2020年陕西西安高三二模数学试卷(理科)
2020届陕西省西安市高考数学二模试卷(理科)
2020年陕西省西安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）．1．已知R 是实数集，集合{}2A x z x =∈<，{}210B x x =-≥，则()RA B ⋂=（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．{}1C ．{}1,0-D ．1,2⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭2．已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则m =（ ） A ．－1B ．1C ．2D ．－24．62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A ．60B ．－60C ．－192D ．1925．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A ．96B ．72C ．48D ．366．已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A ．22a b <B ．2211ab a b < C ．22a b ab <D ．b a a b< 7．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（ ）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．206π3+8．点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是（ ）ABC 1D 19．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移a （0a >）个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ） A ．3πB ．512π C ．23π D ．12π 10．已知曲线ln xy ae x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x -是定义在R 上的奇函数，则()()20182020f f +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算12．设2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）A ．7±B ．3±C ．2±D ．2±二、填空題13．在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______． 14．函数()22log 23y x x =+-的单调增区间是______．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC △的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______．16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC △为正三角形，AD AB ==O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______．三、解答题（解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题17．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点． （1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若1AA =2AB =，求二面角11E A D C --的正弦值．18．某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；（2）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分．19．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，22n n S a =-（N n *∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n nnb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 20．已知函数()22ln f x x a x ax =--（R a ∈）． （1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）记()()g x f x ax =+，若()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求a 的取值范围．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆O ：22x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值． （二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >． （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且24PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数()213f x x x =--+． （Ⅰ）解不等式()0f x >；（Ⅱ）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【分析】集合A 为解简单绝对值不等式，集合B 为解简单一次不等式．解：由题可知：{}1,0,1A =-，12B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭∴R 12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，即(){}R 1,0A B ⋂=-． 故选：C ．2．【分析】将3z z i i +⋅=+化为31iz i+=+，对其进行化简得到z ，利用共轭复数的性质得到 解：3z z i i +⋅=+可化为()()()()3133221112i i i iz i i i i +-+-====-++- ∴z 的共轭复数为2z i =+， 故选：C ．3．【分析】可求出()3,2a b m -=+，根据()a b b -⊥即可得出()0a b b -⋅=，进行数量积的坐标运算即可求出m ．解：()3,2a b m -=+；∵()a b b -⊥； ∴()()6220a b b m -⋅=-+=；解得1m =． 故选：B ．4．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得常数项的值．解：二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为：()()66322166C 22C r r r rrrr r T xx x---+=⋅⋅-⋅=-⋅，令6302r-=，求得2r =， 故常数项为：()2262C 60-⋅=，故选：A ．5．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 解：设样本中A 型号车为x 辆，则B 型号为()8x +辆，则283x x =+，解得16x =， 即A 型号车16辆， 则216234n=++，解得72n =． 故选：B ．6．【分析】根据条件取1a =-，1b =即可排除错误选项． 解：根据a ，b 为非零实数且0a b <<， 取1a =-，1b =，则可排除A ，C ，D ． 故选：B ．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个半球和一个三棱锥体组成的组合体． 所以2211π363318π9332V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+． 故选：C ．8．【分析】过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，由抛物线的定义可知，PN PF =，FA PA PF ≤+，所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线1x =-的距离之和最小，此时与到直线x ＝﹣2的距离和也最小．解：由题可知，焦点()1,0F ，准线为1x =-，过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，由抛物线的定义可知，PN PF =，FA PA PF ≤+，所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为|FA =所以点P 到点A 的距离与P 到直线2x =-1． 故选：D ．9．【分析】由题意利用诱导公式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得a 的最小值． 解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移a （0a >）个单位， 得到函数()sin 22cos 23g x x a x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象， ∴当实数a 取得最小值时，232a ππ-=，故实数a 取得最小值为512π， 故选：B ．10．【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得102ae ++=，可得a ，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值．解：ln xy ae x x =+的导数为ln 1xy ae x '=++，由在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+， 可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为()1,1，可得12b =+，即1b =-， 故选：D ．11．【分析】由已知结合奇函数与偶函数的性质可得()()110f x f x ++-=，然后代入可求． 解：因为()1f x -是定义在R 上的奇函数， 故()()11f x f x --=--，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 所以()()()111f x f x f x +=-+=--⎡⎤⎣⎦， 所以()()110f x f x +=-=，令2019x =，可得()()201820200f f +=，12．【分析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以12MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，212MF MF a -=，于是23MF a =，1MF a =，因为260MF N ∠=︒，所以1260F MF ∠=︒，在12MF F △中，由余弦定理知2212121212cos 2MF MF F F F MF MF MF +-∠=⋅⋅，代入数据化简整理得2247c a =，然后利用22222b c a a a -=，求出b a的值即可得解．解：设双曲线的左焦点为1F ，如图所示，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形， ∴12MF PF =，1//MF PN ， 而223MF PF =，∴213MF MF =，由双曲线的定义可知，212MF MF a -=，∴23MF a =，1MF a =， ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒， 在12MF F △中，由余弦定理知，22212121212cos 2MF MF F F F MF MF MF +-∠=⋅⋅，即222194223a a c a a+-=⋅⋅，化简，得2247c a =，∴2222234b c a a a -==，即2b a =，∴双曲线C 的渐近线的斜率为± 故选：D ．13．【分析】直接利用测度比为长度比求解． 解：要使此数大于2，只要在区间(]2,5上取即可，由几何概型概率可得此数大于2的概率为：523514-=-． 故答案为：34． 14．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，再由内函数的增区间求得原函数的增区间． 解：由2230x x +->，得3x <-或1x >．∵223t x x =+-在()1,+∞上为增函数，∴()22log 23y x x =+-的单调增区间为()1,+∞． 故答案为：()1,+∞．15．【分析】直接利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：由于2sin sin B A C =，利用正弦定理整理得2b =，由于ABC △的面积()2214S a c =+， 所以()2211sin 24ac B a c =+，且2222cos a c b ac B +=+， 故：()22112cos24B b ac B =+，转换为22211224B b B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，)sin cos 1B B -=， 即2sin 14B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由于0B π<<， 所以3444B πππ-<<-<，所以46B ππ-=，解得：512B π=． 故答案为：512π 16．【分析】作图，设O '为ABC △的中心，连结OM ，OO '，AO ，作平面ODA 交BC 于E ，根据条件可证得BF ⊥平面DAB ，作//OH BF ，得到OH 是DBF △的中位线．所以12OH BF =，可得所求值． 解：设O '为ABC △的中心，M 为AD 中点，连结OM ，OO '，AO ，则1AO '=，AM =OA =ODA 交BC 于E ，交BC 于F ． 设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DF ⊥平面ABC ，∴90DAF ∠=︒，∴DF 是O 的直径，DF =因为PA AB ⊥，PA =AB =BD =所以1BF =，AF 是O 的直径，连结BF ．∵BF DA ⊥，BF AB ⊥， ∴BF ⊥平面DAB ， ∴90DBF ∠=︒， 作//OH BF ， 又DO OF =，∴OH 是DBF △的中位线．12OH BF =， 故12OH =． 故答案为：12．三、解答题（解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题17．【分析】（1）证明四边形11ADC B 为平行四边形，可得11//AB DC ，进而得到1//EF DC ，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 及平面1EA D 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 解：（1）证明：连接1AB ，∵E ，F 分别为AB ，1BB 的中点， ∴1//EF AB ，∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱， ∴四边形11ADC B 为平行四边形， ∴11//AB DC ， ∴1//EF DC ，∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ， ∴//EF 平面11A DC ；（2）在正四棱柱中，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E，(1A，(10,2,C ，∴()112,2,0AC =-，(1DA =，(10,EA =-， 设平面11A DC 的法向量为(),,m x y z =，则22020x y x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取()3,1m =-，设平面1EA D 的法向量为(),,n a bc =，则{20a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()3,2n =-，∴7cos ,m n m n m n⋅==-，∴二面角11E A D C --的正弦值为14．18．【分析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．解：（1）∵“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人， ∴该考场有100.25040÷=（人），∴该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数为：()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为：10.3750.0250.2000.0750.100----=，该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为：()()()()()11400.2002400.1003400.3754400.2505400.075 2.940⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦． 19．【分析】（1）先由题设条件12a ⇒=与12n n a a -=，从而说明数列{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，进而求得n a ；（2）先由（1）求得n b ，然后利用错位相减法求得n T ，然后利用n T 单调性求得其取值范围． 解：（1）由题意知：当1n =时，1122S a =-，得12a =；当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⇒=-，两式相减整理得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，2nn a =；（2）由（1）知：2n n n n n b a ==，∵231111132222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，∴2311111122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①﹣②可得：()2311111122111111111212222222212nn n n n n T n n n +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，∴222n n n T +=-，显然有：2n T <．∵02nnnb =>， ∴n T 单调递增，且1112T b ==， ∴122n T ≤<． 20．【分析】（1）求导数的零点可得1x a =，22ax =-，再分0a =，0a >及0a <讨论函数的单调性，求得函数的最大值与a 取值范围即可；（2）分离参数可得22ln x a x=，构造函数()2ln x h x x =，分析其单调性与值域，从而得到实数a 的取值范围．解：（1）()()()222x a x a a f x x a x x -+'=--=，令()0f x '=，解得1x a =，22a x =-； 当0a =时，()20f x x =≥恒成立，满足题意；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 则()()min 2ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤； 当0a <时，()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()222minln 02422a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫=-=+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3420e a -≤<；综上，实数a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）显然1x =不是()g x 的零点，由()0g x =得()22ln x a h x x==（*）， 则()()()22ln 1ln x x h x x -'=，令()0h x '=，解得x =易知，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和(x ∈时，()h x单调递减，当e ⎤⎦时，()h x 单调递增，又1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x <，（*）不成立，∴只需()2222a h e a h e e⎧>=⎪⎨≤=⎪⎩，∴实数a的取值范围为,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦．21．【分析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到22611a b+=，联立即可求得a ，b ； （2）设直线l 的方程为y x m =+，表示出AB =m 的取值范围，结合条件表示出λ=m 取值范围求得其范围寄了 解：（1）因为12PF F △的面积为2，即12122c ⨯⨯=，所以2c =，则224a b -=，① 又因为P 点在椭圆上，则22611a b +=，②解①②得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=；（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点O 到直线l的距离d =，由弦长公式可得AB ==，将2y m =+代入椭圆C 中可得2234280x mx m ++-=， 则()221612280m m ∆=-->，解得m -<<由直线和圆相交的条件可得d r <<，解得22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-； 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式可得CD ===由CD AB λ=，得CD AB λ=== 因为22m -<<，所以2044m <-≤， 则当0m =时，λ取得最小值为3，此时l 的方程为y x =． （二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．转换为直角坐标方程为10x y --=．根据222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为：cos sin 1ρθρθ-=．曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．根据222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩转换为直角坐标方程为222x y ax+=（0a >）．（2）显然点M 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到)2110t a t ++=，所以)121t t a +=+，121t t =． 且24PQ MP MQ =⋅， 则212124t t t t -=，解得1a =或3-由于0a >，所以1a =． [选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）解法一：利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式()0f x >的解集；解法二：()0f x >等价于213x x ->+，利用两边平方法去掉绝对值，从而求得不等式的解集； （Ⅱ）利用绝对值不等式求出()33f x x ++的最小值，从而求得实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）解法一：当12x ≥时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<时，()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-； 当3x <-时，()()213320f x x x x =-+++=-->，解得3x <-； 综上知，原不等式的解集为243x x x <->⎧⎫⎨⎬⎩⎭或；解法二：()0f x >等价于213x x ->+， 两边平方整理得，231080x x -->， 解得23x <-或4x >； 所以，原不等式的解集为243x x x <->⎧⎫⎨⎬⎩⎭或；（Ⅱ）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=， 当132x -≤≤时等号成立； 所以7a ≤；所以实数a 的取值范围是(],7-∞．。
2020年陕西西安长安区高三二模数学试卷(理科)
，
则当
时，
，
∴函数 在
上是增函数，
∴当
时，
，满足题意，
当
时，
，
∵在
上是增函数，
，
∴存在
上，使
，
当
时，
，
∴函数 在
是减函数，
∴当
时，
，不满足题意，
综上所述，实数 的取值范围为
．
22.（ 1 ）普通方程为
，极坐标方程为
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）曲线 的普通方程为
，
依题意得曲线 的普通方程为
，
令
，
得曲线 的极坐标方程为：
种分法，
则共有
种不同分法，
张连号的门票分给甲、乙等六人共有
种不同分法，故 张连号的门票分给
甲、乙等六人，每人 张，且甲、乙分得的电影票连号的概率为
，故 正确；
故选 ．
7. D 解析: 将函数
项，
的图象向右平移 个单位后得到
．
的最小正周期
，故 项正确；
的图象，即
项，当 项，当
时， 时，
项，当
时，
综上所述，故选 ．
的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则下列关于 的
1
A. 最小正周期为
B.
是它的一条对称轴
C. 在
上单调递增
D. 在
内的最大值为
8. 若实数 ， 满足 A. B. C. D.
，若
，则 的取值范围是（ ）．
9. 圆内接四边形
中，
，
，
，
，则
面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
解析:
（ 1 ）由已知得
．
则
，
由
，得
，
由
，得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ 2 ）由
，
得
，
若
，则
， 单调递减，而
，
∴ 有一个零点．
若
，可得当
时，
，
当
时，
．
14
∴在
上单调递增．在
上单调递减，
∴
．
令
，
则
．
当
时，
．
当
时，
，
∴ 在 上单调递减，在
上单调递增，而
．
∴当
时，
， 有两个零点．
当
时，
， 有一个零点．
，考虑到 ， 关于 轴对称，不妨设
，
，
则点 ， 的坐标分别为
，
，
此时 综上，
． 的面积为定值 ．
22.（ 1 ）直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，得
，
由
，
，得
，
因为
，消去 得
，
所以直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（ 2 ）点 的直角坐标为 ，点 在直线 上，
非高薪收入群体
高薪收入群体 高薪收入群体
合计 合计
专业 专业
合计
，
所以在犯错误的概率不超过
的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关．
（ 2 ）1 月薪频率分布表如下：
月薪（百元）
人数
频率
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
2020年陕西高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．A. B. C. D.2.已知集合 ,，则 （ ）．A. B. C. D.3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）．A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）．A. B. C. D.5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（ ）．A.B.C.D.6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）．（注：，则，，）A.B.C.D.7.在公差不为的等差数列中，，，则（ ）．A.B.C.D.8.已知，且，，则（ ）．A.B.C.D.9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 ．频率组距14.在的展开式中，的系数为，则．15.在，为的中点，且，若，则的周长为 ．16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且．证明：平面平面．求锐二面角的余弦值．（1）（2）18.已知正项数列的前项和为， ，．求数列的通项公式．若数列满足，令，求证：．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男女总计（1）（2）（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取人，求这三位市民中男女都有的概率．以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．附：（其中）．（1）（2）20.已知函数．求函数的极值．当时，若函数有两个极值点，，且，求证：．（1）（2）21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为．求椭圆的标准方程．若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值．四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．23.设函数的最小值为．【答案】解析:方法一：本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:本题考查集合并集的运算．由题意可知集合，∴．故选．解析:本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）（2）求的值．若，求证：．C1.B2.A3.其中，， ．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值，故选．解析:本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得，，∴，∴在上的投影为，故选．解析:本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数的图象如图所示，x123y12O由题意可得当时，；当时，．若，则或，解得或，则或，结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:B 4.D 5.A 6.本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是，则，标准差是，而，∴，∴图中阴影部分的面积为．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则， 故正确，错误．故选．解析:本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（），则通项公式，∴，，，，∴，解得（舍去），∴．故选．解析:本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴．故选：．解析:本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，若该函数图象关于坐标原点对称，则，阴影部分的面积正方形面积A 7.D 8.C 9.解得．∵，∴，∴∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知外接圆的半径．设该三棱柱外接球的半径为，则．由可得，∴，∴，当且仅当，时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．故选．解析:方法一：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，D 10.B 11.，∴，，∴，∴，∴直线的方程为，则点到直线的距离为，∴的面积为．故选．方法二：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，，∴，∴，即，∵，∴．故选．解析:本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得，C 12.令，得，而，，，∴，，∴，∵，令，得，而，，，∴，，∴．由题意可知存在，对任意，都有等价于，即，∴，故选．解析:由样本容量为的频率分布直方图，知：的频率为，的频率为，∴该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：，故答案为：．解析:本题考查二项式定理．∵展开式的通项为，13.或14.则由可知，展开式中的系数为，∴，即，解得或．15.解析:本题考查余弦定理．令，则，，则 ．∵，∴．又点为的中点，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴， ，故的周长为 ．16.解析:本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，化简得，令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，∴，∴，∴，即，又∵，，代入化简可得，即，（1）（2）又∵双曲线的离心率，∴．解析:∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，，∴，∴．∵，平面，，，平面，，∴平面平面．如图：如图，连接，相交于点，连接．∵四棱锥为正四棱锥，∴，，又，∴，且，同理可得，∴，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，（1）证明见解析．（2）．17.，，，，（1）（2）∴，，，令平面的法向量为，则，即，解得，∴取，则，，故，同理可得平面的一个法向量，∴，∴锐二面角的余弦值为．解析:由题意可得当时，，∴；当时，， ，∴，∵，∴，∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，又∵ ，∴数列是公差为的等差数列，∴．由（）知，，，∴，，两式相减得，，（1）．（2）证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）∴，∵当时，，∴．解析:由列联表可得，∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．调查结果为一般的市民中有男人，女人，人数之比为，所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或）．由列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为，∴，，，，，，，∴~，∴，，∴随机变量的期望为，方差为．解析:由题意可得（1）没有．（2）．（3）期望，方差．19.（1）当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．（2）证明见解析．20.（2）（1），当时，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，；当时，，，，函数在上单调递增，∴无极值；当，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，，综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．由题意得，即，，由（）可知，，∴， ，∴，令，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴．解析:方法一：极大值极小值极大值极小值（1）．（2）．21.（2）由题意可得离心率，又，∴，，令点为椭圆上任意一点，则，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．方法二：由题意可得离心率，又，∴，，令椭圆上任意一点，∴，当时，，∴，满足；当时，，解得（负值舍去），，则，不满足条件，舍去．综上，，，椭圆的标准方程为．设点坐标为，直线的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，（1）由韦达定理可得，，则，化简得，点到直线的距离，∴的面积，令，则，,当时，，当且仅当，时等号成立，此时，∴，∵，∴当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积的最大值为．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。
2020届陕西省普通高中高三上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
max
min
A
选项中，当
x1
4
，
x2
3 4
时，
f
x1
f
x2
2 ，与题意不符；
B
选项中
f
x
4x 4x
1 1
1
2 4x 1
1,1
，且
f
x
f
x ，符合题意；
C 选项中 f x 的值域为 0, ， f x 为偶函数，故不符合题意；
D 选项中 f 0 0 ， f 2 2 ，故不符合题意.
两边同时除以 cos 得 sin 2 cos 2 tan 3tan ，
即 3 cos 2 tan
sin 2
,所以
1 tan
3 cos 2 sin 2
，
由正余弦的二倍角公式可
得, sin 2 2sin cos ,
3 cos 2 3 sin2 cos2 cos2 sin2 4sin2 2 cos2 ,
16
A．
43Βιβλιοθήκη 16B．4
2
3
16
C．
4
3
3
D． 32 4 3 3
【答案】B
【解析】根据三视图要使 a 最大，长方体四个顶点在球面上，求出 a ，根据体积公式，
即可求出结论. 【详解】 该几何体为半球中挖去一个长方体， 当正视图中矩形边 a 取得最大值时，
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矩形四个顶点在球面上，此时 a 22 2 2 ，
2020 届陕西省普通高中高三第二次联考 数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 M x x2 x 2 0 ， N x x 1 1 ，则 M N （ ）
A． 0,1
2020-2021学年陕西省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．556．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．1507．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．aC．b D．c9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．210．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤D．②③⑤11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m=______．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为______．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则=______．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC 的面积．18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号 A B C答卷份数160 240 320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合A、B，求出∁R B，再求A∩（∁R B）即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，∴∁R B={x|x＞1}，∴A∩（∁R B）={x|1＜x＜3}．故选：A．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．利用体积计算公式、勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．则×h=2，解得h=3．∴此四棱锥最长的侧棱长PC==．故选：C．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=a，由双曲线的渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，可得e==，即有c=a，由c2=a2+b2，可得b=a，即有渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（﹣）n展开式的常数项为（）A．﹣B．C．﹣55 D．55【考点】计数原理的应用；二项式定理的应用．【分析】先根据排列组合求出n的值，再根据通项公式求出k的值，问题得以解决．【解答】解：根据题意，先安排除甲乙之外的2人，有A22=2种不同的顺序，排好后，形成3个空位，在3个空位中，选2个安排甲乙，有A32=6种选法，则甲乙不相邻的排法有2×6=12种，即n=12；（﹣）n=（﹣）12的通项公式C12k（﹣）k x﹣k=（﹣）k C12k，当4﹣=0时，即k=3时，（﹣）3C123=﹣，故选：A．6．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A．80 B．90 C．120 D．150【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数=频率×总数可得所求．【解答】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.025，所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150．故选：D．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（）A．B．aC．b D．c【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c三数的大小，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，∵a3=＞3=b3＞0，∴a＞b；又c=（）ln3=e=e=＞=a．∴输出的结果为c．故选：D．9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）e x的极小值为b，则ac等于（）A．﹣1 B．﹣e C．e2D．2【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出b的值，结合等比数列的性质求出ac的值即可．【解答】解：∵实数a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵函数y=（x﹣2）e x，∴y′=（x﹣1）e x，令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1，∴函数y=（x﹣2）e x在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴y极小值=y|x=1=﹣e，∴b=﹣e，b2=e2，则ac=e2，故选：C．10．给出下列五个结论：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递增；⑤函数f（x）=恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④B．①②⑤C．④⑤D．②③⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据回归直线的性质进行判断．②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据三角函数的图象和性质进行判断．④根据幂函数的性质进行判断．⑤根据函数的零点的定义进行判断．【解答】解：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；故①正确，②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；故②正确，③函数y=sinx+cosx=2cos（x﹣），将函数的图象向右平移后，得到y=2cos（x﹣﹣）=2cos（x﹣），此时所得到的图象关于y轴不对称；故③错误，④由m﹣1=1得m=2，此时f（x）=x0是幂函数，在（0，+∞）上函数不递增；故④错误，⑤若x≤0则由（x）=0得x+1=0，得x=﹣1，若x＞0，则由（x）=0得2x|log2x|﹣1=0，即|log2x|=（）x，作出y=|log2x|和y=（）x的图象，由图象知此时有两个交点，综上函数f（x）=恰好有三个零点；故⑤正确，故选：B11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：由已知易得：S长方形=4×2=8，S阴影=∫04（）dx===，故质点落在图中阴影区域的概率P==，故选A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（1）=f（﹣4）=2﹣4=．故答案为：．14．已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，=（1，m），若⊥，那么实数m= 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，由=0，求得实数m 的值．【解答】解：∵两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量=（3，﹣3），=（1，m），若⊥，则=3+m（﹣3）=0，求得实数m=1，故答案为：1．15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为 4 ．【考点】简单线性规划；基本不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得2a+3b=1，然后结合基本不等式求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，等于2a+3b=1，∴=（）（2a+3b）=2+．当且仅当2a=3b，即时上式等号成立．故答案为：4．16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则= 1+．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出F点坐标，代入抛物线方程即可得出a，b的关系得到关于的方程，从而解出．【解答】解：∵D是抛物线y2=2ax的焦点，∴D（，0）．∵正方形DEFG的边长为b，∴F（，b）．∵F在抛物线上，∴b2=2a（），即b2﹣2ab﹣a2=0，∴（）2﹣﹣1=0，解得=1+或1﹣．∵0＜a＜b，∴=1+．故答案为：三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=，f（C）=1，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣），由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（C）=1，得，结合范围0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，解得C=，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx），∴，…由题意可知其周期为π，故ω=1，则f（x）=sin（2x﹣），…由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，…（Ⅱ）由f（C）=1，得，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=．…又∵a+b=3，，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，∴（a+b）2﹣3ab=3，即ab=2，由面积公式得三角形面积为．…18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号 A B C答卷份数160 240 320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意求出分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可得：题号 A B C答卷数160 240 320抽出的答卷数 2 3 4应分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份．…设事件D表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”，则：P（D）=1﹣p（）=1﹣=1﹣=，∴从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率．…（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3…P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）==．…19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F、G分别是AD、AC的中点，∴FG∥CD，且．又∵CD∥BE，且CD=2BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，EF⊄面ABC且BG⊆面ABC，∴EF∥面ABC．…（Ⅱ））∵CD⊥平面ABC∴∠CMD为DM与平面ABC所成角，∵M为AB的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，得∵DM与平面ABC所成角的正切值为，∵CD=2，BE=1，…以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1），∴=（0，﹣2，2），=（2，﹣1，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），由，取x=1，得=（1，2，2），而平面ACD的法向量为=（2，0，0），由cos＜＞==，得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为．…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d，利用2=2，解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．【解答】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=．﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）•=（x1（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）问题等价于，即证，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ），得由f'（x）＞0，得0＜x＜e∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立令，当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增∴h（x）min=h（1）=4，∴m≤4，即实数m的取值范围是（﹣∞，4]…（Ⅲ）证明：等价于，即证由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）令，则，易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增∴（当x=1时取等号）∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．【分析】（Ⅰ）利用圆的切线的性质，及直径所对的角为直角，即可证明AD∥OC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB，利用AD•OC=8，求出半径，即可求圆O的面积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，OD∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC又∵AB为圆O的直径，则AD⊥DB，∴AD∥OC，∴∠BAD=∠BOC…（Ⅱ）解：设圆O的半径为r，则AB=2OA=2OB=2r由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB则，∴AB•OB=AD•OC=8，2r2=8，r=2，∴圆O的面积为S=πr2=4π…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…[选修4-5：不等式选讲]24．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；（Ⅱ）求出f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需．【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，，当即时取“=”号…（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3则f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述实数t的取值范围是．…。
陕西省2020届高三教学质量检测卷(二)数学 (理科)(word版)
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)数学(理科)一、选择题:本题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数4(1zi=+i为虚数单位),则z的虚部为()A.2B.2iC. -2D.-2i2.已知集合A={x|-1≤x<1}2,{|,}B y y x x A==∈,则A∪B=()A,{x|-1≤x<1} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x< 1} D.{x|-1<x≤1}3.若变量x,y满足约束条件3,10,260,x yx yx y+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=2x- y的最小值是A.-3B.01.3C10.3D4.已知向量a,b满足(1,3),(=a a-2b)⊥a,则b在a上的投影为()A.-1B.11.2C-1.2D5.已知函数2ln,01()43,1x xf xx x x-<≤⎧=⎨-+->⎩,若f(f(a))=1,则满足条件的实数a的个数是( )A.1B.2C.3D.46.设X~N(0,1),其正态分布密度曲线如图所示,点A(1,0),点B(2,0),点C(2,1),点D(1,1),向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆,则该黄豆落入阴影部分的概率是(注:2~(,)X Nμσ则P（μ-σ< X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ< X≤μ +2σ）=0.9545，P（μ-3σ< X≤μ +3σ）=0.9973）A.0.8641B.0.6587C.0.5228D.0.97857.在公差不为0的等差数列{}n a中,213461,,a a a a==则2a=7.11A5.11B3.11C1.11D 8.已知(02παβ<<<,且6312cos(),sin 6513αββ-==,则sinα=3.5A -3.5B 4.5C -4.5D 9.若将函数()2sin(3)4f x x π=+的图象向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为().4A π5.4B π.12C π5.12D π 10.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB= BC= AC=a,1,AA b =若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a+ b=2,则该球的表面积的最小值为()7.3A π13.4B π.2521C π.716D π11.已知抛物线2:4,C y x =点M(3,0),直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A,B 两点,若|AB|=8,则△AMB 的面积为()A.4.42B.43CD.812.已知函数21(),()2x f x xe x x a g x x =+++=lnx + 1,若存在1[2,2],x ∈-,对任意221[,]x e e∈，都有12()(),f x g x =，则实数a 的取值范围是()221.[32,32]A e e e e-----221.(32,32)B e e e e-----23.[32,]2C e e --23.(32,)2D e e --二、 填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是___14.在(51)(1)x ax ++的展开式中，2x 的系数为15,则a=___ 15.在△ABC 中,D 为AC 的中点,且AD: BD :73,AB =若7,BC =则△ABC 的周长为___16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的左焦点F 2的直线交双曲线C 的左支于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过坐标原点0,则双曲线C 的离心率为____三、解答题:共70分。
陕西省2020届高三第二次教学教学质量检测数学(理)答案
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2020陕西省高三理科数学教学质量检测(二)答案
又∵a2－a1＝1，∴数列{an}是公差为 1 的等差数列，
∴an＝n.
（6 分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 bn a2n 2n , an n,
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n×2n＋1，
（8 分）
两式相减得－Tn＝2＋22＋23－(n－1)2n＋1－2， 1－2
由(Ⅰ)可知 x1＝－a－1，x2＝－1，
∴g(a)在(3，4)上单调递减，
∴g(4)<g(a)<g(3)，即e34<g(a)<e53.
∵g(a)＝－ff（（xx12）），∴－e53<ff（ （xx12））<－e34.
（12 分）
21．解：(Ⅰ)解法一：由题意可得离心率 e＝c＝ 3， a2
又 a2＝b2＋c2，∴a＝2b，c＝ 3b， 令点 Q(x，y)为椭圆 C 上任意一点，
13
14
15
16
0.5
3 或1 2
5 7
3
评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答
案均不给分，13 题评分标准：写成 1 也可给分，14 题评分标准：写成 1.5或1也可给分. 2
三、解答题：共 70 分.
评分标准
1.导函数：
求单调区间过程要清楚，最好列表，分类讨论各区间情况需做到无遗漏.遗漏不给分.
（2 分） （3 分） （4 分）
（5 分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知直线 l 的普通方程为 x＋y－4＝0(x≠0)，（6 分）
θ≠π 化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－4＝0 2 ，
（7 分）
当θ＝π(ρ>0)时，设 4
2020届陕西省名校高三第二次调研考试数学(理)试题
2020届陕西省名校高三第二次调研考试数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B U （ ） A ．()2,12 B ．()1,3- C ．()1,12- D ．()2,32．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ）A ．5BC ．D ．2 3．设,a b r r 是非零向量， “=||||a b a b ⋅⋅r r r r ”是“a b r r P ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定积分12)0x x e dx +⎰（的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1 C.e D.e －15．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ）A ．72B ．60C ．48D ．366．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b << 7．下列说法错误的是（ ）A ．垂直于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直C ．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D ．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直8．设0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．83 C ．3D ．4 9．2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ）A ．144种B ．24种C ．12种D ．6种 10．已知命题2:233p x x a ++≥恒成立，命题():21x q y a =-为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．1223a <≤B ．102a <<C ．121a <<D ．23a £ 11．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第64行从左到右的第2个数字是（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．）13．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．14．过点（1，0）且与直线220x y --=垂直的直线方程为______15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”这段文字写成公式，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b a c a c S ．△ABC 满足 )sin (sin )sin (sin B A B A +⋅-C C A 2sin sin sin -=，且222==BC AB ，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为 ．16. 已知函数,(0()2,(0)x e a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩），若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ,3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别PE D CBA为线段,AB BC上的点，且CD DE ==22CE EB ==．（1）证明：ED ⊥平面PCD ；（2）求二面角A PD C --的余弦值．19．（本小题满分12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”．为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名．（1）求频数分布表中x ，y 的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%．若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望．注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息．20.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点F （1，0），O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 过点（8，0），求证：直线OA ，OB 的斜率之积为定值．请考生在第22、23题中任选一题作答。
2020届陕西省普通高中高三上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省普通高中高三上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}220M x x x =+-≤，{}11N x x =-≤，则M N =（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]2,0-D ．[]2,1-【答案】A【解析】化简集合,A B ，按照交集定义，即可求解. 【详解】{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =≤≤，[]0,1M N ⋂=.故选:A. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．已知复数z 满是2()1miz m R i+=∈-且||=2z ，则m 的值为（ ） A ．2 B ．-2或2C ．3.D ．-3或3【答案】B【解析】化简复数z 为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数模的运算列方程解得m ． 【详解】由题意知2i 2(2)i 1i 2m m m z +-++==-，因为||2z =，所以22(2)(2)44m m -++=，即24m =，解得2m =±. 故选B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题．3．下列函数中是奇函数且对任意1x ，2x ∈R （12x x ≠），不等式()()122f x f x -<恒成立的是（ ） A ．()sin 2f x x =B ．()2222x x x xf x ---=+ C ．()()2ln 1f x x =+D ．()cos f x x x =【答案】B【解析】逐项判断()f x 是否为奇函数，是否满足()()max min 2f x f x -<. 【详解】由题意知，符合题意的函数()f x 满足()()max min 2f x f x -<， A 选项中，当14x π=，234x π=时，()()122f x f x -=，与题意不符； B 选项中()()41211,14141x x x f x -==-∈-++，且()()f x f x -=-，符合题意；C 选项中()f x 的值域为[)0,+∞，()f x 为偶函数，故不符合题意；D 选项中()00f =，()22f ππ=，故不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性和最值，属于基础题.4．角3πα+的终边经过点()1,2P ，则tan 112tan 112παπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．12C ．2-D ．12-【答案】C【解析】根据已知求出tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将所求式子分子“1”用tan4π替换，再由两角和正切公式，即可求出结论. 【详解】 由题意知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 1tan tan tan 12412tan 11tan tan 12412πππααπππαα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫+--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan 21243πππαα⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:C. 【点睛】本题考查三角函数定义、两角和正切公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 5．已知函数()f x 为定义在R 上的增函数且其图象关于点(2,0)对称，若()(2)g x f x =-，则不等式(3)(12)0g x g x ++-的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．[2,4]【答案】B【解析】由若()(2)g x f x =-知()g x 的图象关于原点对称，从而它是奇函数，()f x 是增函数，则()g x 是减函数，利用奇函数变形不等式为(3)(21)g x g x +≥-，再由减函数得解． 【详解】由题意知()g x 为R 上奇函数且为减函数，不等式(3)(12)0g x g x ++-≥等价于(3)(12)g x g x +≥--，即(3)(21)g x g x +≥-，故321x x +≤-，解得4x ≥.故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，由函数()g x 的定义与()f x 的性质可得()g x 的性质，从而可求解函数不等式．本题关键是确定()g x 的性质． 6．函数()()2sin 24x f x x π-=-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】用排除法求解，化简()2sin 24xfx x =-为奇函数，排除,B D ，再用4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭函数值的符号，即可得出结论. 【详解】()()22sin 2sin 2=44x xf x x x π-=--，因为()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，故排除B ，D ；又因为210444f ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以排除C.故选:A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质是解题的关键，要注意选择题特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.7．如图为从一个半球中挖去一个长方体的三视图，其俯视图中圆的半径和正方形的边长均为2，正方形的中心与圆的圆心重合，则当正视图中矩形边a 取得最大值时，该几何体的体积为（ ）A ．1643π- B ．16423π-C ．16433π-D ．32433π- 【答案】B【解析】根据三视图要使a 最大，长方体四个顶点在球面上，求出a ，根据体积公式，即可求出结论. 【详解】该几何体为半球中挖去一个长方体， 当正视图中矩形边a 取得最大值时，矩形四个顶点在球面上，此时a ==，故挖去的长方体的体积为半球的体积为14168233ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为163π-. 故选:B. 【点睛】本题考查三视图求组合体的体积，注意几何体性质的应用，属于基础题. 8．已知()()sin sin cos sin 2f x x x πωϕωπϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω，ϕπ<）的最小正周期为π，若函数()f x 在区间2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有极小值点，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由诱导公式和两角差的正弦化简()f x 为正弦函数，根据周期求出ω，求出()f x 取得最小值时x 的值，利用2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出ϕ的取值范围.【详解】由题意知()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=-+=--， 因为()f x 的最小正周期为π，故2ω=， 故()()sin 2f x x ϕ=--，令222x k πϕπ-=+（k ∈Z ）得,24x k k Z ϕππ=++∈，则有22243k πϕπππ<++<， 解得52226k k πππϕπ-<<-， 令0k =得526ππϕ<<. 故选:D.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题。
陕西省西安中学2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题
理科数学试题
注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的
姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
18.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ABCD 中， BC BD DC 2 3 ， AD AB PD PB 2 .
(Ⅰ)若点 E 为 PC 的中点，求证： BE ∥平面 PAD ； (Ⅱ)当平面 PBD 平面 ABCD 时，求二面角 C PD B 的余弦值. C
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
x＝2＋2cos φ，
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：x＋y＝1 与曲线 C2：y＝2sin φ
(φ 为参数).
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线 C1，C2 的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知 l：θ＝α(ρ>0)与 C1，C2 的公共点分别为 A，B，α∈0，π2，
(������)求 n 和频率分布直方图中的������, ������的值； (������)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取 3 人，求至少
有一人是可能录取为重本层次院校的概率； (������)在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用������表示所
陕西省西安市长安区2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题
陕西省西安市长安区2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足，则z 的虚部是（ ）(1)4i z i +=A ．2B ．C ．D ．2-2i-2i 2．已知集合，，则（ ）{1,1,2}A =-{}2,B yy x x A ==∈∣A B = A ．B ．C ．D ．{1}{0}[1,2]-[1,4]3．已知向量，，若，则（ ）(1,1)a =- (2,)b m = a b ⊥b =A ．2B ．4C D ．4．若，是方程的两根，则的值为（ ）tan αtan β220x x +-=tan()αβ+A ．B ．C ．D ．15-13-13155．下列说法中正确的是（）A ．“”是“”的充要条件sin sin αβ=αβ=B ．命题，，则，:p x R ∀∈20x >0:p x R ⌝∃∈020x <C ．命题“若，则”的逆否命题是真命题0a b >>11a b<D ．“”是“（且）”成立的充分不必要条件1x >log 0a x >0a >1)a ≠6．现将6张连号的门票分给甲、乙等6人，每人1张，则甲、乙分得的电影票连号的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．233414137．将函数的图象向右平移个单位后得函数的图象，则下1()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6π()g x 列关于的说法错误的是（ ）()g x A ．最小正周期为B ．是它的一条对称轴4π53x π=C ．在上单调递增D ．在内的最大值为1,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭8．若实数x ，y 满足，若，则z 的取值范围是（ ）10200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩273x y z x +-=-A ．B ．C ．D ．5,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．圆内接四边形ABCD 中，，，，，则△面积5AB =6BC =3CD =4=AD ACD 为（ ）ABCD10．已知双曲线（，）的右焦点为，P 为双曲线左支上22221x y a b-=0a >0b >(4,0)F 的动点，设点且的周长最小值为16，则双曲线的渐近线方程为(0,3)Q -PQF △（）A ．B ．C ．D．y x =y x =y x =y x =11．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的表面上，，60ACB ABP ∠=∠=︒，，则球O 的表面积与底面外接圆面积的比值为24PB AB ==PA BC ⊥ABC （ ）A ．11B ．13C ．15D ．1712．已知函数，若方程有且仅有两个,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩()()0f x f x -+=不同的解，则实数m 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．6eD ．8e二、填空题13．若，则________．5656510(1)(2)x x a x a x a x a -+=++⋯++1a =14．已知公比为q 的递增等比数列满足，，则{}n a 24611178a a a ++=44a =8a =________．15．设抛物线的焦点为F ，点的纵坐标为，N 为抛物线上一点，若△2:4C x y =M 1-为等边三角形，则△的面积为________．MFN MFN16．函数（，，）为奇函数，且的最值()sin()f x x ωϕ=+0>ω0x >||2πϕ≤()f x 点从左至右依次记为点，，，…，，…若在点列中存在三个不同的1A 2A 3A n A {}n A 点，，，使得为等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大k A t A p A k t p A A A △ω组成的数列记为，则________．{}n ωn ω=三、解答题17．已知数列满足，（），其中为的前n 项和．{}n a 11a =11n n a S +=+*n N ∈n S {}n a （Ⅰ）求；n a （Ⅱ）若数列满足，设，求的值．{}n b 21log n n b a =+11n n n c b b +=10112020c c c ++⋯+18．如图所示，在三棱锥A -BCE 中，平面平面ABC ，，，BCE ⊥BE EC ⊥3BC =．AB =30ABC ∠=︒（Ⅰ）求证：；AC CE ⊥（Ⅱ）若二面角B -AC -E 为45°，求直线AB 与平面ACE 所成的角的余弦值．19．某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设为登攀至第n 级的步数，()X n (150)n ≤≤这位同学登到第n 级的概率为．n P （I ）求的分布列与数学期望；(3)X （Ⅱ）证明：为等比数列．{}1(249)n n P P n --≤≤20．已知动点P 到点的距离与它到直线的距离之比为，点P 形成的1(1,0)F :4l x =12轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设，分别过，作斜率为）的直线与曲线C 交于x 轴上方2(1,0)F -1F 2F (0)k k >A ，B 两点，若四边形，求k 的值．12F F BA 21．已知．()2sin x f x e ax x =-+（1）已知函数在点的切线与圆相切，求实数a 的值；()f x (0,(0))f 2212x y +=（2）当时，，求实数a 的取值范围．0x ≥()1f x ≥22．在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（t 为参数）以O 为极点，x1C 244x t y t⎧=⎨=⎩轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为，将曲线()00(0,)θθθπ=∈1C 向左平移3个单位长度得到曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求的最大值．11||||OA OB +23．设函数．()23f x x x x =-+--（1）证明：当时，恒成立；0m >()14m f x m+-≥（2）证明：当时，．0m >()()13log 3log 5m m m m +++>+参考答案1．A 【分析】利用复数的运算可得，然后简单判断即可.z 【详解】由题可知：()()()41422111i i i z i i i i -===+++-所以z 的虚部是2故选：A 2．A 【分析】求得集合，由此求得两个集合的交集.B 【详解】由于，故.{}{}2,1,4B yy x x A ==∈=∣{}1A B ⋂=故选:A 3．D 【分析】先根据向量垂直对应的坐标运算求解出的值，然后利用向量的模长公式求解出.m b【详解】因为，所以，所以，a b ⊥20m -+=2m =所以，所以，()2,2b = b == 故选：D.4．B 【分析】使用韦达定理可知，然后使用两角和的正切公式计算即可.tan tan ,tan tan αβαβ+【详解】由题可知：tan tan 1,tan tan 2αβαβ+=-=-所以()tan tan 11tan()1tan tan 123αβαβαβ+-+===----故选：B 5．C 【分析】逐项进行判断，对A 取特殊值可得正误，对B 按照命题否定的定义可得正误，对C 利用原命题的真假判断逆否命题真假，对D ，根据对数底数介于0与1之间即可判断.【详解】对A ，若，可知，且，故A 错2,33ππαβ==sin sin αβ=αβ≠对B ，则，，故B 错0:p x R ⌝∃∈020x ≤对C ，命题“若，则”是真命题，根据原命题与逆否命题同真同假，故C 正0a b >>11a b<确对D ，若时，当时，，故“”不能推出“，所以D 01a <<1x >log 0a x <1x >log 0a x >错故选:C 6．D 【分析】应用分步计数法求甲、乙分得的电影票连号的分票方法数，再确定随机分票的方法数，结合古典概型的求概率即可【详解】1、6张票任取两张连号的票，共有5种取法；2、将连号的票分给甲乙两人，有种分法；其余4张票分给其他人的方法有种；22A 44A 将6张票随机分给6个人的方法有种分法，66A ∴甲、乙分得的电影票连号的概率.242466513A A P A ==故选：D.7．D 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．sin()y A x ωϕ=+【详解】解：将函数的图象向右平移个单位得到1()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6π，s 1()sin 2321in 64g x x x πππ⎪⎛⎫=--- ⎣⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫= ⎢⎥⎝⎭⎦所以最小正周期，故A 正确；2412T ππ==又，所以是它的一条对称轴，故B 正确；255131sin sin 233g ππππ⎛⎫⨯=⎛⎫=-=⎪⎝⎭⎪⎭ ⎝53x π=当，所以，因为在上单调递增，,63x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭15,23126x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭sin y x =,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在上单调递增，故C 正确；1sin 2()3g x x π⎛⎫=⎪-⎝⎭,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭当，所以，所以，故D 错误.4,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭1,2323x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭(1)g x ⎛∈- ⎝故选：D.8．C 【分析】由题设得到可行域，将目标式转化为随z 变化绕定点旋转的直线，通过直线与可行(3,1)l l 域有交点时斜率的范围求z 的范围即可.【详解】由，得直线l ：且，但该直线随z 的变化绕点273x y z x +-=-(2)370z x y z -++-=3x ≠旋转，且直线l 的斜率随z 的增大而增大，(3,1)∴由约束条件所得的可行域，知：当直线l 过时斜率最小，时斜率最大，代入直(0,2)(0,1)线方程，∴，，故.min 53z =max 2z =5[,2]3z ∈故选：C.9．B 【分析】由题设知，若则，根据余弦定理得求B θ∠=D πθ∠=-6160cos 2524cos θθ-=+，进而求得，结合三角形面积公式求△面积即可.cos θsin θACD 【详解】若，则，B θ∠=D πθ∠=-∴在△中，，ABC 2222cos AC AB BC AB BC θ=+-⋅⋅在△中，，ACD 2222cos()AC AD CD AD CD πθ=+-⋅⋅-∴，则22222cos 2cos AB BC AB BC AD CD AD CD θθ+-⋅⋅=++⋅⋅，6160cos 2524cos θθ-=+∴，而，故3cos 7θ=0θπ<<sin θ=∴1sin()6sin 2ACD S AD CD πθθ=⋅⋅-==【点睛】关键点点睛：根据存在外接圆的四边形性质，结合余弦定理求角，利用三角形面积公式求面积.10．A 【分析】根据双曲线定义找到的周长取最小值时的P 的位置，根据周长计算出，即可求PQF △,a b 出渐近线方程.【详解】如图所示，取双曲线左焦点，的周长，2F PQF △l PQ PF QF =++由双曲线定义易知，，22PF PF a -=则，22l PQ PF QF PQ PF a QF =++=+++由图知，当三点共线时，最小，2,,F P Q 2PQ PF +又，5QF ==故，222252516l PQ PF a QF QF a QF a =+++≥++=++=解得，又，3a =4c =则，双曲线渐近线方程为.b =y x =故选：A.关键点点睛：根据双曲线定义找到三角形周长取最小值的点，从而解得圆锥曲线参数.11．B 【分析】在中，由余弦定理求得，证得平面，设PAB △PA =PA AB ⊥PA ⊥ABC 外接圆的半径为，球的半径为，根据正弦定理和球的截面性质，分别求得ABC r O R ，结合面积公式，即可求解.22,r R 【详解】由中，，PAB △60,2,4ABP AB PB ∠=== 根据余弦定理可得，22212cos 60416224122PA AB PB AB PB =+-⋅=+-⨯⨯⨯=可得，可得,PA =222PA AB PB +=PA AB ⊥又由，所以平面，,PA BC AB BC B ⊥= PA ⊥ABC 设外接圆的半径为，球的半径为，ABC r OR 则由正弦定理可得，2sinAB r ACB ==∠r =又由，2222213(23PA R r =+=+=所以球的表面积和外接圆的面积比值为：.O ABC 22134431343Rr ππππ⨯==⨯故选：B.【点睛】解决与球有关的切、接问题的方法及其解题策略：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.12．A 【分析】设，判断为偶函数，只需满足时，有个零点，()()()F x f x f x =+-()F x 0x >()F x 1即，转化为，相切，设切点为，利用导数02xm xe mx -+=x y xe =12y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()t t te ，求出切线的斜率即可.【详解】解：设，可得，即有为偶函数，()()()F x f x f x =+-()()F x F x -=()F x由题意考虑时，有个零点，0x >()F x 1当时，，，0x >0x -<()2xm f x e mx -=-+即有时，，0x >()22xxxx m m F x xe e e mx xe mx =-+-+=-+由，可得，()0F x =02xmxe mx -+=由，相切，设切点为，x y xe =12y m x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()tt te ，的导数为，可得切线的斜率为，x y xe =()1xy x e '=+()1tt e +可得切线的方程为，()()1tty te t ex t -=+-由切线经过点，可得，102⎛⎫ ⎪⎝⎭()112ttte t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭解得或舍去，1t =1(2-)即切线的斜率为2e ，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究方程的根，解题的关键是将问题转化为当时，0x >有一个根，进而转化为，相切，考查了转化思想02x m xe mx -+=x y xe =12y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭以及数形结合的思想.13．48-【分析】分别求解出的展开式中项的系数以及常数项，然后根据相乘关系即可求解出()52x +x 的展开式中项的系数.()()512x x -+x 【详解】记的展开式的通项公式为，()52x +5152rrr r T C x-+=⋅⋅令，；令，，4r =580T x =5x =632T =所以，()113218048a =⨯+-⋅=-故答案为：.48-【点睛】思路点睛：求解形如的展开式问题的思路：()()mna b c d ++（1）若中有一个较小，可考虑将它展开，如,m n ，然后分别求解；()()()()2222nna b c d a ab b c d +⋅+=++⋅+（2）观察是否可以合并，如()()a b c d ++；()()()()()()()557552221111111x x x x x x x ⎡⎤+⋅-=+--=--⎣⎦（3）分别得到，的通项，综合考虑.()m a b +()nc d +14．16【分析】根据已知条件先求解出的值，然后根据的单调性以及的值确定出的值，最后利2q {}n a 4a q 用等比数列的变形公式求解出的值.n mn m a a q -=8a 【详解】因为，所以，所以，24611178a a a ++=4244211178a a a q q ++=⋅2215448q q +=所以，所以或，22152q q +=22q =212q =又因为且是递增的等比数列，所以，所以40a >{}n a 1q >q =又，42844216a a q ==⋅=故答案为：.16【点睛】结论点睛：单调递增的等比数列的常见类型（公比为）：{}n a q （1），；10a >1q >（2），.10a <01q <<15．【分析】由题设知在准线上，且垂直于准线，令可得，M NM 1y =-00(,)N x y 22004(1)x y +=+进而求三角形边长，利用三角形面积公式求面积即可.【详解】由题设知：抛物线的准线为，所以在准线上，C 1y =-M ∴要使△为等边三角形，即，此时有垂直于，MFN MF NM NF ==NM 1y =-令，则，而，00(,)N x y 0(,1)M x -(0,1)F ∴，可得，即或（舍）22004(1)x y +=+200230y y --=03y =01y =-∴，故.4MF NM NF ===1sin 23MFN S NF NM π=⋅⋅= 故答案为：【点睛】关键点点睛：根据题设，判断在准线上，且与垂直，进而求动点的坐标，然M NM 1y =-后求等边三角形的边长，利用三角形面积公式求面积.16．(21)2n π-【分析】先由奇偶性得出，再由得出，，，…，的坐标，再由0ϕ=2x k πωπ=+1A 2A 3A n A 、、为等腰直角三角形归纳得出.123A A A △147A A A 6111A A A n ω【详解】函数为奇函数，，由得 ()sin()f x x ωϕ=+,k k Z ϕπ∴=∈||2πϕ≤ϕ=由，得2x k πωπ=+(21),2k x k Zπω+=∈由题意可得35(21),,,,2222n x ππππωωωω-=即1234357,1,,1,,1,,1,2222A A A A ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由是等腰直角三角形，得，即，得123A A A △12231A A A A k k ⋅=-11221ππωω⋅=--12πω=同理是等腰直角三角形，得，得147A A A 44171A A A A k k ⋅=-232πω=同理是等腰直角三角形，得，得6111A A A 611611A A A A k k ⋅=-352πω=从而得出(21)2n n πω-=故答案为：(21)2n π-【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦函数的性质求出最值点的坐标，进而由斜率公式归纳得出.n ω17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.12n n a -=220110210【分析】（Ⅰ）利用与的关系求解即可；n a n S （Ⅱ），利用裂项相消法求和即可.()11111n c n n n n ==-++【详解】（Ⅰ）当时，，，2n ≥11n n a S +=+11n n a S -=+两式相减得，即得，1n n n a a a +-=12n n a a +=因为，，11a =211122a S a =+==所以当时，，所以；1n ≥12n n a a +=12n n a -=（Ⅱ）因为，则，n b n =()1111111n n n c b b n n n n +===-++所以10112020c c c ++⋯+1011111211111120202021=-+-+⋯+-．11202120112021010=-=【点睛】方法点睛：数列的裂项相消法，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项.三大特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x (x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”；（3）分母上几个因数间的差是一个定值；（3）分母上几个因数间的差是一个定值；裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”.18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ.【分析】（Ⅰ）根据长度先证明，再根据面面垂直的性质得到平面，结合线AC BC ⊥AC ⊥BCE 在面内完成证明；（Ⅱ）先根据已知的位置关系确定出二面角的平面角，然后建立合适空间直角B AC E --坐标系，分别求解出的方向向量以及平面的法向量，根据两个向量夹角的余弦值AB ACE 求解出线面角的正弦值，从而线面角的余弦值可求.【详解】（Ⅰ）证明：在中，，ACB △2222cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=所以，所以．222AC BC AB +=AC BC ⊥因为平面平面，平面平面，，BCE ⊥ABC BCE ABC BC =BC AC ⊥所以平面，AC ⊥BCE 又因为平面，所以．CE ⊂BCE AC CE ⊥（Ⅱ）法一：因为，又，平面平面，AC CE ⊥BC AC ⊥ACE ABC AC =所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．BCE ∠EAC BAC 45BCE ∠=︒即为等腰，取BC 中点为O ，EBC Rt △则，取AB 中点为F ，连接OF ，OE BC ⊥则，如图建系得OF BC ⊥，，，，32A ⎛⎫- ⎪⎝⎭30,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭3,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭设平面EAC 的一个法向量为，(,,)n x y z =，，CA =33,0,22CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，0000CA n CE n x z ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩令，则，1x =(1,0,1)n =-又，直线AB 与平面ACE 所成的角为，AB =θ则||sin ||||AB n AB n θ⋅===⋅ cos θ==（Ⅱ）法二：因为，又，平面平面，AC CE ⊥BC AC ⊥ACE ABC AC =所以是平面与平面所成的二面角的平面角，BCE ∠EAC BAC即．45BCE ∠=︒因为，，，BE EC ⊥AC BE ⊥EC AC C ⋂=所以平面．BE⊥ACE 所以是直线与平面所成的角．BAE ∠AB ACE 因为在中，．Rt BCE sin 45BE BC =︒=在中，，Rt BAE △sin BE BAE AB ∠==则cos BAE ∠==【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.19．（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）证明见解析.115【分析】（Ⅰ）由题意，登至第3级的基本事件{3次偶数，1次奇数1次偶数}，即可能(3)X (3)X 取值为2，3，每次掷奇数、偶数的概率都为，根据二项分布，并结合古典概型求概率，12写出分布列并出求期望；（Ⅱ）从第级登至第级的概率为，从第级登至第级的概率为，由条件2n -n 121n -n 12概率及概率加法公式得并整理，又即可证等比数列.()1212n n n P P P --=+0111,2P P ==【详解】（Ⅰ）由定义知，可能取值为2，3．(3)X 根据条件概率计算公式得：，1112113121114222((3)2)551118222C P X C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．31131211128((3)3)551118222P X C ⎛⎫ ⎪⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的分布列为(3)X ∴(3)X 23P4515∴．4111((3))23555E X =⨯+⨯=（Ⅱ）证明：由题意，，则；()1212n n n P P P --=+()1121(249)2n n n n P P P P n ----=--≤≤又，1011=122P P --=-∴数列是首项、公比均为的等比数列．{}1(149)n n P P n --≤≤12-【点睛】关键点点睛：（1）由登至第n 级的各个基本事件都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由概率加法公式，结合古典概率求登至第n 级概率；（2）理解登至第级可以从第级或第级一次性完成，结合概率加法公式确定n 2n -1n -的关系式.12,,n n n P P P --20．（Ⅰ）；（Ⅱ）1.22143x y +=【分析】（Ⅰ）设，利用直接法即可求解.(,)M x y （Ⅱ）延长交椭圆于点，根据椭圆的对称性，1AF C 1A 121111AF BF AF A F AA +=+=设，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，再利用点到直线的1:(1)AF l y k x =-1AA 距离公式求出点到直线的距离，进而表示出2F 1AF，解方程即可.()121212F F BA S AF BF =⨯+⨯=【详解】（Ⅰ）设，(,)M x y 12=整理得，即为曲线的方程．22143x y +=（Ⅱ）由题意知，延长交椭圆于点，12//AF BF 1AF C 1A 由椭圆的对称性知，112A F BF =所以，121111AF BF AF A F AA +=+=设，与联立消得，1:(1)AF l y k x =-22143x y+=，2222(34)84120k x k x k +-+-=设，，()11,A x y ()122,A x y 则，，2122834kx x k +=+212241234k x xk-=+所以1AA 2x =-==，()2212134k k+=+因为点到直线的距离2F 1AF d =所以()121212F F BA S AF BF=⨯+⨯()2212134k k +==+平方化简得，4217+180k k -=解得或（舍），21k =21817k =-因为，所以．0k >1k =【点睛】关键点点睛：本题考查了直接法求动点的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的性质可得，求出弦长，考查了运算求解.121111AF BF AF A F AA +=+=21．（1）或；（2）.12a =32a =(],1-∞【分析】（1）计算导数，可得，，得到切线方程，然后根据直线与圆相切进行简()'f x (0)f '(0)f 单计算即可.（2）构造函数，并求得，然后按，分别进行讨论，判段函()()1h x f x =-()h x '1a ≤1a >数单调性并求最值，最后进行计算即可.【详解】（1）由题知，，．()2cos x f x e a x '=-+(0)1f =在点的切线斜率为，()f x ∴(0,(0))f (0)22f a '=-在点的切线方程为，()f x ∴(0,(0))f (22)1y a x =-+即，(22)10a x y --+=，解得或．=12a =32a =（2）设()()12sin 1x h x f x e ax x =-=-+-，()2cos x h x e a x '∴=-+设，，()2cos x m x e a x =-+()sin x m x e x '∴=-当时，，，，0x ≥1x e ≥1sin 1x -≤≤()0m x ∴'≥即在上是增函数，，()m x ∴()h x '[)0,+∞(0)22h a '=-当时，，1a ≤220a -≥则当时，，0x ≥()(0)220h x h a ''≥=-≥函数在上是增函数，∴()h x [)0,+∞当时，，满足题意，∴0x ≥()(0)0h x h ≥=当时，，1a >(0)220h a '=-<在上是增函数，，()h x ' [)0,+∞(ln(21))1cos(ln(21))0h a a '+=++>存在上，使，∴()00x ∈+∞,0()0h x '=当时，，00x x <<0()()0h x h x ''<=函数在是减函数∴()h x ()00,x 当时，，不满足题意．∴00x x <<()(0)0h x h <=综上所述，实数的取值范围为．a (],1-∞【点睛】方法点睛：求曲线在某点处的切线方程：（1）求导；（2）计算；（3）()00,x y ()f x '()()00,f x f x '点斜式可得方程.利用导数求参常用方法：（1）构造函数利用导数判断原函数单调性并求最值判断（必要时对参数进行讨论）；（2）分离参数，并构造新函数，利用导数求新函数的最值.22．（Ⅰ）；；（Ⅱ.24(3)y x =+22sin 4cos 120ρθρθ--=【分析】（Ⅰ）消参可得曲线的普通方程，然后经过平移可得曲线的普通方程，最后根据1C C ，可得极坐标方程.cos x ρθ=sin y ρθ=（Ⅱ）方法一：使用极坐标方程，可得，，然后化简计算，结合，12ρρ+12ρρ0(0,)θπ∈可得结果;方法二：设直线的参数方程，代入曲线普通方程结合参数的几何意义进行计算可得结果.【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，1C 24y x =依题意得曲线的普通方程为，C 24(3)y x =+令，得，cos x ρθ=sin y ρθ=曲线的极坐标方程为；C 22sin 4cos 120ρθρθ--=（Ⅱ）法一：将代入曲线的极坐标方程得，0θθ=C 2200sin 4cos 120ρθρθ--=则，，012204cos sin θρρθ+=122012sin ρρθ=-，，异号，120ρρ< 1ρ∴2ρ11||||OA OB ∴+1211ρρ=+1212ρρρρ-==，0==，，0(0,)θπ∈ 0sin (0,1]θ∴∈，111||||3OA OB ⎛∴+∈ ⎝则的最大值为11OA OB +法二：设直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），l cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩t ϕ代入曲线的普通方程得，C 22sin 4cos 120t t ϕϕ--=则，，1224cos sin t t ϕϕ+=12212sin t t ϕ=-，，号．120t t < 1t ∴2t 1212121111||||t t OA OB t t t t -∴+=+===，=，，(0,)ϕπ∈ sin (0,1]ϕ∴∈，111||||3OA OB ⎛∴+∈ ⎝则的最大值为11OA OB +【点睛】方法点睛：第（Ⅰ）问：消参；平移；利用，转化.第（Ⅱ）问：假cos x ρθ=sin y ρθ=设直线参数方程；联立曲线方程；使用韦达定理，根据参数几何意义计算.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）化简函数的解析式，求出函数的最大值，结合基()234g x x x x =-+--+()g x 本不等式可证得结论成立；（2）利用分析法得出所证不等式等价于，然后利用基本()()()2lg 1lg 5lg3m m m +⋅+<+不等式结合对数函数的单调性可证得结论成立.【详解】（1）令，()33,22341,235,3x x g x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩则函数在上是增函数，在上是减函数，即，()g x (],3-∞[)3,+∞()()max 32g x g ==当时，由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立，0m >12m m +≥=1m =所以原式得证；（2）由于，则，0m >5311m m m +>+>+>即，()()()lg 5lg 3lg 10m m m +>+>+>要证明，只需证，()()13log 3log 5m m m m +++>+()()()()lg 3lg 5lg 1lg 3m m m m ++>++即证，()()()2lg 1lg 5lg 3m m m +⋅+<+又()()()()()()22lg 1lg 5l 4g 1lg 52lg 15=m m m m m m +++⎡⎤+⋅+<⎢⎥⎣++⎡⎤⎣⎦⎦.()()()()2222222lg 3lg 65lg 69lg 3444m m m m m m ⎡⎤+++++⎣⎦=<==+所以．()()13log 3log 5m m m m +++>+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
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，
即 故应选 ．
，解得
．
4. A 解析:
二项式
的展开式的通项公式为
，
令
，求得 ，可得展开式中常数项为
．
故选： ．
5. B
解析:
∵三种型号车的产量为
，
则根据分层抽样 型车应抽
，
型车应抽
，
，
∴
，
．
6. B 7. C
解析: 由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，
6
该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，
的图象向左平移 （
）个单位得到函数
的图象，则
2
10. 已知曲线
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
在点
处的切线方程为
，则（ ）．
11. 已知 是定义在 上的偶函数， ）．
A. B. C. D. 无法计算
是定义在 上的奇函数，则
的值为（
12. 设 是双曲线 ：
（
，
）的右焦点， 为坐标原点，过 的直线交双曲
线的右支于点 ， ，直线 交双曲线 于另一点 ，若 曲线 的渐近线的斜率为（ ）． A.
其中腰长为 ，高为 ，而球体的半径为 ，
所以该组合体的体积为：
半球体
三棱锥
．
故选 ．
8. D
解析:
由
得焦点为
，准线
，
过 作 垂直直线
于，
根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以有
，
连接 ， ，有
，
所以 为 与抛物线的交点时，
点 到点
的距离与点 到直线
的距离之和的最小值为
所以点 到点
．
（ 1 ） 求数列 的通项公式．
（2） 记
，数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
4
20. 已知函数 （1） 若 （2） 记
．
恒成立，求 的取值范围．
，若 在区间
上有两个零点，求 的取值范围．
21. 已知椭圆
的左，右焦点分别为 ， ，若椭圆经过点
，
且
的面积为 ．
（ 1 ） 求椭圆 的标准方程．
（ 2 ） 设斜率为 的直线 与圆
（ 2 ） 已知直线 与曲线 交于 ， ，设
，且
，
．
，求实数 的值．
23. 设函数 （ 1 ） 解不等式 （2） 若
． ．
对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】 1. A
解析:
∵ ∴ 即 故பைடு நூலகம் ．
， ， ， ．
5
2. C
解析:
∵
，
∴ 的共轭复数为
．
故选 ．
3. B
解析:
因为
，
，所以
，
又
，所以
A. B. C. D.
5. 某公司生产 ， ， 三种不同型号的轿车，产量之比依次为
，为检验该公司的产品质量，
用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中 种型号的轿车比 种型号的轿车少 辆，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
6. 已知 ， 为非零实数，且 A. B.
，则下列命题成立的是（ ）．
1
C. D.
2020年陕西西安高三二模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知 是实数集，集合
A.
B.
， C.
，则 D.
（ ）．
2. 已知 是虚数单位，复数
A.
B.
，则复数 的共轭复数为（ ）．
C.
D.
3. 已知向量 A.
，
，若
，则 （ ）．
B.
C.
D.
4.
的展开式中常数项为（ ）．
交于 ， 两点，与椭圆 交于 ， 两点，且
，当 取得最小值时，求直线 的方程并求此时 的值．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在直角坐标系中，直线 的参数方程为
（ 为参数），以原点为极点， 轴的非负
半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（ 1 ） 求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程．
，且
，则双
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在区间 内任取一个实数，则此数大于 的概率为
．
14. 函数
的单调增区间是
．
15. 在
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
，则角 的值为
．
的面积
，若
16.
3
在三棱锥
中，已知
平面 ，且
为正三角形，
锥
的外接球的球心，则点 到棱 的距离为
，因此
．
12. D 解析: 设双曲线的左焦点为 ，由双曲线的对称性可知四边形
为平行四边形，
∴
，
，
设
，则
，
∴
，
即
，
，
∵
，
∴
，
又
，
在
中，由余弦定理可得：
，
即
，
∴
，
，
∴双曲线 的渐近线的斜率为
．
故选 ．
13.
8
解析:
根据几何概型可知，所求概率为
．
故答案为： ．
14.
解析:
由题意，函数
满足
，解得
即函数
的定义域为
的距离与 到直线
的距离和的最小值是
故应选 ．
， ，
9. B 解析: 由题意知，
所以 取最小值 ．
故选 ．
的图象向左平移 （
）个单位得到函数
的图象，
，当
时，
10. D
解析:
曲线
在点
处切线方程为
，
∴
，
，
∴
，
7
解得
，
．
故选 ．
11. C 解析: 因为
∴ 故选 ．
是定义在 上的奇函数， ，
，所以
，因为 是定义在 上的偶函数，所以
中，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∵
平面
，
平面
∴
平面
．
（ 2 ）在正四棱柱中，分别以 ， ，
，
，
， 为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
∴
，
，
设平面
的法向量
，则
取
，则
，
同样可求出平面
的一个法向量
∴
，
∴二面角
的正弦值为
．
，
，
，
，
，
18.（ 1 ） 人．
（2） ．
解析:
（ 1 ）因为“语言表达能力”科目中成绩为 的考生有 人，
所以该考场有
（人），
所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为 的人数为
．
（ 2 ）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为 的频率为
11
． 该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为
．
19.（ 1 ）
．
（2）
．
解析:
（ 1 ）当
时，
，得
，
当
时，
，①
，②
① ②得，
，
所以数列 是以
为首项，以 为公比的等比数列，即
7. 如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三 角形，则该几何体体积为（ ）．
正视图
侧视图
俯视图 A. B. C. D.
8. 点 是抛物线 值是（ ）． A. B. C. D.
上一动点，则点 到点
的距离与点 到直线
的距离和的最小
9. 将函数 的最小值为（ ）． A. B. C. D.
，
令
，则函数 在
单调递减．
在区间
单调递增．
再根据复合函数的单调性，
可得函数
的单调递增区间为
．
或
．
15. 解析: 因为 又 所以 所以 所以 由 所以 所以 因为 所以得 所以
．
，
，
，由余弦定理得
．
结合正弦定理，得
，即
，
，
，或
（舍去），
．
，
． ，
16.
解析:
为
的中心， 为 中点，
连结 ， ，则
，
，得
，
（2）
．
解析:
（1） 由直线 的参数方程为
， ．
（ 为参数），消去 得
，
所以直线的极坐标方程为
由
，得
， ，
14
由
，
代入，得曲线 的直角坐标方程为
．
（ 2 ）显然 在直线 上，将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立，
得
，
则
且
，
，
设点 ， 分别对应参数 ， 恰为上述方程的根，
则
，
，
，
由题设得
，
则有
，得
其中“语言表达能力”成绩等级为 的考生有 人．
频率 科目：语言表达能力
频率 科目：竞争与团队意识
等级 （ 1 ） 求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为 的人数．
等级
（ 2 ） 已知等级 、 、 ， 、 分别对应 分， 分， 分， 分， 分．求该考场学生“语言表达