2020昆明一中高三第三次月考数学试题及答案整理中
昆明市第一中学2020届高三摸底考试理科数学第3次——答案
2020届昆一中高三联考卷第三期数学参考答案及评分标准参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘一、选择题1. 解析：因为{}1,0,5U B =-ð，所以{}1,0,3,5U A B =-ð. 选A.2. 解析：因为3111=i 1i 22z =--，所以复平面内z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 选D.3. 解析：由已知得(2,2)a b x -=-，所以4(2)0x --=，解得2x =-，选A.4. 解析：因为0c d <<，所以110c d>>，由不等式的性质可知：选B.5. 解析：依题意，1.618s a =≈，所以 1.618611.604PH s a =≈=，选D. 6. 解析：购买该食品4袋，卡片编号的所有可能结果为44，获奖包含的基本事件个数44A 24=，所以购买该食品4袋，获奖的概率为332，选C ．7. 解析：设()f x t =，令()0f t =，则1t =或1t =-.当0x ≥时，由()1f x =，得x =()1f x =-，得0x =；当0x <时，由()1f x =，即111x +=，无解；由()1f x =-，即111x +=-，得12x =-，所以有三个零点，选B.8. 解析：输入0,1,1a b i ===；第1次循环：1,1,1,2c a b i ====；第2次循环：2,1,2,3c a b i ====；第3次循环：3,2,3,4c a b i ====； 第4次循环：5,3,5,5c a b i ====；第5次循环：8,5,8,6c a b i ====； 第6次循环：13,8,13,7c a b i ====；…因为输出13b =，所以7i =时就要输出，结合选项，选C .9. 解析：因为48S =，8416S S -=，128S S -，1612S S -成等比数列，所以12832S S -=，161264S S -=，164841281612()()()8163264120S S S S S S S S =+-+-+-=+++=，选D.10. 解析：设椭圆C ：2214x y +=的左焦点为1F ，则112OP OF F F ==，所以1PF PF ⊥，所以△PFO 的面积12111tan 2242PF FS S b π===，选B . 11. 解析：因为(0)f =-()2f π，所以12=sin()26ππω-，即=+2266k πππωπ-或5=+2266k πππωπ-，A B 1即2=+43k ω或=2+4k ω，（k ∈Z ）,又因为在（02π，）上有且仅有三个零点，2πω2π<<4πω,所以48ω<<,所以ω为143或6，选A . 12. 解析：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC+最小．其最小值是2EC ．连接212,AC B C ，计算可得2AC =，12B C =，1AB =，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC = C.二、填空题 13. 解析：则()4ln ex xf x '=，由导数的几何意义知函数()f x 在点()e,e 处的切线斜率()e 4k f '==，则函数()f x 在点()e,e 处的切线方程为()e 4e y x -=-即43e y x =-. 14. 解析：因为7311(3)()2473S S a d a d d -=+-+==，所以2d =，5149a a d =+=.所以5a =9. 15. 解析: ()62E n p p ξ=⋅=⋅=，所以13p =，又因为24()(1)233D n p p ξ=⋅⋅-=⋅=，所以(32)D ξ+=9()12D ξ=．16. 解析：由图和对称性可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e =三、解答题 （一）必考题17. 解析：（1）因为cos 2c a b C =-，所以1sin sin cos sin 2A B C C =-， 1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C B C C +=-，可得1cos 2B =-，23B π=. ………6分（2）因为D 是AC 边的中点，所以1122BD BA BC =+， 2222211111112424()34424422BD BA BC BA BC ==++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-=所以BD =………12分18. 解析：（1）证明：取1C F 的中点G ，连接EG ,因为E 为棱11A D 中点，所以EG ∥11D C ， 又因为11D C ∥DC ，所以EG ∥DC ；因为11111122A B B C C D ==，所以11EG D C DC ==，故四边形EDCG 为平行四边形，所以DE ∥CG .因为DE ⊄平面1CC F ，CG ⊂平面1CC F ，所以DE ∥平面1CC F . ………5分 （2）解：等腰梯形ABCD 中，连接BD ， 因为222AB BC CD ===，所以60DAB ∠=；△ABD 中，由余弦定理得3BD=，所以90ADB ∠=，故可以DA ，DB ，1DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 (1,0,0)A，1B , 12E ⎛⎝,B,设()1,,n x y z =为平面1B DE 的一个法向量，则11110230n DE x n DB y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩可取1y =，则()11n =-， 取平面ADE 的一个法向量为()20,1,0n =， 所以12121214cos 1,4n n n n n n ⋅〈〉==⋅， 即锐二面角1B DE A --. ………12分19. 解：（1）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务能被完成的概率为()()()112123123122331123111P p p p p p p p p p p p p p p p p p p =+-+--=++---+；若甲在先，丙次之，乙最后的顺序派人，任务能被完成的概率为()()()113132123122331123111P p p p p p p p p p p p p p p p p p p =+-+--=++---+；发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. ………6分（2）由题意得X 可能取值为1,2,3，:所以()()()()11212121212131123E X p p p p p p p p p =⨯+⨯-+⨯--=--+.因为()()()12122123211E X p p p p p p =--+=--+，且1231p p p >>>，其他情况同理可得,所以要使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小，只能先派甲、乙中的一人.若先派甲，再派乙，最后派丙，则()1121223E X p p p p =--+； 若先派乙，再派甲，最后派丙， 则()2122123E X p p p p =--+；所以()()()()12121212212123230E X E X p p p p p p p p p p -=--+---+=-< 所以先派甲，再派乙，最后派丙时， 均值（数学期望）达到最小. ………12分20. 解：（1）由题意可知，动圆圆心P 到点102（，）的距离与到直线12x =-的距离相等，所以点P 的轨迹是以102（，）为焦点，直线12x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为22y x =．………5分 （2）易知()22M ，，设点11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB 的方程为：x my b =+， 联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ 因为12121222=122y y k k x x --⋅=--，即121212122+=2+y y y y x x x x --（）（）， 所以222440b b m m --+=，所以221=21b m --（）（），所以2b m =或2+2b m =- 当2+2b m =-时，直线AB 的方程：22x my m =-+过定点()22，与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 的方程：+2x my m =过定点()02-，，所以直线AB 过定点()02-，． ………12分21. 解：（1）()()e sin x g x f x x '==+，则()e cos x g x x '=+，因为cos y x =与e x y =在(,0)π-均为增函数，故()g x '在(,0)π-为增函数，又()e 10g ππ-'-=-<，()020g '=>，结合零点存在性定理知：存在唯一0(,0)x π∈-使得()00g x '=， 若0(,)x x π∈-，()0g x '<；若0(,0)x x ∈，()0g x '>；故()g x 在区间(,0)π-存在唯一极小值点.……6分（2）由（1）可知()g x 在区间(,0)π-存在唯一极小值点0x ，所以()20()e 102g x g ππ-≤-=-<,又(0)10g =>，()e 0g ππ--=>，结合零点存在性定理知：存在唯一10(,)x x π∈-使得()10g x =， 存在唯一20(,0)x x ∈使得()20g x =，故当12(,)(,0)x x x π∈-∪时，()0g x >，当()12,x x x ∈时，()0g x <，故()f x 在1(,)x π-和2(,0)x 为增函数，在()12,x x 为减函数，则()()1e 10f x f ππ->-=+> 且()()200f x f <=，由零点存在性定理：存在唯一12(,)m x x ∈使得()0f m =， 故函数()f x 在[,0]π-有且仅有x m =与0x =两个零点；当(0,)x ∈+∞时，e 1cos x x >≥，则()0f x >，故函数()f x 在(0,)+∞没有零点； 综上所述，()f x 有且仅有2个零点. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
2020届云南省昆明一中高三第三次高中新课标双基检测数学(理)试题及答案解析
1
2
4 (
1)
3
4
4
2
4
4
2
2
………6 分
所以 BD 3 .
………12 分
18. 解析：（1）证明：取 C1F 的中点 G ,连接 EG , 因为 E 为棱 A1D1 中点,所以 EG ∥ D1C1 ,
D1
E
12. 解析：将正方体 ABCD A1B1C1D1 补全成长方体,点 C1 关于面 ABCD 的对称点为
C2 ,连接 EC2 交平面 ABCD 于一点,即为所求点 F ,使 EF FC1 最小．其最小值是
EC2 ． 连 接 A C2 , B1 C2, 计 算 可 得 AC2 2 3, , B1C2 2 5 , AB1 2 2 , 所 以
2
2
sin BcosC cos BsinC sin B cosC 1 sinC ,可得 cos B 1 , B 2 .
2
23
（2）因为 D 是 AC 边的中点,所以 BD 1 BA 1 BC , 22
BD
2
1
2
BA
1
2
BC
1
BA
BC
1
22
1
42
选 D.
10.
解析：设椭圆 C ：
x2 4
y2
1 的左焦点为 F1 ,则
OP
OF
1 2 F1F
,所以 PF1 PF ,
所以△ PFO 的面积 2
tan
4
1 2
,选
B.
11. 解 析 ： 因 为 f ( 0) - f ( ) , 所 以 1 = sin( ) , 即 = +2k 或
云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷(含答案)
云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法错误的是( )A. 若随机变量X ~N (μ,σ2),则当σ较小时,对应的正态曲线“瘦高”,随机变量X 的分布比较集中B. 在做回归分析时,可以用决定系数R 2刻画模型的回归效果,若R 2越大,则说明模型拟合的效果越好C. 在一元线性回归模型中,如果相关系数r =0.98,表明两个变量的相关程度很强D. 对于一组数据x 1,x 2,⋯,x n ,若所有数据均变成原来的2倍,则s 2变为原来的2倍2.若(1x +x )n 的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为( )A. 第3项 B. 第4项C. 第5项D. 第6项3.函数f(x)=(e x +1)cos xe x −1的部分图象大致为( )A. B.C. D.4.已知长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为16，且AA 1=2，则长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1外接球体积的最小值为( )A. 256πB. 16053πC. 2053π D. 125π5.在平面内，设n 是直线l 的法向量(直线的法向量：直线l 的方向向量为a ，若向量n ⊥a ，则向量n 叫做直线l 的法向量)，M ，N 是平面内的两个定点，M ∈l ，N ∉l ，若动点P 满足|PM n ||n ||PN |，则动点P 的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线6.已知α，β∈(0,π)，tan α，tan β是方程x 2−33x +4=0的两个根，则α+β=( )A. π3B. 2π3C. 4π3D. π3或2π37.已知曲线Γ的方程为(x 2+y 2+2x +2y)(x 2+y 2−2x−2y)=0，若经过点A(−4,−2)的直线l 与曲线Γ有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A. (723,12)∪(12,1) B. (−17,723)∪(723,1)C. (723,1)D. (−17,1)8.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为a i (i =1,2,⋯,7)，若a 1<a 2<a 3，a 3>a 4>a 5，a 5<a 6<a 7，则这样的数列共有( )A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023昆明市第一中学高中新课标高三第三次双基检测数学试题及参考答案
2023昆明市第一中学高中新课标高三第三次双基检测数学试题及参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={−1,0,1,2,},B={x∈Z|x−2x≤0}，则A∩B=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {−1,1,2}D. {0,1,2}【答案】B【解析】解：集合A={−1,0,1,2,},B={x∈Z|x−2x≤0}={x∈Z|0<x≤2}={1,2}，则A∩B={1,2}．故选：B．求出集合B，利用交集定义、不等式性质能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 若复数z=a+2i2−i(a∈R)为纯虚数，则a=( )A. −4B. −2C. −1D. 1【答案】D【解析】解：z=a+2i2−i=(a+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−25+4+a5i为纯虚数，则2a−25=04+a5≠0，解得a=1．故选：D．根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．3. 已知向量a=(1,−1),b=(1,t)，若〈a,b〉=π3，则t=( )A. 2−3B. 2+3C. 2+3或2−3D. −1【答案】A【解析】解：∵〈a,b〉=π3，∴cos〈a,b〉=(1,−1)⋅(1,t)1+1×1+t2=1−t2×1+t2=12，∴1−t>0，且2(1−t)=2×1+t2，解得：t=2+3或2−3，当t=2+3时，不满足1−t>0，舍去，当t=2−3时，满足1−t>0，故选：A．根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．4. 若函数f(x)=1−cosxsinx(x∈[π3,π2])，则f(x)的值域为( )A. [3,+∞)B. [33,+∞)C. [1,3]D. [33,1]【答案】D【解析】解：f(x)=1−cosxsinx=1−(1−2sin2x2)2sinx2cosx2=sinx2cosx2=tanx2，因为x∈[π3,π2]，所以x2∈[π6,π4]，所以tanx2∈[33,1]，所以f(x)的值域为[33,1]．故选：D．利用二倍角公式化简f(x)=tanx2，再利用正切函数的性质求解即可．本题主要考查函数值域的求法，考查三角恒等变换以及正切函数性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题．5. 正四面体S−ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为( )A. 64B. 33C. 263D. 3【答案】C【解析】解：设正四面体的棱长为2a，正四面体的外接球心为O，△ABC 的外心为M，则SM⊥平面ABC，由AM⊂平面ABC，则SM⊥AM，又AE=3a, AM=23AE=23a3, SM=AS2−AM2=26a3，在△OAM中，由勾股定理可得：则(26a3−R)2+(23a3)2=R2⇒a=63R⇒2aR=263，故选：C．设正四面体的棱长为2a，由正四面体几何性质得出a与外接球半径R 的关系式，即可得解．本题考查了球与多面体的内接、外切问题，属基础题．6. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是( )A. 13B. 16C. 18D. 112【答案】C【解析】解：设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A．则6必在后排，1在前排，因此，6在1的后面和6不在1的后面两种情况，(1)6在1的后面时：5必在后排，2必在前排，因此，又分为5在2的后面和5不在2的后面两种情况，①5在2的后面时，4必须在3的后面，所以有A33种情况；②5不在2的后面，有2A33种情况．(2)6不在1的后面：可分为5在前排和5在后排两种情况，1)5在前排，则6必须在5的后面，此时4必须在后排，又可分为4在1的后面和4不在1的后面两种情况，4在1的后面：有A33种；4不在1的后面：有2A33种．2)5在后排，又可分为5在1的后面和5不在1的后面两种情况，①5在1的后面：2必在前排，又分为6在2的后面和6不在2的后面两种，6在2的后面：有A33种；6不在2后面：有2A33种．②5不在2的后面，有A33⋅A33种．所以P(A)=3×3A33+A33⋅A33A63⋅A33=156×5×4=18，故选：C．先求出事件A包含的基本事件个数，再根据古典概型的公式计算即可．本题的解题关键是合理分类，把能定下来的位置先定下来，不能定的就继续分类讨论，直至求出所有适合的基本事件个数．7. 如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D=45°，AB=2，BC=22，AD=6.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. 84π3B. 30πC. 92π3D. 40π【答案】D【解析】解：圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D=45°，所以∠B=135°，过点C作CE⊥AD于点E，所以四边形ABCE是直角梯形，△CDE是直角三角形；所以四边形ABCD沿AD旋转一周，得到的旋转体是圆锥与圆台的组合体，计算AE=BCsin45°=22×22=2，CE=BCcos45°+AB=2+2=4，DE=CE=4，所以旋转体的体积为V=V圆锥+V圆台=13π×42×4+13π×(22+2×4+42)×2=40π．故选：D．过点C作CE⊥AD于点E，得直角梯形和直角三角形，由此得到旋转体是圆锥与圆台的组合体，由此计算旋转体的体积．本题考查了旋转体体积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8. 函数f(x)的定义域为R，且f(x)−f(x+4)=0，当−2≤x<0时，f(x)=(x+1)2，当0≤x<2时，f(x)=1−x，则n=12022f(n)=( )A. 1010B. 1011C. 1012D. 1013【答案】B【解析】解：由f(x)−f(x+4)=0得：f(x)=f(x+4)，∴f(x)的周期为4，当0≤x<2时，f(x)=1−x，∴f(1)=0，f(4)=f(0)=1，当−2≤x<0时，f(x)=(x+1)2，∴f(2)=f(−2)=1，f(3)=f(−1)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2，∴n=12022f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯f(2022)=505×2+0+1=101 1．故选：B．先求出函数的周期为4，从而求得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2，进而可求得结论．本题考查函数的周期性，属于基础题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
(新课标)云南省昆明市第一中学2020高三数学第三次双基检测试题 文(扫描版)
2020届昆一中高三联考卷第三期数学参考答案及评分标准参考答案（文科数学）一、选择题1. 解析：因为{}1,0,5U B =-ð，所以{}1,0,3,5U A B =-U ð. 选A.2. 解析：因为3111=i 1i 22z =--，所以复平面内z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 选D. 3. 解析：由已知得(2,2)a b x -=-rr ，所以4(2)0x --=，解得2x =-，选B.4. 解析：从36名学生中抽取9名，抽样间隔为4，所以9名学生的编号分别为33，29，25，21，17，13，9，5，1，选A ．5. 解析：因为0c d <<，所以110c d>>，由不等式的性质可知：选C.6. 解析：依题意，1.618s a ≈，所以 1.618611.604PH s a =≈=，选D.7. 解析：o o o o o cos 213cos(18033)cos33sin 57=+=-=-=，选C ．8. 解析：设()f x t =，令()0f t =，则1t =或1t =-.当0x ≥时，由()1f x =，得x ()1f x =-，得0x =；当0x <时，由()1f x =，即111x +=，无解；由()1f x =-，即111x+=-，得12x =-，所以有三个零点，选B.9. 解析：输入0,1,1a b i ===；第1次循环：1,1,1,2c a b i ====；第2次循环：2,1,2,3c a b i ====；第3次循环：3,2,3,4c a b i ====； 第4次循环：5,3,5,5c a b i ====；第5次循环：8,5,8,6c a b i ====； 第6次循环：13,8,13,7c a b i ====；…因为输出13b =，所以7i =时就要输出，结合选项，选C.10. 解析：设椭圆C ：2214x y +=的左焦点为1F ，则112OP OF F F ==，所以1PF PF ⊥，所以△PFO 的面积12111tan 2242PF F S S b π===V ，选A. 11. 解析：由题意可知，平面PAB ⊥平面ABC ,2233()24R R =-+,即=1R ，S=4π，选B.12. 解析：因为(0)f =-()2f π，所以12=sin()26ππω-，即=+2266k πππωπ-或5=+2266k πππωπ-， 即2=+43k ω或=2+4k ω，（k ∈Z ）,又因为在（02π，）上有且仅有三个零点，2πω2π<<4πω,所以48ω<<,所以ω为143或6，选A. 二、填空题13. 解析：则()4ln ex xf x '=，由导数的几何意义知函数()f x 在点()e,e 处的切线斜率()e 4k f '==，则函数()f x 在点()e,e 处的切线方程为()e 4e y x -=-即43e y x =-. 14. 解析：因为7311(3)()2473S S a d a d d -=+-+==，所以2d =，5149a a d =+=.故5a =9. 15. 解析：因为()sin()cos()2sin()4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++的最小正周期为π，所以2ω=，又因为()()0f x f x --=，所以()f x 为偶函数，得：=+4k πϕπ（k ∈Z ）而||2πϕ<，所以=4πϕ，所以()2sin(2)2cos22f x x x π=+=，所以2()6f π=. 16. 解析：由图和对称性可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e =三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A 、B 、C ，不挑同桌有2人，记为d 、e ；从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ABd ABe ACd ACe Ade BCd BCe Bde Cde ，，，，，，，，，共10种，这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为ABd ABe ACd ACe BCd BCe ，，，，，，共6种，故所求的概率为63105P ==；………6分 （2）根据以上22⨯列联表，计算观测值22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，A B 1对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．………12分18. 解析：（1）因为123n n n a a +=+⋅，所以123n n n a a +-=⋅从而12123a a -=⋅，23223a a -=⋅，…，1123(2)n n n a a n ---=⋅≥ 累加可得112113(13)23232323313n n n n a a ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⨯=--，所以3n n a =因为13a =适合n a ，所以3()n n a n =∈*N ………6分（2）1133log log 3nn n b a n ===-，11111(1)1n n b b n n n n +==-++ n T =1111111111()()()11(1)122311n n b b n n n n n +==-+-+⋅⋅⋅+-=-<+++ ………12分19. 解析：（1）证明：取1C F 的中点G ，连接EG ,因为E 为棱11A D 中点，所以EG ∥11D C ， 又因为11D C ∥DC ，所以EG ∥DC ；因为11111122A B B C C D ==，所以11EG D C DC ==， 故四边形EDCG 为平行四边形， 所以DE ∥CG ,因为DE ⊄平面1CC F ，CG ⊂平面1CC F ，所以DE ∥平面1CC F . ………5分 （2）解：等腰梯形1111A B C D 中，因为111111222A B B C C D m ===，所以1160FB C ∠=o ； 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1C C ⊥平面11A C ， 所以平面11A C ⊥平面1BC ，取11B C 的中点H ，连接FH ，则FH ⊥平面1BC ，且FH ， 所以1131132BB C C m V S FH =⋅⋅=四边形，32194BCD m V S AA =⋅=梯形A ，所以1229V V =. ………12分20. 解：（1）由题意可知，动圆圆心P 到点102（，）的距离与到直线12x =-的距离相等，所以点P 的轨迹是以102（，）为焦点，直线12x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为22y x =． ………5分（2）易知()22M ，，设点11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB 的方程为：x my b =+， 联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ 因为12121222=122y y k k x x --⋅=--，即1212121222y y y y x x x x -+=-+（）（）， 所以222440b b m m --+=，所以22221b m --（）=（），所以=2b m 或=2+2b m - 当22b m =-+时，直线AB 的方程：22x my m =-+过定点()22，与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 的方程：+2x my m =过定点()02-，，所以直线AB 过定点()02-，．………12分 21. 解：（1）()()e sin x g x f x x '==+，则()e cos xg x x '=+，因为cos y x =与e x y =在(,0)π-均为增函数，故()g x '在(,0)π-为增函数，又()e 10g ππ-'-=-<，且()020g '=>，则()()00g g π''-<，结合零点存在性定理知：()g x '在区间(,0)π-存在唯一零点； ………6分（2）构造函数()e xF x ax =-，R x ∈，由题意知()0F x ≥，①当0a <时，11e 10a F a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与题意矛盾，舍去；②当0a =时，()e 0xF x =>，符合题意；③当0a >时，()e xF x a '=-，()F x '为增函数，当(),ln x a ∈-∞时()0F x '<，即()F x 在(),ln a -∞单调递减， 当()ln ,x a ∈+∞时()0F x '>，即()F x 在()ln ,a +∞单调递增，则()()()ln min ln e ln 1ln aF x F a a a a a ==-=-，要使()0F x ≥对任意R x ∈恒成立，即需使()min 0F x ≥，即()1ln 0a a -≥，解得e a ≤； 综上所述，a 的取值范围为[0,e]. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
2020届云南省昆明市高三元月三诊一模数学(文)试题含答案
【详解】
（1）证明:连接 ,因为 ,所以四边形 是正方形,所以 ,
由题,因为 ,所以 ,
又 , , 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面
（2）解:连结 ,由题,因为 ,
所以 平面 ,
所以 , 到平面 的距离相等,
（2）先写出所有的基本事件,再找到甲的销售量比乙的销售量高的情况,进而求解即可
【详解】
（1）记甲、乙连续5日的日平均销售量分别为 , ,
则 , ,
由茎叶图可知乙的数据比较集中,说明乙的销售量比甲稳定
（2）从两户花农连续5日的销售量中各随机抽取一个,总的基本事件为:
, , ,
,共25个基本事件,
其中甲高于乙的有:
某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 ， ， ， ，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税____元．
【答案】1880.
【解析】根据题意求出应纳税所得额，再根据公式求出个税税额即可．
A．7B．16C．19D．21
【答案】B
【解析】根据递推关系计算即可．
【详解】
解：由已知 ，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查递推关系的应用，是基础题．
8．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可．
（1）求甲、乙两户花农连续5日的日均销售量，并比较两户花农连续5日销售量的稳定性；
2020--云南省昆明市第一中学高三第三次双基检测数学(理)试题--(附解析答案)
本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题.
14．记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】根据等差数列的求和公式化简 再求解基本量即可.
【详解】
因为 ,所以 , .所以 .
故答案为：9
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前 项和公式运用,同时也考查了等差数列的基本量求法,属于基础题.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】化简 再根据复数的几何意义判定即可.
【详解】
因为 ,所以复平面内 对应的点 位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.
3．已知向量 ， ，若 ，则 （）
A．－2B．2C． D．
【答案】A
【解析】根据向量平行的坐标公式求解即可.
, , , ,
设 为平面 的一个法向量,
则
可取 ,则 ,
取平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
即锐二面角 的余弦值为 .
【点睛】
本题主要考查了线面平行的证明与利用空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.
19．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为 ， ， ，假设 ， ， 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
第6次循环： , , , ；…
因为输出 ,所以 时就要输出,结合选项,一个填入
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据程序框图的输出结果补全判断框的问题.属于基础题.
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”教学质量检测数学(理)试题(word版)
昆明市2020届“三诊-模”高三复习教学质量检测理科数学一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x<-1或x>2}, B={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 则A∩B=A. {-3,-2}B. {2,3}C. {-3,-2,3}D. {-3,-2,2,3}2.已知复数z 满足(1+2i)z=5i,则z=A.2+iB.2-iC. -2+iD. -2-i3.在正项等比数列{}n a 中,若1321,2,a a a ==+n S 为其前n 项的和,则63S s = A.6 B.9 C.12 D.154.若夹角为120°的向量a 与b 满足|a +b |=|b |=2,则|a |=A.1B.2 .23C D.45.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为6.7A π B.π 7.6C π D.2π 6.执行如图所示的程序框图,则输出的T=3.2A 12.7B 5.3C 8.5D 7.已知圆222:(1)(1)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M,过点M 且斜率为2的直线1与圆C 的另一个交点为N,若MN 的中点P 恰好落在y 轴上,则|MN|=5.2A 5.2B 5.4C 5.4D 8.若直线y=x 与曲线y=lnx+ax 相切,则a=1.A e 1.B e - 1.1C e - 1.1D e- 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P,称△PAB 为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时,△PAB 具有以下特征:①P 点必在抛物线的准线上;②△PAB 为直角三角形,且PA PB ⊥③PF ⊥AB.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB,阿基米德三角形为△PAB,且点P 的纵坐标为4,则直线AB 的方程为A. x-2y-1=0B.2x+y-2=0C. x+2y-1=0D.2x- y-2=0 10.已知函数3()3,f x x x =+若对任意t ∈[-1,1]不等式2(2)()0f t m f t -+≥恒成立,则实数m 的取值范围是A. m≤1 1.2B m ≤- 1.4C m ≤- 1.8D m ≤- 11. 已知正四棱锥P-ABCD 的高为2,22,AB =过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111,A B C D 若底面ABCD 与截面1111A B C D 的顶点在同一球面上,则该球的表面积为A.20π 20.3B π C.4π4.3D π 12.如图,某公园内有一个半圆形湖面,O 为圆心,半径为1千米,现规划在△OCD 区域种荷花,在△OBD 区域修建水上项目.若∠AOC=∠COD,且使四边形OCDB 面积最大,171A - 331B - 171.C - 331D -二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13. 能说明命题“∀x ∈R 且x≠0,12x x+≥”是假命题的x 的值可以是___. (写出一个即可) 14.已知F 是双曲线C:2221(0)y x b b -=>的右焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点,若|2,|,3OP b POF π=∠=则C 的离心率为__.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案,被誉为“宇宙魔方”,九宫格源于河图洛书｡如图是由9个单位正方形(边长为1个单位的正方形)组成的九宫格,一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点,共有36C 种不同的路线,则在这些路线中,该质点经过p 点的概率为___.16. 定义域为R 的偶函数f(x)满足f(1+x)+ f(1-x)=0, 当x ∈[0,1)时,()sin ,2xf x π=给出下列四个结论:①|f(x)|<1;②若12()()0,f x f x +=则120x x +=③函数f(x)在(0,4)内有且仅有3个零点;④若123,x x x <<且123()()(),f x f x f x ==则31x x -的最小值为4.其中,正确结论的序号是____.注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求｡全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分｡三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22､23 题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡17. (12分)已知三棱柱111,ABC A B C -底面ABC 为等边三角形,侧棱1AA ⊥平面ABC,D 为1CC 中点,112,AA AB AB =和1A B 交于点O.(1)证明:OD//平面ABC ;(2)求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值.18. (12分)2020年1月,教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发,自2020年起,在部分高校开展基础学科招生改革试点(也称“强基计划”) .强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域,选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生｡新材料产业是重要的战略性新兴产业,下图是我国2011- 2019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图｡其中柱状图表示新材料产业市场规模(单位:万亿元),折线图表示新材料产业市场规模年增长率(%).(1)求从2012年至2019年,每年新材料产业市场规模年增长量的平均数(精确到0.1);(2)从2015年至2019年中随机挑选两年,求两年中至少有一-年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率;(3)由图判断,从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. (结论不要求证明)19. (12分)△ABC 的角A, B, C 的对边分别为a, b, c,已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+.(1)求A;(2)从三个条件:3a =①3b =②③△ABC 的面积为3中任选一个作为已知条件,求△ABC 周长的取值范围｡ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡20. (12分)已知函数2()(2)ln (0)f x ax a x a x=-+->. (1)讨论f(x)的单调性;(2) 设()()gx f x lna =-, 若g(x)存在两个极值点12,,x x 求12()()g x g x +的最小值｡21. (12 分)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M, N,有一根旋杆将两个滑标连成一体, |MN|=4, D 为旋杆上的一点,且在M,N 两点之间,且|ND|=3|MD|,当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动,滑标N 在滑槽GH 内随之运动时,将笔尖放置于D 处可画出椭圆,记该椭圆为C.如图2所示,设EF 与GH 交于点O,以EF 所在的直线为x 轴,以GH 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C 的方程;(2)设12,A A 是椭圆C 的左､右顶点,点P 为直线x=6上的动点,直线12,A P A P 分别交椭圆于Q,R 两点,求四边形12AQA R 面积的最大值.(二)选考题:共10分｡请考生在第22､23题中任选一题作答｡并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑｡如果多做,则按所做的第一题计分｡22. 【选修4- -4:坐标系与参数方程】 (10分) 在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1,22322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 的极坐标方程; (2)设动点M 的极坐标为(ρ,θ),射线OM 与直线l 相交于点A,且满足|OA|·|OM|=4,求点M 轨迹的极坐标方程.23. [选修4- -5: 不等式选讲] (10 分)已知f(x)=2|x+1|+|x-1|.(1)解不等式f(x)≤4;(2)设f(x) 的最小值为m,实数a,b, c 满足222,a b c m ++=证明:||a b c ++≤。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题
本题主要考查了根据导数求解极值点的问题，需要根据极值点满足的关系分析得导函数零点的个数，再求最值求解参数的范围，属于中档题.
12．A
【解析】
【分析】
根据题意，先得 为等腰直角三角形；①取 中点为 ，连接 ，得到 ，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到 ，由题意得到 在 上的投影为 ，进而可求出向量数量积；③以 点为坐标原点，分别以 、 所在直线为 轴、 轴，建立平面直角坐标系，由题意，设 ， 且 ，不妨令 ，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结果；④同③建立平面直角坐标系，设 ，根据题意，得到 ，再设 ，由题意，得到 ， ，用 表示出 ，即可求出结果；
A．平面 平面 B． 平面
C． D．
10．已知 为抛物线 的焦点，点 为抛物线上一点，以线段 为直径的圆与 轴相切于点 ，且满足 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
11．已知函数 ， 是 的唯一极小值点，则实数 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
12．在 中， ， ，有下述四个结论：
①若 为 的重心，则
（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在 内的个数 的数学期望；
（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第 格到第 格， ），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第 格到第 格， ），行进至第3l格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第 格的概率为 ， ．
云南省昆明一中2020届高中新课标高三第三次双基检测 数学(文)
2020一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADBACDCBCABA1. 解析：因为{}1,0,5U B =−ð，所以{}1,0,3,5U A B =−ð. 选A.2. 解析：因为3111=i 1i 22z =−−，所以复平面内对应的点11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭位于第四象限. 选D. 3. 解析：由已知得(2,2)a b x −=−，所以4(2)0x −−=，解得2x =−，选B.4. 解析：从36名学生中抽取9名，抽样间隔为4，所以9名学生的编号分别为33，29，25，21，17，13，9，5，1，选A ．5. 解析：因为0c d <<，所以110c d>>，由不等式的性质可知：选C. 6. 解析：依题意，15 1.618s a +=≈，所以 1.618611.604PH s a =≈=，选D. 7. 解析：o o o o o 2cos 213cos(18033)cos33sin 571m =+=−=−=−−，选C ．8. 解析：设()f x t =，令()0f t =，则1t =或1t =−.当0x ≥时，由()1f x =，得2x =，由()1f x =−，得0x =；当0x <时，由()1f x =，即111x +=，无解；由()1f x =−，即111x+=−，得12x =−，所以有三个零点，选B.9. 解析：输入0,1,1a b i ===；第1次循环：1,1,1,2c a b i ====；第2次循环：2,1,2,3c a b i ====；第3次循环：3,2,3,4c a b i ====； 第4次循环：5,3,5,5c a b i ====；第5次循环：8,5,8,6c a b i ====； 第6次循环：13,8,13,7c a b i ====；…因为输出13b =，所以7i =时就要输出，结合选项，选C .10. 解析：设椭圆C ：2214x y +=的左焦点为1F ，则112OP OF F F ==，所以1PF PF ⊥，所以△PFO 的面积12111tan 2242PF FS S b π===，选A . 11. 解析：由题意可知，平面PAB ⊥平面ABC ,2233()24R R =−+,即=1R ，S=4π，选B .12. 解析：因为(0)f =-()2f π，所以12=sin()26ππω−，即=+2266k πππωπ−或5=+2266k πππωπ−， 即2=+43k ω或=2+4k ω，（k ∈Z ）,又因为在（02π，）上有且仅有三个零点，2πω2π<<4πω,所以48ω<<,所以ω为143或6，选A . 二、填空题13. 解析：则()4ln ex xf x '=，由导数的几何意义知函数()f x 在点()e,e 处的切线斜率()e 4k f '==， 则函数()f x 在点()e,e 处的切线方程为()e 4e y x −=−即43e y x =−. 14. 解析：因为7311(3)()2473S S a d a d d −=+−+==，所以2d =，5149a a d =+=.故5a =9. 15. 解析：因为()sin()cos()2sin()4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++的最小正周期为π，所以2ω=，又因为()()0f x f x −−=，所以()f x 为偶函数，得：=+4k πϕπ（k ∈Z ）而||2πϕ<，所以=4πϕ，所以()2sin(2)2cos22f x x x π=+=，所以2()62f π=.16. 解析：由图和对称性可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e =三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A 、B 、C ，不挑同桌有2人，记为d 、e ；从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ABd ABe ACd ACe Ade BCd BCe Bde Cde ，，，，，，，，，共10种，这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为ABd ABe ACd ACe BCd BCe ，，，，，，共6种，故所求的概率为63105P ==；………6分 （2）根据以上22⨯列联表，计算观测值22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．………12分 18. 解析：（1）因为123n n n a a +=+⋅，所以123n n n a a +−=⋅从而12123a a −=⋅，23223a a −=⋅，…，1123(2)n n n a a n −−−=⋅≥ 累加可得112113(13)23232323313n n n n a a −−−−=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⨯=−−，所以3n n a =A 1因为13a =适合n a ，所以3()n n a n =∈*N ………6分（2）1133log log 3nn n b a n ===−，11111(1)1n n b b n n n n +==−++ n T =1111111111()()()11(1)122311n n b b n n n n n +==−+−+⋅⋅⋅+−=−<+++ ………12分19. 解析：（1）证明：取1C F 的中点G ，连接EG ,因为E 为棱11A D 中点，所以EG ∥11D C ， 又因为11D C ∥DC ，所以EG ∥DC ；因为11111122A B B C C D ==，所以11EG D C DC ==， 故四边形EDCG 为平行四边形， 所以DE ∥CG ,因为DE ⊄平面1CC F ，CG ⊂平面1CC F ，所以DE ∥平面1CC F . ………5分 （2）解：等腰梯形1111A B C D 中，因为111111222A B B C C D m ===，所以1160FB C ∠=； 因为直四棱柱1111ABCD A B C D −中，1C C ⊥平面11A C ， 所以平面11A C ⊥平面1BC ，取11B C 的中点H ，连接FH ，则FH ⊥平面1BC ，且FH =， 所以1131132BB C C m V S FH =⋅⋅=四边形，32194BCD m V S AA =⋅=梯形A ，所以1229V V =. ………12分20. 解：（1）由题意可知，动圆圆心P 到点102（，）的距离与到直线12x =−的距离相等，所以点P 的轨迹是以102（，）为焦点，直线12x =−为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为22y x =． ………5分 （2）易知()22M ，，设点11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB 的方程为：x my b =+， 联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b −−=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=−⎩，所以21221222x x m b x x b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ 因为12121222=122y y k k x x −−⋅=−−，即1212121222y y y y x x x x −+=−+（）（），所以222440b b m m −−+=，所以22221b m −−（）=（），所以=2b m 或=2+2b m − 当22b m =−+时，直线AB 的方程：22x my m =−+过定点()22，与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 的方程：+2x my m =过定点()02−，，所以直线AB 过定点()02−，．………12分 21. 解：（1）()()e sin x g x f x x '==+，则()e cos x g x x '=+，因为cos y x =与e x y =在(,0)π−均为增函数，故()g x '在(,0)π−为增函数，又()e 10g ππ−'−=−<，且()020g '=>，则()()00g g π''−<，结合零点存在性定理知：()g x '在区间(,0)π−存在唯一零点； ………6分（2）构造函数()e xF x ax =−，R x ∈，由题意知()0F x ≥，①当0a <时，11e 10a F a ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，与题意矛盾，舍去；②当0a =时，()e 0xF x =>，符合题意；③当0a >时，()e xF x a '=−，()F x '为增函数，当(),ln x a ∈−∞时()0F x '<，即()F x 在(),ln a −∞单调递减， 当()ln ,x a ∈+∞时()0F x '>，即()F x 在()ln ,a +∞单调递增，则()()()ln min ln e ln 1ln aF x F a a a a a ==−=−，要使()0F x ≥对任意R x ∈恒成立，即需使()min 0F x ≥，即()1ln 0a a −≥，解得e a ≤； 综上所述，a 的取值范围为[0,e]. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
【数学】云南省昆明一中2020届高中新课标高三第三次双基检测 数学(理)(扫描版)
2
2
是以（1 ，0）为焦点，直线 x = − 1 为准线的抛物线，所以曲线 C 的方程为 y2 = 2x ．………5 分
2
2
（2）易知 M (2，2) ，设点 A(x1，y1) ， B(x2，y2 ) ，直线 AB 的方程为： x = my + b ，
联立
x = my +
y
2
=
2x
b
，得
y2
−
2my
X1
2
3
P p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p1 ) (1 − p2 )
所以 E ( X ) = 1 p1 + 2 (1 − p1 ) p2 + 3 (1 − p1 ) (1 − p2 ) = p1 p2 − 2 p1 − p2 + 3 .
因为 E ( X ) = p1 p2 − 2 p1 − p2 + 3 = (2 − p2 ) (1 − p1 ) + 1 ，且1 p1 p2 p3 ，
……6 分
（2）由（1）可知
g
(
x)
在区间
(−
,
0)
存在唯一极小值点
x0
，所以
g
(
x0
)
g
(−
2
)
=
−
e2
−1
0
,
又 g(0) = 1 0 ， g(− ) = e− 0 ，结合零点存在性定理知：存在唯一 x1 (− , x0 ) 使得 g ( x1 ) = 0 ，
存在唯一 x2 (x0, 0) 使得 g ( x2 ) = 0 ，故当 x (− , x1)∪(x2, 0) 时， g ( x) 0 ，当 x ( x1, x2 ) 时， g ( x) 0 ，
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1：最简式相同的有机物
1.CH：C2H2和C6H6
2.CH2：烯烃和环烷烃
3.CH2O：甲醛、乙酸、甲酸甲酯
H2nO：饱和一元醛（或饱和一元酮）与二倍于其碳原子数的饱和一元羧酸或酯；
5.炔烃（或二烯烃）与三倍于其碳原子数的苯及苯的同系物；举一例：丙炔（C3H4）与丙苯（C9H12）
2：有机物之间的类别异构关系
1. 分子组成符合CnH2n(n≥3)的类别异构体：烯烃和环烷烃；
2. 分子组成符合CnH2n－2(n≥4)的类别异构体：炔烃和二烯烃；
3. 分子组成符合CnH2n＋2O(n≥3)的类别异构体：饱和一元醇和醚；
4. 分子组成符合CnH2nO(n≥3)的类别异构体：饱和一元醛和酮；
5. 分子组成符合CnH2nO2(n≥2)的类别异构体：饱和一元羧酸和酯；
6.分子组成符合CnH2n－6O(n≥7)的类别异构体：苯酚的同系物、芳香醇及芳香。
3：能发生取代反应的物质及反应条件
1.烷烃与卤素单质：卤素蒸汽、光照；
2.苯及苯的同系物:与①卤素单质：Fe作催化剂；②浓硝酸：50～60℃水浴；浓硫酸作催化剂③浓硫酸：70～80℃水浴；共热
3.卤代烃水解：NaOH的水溶液；
4.醇与氢卤酸的反应：新制的氢卤酸、浓硫酸共热
5.酯化反应:浓硫酸共热
6.酯类的水解：无机酸或碱催化；
7.酚与浓溴水或浓硝酸
8.油酯皂化反应
9.（乙醇与浓硫酸在140℃时的脱水反应，事实上也是取代反应。
）
4：能发生加成反应的物质
烯烃的加成：卤素、H2、卤化氢、水
炔烃的加成：卤素、H2、卤化氢、水
二烯烃的加成：卤素、H2、卤化氢、水
苯及苯的同系物的加成：H2、Cl2
苯乙烯的加成：H2、卤化氢、水、卤素单质
不饱和烃的衍生物的加成：（包括卤代烯烃、卤代炔烃、烯醇、烯醛、烯酸、烯酸酯、烯酸盐等）
含醛基的化合物的加成：H2、HCN等酮类物质的加成：H2
油酸、油酸盐、油酸某酯、油（不饱和高级脂肪酸甘油酯）的加成。
5：能发生加聚反应的物质
烯烃、二烯烃、乙炔、苯乙烯、烯烃和二烯烃的衍生物。
6：能发生缩聚反应的物质
苯酚和甲醛：浓盐酸作催化剂、水浴加热
二元醇和二元羧酸等
7：能发生银镜反应的物质
凡是分子中有醛基（－CHO）的物质均能发生银镜反应。
1.所有的醛（R－CHO）；
2.甲酸、甲酸盐、甲酸某酯；
注：能和新制Cu(OH)2反应的--除以上物质外，还有酸性较强的酸（如甲酸、乙酸、丙酸、盐酸、硫酸、氢氟酸等），发生中和反应。
8：能跟钠反应放出H2的物质
（一）有机
1.醇（＋K、Mg、Al）；
2.有机羧酸；
3.酚（苯酚及同系物）；
4.苯磺酸
（二）无机
1.水及水溶液；
2.无机酸（弱氧化性酸）；
3.NaHSO4
注:其中酚、羧酸能与NaOH反应;也能与Na2CO3反应;羧酸能与NaHCO3反应;醇钠、酚钠、羧酸钠水溶液都因水解呈碱性。
9：能与溴水反应而使溴水褪色或变色的物质
（一）有机
1.不饱和烃（烯烃、炔烃、二烯烃、苯乙烯等）
2.不饱和烃的衍生物（烯醇、烯醛、油酸、油酸盐、油酸某酯、油等）；
3.石油产品（裂化气、裂解气、裂化汽油等）；
4.苯酚及其同系物（因为能与溴水取代而生成三溴酚类沉淀）；
5.含醛基的化合物；
6.天然橡胶（聚异戊二烯）；
7.能萃取溴而使溴水褪色的物质，上层变无色的（ρ>1）：卤代烃（CCl4、氯仿、溴苯等）、CS2；下层变无色的（ρ<1）：直馏汽油、煤焦油、苯及苯的同系物、液态环烷烃、低级酯、液态饱和烃（如已烷等）等
（二）无机
1.－2价硫（H2S及硫化物）；
2.＋4价硫（SO2、H2SO3及亚硫酸盐）；
3.＋2价铁：
6FeSO4＋3Br2＝2Fe2(SO4)3＋2FeBr3；
6FeCl2＋3Br2＝4FeCl3＋2FeBr3；
2FeI2＋3Br2＝2FeBr3＋2I2(以上变色)
4．Zn、Mg等单质如Mg＋Br2＝MgBr2(水溶液中)；(此外，其中亦有Mg与H+、Mg与HBrO 的反应)；
5．－1价的碘（氢碘酸及碘化物）变色；
6．NaOH等强碱：Br2＋2OH￣==Br￣＋BrO￣＋H2O；
7．Na2CO3等盐：
Br2＋H2O==HBr＋HbrO；
2HBr＋Na2CO3==2NaBr＋CO2↑＋H2O；
HBrO＋Na2CO3==NaBrO＋NaHCO3；
8．AgNO3
10：能使酸性高锰酸钾溶液褪色的物质
（一）有机
1.不饱和烃（烯烃、炔烃、二烯烃、苯乙烯等）；
2.苯的同系物；
3.不饱和烃的衍生物（烯醇、烯醛、烯酸、卤代烃、油酸、油酸盐、油酸酯等）；
4.含醛基的有机物（醛、甲酸、甲酸盐、甲酸某酯等）；
5.酚类；
6.石油产品（裂解气、裂化气、裂化汽油等）；
7.煤产品（煤焦油）；
8.天然橡胶（聚异戊二烯）。
（二）无机
1.氢卤酸及卤化物（氢溴酸、氢碘酸、浓盐酸、溴化物、碘化物）；
2.亚铁盐及氢氧化亚铁；
3.－2价硫的化合物（H2S、氢硫酸、硫化物）；
4.＋4价硫的化合物（SO2、H2SO3及亚硫酸盐）；
5.双氧水（H2O2，其中氧为－1价）。