人教版八年级数学上册同步练习：12.2 三角形全等的判定(四)(HL)
《用“HL”证直角三角形全等》第4课时练习题
C)
90° ． 11．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝_______
12．(2016·镇江)如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO的度数是多少？
5．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝
AC，FD＝CD.求证：AD＝BD. 解：在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵CD＝FD，AC ＝BF，∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)，∴AD＝BD
知识点2：直角三角形全等判定方法的选用
6．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是( D A．两条直角边分别对应相等 B．斜边和一锐角分别对应相等 C．斜边和一条直角边分别对应相等 )
八年级上册人教版数学 第十二章 全等三角形
12．2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”证直角三角形全等
直角边 分别相等的两个直角三角形全等，可简写成 1．斜边和一条_________ HL ”． 斜边、直角边 ”或“_______ “_______________ 2．判定两个直角三角形全等的方法．(填简写形式) SSS ；(2)________ SAS ；(3)______ ASA ； (1)_______ (4)_________ AAS ；(5)_______ HL ． 练习1：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据 AB＝AC “HL”判定，还需要加条件_______________ ；若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定． __________
人教版八年级数学上册全等三角形的判定同步训练习题
人教版八年级数学上册12.2《全等三角形的判定》同步训练习题一．选择题（共10小题）1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．（2015春•南京校级期末）下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③3．（2015•宁波）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠24．（2015•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对5．（2015•滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS7．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组8．（2015•漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（）A．① B．② C．③ D．①和②9．（2015春•陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt △AEC≌Rt△BFC的理由是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL10．（2014•厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF二．填空题（共10小题）11．（2015•南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有对全等三角形．12．（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）13．（2015•永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．14．（2015•怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．15．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是度．16．（2015•姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= ．17．（2015春•锡山区）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2= °．18．（2015春•揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是．19．（2015春•瑶海区期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD 上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是．20．（2015春•苏州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C 路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l 于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为时，△PEC与△QFC全等．三．解答题（共10小题）21．（2015•云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．22．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．23．（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．24．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．25．（2015•温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．26．（2015•金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，．求证：△ABE≌△CDF．证明：27．（2015•大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．28．（2015•西安模拟）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．（1）求证：△ADC≌△BEA；（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．29．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．30．（2015春•鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由．人教版八年级数学上册12.2《全等三角形的判定》同步训练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC选A【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2015春•南京校级期末）下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③【考点】全等三角形的判定．【分析】熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．【解答】解：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确．故选C．【点评】AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2015•宁波）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．4．（2015•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．5．（2015•滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半以及垂线段最短的性质求出AC边的最短值，然后选择即可得解．【解答】解：如图，AC⊥BC时，∵∠ABC=30°，AB=4，∴AC=AB=×4=2，∵垂线段最短，∴AC≥2，∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，当AC=2时可以作1个三角形，当AC=3时可以作2个三角形，当AC=4时可以作1个三角形，当AC=5时可以作1个三角形，共1+2+1+1=5，所以，三角形的个数是5个．故选C．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，求出AC边的最小值是解题的关键．6．（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．【分析】由作图可得CO=DO，CE=DE，OE=OE，可利用SSS定理判定三角形全等．【解答】解：在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE（SSS）．故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】全等三角形的判定．【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．8．（2015•漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（）A．①B．②C．③D．①和②【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9．（2015春•陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt △AEC≌Rt△BFC的理由是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL【考点】全等三角形的判定．【分析】根据垂直定义求出∠AEC=∠BFD=90°，根据平行线的性质得出∠A=∠B，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．【解答】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC=∠BFD=90°．∵AC∥DB，∴∠A=∠B．在△AEC和△BFD中，∴Rt△AEC≌Rt△BFC（AAS），故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，垂直定义的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，直角三角形全等的判定定理除了具有以上定理外，还有HL定理．10．（2014•厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．二．填空题（共10小题）11．（2015•南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 3 对全等三角形．【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP≌R t△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．12．（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC=EF或∠BAC=∠EDF ．（只填一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC=EF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC=∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．13．（2015•永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．14．（2015•怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．15．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是60 度．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．【解答】解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为：60．【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．16．（2015•姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= 或．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况：①由正方形的性质得出∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=4，由勾股定理求出AE，由HL证明Rt△ADE≌Rt△DCF，得出∠AED=∠DFC，证出∠DGE=90°，由△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，即可求出DG的长；②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，得出CF=DE，DF=AE，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；证出△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，得出比例式，，设GM=4x，则FM=3x，GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，解方程求出x，得出GF，即可得出DG的长．【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=3+1=4，AD∥BC，∴AE===5，在Rt△ADE和Rt△DCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴∠AED=∠DFC，∵∠DFC+∠CDF=90°，∴∠AED+∠CDF=90°，∴∠DGE=90°，∵△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，∴DG==；②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，∴CF=DE=3，DF=AE=5，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；则GM∥DC，GN∥AD，∴△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，∴=，=，设GM=4x，则FM=3x，∴GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，∴，解得：x=，∴GF=，∴DG=DF+GF=5+=；综上所述：DG的长为或；故答案为：或．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论，特别是②中，需要证明三角形相似才能得出结果．17．（2015春•锡山区期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2= 50 °．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠1=∠CAD，即可解题．【解答】解：∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC均为直角三角形，在RT△ABC和RT△ADC中，，∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），∴∠1=∠CAD，∴∠2=90°﹣∠CAD=50°．故答案为 50°．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ABC ≌RT△ADC是解题的关键．18．（2015春•揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是105°．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据CE=CA，∠CAD=15°，求出∠ACE=150°即可利用角的和差求解．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CAD=15°，CE=CA，∴∠CED=∠CAD=15°，∴∠ECA=150°，∴∠DCE=∠ECA﹣∠ACD=150°﹣45°=105°．故答案为：105°．【点评】此题主要考查等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．。
12.2 三角形全等的判定(第4课时)人教版数学八年级上册同步练习(含答案)
第十二章全等三角形12.2.三角形全等的判定第4课时直角三角形全等的判定1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．43.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC________（填“全等”或“不全等”），根据_______________（用简写法）.4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.5. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.6. 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？参考答案：1.D2.A3. 全等HL4. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90 °.在Rt△EBC和Rt△DCB中，CE=BD,BC=CB .∴Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).5. 证明: ∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.6. 解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．。
12.2.4 三角形全等的判定(四)(HL)人教版数学八年级上册同步练习(含答案)
12.2.4 三角形全等的判定（四）（HL)一、选择题1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是 A．HL B．AAS C．SSS D．SAS2. 如图，AC⊥BD于点P，AP=CP，增加下列一个条件：①BP=DP；②AB=CD；③∠A=∠C．其中能判定△ABP≌△CDP的条件有 A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个3. 如图，在不等边△ABC中，PM⊥AB，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列结论：①AN=AM；②QP∥AM；③△BMP≌△QNP．其中正确的是 A．①②③B．①②C．②③D．①4. 如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是 A．（1）（3）B．（2）（4 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC 两点分别在线段AC和AC的垂线A A，P，Q为顶点的三角形全等，则APA．DE=DF9. 如图，△ABC中，∠10. 如图，Rt△ABC和Rt11. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点△ADG=64，则△DEF的面积为．12. 如图，有两个长度相等的滑梯三、解答题13. 如图，AC=BD，BD⊥AD于点D，AC⊥BC14. 已知：如图，CD=BE，DG⊥BC于点G，EF⊥BC于点F，且DG=EF．(1) 求证：△DGC≌△EFB；(2) 连接BD，CE．求证：BD=CE．15. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE=AF．16. 如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是点E，F，且DE=BF．求证：AB∥CD．17. 如图：在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．(2) 若AF=2，EB=1，求AB的长．。
2019年秋人教新版八年级数学上册同步练习卷12.2三角形全等的判定含答案
12.2三角形全等的判定一．选择题（共11小题）1．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块2．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．24．如下图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝6cm，AD＝9cm，则BE的长是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA7．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA8．下列说法正确的是（）A．周长相等的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．三个角对应相等的两个三角形全等D．三条边对应相等的两个三角形全等9．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠DC．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF10．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BACC．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC11．如图，AB，CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB，CD的中点，经测量AC＝15cm，则容器的内径长为（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm二．填空题（共5小题）12．在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED＝60°，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE，则∠DCB等于．13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．14．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．15．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过秒时，△DEB与△BCA全等．16．如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是（填上适当的一个条件即可）三．解答题（共9小题）17．已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．18．已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．19．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD＝AE．20．如图，在△ADF与△CBE中，点A、E、F、C在同一直线上，已知AD∥BC，AD＝CB，∠B＝∠D．求证：AF＝CE．21．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED ＝50°．（1）求证：AD＝BE．（2）求∠AEB的度数．22．已知：如图AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，AB＝CD，求证：△AOB≌△DOC．23．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．求证：（1）△ABC≌△EDF；（2）AB∥DE．24．如图，已知BD⊥AC，CF⊥AB．（1）若BE＝AC，求证：△BFE≌△CFA．（2）取BC中点为G，连结FG，DG，求证：FG＝DG．25．如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E；求证：BC＝DC．参考答案一．选择题（共11小题）1．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．2．解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH＝∠ADB＝90°∵∠HBD+∠BHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE∴∠HBD＝∠EAH∵DH＝DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD＝AD，BH＝AC②：∵BC＝AC∴∠BAC＝∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD＝AD∴∠ABC＝45°∴∠BAC＝45°∴∠ACB＝90°∵∠ACB+∠DAC＝90°，∠ACB＜90°∴结论②为错误结论．③：由①证明知，△BDH≌△ADC∴BH＝AC④：∵CE＝CD∵∠ACB＝∠ACB；∠ADC＝∠BEC＝90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC∴结论④为错误结论综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选：B．3．解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．故选：B．4．解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°；∴∠ACD＝∠CBE，又AC＝BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC＝AD，BE＝DC；∵DE＝6cm，AD＝9cm，则BE的长是3cm．故选：C．5．解：AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°．∵∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CAD＝90°，∠DCA＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝3，CD＝BE＝1，DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2，故选：B．6．解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故选：B．7．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：D．8．解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；D、正确，符合判定方法SSS．故选：D．9．解：A、AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．10．解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；C、符合SSA，不能判断△ABD≌△BAC；D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．故选：C．11．解：∵O是AB，CD的中点，AB＝CD，∴OA＝OB＝OD＝OC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD＝15cm，故选：D．二．填空题（共5小题）12．解：延长AB到F使BF＝AD，连接CF，如图，∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°，∵∠CDB＝2∠CDE，∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°，∴∠CDB＝2∠CDE＝80°，∵BF＝AD，∴BF＝DE，∵DE+BD＝CE，∴BF+BD＝CE，即DF＝CE，∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE，∴AF＝AC，而∠BAC＝60°，∴△AFC为等边三角形，∴CF＝AC，∠F＝60°，在△ACD和△FCB中，∴△ACD≌△FCB（SAS），∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝80°，∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°．13．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．14．解：如图，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，∴∠CFD＝35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED＝∠CDF＝90°，在Rt△BDE与△Rt△CFD中，，∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE＝∠CFD＝35°，∴∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，∴∠EDF＝55°．故答案是：55°．15．解：设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；此时AE＝3t分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，BE＝24﹣3t＝12，∴t＝4；（2）当点E在点B的右侧时，①BE＝AC时，3t＝24+12，∴t＝12；②BE＝AB时，3t＝24+24，∴t＝16．（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；综上所述，故答案为：0，4，12，16．16．解：BC＝BD，理由是：∵∠CBE＝∠DBE，∠CBE+∠ABC＝180°，∠DBE+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠ABD，在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD，故答案为：BC＝BD．三．解答题（共9小题）17．证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．18．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（SAS）．∴AC＝ED．19．证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，∵AE⊥EB，∴∠E＝∠ADB＝90°，∵AB平分∠DAE，∴∠1＝∠2；在△ADB和△AEB中，，∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD＝AE．20．证明：∵AD∥BC∴∠A＝∠C在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE．21．（1）证明：如图1中，∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝80°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）解：设AE与BC交于点O．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠COA＝∠BOE，∴∠ACO＝∠BEO＝80°，∴∠AEB＝80°．22．证明：在△AOB和△DOC中，，所以，△AOB≌△DOC（AAS）．23．证明：（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴△ABC和△EDF为直角三角形，∵CD＝BF，∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）；（2）由（1）可知△ABC≌△EDF，∴∠B＝∠D，∴AB∥DE．24．证明：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFE＝∠CFA＝90°，∵∠BEF＝∠CED，∴∠FBE＝∠FCA，在△BFE和△CFA中，∴△BFE≌△CFA（AAS）；（2）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴△BFC和△BDC都是直角三角形，∵点G是BC边的中点，∴BC＝2FG，BC＝2DG，∴FG＝DG．25．证明：∵∠BCE＝∠DCA，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE，即∠ACB＝∠ECD，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴BC＝DC．。
全效学习八上数学同步训练12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
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第4课时直角三角形全等的判定(HL)1．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是() A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF2．如图12－2－40，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是() A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°图12－2－40图12－2－413．如图12－2－41，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE之间的关系是() A．∠ABC＝∠DFEB．∠ABC>∠DFEC．∠ABC<∠DFED．∠ABC＋∠DFE＝90°图12－2－424．如图12－2－42，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件________，若加条件∠B＝∠C，则可用________判定．5．如图12－2－43，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF.求证：(1)AF＝CE；(2)AB∥CD.图12－2－436．如图12－2－44，在△CDE中，∠DCE＝90°，DC＝CE，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，试判断AB与AD，BE之间的数量关系，并证明．图12－2－447．如图12－2－45，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝Array 90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．图12－2－45参考答案1．B 2.A 3.D 4.AB＝AC AAS5．略 6.AB＝AD＋BE，证明略7.(1)略(2)60°关闭Word文档返回原板块。
12.2.4全等三角形的判定(第4课时HL)八年级数学上册(人教版)
情境引入
人教版数学八年级上册
上节课我们学习了什么方法可以判定两个三角形全等？ 三条边分别相等的三角形全等（SSS）． 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？ 我们继续探索三角形全等的条件.
D FE
A
B
课堂检测
人教版数学八年级上册
2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速
度分别沿着两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，
EB⊥AB.D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
解：相等，理由如下：AC=BC.
∵同时出发，同时到达，且速度相同，
∴AE=DF∥CD．
AC=A′C′， BC=B′C′，
B┐
C
A′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）.
提醒：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两
个三角形符号前面要加上“Rt”.
┐
B′
C′
典例精析
人教版数学八年级上册
例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证：BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
1.如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF， AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF AB=CD ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴∠ABC=∠DCB．
小试牛刀
人教版数学八年级上册
2.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：BC=DC． 证明：连接AC.
人教版八年级上册数学三角形全等的判定(HL)同步训练
人教版八年级上册数学12.2 三角形全等的判定（HL ）同步训练一、单选题1．如图，在AOB ∠的两边上，分别取OM ON =，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ．可判定OMP ONP ∆∆≌，依据是（ ）A ．ASAB ．SASC ．AASD ．HL 2．如图，CD ⊥AD 于点D ，CB ⊥AB 于点B ，CD ＝CB ，那么可以直接判定⊥ADC ⊥⊥ABC 的定理是（ ）A ．AASB ．SASC ．SSSD ．HL 3．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，⊥A ＝⊥D ＝90°，AB =DE ，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC ⊥⊥DEF 的是( )A ．AC =DFB ．⊥B =⊥EC ．⊥ACB =⊥DFED ．BC =EF 4．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，⊥B =⊥E =90°，AB =DE ，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt ⊥ABC ⊥Rt ⊥DEF ，添加的条件可以是（ ）A ．BC =EFB ．⊥BCA =⊥FC ．AB ⊥DED ．AD =CF 5．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定ABC 与DEF 全等的依据是（ ）A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SSS 6．如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，CD EF =．要根据“HL ”证明Rt ACD Rt BEF △≌△，则还需要添加的条件是（ ）A ．AB ∠=∠ B ．CD ∠=∠ C ．AC BE = D ．AD BF = 7．如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AC =AD ，则判定Rt △ABC ⊥Rt △ABD 的依据是（ ）A ．AASB ．SASC ．HLD ．SSS 8．如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，若用“HL ”判定Rt ABD △和Rt CDB 全等，则需要添加的条件是（ ）A ．AD CB = B ．AC ∠=∠ C ．=BD DB D ．AB CD =二、填空题9．如图，在Rt ABC 与Rt DEF △中，90B E ∠=∠=，BF CE =，AB DE =，50A ∠=，则DFE ∠=______．10．如图，BE ，CD 是ABC 的高，且BD EC =，判定BDO CEO △≌△的依据是______．11．如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，若用“HL”判定Rt △ABD 和Rt △CDB 全等，则需要添加的条件是______．12．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，90B E ∠=∠=︒，AB DE =，若添加一个条件后，能用“HL ”的方法判定Rt ABC △⊥Rt DEF △，添加的条件可以是______（只需写一个，不添加辅助线）．13．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中⊥1＋⊥2＋⊥3＋⊥4＋⊥5的度数为______．14．如图，⊥ABC 中AC ⊥BC ，AC ＝8cm ，BC ＝4cm ，AP ⊥AC 于A ，现有两点D 、E 分别在AC 和AP 上运动，运动过程中总有DE ＝AB ，当AD ＝_____cm 时，能使⊥ADE 和⊥ABC 全等．15．在Rt⊥ABC 和Rt⊥DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，⊥B=⊥E=90°，所以Rt⊥ABC___Rt⊥DEF16．如图，Rt ABC ∆中，90,8,3C AC BC ∠=︒==, ,,AE AC P Q ⊥分别是,AC AE 上动点，且PQ AB =，当AP =_______时，才能使ABC ∆和PQA ∆全等.三、解答题17．如图，AB =AD ，CB ⊥AB 于点B ，CD ⊥AD 于点D ，求证△ABC ⊥⊥ADC ．18．如图，AD 是⊥ABC 的高，AD ＝BD ＝4，E 是AD 上一点，BE ＝AC ＝5，S △ABC ＝14，BE 的延长线交AC 于点F ．(1)求证：⊥BDE ⊥⊥ADC ；(2)求证：BE ⊥AC ；(3)求EF 与AE 的长．19．如图，已知AD BC ∥，90ADP ∠=︒，AP 平分DAB ∠，BP 平分ABC ∠，点P 恰好在DC 上．(1)求证：点P 为DC 的中点；(2)试探究线段AB 、AD 、BC 之间的数量关系．20．如图，AD 、BC 相交于点O ，AD BC =，90C D ∠=∠=︒．(1)求证：ABD BAC △△≌；(2)若35ABC ∠=︒，求CAO ∠的度数．。
12.2.4 三角形全等的判定(四)(HL)人教版数学八年级上册课件
足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
变式3 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC
的位置关系.
A
HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
∠ADB=∠CBD
AD∥BC
D C
B
C
A'
B'
C'
课堂练习
1.下列条件：
①两条直角边对应相等；
②斜边和一锐角对应相等；
C'
解：全等，依据是SAS.
利用“HL”判定直角三角形全 等
问题4：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个
Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，
把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们
能重合吗？
A
B
C
直角三角形全等的判定（“HL”）
掌握用一般方法及特殊方法证明两直角三角形全等.
能够将证明一组角相等或线段相等转化证全等.善于 利用图中隐含的公共边或角.
课前预习
1.布置学生的课前预习任务； 2.进行预习方法指导； 3.对学生预习任务进行检查与评定。
回顾引入
想一想，填一填：
图形
A
B
C
A'
B'
C'
条件
是否能判定三角形全等
三边相等（SSS）
N A
A'
B
C
M
B'
C'
作法：（1）先画∠MCN=90°，
12.2三角形全等的判定--HL(4)
12.2三角形全等的判定---HL教学目标：1．探索并理解“HL”判定方法．2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．教学重点：理解并运用“HL”判定方法教学难点：灵活运用HL证明直角三角形全等教学过程：一、复习引入本节课是在学生学习了“SSS、SAS、ASA、AAS”四种三角形全等判定方法的基础，探究直角三角形全等的一种特殊判定方法“HL”．二、探究新知探索“HL”判定方法任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？AB C画法：（1）画∠MC＇N =90°；（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；（3）以B＇为圆心，AB为半径画弧，交射线C＇N于点A＇；（4）连接A＇B＇．现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．几何语言：∵在Rt△ABC 和Rt△A＇B＇C＇中，AB =A＇B＇，BC =B＇C＇，∴Rt△ABC ≌Rt△A＇B＇C＇（HL）．三、巩固练习例1 如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC =BD ．求证：BC =AD ．证明：∵ AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴ ∠C 和∠D 都是直角．在Rt △ABC 和 Rt △BAD 中，AB =BA ，AC =BD ，∴ Rt △ABC ≌ Rt △BAD （HL ）．∴ BC =AD （全等三角形对应边相等）． ABC A ＇B ＇C ＇变式1 如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，要证△ABC ≌△BAD ，需要添加一个什么条件？请说明理由．（1） （ ）；（2） （ ）；（3） （ ）；（4） （ ）． 例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？AB C D A B CD四、能力提高练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D ，E 两地．DA ⊥AB ，EB ⊥AB ． D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？AB C DE练习2 如图，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE =BF ．求证：AE =DF ．五、课堂小结 （1）“HL ”判定方法应满足什么条件？与之前所学的四种判定方法有什么不同？（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？六、作业教科书习题12.2第6、7、8题． AB C DEF。
人教版 初中数学八年级上册 12.2全等三角形的判定 同步练习(含答案)
人教版初中数学八年级上册12.2全等三角形的判定同步练习（含答案）一、选择题（本大题共8道小题）1. 如图，AD＝AE，若利用“SAS”证明△ABE△△ACD，则需要添加的条件是()A．AB＝ACB．△B＝△CC．△AEB＝△ADCD．△A＝△B2. 下列三角形中全等的是()A．△△ B．△△ C．△△ D．△△3. 如图，小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF，他画图的步骤是：(1)画DE ＝AB；(2)在DE的同旁画△HDE＝△A，△GED＝△B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是()A．ASA B．SASC．SSS D．AAS4. 如图所示，△C＝△D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是()A．AC＝AD B．AB＝ABC．△ABC＝△ABD D．△BAC＝△BAD5. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是()A．AB＝DE B．AC＝DFC．△A＝△D D．BF＝EC6. 如图所示，P是△BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA△△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS7. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，△C＝△F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC△Rt△DEF的是()A．AC＝DF，△B＝△E B．△A＝△D，△B＝△EC．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，△A＝△D8. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且左边的滑梯与地面的夹角△ABC＝35°，则右边的滑梯与地面的夹角△DFE等于()A．60° B．55° C．65° D．35°二、填空题（本大题共4道小题）9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH△△CEB.10. 如图，在△ABC中，AD△BC于点D，要使△ABD△△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．11. 如图，已知AD＝BC，AB＝CD，若△C＝40°，则△A＝________°.12. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED 与AB相交于点G.若△ACD＝40°，则△AGD＝________°.三、解答题（本大题共2道小题）13. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.14. 如图，C是线段BD的中点，AB＝EC，△B＝△ECD.求证：△ABC△△ECD.人教版初中数学八年级上册12.2全等三角形的判定同步练习-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] △△符合证明三角形全等的判定方法“SAS”．△△中相等的角所对的边不相等，所以不可能全等．故选A.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】C[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项C中添加△A＝△D不能判定△ABC△△DEF，故本选项符合题意；选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．故选C.6. 【答案】A7. 【答案】B[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC△Rt△DEF，选项C 可由“HL”判定Rt△ABC△Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC△Rt△DEF.8. 【答案】B [解析] 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，⎩⎨⎧BC ＝EF ，AC ＝DF ，△Rt△ABC△Rt△DEF(HL)． △△DEF ＝△ABC ＝35°.△△DFE ＝90°－35°＝55°.二、填空题（本大题共4道小题）9. 【答案】AH ＝CB (符合要求即可)【解析】∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 、E ，∴∠BEC ＝∠AEC ＝90°，在Rt △AEH 中，∠EAH ＝90°－∠AHE ，在Rt △HDC 中，∠ECB ＝90°－∠DHC ，∵∠AHE ＝∠DHC ，∴∠EAH ＝∠ECB ，∴根据AAS 添加AH ＝CB 或EH ＝EB ；根据ASA 添加AE ＝CE.可证△AEH ≌△CEB.故答案为：AH ＝CB 或EH ＝EB 或AE ＝CE 均可．10. 【答案】AB ＝AC 11. 【答案】40[解析] 如图，连接DB.在△ADB 和△CBD 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，AB ＝CD ，DB ＝BD ，△△ADB△△CBD(SSS)． △△A ＝△C ＝40°.12. 【答案】40[解析] 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，AB ＝DE ，BC ＝EC ，△△ABC△△DEC(SSS)． △△A ＝△D.又△△AFG ＝△DFC ，△△AGD ＝△ACD ＝40°.三、解答题（本大题共2道小题）13. 【答案】证明：∵CE ∥DF ，∴∠ACE ＝∠FDB ，(2分)在△ACE 和△FDB 中，⎩⎨⎧EC ＝BD∠ACE ＝∠FDB AC ＝FD，∴△ACE ≌△FDB(SAS )，(5分) ∴AE ＝FB.(7分)14. 【答案】证明：△C 是线段BD 的中点，△BC ＝CD.在△ABC 与△ECD 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，△B ＝△ECD ，AB ＝EC ，△△ABC△△ECD.。
人教初中数学八上《三角形全等的判定HL》 同步练习
三角形全等的判定要点感知1 斜边和一条_______分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成_____或“_____〞).预习练习1-1 如图,∠B=∠E=90°,AB=DE,AC=DF,那么△ABC≌△DEF的理由是( )要点感知2 直角三角形全等除“HL〞外,还有SSS,SAS,ASA,AAS都适合.预习练习2-1 以下命题：①两直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；④一锐角和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等.其中,正确的命题有_____.(填写正确的序号)知识点1 用“HL〞判定直角三角形全等1.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？2.，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，求证：AD平分∠BAC.3.如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，求证：AD=CF.知识点2 直角三角形全等的判定方法的选用4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么以下各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°5.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由.6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°,那么∠ACD的度数为( )°°°°7.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,一条线段PQ=AB,点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,当AP=_____时,才能使△ABC≌△QPA.8.如图，方格纸中是4个相同的正方形，那么∠1+∠3=_____.9.如图,AE=DE,AB⊥BC,DC⊥BC,且AB=EC.求证：BC=AB+DC.10.如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF,垂足分别为点E，F.求证：BE=CF.11.如下图,AB＝CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F，且BF=DE，求证：AB∥CD.12.如图,AD，AF分别是两个钝角△ABC和△：BC=BE.挑战自我13.：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图1,假设点O在边BC上,求证：∠ABO=∠ACO；(2)如图2,假设点O在△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.参考答案课前预习要点感知1 直角边斜边、直角边 HL预习练习1-1 D预习练习2-1 ①③④⑤当堂训练1.Rt△ABC≌Rt△BAD.理由如下：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB＝BA，AC ＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).2.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.3.证明：∵∠ACB=∠CFE＝90°，∴∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中，AB=DE，BC=EF，∴Rt△ACB≌Rt △DFE(HL).∴AC=DF.∴AC-AF=DF-AF，即AD=CF.4.B5.(1)△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD.(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形.∵D 是BC的中点，∴∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).课后作业6.B7.CB8.90°9.证明：∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△ECD中,AE=DE,AB=EC,∴Rt△ABE≌Rt△ECD.∴BE=CD.∵BC=BE+EC,∴BC=AB+DC.10.证明：∵在△ABC 中,AD 是中线,∴BD=CD.∵CF ⊥AD,BE ⊥AD,∴∠CFD ＝∠BED ＝90°.在△BED 与△CFD 中,∵∠BED ＝∠CFD,∠BDE ＝∠CDF,BD ＝CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴BE=CF.11.证明：∵DE ⊥AC,BF ⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°.在Rt △ABF 和Rt △CDE 中,AB=CD ， BF=DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL).∴∠BAF=∠DCE.∴AB ∥CD.12.证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,∴∠ADB=∠AFB=90°.∵AB=AB ，AD=AF ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF.∴DB=FB.∵AC=AE,AD =AF ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE.∴DC=FE.∴DB-DC=FB-FE,即BC=BE. 13.(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于E,作OF ⊥AC 于F,那么∠BEO=∠CFO=90°∵OB=OC,∴Rt △BOE ≌Rt △COF(HL).∴∠ABO=∠ACO.(2)证明：过点O 分别作OE ⊥AB,OF ⊥AC,E ，F 分别是垂足,那么∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.又OB=OC,∴Rt △OEB ≌Rt △OFC.∴∠EBO=∠∠ABO=∠ACO.整式的乘法根底题—初显身手1．以下运算正确的选项是( ) A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．－2(a －b )＝－2a ＋b C ．－2(a －b )＝－2a －2b D ．－2(a －b )＝－2a ＋2b2．5m (m －n ＋2)＝5m 2－5mn ＋10m ．3．－6x (x －3y )＝－6x 2＋18xy ．能力题—挑战自我4．x (1＋x )－x (1－x )等于( ) A ．0 B ．2x 2 C ．2x D ．－2x ＋2x 25．(－3a 2＋b 2－1)(－2a )等于( )A ．6a 3－2ab 2B ．6a 3－2ab 2－2aC ．－6a 2＋2ab －2aD ．6a 3－2ab 2＋2a . 6．以下各题计算正确的选项是( ) A ．(ab －1)(－4ab 2)＝－4a 2b 3－4ab 2 B ．(3x 2＋xy －y 2)·3x 2＝9x 4＋3x 3y －y 2 C ．(－3a )(a 2－2a ＋1)＝－3a 3＋6a 2 D ．(－2x )(3x 2－4x －2)＝－6x 3＋8x 2＋4x 7．如图是L 形钢条截面，它的面积为(B ) A ．ac ＋bc B ．ac ＋c (b －c ) C ．(a －c )c ＋(b －c )c D ．(a －b )c ＋(b －c )b8．现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为实数，那么a *b ＋(b －a )*b 等于( B ) A ．a 2－b B ．b 2－b C ．b 2 D ．b 2－a9．要使(x 2＋ax ＋1)(－6x 3)的展开式中不含x 4项，那么a 应等于( D )A ．6B ．－1C ．16D ．010．x －x (x －1)＝2x －x 2．11．有一个长方形，它的长为3a ，宽为(7a ＋2b )，那么它的面积为21a 2＋6ab ．12．3x n y n ＋1(－2x n －3－3x 5y 5)＝－6x 2n －3y n ＋1－9x n ＋5y n ＋6．13．ab [ab (ab －1)＋1]＝a 3b 3－a 2b 2＋ab ． 34πm 2． 14．如图，阴影局部的面积为14．观察以下等式：1×(1＋2)＝12＋2×1，2×(2＋2)＝22＋2×2，3×(3＋2)＝32＋2×3，……，那么第n 个等式可以表示为n (n ＋2)＝n 2＋2n ．15．ab 2＝－3，那么－ab (a 2b 5－ab 3－b )＝33．16．计算：(1)(－7x 2y )(2x 2y －3xy 2＋xy ) (2) (－13xy 2)2·［xy (2x －y )＋xy 2］解：(1)原式＝(－7x 2y )·2x 2y －(－7x 2y )·3xy 2＋(－7x 2y )·xy )＝－14x 4y 2＋21x 3y 3－7x 3y 2． (2)原式＝19x 2y 4·［2x 2y －xy 2＋xy 2］＝19x 2y 4·(2x 2y )＝29x 4y 5．17．化简求值：m 2(m ＋3)＋2m (m 2－1)－3m (m 2＋m －1)，其中m ＝25．解：原式＝m 3＋3m 2＋2m 3－2m －3m 3－3m 2＋3m ＝m ＝25．18．下面是小明和小红的一段对话：小明说：“我发现，对于代数式x (3x ＋2)－3 (x 2＋3x )＋7x －2，当x ＝2021和x ＝2021时，值居然是相等的．〞 小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果．〞在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由．原式＝3x 2＋2x －3x 2－9x ＋7x －2＝－2，这个代数式的结果与x 无关，所以小明是对的．19．如果一个三角形的底边长为2x 2y ＋xy －y 2，高为6xy ，那么这个三角形的面积是多少？ 解：12(2x 2y ＋xy －y 2)·6xy ＝3xy (2x 2y ＋xy －y 2)＝6x 3y 2＋3x 2y 2－3xy 3．答：三角形的面积为6x 3y 2＋3x 2y 2－3xy 3．拓展题—勇攀顶峰20．规定表示ab －c ，表示ad －bc ，试计算－的结果．解：原式＝[x (x ＋1)－x 2]－[x (2x －1)－3x ·4x ]＝(x 2＋x －x 2)－(2x 2－x －12x 2)＝x －(－10x 2－x )＝x －10x 2＋x ＝－10x 2＋2x ．21．假设2x 2·(x 2＋mx ＋n )＋x 2的结果中不含x 3项和x 2项．试求m ，n 的值．解：2x 2·(x 2＋mx ＋n )＋x 2 ＝2x 4＋2mx 3＋2nx 2＋x 2＝2x 4＋2mx 3＋(2n ＋1)x 2，因为展开的结果中不含x 3项和x 2项，所以有2m ＝0且2n ＋1＝0，解得m ＝0，n ＝－12．警示:一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算．。
人教初中数学八上《三角形全等的判定HL》 同步练习(打印版)
12.2三角形全等的判定HL学校： 班级： 学号： 姓名： 成绩：1 .判断①两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ②有两角分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ③有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕2. 在Rt △ABC 和Rt △AB /C /中，∠C=∠C /=90°，以下条件中能判定Rt △ABC ≌Rt △A /B /C /的个数有〔 〕(1)AC=A /C / ,∠A=∠A / ；〔2〕AC=A /C / ，AB=A /B /；〔3〕AC=A /C / ，BC=B /C / ；〔4〕AB=A /B / ,∠A=∠A/3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，假设利用“AAS 〞证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 ；假设利用“HL 〞证明证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 .4. 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，AC 交BD 于点O ，假设AC=DB ，那么以下结论不正确的选项是〔 〕A.∠A=∠DB.∠ABC ≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD 5. 如下图，△ABC 中，∠BAD=∠CAD，要判断△ABD≌△ACD: (1)根据SAS 还需要添加的最少条件是： (1)根据ASA 还需要添加的最少条件是：(1)根据AAS 还需要添加的最少条件是：(1)根据HL 还需要添加的最少条件是：6． 如下图，∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°，AC 是△ABC 和△ACD 的公共边。
能否判断△ABC≌△ACD？请说明理由。
A DB COD B CA第3题图 第4题图 第5题图 A DB7.，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△AB D ≌△CDB。
8. 如图，AB=CD ，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。
人教版 八年级上册数学 12.2 全等三角形的判定 同步训练(含答案)
人教版八年级数学12.2 全等三角形的判定同步训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能．．判定△ABE≌△ACD()A. ∠B＝∠CB. AD＝AEC. BD＝CED. BE＝CD2. 如图，小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF，他画图的步骤是：(1)画DE ＝AB；(2)在DE的同旁画∠HDE＝∠A，∠GED＝∠B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是()A．ASA B．SASC．SSS D．AAS3. 如图所示，已知AB∥DE，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝32°，∠A＝78°，则∠F等于()A．55°B．65°C．60°D．70°4. 如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去()A．只带①B．只带②C．只带③D．带①和②5. 已知△ABC的六个元素，下列甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是()A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙6. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是()A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．AB＝DC7. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是()A．AC＝DF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，∠B＝∠EC．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，∠A＝∠D8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC9. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 610. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，AB＝DE，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是__________(不添加任何辅助线，填一个即可)．12. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．13. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED与AB相交于点G.若∠ACD＝40°，则∠AGD＝________°.14. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB 的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．15. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5 cm，则AE ＝________cm.17. 如图，已知△ABC(AC＞AB)，DE＝BC，以D，E为顶点作三角形，使所作的三角形与△ABC全等，则这样的三角形最多可以作出________个．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE ≌△CAF.19. 在四边形ABCD 中，AB ＝AD .(1)如图①，若∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD .请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：____________．(2)如图②，若∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)如图③，若∠B ＋∠ADC ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，请直接写出EF ，BE ，FD 三者的数量关系．20. 如图①，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，AB=CD ，作EC ⊥AD 于点C ，FB⊥AD 于点B ，且AE=DF . (1)求证:EF 平分线段BC ;(2)若将△BFD 沿AD 方向平移得到图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.21. (1)如图①，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝CA ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为D ，E.求证：DE ＝BD ＋CE.(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝CA ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE ＝BD ＋CE 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．人教版 八年级数学 12.2 全等三角形的判定同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D【解析】A.当∠B ＝∠C 时，在△ABE 与△ACD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠AAB ＝AC ∠B ＝∠C，∴△ABE ≌△ACD (ASA)；B.当AD ＝AE 时，在△ABE 与△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC∠A ＝∠A AE ＝AD，∴△ABE ≌△ACD (SAS)；C.当BD ＝CE 时，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，在△ABE与△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC∠A ＝∠A AE ＝AD，∴△ABE ≌△ACD (SAS)；D.当BE ＝CD 时，在△ABE与△ACD 中，有AB ＝AC ，BE ＝BD ，∠A ＝∠A ，只满足两边及一对角对应相等的两个三角形不一定全等．故选D.2. 【答案】A3. 【答案】D[解析] 因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF.由条件BE＝CF知BC＝EF.结合条件AB＝DE，可由“SAS”判定△ABC≌△DEF，所以∠F＝∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(78°＋32°)＝70°.4. 【答案】C[解析] 由“ASA”的判定方法可知只带③去就可以配出一块和以前一样(全等)的三角形玻璃．5. 【答案】D6. 【答案】C[解析] A．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合“AAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；B．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合“ASA”，即能推出△ABC ≌△DCB，故本选项不符合题意；C．∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，BC＝BC，不符合全等三角形的判定条件，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；D．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意．故选C.7. 【答案】B[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，选项C 可由“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF.8. 【答案】D[解析] 在△AFD和△AFB中，∴△AFD≌△AFB.∴∠ADF=∠ABF.∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°. ∴∠ADF=∠ABF=∠C. ∴FD ∥BC.9. 【答案】B【解析】如解图，连接OC ，由已知条件易得∠A ＝∠OCE ，CO ＝AO ，∠DOE ＝∠COA ，∴∠DOE －∠COD ＝∠COA －∠COD ，即∠AOD ＝∠COE ，∴△AOD ≌△COE (ASA)，∴AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝CD ＋AD ＝AC＝22AB ＝3，故选B.10. 【答案】A[解析] AB=b ，AB 是斜边，小惠作的斜边长是b 符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】答案不唯一，如∠B ＝∠E12. 【答案】答案不唯一，如AB ＝DE[解析] ∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．13. 【答案】40[解析] 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，AB ＝DE ，BC ＝EC ，∴△ABC ≌△DEC(SSS)． ∴∠A ＝∠D.又∵∠AFG ＝∠DFC ， ∴∠AGD ＝∠ACD ＝40°.14. 【答案】2[解析] ∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.在△ADE 和△CFE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FCE ，∠AED ＝∠CEF ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS)． ∴AD ＝CF ＝3.∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.15. 【答案】20[解析] 如图，过点D 作射线AF.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△BAD ≌△CAD(SSS)． ∴∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C.∵∠BDF ＝∠B ＋∠BAD ，∠CDF ＝∠C ＋∠CAD ， ∴∠BDF ＋∠CDF ＝∠B ＋∠BAD ＋∠C ＋∠CAD ， 即∠BDC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAC. ∵∠BAC ＝80°，∠BDC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝20°.16. 【答案】3[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°. ∴∠ECF ＝∠B.在△ABC 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠ECF ，BC ＝CE ，∠ACB ＝∠FEC ，∴△ABC ≌△FCE(ASA)．∴AC ＝FE. ∵AE ＝AC －CE ，BC ＝2 cm ，EF ＝5 cm ， ∴AE ＝5－2＝3(cm)．17. 【答案】4[解析] 能画4个，分别是：以点D 为圆心，AB 长为半径画圆；以点E 为圆心，AC 长为半径画圆，两圆相交于两点(DE 上下各一个)，分别与点D ，E 连接后，可得到两个三角形．以点D 为圆心，AC 长为半径画圆；以点E 为圆心，AB 长为半径画圆，两圆相交于两点(DE 上下各一个)，分别与点D ，E 连接后，可得到两个三角形．因此最多能画出4个三角形与△ABC 全等．如图．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：∵∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE ＋∠ABE ，∠2＝∠CAF ＋∠ACF ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAF ，∴∠BAE ＝∠ACF ，∠ABE ＝∠CAF.在△ABE 和△CAF 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠ACF ，AB ＝CA ，∠ABE ＝∠CAF ，∴△ABE ≌△CAF(ASA)．19. 【答案】解：(1)EF ＝BE ＋FD(2)(1)中的结论EF ＝BE ＋FD 仍然成立．证明：如图，延长EB 到点G ，使BG ＝DF ，连接AG .∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABG ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABG ＝∠D.在△ABG 与△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABG ＝∠D ，BG ＝DF ， ∴△ABG ≌△ADF(SAS)．∴AG ＝AF ，∠1＝∠2.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD －∠EAF.又∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠1＋∠3＝12∠BAD ＝∠EAF ，即∠EAG ＝∠EAF.在△AEG 和△AEF 中，⎩⎨⎧AG ＝AF ，∠EAG ＝∠EAF ，AE ＝AE ， ∴△AEG ≌△AEF.∴EG ＝EF.∵EG ＝BE ＋BG ，∴EF ＝BE ＋FD.(3)EF ＝BE －FD.20. 【答案】解:(1)证明:∵EC ⊥AD ，FB ⊥AD ， ∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD ，∴AB+BC=BC+CD ， 即AC=DB.在Rt △ACE 和Rt △DBF 中， ∴Rt △ACE ≌Rt △DBF (HL).∴EC=FB. 在△CEG 和△BFG 中，∴△CEG ≌△BFG (AAS).∴CG=BG ，即EF 平分线段BC.(2)EF 平分线段BC 仍成立.理由:∵EC ⊥AD ，FB ⊥AD ，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD ，∴AB-BC=CD-BC ，即AC=DB.在Rt △ACE 和Rt △DBF 中， ∴Rt △ACE ≌Rt △DBF (HL).∴EC=FB.在△CEG 和△BFG 中，∴△CEG ≌△BFG (AAS).∴CG=BG ，即EF 平分线段BC.21. 【答案】解：(1)证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠BDA ＝∠AEC ＝90°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°. ∴∠CAE ＝∠ABD.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ， ∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.(2)成立．证明：∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠EAC ＝180°－α. ∴∠DBA ＝∠EAC.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠DBA ＝∠EAC ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.。
12.2 三角形全等的判定(HL)4
“不全等”）根据 SSS
2.2 三角形全等的判定
第4课时
自主阅读教学目标
1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利 用操作、归纳获得数学结论的过程；
2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决 一些实际问题；
学生动手作图验证。
任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画 一个Rt△A C B 使∠C﹦∠C ，B C ﹦BC， A B ﹦AB （1）你能试着画出来吗？与小组交流一下. （2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上， 它们全等吗？你能发现什么规律？
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
让学生自我归纳总结。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
例题评析
1、教材P42页例5。
2、教材P43页习题2.
学生完成，学生评价。
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE
B
A
F E
C
D
学生谈谈推理思路
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件
标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C A
B D
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC
D
指明学生口头完成并说明理由。
（2）若 A= D，BC=EF，则 △ABC与 △ DEF 全等 （填 “全等”或“不全等”）根据 AAS .（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则 △ ABC与 △ DEF 全等 （填“全 等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则 A
人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定 第4课时直角三角形全等的判定—HL
12.2三角形全等的判定第4课时直角三角形全等的判定—HL1．按下列步骤在下面方框中画一个Rt△A′B′C′，使∠C=90°，B′C′=BC，A′B′=AB：（1）画∠MC′N=90°；（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；（4）连接A′B′。
2．和一条分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“”）。
斜边直角边斜边、直角边HL3．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，依据为（）A．AAS B．SAS C．HL D．SSS4．（2016春•深圳校级月考）如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（）A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD5．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等6．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°7．如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD9．（图，BE，CD是△ABC的高，且BD=EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“”．10．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= 度．同步小题12道一．选择题1．下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．两组直角边对应相等B．一组边对应相等C．两组锐角对应相等D．一组锐角对应相等2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）。
12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(“HL”)练习题 人教版八年级数学上册
第4课时直角三角形全等的判定(“HL”)知识点 1 用“HL”判定直角三角形全等1.如图1,可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ()图1A.AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,AB=DEC.AC=DF,AB=DED.∠B=∠E,BC=EF2.如图2所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的依据是 ()图2A.AASB.ASAC.HLD.SSS3.如图3,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的一个条件是.图34.如图4,BD,CE均是△ABC的高,且BE=CD.求证:△BEC≌△CDB.图4 知识点 2 直角三角形全等的灵活运用5.如图5,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,那么下列各组条件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 ()图5A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40°C.AC=A'C'=5,BC=B'C'=3D.AC=A'C'=5,∠A=∠A'=40°6.如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E.若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE= cm.图67.如图7,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC=DB,BE=CF.求证:AC∥DB.图7 8.如图8所示,为了固定电线杆AD,将两根长均为10 m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处,另一端固定在地面上的两个锚上,那么两个锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等吗?为什么?图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则图中全等三角形共有 ()图9A.2对B.3对C.4对D.5对10.如图10,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12 cm,则DE的长为 cm.图1011.如图11,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A同时出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.图1112.如图12,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并证明.图1213.如图13①,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.(2)如图②,将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t 的值;若不存在,请说明理由.图13第4课时 直角三角形全等的判定(“HL ”)1.C [解析] “HL ”是斜边、直角边分别相等,则必须有AB=DE ,故排除A,D 两个选项,而选项B 中另一个条件为∠A=∠D ,不是直角边对应相等,故排除选项B .故选C .2.C3.答案不唯一,如AC=AD 或BC=BD4.证明:∵BD ,CE 均是△ABC 的高,∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt △BEC 和Rt △CDB 中,{BC =CB,BE =CD,∴Rt △BEC ≌Rt △CDB (HL).5.B [解析] 在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,选项A 符合直角三角形全等的判定方法“HL ”;选项B 不符合三角形全等的判定方法;选项C 符合三角形全等的判定方法“SAS ”;选项D 符合三角形全等的判定方法“ASA ”.6.7 [解析] ∵∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠DBA=90°. ∴∠EAC=∠DBA.又∵AB=AC ,∴△ABD ≌△CAE (AAS). ∴AD=CE ,BD=AE. ∴DE=AD+AE=CE+BD=7 cm .故答案为7. 7.证明:∵BE=CF ,∴BE+EF=CF+EF ,即BF=CE.∵AE ⊥BC ,DF ⊥BC , ∴∠AEC=∠DFB=90°.在Rt △AEC 和Rt △DFB 中,{AC =DB,CE =BF,∴Rt △AEC ≌Rt △DFB (HL). ∴∠ACE=∠DBF.∴AC ∥DB.8.解:相等.理由如下:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt △ADB 和Rt △ADC 中,{AB =AC,AD =AD,∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (HL). ∴BD=CD ,即两个锚(B ,C )离电线杆底部(D )的距离相等. 9.B [解析] ∵AB=AC ,BD=CD ,AD=AD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS).∴∠B=∠C.又∵∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ,∴△BED ≌△CFD (AAS).∴DE=DF.在Rt △AED 和Rt △AFD 中,∵AD=AD ,DE=DF ,∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL).故图中共有3对全等三角形. 10. 12 [解析] 如图,连接BE. 在Rt △DBE 和Rt △ABE 中,{DB =AB(已知),BE =BE(公共边),∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴AE=DE.又AE=12 cm,∴DE=12 cm .11.5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:①当AP=BC=5时, 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,{AB =QP,BC =PA,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL);②当AP=CA=10时, 在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,{AB =PQ,CA =AP,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL).综上所述,当点P 运动到AP=5或10时,△ABC 与△APQ 全等. 故答案为5或10. 12.解:BF ⊥AE. 证明:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.在Rt △BDC 和Rt △AEC 中,{CB =CA,BD =AE,∴Rt △BDC ≌Rt △AEC (HL). ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠E=90°, ∴∠CBD+∠E=90°. ∴∠BFE=90°,即BF ⊥AE.13.解:(1)当t=1时,△ACP ≌△BPQ ,此时PC ⊥PQ. 理由:当t=1时,AP=BQ=1 cm,∴BP=AC=3 cm .在△ACP 和△BPQ 中,{AP =BQ,∠A =∠B =90°,AC =BP,∴△ACP ≌△BPQ (SAS). ∴∠ACP=∠BPQ.∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. ∴∠CPQ=90°,即PC ⊥PQ.(2)存在.由题意得AP=t cm,BP=(4-t )cm,AC=3 cm,BQ=xt cm .分两种情况讨论: ①若△ACP ≌△BPQ , 则AC=BP ,AP=BQ ,即{3=4−t,t =xt,解得{t =1,x =1; ②若△ACP ≌△BQP , 则AC=BQ ,AP=BP , 即{3=xt,t =4−t,解得{t =2,x =32. 综上所述,当x=1,t=1或x=32,t=2时,△ACP 与△BPQ 全等.。
人教版-数学-八年级上册- 12.2 全等三角形的判定(四)(HL)
安徽铜都双语学校人本跨界大课堂数学学道班级80 姓名编号NO:1105 日期:比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！课题：三角形全等的判定（四）（HL）设计者: 八年级数学组自研课（时段：晚自习时间：10 分钟）1、旧知链接：SSS定理：SAS定理：ASA定理：AAS定理：2、新知自研：自研教材P13的“HL”定理。
展示课（时段：正课时间：60 分钟）学习主题：1.通过作图、观察比较等方法得出“HL”定理；2.会用“HL”定理解决实际问题。
当堂反馈即同类演练:训练课（时段：晚自习，时间：30分钟）“日日清巩固达标训练题” 自评：师评：基础题：1.如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，AC交BD于点O，若AC=DB，则下列结论不正确的是（）A.∠A=∠DB.∠ABC≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD(1) A DOB C2.在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A/B/C/的个数有（）(1)AC=A/C/ ,∠A=∠A/；（2）AC=A/C/ ，AB=A/B/；（3）AC=A/C/，BC=B/C/；（4）AB=A/B/ ,∠A=∠A/3.已知，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△ABD≌△CDB。
A CB D4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。
C发展题：5.如图，从C地看A、B两地的视角∠C是锐角，从C地到A、B两地的距离相等。
A到路段BC的距离AD与B到路段AC的距离BE相等吗？为什么？CE DA B提高题：6.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。
求证：AF+EF=DE。
DBEC AF培辅课（时段：大自习附培辅单）1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）2、效果描述：反思课1、病题诊所：2、精题入库：【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗!!!。
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12.2 三角形全等的判定(四)(HL)
一、选择题
1.如图,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到Rt△AOB≌Rt△COD,理由是()
A.HL
B.SAS
C.ASA
D.SSS
2.如图所示,已知∠C=∠D=90°,添加下列选项中的一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的是()
A.AC=AD
B.AB=AB
C.∠ABC=∠ABD
D.∠BAC=∠BAD
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是()
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条直角边和它所对的锐角分别相等
D.一个锐角和与这个锐角相邻的直角边分别相等
4.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是()
A.AC=A'C',∠B=∠B'
B.∠A=∠A',∠B=∠B'
C.AB=A'B',AC=A'C'
D.AB=A'B',∠A=∠A'
二、填空题
5.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是C,D,若要用“HL”得到
Rt△ABC≌Rt△BAD,则应添加的条件是.(写一个即可)
三、解答题
6.如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE.求证:AB∥CD.
7.求证:一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
8.如图,AC⊥BC于点C,AD⊥BD于点D,AD=BC,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,那么CE与DF相等吗?为什么?
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且DB=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)请你判断AE,AF与EB之间的数量关系,并说明理由.
10.工人师傅用三角尺按下列方法画角平分线:在∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再用两个全等的三角尺按图所示方式摆放,两直角边的交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.请你说明其中的道理.
11.小明、小敏两人一起做数学作业,小敏把题读到“如图12-2-42①所示,CD⊥AB,BE⊥AC”时,还没把题读完,就说:“这题一定是求证∠B=∠C,也太容易了.”她的证法是:由CD⊥AB, BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°,公共角∠DAC=∠EAB,所以△DAC≌△EAB.由全等三角形的对应角相等,得∠B=∠C.
小明说:“小敏你错了,你未弄清本题的条件和结论,即使有CD⊥AB,BE⊥AC,公共角∠DAC= ∠EAB这些条件,你的推理也是错误的.看我画的图②,显然△DAC与△EAB是不全等的.再说本题不是要证明∠B=∠C,而是要证明BE=CD.”
(1)根据小敏所读的题,能判定“∠B=∠C”吗?她的推理正确吗?若不正确,请你进行正确的推理;
(2)根据小明说的,要证明BE=CD,必然是小敏丢了题中条件,请你把小敏丢的条件找回来,并根据找出的条件,写出证明BE=CD的过程;
(3)要判定两个三角形全等,从这个问题中你得到了什么启发?
答案
1.A
2.A
3.B
4.B
5.答案不唯一,如AC=BD或BC=AD
6.证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.
在Rt△AEB和Rt△CFD中,
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL).∴∠B=∠D.
∴AB∥CD.
7.解:已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠E=90°,BC=EF,CM为△ABC的AB边上的中线,FN 为△DEF的DE边上的中线,且CM=FN.
求证:△ABC≌△DEF.
证明:在Rt△BCM和Rt△EFN中,
∴Rt△BCM≌Rt△EFN(HL).
∴BM=EN.
∵CM为△ABC的AB边上的中线,FN为△DEF的DE边上的中线,
∴AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
即一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
8.解:CE=DF.
理由:∵AC⊥BC,AD⊥BD,
∴∠ACB=∠BDA=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.
∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠CEA=∠DFB=90°.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
∴CE=DF.
9.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°=∠C.
在△ACD和△AED中,
∴△ACD≌△AED.
∴DC=DE.
在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△DCF≌Rt△DEB.
∴CF=EB.
(2)AF+EB=AE.
理由:∵△ACD≌△AED,
∴AC=AE,
即AF+CF=AE.
又∵CF=EB,
∴AF+EB=AE.
10.解:由题意得∠OMP=∠ONP=90°.
在Rt△OPM和Rt△OPN中,
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL).
∴∠POM=∠PON,即OP平分∠AOB.
11.解:(1)能判定∠B=∠C,小敏的推理不正确.
正确的推理:由CD⊥AB,BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°.∵公共角∠DAC=∠EAB,且∠B=90°- ∠EAB,∠C=90°-∠DAC,∴∠B=∠C.
(2)答案不唯一,如丢的条件为AB=AC.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△DAC和△EAB中,
∴△DAC≌△EAB(AAS).∴BE=CD.
(3)要判定两个三角形全等,不可缺少的元素是边,已知条件中至少要有一组边对应相等.。