
2Ω
L
R1
SL
+ R1
2H
+ 1
is (t ) u1(t ) 1F
C
2Ω R2
Is (s) U1(s)
CS
R2
−
−
解：H (s) = R(s) = U1(s) — —策动点阻抗 E(s) Is (s)
+
Us (s) −
信号与系统 第4章-作业参考答案
题图 4-3-1 解：
11
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4-3-7
1）x(t)是实周期信号，且周期为 6； 3）x(t) = −x(t − 3)
1 3
设某信号x(t)满足下述条件：
2）x(t)的傅里叶系数为ak ，且当k = 0 和 k > 2时，有ak = 0；
1
4） ∫−3 |x(t)|2dt = 6 2 5）a1是正实数。
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
第 4 章 习题参考答案
4-1 思考题 答案暂略 4-1 练习题 4-2-2 已知三个离散时间序列分别为 x1 ( n) = cos
2πn 2πn , x3 (n) = e , x 2 (n) = sin 25 10
π x (t ) = sin 4π t + cos 6π t + 时，试求系统输出 y (t ) 的傅立叶级数。 4
解：
3
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4因果系统： y(t) + 4y(t) = x(t)
式中x(t) 为系统输入，y(t)是系统输出。在下面两种输入条件下，求输出y(t)的傅里叶级数 展开： 1）x(t) = cos2πt ；
2
2
= 3 ） f ( t ) Sa (100t ) + Sa
解：
( 60t ) 4）
sin(4π t ) , −∞ < t < ∞ πt
9
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4）T=1/4 4-2-27 设 x(t ) 是一实值信号，在采样频率 ω s = 10000π 时， x(t ) 可用其样本值唯一确定
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
信号与系统第四章
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.1 线性
若
f1(t) F1(S), Re[s] 1
f2 (t) F2 (S), Re[s] 2
则
a1
f 1
(t
)
a2
f
2
(t
)
a1F1 ( S
)
a2 F2
(S
),
Re[s]
max(1,
2
)
4.3.2 时移性质
若 则
f (t) (t) F (s) , Re[s] 0
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.1 线性
若
f1(t) F1(S), Re[s] 1
f2 (t) F2 (S), Re[s] 2
则
a1
f 1
(t
)
a2
f
2
(t
)
a1F1 ( S
)
a2 F2
(S
),
Re[s]
max(1,
2
)
4.3.2 时移性质
若 则
f (t) (t) F (s) , Re[s] 0
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
信号与系统(段哲民)第三版 第四章答案全解
信号与系统（段哲民)第三版第四章答案全解4.1 选择题答案解析(C)伯努利信号是一个具有有限时间持续性的信号，因此是非因果信号。
解析：伯努利信号只在有限时间内存在，而非因果信号是只存在于负时间的信号。
(D)和三角函数的区别是，余弦函数的相位是0，而不是1。
解析：和三角函数不同，余弦函数的相位是0，表示相位没有滞后。
(B)碰撞行为是随机过程，因此其幅度表示为随机变量是正确的。
解析：碰撞行为是随机过程，其幅度表示为随机变量。
4.2 填空题答案解析1.以下哪个信号不是周期信号？(B)解析：周期信号是指在时间轴上具有循环性质的信号。
正方脉冲信号和方波信号都是周期信号，而冲击信号不是周期信号。
2.正弦信号频率是50Hz，则周期为______。
解析：频率和周期的关系为$f=\\frac{1}{T}$。
根据公式可知，周期$T=\\frac{1}{f}=0.02s$。
3.已知信号$y(t)=3\\sin(2\\pi t + \\frac{\\pi}{6})$，则相位为______。
解析：相位指信号相对于某参考信号的滞后程度。
对于正弦信号，相位为$\\theta = 2\\pi t + \\frac{\\pi}{6}$4.3 解答题答案解析1.请证明复指数函数$e^{j\\theta}$是周期信号。
解析：复指数函数$e^{j\\theta}$可以表示为$e^{j(\\omega_0t+\\phi)}=e^{j\\omega_0t}e^{j\\phi}$，其中$\\omega_0$为角频率。
由于$|\\phi| < \\pi$，所以$e^{j\\phi}$是一个衰减的振荡函数，它是一个周期信号。
2.指出以下信号的类型：(1)冲击信号 (2)阶跃信号 (3)斜坡信号解析：(1) 冲击信号是一个非周期信号；(2) 阶跃信号是一个非周期信号；(3) 斜坡信号是一个非周期信号。
3.已知信号y[y]=2y[y−y]，请将该信号分解为若干复指数信号的叠加形式。
《信号与系统》第二版第四章：信号的谱表示
t0
t
dt
f (t ), cos nωt
an = cos nωt, cos nωt
f (t ), sin nωt
bn = sin nωt, sin nωt
（4-1） （4-2）
为傅里叶系数。 9
《信号与系统》
第四章：信号的谱表示
⎡
⎤
∑( ) ( ) f
∞
t = a0 +
an2 + bn2
1 2
⎢ ⎢
∫ A．
t0 +T t0
f (t ) dt < ∞ ， f (t ) ∈ L1 [t0,t0 + T ]；
B． f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上具有有限个极大值，极小值；
C． f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上具有有限个第一类间断点。
注：A 保证傅里叶系数为有限数值，B、C 保证 Riemann 积分的条件， 当推广到 Lebesgue 积分时条件可以放松。 三角函数形式的傅里叶级数： 9 三角函数集：
3）线谱包络：
Sa
⎛ ⎜⎝
1 2
Ωτ
⎞ ⎟⎠
；
4）0
到第一零点之间的谱线的个数：
⎡ ⎢⎣
2π ω
τ
⎤ ⎥⎦
=
⎡T ⎢⎣ τ
⎤ ⎥⎦
（
⎡T ⎢⎣ τ
⎤ ⎥⎦
表示对
T τ
取整)。
§4.3 L1 (−∞, ∞) 上的函数的傅里叶变换
（《信号与系统》第二版（郑君里）3.4，3.5，3.6）
问题的提出：
考虑：令
9
∞
∑ f (t ) = Fnejnωt ⎡⎣u (t − t0 ) − u (t − t0 − T )⎤⎦ n=−∞
t
dt
f (t ), cos nωt
an = cos nωt, cos nωt
f (t ), sin nωt
bn = sin nωt, sin nωt
（4-1） （4-2）
为傅里叶系数。 9
《信号与系统》
第四章：信号的谱表示
⎡
⎤
∑( ) ( ) f
∞
t = a0 +
an2 + bn2
1 2
⎢ ⎢
∫ A．
t0 +T t0
f (t ) dt < ∞ ， f (t ) ∈ L1 [t0,t0 + T ]；
B． f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上具有有限个极大值，极小值；
C． f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上具有有限个第一类间断点。
注：A 保证傅里叶系数为有限数值，B、C 保证 Riemann 积分的条件， 当推广到 Lebesgue 积分时条件可以放松。 三角函数形式的傅里叶级数： 9 三角函数集：
3）线谱包络：
Sa
⎛ ⎜⎝
1 2
Ωτ
⎞ ⎟⎠
；
4）0
到第一零点之间的谱线的个数：
⎡ ⎢⎣
2π ω
τ
⎤ ⎥⎦
=
⎡T ⎢⎣ τ
⎤ ⎥⎦
（
⎡T ⎢⎣ τ
⎤ ⎥⎦
表示对
T τ
取整)。
§4.3 L1 (−∞, ∞) 上的函数的傅里叶变换
（《信号与系统》第二版（郑君里）3.4，3.5，3.6）
问题的提出：
考虑：令
9
∞
∑ f (t ) = Fnejnωt ⎡⎣u (t − t0 ) − u (t − t0 − T )⎤⎦ n=−∞
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lim [ f (0 ) f (0 )] (t )e st dt 0 f (0 ) f (0 )
s 0
即 lim sF ( s) f (0 ) f (0 ) f (0 )
s
f (0 ) lim sF (s)
s
df 先假定f(t)在原点连续,则 dt
在原点处不
包含冲激.于是
df st lim e dt 0 即lim sF (s) f (0 ) 0 s 0 dt s
f (0 ) f (0 ) f (0 ) lim sF ( s )
s
再假定f(t)在原点有跃变,则f(t)的导数可写成
df df1 [ f (0 ) f (0 )] (t ) dt dt
其中f 1(t )在t=0连续,于是
t0
df df (t ) st 1 st lim e dt lim e dt s 0 s 0 dt dt
为什么微分得变换式里 f (0 )有关? 与
虽然: L[ f (t )] L[ f (t )u (t )] d d 但L[ [ f (t )u (t )]不一定和 [ L f (t )]相等。 dt dt
设：f1 (t ) e u( t )
f1 (t )
at
f 2 (t )
1...t 0
2.时域积分特性 若 f (t ) F (s) 则
F ( s) F ( s) f ( )d 拉 : f ( )d 且 f ( )d s s s 0
t t 0
付 : f (t ) F ( j ),则
求:
t
1 f ( )d F ( j ) j
df 3 f (t ) 2 f ( ) d u (t ) dt f (0 ) 2,
t
f ( )d
0
0
解:
F ( s ) sF ( s) f (0 ) 3F ( s) 2[ s s
f ( )d
0
1 ] s
2s 1 1 3 F ( s) 2 s 3s 2 s 1 s 2 t 2 t f (t ) [ e 3e ]
n r 0 n 1 n r 1
f
(r )
(0 )
证明:
df (t ) st ' L[ f (t )] e dt e st df (t ) dt 0 0 令 : u e st dv df (t ) v f (t ) du se st udv uv vdu L[ f ' (t )] e st f (t ) 0
设f (t ) sin 0t
sin 0t u (t )
t
0
0 t0
sin 0 (t t0 ) u(t )
t
sin 0t u(t t0 )
t
0 t0
0
sin 0 (t t0 ) u(t t0 )
t
t0
3.时移特性的应用p251.4-2 (1)
T sin t 0 t 2 1. f (t )
n 0
L[ T (t )]
0
(t nT )e st dt
n 0
1 1 e sT f s (t ) f (t ) T (t ) f ( nT ) (t nT ) f ( nT ) (t nT )
n 0 n 0
e
st0
F ( s)
f (t )e at
F ( s a)
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
终值 定理
lim f (t ) f (0 ) lim sF (s)
s
t
lim f (t ) f () lim sF ( s )
snT
利用时移特性
F1 ( s )
snT
n 0
f (t nT ) F1 (s) e
n 0
F1 ( s ) 1 e sT
利用无穷递减等比 a 级数求和 s 1 - q
1
例1：求全波整流周期信号的拉氏变换
f (t )
1
0
f 0 (t )
T 2
T
t
(1 e ) s2 2
n 0
抽样序列的拉氏变换
T (s)
n 0
e
snT
1 1 e sT
时域抽样信号
f s (t ) f (t ) T (t )
抽样信号的拉氏变换
Fs ( s )
n 0
f ( nT )e
snT
*抽样信号的拉氏变换
T (t ) (t nT )
这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏 变换理解为只能用于因果信号. 如在利用微分和 积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样 理解，可能会得出错误的结果,如
f 2( t )
t 0
1
若 误 认 为 2 (t) f
t 0
0
结果就错了 .
c.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
2 s 2
T s (1 e 2 )
E
*台阶函数
E E T E T E 3T f (t ) u (t ) u (t ) u (t ) u (t ) Eu(t T ) 4 4 4 4 2 4 4
sT sT 3 sT E E E u (t ) f (t ) [1 e 4 e 2 e 4 4e sT ] 4 4s 4s
初始条件自动包含在变换式中，一步 求出系统的全响应。
三.初值和终值定理 1.初值定理 df 若f(t) 及其导数 dt 可以进行拉氏变换 且 f (t ) F (s) 则 lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s )
t 0 s
证明:利用时域微分特性
df df st L[ ] e dt sF ( s) f (0 ) 0 dt dt
T 2
1 1 e
s T 2
1
0
T 2
t
T sin t[u (t ) u (t )] T 2
LT
信号加窗 第一周期
2 T
(1 e ) 2 2 s
T 2
求图示信号的拉氏变换 .
f (t )
包络函数 e t
1 (1 e ( s 1) ) ( s 1) (1 e ( s 1) )
四.拉氏变换的基本性质(1)
线性 微分 积分 时移 频移
k f (t )
i 1 i i
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
df (t ) dt
sF ( s) f (0 )
F ( s ) f ( 1) (0 ) s s
t
f ( )d
f (t t0 )u (t t0 )
s 0
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s) F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s ) 2j
f1 (t ) f 2 (t )
P190.表4.2 拉氏变换的性质
4.时域平移 f (t ) f (t t 0 ) 2.对t微分 3.对t积分 重点讨论 7.初值 t 0 8.终值 t0 (一).时域平移特性和应用 1.时移性 设 f (t ) F (s)
c. f (t )u (t t 0) d . f (t t 0)u (t t 0)
设f (t ) sin 0 t f (t )u (t ) sin 0 (t )u (t ) f (t t 0 )u (t ) sin 0 (t t 0 )u (t ) f (t )u (t t 0 ) sin 0 tu(t t 0 ) f (t t 0 )u (t t 0 ) sin 0 (t t 0 )u (t t 0 )
则 f (t t0 )u (t t0 ) e
st 0
F ( s), t0 0
傅立叶变换的时移性质
若: f (t ) F ( j ) 则: f (t t 0) F ( j )e
jt 0
这个性质表明信号在时域中的延时和频域中 的移相是相对应的.
2.四个不同的函数 a. f (t )u (t ) b. f (t t 0)u (t )
0
f (t ) se st dt
lim e st f (t ) f (0 ) sF ( s )
t
f (t )是指数阶函数 lim e st f (t ) 0
t
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0 )可以推广到高阶 dt (见p184,4 - 29和4－30式）
1 2
乘衰减指数 周期对称方波 单对称方波
1 1 e s 1 es
s
1 1 s 2 (1 e ) s 1 e 2s
u(t ) 2u(t 1) u(t 2)
1 (1 2e s e 2 s ) s
抽样信号的拉氏变换
抽样序列
T (t ) (t nT )