高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
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高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
12/31/2020
14
作业布置：
132页习题4.1 1,2,3
l B
其圆心C(0,1)半, 径长为 5
C.
d | 3016| 5 5 O
A x
32 12
10
所以,直线l与圆相交，有两个公共点.
12/31/2020
10
由x2 3x 2 0,得 x1 2 , x2 1
y
l B
把x1 2代入方程,得y1 0 把x2 1代入方程,得y2 3
0
X
3x-4y-6=0 12
• 3.求直线 y 2 x 被圆x2 y2 2x2y 2 0 截得弦长
小结：判定直线 与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__的 个数来判断；
（2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__d____ ______与__半__径__r__的关系来判断。
x2 3x 2 0
l B
C. A
O
x
(3)2 41 2 1 0
直线l与圆相交,有两个公共点
12/31/2020
9
直线与圆的位置关系
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关
系；如果相交，求它们的交点坐标。
解法二：
y
x2 ( y 1)2 ( 5)2
●O
●O
●O
相交
直线和圆有 两个公共点
相切
直线和圆有 一个公共点
相离
直线和圆没 有公共点
思考:我们怎样判别直线与圆的关系?切
12/31/2020
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作业布置：
132页习题4.1 1,2,3
l B
其圆心C(0,1)半, 径长为 5
C.
d | 3016| 5 5 O
A x
32 12
10
所以,直线l与圆相交，有两个公共点.
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10
由x2 3x 2 0,得 x1 2 , x2 1
y
l B
把x1 2代入方程,得y1 0 把x2 1代入方程,得y2 3
0
X
3x-4y-6=0 12
• 3.求直线 y 2 x 被圆x2 y2 2x2y 2 0 截得弦长
小结：判定直线 与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__的 个数来判断；
（2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__d____ ______与__半__径__r__的关系来判断。
x2 3x 2 0
l B
C. A
O
x
(3)2 41 2 1 0
直线l与圆相交,有两个公共点
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直线与圆的位置关系
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关
系；如果相交，求它们的交点坐标。
解法二：
y
x2 ( y 1)2 ( 5)2
●O
●O
●O
相交
直线和圆有 两个公共点
相切
直线和圆有 一个公共点
相离
直线和圆没 有公共点
思考:我们怎样判别直线与圆的关系?切
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
人A版数学必修2课件： 第4章 4.2.1 直线与圆的位置关系
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[再练一题] 1．已知圆 C 的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l 的方程为 y＝x＋m，求： 当 m 为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切； (3)直线与圆有两个公共点．
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【解】 (1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线 y＝x＋m 上，故有 m＝ 0.
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直线与圆的位置关系的判断方法 1．几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关 系判断． 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个 数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置 关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过 定点的直线系．
(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 所以 d＝|1－121＋＋1m2 |＝|m2|＝2，m＝±2 2，即 m＝±2 2时，直线 l 与圆相切． (3)直线与圆有两公共点，d＜r，即|m2|＜2，所以－2 2＜m＜2 2时有两个公 共点．
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直线与圆相切的有关问题
过点 A(4，－3)作圆 C：(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线的方
程. 【精彩点拨】 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而
求出切线方程． 【自主解答】 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点 A 在圆外．
(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 k，
则切线方程为 y＋3＝k(x－4)．
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位置关系
相交
公共点个数
_2__个
几何法：设圆心到直线的距离 d＝
人教版高中数学必修2(A版) 4.2.1直线与圆的位置关系 PPT课件
从而:
2
o
x
P
4 5 d 5 5, 2
2
2
C B
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解: ……
例2:已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5 , y 求直线l的方程.
4 5 d 5 2 5,
2 2
y+3=k(x+3) 设直线l的方程为：
△<0 △=0 △>0
n=0 n=1 n=2
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
回到目录
例1:已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交, 求它们交点的坐标. ① 解法一: 解方程组: 3x+y-6=0
x2+y2-2y-4=0 ②
消去y得: x2-3x+2=0 解得: Байду номын сангаас1=1, x2=2
§4.2.1直线与圆的位置关系
§4.2.1直线与圆的位置关系
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
1.请回顾直线与圆有几种位置关系？ （1）.直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点 2. 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ 3.上一章我们知道可以利用两条直线的方程来判断位置关 系，那么如何能否利用直线与圆的方程判断它们之间的位 置关系呢？
如果没让求交点坐标,还 需要解这个方程吗?
不用!只需用判别式△来判断此 ∴方程组的解为: x1=1 x2=2 一元二次方程根的情况 ,△>0 y1=3 y2=0
2
o
x
P
4 5 d 5 5, 2
2
2
C B
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解: ……
例2:已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5 , y 求直线l的方程.
4 5 d 5 2 5,
2 2
y+3=k(x+3) 设直线l的方程为：
△<0 △=0 △>0
n=0 n=1 n=2
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
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例1:已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交, 求它们交点的坐标. ① 解法一: 解方程组: 3x+y-6=0
x2+y2-2y-4=0 ②
消去y得: x2-3x+2=0 解得: Байду номын сангаас1=1, x2=2
§4.2.1直线与圆的位置关系
§4.2.1直线与圆的位置关系
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
1.请回顾直线与圆有几种位置关系？ （1）.直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点 2. 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ 3.上一章我们知道可以利用两条直线的方程来判断位置关 系，那么如何能否利用直线与圆的方程判断它们之间的位 置关系呢？
如果没让求交点坐标,还 需要解这个方程吗?
不用!只需用判别式△来判断此 ∴方程组的解为: x1=1 x2=2 一元二次方程根的情况 ,△>0 y1=3 y2=0
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2＝2＋2＝4，r＝2， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了 吗
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
|k＋1| 即 k2＋1≤1， 解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则 用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的 斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
人教A版高中数学必修二课件第四章4.2.1直线与圆的位置关系(共36张PPT)
3.弦长问题 当直线和圆相交时,以公共点为端点的线段的长即为弦长,且 半弦长、圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.
类型一直线与圆的位置关系 【典型例题】 1.(2013·临沂高一检测)如果a2+b2=c21,那么直线ax+by+c
2
=0与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.相交或相切 2.(2013·安徽高考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共 点,则实数a取值范围是( ) A.[-3,-1]B.[-1,3] C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
30°，得|PO|＝2，
由可x得2＋y2＝4，
x＋y＝2 2
答案:() 2，2
x＝ 2， y＝ 2.
【互动探究】题2中将圆的方程改为x2＋y2－4x＋2y＋1=0，
其他条件不变，则切线方程又是什么？
【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx，则有 2 2k 1 ，
【易错误区】求直线的切线方程时，忽略切线斜率不存在的
情况
【典例】过点P(6,-8)与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方
程为
.
【解析】将圆的方程配方,得(x-1)2+(y-2)2=25,所以圆心
C(1,2),半径r=5.
易知点P(6,-8)在圆C外部,设切线方程为y+8=k(x-6),即kx-y-
2
圆的半径r=2，所以弦长为l= 2 r2 d2 2 4 2 2 2；
方法二：代数法：联立直线和圆的方程
y x
x，
高中数学人教a版必修二课件：4.2.1《直线与圆的位置关系》
为 4 5 ，求直线l的方程。
解：因为直线l过点 M (3,3) ，所以可设所求直线l 的方程为：
y 3 k(x 3) 即：kx y 3k 3 0
y
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：
d | 2 3k 3 | k2 1
因此： | 2 3k 3 | 5 k2 1
通过例1掌握直线与圆位置关系判定的两种方法并加以对比， 体会几何法的简便性，通过例2进一步体会利用直线与圆的几何 性质解答问题的重要性，通过例3例4学会建立直角坐标系，利用 坐标法解答实际问题和平面几何问题。运用方程思想、转化思想 、数形结合思想，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结 合和几何法和代数法在直线与圆位置关系中的应用。
动画演示轮船是否遇台风
为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建
立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．
这样，受台风影响的圆区域所对应
的圆心为O的圆的方程为:
y
40 港口
x2 y2 9
轮船航线所在直4x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．
个斜率k值，说明另一条斜率不存在。
直线与圆的方程的应用
引例解答：
受台风影响的圆O的方程为: x2 y2 9
轮船航线所在直线l的方程为：4x 7 y 28 0
圆与直线l 有无公共点？
圆心O到直线l 的距离为 d 28 28 65 3
42 72
65
所以轮船不会受台风的影响。
例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m
都满足圆的方程.于是得到方程组 02+(4-b)2=r2,
102+(0-b)2=r2,
解：因为直线l过点 M (3,3) ，所以可设所求直线l 的方程为：
y 3 k(x 3) 即：kx y 3k 3 0
y
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：
d | 2 3k 3 | k2 1
因此： | 2 3k 3 | 5 k2 1
通过例1掌握直线与圆位置关系判定的两种方法并加以对比， 体会几何法的简便性，通过例2进一步体会利用直线与圆的几何 性质解答问题的重要性，通过例3例4学会建立直角坐标系，利用 坐标法解答实际问题和平面几何问题。运用方程思想、转化思想 、数形结合思想，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结 合和几何法和代数法在直线与圆位置关系中的应用。
动画演示轮船是否遇台风
为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建
立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．
这样，受台风影响的圆区域所对应
的圆心为O的圆的方程为:
y
40 港口
x2 y2 9
轮船航线所在直4x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．
个斜率k值，说明另一条斜率不存在。
直线与圆的方程的应用
引例解答：
受台风影响的圆O的方程为: x2 y2 9
轮船航线所在直线l的方程为：4x 7 y 28 0
圆与直线l 有无公共点？
圆心O到直线l 的距离为 d 28 28 65 3
42 72
65
所以轮船不会受台风的影响。
例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m
都满足圆的方程.于是得到方程组 02+(4-b)2=r2,
102+(0-b)2=r2,
最新高中数学人教A版必修二4.2.1《直线与圆的位置关系》ppt课件
. 圆的一般方程； 3. 点 P0 (x0，y0)与圆 (x - a)2 + (y - b)2 = r2
的位置关系判断。
问题探究
探究1：（1）直线l：y x 6，圆C：x2 y2 2 y 4 0，试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点， 请求其坐标。 （2）直线l： 3x 4 y 2 0，圆C：x2 y2 2x 0，试 判断直线l与圆C的位置关系，若有交点，请求其坐标。 （3）直线l： 3x 4 y 6 0，圆C：x2 y2 2 y 4 0， 试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点，请求其坐 标。
典例精析
已知过点M (3， 3)的直线l倍圆x2 y2 4 y 21 0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
[家庭作业]
《考向标》P89－ P91
探究2：已知直线l：Ax By C 0，圆C： ( x a)2 ( y b)2 r 2，试判断直线l与圆C的位 置关系。
学法小结
直线l：Ax By C 0，圆C：( x a)2 ( y b)2 r 2的位置关系。
自我检测
已知直线4 x 3 y 35 0与圆心在原点 的 圆C相 切 ， 求 圆C的 方 程 。
的位置关系判断。
问题探究
探究1：（1）直线l：y x 6，圆C：x2 y2 2 y 4 0，试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点， 请求其坐标。 （2）直线l： 3x 4 y 2 0，圆C：x2 y2 2x 0，试 判断直线l与圆C的位置关系，若有交点，请求其坐标。 （3）直线l： 3x 4 y 6 0，圆C：x2 y2 2 y 4 0， 试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点，请求其坐 标。
典例精析
已知过点M (3， 3)的直线l倍圆x2 y2 4 y 21 0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
[家庭作业]
《考向标》P89－ P91
探究2：已知直线l：Ax By C 0，圆C： ( x a)2 ( y b)2 r 2，试判断直线l与圆C的位 置关系。
学法小结
直线l：Ax By C 0，圆C：( x a)2 ( y b)2 r 2的位置关系。
自我检测
已知直线4 x 3 y 35 0与圆心在原点 的 圆C相 切 ， 求 圆C的 方 程 。
数学(人教A版)必修二课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
【提示】 能．
直线与圆的位置关系的判定方法 (1) 代数法：直线与圆的方程联立消去 y( 或 x) 得到关于 x(或 y)的一元二次方程，此方程的判别式为 Δ，则 直线与圆相交⇔Δ >0 ； 直线与圆相切⇔Δ ＝0 ； 直线与圆相离⇔Δ <0 . (2)几何法：设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则 直线与圆相交⇔ d<r ； 直线与圆相切⇔ d＝r； 直线与圆相离⇔ d>r .
直线与圆位置关系判断的三种方法： (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小 关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数 来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位 置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
(2012· 陕西高考)已知圆 C： x2＋y2－4x＝0， l 是过点 P(3,0) 的直线，则( ) B．l 与 C 相切 D．以上三个选项均有可能
直线与圆位置关系的判断
如图 4－2－1 所示，已知直线 l：y＝kx＋5 与圆 C：(x－1)2＋y2＝1. (1)当 k 为何值时，直线 l 与圆 C 相交？ (2)当 k 为何值时，直线 l 与圆 C 相切？ (3)当 k 为何值时，直线 l 与圆 C 相离？ 图 4－2－1
【思路探究】
消元 思 路 一 ： 联立l和C的方程 ――→
A．l 与 C 相交 C．l 与 C 相离
【解析】 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点 P(3,0)在圆内． ∴过点 P 的直线 l 定与圆 C 相交．
【答案】 A
圆的切线问题
(2013· 济宁高一检测)若直线 l 过点 P(2,3)，且与 圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，求直线 l 的方程．
直线与圆的位置关系的判定方法 (1) 代数法：直线与圆的方程联立消去 y( 或 x) 得到关于 x(或 y)的一元二次方程，此方程的判别式为 Δ，则 直线与圆相交⇔Δ >0 ； 直线与圆相切⇔Δ ＝0 ； 直线与圆相离⇔Δ <0 . (2)几何法：设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则 直线与圆相交⇔ d<r ； 直线与圆相切⇔ d＝r； 直线与圆相离⇔ d>r .
直线与圆位置关系判断的三种方法： (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小 关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数 来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位 置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
(2012· 陕西高考)已知圆 C： x2＋y2－4x＝0， l 是过点 P(3,0) 的直线，则( ) B．l 与 C 相切 D．以上三个选项均有可能
直线与圆位置关系的判断
如图 4－2－1 所示，已知直线 l：y＝kx＋5 与圆 C：(x－1)2＋y2＝1. (1)当 k 为何值时，直线 l 与圆 C 相交？ (2)当 k 为何值时，直线 l 与圆 C 相切？ (3)当 k 为何值时，直线 l 与圆 C 相离？ 图 4－2－1
【思路探究】
消元 思 路 一 ： 联立l和C的方程 ――→
A．l 与 C 相交 C．l 与 C 相离
【解析】 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点 P(3,0)在圆内． ∴过点 P 的直线 l 定与圆 C 相交．
【答案】 A
圆的切线问题
(2013· 济宁高一检测)若直线 l 过点 P(2,3)，且与 圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，求直线 l 的方程．
人教A版高中数学必修二：4.2.1直线与圆的位置关系4课件
直线l4：y=x-4 请判断各直线与圆的位置关系。
并说明理由
解方程组
x y 4 y x 2 2
2 2
y
L3
x 2 ( x 2 2 )2 4 x2 2 2x 4 0
o
H
x
x 2 y 2
直线与圆的位置关系
(1) 相交 (2) 相切
① 0
Ax By C 0 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
方程组两解
直线与圆相交
(3) 相离
② 0 ③ 0
方程组一解
直线与圆相切；
方程组无解
直线与圆相离；
图形
另一种方式
坐标法
坐标法
4、已知点 P 在直线 L：3x-4y+11=0 上运动，PA,PB 是 圆 C： ( x 1) 2 ( y 1) 2 1的切线，求四边形 PACB 面积的最小值。
直线与圆的位置关系
位置 关系 几何直观 图形
交点
几何性质 图形 数量关 系
代数（坐标）运算 方程组 ---方程 数量关系
PAmin PBmin PC 2 r 2 2 3
1.直线 4 x 3 y 40 0 与圆 x 2 y 2 100的位置关系是_______ 2.直线 l : 3x 4 y 5 0 被圆 x2 y 2 5 所截得的弦长为 3、求经过点 P6,4 ，且被定圆 x 2 y 2 20 截得的弦长 为 6 2 的直线的方程。 。
代数运算
例 1 已知圆 C: x 2 ( y 1) 2 9 , 直线L1：y x 1 直线 L2:3x+4y+11=0， 直线L3：y x 6 ；
并说明理由
解方程组
x y 4 y x 2 2
2 2
y
L3
x 2 ( x 2 2 )2 4 x2 2 2x 4 0
o
H
x
x 2 y 2
直线与圆的位置关系
(1) 相交 (2) 相切
① 0
Ax By C 0 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
方程组两解
直线与圆相交
(3) 相离
② 0 ③ 0
方程组一解
直线与圆相切；
方程组无解
直线与圆相离；
图形
另一种方式
坐标法
坐标法
4、已知点 P 在直线 L：3x-4y+11=0 上运动，PA,PB 是 圆 C： ( x 1) 2 ( y 1) 2 1的切线，求四边形 PACB 面积的最小值。
直线与圆的位置关系
位置 关系 几何直观 图形
交点
几何性质 图形 数量关 系
代数（坐标）运算 方程组 ---方程 数量关系
PAmin PBmin PC 2 r 2 2 3
1.直线 4 x 3 y 40 0 与圆 x 2 y 2 100的位置关系是_______ 2.直线 l : 3x 4 y 5 0 被圆 x2 y 2 5 所截得的弦长为 3、求经过点 P6,4 ，且被定圆 x 2 y 2 20 截得的弦长 为 6 2 的直线的方程。 。
代数运算
例 1 已知圆 C: x 2 ( y 1) 2 9 , 直线L1：y x 1 直线 L2:3x+4y+11=0， 直线L3：y x 6 ；
人教A版高中数学必修二4.2.1 直线与圆的位置关系 课件
圆的方程是 x2 y2 r 2，经过圆上一点M (x0 , y0 )
的切线的方程 x0x +y0 y=r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
练习、写出过圆O：x2＋y2＝10上一点M（2， ），
且与圆相切的直线 l 的方程．
3、圆的切线问题 (1)过一点求圆的切线方程，一定要先判断点是在圆上还是在圆 外，然后再选择适当的方法求解．可以利用圆心到直线的距离 等于半径求切线方程（几何法）．也可利用判别式的值等于0求 切线方程（代数法）．一般情况下，常利用几何法求解． (2)已知一点求圆的切线方程，若设出切线斜率，用点斜式写出 切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．
下不求交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直
角三角形，由勾股定理来解决弦长问题．
(2)解答本题时易出现漏掉x＋4＝0的错误结果，导致这
种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不
透，从而思维不严密，分类不完整.
（3）
弦长公式：设直线 l：y＝kx＋b，与圆 两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入 圆的方程，消元后利用韦达定理得弦长
相交
(2).圆x2 y2 8x 2 y 8 0, 直线4x 3 y 6 0;
相切
(3).圆( x 2)2 y2 1, 直线2x y 5 0.
相离
变式训练
1.设直线过点(0，a)，其斜率为1,且与圆x2+y2=2
相切，则a的值为( B )
A.±
B.±2
C.±2
D.±4
解：由已知可知直线方程为y=x+a,
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系 课件
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆 的位置 关系 课件
复习引入
1. 在初中我们知道直线与圆有三种位置 关系： (1) 相交，有两个公共点； (2) 相切，只有一个公共点； (3) 相离，没有公共点.
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆 的位置 关系 课件
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练习. 已知l： 直 3x线 y230， 人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系课件 圆C：x2y2 4， 求直线 l被圆C截得的弦.
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆 的位置 关系 课件
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆 的位置 关系 课件
的点的坐标.
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆 的位置 关系 课件
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆 的位置 关系 课件
练习 3.求圆心在直线2x－y＝3上，且与 两坐标轴相切的圆的方程. 4.若直线4x－3y＝a与圆x2＋y2＝100 (1)相交； (2)相切；(3)相离， 分别求实数a的取值范围.
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆 的位置 关系 课件
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例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切， 求r的值.
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例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被圆x2＋y2 ＋4y－21＝0所截得的弦长为 4 5 , 求直线l的 方程.
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心C到直线l的距离为
人教A版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系 课件
课堂小结
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置 关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切 线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察与思考
观察上面五条直线与圆的位置情况， 归纳一下共有几种不同的位置关系？
直线和圆的位置关系
r
d EC F
直线 l与⊙A
相交 d ＜r
两个公共点
z x y的最大值。
解：z x y y x z表示斜率为1，纵截距 为z,且与圆有交点的一系列平行直线。
问题转化为：过圆上一 动点P作斜率为 1的直线， 求此直线的纵截距的最 大值。
由图可知满足条件的直 线为圆的切线 (设切点为 T )。
下面求该切线的纵截距：
设切线l的纵截距为z0，则l的方程为：x
8.已知圆与直线相交（设直线不过圆心），圆半
径为r，圆心C到直线l的距离为d(d>0)，讨论圆上
到直线距离为a(a>0)的点的个数。
解：当0<a<r-d时，4个（每段弧上各两个）；
当a= r-d时，3个(其中1个是点B，
另两个点在优弧上)；
y
l
当r-d<a<r+d时，2个(都在
A
优弧上)；
高一数学人教A版必修二课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
1.圆心为(1,1)且与直线 x-y=4 相切的圆的方程为
.
答案:(x-1)2+(y-1)2=8
解析:点(1,1)到直线 x-y=4 的距离即为圆的半径,由点到直线的
距离公式可得
|1-1-4| 12 +12
=2
2,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.
2.求与直线 y=x+2 平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8 相切的直线的方
的一元二次方程无解.
提示:(1)× (2) (3)× (4)
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一、直线与圆位置关系的判断 “代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系是从不同的 方面、不同的思路来判断的.“代数法”侧重于“数”,更多倾向 于“坐标”与“方程”;而“几何法”则侧重于“形”,结合了图形的
【例 3】 已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截
得的弦长为 4 5,求直线 l 的方程.
思路分析:设出直线的斜率,利用圆的半径、弦心距、弦长之间
的关系求出斜率,再由点斜式写出直线的方程.
解:将圆的方程写成标准形式,得 x2+(y+2)2=25.
若直线 l 斜率不存在,则直线方程为 x=-3.圆心到该直线距离为
切线的方程.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.过圆上一点作圆的切线,可作几条?怎样求出切线方程? 提示:过圆上一点的切线只有一条,利用切点与圆心连线与
切线垂直可求出斜率,再利用点斜式可求出切线方程. 2.过圆外一点作圆的切线可作几条?若只求出一个k说明什
么问题? 提示:过圆外一点作圆的切线应有两条,若只求出一个k说明
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d <r
直线与圆相交 8
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
例1、如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系； 如果相交，求它们的交点坐标。
解法一：由直线l与圆的方程，得 y
3x y 6 0
x
2
y2
2x
4
0
消去y，得
(1) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
代数法 设 方 程 组(AxxaB)2y(Cy
0 b)2
r2
的 解 的 个 数 为nΒιβλιοθήκη △<0n=0
直线与圆相离
△=0
n=1
直线与圆相切
△>0
n=2
直线与圆相交
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6
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
r 3
0
X
3x-4y-6=0 12
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
• 3.求直线 y 2 x 被圆x2 y2 2x2y 2 0 截得弦长
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
由x2 3x 2 0,得 x1 2 , x2 1
y
l B
把x1 2代入方程,得y1 0
C.
把x2 1代入方程,得y2 3
O
所以,直线l与圆有两个公共点,它 们的坐标分别是A(2,0)，B(1,3).
2021/3/1
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
直线与圆的位置关系的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0
圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关
几何法 系判断： aA bB C d A2 B2
d >r
直线与圆相离
d =r
直线与圆相切
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高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
相切
直线和圆有 一个公共点
相离
直线和圆没 有公共点
思考:我们怎样判别直线与圆的关系?
位置关系
判别方法
Ø直线与圆相交 Ø直线与圆相切
2个交点 1个交点
Ø直线与圆相离
没有交点
问题：如何用直线和圆的方程判断它 们之间的位置关系？
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直线与圆的位置关系的判定方法： 高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
(
D， 2
E 2
)
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1
半径为 2
D2 E2 4F
2
4、点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r 点在圆内
d
（2）d=r 点在圆上
r
（3）d>r 点 在圆外
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3
三 探究
作一个圆，把尺子边缘看成一条直线.固定 圆，平移直尺，试说出直线和圆有几种位置关系?
●O
●O
●O
相交
直线和圆有 两个公共点
小结：判定直线 与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__的 个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__d____ ______与__半__径__r__的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
2021/3/1
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
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高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
作业布置： 132页习题4.1 1,2,3
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关
系；如果相交，求它们的交点坐标。
解法二：
y
x2 ( y 1)2 ( 5)2
l B
其圆心C(0,1)半, 径长为 5
C.
d | 3016| 5 5 O
A x
32 12
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所以,直线l与圆相交，有两个公共点.
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高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
直线和圆的位置关系
1
一.复习回顾
1.直线的一般式方程是Ax By C （ 0 A、B不同时为0）
2.圆的标准方程是 ( x a)2 ( y b)2 r 2
其中圆心坐标为 (a，b) 半径为 r
3.圆的一般方程为
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E 2 4F 0)
其中圆心坐标为
直线与圆的位置关系量化
• 如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什 么关系?
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
r ●O
d
┐ 相离
n你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
x2 3x 2 0
l B
C. A
O
x
(3)2 41 2 1 0
直线l与圆相交,有两个公共点
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高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
直线与圆的位置关系 高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C
A x
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练习 高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4
1、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系.
Y
2、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程. C(1、3)
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高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件_4