中考数学总复习 数与式 (学生版)
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数(附答案解析)
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义；3.会用科学记数法表示数；4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念．会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根，会用平方运算求百以内整数的平方根；5.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题．★中考预测★--------------统计考题频次，把握中考方向1.实数与运算在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为14~28分。
2.预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养有理数及其相关概念1.整数和分数统称为有理数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）2.正整数、0、负整数统称为整数。
正分数、负分数统称分数。
3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
4.正数和负数表示相反意义的量。
【注意】0既不是正数，也不是负数。
数轴 1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
数轴是一条直线。
2.所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。
3.数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表第1页共44页。
数与式的运算(学生版)--初升高数学专项训练
数与式的运算--初升高数学专项训练专题综述初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）n的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.课程要求《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂知识精讲高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b ab +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b aab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b212x ++，22x y +，1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如-与a与，+b +与b -互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b ≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB 具有下列性质：A A MB B M ⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程:|x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【变式训练】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简2+|−U −|−U .【能力提升】已知方程组+=5+4−=10−6的解、的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：2+2−2−3.高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +---【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2+【变式训练】÷时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝+她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2ba b-+，其中，．高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值22122(121x x x xx x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0．【变式训练】化简：22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2）【能力提升】已知：112a b-=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？对点精练1．下列运算正确的是（）A ．2xy xy y -＝-xx yB =C ．3x 3﹣5x 3＝﹣2D ．8x 3÷4x ＝2x 32．下列计算结果正确的是（）A ．321222x x x +=---B ．235()x x =C ．5()xy -÷3()xy -=22x y -D ．22352x y xy xy-=-3．若式子1xx +有意义，则下列说法正确的是（）A ．1x >-且0x ≠B ．1x >-C ．1x ≠-D ．0x ≠4．计算3311a a a ---的结果是（）A ．3B ．0C ．1a a -D ．11a -5．若||4=a ，||2=b ，且+a b 的绝对值与相反数相等，则-a b 的值是（）A ．2-B ．6-C ．2-或6-D ．2或66．设有理数a 、b 、c 满足(0)a b c ac >><，且c b a <<，则222a b b c a cxx x ++++++﹣﹣的最小值是（）A ．2a c-B ．22a b c++C ．22a b c++D ．22a b c+-7．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abca b c abc+++的所有可能的值为（）．A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，48．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n 的代数式表示）（）．A B C D9最接近的整数是（）A ．3B ．4C ．5D ．610．设a 的小数部分，b 的小数部分，则21b a-的值为（）A 1B 1+C 1--D 1+11．若113-=a b ，则分式2322a ab b a ab b+-=--______﹒12．若分式222x x x ---的值为零，则x 的值为_______．13．已知整数a 满足13a <£，则分式2214aa a ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值为________．14．计算2的结果等于_________．15．计算21)-=__．16．化简：23a b =___________17____．18．若有理数x ，y ，z 满足（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）＝36，则x +2y +3z 的最小值是_____．19．已知|2||1|9x x ++-=x y +的最小值为__．20．已知式子|x+1|+|x ﹣2|+|y+3|+|y ﹣4|＝10，则x+y 的最小值是_____．21．（1）计算：1031(2)|2|(2)2-⎛⎫-+---- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：221224x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =-．22)1．23．已知a ，b ，c 满足2|3|(5)0a c ++-=，请回答下列问题：（1）直接写出a ，b ，c 的值．a =_______，b =_______，c =_______．并在数轴上表示．（2）a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，若点A 以每秒1个单位长度向右运动，点C 以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A ，C 两点相距几个单位长度．②几秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．25．（1）已知250x x -=，求代数式2210x x --的值；（2）化简：226993x x x x x ++---．26．先化简，再求值：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭，其中x =27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．（1）嘉嘉认为污染的数为3-，计算“A B +”的结果；（2）若3a =“A B -”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．28．（1）计算：1202211|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭︒π（2）先化简再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =-．29．已知2210a a +-=，求代数式242a a a a ⎛⎫--÷⎪⎝⎭的值．30．计算：（1）()()()345222a a a ⋅÷-（2）()3242(3)2a a a -⋅+-（3）34()()x y y x -⋅-（4）220191(1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭。
(完整版)中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案 第一章 数与式《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查，北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35%左右，分量之中，不容忽视！一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右） （一） 实数（一课时）（二） 整式与因式分解（一至两课时） （三） 分式与二次根式（两课时）（四） 数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时）说明：您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容。
二、课时教案第一课时 实数教学目的1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值． 3．会用科学记数法表示数．4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题． 5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用． 教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较． 教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）． 教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧比较大小念平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类实数 2．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧科学记数法运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算（二）例习题讲解与练习例1 在3.14，1-5，0，2π，cos30°，722，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易）（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38-不是无理数） ③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2π是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2 （1）已知a -2与2a+1互为相反数，求a 的值；（2）若x 、y 是实数，且满足(x -2)2+3y x +-=0，求(x+y)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念． 考查层次：易）（这是基础知识，由学生解答，老师总结） 【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数⇔a+b=0；a 、b 互为倒数⇔a ·b=1．（2）非负数概念：例3 （1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________．（2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________．（3）①化简=-π5_________；②347-=__________；③估计215-与0.5的大小关系是215- 0.5（填“ > ”、“=”、“<”） ． （答案：（1）3x +；（2）a+b<a<-b<a-b ；（3）①7-π；②347-；③ >）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等． 考查层次：中）（这是一组较为基础的题，（1）与（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法，由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳，）【归纳】：（1）问题（1）若数轴上的点A 表示的数为x 1，点B 表示的数为x 2，则A 与B 两点间的距离可表示为AB=12x x -，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．（2）问题（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．（3）绝对值的意义：（4）估算一个无理数的方法：平方法、被开方数法．（5）比较大小的方法：数轴图示法、作差法、平方法，其中第（2）小题还可以采用赋值法． 练习一：（供选用）1．21的相反数是_____；-3的倒数是_____；-5的绝对值是_____；9的算术平方根是____；-8的立方根是____．2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ． 3．下列各式中正确的是（ ）2题图A ．2)2(2-=-B ．2121-=-C ．()()22--=-+D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121 4．（1）写出一个小于2-的数： ；（2）绝对值小于5的所有整数的和是_____． 5．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（ ）。
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初三数学复习 数与式 第一课时 实数的有关概念【知识要点】（一）实数的有关概念 （1）实数的分类当然还可以分为：正实数、零、负实数。
有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数 （2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。
（3）绝对值绝对值的代数意义：||()()()a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
（4）相反数、倒数实数的相反数记为－，非零实数的倒数记为，零没有倒数。
a a a 1a 若a 、b 两个数为互为相反数，则a+b=0。
若m 、n 两个数互为倒数，则m·n=1。
（5）三种非负数： ||()a a a a ，，都表示非负数。
20≥“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。
（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。
如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．一个正数a 的正的平方根，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧—无限不循环小数—无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数叫做a 的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作 ．（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。
1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法： 把一个数用 (1≤ ＜10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．【典型例题：】P2例1、(2012贵州六盘水，5，3分)，13，π，cos 45︒，0.32中无理数的个数是（ ▲ ）A ．1 B ．2C ．3D ．4点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数．P2例4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.例题补充、（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111，第2位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+121，…这样得到的20个数的积为_________________.第二课时：实数的运算及比较大小【知识要点】一、实数的运算1.加法： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法： 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法： 除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． (2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． (3)零指数与负指数二、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b，若a-b＞0 a＞b； a-b=0 a=b； a-b＜0 a＜b. 4.对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a＞b＞0，a2＞b2 则a＞b ； 或利用倒数转化：如比较与.三、实数运算顺序 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．四、实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc【典型例题：】P3例3（2012山东省聊城，10，3分）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是3和-1，则点C所对应的实数是（）A. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1P4例 4(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：第1个等式：a1==×（1﹣）；第2个等式：a2==×（﹣）；第3个等式：a3==×（﹣）；第4个等式：a4==×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n= = （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算．第三课时：整式与因式分解（1）：【整式知识梳理】 代数式的分类幂的乘方，底数不变，指数相乘。
专题03 分式及其运算(4大考点)(学生版)
第一部分数与式专题03分式及其运算核心考点核心考点一分式的概念核心考点二分式的基本性质核心考点三分式的运算核心考点四分式的化简求值新题速递核心考点一分式的概念（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x，1π，224x+，x2﹣23，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个（2022·内蒙古包头·1x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．（2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：2269111a aa a++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，从-3，-1，2中选择合适的a 的值代入求值．注意1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，否则分式无意义。
知识点：分式的概念一般地,如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母,那么式子AB叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
（1）分式有意义的条件:分母不为零，即()0AB B≠（2）分式值为零：分子为零，且分母不为零。
即A B（0A =且0B ≠）【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M =2211121x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭－－＋＋＋，下列说法正确的是（）A ．当x =1时，M 的值为0B ．当x =﹣1时，M 的值为﹣12C ．当M =1时，x 的值为0D ．当M =﹣1时，x 的值为0【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若21(1)ma =--（m 为正整数），且a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，则2()m m ab b b c +--的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．0或2-【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数1y ，2y ，其中1y 的图象与x 轴交点的横坐标为2且经过点()1,2，22y mx =-．(1)求函数1y 的关系式；(2)当2y 的图象经过两点11,22n ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),1n 时，求22n m +的值；(3)当1x >时，对于x 的每一个值，都有12y y <，求m 的取值范围．核心考点二分式的基本性质（2020·河北·中考真题）若a b ¹，则下列分式化简正确的是（）A ．22a ab b +=+B ．22a ab b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b =（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）3224x x x -+．知识点：分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
(完整word版)初三总复习---数与式复习
数与式复习北京第三十九中学商立群 2015.03.05数与式这部分内容是是初中数学的基础，内容包括实数、整式、分式和二次根式，是解方程（组）、不等式（组），解决概率和统计等有关计算问题的基础，还是许多图形问题中有关数量表达的基础，也是中考最直接得分的手段。
数与式这部分内容在2010、2011、2012、2013、2014年的北京市中考题中直接考查这部分知识的题目分别占了29分、34分、26分、26分、26分。
这部分内容的特点是概念多、性质多、运算法则多、技能性强.常见的考题类型，主要以“易”为主，中档问题主要有，配方和12题规律归纳。
但复习中不要忽视学生的代数分析能力和数学思想方法的培养，这些对综合问题的解决起着关键性作用。
主要考点：1．求实数的相反数，绝对值等有关的概念；2．科学计数法；3．分式与二次根式有无意义的条件与分式值为零的条件；4．简单的因式分解（提公因式法，公式法，不超过两次）；5．绝对值与平方数及二次根式的非负性；6．找规律及用代数式表示规律的问题。
7．二次多项式的配方变形。
8．实数的运算：含有整数指数幂（0次或负指数次）、特殊三角函数值、二次根式的化简（根号下仅限于数）绝对值在内的综合运算；9化简求值；整式与分式的运算---先化简再求值分式了解分式和最简分式的概念；(新增)会确定分式有意义或使分式的值为零条件（14年B）能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算；能选用恰当方法解决与分式有关的问题二次根式了解二次根式和最简二次根式的概念；(新增)会确定二次根式有意义的条件能根据二次根式的性质对二次根式进行变形；会用二次根式的运算法则进行简单运算（根号下仅限于数）(新增)对比2014年考试说明的变化：（红色为变化的内容，蓝色为新增的内容）对比14年，15年考试说明：A级由24知识点变为12个，B级知识点由22个变为10个，C级知识点由6个变为2个，主要是基本知识进行了整合，内容没有大的变化。
中考数学总复习资料 数与式
中考数学总复习资料第一部分---数与式实数基础知识点一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 ★判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数（符号不同）的两个数叫做互为相反数（a 和b 互为相反数⇔a+b=0）2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）0没有倒数 3、绝对值：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a （2）实数的绝对值----非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）化简必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴---数轴的三要素。
2、实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
2、减法—减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
中考数学复习 数与式专题复习
数与式专题复习一、判断运算正确与否1、下列运算中，计算结果正确的是（ ）A .632x x x =⋅ B .222+-=÷n n n x x xC . 9234)2(x x =D .633x x x =+ 2、下列因式分解中，结果正确的是( )A ．()()2422x x x -=+-B ．()()()21213x x x -+=++C ．()23222824m n n n m n -=-D ．222111144x x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭3、下列运算正确的是（ ）A ．ab b a 532=+B ．b a b a -=-4)2(2C ．22))((b a b a b a -=-+D ．222)(b a b a +=+ 4、下列各式：①21()93--=②()02-=1 ③222)(b a b a +=+ ④()622393b a ab =- ⑤x x x -=-432，其中计算正确的是5、下列运算正确的是（ ）A ．(3xy 2)2＝6x 2y 4 B ．22124xx -= C ．(－x )7÷(－x )2＝－x 5 D ．(6xy 2)2÷3xy ＝2xy 3 6、下列等式不成立的是（ ）A.m 2 -16=(m-4)(m+4)B.m 2 +4m=m(m+4)C.m 2-8m+16=(m-4)2D.m 2+3m+9=(m+3)27、下列各式计算正确的是（ ） A ．m 8÷m 4=m 2 B. a 2∙a 3=a 6 C. yx 2y 1x 1+=+ D. 6÷32= 8、在下列运算中，计算正确的是（ ）A ． 725)(x x =B ． 222)(y x y x -=-C ． 10313x x x =÷D ． 633x x x =+二、近似数和科学计数法1、据某网站报道：一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染．某校团委四年来共回收废旧纽扣电池3500粒．若这3 500粒废旧纽扣电池可以使m 吨水受到污染．用科学记数法表示m 为2、我市植树造林成绩显著 截至今年5月8日 全市完成平原造林204 844亩 已超过全年任务的八成.将204 844用科学 记数法表示 ，保留2个有效数字约为3、 2012年3月12日 国家财政部公布全国公共财政收入情况 1-2月累计 全国财政收入20918.28亿元 这个数据用科学记数法表示并保留两个有效数字为4、2012年1月21日 北京市环保监测中心开始在其官方网站上公布PM2.5的研究性监测数据. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米即2.5微米的颗粒物也称为可入肺颗粒物. 把0.0000025用科学记数法表示为5、在日本核电站事故期间 我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米，将 0.000 0963用科学记数法表示6、我国1990年的人口出生数为23784659人。
2013-2014中考数学专题复习学生版第一讲 实数
第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。
如：2π是 数，不是 数， 722是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
中考数学数与式针对训练(学生版)
“数与式”针对性训练（学生版）第一部分 关于概念的考查1．（2010江苏苏州）32的倒数是 A ．32 B ．23 C ．32- D ．23-2. （2010 福建三明）如果□,1)23(=-⨯则□内应填的实数是（ ）A ．23-B ．32- C ．23 D ．323．（2010江苏苏州）据报道，2010年苏州市政府有关部门将在市区完成130万平方米老住宅小区综合整治工作．130万(即1 300 000)这个数用科学记数法可表示为A ．1．3×104B ．1．3×105C ．1．3×106D ．1．3×1074．（2010山东青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）． A ．精确到十分位，有2个有效数字 B ．精确到个位，有2个有效数字 C ．精确到百位，有2个有效数字 D ．精确到千位，有4个有效数字 5．（10湖南益阳）数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为A. 6或6-B. 6C. 6-D. 3或3- 6．（2010浙江金华）如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ） A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜17．（2010 山东济南）某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高 （ ） A ．-10℃ B．-6℃ C．6℃ D．10℃8. （2010山东济宁）把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是 A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y - 9．（2010浙江绍兴）因式分解：y y x 92-=_______________.10．（2010山东潍坊）分解因式：xy 2－2xy ＋2y －4＝ ． 11．（2010四川乐山）下列因式分解：①324(4)x x x x -=-；②232(2)(1)a a a a -+=--；③222(2)2a a a a --=--；④2211()42x x x ++=+. 01A(第9题图)其中正确的是_______.(只填序号) 12．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式________。
数与式的中考复习汇总
数与式的中考复习汇总数与式是数学中的基本概念，对于中考来说是非常重要的内容。
下面是数与式的中考复习汇总，供你参考。
一、基本概念1.数与式的概念：数是表示事物数量的抽象概念，式是由数和运算符号组成的算式。
2.数的分类：整数、有理数、无理数、实数。
3.有理数的性质：有理数可表示为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。
4.无理数的概念和性质：无理数不能表示为有限小数或无限循环小数。
5.实数的分类：有理数和无理数的并集即为实数。
6.数的比较：相等、大于、小于、不等于的概念。
二、整数运算1.加法和减法法则：同号相加、异号相减，记号保持与被减数相同。
2.乘法和除法法则：同号得正，异号得负；分数相乘，正负性由分数的正负号决定；除法可以转化为乘法运算。
3.绝对值：一个数与其绝对值的关系。
4.整数的混合运算：根据运算顺序，先乘除后加减。
三、分数运算1.分数的概念：分子和分母的含义及分数的整体含义。
2.分数的比较：分数的大小比较通过通分后比较分子大小。
3.分数的化简和约分：将分数化为最简形式。
4.分数的加法和减法：通分后进行分子的加减运算，记号与被减数一致。
5.分数的乘法和除法：将分子和分母分别相乘或相除。
6.假分数和带分数的相互转化。
7.分数的四则运算：根据运算顺序，先乘除后加减。
四、代数式的运算1.代数式的概念：由运算符号和字母组成的式子。
2.代数式的加法和减法：同类项合并。
3.代数式的乘法：乘法法则及乘法交换律。
4.代数式的除法：除法法则及除法运算的定义。
5.代数式的混合运算：根据运算顺序进行相应的运算。
6.同义式的应用：解方程、证明恒等式等。
7.开平方的应用：判断二次根式是否为整数、化简二次根式。
五、数与式的综合运用1.合理估算：对于结果的大小进行近似计算。
2.适当计算：选择合适的运算方法和顺序计算。
3.合理求解：根据实际问题列出代数式，解方程或计算。
4.应用题：根据题意进行有关运算，解决实际问题。
六、错误分类与分析1.基础错误：对基本概念和运算法则理解不清。
(完整word版)初中数学中考复习专题之数与式
5.在函数一、实数运算知识梳理 (1) Ja 2 a , (Ja)2 a b ■' a b , ■— \ba,a 0(2) a,a, a 0 (3) a 01(a 0) 1 ⑷a p -p (a 0)a p (5 )特殊角的三角函数值： (6) 1n(7) 数与式a b,ab a b b a,a b30°： sin30° = 45 °： sin45° = 60°： sin60° =1, n 为偶数 1, n 为奇数 大数的科学记数法: 例如: 小数的科学记数法: 例如: cos30° = ， tan30°cos45° = __ ，tan 45° = cos60 ° = __ ， tan 60° =98000000000=9.8 1010 0.00000098=9.8 10 7基础过关 1•下列计算正确的是（ A. 3=3 ) B . -2-2=0 C . 20=0 5)= -102 •计算(1 ■. 2)0的结果为（ A . B. C. 2 D .3.在（3)2, 3), | 3|, .3这四个实数中，最大的是（ 3)2B.- (-3 )C.-|-3|D.4. 2010年春节黄金周节前、节后，成都交通部门 7天累计发送旅客约 412.02万人次。
数 “ 412.02万”用科学计数法可记为（ ） A . 412.02 104 B . 4.1202 106 C. 4.1202 102 D . 4.1202 104 中,自变量 x 的取值范围是6 . 2 2009 3 2010的个位数字是_____ .7.若x,y为实数，且|x 2| 0,则（x y）2010的值为______________例题解析例1: 8的立方根为（）A.2B. ± 2C.4D. ± 4变式练习：1.如图，数轴上点P所表示的实数可能是（）A. .6P B. ..15 ------------------ '；；0 二-2 -1 0 1 2 3 4 5C. .. 16D. 3272.如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（）A . a b 0B . a b 0C . ab 0;D . |a| |b| 0 .例2：一生物老师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为科学计数法表示为 _______________ 米。
中考数学复习数与式
中考复习数与式2一.代数式的概念— 单项式—整式—— 有理式— — 多项式代数式 — —分式— 无理式（根式）1.单项式（1）单项式：数与代表数的字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。
注意：数与字母之间是乘积关系。
例：3x 2也是数与字母的积（32与x 的积）。
特征：分母中无字母。
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数。
如：2xy 的系数是2；-5zy 的系数是-5 。
2πab 的系数是2π 如果一个单项式，只含有字母因数，则有：带正号的单项式（例如ab 2）的系数为1；带负号的单项式（例如：-ab 2）的系数为-1。
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例题：1、单项式322y x -的系数是 ，次数是 。
2、单项式n m 3π-的系数是 ，次数是 。
2.多项式（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
某项的次数是几，该项就叫几次项。
不含字母的项叫做常数项，也叫零次项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号（正负号）。
（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
根据次数和项数把该多项式叫做几次几项式。
（3）多项式的排列：1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。
例题：1、多项式a b a a 3323--23b b +是 次 项式，按b 的降幂排列为 。
2、对于代数式：1，r ，11+x ，312+x ，)(22b a -π，πx 2；属于单项式的有 ，属于多项式的有 。
课堂练习:1．下列各式中是多项式的是 （ ）A .21- B .y x + C .3ab D .22b a - 2．下列说法中正确的是（ ）A .x 的次数是0B .y 1是单项式 C .21是单项式 D .a 5-的系数是5 3.整式：单项式和多项式统称为整式。
2021年中考数学真题分类汇编--数与式：实数的运算及比较大小(学生版)
中考真题分类汇编（数与式）----实数的运算及大小比较一、选择题1.（2021•湖南省常德市）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A. ②④B. ①②④C. ①②D. ①④2.（2021•湖南省邵阳市）如图，若数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m+n的值可能是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣23.（2021•长沙市）下列四个实数中，最大的数是（）A. 3-B. 1-C. πD. 44.（2021•江苏省南京市）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A. 10：00B. 12：00C. 15：00D. 18：005.（2021•山东省泰安市）下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（）A．﹣4B．|﹣4|C．0D．﹣2.86.（2021•陕西省）计算：3×（﹣2）＝（）A．1B．﹣1C．6D．﹣67.（2021•河北省）若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（）A．﹣100B．﹣144.2C．144.2D．﹣0.014428.（2021•四川省南充市）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（）A．﹣2B．2C．1D．﹣19.（2021•天津市）17值在()A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间10. （2021•浙江省湖州市）已知a ，b 是两个连续整数，a ＜3﹣1＜b ，则a ，b 分别是 A ．﹣2，﹣1 B ．﹣1，0 C ．0，1 D ．1，2 11. （2021•浙江省台州）大小在2和5之间的整数有（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. （2021•北京市）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞﹣2B ．|a |＞bC ．a +b ＞0D ．b ﹣a ＜013. （2021•北京市）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n 为整数且n ＜＜n +1，则n 的值为（ ） A ．43B ．44C ．45D ．4614. (2021•内蒙古包头市)下列运算结果中，绝对值最大的是（ ） A. 1(4)+-B. 4(1)-C. 1(5)--D.415.（2021•四川省凉山州） 81的平方根是（ ）A. 3±B. 3C. 9±D. 916.（2021•贵州省贵阳市）如图，已知数轴上A ，B 两点表示的数分别是a ，b ，则计算|b |﹣|a |正确的是（ ）A ．b ﹣aB ．a ﹣bC ．a +bD ．﹣a ﹣b17.（2021•绥化市）定义一种新的运算：如果0a ≠．则有2||a b a ab b -=++-▲，那么1()22-▲的值是（ ） 二．填空题1. (2021·安徽省)计算：04(1)+-=______．2. （2021•怀化市）比较大小：（填写“＞”或“＜”或“＝”）．3. （2021•湖南省邵阳市）16的算术平方根是 ．4. （2021•江苏省扬州）计算：2220212020-=__________．5. （2021•山东省临沂市）比较大小：25（选填“＞”、“＝”、“＜”）．6.（2021•湖北省宜昌市）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1km 气温的变化量为﹣6℃，攀登2km 后，气温下降 ℃．7. （2021•湖北省荆州市）已知：a ＝（）﹣1+（﹣）0，b ＝（+）（﹣），则＝ ．8. （2021•湖北省荆门市）计算：|1﹣|+（）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ ．9. （2021•重庆市A ）计算：031_______．10. (2021•内蒙古包头市)一个正数a 的两个平方根是21b -和4b +，则a b +的立方根为_______． 三、解答题1. （2021•甘肃省定西市）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．2. （2021•湖北省黄冈市）计算：0．3. （2021•怀化市）计算：．4. （2021•江苏省连云港）计算：23862+--．5. （2021•江苏省扬州）计算：01|33|tan603⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭；6. （2021•江西省）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣|；7. （2021•陕西省）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣．8. （2021•山西省中考）计算：()()24311822⎛⎫-⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭9. （2021•山东省临沂市）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．10. （2021•四川省成都市）计算：+（1+π）0﹣2cos45°+|1﹣|．11. （2021•遂宁市）计算：()101tan 60233122-⎛⎫-+︒--+-- ⎪⎝⎭π12. 2021•浙江省金华市）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．13. （2021•浙江省台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间．14. （2021•浙江省温州市）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．15. （2021•江苏省盐城市）如图，点A 是数轴上表示实数a 的点． （1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点P ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和a 的大小，并说明理由．16. （2021•湖北省十堰市）11233-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭．17. （2021•湖南省张家界市）计算：860cos 222)1(2021+--+-︒18. （2021•广西贺州市）()04123π-+-︒．。
中考总复习：数与式综合复习
中考总复习：数与式综合复习【考纲要求】(1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的有关概念、性质1．实数及其分类实数可以按照下面的方法分类：实数还可以按照下面的方法分类：要点诠释：整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数． 有理数和无理数统称实数． 2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系． 要点诠释：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础． 3．相反数实数a 和-a 叫做互为相反数．零的相反数是零．一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等． 要点诠释：两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a 和b 互为相反数，那么a+b ＝0；反过来，如果a+b ＝0，那么a 和b 互为相反数． 4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即 如果a ＞0，那么|a|＝a ； 如果a ＜0，那么|a|＝-a ； 如果a ＝0，那么|a|＝0． 要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数． 5．实数大小的比较（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．（2）正数都大于0；负数都小于0，两个负数绝对值大的那个负数反而小.（3）对于实数,a b 、0=0=0a b a b a b a b a b a b ⇔⇔⇔-＞＞；-；-＜＜.要点诠释：常用方法：①数轴图示法；②作差法；③作商法；④平方法等. 6．有理数的运算(1)运算法则(略)． (2)运算律：加法交换律 a+b ＝b+a ；加法结合律 (a+b)+c ＝a+(b+c)； 乘法交换律 ab ＝ba ；乘法结合律 (ab)c ＝a(bc)； 分 配 律 a(b+c)＝ab+ac ．(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 要点诠释：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．零的算术平方根是零． 要点诠释：从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法把一个数记成±a ×10n 的形式(其中n 是整数，a 是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数．考点二、二次根式、分式的相关概念、性质 1．二次根式的概念形如a (a ≥0) 的式子叫做二次根式．2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 要点诠释：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1）a a 与互为有理化因式； （2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式； （3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式. 3．二次根式的主要性质（1）0(0)a a ≥≥； （2）()2(0)aa a =≥；（3）2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；（4）积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； （5）商的算术平方根的性质：(00)a a a b bb=≥>，.4．二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．要点诠释：二次根式的混合运算：1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.5．代数式的有关概念(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．代数式的分类：(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式．(3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式．整式包括单项式和多项式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义．6．整式的运算(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项．(2)整式的乘法：①正整数幂的运算性质：m n m na a a+；=a a=；()m n mnab a b= ；()m m mm n m n÷=(a≠0，m＞n)．a a a-其中m、n都是正整数．②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．③乘法公式：22+-=-；()()a b a b a b222±=±+．()2a b a ab b④零和负整数指数：在m n m n a a a -÷=(a ≠0，m ，n 都是正整数)中，当m ＝n 时，规定01a =； 当m ＜n 时，如m-n ＝-p(p 是正整数)，规定1p p a a-=． 7．因式分解（1）因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简．（2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc ＝m(a+b+c)．②运用公式法：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±；③十字相乘法：2()x a b x ab +++()()x a x b =++．④运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ， 则有：))((212x x x x a c bx ax --=++.（3）因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；②考虑所给多项式是否能用公式法分解．要点诠释：因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式（1）分式的概念形如AB的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，注意B 的值不能为零．（2）分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． A A M B B M ⨯=⨯，A A MB B M ÷=÷．(其中M 是不等于零的整式) 要点诠释：分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母=0；分式值为0 =00.⎧⇔⎨⎩分子，分母≠分式值为1=0.⎧⇔⎨⎩分子分母，分母≠分式值为正⇔分子、分母同号. 分式值为负⇔分子、分母异号. （3）分式的运算①加减法：a b a bc c c±±=，a c ad bcb d bd±±=．②乘法：a c acb d bd=．③除法：a c a d adb d bc bc÷==．④乘方：n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n为正整数）．要点诠释：解分式方程的注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．【典型例题】类型一、实数的概念、运算及因式分解1．在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示．化简：|a-b|+|a-c|-|b+c|．【思路点拨】通过观察数轴得到a、b、c的符号，通过确定绝对值里的式子的符号，来去掉绝对值符号.【答案与解析】由上图可得b＜c＜0＜a，∴ a-b＞0，a-c＞0，b+c＜0．∴ |a-b|+|a-c|-|b+c|＝(a-b)+(a-c)-(-b-c)＝2a．【总结升华】由绝对值的定义我们知道：如果m＞0，那么|m|＝m；如果m＜0，那么|m|＝-m；如果m＝0，那么|m|＝0．要去掉绝对值符号，首先要弄清m的值是正、是负，还是零．举一反三：【变式】阅读下面的材料，回答问题：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1，AB OB b a b===-；当A、B两点都不在原点时：（1）如图1-2，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；（2）如图1-3，点A 、B 都在原点的左边， ()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-； （3）如图1-4，点A 、B 在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b a b =+=+=+-=-=-．综上，数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ．（2）数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ．如果2AB =，那么x = ． 【答案】（1）3，3，4；（2）1x =或3x =-．依据阅读材料，所获得的结论为AB a b =-，结合各问题分别代入求解． （1）253,2(5)3,1(3)4-=---=--=；（2）(1)1AB x x =--=+； 因为2AB =，所以12x +=，所以12x +=或12x +=-．所以1x =或3x =-．2．把下列各式分解因式：(1)432816m m m a a a +++-+； (2)4182m -+．【思路点拨】如果多项式各项含有公因式，就先提出这个公因式，再进一步分解因式．分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 【答案与解析】B baA 图1-3O 0O 0bB 图1-2a AO （A ） 0bB 图1-1baA 图1-4O 0B(1)432816m m m a a a +++-+ 22(816)m a a a +=-+22(4)m a a +=-．(2)4182m -+4211(16)(2)(2)(4)22m m m m =--=-+-+．【总结升华】(1)如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出负号，使括号内的第一项系数是正数，以便于观察是否可以进一步分解因式．(2)在提取分数系数的因式时，要考虑到提取后是否可以进一步分解因式，如果不能进一步分解因式，因式的分数系数可以不提取．举一反三：【变式】分解因式：2212a a b -+-= ．【答案】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，本题应采用一三分组法进行分解．原式2222(12)(1)a a b a b =-+-=--(1)(1)a b a b =-+--．类型二、分式的有关运算3．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如12，13，14…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如111236=+，1113412=+，1114520=+，… （1）根据对上述式子的观察，你会发现1115=+O，请写出□，○所表示的数；（2）进一步思考，单位分数n1（n 是不小于2的正整数）＝11+∆，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．【思路点拨】等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为n ，则右边第一个分母为（n ＋1），第二个分母为n （n ＋1）．【答案与解析】（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为1+n ，⊙表示的式为)1(+n n ．验证：)1(1)1()1(111+++=+++n n n n n n n n n n n n 1)1(1=++=，所以上述结论成立．【总结升华】通过对三组式子的观察，不难找出规律． 举一反三：【高清课程名称：数与式综合复习 高清ID 号：402392 关联的位置名称（播放点名称）：例6】【变式】若0＜x ＜1，则21x xx 、、的大小关系是( )．A ．21x x x << B ．21x xx <<C ．xx x 12<< D ．x x x <<21【答案】C.4．计算222214(2)244x x x x x x x x x +--⎛⎫-÷- ⎪--+⎝⎭． 【思路点拨】在进行分式的四则运算时，一定要注意按运算顺序进行，并注意结合题目的具体情况及时化简，以便简化运算过程． 【答案与解析】222214(2)244x x x x x x x x x +--⎛⎫-÷- ⎪--+⎝⎭2221(2)(2)(2)4x x x x x x x x ⎡⎤+-=--⎢⎥---⎣⎦ 22221(2)(2)(2)4(2)4x x x x x x x x x x x +-=------- 22444x x x x x --=---22(4)()4x x x x ---=- 414x x -==-． 【总结升华】在进行分式的四则运算时，要注意利用运算律，寻找合理的运算途径．举一反三：【变式】计算3213411x x x x x -+----． 【答案】 3213411x x x x x -+---- 31341(1)(1)x x x x x x -+=+--+-33134(1)(1)x x x x x x x -++-+-=+-33(1)(1)x x x -=+-3(1)3(1)(1)1x x x x -==+-+．类型三、二次根式的运算5．已知【思路点拨】这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a ，b 的符号，本题中没明确告诉a ，b 的符号，但可从a+b=-9，ab=12中分析得到.【答案与解析】∵a+b=-9，ab=12，∴a ＜0，b ＜0.··22124 3.a b ab ab ba b a ab b a b a∴+=+=-=-=--- 【总结升华】1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.举一反三： 【变式】估计32×12+20的运算结果应在 （ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间【答案】本题应计算出所给算式的结果，原式1620425=+=+，由于45 6.25＜＜，即25 2.584259+＜＜，所以＜＜. 故选C.6．若a ，b 为实数，且b =355315a a -+-+，试求22b a b a a b a b++-+-的值. 【思路点拨】本题中根据b =355315a a -+-+可以求出a ，b ，再对2b aa b++-2b aa b+-的被开方数进行配方、化简. 【答案与解析】由二次根式的性质得3503350..5305a a a a -⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥， 150,0.b a b a b ∴=∴+-，＞＜ab ＞0，22()()222.b a b a a b a b a b a b ab ab a b b a ab ab ab ab a b b a abab ab ab b+-++-+-=-+-=-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭= 当32321515.51555a b ===⨯=，时，原式【总结升华】对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a b ab +或2()a b ab -的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.a b a b ab +-和以及的符号举一反三：【高清课程名称：数与式综合复习 高清ID 号：402392 关联的位置名称（播放点名称）：例7】 【变式】(1) 若622=-n m ，且2m n -=，则=+n m ．(2)若61,10=+<<a a a ，求aa 1-的值． 【答案】(1)3；(2)-2.类型四、数与式的综合运用7．如图，时钟的钟面上标有1，2，3…12共计12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 .【思路点拨】先求每部分数字之和，钟面上的数字之和为78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能为78÷3=26，进而去分析计算. 【答案】3、4、9、10；5、6、7、8．【解析】钟面上的数字之和为78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能为78÷3=26，而图中钟面上的1、2、11、12之和已经为26，所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过4和5，8和9之间画直线（如下图）．【总结升华】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这样费时较多，而且不容易达到目标．突破方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数． 中考总复习：数与式综合复习—巩固练习（提高） 【巩固练习】一、选择题1. 把多项式1-x 2+2xy-y 2分解因式的结果是（ ）A.(1)(1)x y x y +--+B.(1)(1)x y x y --+-C.(1)(1)x y x y ---+D.(1)(1)x y x y +-++2．按一定的规律排列的一列数依次为：111111,,,,,2310152635┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（ ）A ．145B ．140C ．146D ．1503．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（ ）000 110 010 111 001111A ．100，011B ．011，100C ．011，101D ．101，1104．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m 米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m =n D ．不能确定5．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折n 次后折痕的条数是 （ ）A ．2n －1B ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋16．如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,•至第八个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 ( ) A. 66 B. 91 C. 120 D.153二、填空题7．若非零实数a ，b 满足2244a b ab +=，则ba= ． 8．已知分式)1)(2(12---x x x ，当x ＝ 时，分式的值为0．9．在实数范围内分解因式4(1)x y -+-2（x+y）= . 10. 有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称出它的质量为a ，再称其余的电线总质量为b ，则这捆电线的总长度是 米．11．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：第一行 11第二行 12 12第三行 13 16 13第四行 14 112 112 14第五行 15 120 130120 15… …… …根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： ．12．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n 1=5 ，计算n 12+1得a 1； 第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2； 第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，再计算n 23＋1得a 3； …………依此类推，则a 2012=_______________．三、解答题13．（1）设x ＝2，3y =，求代数式2223()(2)xy x y x y +--+的值．（2）已知2121x -=+，21201y +=-，求22x yx y ++的值．14．阅读下列题目的计算过程：xx x +---12132＝)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x （A ）＝（x －3）－2（x －1） （B ） ＝x －3－2x ＋1 （C ） ＝－x －1 （D ）（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ． （2）错误的原因 ．（3）本题目正确的结论为 ．15．已知271xx x =-+,求2421x x x ++的值.16. 设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++，求S 的值 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】22222121(2)1()(1)(1)x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=+--+． 2.【答案】D ；【解析】每个分数的分子均为1，分母为21n +或21n -（当n 为奇数时加1，当n 为偶数时减1），7为奇数，因而其分母为27150+=．3.【答案】B ；【解析】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ．4.【答案】C ；【解析】设地球仪赤道半径为r ，则2(1)22m r r πππ=+-=；设地球赤道半径为R ，则2(1)22n R R πππ=+-=，所以相等．5.【答案】C ；【解析】除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍． 6.【答案】C ；【解析】每增加一层所多出的个数为原来最下面一层个数加4，列出前面几组数据，第一个叠放的图形小正方体木块总数：1，第二个叠放的图形小正方体木块总数：1＋（1＋4），第三个叠放的图形小正方体木块总数：1 ＋（1＋4）＋（1＋4×2, 第n 个叠放的图形小正方体木块总数：1 ＋（1＋4）＋（1＋4×2）＋…＋[1＋4(n － 1)]=2(1)422n n n n n-+=-（n 表示第几个叠放的图形），当n =8时，共有2288120⨯-=.二、填空题 7．【答案】2；【解析】将原式改写为22440a ab b -+=，所以2(2)0a b -=，可求出b =2a ． 8．【答案】－1；【解析】由题意210x -=且(2)(1)0x x --≠，所以x =－1．9．【答案】2（x+y-2）； 【解析】此题如果按一般方法去分解，须将2(x y)+展开，结果将问题复杂化了，其实原式可化为2(x y)4(x y)4+-++，将x y +看成一个整体，再用公式法分解因式. 2(x y)4(x y 1).+-+-22(x y)4(x y)4(x y 2)=+-++=+-10．【答案】（1ba+）米 【解析】先取1米长的电线，称出它的质量为a ，其余电线质量为b ，则其余电线的长度为ba米， 这捆电线的总长度为（1ba+）米． 11．【答案】16、130、160、160、130、16 ；【解析】每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值． 12．【答案】65；【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．由题目得，a 1=26；n 2=8，a 2=65；n 3=11，a 3=122；看不出什么规律，那就继续：n 4=5，a 4=26；…； 这样就发现规律：每三个为一个循环，2012÷3=670……2；即a 2012= a 2=65．答案为65.三、解答题13.【答案与解析】（1）2223()(2)xy x y x y +--+ ＝22223(2)(2)xy x xy y x y +-+-+ ＝2222322xy x xy y x y +-+-- ＝2xy x -．当x ＝2，y ＝3时，上式的值为223(2)62⨯-=-． （2）∵ 221(21)32221x -==-=-+， 221(21)32221y +==+=+-， ∴2222322322(322)(322)x y x y +-++=+-++63179122891228==-++++．14.【答案与解析】 （1）B ；（2）去分母；（3）23211x x x---+ 32(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x --=-+-+-322(1)(1)x x x x --+=+-11(1)(1)1x x x x--==+--．15.【答案与解析】因为 271xx x =-+,所以, 所以 2117x x x -+=,即187x x +=, 所以 242222111151149x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝⎭ 所以 24215149x x x =++.16.【答案与解析】22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2111[]2(1)(1)n n n n ++⨯++ =21[1](1)n n ++ ∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34+⨯+…+1(1)(1)n n ++1111111=1223341n n n +-+-+-++-+ 1=11n n +-+122++=n n n . （利用拆项111(1)1n n n n =-++即可求和）．。
中考复习一：数与式
中考总复习一：数与式中考考点第一部分：实数1.数形结合法去绝对值解绝对值的计算问题时，首先要脱去绝对值符号，化成一般的实数计算.脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值定义脱去绝对值符号，而可以转化为去处理.典型例题: 1．实数a、b、c在数轴上的点如图所示，化简：.2.比较实数大小时，要灵活选择以下几种常见的方法：(1)数轴比较法；(2)绝对值比较法；(3)求差比较法；(4)求商比较法；(5)倒数法；(6)中间值比较法；(7)分子、分母有理化法；(8)平方法.典型例题2．比较大小：与.(二)试题分类1.有理数的运算下列式子中结果为负数的是( ).A. B. C. D.2.倒数、相反数、绝对值和数轴(1)如图，点A、B在数轴上对应的实数分别为m、n，则A、B之间的距离是___________.(用含m、n的代数式表示).(2)如图，数轴上点P表示的数可能是( ).A. B. C.D.3.无理数的算术平方根是___________.4.实数的运算(1)若，则的值是( ).A.0B.1C.D.2007(2)计算：.5.近似数、有效数字和科学记数法北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持，据统计，某日北京申奥网站的访问人次达到了201 949，用四舍五入法取近似值保留两个有效数字，得( ).A. B. C. D.6.实数综合与创新(1)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的数学排列为：1，1，2，3，5，8，…，那么这列数得第8个数应该是____(2)先阅读下列材料，再解答后面的问题.材料：一般地，n个相同的因数相乘：.如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为.一般地，若(且，)，则n叫做以为底b的对数，记为(即).如，则4叫做以3为底81的对数，记为(即).问题：①计算以下各对数的值：___________，_________，_________.②观察①中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？③由②的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？___________(且，，).④根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论.第二部分：代数式(一)解题方法和技巧1.整体思想就是把握条件和结论的关系，用整体的方法来处理问题，从而促进问题的解决.典型例题1．已知x为实数，且，求的值.2.从特殊到一般的思维意识从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律.通过对特殊现象的研究而得出一般结论的方法是数学上常用的归纳法.典型例题2．已知：，，，….若(、均为实数)，请推测___________，___________.(二)试题分类1.整式(1)若单项式与是同类项，则___________.(2)下列计算中，正确的是( ).A. B.C. D.2.因式分解(1)分解因式：___________.(2)因式分解：___________.(3)把代数式分解因式，下列结果中正确的是( ).A. B. C. D.3.分式(1)若分式的值为零，则x的值等于___________.(2)化简：___________.(3)如果，则___________.4.代数式的值(1)若，则的值为___________.(2)若非零实数、()满足，，则___________.(3)有一道题：“先化简，再求值：，其中“”.小亮同学做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事.5.二次根式(1)在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( ).A. B. C. D.(2)估计的大小应( ).A.在9.1～9.2之间B.在9.2～9.3之间C.在9.3～9.4之间D.在9.4～9.5之间6.代数式的综合与创新(1)已知，当时，；当时，；当时，；…；则的值为___________.(2)已知：m、n是两个连续自然数()，且，设，则( ).A.总是奇数B.总是偶数C.有时是奇数，有时是偶数D.有时是有理数，有时是无理数(3)任何一个正整数n都可以进行这样的分解：(s、t是正整数，且)，如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：.例如，18可以分解成、、这三种，这时就有.给出下列关于的说法：①，②，③，④若n是一个完全平方数，则；其中正确的说法的个数是( ).A.1B.2C.3D.4(4)数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：.例如把(3，)放入其中，就会得到.现将实数对(，3)放入其中得到实数m，再将实数对(m，1)放入其中后，得到的实数是___________.基础练习一、选择题1.一个代数式减去等于，则这个代数式是( ).A. B. C. D.2.下列去括号正确的是( ).A. B.C.D.3.下列各组代数式中，属于同类项的是( ).A.与B.与C.与D.p与q4.下列计算正确的是( ).A. B. C. D.5.a = 255，b = 344，c = 433，则 a、b 、c的大小关系是( ).A.a＞c＞bB.b＞a＞cC.b＞c＞aD.c＞b＞a6.如果甲数为，甲数是乙数的倍，则乙数是( ).A. B. C. D.7.一个两位数，十位数字是，个位数字是，如果把它们的位置颠倒一下，得到的数是( ).A. B. C. D.8.如果，则下列等式成立的是( ).A. B. C. D.9.设，都是实数，且，，则，的大小关系是( ).A. B. C. D.10.下列多项式属于完全平方式的是( ).A.x2-2x+4B.x2+x+C.x2-xy+y2D.4x2-4x-111.若，则k的值为( ).A. 2B.C. 1D. –112.若x2+mx+25 是一个完全平方式，则m的值是( ).A.20B.10C. ± 20D.±1013.若代数式，那么代数式的值是( ).A. B. C. D.14.如果，那么x的取值范围是( ).A.x≥3B. x≤2C.x＞3D.2≤x≤315.如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为( ).A.S=3nB.S=3(n-1)C.S=3n-1D.S=3n+1二、填空题1.计算：_________.2.36 x4 y8 = (_________)23._________.4.小明在文具店买了三支2B铅笔和五个练习本，2B铅笔每支x元，练习本每个y元，小明共花了_____元.5.一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加，因库存积压，所以就按销售价的出售.则每台电视机的实际售价为_________.6.如果与是同类项，则的值为_________，的值为_________.7.若，则ab=_________.8.0.0000057用科学记数法表示为_________.9.三角形三边a=7，b=4，c=2，则周长是_________.10.已知，求_________.11.如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=_________.12.把分解因式的结果是_______________________.13.化简=_________.14.在下面由火柴杆拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成：通过观察可以发现，第个图形中有_________根火柴杆.15.观察等式：，，，，….设表示正整数，请用关于的等式表示这个观律为：_________.能力提高1.已知A=-4a3-3+2a2+5a，B=3a3-a-a2，求：A-2B.2.已知x+y=7，xy=2，求：①2x2+2y2的值；②(x-y)2的值.3.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下的钢板的面积.4.已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2.(1)求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大？说明理由.5.a、b、c为三边，利用因式分解说明的符号.6.某餐厅中张餐桌可以坐人，有以下两种摆放方式：一天中午，餐厅要接待位顾客共同就餐，但餐厅中只有张这样的餐桌，假设你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种拼接方式来摆餐桌？（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。
中考数学总复习 数与式 (学生版)
相同点：
✓ 当被开方数都是非负数，即 a 0 时，
2
a
a2 ； a 0 时，
a 2 无意义，
而 a2 a .
（3）二次根式的简单运算
二次根式的加减运算 只需对同类二次根式进行合并：先化为最简二次根式， 再类比整式加减运算，
二次根式的乘除运算
a b ab a 0,b 0
17
小苏老师
A. 1.3573106
B. 1.3573107
C. 1.3573108
D. 1.3573109
3. （2016 年韶关二模，16，4 分） 16 的算术平方根是
.
4. （2016 佛ft，12,4 分）分解因式： m2 4 =
.
5.
(2016 佛ft，17,6 分)计算： 3 2016 sin 300
6
小苏老师
第二讲 整式
考纲要求
➢ 了解整式及其相关概念，掌握合并同类项和去括号法则， ➢ 能进行简单的整式的加、减运算； ➢ 能进行简单的整式乘法运算 ➢ 掌握乘法公式和完全平方公式，并能用它们进行简单的计算。
知识点回顾
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点一：代数式
1 用含有字母的式子表示
数 注意：
✓ 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“
D. 2
2 设 y ax ，若代数式x yx 2 y 3yx y化简的结果为 x2 ，请你求
出满足条件的a 值。
9
小苏老师
. 例3
1 先化简，在求值： x x 2 x 12 ，其中 x 1.
2 练习：先化简，再求值： x 3x 3 x x 2，其中 x 4 .
3 已知多项式 A x 22 1 x2 x 3 .
初三数学总复习———数与式(一)
初三数学总复习———数与式（一）一、填空：1． 倒数等于它本身的实数有 ，绝对值等于它的相反数的实数是 。
2． 02004)200420042004(-⨯＝ ，12.0-＝ 。
3． 数0.0000872用科学记数法表示是 ，25600保留两位有效数字等于 。
4． －5的相反数是 ，绝对值等于2.5的实数是 ，64的立方根是 。
5． 已知226=-+x y ，用y 表示x ，则x ＝ 。
6． 如果分式)3)(52(3---x x x 的值为零，则x 值为 。
7． 个位数字为a ，十位数字比个位数字大2，则此两位是 。
8． 实数范围内分解因式：22285y xy x --＝ 。
9． 若024=+++b a ，则b a b +的值是 。
10．在实数范围内分解因式：2324+-x x ＝ 。
11．若2-<x ，则=+++--2123x x x 。
12． 由以下三个结论：①5667-<-；②7889-<-；③9101011-<-，可以猜想出的规律 。
13．若0132=+-x x ，则221x x += ，441x x += 。
14． 已知242-+ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值可以是 （只需填两个）。
二、选择：15． 做某项工程，甲独做要a 天完成，乙独做要b 天完成，则甲、乙两人合做要（ ）天完成。
A 、b a +B 、b a 11+C 、ab b a +D 、ba ab + 16． 对于公式h b a S 2)(+=，下列变形中正确的是（ ）。
b a )(+b a +S 2h17． 下列计算正确的是（ ）。
A 、236a a a =÷B 、222)(y x y x +=+C 、x x x +=--11112D 、73773=÷ 18． 化简a aa -的结果是（ ）A 、0B 、2C 、0或2D 、0或－219． 下列四个命题中错误的命题是（ ）A 、没有最大的有理数B 、有最小的正数C 、有相反数为最小自然数的数D 、正分数既是有理数又是实数20． a 、b 为任意实数，下列各式的值一定为正数的是 （）A 、b a +B 、2)(b a -C 、12+aD 、22b a +21． 化简 x x x x ---231的结果是（ ）A 、1B 、 x –1C 、1-x xD 、x x-122． 等式2442-=+-m m m 成立的条件是（ ）A 、2≥mB 、2≤mC 、2>mD 、2<m23． 若95)9)(7()7(56323552-=-++=--+x x x x x x x 成立，则（ ）A 、x ≠9B 、x ＞－7C 、x ≠9且x ≠－7D 、x ≠－7三、解答：24． 计算20032004023)34(75.030cos 2121⋅-+++-25．化简（1）2122442--++-x x x （2）)()2(222222b a a b a a b ab a a b a a --+÷+---26． 已知：02322=-+b ab a ，求代数式ab b a a b b a 22+--的值。
初三总复习(一)数与式
初三总复习（一）数与式1．（科学计数法）据统计，2014年全国约有939万人参加高考，939万用科学计数法表示为。
2．（去绝对值号）已知a＜0＜c，ab＞0，且|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|﹣|a﹣b|＝．3．（新定义计算）在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z）•z﹣（﹣4★z）的值为．4．（新定义计算）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[﹣]＝﹣2，按此规定，[1﹣2]＝．5．（开方小数点移动规律）已知，则的值约为．6．（二次根式概念与计算）若，则a m＝．7、（根式化简易错题）若a、b、c均为实数，且a、b、c均不为0，化简＝8．（根式、绝对值化简易错题）若a＜﹣3，则|﹣1﹣|＝．9．（整式、算数平方根）若a、b均为整数，当x＝﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，则a b的算术平方根为．10．（根式、绝对值）若|2017﹣m |+＝m ，则m ﹣20172＝ ．11．（二次根式变形）把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ．12．（根式分母有理化）若m ＝，则m 5﹣2m 4﹣2015m 3＝ ． 13、（幂的运算）（1）已知2=m a ,5=n a ,求n m a23+的值 （2）1211109)34()43()8(125.0⨯+-⨯（3）若34=m ，1116=n ，求n m 234-的值14、（幂的运算）已知3181=a ，4127=b ，619=c ，试比较a 、b 、c 的大小15．（乘法公式，根式）已知x ＝+1，y ＝﹣1，则x 2﹣5xy +y 2+6＝ ．16．（乘法公式，根式）计算：＝ ．17．（代数式计算，降幂）已知x 2+x ＝3，则2015+2x +x 2﹣2x 3﹣x 4＝ ．18、（乘法公式）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是．19、（十字相乘法）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y的值为．20、因式分解：y（2x﹣y）﹣x2+z2＝．21、（分式计算）已知＝，则代数式的值是．22．（分式计算）若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，则的值为．23．（分式计算）已知x2﹣5x+1＝0，则的值是．24．（分式计算）若＝＝，则＝或．。
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中考—数学提高课题：数与式课前小测1. （2016佛山，1,3分）-2的绝对值是（ ）A.2B. - 2C.21D.21-2. （2015年广东3分）据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）A. 61.357310⨯B. 71.357310⨯C. 81.357310⨯D. 91.357310⨯ 3. （2016年韶关二模，16，4分）16的算术平方根是 . 4. （2016佛山，12,4分）分解因式：24m -= .5. (2016佛山，17,6分)计算：()1132016sin 302-⎛⎫--+︒-- ⎪⎝⎭教学内容第一讲 实数◆ 考纲要求：➢ 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值;➢ 了解平方根、算术平方根、立方根的概念；➢ 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根;➢ 了解近似数的概念，能用有理数估计一个无理数的大致范围; ➢ 了解二次根式、最简二次根式、三次根式的概念;知道二次根式和有理数的基本构造式，会求它们的倒数、相反数和绝对值，了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则，会对它们进行简单的四则运算.◆ 知识点回顾知识点一：实数的有关概念 （1）实数① 实数的分类 ② 实数的大小比较 （2）数轴数轴的三要素：原点、正方形和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应。
（3）相反数、倒数、绝对值（4）平方根、算术平方根、立方根 （5）无理数的估算例1：在1，0，2，-3这四个数中，最小的正数是（ ） A.1 B.0 C.2 D.-3拓展：如图所示，ɑ与b 的大小关系是（ ） A.b < α B.b > α C.b = α D.α2=b例2：① 2016的相反数是（ ） A.-2016 B.2016 C.20161- D.20161② 2-等于（ ）A. 2B. -2C.21D.21- ③ -2的倒数是（ ）A. 2B.21C.21- D.-1例3：① 9的算术平方根是 。
② - 8的立方根是 。
例4：估计19的值在（ ）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间知识点二：实数的运算（1）乘方，乘方的结果叫做幂 （2）运算法则（3）混合运算:乘方 开方 乘除 加减例1：若x 、y 为实数，且满足03y 3-x =++，则2012y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛的值是 。
练习：已知0b 71-=++α，则=+b α（ ） A. -8 B. -6 C. 6 D. 8例2：（计算题）① 计算：()1-0213--45cos 25-⎪⎭⎫⎝⎛+︒+π练习：① 计算：()1-021--30sin 2016-3-⎪⎭⎫⎝⎛︒+② 计算：()()0201614.3--2--81- π+知识点三：科学计数法例题：据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27 700 000人，将27 700 000用科学记数法表示为（ ）A.710277.0⨯B. 810277.0⨯C. 71077.2⨯D.81077.2⨯◆ 题型分析、讲解题型一、实数的运算① （2015年深圳，17,5分）计算：()1-12015-2160sin 23-2+⎪⎭⎫⎝⎛+︒+【小结：✓ 规律归纳：（常考的）0α 1-α α α αcos αsin b -α 】其余题型看知识点后面的例题◆ 课堂练习1.四个数－1，0,12，2中为无理数的是（ ） A. －1 B.0 C. 12D.22.3的倒数为（ ）A.﹣B.C.3D. - 33.地球半径约为6 400 000m ，这个数字用科学记数法表示为 m ．4.计算：+20150+（﹣2）3+2×sin60°．第二讲 整式◆ 考纲要求➢ 了解整式及其相关概念，掌握合并同类项和去括号法则， ➢ 能进行简单的整式的加、减运算； ➢ 能进行简单的整式乘法运算➢ 掌握乘法公式和完全平方公式，并能用它们进行简单的计算。
◆ 知识点回顾知识点一：代数式（1（2）单项式、多项式（3）列代数式表示简单的数量关系例题：多项式2123xy xy +-的次数及最高次项的系数分别是（ ） A.3,-3 B.2,-3 C.5,-3 D.2,3 知识点二：整式及其运算法则 （1）整式的有关概念1．整式：单项式与多项式统称整式。
2．同类项：3．合并同类项： 例：计算2223xy xy +的结果是（ ）（3）整式的加、减、乘、除（1）提公因数法 （2）公式法题型分析、讲解例1：① 下列选项正确的是（ ）A.8-8=ααB.623ααα=⋅C. 32x x x =+D.()44-αα=② 下列计算正确的是（ ）A.b 2b b ααα=⋅B.()3322αα=C. ()03-3≥=αααD.()0,0b b ≥≥=⋅b ααα ③ 下列运算正确的是（ ）A.4b -b 5=a aB.ba a +=+2b 11 C.426a a a =÷ D.()3532b a b a =例2① 若()()n mx x x x ++=-+212，则n m +等于（ ） A. 1 B. -2 C. -1 D. 2② 设ax y =，若代数式()()()y x y y x y x ++-+32化简的结果为2x ，请你求 出满足条件的a 值。
例3① 先化简，在求值：()()221x x x -++，其中1x =.② 练习：先化简，再求值：()()()332x x x x +---，其中4x =.③ 已知多项式()()()22123A x x x =++-+-.a. 化简多项式A ；b. 若()216x +=，求A 的值.例4① 把39x x -分解因式，结果正确的是（ ）A.()29x x -B.()23x x - C.()23x x + D.()()33x x x +-② 因式分解：24m -= . 练习：分解因式：3m m -= . 练习：分解因式：26mx my -= . 练习：分解因式：32a ab -= .第三讲 分式与二次根式◆ 考纲要求 ◆ 知识点回顾知识点一：分式的概念及其基本性质（1）分式的有关概念整式A 除于整式B ，可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，式子()0AB B≠就叫做分式．❖ 分式中，A 和B 均为整式，A 可含字母，也可不含字母，但B 中必须含有字母且不为0；❖ 判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．❖ 分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B ≠0且A = 0时，分式的值为零． （2）分式的基本性质();0A A M A A MM B B M B B M ⨯÷==≠⨯÷例1 （分式的意义）（2014年广州，13,3分）代数式11x -有意义，则x 应满足 .练习：使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.0≥x 且21≠x D.一切实数 【小结：代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数.】练习：当x 取何值时，分式22912x x x ---有意义?值为零?知识点二、分式的运算约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去;① （2016年广东，18,6分）先化简，再求值：223626699a a a a a a +-⋅+++-，其中1a =-.②（2016广州，20,10分）已知()()224a b abA ab a b +-=-（,0a b ≠且a b ≠）. a. 化简A ；b. 若点(),P a b 在反比例函数5y x=-的图像上，求A 的值.练习1：（2015广州，19,10分）已知222111x x xA x x ++=--- a. 化简A ；b. 当x 满足不等式组10,30,x x -≥⎧⎨-<⎩且x 为整数时，求A 的值.练习2（2015广东，18,6分）先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中1x =.知识点三、二次根式（3）二次根式的简单运算例3：（2016梅州，6,3x的取值范围是（） A.2x≤x≥ D.2x< C.2x> B.2例4：（2013年佛山，5,3)1的结果是（）A.1B.2C.12练习：计算：-÷【小结】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．课后作业一、选择题1．明天数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法表示为( ) A ．51.2510⨯ B ．61.2510⨯ C ．71.2510⨯ D. 81.2510⨯2．四个数－5，－0.1，21，3中为无理数的是( ) A ．－5 B ．－0.1 C.21D. 3 3．已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．0m >B ．0n <C ．0mn <D ．0m n -> 4．－2的倒数是( )A ．2B ．－2 C. 21 D ．－21 5．下列等式一定成立的是( )A. 255a a a += B ．()222a b a b +=+C ．()323626ab a b = D ．2()()()x a x b x a b x ab －－＝－＋＋6.分解因式3a a -的结果是（ ）A ．()21a a -B ．()21a a - C. ()()11a a a +- D ．()()21a a a +-二、填空题7.a 的相反数是-6，则a = . 8.16的平方根是 .9.若代数式3213n xy －与535x y －是同类项，则常数n 的值为 .10.化简：11222---+-y x y xy x ＝__________.11.若分式293a a -+的值为0，则a 的值是 .12．分解因式：2x 2－8＝________. 13．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为_________． 14．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第________个图形共有120 个．三、解答题15. （1）计算：121)21(2218-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-；(2)计算：()11221sin 302π-⎛⎫-⨯-︒+ ⎪⎝⎭16．已知多项式22()(1)()a a A a a =＋－＋－. （1）化简多项式A ； （2）若5a ＝，求A 的值.17.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x yx xy y xy x y y x 244442232，其中1x =，1y =.18.观察下列等式：12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， …以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：① 52⨯ = ⨯25 ② ⨯396 = 693⨯ （2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且29a b ≤+≤，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a b 、），并证明．。