课堂新坐标62

法三：原不等式的解集就是 1<(x－2)2≤9 的解集， 即xx－－2222>≤19，， 解得x－<11≤或xx≤>35. ， 所以－1≤x<1 或 3<x≤5. 所以原不等式的解集是{x|－1≤x<1 或 3<x≤5}． (2)由不等式|2x＋5|>7＋x， 可得 2x＋5>7＋x 或 2x＋5<－(7＋x)， 整理得 x>2 或 x<－4. 所以原不等式的解集是{x|x<－4 或 x>2}．
1．第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类 讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件)．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动 向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．
[再练一题] 3．若关于 x 的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a 的解集为∅，求实数 a 的取值范围．
1．形如 a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式的简单解法是利用等价命题法，即 a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<|f(x)|<b 或－b<f(x)<－a.
2．|f(x)|>g(x)和|f(x)|<g(x)型不等式的解法是将 f(x)看做一个整体，g(x)看做一 个常数，即可化为 f(x)>g(x)或 f(x)<－g(x)和－g(x)<f(x)<g(x)求解．
【提示】 a≥f(x)恒成立⇔a≥[f(x)]max. a≤f(x)恒成立⇔a≤[f(x)]min. a>f(x)解集为∅⇔a≤f(x)恒成立 a<f(x)解集为∅⇔a≥f(x)恒成立．
探究 3 对于 a≥f(x)有解求 a 的范围时，如何转化求解？a≤f(x)有解呢？
【提示】 a≥f(x)有解⇔a≥[f(x)]min. a≤f(x)有解⇔a≤[f(x)]max.
[小组合作型]
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法
解下列不等式： (1)1<|x－2|≤3； (2)|2x＋5|>7＋x.
【精彩点拨】 (1)可利用公式转化为|ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|<c(c>0)型不等 式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平 方法转化为不含绝对值的不等式．
教材整理 2 |x－a|＋|x－b|≥c 与|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
阅读教材 P8～P9“思考交流”以上部分，完成下列问题． 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解． 3．构造函数，利用函数的图象求解．
填空： (1)|x－4|＋|x－2|>1 的解集为________． (2)若 f(x)＝|x－a|＋|x＋b|的最小值为 3，当 a<f(x)恒成立时，a 的取值范围是 ________． (3)|x－3|>|x＋1|的解集为________．
【解】 法一：令 y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a. 2x＋1，x≥1，
∴y1＝3，－2≤x<1， －2x－1，x<－2.
阅读教材 P8～P9“思考交流”以上部分，完成下列问题．
1．绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a {x|x＞a，或 x＜－a} {x∈R，且 x≠0} R
2.|ax＋b|≤c 与|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； (2)|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .
|x－a|±|x－b|≥c(≤c) 型不等式的解法
解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【精彩点拨】 本题考查|x－a|＋|x－b|≥c 型含两个绝对值的不等式的解法， 解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解，也可用零点分区间讨 论法求解，或者用图象法，利用图形分析求解．
【自主解答】 法一：如图所示，设数轴上与－1,1 对应的点分别为 A，B， 那么 A，B 两点的距离和为 2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在 A 点左侧有一点 A1，到 A，B 两点的距离和为 3，A1 对应数轴上的 x.
法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0. －2x－3，x≤－1，
构造函数 y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即 y＝－1，－1<x<1， 2x－3，x≥1.
作出函数的图象，如图所示： 函数的零点是－32，32. 从图象可知，当 x≤－32或 x≥32时，y≥0， 即|x＋1|＋|x－1|－3≥0. 解得原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.
已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的 取值范围．
【精彩点拨】 (1)解 f(x)≤3，由集合相等，求 a. (2)求 y＝f(x)＋f(x＋5)的最小值，确定 m 的范围．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|x|<a 的解集是(－a，a)．( ) (2)不等式|x－2|≥3 的解集是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．( ) (3)若|x－a|<2 的解集是(－1,3)时，a 的值为 2.( )
【解析】 (1)× 当 a≤0 时，|x|<a 的解集为∅. (2)√ 由|x－2|≥3，得 x－2≥3 或 x－2≤－3，即 x≥5 或 x≤－1. (3)× 若|x－a|<2 的解集为(－1,3)时，－1 和 3 是|x－a|＝2 的根， 即||－ 3－1－ a|＝a|＝ 2，2， 解得aa＝ ＝11或 或－ 5，3， 故 a＝1. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
【提示】 因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|. ∴当|a－b|＞c 时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c 的解集为 R. 事实上，对于一切 x∈R，有|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|＞c.
探究 2 对于 a≥f(x)在 R 上恒成立求 a 的取值范围时，如何转化求解？对 于 a≤f(x)呢？对于 a>f(x)的解集为∅，求 a 的取值范围时如何转化求解，对于 a<f(x) 呢？
于是 g(x)＝－ 5，2x－－31≤，xx≤＜2－，3， 2x＋1，x＞2.
利用 g(x)的单调性，易知 g(x)的最小值为 5. 因此 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m 对 x∈R 恒成立， 知实数 m 的取值范围是(－∞，5]．
法二 当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|. 设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2 时等号成立)，得 g(x)的最小值为 5. 因此，若 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m 恒成立， 应有实数 m 的取值范围是(－∞，5]．
【自主解答】 (1)由 f(x)≤3，得|x－a|≤3， 解得 a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以aa－ ＋33＝ ＝－ 5，1， 解得 a＝2.
(2)法一 由(1)知 a＝2，此时 f(x)＝|x－2|， 设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，
3．形如|f(x)|<f(x)，|f(x)|>f(x)型不等式的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0，|f(x)|<f(x)⇔x∈∅.
[再练一题] 1．解不等式|x2－x＋2|＞x2－3x－4.
【导学号：94910007】
【解】 ∵x2－x＋2＝x－122＋74＞0， ∴|x2－x＋2|＝x2－x＋2. 原不等式等价于 x2－x＋2＞x2－3x－4， 解得 x＞－3. ∴原不等式的解集为{x|x＞－3}.
这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法，解法一中关键是 找到特殊点，解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，解法三则要准 确画出函数图象，并准确找出零点.
[再练一题] 2．解不等式|2x－1|<|x|＋1.
【解】 ①当 x＜0 时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得 x＞0，与 x ＜0 矛盾，此时无解；
法二：当 x≤－1 时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3， 解得 x≤－32. 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3， 即 2≥3，不成立，无解． 当 x≥1 时，原不式可以化为 x＋1＋x－1≥3，所以 x≥32. 综上所述，原不等式的解集为xx≤－32或x≥32 .
②当 0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得 x＞0， 又∵0≤x＜12，从而有 0＜x＜12； ③当 x≥12时，原不等式化为 2x－1＜x＋1，∴x＜2. 因此12≤x＜2. 综合①②③知，原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
[探究共研型] 含参数的不等式 探究 1 函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|的最小值是什么？当|a－b|＞c 时，不等式|x －a|＋|x－b|＞c 的解集是什么？
∴－1－x＋1－x＝3，得 x＝－32. 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点距离和为 3，B1 对应数轴上的 x，
∴x－1＋x－(－1)＝3. ∴x＝32. 从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之和都小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的距离之和都大于 3. 所以原不等式的解集是－∞，－32∪32，＋∞.