区间估计

常用的置信度还有90%，95.45%，99.73%，他们对应的临 界值分别为1.645，2和3，可以分别反映各自的估计区间所对应 的精确程度和把握程度。
STAT
4.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况
在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
织想进行一项新的研究，以估计美国当前总体平均日租赁中等
大小汽车的支出。在设计该项新的研究时，项目主管指定对总
体平均日租赁支出的估计误差边际为2美元，置信水平为95%。
解：依题意，1 95%,Z 1.96, 9.65, E 2
2
可得
n
(Z
2
)2
E
2 2
1.96
2
9.65 22
2
89.43
将以上结果取下一个整数（90）即为必要的样本容量。
p)
STAT
【例6】在例中，该公司想在1997年结果的基础上进行一项新的 调查，以重新估计女子高尔夫球手的总体中对得到的球座开球 此数感到满意的人数所占的比例。调查主管希望这项新的调查 在误差边际为0.025、置信水平为95%的条件下来进行，那么， 样本容量应该为多大？
解：依题意，1 95%,Z 1.96, p 0.44, E 0.025 2
为
2的Z值。
第四章
例(1).某厂质量管理部门负责人希望估计移交给接收部门的 5500 包 原材料的平均重量。一个由250包原材料组成的随机
样本所给出的平均值 x 65千克 ,总体 标准差 =15千克,试构
造总体未知的平均数 的置信区间,假定95%的置信区间已能
令人满意,并假定总体为正态分布。
解：已知总体服从正态分布，所以样本平均值也服从正态
18
45
27
42
36
39
STAT
上表是一个由36个投保人组成的简单随机样本的年龄数据。现 求总体的平均年龄的区间估计。
分析：区间估计包括两个部分——点估计和误差边际，只需分 别求出即可到的总体的区间估计。
解：已知 n 3（6 大样本）， 1 90%，Z 1.645 2
（1）样本的平均年龄
x
x 32 50 40 36 39.5
n
36
（2）误差边际
x
Z 2
n
总体标准差 （未知）
样本标准差 s
STAT
样本标准差
s (x x)2 7.77
误差边际
n 1
s
7.77
x
Z 2
Z
n
2
1.645 * n
2.13 36
（3）90%的置信区间为39.5 ±2.13 即（37.37，41.63）岁。
注意
（1）置信系数一般在抽样之前确定，根据样本所建立的区间能 包含总体参数的概率为
x , x 82 3.92,82 3.92
x
x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
STAT 图1 根据选择的在 x1 、x2 、x3 位置的样本均值建立的区间
例2：对某打土方 的工人作抽样调查，随机抽查144个工人，
据此求得每人每天平均完成工作量为5.25立方米。已知总体
服从正态分布，其标准差为1.5立方米，试用0.9545概率保
证，推断其全部工人每人每天平均完成工作量介于多少立
方米之间？
解：已知X—N( ,1.5)即总体服从正态分布。
X=5.25 n=144
式中，（1 ）为置信系数；
Z 为在标准正态分布的右 2
侧尾部中所提供的面积
为
2的Z值。
STAT
【例5】1997年菲瑞卡洛通讯公司对全国范围每内的902名女子高尔 夫球手进行了调查，以了解美国女子高尔夫球手对自己如何在场上
被对待的看法。调查发现，397名女子高尔夫球手对得到的球座开 球次数感到满意。试在95%的置信水平下估计总体比例的区间。
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间
【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。
可得
n
(Z )2 2
p(1 E2
p)
1.962
0.44 0.56 0.0252
1514.51
将以上结果取下一个整数（1515）即为必要的样本容量。
STAT
说明：
p 由于总体比例 在大多数情况下是未知的，可以有以下方 p 法取得 的值。
（1）使用有同样或者类似单元的以前样本的样本比例； （2）抽取一个预备样本进行试验性研究。用实验性样本的比例
x 的抽样分布
2 x
基于x2 3.92的 区间
95%的所有x的值
3.92 3.92 x1
x2
基于x1 3.92的 区间
x3 基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
STAT
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。
2
5
x 5.25
5.5
x
z 注意：n>30为大样本，查标准正态分布表
置信水平
2
(t)
记住
0.6827
1
0.9000
1.645
0.9500
1.96
0.9545
2
0.9973
3
再例：
STAT
4.1.4计算区间估计：未知时的大样本情况
在大多数的情况下，总体的标准差都是未知的。根据抽样
分布定理，在大样本的情况下，可用样本的标准差s作为总体标
STAT
4.4总体比例的区间估计
8.4.1区间估计
p 对总体比例 的区间估计在原理上与总体均值的区间估计相
同。同样要利用样本比例 p 的抽样分布来进行估计。 若，n 30, np 5, n(1 p) 5 则样本比例近似服从正态分布。
同样，抽样误差 p p p
类似的，利用抽样分布（正态分布）来计算抽样误差
（2）置信区间的长度（准确度）在置信度一定的情况下，与样 本容量的大小呈反方向变动，若要提高估计准确度，可以扩大 样本容量来达到。
STAT
4.3确定样本容量
误差边际
x
Z 2
n
其计算需要已知Z ,和样本容量n。 若我们选择了置信度2 1,就可以确定Z
2
在已知 和Z 后，我们可以求出误差边际为任何数值时的 2
p 作为 的估计值。 p （3）运用对 值的判断或者“最好的猜测”；
（4）如果上面的方法都不适用，采用 p 0.5 。
例1：某灯泡厂日产白炽灯泡15000只，根据历史资料可知一 等品率为90%，现要求极限误差为2%，概率保证程度为 95.45% ，问不重复抽样时，应抽取多少只灯泡？
例2：某洗衣机厂生产一批新型号的洗衣机投放市场,为了解 这种洗衣机在市场上的销路，该厂在市场上调查喜欢这种洗 衣机的人数比率。要求置信度为95%，估计误差在4%以内， 问需要抽多大的样本？
准差的点估计值，仍然采用上述区间估计的方法进行总体参数
的估计。
未知时的大样本下的区间估计
x Z 2
n
式中，（1 ）为置信系数；
Z 为在标准正态分布的右 2
侧尾部中所提供的面积
为
2的Z值。
STAT
【例2】 斯泰特怀特保险公司每年都需对人寿保险单进行审
查，现公司抽取36个寿保人作为一个简单随即样本，得到关于、 投保人年龄、保费数量、保险单的现金值、残废补偿选择等项 目的资料。为了便于研究，某位经理要求了解寿险投保人总体 平均年龄的90%的区间估计。
z2=2
z z x
,
x
(5.25 2 1.5 , 5.25 2 1.5 )
2n
2 n
144
144
(5, 5.5)
所以我们可以0.9545的概率保证全体工人每人每天平均完成 工作量介于5—5.5立方米之间。
第四章 参数估计
如图：
0.02275 2
1 =0.9545
0.02275
分布。并知，x =65， =15，查标准正态分布表，与置信水
平95%相对应的Z值为1.96，所以总体平均数置信区间为：
z x
65 1.96
15
65 1.86
2n
250
即：63.14 — 66.86(千克)之间
所以我们有95%的把握说总体平均数u介于63.14—66.86千克 之间。
第四章 参数估计
例3：某厂生产电子元件10000只，采用重复抽样方式抽取 100只作耐用检验，计算结果平均寿命是9000小时，总体的方 差是8100小时，当概率保证程度为95.45%时，电子元件的平 均寿命落在哪个区间？若概率保证程度提高到99.73%，允许 的极限误差为原来的1/2时，需要抽取多少只电子元件？
例1：某灯泡厂日产白炽灯泡15000只，根据历史资料可知一 等品率为90%，现要求极限误差为2%，概率保证程度为 95.45% ，问不重复抽样时，应抽取多少只灯泡？
通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1
置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度的
正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估计量