直线的参数方程及弦长公式.ppt
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选修4-4数学直线的参数方程【优质PPT】
演
练
参数方程为__________．
课 时
(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________，所以
作 业
课
sinα≥0，当 α∈(0，π)时，sinα＞0.
内
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
课
(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：_____ 内
时 作 业
课 内
y＝3＋2
5 5 t.
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
经验证易知点
A(3,7)恰好在直线上，所以有
1＋
5 5
课 内
巩
t＝3，即 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
固
自
而点 B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数 t 的几
B．(－3,4)
练
课
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
时 作
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] d＝ －2－ 2t－22＋3＋ 2t－32＝ 2， 课
内
∴t＝±
2 2.
巩 固
自 主 演
当 t＝ 22时，对应点为(－3,4)，
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] (1)因为倾斜角 α＝π6，所以 sinα＝12，
直线的参数方程(用)ppt课件
x x0 t cos , y y0 t sin
即，x x0 t cos , y y0 t sin
e (cos,sin )
x
3
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos , y y0 t sin
y
所： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
M(x,y)
y
e (cos ,sin )
因为M 0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M 0M te,即
(x x0, y y0 ) t(cos,sin ) O
直线的参数方程
1
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
O
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
B
x
17
即
x
1
2t 2 (t为参数）
A
y
2
2t 2
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10 MA MB t1 t2 t1t2 2
优秀课件人教版直线的参数方程(共22张PPT)
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
sin 要注意 把它变成 y y0 : ( x x0 ) x0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
三、例题讲解 2 例 2 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 )
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M 设 e是直线l的单位方向向量，则 y M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
3直线的参数方程21页PPT
练习
方法总结： 过一个定点 或已知点的 直线与圆锥 曲线相交， 涉及到弦长、 弦长的乘积、 中点等计算 或证明问题 时，选用直 线的参数方 法来解答往 往会更加简 便一些.
此问题涉及到直线与圆锥曲线的相交的弦长问题，试问： 如何寻找解题思路？如何选择解题方法？
方法总结：过一个定点或已知点的直线与圆 锥曲线相交，涉及到弦长、弦长的乘积、中 点等计算或证明问题时，选用直线的参数方 法来解答往往会更加简便一些.
设l的 直倾 线 ， 斜 M 定 0 、 角 点 M 动 的 为点 坐
分(x 别 0 ,y 0 )、 (x 为 ,y )
(1)如何利用写 倾出 斜直 l角 的线 单位方e向 ？向
(2)如何 e和 用 M0的坐标表示直 一线 点 M的 上坐 任
(1) e(c o,ssi n)
( 2 )M 0 M ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( x x 0 , y y 0 ) 又 M 0M //e 存 在 惟 t一 R，实 使M 数 0 得 Mte
x 1
2 t
2 （t为 参 数 ）
（2） 直x线 y10的 一 个 参 数 方 y 程 22 t是
。
直线的（标程 准中 ）t参 的 参数 几 数何 方意 tM 义 0M是 . t即是有M 向 0M的 线数 段 .t表 量示t参 对数 应M 的 到点 定M 点 0的距 .当 M 离 0M与 e同向t时 取， 正数 M0M ；当 与 e异向t时 取， 负数M ； 与 M 当 0重点 合t时 0.，
由 (解 *)x 1 得 1 25 ： ， x 2 1 25
y 13 25 ， y23 25
记直线与 坐 抛 A (标 1 物 5,线 35的 )， B ( 交 15点 ,35)
2.3.1-直线的参数方程(1)ppt
如何引用参数表示直线上任意一点（x, y）
y
的横纵坐标。
M(x ,y)
t
P
M0(x0,y0 )
O
x
x x0 t cos
y
y0
t
sin
(t是参数）
结论
x0
y0
(x0 , y0 ) 直线上任意一点坐标
直线Байду номын сангаас倾斜角
x x0 t cos
y
y0
该点对应的参数t是？
x
1
1 2
t
(t为参数)
y
3t 2
结 论 直线l的参数方程中
参数 t 的几何意义?
y
M
M M
0 （x0 , （x0
y0）
t cos
,
y0
t
sin
）M0
|t
|t sin
P
cos|
|
|t|=|M0M|
O
x
典例
1.
一条直线的参数方程是
当 a 2b2 1时，t 没有明确的几何意义.
典例
2.
直线
x
2
2t 2 (t为参数)上与点P(2,3)
y
3
2t 2
距离等于 2的点的坐标是（ ）
A(-4,5)
B(-3,4)
C(-3,4)或(-1,2) D(-4,5)或(0,1)
拓展
3.
直线l
:
参数方程直线的参数方程ppt
设定参数方程
对于直线，可以设定参数方程为 `x = tcosθ + ysinθ`，其中θ 为直线的倾斜角。
绘制直线
通过MATLAB的plot函数，将参数方程带入，即可绘制出直 线。
MATLAB实现两直线的交点求解
设定两直线参数方程
对于两条直线，可以设定各自的参数方程为 `x = tcosθ1 + ysinθ1` 和 `x = tcosθ2 + ysinθ2`，其中θ1和θ2分别为两条直线的倾 斜角。
06
总结与展望
总结本文主要贡献
详细阐述了直线参数方程的求解方法和步骤 ，并给出了具体的计算示例。
对直线参数方程在不同领域中的实际应用进 行了分析和探讨，并给出了相应的案例分析
。
引入了直线参数方程的概念和应用场景介绍 。
讨论了直线参数方程在计算机图形学、机器 人学等领域中的应用和实现。
展望未来研究方向
利用参数方程求解直线的长度
总结词
利用参数方程求解直线的长度，可以将其转化为求解 两点间距离的问题，通过代入参数方程计算得到直线 长度。
详细描述
已知直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A和B不 全为0。设该直线上任意两点的坐标分别为(x1,y1)和 (x2,y2)，将其代入直线方程，得到两个等式 {(x1)A+(y1)B+C=0和(x2)A+(y2)B+C=0}。通过减法 运算，得到(x1-x2)A+(y1-y2)B=0，并将其变形为 B{(y1-y2)/(x1-x2)=-A}
03
利用参数方程求解直线相关问题
利用参数方程求解两直线的交点
总结词
利用参数方程求解两直线的交点，可以将其转化为联立 直线方程组的问题，通过消元得到方程组的解，从而得 到两直线的交点坐标。
对于直线，可以设定参数方程为 `x = tcosθ + ysinθ`，其中θ 为直线的倾斜角。
绘制直线
通过MATLAB的plot函数，将参数方程带入，即可绘制出直 线。
MATLAB实现两直线的交点求解
设定两直线参数方程
对于两条直线，可以设定各自的参数方程为 `x = tcosθ1 + ysinθ1` 和 `x = tcosθ2 + ysinθ2`，其中θ1和θ2分别为两条直线的倾 斜角。
06
总结与展望
总结本文主要贡献
详细阐述了直线参数方程的求解方法和步骤 ，并给出了具体的计算示例。
对直线参数方程在不同领域中的实际应用进 行了分析和探讨，并给出了相应的案例分析
。
引入了直线参数方程的概念和应用场景介绍 。
讨论了直线参数方程在计算机图形学、机器 人学等领域中的应用和实现。
展望未来研究方向
利用参数方程求解直线的长度
总结词
利用参数方程求解直线的长度，可以将其转化为求解 两点间距离的问题，通过代入参数方程计算得到直线 长度。
详细描述
已知直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A和B不 全为0。设该直线上任意两点的坐标分别为(x1,y1)和 (x2,y2)，将其代入直线方程，得到两个等式 {(x1)A+(y1)B+C=0和(x2)A+(y2)B+C=0}。通过减法 运算，得到(x1-x2)A+(y1-y2)B=0，并将其变形为 B{(y1-y2)/(x1-x2)=-A}
03
利用参数方程求解直线相关问题
利用参数方程求解两直线的交点
总结词
利用参数方程求解两直线的交点，可以将其转化为联立 直线方程组的问题，通过消元得到方程组的解，从而得 到两直线的交点坐标。
直线的参数方程 课件
在直线参数方程的标准形式下,直线上两点之间的距离可用|t1-t2|来求.直线的
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
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| MA | | MB || t1 t2 | 2
（1） M1M2 t1 t2
（2） t t1 t2
2
特别地，若中点为M 0 , 则t
t1
t2 2
0，即t1
2
0
直线
x y
2 1t 2
1 1 2
t
(t为参数)
被圆 x2 y2 4
截得的弦长为__22__t_1__t_2_____1_4
复习回顾
经过点M0(x0 , y0),倾斜角为α的直线的参数方程：
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t为参数)
上式称为直线参数方程的标准方程
思考：t 的几何意义是什么？
x x0 t cos
y
y0
t
sin
(t为参数)
（1） | MM0 || t |
（2）MM0与e 同向时，t>0 （3）MM0与e 异向时，t<0
（4）t=0时，M 与 M 0重合
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
例1：已知直线方程 x+y－1=0与抛物 线 y=x2 交于点A、B。 (1)求弦长AB (2)求点M（－1，2）到A，B两点的距 离之积。
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
解：由由xy韦达y求x定2 1解理 得 如0本：果题x得1在呢：xx学2？2习x1，直1 x线10 x的2 参1(数*) 方程之前,你会怎样
则中点 M ( 16 , 2)
77
3.求直线方程：
若点M
是线段M1M
的三等分点，则
2
t t1 2t2 3
M为定点M0,则t1 2t2 0。
4.直线与圆锥曲线的关系
y
•
M
O
P
x
y
•
M P
O
结论也成立
小结
1、回忆直线的参数方程的推导
2、掌握直线参数方程的设法
x
y
x0 y0
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
t1 t2 2, t1t2 2
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什
2
么关系？
由参数的几何意义得： | AB || t1 t2 | t1 t2 2 4t1t2 10
2.求弦的中点坐标 例2：直线L
x y
1 3 t
（t5为参数）
2 4t 5
与双曲线(y－2)2－x2=1相交于 A、
B两点，求弦AB中点M的坐标 .
解：把
x
2)2－x2=1y
1 3 5
2 4t 5
t
直接代入(y－
化简得
7,5t10t2
72
0
15 7
t t
cos sin
(t为参数)
3、t的几何意义。
4、利用直线的参数方程解决问题
教学目标： 推导直线的参数方程。掌握直
线参数方程的设法。理解直线参数 方程中t的几何意义。
教学重难点： 理解直线参数方程中t的几何意义。 巧妙利用直线的参数方程解决问
题。
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1
2
5 3 ,
5 )，B( 1
2
2
5 3 5
,
)
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2