概率论第四章3-5节
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概率论与数理统计(茆诗松)第四章讲义
第四章
大数定律与中心极限定理
本章主要是解决概率论中的一些基本问题，如频率稳定性，正态分布的普适性问题．
§4.1
+∞
特征函数
现实生活中，独立随机变量和广泛存在，它在概率论中具有重要地位，但其分布的计算需要用到卷积 运算．而函数 f (x) 的傅立叶变换 ϕ (t ) = ∫ e itx f ( x)dx （其中 i = − 1 是虚数单位）可将函数复杂的卷积运
因狄利克雷积分 ∫
sin x π dx = ，令 x = at， （a ≠ 0） ， x 2 +∞ sin at +∞ sin at π dt ； 当 a > 0 时，有 = ∫ ⋅ adt = ∫ 0 2 0 at t −∞ sin at +∞ sin at +∞ sin at 0 sin at π π dt = − ∫ dt ，即 ∫ 当 a < 0 时， = ∫ ⋅ adt = − ∫ dt = − ； 0 0 0 − ∞ 2 at t t t 2 +∞ sin at 当 a = 0 时， ∫ dt = 0 ， 0 t +∞ sin at π 则∫ dt = sgn( a ) ， 0 t 2
⎞ ⎟≥0， ⎟ ⎠
故特征函数ϕ (t) 半正定； （7）因 | ϕ (t + h) − ϕ (t) | = | E [e i(t + h) X − e itX ] | ≤ E | e itX (e ihX − 1) | = E | e ihX − 1 |，
| e ihX − 1 | = | cos(hX ) − 1 + i sin( hX ) | = [cos(hX ) − 1]2 + [sin( hX )]2 = 2 − 2 cos(hX ) = 2 sin
大数定律与中心极限定理
本章主要是解决概率论中的一些基本问题，如频率稳定性，正态分布的普适性问题．
§4.1
+∞
特征函数
现实生活中，独立随机变量和广泛存在，它在概率论中具有重要地位，但其分布的计算需要用到卷积 运算．而函数 f (x) 的傅立叶变换 ϕ (t ) = ∫ e itx f ( x)dx （其中 i = − 1 是虚数单位）可将函数复杂的卷积运
因狄利克雷积分 ∫
sin x π dx = ，令 x = at， （a ≠ 0） ， x 2 +∞ sin at +∞ sin at π dt ； 当 a > 0 时，有 = ∫ ⋅ adt = ∫ 0 2 0 at t −∞ sin at +∞ sin at +∞ sin at 0 sin at π π dt = − ∫ dt ，即 ∫ 当 a < 0 时， = ∫ ⋅ adt = − ∫ dt = − ； 0 0 0 − ∞ 2 at t t t 2 +∞ sin at 当 a = 0 时， ∫ dt = 0 ， 0 t +∞ sin at π 则∫ dt = sgn( a ) ， 0 t 2
⎞ ⎟≥0， ⎟ ⎠
故特征函数ϕ (t) 半正定； （7）因 | ϕ (t + h) − ϕ (t) | = | E [e i(t + h) X − e itX ] | ≤ E | e itX (e ihX − 1) | = E | e ihX − 1 |，
| e ihX − 1 | = | cos(hX ) − 1 + i sin( hX ) | = [cos(hX ) − 1]2 + [sin( hX )]2 = 2 − 2 cos(hX ) = 2 sin
概率论第四章
1 1 a arcsin( ) 0 2 π 2a
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
证明
1 F ( )
f ( x ) d x 1.
f ( x ) d x.
S f ( x) d x 1
p( x )
S1 f ( x) d x
x1
x2
1
0
x2
1
x1 x 2
S1
x
(3) P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x f ( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x.
x2
x2 x1
x1
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a )
a
f ( x) d x,
P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
由 F ( x) f ( x) d x 得
x
0, x 0, xx d x , 0 x 3, 0 6 F ( x) 3 x x d x ( 2 x ) d x , 3 x 4, 3 2 0 6 1, x 4.
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
证明
1 F ( )
f ( x ) d x 1.
f ( x ) d x.
S f ( x) d x 1
p( x )
S1 f ( x) d x
x1
x2
1
0
x2
1
x1 x 2
S1
x
(3) P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x f ( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x.
x2
x2 x1
x1
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a )
a
f ( x) d x,
P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
由 F ( x) f ( x) d x 得
x
0, x 0, xx d x , 0 x 3, 0 6 F ( x) 3 x x d x ( 2 x ) d x , 3 x 4, 3 2 0 6 1, x 4.
概率论第4章
19 2012-6-28
例5 甲,乙各自同时向一敌机射击, 已知 甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的 概率为0.5. 求敌机被击中的概率.
20 2012-6-28
解 设A为事件"甲击中敌机", B为事件"乙 击中敌机", C为事件"敌机被击中", 由广 义加法定理知 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 根据题意可认为A,B事件相互独立, 因此 有 P(AB)=P(A)P(B)=0.60.5=0.3 于是 P(C)=0.6+0.5-0.3=0.8
P( B | A) r m r/n m/n P( AB) P( A)
5 2012-6-28
.
在一般情形下, 如果P(A)>0, 也定义事件 A出现下事件B的条件概率为
P( B | A) P( AB) P( A) , ( P( A) 0)
乘法定理 两事件的积事件的概率等于其 中一事件的概率与另一事件在前一事件出 现下的条件概率的乘积:
正品数 第一台车床加工的零件数 第二台车床加工的零件数 总计 35 50 85 次品数 5 10 15 总计 40 60 100
从这100个零件中任取一个零件, 则"取得的 零件为正品"(设为事件B)的概率为
P( B) 85 100 0.85
3 2012-6-28
正品数 第一台车床加工的零件数 第二台车床加工的零件数 总计 35 50 85
乘法定理可以推广到有限多个事件的情 形. 例如, 对于A,B,C三个事件, 有 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB) =P(A)P(B|A)P(C|AB), (P(AB)>0)
海南大学《概率论与数理统计》课件 第四章 随机变量及其分布
例如：X 0 取出的n个产品中没有次品；
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
概率论与数理统计(浙大版)第四章课件PPT课件
10
10
10
x
14166.7(元）
第15页/共84页
数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C 2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE(X )
3.设X ,Y是两个随机变量，则有E(X Y) E(X ) E(Y)
将上面三项合起来就是：E(aX bY c) aE(X ) bE(Y) c 4.设X ,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY) E(X )E(Y)
其余同理可得，于是Y的分布率为：
期望利润Y 是多少 2？ 0
5 10
pk 0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E(Y ) 5.21（ 6 万元）
第6页/共84页
例5：设 X (),求E(X )。
解：X的分布律为：P(X k) ke k 0,1,
k! X的数学期望为：
E( X ) k ke
第1页/共84页
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的
成绩
如下：
甲 8 9 10
次数 10 80 10
乙 8 9 10
次数 20 65 15
解：计算评甲的定平他均成们绩的：成
绩
好
810
坏。
980 100
1010
8
10 100
9
80 100
10
10 100
9
计算乙的平均成绩：
也称为均值(加权均值)。
第2页/共84页
定义：设离散型随机变量X的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
若级数 xk pk绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
概率论第四章总结
概率密度函数是分布函数的导数，描述 了随机变量在某个区间内取值的概率。
VS
概率密度函数的性质
概率密度函数具有非负性、规范性、连续 性等性质，这些性质反映了随机变量的概 率分布特征。
常见随机变量的分布函数与概率密度函数
离散型随机变量
离散型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量取离散值的概率，常见的离散型随机变量有二项分布、 泊松分布等。
独立性的定义与性质
独立性的定义
在概率论中，两个事件A和B被称为独立的，如果它们的联合概率可以表示为各自概率 的乘积，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
独立性的性质
独立性具有一些重要的性质，包括传递性、对称性、反对称性等。这些性质确保了独立 性在概率论中具有实际意义。
条件概率与独立性的关系
条件概率与独立性的关系
连续型随机变量
连续型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率，常见的连续型随机变量有 正态分布、指数分布等。
05
随机变量的变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是概率论中随机变量的 一种变换方式，它将一个随机变 量转换为另一个随机变量，且转 换关系由线性方程式给出。
线性变换的性质
04
随机变量的分布函数与概率密度函数
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数，表示随机变量取值小于或等于某个值的概率。
分布函数的性质
分布函数具有非负性、规范性、单调性、右连续性等性质，这些性质反映了随机变量的概率特征。
概率密度函数的定义与性质
概率密度函数的定义
函数方差的定义与性质
定义
设$g(x)$是$R$上的有界函数，$X$是随机 变量，则$D[g(X)]$定义为$g(X)$关于$X$ 的方差。
VS
概率密度函数的性质
概率密度函数具有非负性、规范性、连续 性等性质，这些性质反映了随机变量的概 率分布特征。
常见随机变量的分布函数与概率密度函数
离散型随机变量
离散型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量取离散值的概率，常见的离散型随机变量有二项分布、 泊松分布等。
独立性的定义与性质
独立性的定义
在概率论中，两个事件A和B被称为独立的，如果它们的联合概率可以表示为各自概率 的乘积，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
独立性的性质
独立性具有一些重要的性质，包括传递性、对称性、反对称性等。这些性质确保了独立 性在概率论中具有实际意义。
条件概率与独立性的关系
条件概率与独立性的关系
连续型随机变量
连续型随机变量的分布函数和概率密度函数描述了随机变量在某个区间内取值的概率，常见的连续型随机变量有 正态分布、指数分布等。
05
随机变量的变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是概率论中随机变量的 一种变换方式，它将一个随机变 量转换为另一个随机变量，且转 换关系由线性方程式给出。
线性变换的性质
04
随机变量的分布函数与概率密度函数
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数，表示随机变量取值小于或等于某个值的概率。
分布函数的性质
分布函数具有非负性、规范性、单调性、右连续性等性质，这些性质反映了随机变量的概率特征。
概率密度函数的定义与性质
概率密度函数的定义
函数方差的定义与性质
定义
设$g(x)$是$R$上的有界函数，$X$是随机 变量，则$D[g(X)]$定义为$g(X)$关于$X$ 的方差。
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
概率论与数理统计 第4章
dx 令t
t2 2
x
，得
E( X )
1 2
( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x
，得
E( X )
1 2
( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则 性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量， 则有 性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有 为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以 于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值 解 引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻， 则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91
概率论第四章随机变量的数字特征第4节矩和协方差矩阵
特别，若 X ~ N 0， 1 , 则
E X n
n 1!!
0
n为偶数 n为奇数 ,
n 4时， EX 4 3.
返回主目8 录
练习一下
• 已知随机变量的X和Y的联合分布为
Y X
-2
0
1
-1
0.30
0.12
0.18
1
0.10
0.18
0.12
求X和Y的协差矩阵.
0.96 0.24
0.24 1 .65
DX
所以，
E X n nE Y n
n yn fY
y dy
n
y
n
e
y2 2
dy
2
⑴．当 n为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以
E X n 0 ．
返回主目5 录
第四章 随机变量的数字特征
(2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
EX n
2 n
y
n
e
y2 2
E X n
n
22
n
n
1
n
1
n
22
n
n
1
n
3
n
3
2 2 2 2 2
n
22
n
n
1
n
3
1
1
22
2 2
n
22
n
n 1!!
n
22
n n 1!!
返回主目7 录
第四章 随机变量的数字特征
因而，
§5 矩
E X n
n n 1!!
0
n为偶数 n为奇数
其中，
135 n n为奇数 n!! 2 4 6 n n为偶数
概率论：正态分布
x e 2
( x )2 2 2
dx
D( X )
) f ( x )dx
2
(二)标准正态分布N(0, 1)
X ~ f ( x)
E( X )
1 2
x2 e 2
, x
x 2
x2 e 2 dx
xf ( x ) dx
第四章 正态分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
正态分布的密度函数 正态分布的数字特征 正态分布的线性性质 二维正态分布 中心极限定理
PLAY
第一节
正态分布的密度函数
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态 分布,这是中心极限定理探讨的问题.
例 3 设随机变量 X ~ N ( 2, 2 ) , 且 P{2 X 4} 0 .3, 求 P{ X 0}. 随机变量 解 P{2 X 4} P{0 ( X 2) / 2 / } 标准化
(2 / ) (0) 0.3, (2 / ) 0.3 (0) 0.8
(0.7) [1 (1.3)] 0.7580 [1 0.9032] 0.6612 .
P{a X b} P{a X b } a b a X b P{ } P{ Z } b a P{Z } P{Z } Z ~ N (0,1) b a ( ) ( ) 2
概率论与数理统计 第四章
50 1 1 1 ( ) 49 2 100 2
数理统计
28
②
骣n 1 2 2 E (S ) = E 琪 X i - nX 琪 å 琪 n - 1 桫= 1 i
= 1 n- 1 n n 1
2
1 n 2 2 EX i nEX n 1 i 1
2
(n E X
若总体X是连续型随机变量，其概率密度为
f ( x ),
则样本的联合概率密度为
f ( x1 , x 2 , , x n ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
对于离散型总体，有相似的结论。
数理统计 17
例 设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是取自正态总体 N ( , 2 ) 的 样本，求样本的概率分布。 解 总体X的密度函数为
数理统计
30
X EX 1 P DX
X 1 P 1 10
0 .0 2 E X DX
E(X ) 0 D(X ) 1 100
显然
X ( 1 ) m in X i ,
1 i n
X (n) m ax X i ,
1 i n
两者也分别称为最小次序统计量和最大次序统计量. 称
R X ( n ) X ( 1 ) 为样本极差
X n1 ( 2 ) Md 1 (X n X n ( ) (1 ) 2 2 2 n 为奇数 （4 - 15） n 为偶数
总体 样本
随机变量 X 随机向量
( X 1 , X 2 , , X n )
数理统计
15
在一次试验中，样本的具体观测值 称为样本值。记为 ( x 1 , x 2 , , x n ) . 有时候样本与样本值使用同一符号， 但含义不同。 简单随机样本 若 X 1 , X 2 , X n 是相互独立的并与总体
概率论与数理统计自学课件 第四章
0 0
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
概率论知识点总结归纳
欢迎共阅概率论知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件样本点样本空间包含关系相等关系事件的和记为A ∪事件的积事件的差互斥事件对立事件=⋂B A （1（2（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C)A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB ∪AC（4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃B A B A ⋃=⋂第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A的概率为2落在区域把μ. ，，则称A 、总结：1.3.第二章一维随机变量及其分布第二节分布函数分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。
如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X 落在区间],(x -∞内的概率 分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F第三节离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设k x (k=1,2,…)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称k k p x X P ==}{为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。
概率论第四章课后习题解答
概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。
“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ”（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。
解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为 所以151115()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
（2）因为Y 的取值为2,3，4，9当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故121{2}3015C P Y ===； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故112314673()234915215103015E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。
（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。
由此得X 的取值为：1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。
2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。
以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否为次品是相互独立的。
）解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)kk k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律由于X 取值为0，1，2，3，4。
概率论与数理统计第四章
上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则 是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2
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E ( X i ) D ( X i ) 0 .2
的个数， i 1，， ， 2 300
由列维定理知, 所求的概率
300 P X i1
300 X i 300 0 . 2 70 300 0 . 2 i 1 70 P 300 0 . 2 300 0 . 2
概率作业11;第四章3-5节
一、填空题 1 .已知 X ~ N ( 2 , 4 ), Y 服从标准正态分布， P ( X Y 2 ) _______ 答案： . 5， 0 . X 与 Y 相互独立，则
提示 Z X Y , Z ~ N ( 2 0 , 4 1 ) N ( 2 , 5 ) 22 5 .
i
300 X i 60 i 1 P 1 . 29 60
1 . 29 0 . 9015
概率作业11;第四章3-5节
四、 已知100台机床彼此独立地工作者，每台机床的实际工作时 间占全部工作时间的80%，求： (1) 任一时刻有70至86台机床在工作的概率； (2) 任一时刻有80台以上机床在工作的概率； 解 设 Y 表示任一时刻正在工作的机床数，则 Y
5 . 设 X , Y 独立且服从相同分布 则 E ( Z ) __ .
2
.
N ( , ), Z X Y 2 ,
2
答案： 2 二、
2
4.
提示： E ( Z ) D ( Z ) E ( Z ).
2 2
设 X 与 Y 独立， X ~ N ( 0 ,1 )， Y ~ N ( 1 , 2 )，求 Z 2 X Y 3 的概率密度 .
(2)
P Y 80 1 P Y 80
1 80 80 1 4 2
概率作业11;第四章3-5节
2
E ( Z ) E X Y 3 ) 4 D ( X ) D (Y ) 8
f (z) 1 4
z 2 2
16
e
概率作业11;第四章3-5节
已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从P(0.2)，求 三、 这本书的印刷错误总数不多于70的概率. 解 设 X i 表示每页中的印刷错误
~ B ( 100 , 0 . 8 )
E(Y)=np =80， D(Y ) npq 16 4 (1)
86 80 70 80 P 70 Y 86 4 4
1 . 5 2 . 5 0 . 928
2 2
P ( X Y 2) 1 P ( X Y 2) 1 P ( Z 2) 1 (
) 0 .5
2 .如果 X ~ N ( 3 ,16 ), 且 Y 3 X 4 , , 则 D (Y ) _______ 答案： 16 . 9
2
提示： X ~ N ( , ), aX b ~ N ( a b , a ).
3 . X , Y 独立且服从相同分布 答案： N ( 3 , 5 )
2
N ( , ), 则 2 X Y 3 ~ ________
2
.
概率作业11;第四章3-5节
4 . 设 X ~ N ( 10 , 0 . 6 ), Y ~ N ( 1 , 2 ), 且 X 与 Y 相互独立，则 D ( 3 X Y ) _________ 答案： . 4 7
的个数， i 1，， ， 2 300
由列维定理知, 所求的概率
300 P X i1
300 X i 300 0 . 2 70 300 0 . 2 i 1 70 P 300 0 . 2 300 0 . 2
概率作业11;第四章3-5节
一、填空题 1 .已知 X ~ N ( 2 , 4 ), Y 服从标准正态分布， P ( X Y 2 ) _______ 答案： . 5， 0 . X 与 Y 相互独立，则
提示 Z X Y , Z ~ N ( 2 0 , 4 1 ) N ( 2 , 5 ) 22 5 .
i
300 X i 60 i 1 P 1 . 29 60
1 . 29 0 . 9015
概率作业11;第四章3-5节
四、 已知100台机床彼此独立地工作者，每台机床的实际工作时 间占全部工作时间的80%，求： (1) 任一时刻有70至86台机床在工作的概率； (2) 任一时刻有80台以上机床在工作的概率； 解 设 Y 表示任一时刻正在工作的机床数，则 Y
5 . 设 X , Y 独立且服从相同分布 则 E ( Z ) __ .
2
.
N ( , ), Z X Y 2 ,
2
答案： 2 二、
2
4.
提示： E ( Z ) D ( Z ) E ( Z ).
2 2
设 X 与 Y 独立， X ~ N ( 0 ,1 )， Y ~ N ( 1 , 2 )，求 Z 2 X Y 3 的概率密度 .
(2)
P Y 80 1 P Y 80
1 80 80 1 4 2
概率作业11;第四章3-5节
2
E ( Z ) E X Y 3 ) 4 D ( X ) D (Y ) 8
f (z) 1 4
z 2 2
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e
概率作业11;第四章3-5节
已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从P(0.2)，求 三、 这本书的印刷错误总数不多于70的概率. 解 设 X i 表示每页中的印刷错误
~ B ( 100 , 0 . 8 )
E(Y)=np =80， D(Y ) npq 16 4 (1)
86 80 70 80 P 70 Y 86 4 4
1 . 5 2 . 5 0 . 928
2 2
P ( X Y 2) 1 P ( X Y 2) 1 P ( Z 2) 1 (
) 0 .5
2 .如果 X ~ N ( 3 ,16 ), 且 Y 3 X 4 , , 则 D (Y ) _______ 答案： 16 . 9
2
提示： X ~ N ( , ), aX b ~ N ( a b , a ).
3 . X , Y 独立且服从相同分布 答案： N ( 3 , 5 )
2
N ( , ), 则 2 X Y 3 ~ ________
2
.
概率作业11;第四章3-5节
4 . 设 X ~ N ( 10 , 0 . 6 ), Y ~ N ( 1 , 2 ), 且 X 与 Y 相互独立，则 D ( 3 X Y ) _________ 答案： . 4 7