高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十九不等式选讲试题理

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18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组九不等式试题文

重组九不等式测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2017·中山一中月考]若a 1bB.1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2答案 B解析 ∵a 1b ，故A 正确，∵a 1a －b ，故B 错误．∵a －b >0，即|－a |>|－b |，∴|a |>|b |，故C 正确．∵a －b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 正确．故选B.2．[2016·湖北八校联考]已知正数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，(0,0)，(1,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，则当目标函数z ＝－2x －y 经过平面区域内的点(1,2)时，目标函数取得最小值z min ＝－2×1－2＝－4，故选D.3．[2016·西交大附中六诊]设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，以a 为横坐标，b 为纵坐标，用线性规划或其他的方法可以求出f (－2)的取值范围是( )A ．[5,8]B ．[7,10]C ．[5,10]D ．[5,12] 答案 C解析解法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，对应区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，(3,1)，(2,0)为顶点的矩形，当f (－2)＝4a －2b 经过点(3,1)时取得最大值10，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时取得最小值5，所以f (－2)的取值范围是[5,10]，故选C.解法二：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，又f (－2)＝4a －2b ＝3(a －b )＋(a ＋b )，由不等式的基本性质可得f (－2)的取值范围是[5,10]，故选C .4．[2016·北京高考]已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln (xy )＝ln 1＝0，排除D ，选项C 中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，故选C.5．[2017·衡水模拟]若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．1 B.32 C.34 D.74答案 D解析如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为S ＝12·2·2－12·22·22＝74，故选D.6．[2017·石家庄一中检测]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －9≤0，y ≤2，若使z ＝ax ＋y 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－2,0}B ．{1，－2}C ．{0,1}D ．{－2,0,1} 答案 B解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .若a ＝0，则直线y ＝－ax ＋z ＝z ，此时z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若－a >0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意，此时－a ＝2，解得a ＝－2；若－a <0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意，此时－a ＝－1，解得a ＝1.综上可知，a ＝－2或a ＝1.故选B.7．[2016·浙江高考]已知实数a ，b ，c .( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.故选D.8．[2016·唐山调研]若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2>0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则z ＝|x －3|＋2y 的最小值为( ) A ．4 B.265 C ．6 D ．7答案 B解析不等式组表示的可行域如图所示，易知A (0,2)，B (5,3)，C (3,5)，D ⎝⎛⎭⎪⎫3，135，目标函数z ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3，x ≥3，－x ＋2y ＋3，x <3，当x ≥3时，z ＝x ＋2y －3在D 点处取得最小值为265，当x <3时，z ＝－x ＋2y ＋3>265，∴z min ＝265. 9．[2016·安庆二模]如果点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0所表示的平面区域上，则x 2＋(y ＋1)2的最大值和最小值分别是( ) A ．3，35B ．9，95 C ．9,2 D ．3， 2答案 B解析如图，先作出点P (x ，y )所在的平面区域．x 2＋(y ＋1)2表示动点P 到定点Q (0，－1)距离的平方．当点P 在(－1,0)时，|PQ |2＝2，而点Q 到直线x －2y ＋1＝0的距离的平方为95<2；当点P 在(0,2)时，离Q 最远，|PQ |2＝9.因此x 2＋(y ＋1)2的最大值为9，最小值为95.10．[2017·安徽师大附中调研]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋y 4≤a ，x ≥0，y ≥0，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A 解析因为z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝ x ＋1 ＋2 y ＋1 x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，而y ＋1x ＋1表示可行域内点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率，由选项可知a >0，作出可行域如下图，由已知可知y ＋1x ＋1的最小值为14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－1 3a －－1 ＝13a ＋1＝14，所以a ＝1，故选A.11．[2017·广东广雅月考]若对任意的x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 B解析不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )对任意的x ，y ∈R 恒成立等价于不等式x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0对任意的x ，y ∈R 恒成立，所以Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ＝－3(y －1)2＋12(1－a )≤0对任意的y ∈R 恒成立，所以1－a ≤0，即a ≥1，故选B.12．[2017·雅礼月考]过平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≤0内一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，记∠APB ＝α，则当α最小时cos α的值为( )A.9510 B.1920 C.910 D.12答案 C解析由图可得sin α2＝1|OP |⇒当|OP |最大时，α最小，此时P (－4，－2)⇒|OP |＝25⇒sin α2＝125⇒cos α＝1－2sin 2α2＝910，故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·河南联考]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，3x ＋y ≤－1，y ≥－x ＋1，则目标函数z ＝－x ＋2y 的最小值是________．答案 8解析画出满足约束条件的平面区域，如图所示，当平移直线z ＝－x ＋2y 经过直线x ＝－2与直线y ＝－x ＋1的交点(－2,3)时，目标函数z ＝－x ＋2y 取得最小值，且最小值为z ＝－1×(－2)＋2×3＝8.14．[2016·河北五校联盟二模]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为________．答案 92解析由题意，点A (－2，－1)，故－2m －n ＋2＝0，故2m ＋n ＝2， 2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝n m ＋m n ＋2＋12≥4＋12＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．15．[2017·湖北武汉调研]已知M ，N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，x －y ＋1≥0，x ＋y ≤6所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN |的最大值是________．答案17解析作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD ，其中A (1,1)，B (5,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，D (1,2)．因为M ，N 是区域内的两个不同的点，所以当M ，N 分别与对角线BD 的两个端点重合时，距离最远，因此|MN |的最大值是|BD |＝ 5－1 2＋ 1－2 2＝17.16．[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 216000解析由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·湖北中学联考](本小题满分10分)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋xy的取值范围．解不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(4,2)和(3,1)为顶点的三角形，(2分)令t ＝y x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，(4分) z ＝y x ＋x y ＝t ＋1t ，z ′＝1－1t 2，当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1时，z ′<0，函数z ＝t ＋1t 单调递减；当t ∈(1,2]时，z ′>0，函数z ＝t ＋1t 单调递增，所以当t ＝1时，z min ＝2，当t ＝13时，z max ＝103，故z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.(10分)18．[2017·河南当阳月考](本小题满分12分)某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x 台(x ∈N *)，且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解依题意，当每批购入x 台时，全年需用保管费S ＝2000x ·k .(2分) ∴全年需用去运输和保管总费用为y ＝3600x·400＋2000x ·k .(4分)∵x ＝400时，y ＝43600，代入上式得k ＝120，(6分)∴y ＝1440000x＋100x ≥21440000·100xx＝24000.(9分)当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120台时，y 取最小值24000元．(11分)∴只要安排每批进货120台，便可使资金够用．(12分)19．[2016·西安质检](本小题满分12分)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ＝12，求2x ＋3y ＋1x －y的最小值．解令x －y ＝t ，x ＋3y ＝s (s >0，t >0)，则x ＝14(s ＋3t )，y ＝14(s －t )，(3分)由x ＋y ＝12，可得s ＋t ＝1，(6分)则2x ＋3y ＋1x －y ＝2s ＋1t ＝(s ＋t )⎝ ⎛⎭⎪⎫2s ＋1t ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫s t ＋2t s ≥3＋22，当且仅当s ＝2t ＝2－2时，取得等号，(10分) 则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为3＋2 2.(12分) 20．[2016·贵阳月考](本小题满分12分)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝(a 2＋2b 2)x ＋y 的最大值为8，求2a ＋b 的最小值．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，由图象(略)知，目标函数在点(1,4)处取得最大值，即8＝a 2＋2b 2＋4⇒a 24＋b 22＝1，(5分)设⎩⎨⎧a ＝2cos α，b ＝2sin α(α为参数)，∴2a ＋b ＝32sin(α＋φ)，(10分) 故(2a ＋b )min ＝－3 2.(12分)21．[2017·湖北重点高中联考](本小题满分12分)设函数f (x )＝22x －7－a4x －1(a >0且a≠1)．(1)当a＝22时，求不等式f(x)<0的解集；(2)当x∈[0,1]时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．解(1)由于a＝22＝2－12，于是不等式f(x)<0即为22x－7<2－12(4x－1)，(2分)所以2x－7<－12(4x－1)，解得x<158.(4分)即原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，158.(5分)(2)由22x－7<a4x－1⇒(2x－7)lg 2<(4x－1)lg a⇒x·lg4a4＋lga128<0.(7分)设f(x)＝x·lg4a4＋lga128，则f(x)为一次函数或常数函数，由x∈[0,1]时，f(x)<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f 1 <0，f 0 <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧lg 4a4＋lg a128<0，lga128<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧lg 132a3<0，0<a<128⇒⎩⎪⎨⎪⎧32a3>1，0<a<128⇒324<a<128，又a>0且a≠1，∴a∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫324，1∪(1,128)．(12分)22．[2017·江西九江十校联考](本小题满分12分)某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100 g，皮革300 g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50 g，皮革400 g，且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5 kg，皮革12 kg.(1)求该作坊可获得的最大利润；(2)若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%；方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．解(1)设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润11 为z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧ 100x ＋50y ≤2500，300x ＋400y ≤12000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤50，3x ＋4y ≤120，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝40x ＋30y (x ，y ∈N )．(3分)由图可知，当直线l 经过点(16,18)时，z 取得最大值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元．(6分)(2)若作坊选择方案一，则其收益为1180×(1－10%)＝1062元；(8分)若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为t ，则t ＝x ＋y (x ，y ∈N )，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤50，3x ＋4y ≤120，x ≥0，y ≥0，作图分析可知，当x ＝16，y ＝18时，t 取得最大值，此时作坊的收益为(16＋18)×30＝1020元，故选择方案一更划算．(12分)。

高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲

（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ，，都为正整数，且．
∴ ，
当且仅当时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得，
当且仅当时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得．
令，
则．
令，则在上单调递增．
∴ ，即．
(1)当时，等价于，
该不等式恒成立，所以；
当时，等价于，
解得，此时不等式无解；
当时，等价于，解得，所以．
综上所述，不等式的解为．
(2)由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以．综上所述，的取值范围是．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数．
当时，，解得，
故不等式的解集为或；
(2)由（1）可知：
当时，，
当时，，
当时，，
故的最小值为3，即，则，即
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式的解集；
(2)设时，的最小值为M.若正实数a，b，满足，求的最小值.

2021届高考数学(新高考)仿真模拟卷(十九)(含答案)

2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（十九）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．复数())1i i z =+，则z =A ．4B ．CD ．2．已知集合A ＝{x |y ＝ln(x －1)}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝ A ．{0}B ．{2，3}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}3．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，则“()00f x '=”是“0x x =是函数()f x 的一个极值点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝0.50.8，b ＝0.80.5，c ＝0.80.8，则 A ．c ⎪⎝⎭，则当ϕ取最小正数时，不等式()12f x ≥的解集是 A ．(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZB ．(),Z 2k k k πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+∈ C ．()2,Z 3k k k ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--∈ D ．(),Z 2k k k πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈ 6．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为()0n N t n n N <=≥（0t 、0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为 A ．16小时B ．11小时C ．9小时D ．8小时7．波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳乡，婴波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列，在数学上，裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足12211,n n n a a a a a ++===+，现从该列前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是 A ．13B ．14C ．12D ．168．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A．若1F A =，则该双曲线离心率的取值范围为 A．(B．32⎫⎪⎭C．D．32⎛⎝ 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的周期为π C ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数 10．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是A ．()21121n nS n a -=-⋅B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是 A ．90CFD ︒∠= B ．CMD △为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为D ．AOB 的面积为412．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是 A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数2()log x f x =在1,32m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,5，则m 的取值范围是______.14．已知：3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 15．已知()511x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的所有项的系数的和为64，则a =______，展开式中3x 项的系数为______. 16．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是正方形1111D C B A 和正方形11ADD A 的中心，P 为线段EF 上的点（P 异于E ，F ），则EF 和BC 所成的角的大小是_______，三棱锥1P AB C -的体积为_________.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin C a b =+. （1）求角B ；（2）D 为边AB 上的一点，且满足1CD =，2AC =，锐角三角形ACD，求BC 的长. 18．已知数列{}n a 满足252,5a a ==，且122,2,2n n n a a a ++构成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n S 为数列{}2na 的前n 项和，记12n n n n Sb S S ++=⋅，求证：1212n b b b ++⋅⋅⋅+<.19．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．已知甲测试成绩的中位数为75．（1）求x ，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是35，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为()121n P n ≤≤，其中11P = ①求2P ，3P ； ②求证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求()121n P n ≤≤的表达式． 20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点.（Ⅰ）若D 是1AA 的中点，求证：//BD 平面AEF ；（Ⅰ）线段AE （包括端点）上是否存在点M ，使直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒？若有，确定点M 的位置；若没有，说明理由.21．已知函数()ln()e a f x x ax -=-（a ∈R ，且0a ≠，e 为自然对数的底）．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若函数ln ()()e a g x f x =+在()0,∞+有零点，证明：1211e ea a +>+．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>倍，点(2，1)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：222x y +=相切，切点在第一象限，与椭圆C 相交于P ，Q 两点.①求证：以PQ 为直径的圆经过原点O ；②若△OPQ 求直线l 的方程.参考答案1．B 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B 9．ABD 10．CD 11．AC 12．ABD 13．[]1,3214．1015．1 15 16．2π1617．（1）6π；（2 【解析】（1）sinC a b =+c a b =+，∴化简可得222b ac =+，222cos 2a c b B ac +-∴==(0,)B π∈，6B π∴=.（2）因为锐角三角形ACD所以1sin 24AC CD ACD ⋅⋅∠=，sin 4ACD ∠=，因为0,2ACD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 4ACD ∠==，在三角形ACD 中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，所以2AD =，在三角形ACD 中，sin sin CD AD A ACD =∠，所以sin A =在三角形ABC 中，sin sin BC AC A B =，解得2BC =.18．（1）n a n =；（2）证明见解析. 【解析】（1）122,2,2n n n a a a ++构成等比数列，∴()22122222n n n n n a a a a a ++++=⋅=，∴122n n n a a a ++=+，∴{}n a 是一个等差数列，设其公差为d ，由252,5a a ==得：5233d a a =-=，解得：1d =，()22n a a n d n ∴=+-=.（2）证明：由（1）知：22n a n =，1222n n+=，∴{}2na 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴()12122212n n nS +-==--，∴()()1121221122222222n n n n n n b +++++==----⋅-， ∴12233412111111222222222222n n n b b b ++++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-------211222n +=--， 222n +>，21022n +∴>-，21112222n +∴-<-，即1212n b b b ++⋅⋅⋅+<. 19．（1）0.025x =．0.02y =，甲74.5，乙73.5；（2）①235P =，31325P =；②证明见解析，()111121225nn P n -=+≤≤⨯. 【解析】（1）∵甲测试成绩的中位数为75，∴0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，解得0.02y =．∴0.0110100.0410100.005101y x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.025x =．同学甲的平均分为550.0110650.0210750.0410850.02510950.0051074.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．同学乙的平均分为550.01510650.02510750.0310850.0210950.011073.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）由（1）可知甲的平均分大于乙的平均分，则甲最先答题．①依题意知11P =，235P =，3332213555525P =⨯+⨯=，②依题意知第n 次由甲答题，则若第1n -次甲答题且答对，则第n 次甲答题；若第1n -次乙答题且答错，则第n 次甲答题. 所以()()1113212125555n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=+≥． ∴1111252n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()2n ≥．又11122P -=，∴12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，15为比的等比数列， ∴1111225n n P -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴()111121225n n P n -=+≤≤⨯． 20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅰ）存在，点M 与点A 重合. 【解析】（Ⅰ）连接1DC ，1BC ，因为D ，E 分别是1AA ，1CC 的中点，故1//AE DC ，AE ⊄平面1BDC ，1DC ⊂平面1BDC ，所以//AE 平面1BDC .因为E ，F 分别是1CC ，BC 的中点，所以1//EF BC ，EF ⊄证平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以//EF 平面1BDC ，又AE EF E ⋂=，AE ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以//BD 平面AEF ，（Ⅰ）题意得AB ，AC ，1AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(0,2,1)E ，(1,1,0)F . 因为(0,2,1)AE =，(1,1,0)AF =. 设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为(1,1,2)n =-.设(0,2,)(01)AM AE λλλλ==≤≤，又1(2,0,2)AB =，所以11(2,2,2)B M AM AB λλ=-=--. 若直线1B M 与平面AEF 所成角为60︒，则111sin 60cos ,||n B M n B Mn B M⋅==⋅︒2(2)λ=⋅+2===. 解得：0λ=或45λ=，即当点M 与点A 重合，或45AM AE =时，直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒.21．（1）当0a >时，增区间为1,e a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为10,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当0a <时，增区间为1,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由()ln()e a f x x ax -=-，知'()ln()1ln(e )f x ax a x =+=．①当0a >时，定义域为()0,∞+，由()'0fx >，得1e x a >，由()'0f x <，得10e x a <<． ②当0a <时，定义域为(,0)-∞，由()'0f x >，得1e x a <，由()'0f x <，得10ex a <<．综上，当0a >时，增区间为1,e a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为10,e a ⎛⎫⎪⎝⎭．当0a <时，增区间为1,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,0e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）证明：因为ln ()ln()e eaa g x x ax -=+-有正零点，所以0a >，由（1）知()g x 在10,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以min 11ln ()e 0e e e a a g x g a a -⎛⎫==-+-≤⎪⎝⎭，即ln 1e 0e e a a a --+≥．对于函数()e 1x h x x =--，有()e 1xh x '=-，()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故()()00h x h ≥=，即不等式e 1x x ≥+恒成立，当且仅当0x =时，取等号．故当0a >时，e 1a a >+，即1e1aa -<+．在不等式e 1x x ≥+中，取1ln x a =，可得1ln 1a a ≥-+，即11ln a a -≥-，从而11ln e e ea a -≥-，所以1111ln 1e 01e e e e e a a a a a a -+-+>-+≥+，即1211ea ea +>+．22．（1）22163x y +=；（2）①证明见解析，②y =+342y x =-+.【解析】（1）由题意椭圆C 倍，点(2，1)在椭圆C 上，可得22222411a a b c a b⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线PQ 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=，且0k <，0m >，=2222m k =+，联立22026kx y m x y -+=⎧⎨+=⎩，得222(12)4260k x kmx m +++-=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则有122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222222646121212k m k k m m k m k k k--=-+=+++，所以2222212122222663(2)6·0121212m m k m k OP OQ x x y y k k k----=+=+==+++，所以OP OQ ⊥，即90POQ ∠=︒，即以PQ 为直径的圆过原点O . ②由①可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，2222m k =+，所以PQ ==，点O 到直线PQ可得12OPQ S ∆==，解得22k =，或218k =，当22k =时，28m =，当218k =时，294m =，所以k =m =4k =-，2m =，则直线方程为y =+32y =+.。

2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编(理科) 不等式选讲(精解精析版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析版）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞ ．（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．解析：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x 的解集；(2)若()4f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ ．解析：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．解析：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a-<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因为1a x <≤时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤；(2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c=324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】（1）()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x的图象如下图（2）依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．（2）()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24f x x ax =-++,()11g x x x =++-．(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答案】(1)112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭;(2)[]1,1-．【分析】(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =．若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥,则()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()12f -≥且()12f ≥,得11a -≤≤,所以a的取值范围为[]1,1-．【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--<①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤所以不等式()()f x g x ≥的解集为11712x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭(2)当[]1,1x ∈-时,()2g x =所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[]1,1-．【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ){}1x x ≥;(Ⅱ)5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩所以不等式()1f x ≥等价于131x <-⎧⎨-≥⎩或12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩或231x >⎧⎨≥⎩由131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 无解；由1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤；由231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥综上可得不等式()1f x ≥的解集为[)1,+∞．（2）解法一：先求不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时m 的取值范围不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集等价于不等式()2m f x x x >-+恒成立记()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩，则()maxm F x >⎡⎤⎣⎦当1x <-时，()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭当12x -≤≤时，()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x >时，()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭所以()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时，54m >所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空时，m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二：原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m-+≥设2()()g x f x x x=-+由（1）知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-，其开口向下，对称轴112x =>-所以()()11135g x g ≤-=---=-当12x -<<时，()231g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为32x =所以()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=⎪⎝⎭当2x ≥时，()23g x x x =-++，其开口向下，对称轴为12x =所以()()24231g x g ≤=-++=综上()max 54g x =⎡⎤⎣⎦所以m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=，证明：(1)33()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a bab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b +-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b++-≥，即55()()4a b ab ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2233()()()4()4a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=所以2a b +≤．解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-．又0,0a b >>，所以:()()230a b a b -+-≤。

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2019年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷2 理一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( )A ．[－2,2]B ．[－2,4]C ．[0,2]D ．[0,4] 答案 B解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B. 2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32 C ．±12 D.12 答案 B解析由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k＝±32.4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx n(x ∈R )的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析最小范围内的至高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n 24＋3⇒n＝2，故选B.5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A. 6．[2016·贵阳一中质检]函数g (x )＝2e x＋x －3⎠⎛12t 2d t 的零点所在的区间是( )A ．(－3，－1)B ．(－1,1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析因为3⎠⎛12t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪21＝8－1＝7，∴g(x)＝2e x ＋x －7，g′(x)＝2e x＋1>0，g(x)在R 上单调递增，g (－3)＝2e －3－10<0，g (－1)＝2e －1－8<0，g (1)＝2e －6<0，g (2)＝2e 2－5>0，g (3)＝2e 3－4>0，故选C.7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A．2 2 B．4 C．3 2 D．6答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.8．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.9．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，PA⊥平面PBC ，则四面体P －ABC 的外接球半径为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3 答案 A解析 PA ⊥平面PBC ，AC ＝27，PA ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.10．[2016·四川高考]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案 B解析由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494，选B.11．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157B.95C.53D.75 答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，n ＝2m ，即m＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C.12．[2016·海口调研]已知曲线f (x )＝k e－2x在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )A ．1<x 1x 2< e B.1e <x 1x 2<1C ．2<x 1x 2<2 e D.2e<x 1x 2<2 答案 B解析依题意得f ′(x )＝－2k e－2x，f ′(0)＝－2k ＝－1，k ＝12.在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )＝12e －2x与y ＝|ln x |的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有12e －2x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12e －2，12，12e －2x2＝|ln x 2|＝ln x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e －2，12e －2x 2－12e －2x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln (x 1x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，于是有e －12 <x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1，选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．答案 2或3解析若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1.16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．答案 2解析由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与y＝21－|x |的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.(2分)在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －22x ·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.(4分)∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，(9分)∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)(1) (2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？解 (1)记顾客获得半价优惠为事件A ，则P (A )＝3×2×14×4×4＝332，(2分)两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P ＝1－P (A )P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3322＝1831024.(4分)(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．(6分) 若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取160,224,256,320.P (X ＝160)＝332， P (X ＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝320)＝1×2×34×4×4＝332，(9分)则E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×332＝240.∵270>240，∴第二种方案比较划算．(12分)19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．解 (1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC .即AB 2＋a 2＝BC 2⇒12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1.(2分)若AD ⊥BC ，因为AD ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，所以AD ⊥面ABC ⇒AD ⊥AC ，即AD 2＋a 2＝CD 2⇒(2)2＋a 2＝12⇒a 2＝－1，无解，故AD ⊥BC 不成立．(4分)(2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22，所以只需三棱锥A －BCD的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD .(6分)过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，则易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，33，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，显然，面BCD 的法向量为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63.(8分)设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，33，0，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，63，所以⎩⎨⎧6x ＝3y ，23y ＝6z .令y ＝2，得n ＝(1，2，2)，(10分) 故二面角A －CD －B 的余弦值即为 |cos 〈OA →，n 〉|＝26363·1＋2＋4＝277.(12分)20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2，所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1x，当a ≤0时，f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，当a >0时，令f ′(x )＝0，则x ＝1a，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，(3分)∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上为增函数．(4分)(2)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x －4，由(1)知：f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，而[m ，n ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，∴f (x )在[m ，n ]上为增函数，结合f (x )在[m ，n ]上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k m ＋1，k n ＋1知：f (m )＝k m ＋1，f (n )＝k n ＋1，其中12≤m <n ，则f (x )＝k x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上至少有两个不同的实数根，(6分)由f (x )＝kx ＋1，得k ＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，记φ(x )＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则φ′(x )＝4x －1x －ln x －3，记F (x )＝φ′(x )＝4x －1x －ln x －3，则F ′(x )＝4x 2－x ＋1x 2＝x －2＋3x x 2>0， ∴F (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，即φ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，而φ′(1)＝0， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0， ∴φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，(10分) 而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3ln 2－92，φ(1)＝－4，当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，故结合图象得： φ(1)<k ≤φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12⇒－4<k ≤3ln 2－92，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，3ln 2－92.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分) ∵曲线C 2的直角坐标方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x 23＋y 24＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(5分) (2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－65，∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5＝2 5.(10分) 23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M .(1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2x －＋－x 2＝32，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝3 2.(5分) (2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2.所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分)由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32，所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为{x |－22≤x ≤2}．(10分)。

18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组二函数试题理

重组二函数测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B.y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD.y ＝2x＋2－x答案 C解析 A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知C 是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2x ln 2＋2－xln 2>0)，故选C.2．[2017·河北百校联考]已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4 B.－4 C ．6 D.－6答案 B解析由题设函数f (x )是奇函数，故f (0)＝e 0＋m ＝1＋m ＝0，即m ＝－1，所以f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.3．[2017·山西联考]若函数f (x )＝log 0.2(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递减，且b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则( )A ．c <b <a B.b <c <a C ．a b ，c ＝20.2>20＝1，c >a >b .故选D.4．[2016·衡水联考]已知奇函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －43 x >0 ，f x x <0 ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．－56B.56C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 133D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －43答案 A解析因为F (x )＝－F (－x )，log 213<0，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 213 ＝－F (log 23)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23－43＝1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫log 213＝F (1)＝12－43＝－56.5．[2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |， ∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)，故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x∴f ′(x )＝4x －e x＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．[2016·浙江高考]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关答案 B解析由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.7．[2016·江西联考]已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x ＋1)为偶函数，则( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B.f (－2)>f (2) C ．f (－1)<f (3) D.f (－4)＝f (4)答案 B解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )关于直线x ＝1对称，又因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)＝f (4)>f (2)，f (－1)＝f (3)，f (－4)＝f (6)>f (4)，故选B.8．[2017·河南大联考]已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝( )A ．2017 B.2016 C ．4034 D.4032答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2＝2＋x 2sin x x 4＋2，易知g (x )＝x 2sin x x 4＋2是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝2－x 2sin x x 4＋2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝4，令t ＝x ＋12，则－x ＋12＝－t ＋1，所以f (t )＋f (－t ＋1)＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝1008×4＝4032.9．[2016·昆明一中模拟]若关于x 的不等式9－x 2≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ≥2，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(0，2] D.(－∞，2]答案 A解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋1)，其示意图如图，A (1,22)，若k >0，要满足y 1≤y 2，则b ＝3，此时－1<a ≤1，从而k ≥221＋1＝2；若k <0，要满足y 1≤y 2，则a ＝－3，则b ≥a＋2＝－1，从而k 值不存在，所以k ≥2，选A.10．[2016·长春质检]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D.(e ，＋∞)答案 C解析由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f (ln x )|<f (1)，从而f (－1)<f (ln x )<f (1)，进而－1<ln x <1，所以1e<x <e ，故选C.11．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B.m C ．2m D.4m答案 B解析因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B. 12．[2017·重庆八中模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤2，f 4－x ，2<x <4，若当方程f (x )＝m 有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时，不等式kx 3x 4＋x 21＋x 22≥k ＋11恒成立，则实数k 的最小值为( )A.98B.2－32C.2516D.3－12答案 B解析当2<x <4时，0<4－x <2，所以f (x )＝f (4－x )＝|ln (4－x )|，由此画出函数f (x )的图象如下图所示，由于f (2)＝ln 2，故0<m <ln 2，且x 1·x 2＝1，(4－x 3)(4－x 4)＝1，所以x 21＋x 22≥2x 1x 2＝2，x 3＝4－x 2，x 4＝4－x 1，由kx 3x 4＋x 21＋x 22≥k ＋11分离参数得，k ≥11－ x 21＋x 22 x 3x 4－1，设y ＝11－ x 21＋x 22 x 3x 4－1＝11－ x 21＋x 22 4－x 2 4－x 1 －1＝13－ x 1＋x 2 216－4 x 1＋x 2，令x 1＋x 2＝t ，则上式化为y ＝13－t 216－4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫2<t <52，令4－t ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<m <2，则y ＝－m 2＋8m －34m ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－m －3m ＋8＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋3m ＋2.因为m ＋3m ≥23(m ＝3时取“＝”)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋3m ≤－23，则y ≤－32＋2，所以k ≥2－32.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·河南名校联考]若函数f (x )＝x ＋ 2a －1 x ＋1x为奇函数，则a ＝________.答案 12解析因为f (x )＝x ＋ 2a －1 x ＋1x为奇函数，所以由f (－x )＋f (x )＝0，得2(2a －1)＝0，即a ＝12.14．[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.15．[2017·云南师大附中月考]若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.答案 2017解析 ∵f (x ＋6)≥f (x ＋4)＋2≥f (x ＋2)＋4，又f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4，∴f (x ＋6)＝f (x ＋2)＋4，即f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴f (2017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＋2016＝2017.16．[2016·山东高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，其顶点为(m,4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ，m )．①当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m －m 2≥m ，即0<m ≤3时，函数f (x )的图象如图1所示，易得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当⎩⎪⎨⎪⎧4m －m 2<m ，m >0，即m >3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 20且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，求使f (x )>0成立的x 的集合．解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2分) ∵f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5分)(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，∴log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝log a 4＝2，解得a ＝2，(7分)∴f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )，若f (x )>0，则log 2(x ＋1)>log 2(1－x )， ∴x ＋1>1－x >0，解得0<x <1，(9分) 故不等式的解集为(0,1)．(10分)18．[2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1.(1)求证：f (8)＝3；(2)求不等式f (x )－f (x －2)＞3的解集．解 (1)证明：由题意可得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(4分)(2)原不等式可化为f (x )＞f (x －2)＋3＝f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)，(6分) ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧8x －16＞0，x ＞8x －16.(10分)解得，2＜x ＜167.(12分)19．[2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．(1)试建立价格p 与周数t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周数t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈ 5，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈ 10，16]，t ∈N .(4分)(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝p －Q ，即 L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋0.125 t －8 2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋0.125 t －8 2－12，t ∈ 5，10]，t ∈N ，40－2t ＋0.125 t －8 2－12，t ∈ 10，16]，t ∈N (6分)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.125 t －8 2＋8，t ∈ 5，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈ 10，16]，t ∈N .(8分)当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增，L (t )max ＝L (5)＝9.125；当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减，L (t )max ＝L (11)＝7.125. 由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)20．[2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，且a ≠0，所以Δ＝b 2－4a ＝0，(2分) 所以b 2－4(b －1)＝0，得b ＝2，则a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分)(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －224. 所以当k －22≥2或k －22≤－2，(6分)即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分) (3)F (m )＋F (n )＞0.因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，则f (x )＝ax 2＋1.(9分)所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ＞0，－ax 2－1，x ＜0.因为mn ＜0，不妨设m ＞0，所以n ＜0，又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0，所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0，所以F (m )＋F (n )＞0.(12分)21．[2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ x ＋1 x ＋ax2为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n (m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即x ＋1 x ＋a x 2＝－x ＋1 －x ＋ax2，即2(a ＋1)x ＝0，x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(4分)(2)由(1)可知，f (x )＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34；∴E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，34，(6分)而λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14＝lg 22＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－14＝34，∴λ∈E .(8分)(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n ， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2－3m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，(10分)∴m ，n 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根，又由题意可知1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.(12分)22．[2016·辽宁高三测试](本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－|ax －2|，x ∈[－1,2]，(1)当a ＝6时，求函数f (x )的值域； (2)设0<a ≤4，求函数f (x )最小值g (a )．解 (1)当a ＝6时，f (x )＝x 2－|6x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋6x －2＝ x ＋3 2－11，－1≤x <13，x 2－6x ＋2＝ x －3 2－7，13≤x ≤2.(2分)当－1≤x <13时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－7，19；当13≤x ≤2时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，19，故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，19.(4分) (2)f (x )＝x 2－|ax －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24－2，x <2a ，x 2－ax ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a 24＋2，x ≥2a .(5分)①当0<a <1时，2a>2，－12<－a 2<0，此时当x ∈[－1,2]时，f (x )＝x 2＋ax －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 2，2上单调递增，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－2；(7分)②当1≤a ≤2时，2a ≥a 2，－1≤－a 2≤－12， f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 2，2上单调递增，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－2；(9分)③当2<a ≤4时，2a <a 2，－2≤－a 2<－1， f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，2上单调递增，所以g (a )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f －1 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝(－a －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a24＋2＝14(a －2)2－4<0，所以f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，故g (a )＝f (－1)＝－a －1.(11分)综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a24－2，0<a ≤2，－a －1，2<a ≤4.(12分)。

2019-2020年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷2文

2019-2020年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷2文一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[xx·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4]答案 B解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B. 2．[xx·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R)为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．[xx·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32C ．±12D.12答案 B解析由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32.4．[xx·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx n(x ∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析最小范围内的至高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n 24＋3⇒n＝2，故选B.5．[xx·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A. 6．[xx·广州调研]如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若AC →＝λAM→＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.25B.45C.65D.85答案 D解析 ∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.7．[xx·贵阳检测]已知a ＝2－ 13，b ＝(2log 23) － 12，c ＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a答案 C解析因为a ＝2－ 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 16 ，b ＝(2 log 23) － 12 ＝3－ 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫127 16，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin30°＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12，所以b >c ，所以a >b >c ，故选C.8．[xx·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝2＋12＋－2－12＝3 2.故选C.9．[xx·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．24＋6π B．12πC．24＋12π D．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.10．[xx·南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 A解析 PA ⊥平面PBC ，AC ＝27，PA ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.11．[xx·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157 B.95 C.53 D.75答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C.12．[xx·海口调研]设过曲线f (x )＝－e x－x ＋3a (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝(x －1)a ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－1,2]D ．[－2,1]答案 C解析根据题意设y ＝f (x )上的切点为(x 1，y 1)，y ＝g (x )上的切点为(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝a －2sin x .根据已知，对任意x 1，存在x 2，使得(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，即2sin x 2＝a －1e x 1＋1对任意x 1∈R 均有解x 2，故－2≤a －1e x 1＋1≤2对任意x 1∈R 恒成立，则a －2≤1e x 1＋1≤2＋a 恒成立．又1e x 1＋1∈(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，2＋a ≥1，解得－1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－1，2]．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[xx·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．答案 2或3解析若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．14．[xx·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.15．[xx·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1.16．[xx·广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．答案 2解析由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与y＝21－|x |的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[xx·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.(2分)在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －1222x ·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.(4分)∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，(9分)∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[xx·重庆八中质检](本小题满分12分)某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)，得到如图所示的柱状图．以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．(1)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N)的函数解析式； (2)求当天的利润不低于750元的概率．解 (1)当n ≥17时，y ＝17×(100－50)＝850；当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850n ≤16，850n ≥17(n ∈N)．(7分)(2)设当天的利润不低于750元为事件A ，由(1)得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，P (A )＝1－10＋20100＝0.7.(12分)19．[xx·河北五校联考](本小题满分12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，AD ⊥DC ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，∠BAC ＝45°，平面ACD ⊥平面ABC ，E ，F 分别在BD ，BC 上，且BE ＝2ED ，BC ＝2BF .(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比．解 (1)证明：∵AD ＝CD ＝2，AD ⊥DC ，∴△ACD 是等腰直角三角形，AC ＝ 22，如图，取AC 的中点O ，连接OD ，则OD ⊥AC .(2分) ∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴OD ⊥平面ABC ，则OD ⊥BC . ∵AB ＝4，∠BAC ＝45°，∴BC ＝22，(4分) 即△ACB 是等腰直角三角形，且BC ⊥AC . ∵OD ∩AC ＝O ，∴BC ⊥平面ACD . ∵AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥AD .(6分) (2)解法一：由(1)得OD ＝2，过E 作EH ⊥平面ABC 交OB 于点H ，则EH OD ＝BEBD. ∵BE ＝2ED ，∴BE BD ＝23，则EH OD ＝BE BD ＝23，则EH ＝23OD ＝223.(8分)∵BC ＝2BF ，∴F 是BC 的中点，则BF ＝12BC ＝12×22＝2，则△ABF 的面积S ＝12BF ×AC ＝12×2×22＝2，则三棱锥D －ABC 的体积V ＝13×12AC ×BC ×OD ＝13×12×22×22×2＝423，三棱锥E－ABF 的体积V 1＝13×2×223＝429，则四棱锥A －EFCD 的体积V 2＝423－429＝1229－429＝829，则平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为829∶429＝2∶1.(12分) 解法二：∵V E －ABF ＝V A －BEF ，∴V A －EFCD ∶V E －ABF ＝V A －EFCD ∶V A －BEF ＝S 四边形EFCD ∶S △BEF .(8分) 又S △BEF ＝12×BE ×BF sin ∠EBF ，S △BCD ＝12×BC ×BD sin ∠CBD＝12×2BF ×32BE sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCE ＝S △BCD －S △BEF ＝BE ×BF sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCD ∶S △BEF ＝2∶1, (11分)即平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为2∶1.(12分)20．[xx·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2，所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[xx·山西四校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，a ∈R ，a ≠0.(1)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线与x 轴平行，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )≤ax 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x＋2ax －2.(2分) 由已知f ′(1)＝1＋2a －2＝0，解得a ＝12，于是f ′(x )＝x 2－2x ＋1x≥0恒成立，从而f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(5分)(2)f (x )≤ax 转化为ln x ＋ax 2－2x －ax ≤0，设g (x )＝ln x ＋ax 2－2x －ax ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则g ′(x )＝1x ＋2ax －2－a ＝ax －12x －1x .(7分)①当a <0时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，因而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14a －1－12a ≤0，故－4－4ln 2≤a <0；(8分) ②当0<a <2时，1a >12，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，不符合题意；(10分) ③当a ≥2时，1a ≤12，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，不符合题意．(11分)综上a 的取值范围为[－4－4ln 2,0)．(12分)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[xx·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分)∵曲线C 2的直角坐标方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x 23＋y 24＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(5分) (2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－65，∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5＝2 5.(10分) 23．[xx·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M .(1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2x －2＋11－x2＝32，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝3 2.(5分) (2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2.所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分)由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32，所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为{x |－22≤x ≤2}．(10分)。

2019-2020年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷1理

2019-2020年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷1理一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[xx·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞)答案 D解析集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)． 2．[xx·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0 答案 D解析因为2z －z ＝21＋i－1＋i ＝21－i1＋i 1－i－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.3．[xx·福建质检]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( )A ．－33 B.33 C ．－13 D.13答案 B解析因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝33，故选B. 4．[xx·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由题意得，a n ＝a 1qn －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，选C.5．[xx·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个答案 D解析由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D 错误．6．[xx·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log 23－12 ，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a 答案 C解析因为a ＝2－13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1416 ，b ＝()2log 23 －12 ＝3－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12716，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝14⎠⎛0πsin xdx ＝－14cos x ⎪⎪⎪π＝－14(cos π－cos0)＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412，所以b >c ，所以a >b >c ，选C.7．[xx·江苏重点高中模拟]若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．17B ．16C ．15D ．13 答案 A解析当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n ＝17，故选A.8．[xx·湖北武汉调研]已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1x －m的取值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 D ．(－∞，0]答案 C解析由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z ＝y ＋1x －m的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即B (2，－1)．由题意知m ＝2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0.由y ＝－1与2x －y －2＝0，得交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0,2)，则m <12，故选C.9．[xx·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A ．110B ．116C ．118D ．120 答案 D解析如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.故选D.10．[xx·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析利用平面向量的线性运算法则求解.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.11．[xx·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2，且2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，则该双曲线的离心率为( )A.3＋12 B.32C. 3 D ．2 3 答案 A解析设双曲线的左焦点为F 1，依题意知，|PF 2|＝2c ，因为OM →＝12(OP →＋OF 2→)，所以点M为线段PF 2的中点．因为2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，所以OF 2→·F 2M →＝c 22，所以c ·c ·c o s∠PF 2x ＝12c 2，所以c o s∠PF 2x ＝12，所以∠PF 2x ＝60°，所以∠PF 2F 1＝120°，从而|PF 1|＝23c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以23c －2c ＝2a ，所以e ＝c a＝13－1＝3＋12，故选A. 12．[xx·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤5e ，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－83e 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4e ，－52e 答案 B解析由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)ex ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)ex ＋1，则h′(x )＝－[3ex ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)ex ＋1，由h′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h′(x )<0，得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x )取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )，y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时，要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧h－2≥g －2，h －3<g －3，即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－52e ，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是[ －52e ，－83e2 )，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[xx·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．答案 2解析令x ＝1，可得2×(－1)＝a 0，即a 0＝－2；令x ＝2，可得(22＋1)×0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，即a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.14．[xx·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n，n ∈N *，则b xx ＝________.答案20172018解析 ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b n ＋1＝b n1－1－b n 2＝12－b n，∴1b n ＋1－1－1b n －1＝－1，又b 1＝12，∴1b 1－1＝－2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1b n －1＝－n －1，∴b n ＝n n ＋1.故b xx ＝20172018. 15．[xx·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2. 16．[xx·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①∀x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；②∃k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ③④解析 f ′(x )＝1＋2cos2x ，则f ′(x )＝0有无数个解，再结合f (x )是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f (x )的大致图象为：(1)令g (x )＝2x －f (x )＝x －sin2x ，则g ′(x )＝1－2cos2x ，令g ′(x )＝0，则x ＝π6＋k π(k ∈Z )，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6－32<0，即存在x ＝π6>0使得f (x )>2x ，故①错误； (2)由图象知不存在y ＝k 的直线和f (x )的图象有四个不同的交点，故②错误；(3)f (a ＋x )＋f (a －x )＝2a ＋2sin2a cos2x ，令sin2a ＝0，则a ＝k π2(k ∈Z )，即(a ，a )，其中a ＝k π2(k ∈Z )均是函数的对称中心，故③正确；(4)f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 1＋a 2＋a 3＋sin2a 1＋sin2a 2＋sin2a 3＝3π，即3a 2＋sin(2a 2－2d )＋sin2a 2＋sin(2a 2＋2d )＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2＋2sin2a 2cos2d ＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2(1＋2cos2d )＝3π， ∴sin2a 2＝3π1＋2cos2d －31＋2cos2da 2，则问题转化为f (x )＝sin2x 与g (x )＝3π1＋2cos2d －31＋2cos2dx 的交点个数．如果直线g (x )要与f (x )有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π，－2，而直线的斜率－31＋2cos2d 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，0)之外的交点，故a 2＝π，④正确．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[xx·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1. (1)若A ＝90°，求△ABC 的面积； (2)若△ABC 的面积为32，求a ，c . 解 (1)a ＋1a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝2a 2＋1－c2a ，∵b ＝1，∴2c 2＝a 2＋1.(2分) 又∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1，∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝3，(4分) ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ＝12×1×2＝22.(6分)(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，则sin C ＝3a .∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3a，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0， ∴a ＝7，从而cos C ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝277，∴c ＝a 2＋b 2－2bc cos C ＝7＋1－2×7×1×277＝2.(12分)18．[xx·广州四校联考](本小题满分12分)自xx年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：(1)愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．解(1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1＝4200＝150；(2分)当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2＝16200＝225.(4分)(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C25＝10(种)，(5分)其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种，由古典概型概率计算公式得P(A)＝610＝35.(7分)②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.P(ξ＝29)＝110＝0.1，P(ξ＝30)＝110＝0.1，P(ξ＝31)＝210＝0.2，P(ξ＝32)＝210＝0.2，P(ξ＝33)＝210＝0.2，P(ξ＝34)＝110＝0.1，P(ξ＝35)＝110＝0.1，因而ξ的分布列为(10分)所以E(ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12分)19．[xx·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB ＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．(1)证明DF ⊥AE ；(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，所以AE ⊥AB . 因为AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ，所以AB ⊥平面A 1ACC 1.因为AC ⊂平面A 1ACC 1，所以AB ⊥AC .以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则有A (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)．(4分) 设D (x 1，y 1，z 1)，A 1D →＝λA 1B 1→且λ∈[0,1]，即(x 1，y 1，z 1－1)＝λ(1,0,0)，则D (λ，0,1)，所以DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1.因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以DF →·AE →＝12－12＝0，所以DF ⊥AE .(6分)(2)假设存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414. 由题意可知平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)．(8分)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0，因为FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＋12z ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λx ＋12y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝321－λz ，y ＝1＋2λ21－λz .令z ＝2(1－λ)，则n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ))是平面DEF 的一个法向量．(10分) 因为平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，所以|cos 〈AA 1→，n 〉|＝|AA 1→·n ||AA 1→||n |＝1414，即|21－λ|9＋1＋2λ2＋41－λ2＝1414，解得λ＝12或λ＝74(舍去)，所以当D 为A 1B 1的中点时满足要求．故存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，此时D 为A 1B 1的中点．(12分)20．[xx·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1，∵|BD |＝3，∴2b2a＝3，又a 2－b 2＝1，∴a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2＋1，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)>0，所以k >－12.又x 1＋x 2＝8k2k －13＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2，(8分) 因为PM →·PN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2·8k 2k －13＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54. 解得k ＝±12，因为k >－12，所以k ＝12.故存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .(12分)21．[xx·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋12x 2，g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋16x 3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋12x 2，定义域为(－1，＋∞)，(2分)则f ′(x )＝x 2x ＋1>0，所以f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．(4分)(2)由(1)知，当x ≥0时，有f (x )≥f (0)＝0，即ln (x ＋1)≥x －12x 2.g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 2＋2(a －1)x ＋12x 2＝(2a －1)x .(6分)①当2a －1≥0，即a ≥12时，且x ≥0时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，且g (0)＝0，所以当x ≥0时，g (x )≥0，所以a ≥12符合题意．(8分)②当a <12时，令g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2＝φ(x )，φ′(x )＝1x ＋1＋2(a －1)＋x ＝x 2＋2a －1x ＋2a －1x ＋1，(9分)令x 2＋(2a －1)x ＋2a －1＝0，则其判别式Δ＝(2a －1)(2a －5)>0，两根x 1＝1－2a －2a －12a －52<0，x 2＝1－2a ＋2a －12a －52>0，当x ∈(0，x 2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(0，x 2)上单调递减，且φ(0)＝0，即x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<g ′(0)＝0，g (x )在(0，x 2)上单调递减，所以存在x 0∈(0，x 2)，使得g (x 0)<g (0)＝0，即当x ≥0时，g (x )≥0不恒成立，所以a <12不符合题意．综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[xx·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ，θ＋π3，|BM |＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．解 (1)设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x B ＝ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12x －32y ，y B ＝ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32x ＋12y ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －32y ，32x ＋12y .由|BM |2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －32y ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y 2＝1，整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.(5分)(2)圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数)，则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．(10分)23．[xx·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲若∃x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .(1)求集合T ；(2)若m >1，n >1且对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．解 (1)||x －1|－|x －2||≤|x －1－(x －2)|＝1，所以|x －1|－|x －2|≤1，所以t 的取值范围为(－∞，1]，即T ＝{t |t ≤1}(5分)(2)由(1)知，对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，只需log 3m ·log 3n ≥t max ，所以log 3m ·log 3n ≥1，又因为m >1，n >1，所以log 3m >0，log 3n >0，又1≤log 3m ·log 3n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3m ＋log 3n 22＝log 3mn24(log 3m ＝log 3n 时取等号，此时m ＝n )，(8分)所以(log 3mn )2≥4，所以log 3mn ≥2，mn ≥9，所以m ＋n ≥2mn ≥6，即m ＋n 的最小值为6(此时m ＝n ＝3)．(10分)。

2019年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷2 文.doc

2019年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷2 文一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( )A ．[－2,2]B ．[－2,4]C ．[0,2]D ．[0,4]答案 B解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B. 2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R)为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32C ．±12D.12答案 B解析由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32.4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx n(x ∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析最小范围内的至高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n 24＋3⇒n＝2，故选B.5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A. 6．[2017·广州调研]如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若AC →＝λAM→＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.25B.45C.65D.85答案 D解析 ∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－12μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.7．[2017·贵阳检测]已知a ＝2－ 13 ，b ＝(2log 23) － 12 ，c ＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a答案 C解析因为a ＝2－ 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 16 ，b ＝(2 log 23) － 12 ＝3－ 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫127 16，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin30°＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12，所以b >c ，所以a >b >c ，故选C.8．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.9．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．24＋6πB．12πC．24＋12πD．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.10．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 A解析 PA ⊥平面PBC ，AC ＝27，PA ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.11．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157 B.95 C.53 D.75答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C.12．[2017·海口调研]设过曲线f (x )＝－e x－x ＋3a (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝(x －1)a ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－1,2]D ．[－2,1]答案 C解析根据题意设y ＝f (x )上的切点为(x 1，y 1)，y ＝g (x )上的切点为(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝a －2sin x .根据已知，对任意x 1，存在x 2，使得(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，即2sin x 2＝a －1e x 1＋1对任意x 1∈R 均有解x 2，故－2≤a －1e x 1＋1≤2对任意x 1∈R 恒成立，则a －2≤1e x 1＋1≤2＋a 恒成立．又1e x 1＋1∈(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，2＋a ≥1，解得－1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－1，2]．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．答案 2或3解析若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1.16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．答案 2解析由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与y＝21－|x |的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.(2分)在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －22x ·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.(4分)∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，(9分)∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[2017·重庆八中质检](本小题满分12分)某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)，得到如图所示的柱状图．以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．(1)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N)的函数解析式； (2)求当天的利润不低于750元的概率．解 (1)当n ≥17时，y ＝17×(100－50)＝850；当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n ，n (n ∈N)．(7分)(2)设当天的利润不低于750元为事件A ，由(1)得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，P (A )＝1－10＋20100＝0.7.(12分)19．[2017·河北五校联考](本小题满分12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，AD ⊥DC ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，∠BAC ＝45°，平面ACD ⊥平面ABC ，E ，F 分别在BD ，BC 上，且BE ＝2ED ，BC ＝2BF .(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比．解 (1)证明：∵AD ＝CD ＝2，AD ⊥DC ，∴△ACD 是等腰直角三角形，AC ＝ 22，如图，取AC 的中点O ，连接OD ，则OD ⊥AC .(2分) ∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴OD ⊥平面ABC ，则OD ⊥BC . ∵AB ＝4，∠BAC ＝45°，∴BC ＝22，(4分) 即△ACB 是等腰直角三角形，且BC ⊥AC . ∵OD ∩AC ＝O ，∴BC ⊥平面ACD . ∵AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥AD .(6分) (2)解法一：由(1)得OD ＝2，过E 作EH ⊥平面ABC 交OB 于点H ，则EH OD ＝BEBD. ∵BE ＝2ED ，∴BE BD ＝23，则EH OD ＝BE BD ＝23，则EH ＝23OD ＝223.(8分)∵BC ＝2BF ，∴F 是BC 的中点，则BF ＝12BC ＝12×22＝2，则△ABF 的面积S ＝12BF ×AC ＝12×2×22＝2，则三棱锥D －ABC 的体积V ＝13×12AC ×BC ×OD ＝13×12×22×22×2＝423，三棱锥E－ABF 的体积V 1＝13×2×223＝429，则四棱锥A －EFCD 的体积V 2＝423－429＝1229－429＝829，则平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为829∶429＝2∶1.(12分) 解法二：∵V E －ABF ＝V A －BEF ，∴V A －EFCD ∶V E －ABF ＝V A －EFCD ∶V A －BEF ＝S 四边形EFCD ∶S △BEF .(8分) 又S △BEF ＝12×BE ×BF sin ∠EBF ，S △BCD ＝12×BC ×BD sin ∠CBD＝12×2BF ×32BE sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCE ＝S △BCD －S △BEF ＝BE ×BF sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCD ∶S △BEF ＝2∶1, (11分)即平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为2∶1.(12分)20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2，所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[2017·山西四校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，a ∈R ，a ≠0.(1)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线与x 轴平行，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤ax 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x＋2ax －2.(2分) 由已知f ′(1)＝1＋2a －2＝0，解得a ＝12，于是f ′(x )＝x 2－2x ＋1x≥0恒成立，从而f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(5分)(2)f (x )≤ax 转化为ln x ＋ax 2－2x －ax ≤0，设g (x )＝ln x ＋ax 2－2x －ax ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则g ′(x )＝1x ＋2ax －2－a ＝ax －x －x .(7分)①当a <0时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，因而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14a －1－12a ≤0，故－4－4ln 2≤a <0；(8分) ②当0<a <2时，1a >12，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，不符合题意；(10分) ③当a ≥2时，1a ≤12，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，不符合题意．(11分)综上a 的取值范围为[－4－4ln 2,0)．(12分)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分)∵曲线C 2的直角坐标方程为：⎝⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x 23＋y 24＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(5分) (2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－65，∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5＝2 5.(10分) 23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M .(1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2x －＋－x 2＝32，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝3 2.(5分) (2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2. 所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分) 由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32，所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为{x |－22≤x ≤2}．(10分)。

〖2021年整理〗十年高中模拟练习分类汇编数学专19 不等式选讲解析版配套精选卷

十年分类汇编（2021—2021）数学专题19不等式选讲12021·全国1·理T23文T23[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1证明:11 a +1b+1c≤a2b2c2;2ab3bc3ca3≥24【解析】1因为a2b2≥2ab,b2c2≥2bc,c2a2≥2ac,又abc=1,故有a2b2c2≥abbcca=ab+bc+caabc =1a+1b+1c所以1a +1b+1c≤a2b2c22因为a,b,c为正数且abc=1,故有ab3bc3ca3≥3√(a+b)3(b+c)3(a+c)33=3abbcac≥3×2√ab×2√bc×2√ac=24所以ab3bc3ca3≥2422021·全国2·理T23文T23[选修4—5:不等式选讲] 已知f=|-a||-2|-a1当a=1时,求不等式f134353131343(2+a)234-a31-a32a-23(2+a)23(2+a)23≥131的解集;2若∈0,1时不等式f>成立,求a的取值范围【解析】1当a=1时,f=|1|-|-1|,即f={-2,x≤-1,2x,-1<x<1, 2,x≥1.故不等式f>1的解集为{x|x>12}2当∈0,1时|1|-|a-1|>成立等价于当∈0,1时|a-1|0,|a-1|2a 2a{2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2,-2x+6,x>2.{-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.1时,①式化为2-4≤0,从而1-1+√172{x |-1≤x ≤-1+√172}{-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.2时,由f ≥1解得>≥1的解集为{|≥1}2由f ≥2-m 得m ≤|1|-|-2|-2而|1|-|-2|-2≤||1||-2-2||=-(|x |-32)2+54≤54,且当=32时,|1|-|-2|-2=54故m 的取值范围为(-∞,54] 92021·全国2·理T23文T23已知a>0,b>0,a 3b 3=2证明: 1aba 5b 5≥4; 2ab ≤2【解析】1aba 5b 5=a 6ab 5a 5bb 6=a 3b 32-2a 3b 3aba 4b 4 =4aba 2-b 22≥42因为ab 3=a 33a 2b3ab 2b 3=23abab≤23(a+b )24ab=23(a+b )34,所以ab 3≤8,因此ab≤2102021·全国1·理T24文T24已知函数f=|1|-|2-3| 1在题图中画出=f 的图象; 2求不等式|f|>1的解集【解析】1f={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,=f 的图象如图所示2由f 的表达式及图象,当f=1时, 可得=1或=3;当f=-1时,可得=13或=5,故f>1的解集为{|1{x |x <13或x >5}1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5} 112021·全国3·理T24文T24已知函数f=|2-a|a 1当a=2时,求不等式f ≤6的解集;2设函数g=|2-1|当∈R 时,fg ≥3,求a 的取值范围【解析】1当a=2时,f=|2-2|2 解不等式|2-2|2≤6得-1≤≤3 因此f ≤6的解集为{|-1≤≤3} 2当∈R 时, fg=|2-a|a|1-2| ≥|2-a1-2|a=|1-a|a,当=12时等号成立,所以当∈R 时,fg ≥3等价于|1-a|a ≥3① 分类讨论当a ≤1时,①等价于1-aa ≥3,无解当a>1时,①等价于a-1a ≥3,解得a ≥2 所以a 的取值范围是[2,∞122021·全国2·理T24文T24已知函数f=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f {-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.12-1;当-12121201当a=1时,求不等式f>1的解集;2若f 的图象与轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围【解析】1当a=1时,f>1化为|1|-2|-1|-1>0 当≤-1时,不等式化为-4>0,无解;当-10,解得230,解得1≤1的解集为{x |23<x <2} 2由题设可得f={x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f 的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a -13,0),B2a1,0,Ca,a1,△ABC 的面积为23a12由题设得23a12>6,故a>的取值范围为2,∞142021·全国2·理T24文T24设a,b,c,d 均为正数,且ab=cd,证明: 1若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;2√a +√b >√c +√d 是|a-b|√a +√b √ab √c +√d √cd cd 得√a +√b 2>√c +√d 2因此√a +√b >√c +√d2①若|a-b|cd 由1得√a +√b >√c +√d ②若√a +√b >√c +√d ,则√a +√b 2>√c +√d 2, 即ab2√ab >cd2√cd 因为ab=cd,所以ab>cd于是a-b 2=ab 2-4ab √a +√b >√c +√d 0,b>0,且ab=1a +1b, 证明: 1ab ≥2;2a 2a 1a +1b =a+bab 0,b>0,得ab=11由基本不等式及ab=1,有ab≥2√ab =2, 即ab ≥22假设a 2a0得00,b>0,且1a +1b =√ab 1求a 3b 3的最小值;2是否存在a,b,使得2a3b=6并说明理由【解析】1由√ab =1a +1b ≥√ab,得ab≥2,且当a=b=√2时等号成立故a 3b 3≥2√a 3b 3≥4√2,且当a=b=√2时等号成立所以a 3b 3的最小值为4√2 2由1知,2a3b≥2√6√ab ≥4√3由于4√3>6,从而不存在a,b,使得2a3b=6 172021·全国2·理T24文T24设函数f=|x +1a||- a|a>0 1证明:f ≥2;2若f30,有f=|x +1a||-a|≥|x +1a-(x -a )|=1a a≥2 所以f≥22解f3=|3+1a ||3-a| 当a>3时,f3=a 1a ,由f35+√2121a 1+√52(1+√52,5+√212)14{3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1),4343{x |0≤x ≤43}(x -14)21434{x |-14≤x ≤34}{x |0≤x ≤34}14−(x -12)2≤14-1,且当∈[-a 2,12)时,f≤g,求a 的取值范围【解析】1当a=-2时,不等式f {-5x ,x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.[-a 2,12)[-a 2,12)a 243(-1,43]13a 2b+b 2c+c 2a 13a 2b b 2c c 2a a 2b+b2c+c 2a a 2b+b 2c+c 2a a 2b+b 2c+c 2a {-2x +5,x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.0 1当a=1时,求不等式f ≥32的解集; 2若不等式f ≤0的解集为{|≤-1},求a 的值【解析】1当a=1时,f ≥32可化为|-1|≥2 由此可得≥3或≤-1故不等式f ≥32的解集为{|≥3或≤-1} 2由f ≤0得|-a|3≤0此不等式化为不等式组{x ≥a ,x -a +3x ≤0或{x ≤a ,a -x +3x ≤0,即{x ≥a ,x ≤a 4或{x ≤a ,x ≤-a 2. 因为a>0,所以不等式组的解集为{x |x ≤-a2} 由题设可得-a2=-1,故a=2232021·全国·理T24文T24设函数f=|2-4|1 1画出函数=f 的图象;2若不等式f ≤a 的解集非空,求a 的取值范围【解析】1由于f={-2x +5,x <2,2x -3,x ≥2,则函数=f 的图象如图所示2图象应用由函数=f 与函数=a 的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数=f 与函数=≤a 的解集非空时,a 的取值范围为-∞,-2∪[12,+∞)。

2024新高考19题试卷结构高三模拟试题(原卷版)

2024新高考19题试卷结构高三模拟试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（）A ．7B ．6C ．5D ．42．设双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为20x y ±=，则实数a 的值为（）A ．6B ．4C ．3D ．23．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+ ，(),q b a c a =-- .若p q ∥，则角C 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，则“20S >”是“数列{}2n S 是单调递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若cos 20(3tan 501)a -= ，则=a （）A ．12B ．1C ．32D ．26．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 作直线l ，与C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），与y 轴正半轴交于点N ，点Q 是C 上不同于,A B 的点，且()1,62QA QN QF BN =+= ，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．47．以正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为（）A ．158B ．129C ．229D ．3298．如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即πS ab =．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

高考数学(文)一轮专题重组卷：第一部分专题十九算法初步 Word版含解析

专题十九算法初步本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分75分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入() A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A答案 A解析对于选项A，第一次循环，A＝12＋12；第二次循环，A＝12＋12＋12，此时k＝3，不满足k≤2，输出A＝12＋12＋12的值．故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.2．(2019·陕西省四校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的S＝()A．25 B．9C．17 D．20答案 C解析初始条件为S＝1，T＝0，n＝0，按照程序框图依次执行，可得S＝9，n＝2，T＝0＋4＝4；S＝17，n＝4，T＝4＋16＝20>S，退出循环，输出S＝17.故选C.3．(2019·咸阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A．1 B．2C．3 D．4答案D解析执行程序框图，可得a ＝32，b ＝1，i ＝1不满足条件i ≥3，i ＝2；a ＝52，b ＝32，i ＝2不满足条件i ≥3，i ＝3；a ＝4，b ＝52，i ＝3满足条件i ≥3，退出循环，输出a 的值为4.故选D.4．(2019·天津高考)阅读程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29答案 B解析 i ＝1不为偶数，S ＝0＋1＝1，i ＝1＋1＝2<4； i ＝2为偶数，j ＝1，S ＝1＋2×21＝5，i ＝2＋1＝3<4； i ＝3不为偶数，S ＝5＋3＝8，i ＝3＋1＝4. 此时4≥4满足要求，输出S ＝8.故选B. 5．(2019·岳阳二模)INPUT A ，BX ＝A A ＝BB ＝XPRINT A ，B END图中所示的程序的作用是( ) A ．输出两个变量A 和B 的值B．把变量A的值赋给变量B，并输出A和B的值C．把变量B的值赋给变量A，并输出A和B的值D．交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值答案 D解析模拟程序的运行，可得该程序的作用是交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值．故选D.6．(2019·郑州质量检测)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f (x)＝2019x2018＋2018x2017＋…＋2x ＋1，程序框图设计的是求f (x0)的值，在M处应填的执行语句是()A．n＝2018－i B．n＝2019－iC．n＝i＋1 D．n＝i＋2答案 B解析由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值．结合程序框图的功能可知，n的值为多项式的系数，由2019,2018,2017，…，1，由程序框图可知，处理框处应该填入n＝2019－i.故选B.7．(2019·安庆二模)为了计算S＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入()A．i＝i＋1 B．i＝i＋2 C．i＝i＋3 D．i＝i＋4 答案 B解析由模拟程序的运行过程知，该程序运行后输出的是S＝N－T＝1＋13＋…＋12019－12－14－…－12020＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020；累加步长是2，则在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.8．(2019·江西联考)执行如图所示的程序框图，则输出n的值是()A．3 B．5 C．7 D．9答案 D解析由程序框图知，第一次循环：S 初始值为0，不满足S ≥49，故S ＝11×3＝13，n ＝3；第二次循环：当S ＝13时，不满足S ≥49，故S ＝11×3＋13×5＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＝25，n ＝5；第三次循环：当S ＝25时，不满足S ≥49，故S ＝11×3＋13×5＋15×7＝37，n ＝7；第四次循环：当S ＝37时，不满足S ≥49，故S ＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＝49，n ＝9；此时，S ＝49，满足S ≥49，退出循环，输出n ＝9，故选D.9．(2019·吉林市调研)执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．3＋12log 23 B ．log 23 C ．2 D ．3答案 C解析初始条件为S ＝3，i ＝1，满足条件i ≤3，执行循环体，得S ＝3＋log 221，i ＝2；满足条件i ≤3，执行循环体，得S ＝3＋log 221＋log 232，i ＝3；满足条件i ≤3，执行循环体，S ＝3＋log 221＋log 232＋log 243＝4，i ＝4，不满足条件i ≤3，退出循环，输出的S 的值为S ＝log 24＝2.故选C.10．(2019·丹东质量测试)计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…dcba 化为十进制数的公式为…dcba ＝a ·20＋b ·21＋c ·22＋d ·23＋…，例如二进制数11等于十进制数1·20＋1·21＝3，又如二进制数101等于十进制数1·20＋0·21＋1·22＝5，如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是()A．i≤5 B．i>5 C．i≤4 D．i>4答案 D解析11111(2)＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝16＋8＋4＋2＋1＝31(10)．初始条件S＝1，i＝1，执行循环体，可得S＝3，i＝2，判断否；S＝7，i＝3，判断否；S＝15，i＝4，判断否；S＝31，i＝5，判断是，输出S＝31，故填i>4，故选D.11．(2019·贺州联考)执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2019，则输出的y的值为()A.18 B.14 C.12D．1答案 C解析根据流程图，可知每循环一次，x的值减少4，输入x＝2019，因为2019除以4余3，经过多次循环后x ＝3，再经过一次循环后x ＝－1，不满足x ≥0的条件，输出的y 的值为2－1＝12.故选C.12．(2019·河北联考)执行如图所示的程序框图，输出的i 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析执行程序框图可得，第一步：x ＝10，y ＝0＋3＝3,10>3，i ＝1＋1＝2；第二步：x ＝20，y ＝3＋32＝12,20>12，i ＝2＋1＝3；第三步：x ＝40，y ＝12＋33＝39,40>39，i ＝3＋1＝4；第四步：x ＝80，y ＝39＋34＝120,80<120，输出i ＝4.故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共15分)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)13．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．答案 5解析第一次循环，S＝12，x＝2；第二次循环，S＝12＋22＝32，x＝3；第三次循环，S＝32＋32＝3，x＝4；第四次循环，S＝3＋42＝5，满足x≥4，结束循环．故输出的S的值是5.14．(2019·榆林二中模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a＝255，b＝68，则输出的a是________．答案17解析初始值a＝255，b＝68.第1次执行循环体后c＝51，a＝68，b＝51；第2次执行循环体后c＝17，a＝51，b＝17；第3次执行循环体后c＝0，a＝17，b＝0；满足条件b＝0，退出循环，故输出的a的值为17.15．(2019·北京市海淀区一模)执行如图所示的程序框图，则输出的T的值为________．答案48解析执行程序框图，第一步：T＝2，x＝4；第二步：T＝8，x＝6；第三步：T＝48，x＝8，退出循环，所以T＝48.。

高考数学 19 选修系列：不等式选讲试题解析教师文试题

2021年高考数学 19 选修系列：不等式选讲试题解析老师版文创作人：
历恰面日期： 2020年1月1日
一、填空题: 1.(2021年高考卷文科15)A 〔不等式选做题〕假设存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，那么实数a 的取值范围是
二、解答题:
2．〔2021年高考新课标全国卷文科24〕〔本小题满分是10分〕选修4—5：不等式选讲函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.
(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(Ⅱ)假设f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.
【解析】
3．〔2021年高考卷21〕〔选修4 - 5：不等式选讲〕〔本小题满分是10分〕
实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18
y <．【解析】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-，
由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+,∴5||18
y <. 【考点定位】此题主要考察不等式的根本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．实在注意绝对值不等式的性质与其灵敏运用.
创作人：
历恰面日期： 2020年1月1日。

【仿真真题重组】备战2023年-历年高考真题重组卷01(理科)(解析版)

绝密★启用前冲刺2023年高考数学真题重组卷01（理科）课标全国卷地区专用注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2022·全国·统考高考真题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M【答案】A【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可【详解】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A2．（2020·全国·统考高考真题）复数11−3i的虚部是（）A．−310B．−110C．110D．310能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．（2021·全国·统考高考真题）设函数f(x)=1−x，则下列函数中为奇函数的是（）1+xA．f(x−1)−1B．f(x−1)+1C．f(x+1)−1D．f(x+1)+1A．3B．4C．5D．6【答案】B1212 60°,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A．√72B．√132C．√7D．√13【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|PF1|,|PF2|，结合余弦定理可得答案.【详解】因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.7．（2020·全国·统考高考真题）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4√2B．4+4√2C．6+2√3D．4+2√3根据立体图形可得：S=S=S=1×2×2=2n n{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．9．（2020·全国·统考高考真题）(x+y2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【答案】C【分析】求得(x+y)5展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r y r（r∈N且r≤5），即可求得(x+y2x)与(x+y)5展开式的乘积为C5r x6−r y r或C5r x4−r y r+2形式，对r分别赋值为3，1即可求得x3y3的系数，问题得解.【详解】(x+y)5展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r y r（r∈N且r≤5）所以(x+y 2x)的各项与(x+y)5展开式的通项的乘积可表示为：xT r+1=xC5r x5−r y r=C5r x6−r y r和y2x T r+1=y2xC5r x5−r y r=C5r x4−r y r+2在xT r+1=C5r x6−r y r中，令r=3，可得：xT4=C53x3y3，该项中x3y3的系数为10，在y 2x T r+1=C5r x4−r y r+2中，令r=1，可得：y2xT2=C51x3y3，该项中x3y3的系数为5所以x3y3的系数为10+5=15故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.10．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=（）A．√5B．2√2C．√10D．5√10411．（2021·全国·统考高考真题）若α∈(0,2),tan2α=2−sinα，则tanα=（）A．√1515B．√55C．√53D．√153偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．若f(0)+f(3)=6，则f(92)=（）A．−94B．−32C．74D．52【答案】D【分析】通过f(x+1)是奇函数和f(x+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式f(x)=−2x2+2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为f(x+1)是奇函数，所以f(−x+1)=−f(x+1)①；因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2)②．令x=1，由①得：f(0)=−f(2)=−(4a+b)，由②得：f(3)=f(1)=a+b，因为f(0)+f(3)=6，所以−(4a+b)+a+b=6⇒a=−2，13．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．##0.3【答案】310【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；.其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P=310.故答案为：310解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C53=10甲、乙都入选的方法数为C31=3，所以甲、乙都入选的概率P=310故答案为：31014．（2021·全国·统考高考真题）已知向量a⃑=(3,1),b⃑⃑=(1,0),c⃑=a⃑+kb⃑⃑．若a⃑⊥c⃑，则k=________．【答案】−103.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c⃗的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值【详解】∵a⃗=(3,1),b⃑⃗=(1,0),∴c⃗=a⃗+kb⃑⃗=(3+k,1),∵a⃗⊥c⃗,∴a⃗⋅c⃗=3(3+k)+1×1=0，解得k=−103,故答案为：−103.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p⃗= (x1,y1),q⃗=(x2,y2)垂直的充分必要条件是其数量积x1x2+y1y2=0.15．（2021·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________．足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为________．三、解答题：共70分。

【仿真真题重组】备战2023年-历年高考真题重组卷02(参考答案)

绝密★启用前冲刺2023年高考数学真题重组卷02新高考地区专用有一项是符合题目要求的。

所以()U A B ⋃故选：D. D【答案】D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为故选：D.【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∵91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∵1a b ⋅= 故选：C. ．D【答案】D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r ，则r =，所以该四棱锥的高h 13V a =令2(02)a t t =<<，V =设()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=，403t <<，()0f t '>，单调递增， 423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V 最大，此时h =故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥， 3A EFM C EFM --计算出3V ，依次判断选项即可【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则ACD S =ABC S =AC 于点MABCD AC ，又ED BD D =，AC ⊥平面1BD =，易得四边形BDGF (2EF a =+2EFMS a =，AC =32EFMS a =，则故选：CD.11．BCD D ．2||||||BP BQ BA ⋅>)2,,n ，则221log log n =的增大而增大，所以C 选项正确选项，若2n =,2,,m ，且 1,2,,m ）.221log m i i p =⋅∑22111log m mp p p -+⋅++⋅.)((12221log m m mp p p p p +⋅+++++221222111log m m m m p p p p ---+++⋅+⋅+),2,,2m ，所以 2111i i m i p p p +->，所以2log i p >+11log i i p p >⋅()H Y ，所以【点睛】本小题主要考查对新定义力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．∴抛物线方程为：M 在抛物线上，所以M 在双曲线上，22c b =-23e ∴=±故答案为：16．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】0f x ，即y ，图象显然不符合题意，所以，则()2ln g x a '=设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()2ln x x a a '=⋅因为函数ln y a a =⋅与函数的图象有两个不同的交点，11四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2,3,4,,10，故集合的值，进一步可求得，再利用三角形的面积公式可求222128a b c Cab，所以，C 因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯⨯△）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则222a b c ab +-<3，1a a a ++>，a Z ∈，故证明见解析；(2)5714DH 并分别交于点60，由此可知，，所以可以以点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系N -的一个法向量，以及BM ，即可利用线面角的向量公式解出．、D 分别做直线EFCD 都是直角梯形，，由平面几何知识易知，2,EFC DCF DCB =∠=∠=∠Rt EGD 和Rt DHA ，EG ,CF DC CB ⊥，且CF CB ⋂平面,BCF BCF ∠是二面角60，是正三角形，由DC ⊂平面BCF ，的中点，∴FN BC ⊥，又，可得CD C =，∵FN ⊥平面ABCD AD ．FN ⊥平面ABCD ，过点为原点，所在直线分别为x 轴、y 轴、3,0),(3,3,0),D -333,,,(2,23,0),(2,22BM AD DE ⎛⎫∴=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =由00n AD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22302330x y x y z ⎧--=⎪⎨-++=⎪⎩，取(3,1,n =-设直线BM 与平面ADE 所成角为θ，3333322||sin cos ,|||3394n BM n BM n BM θ++⋅=〈〉==⋅⋅++R=6213y x -=。

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重组十九选修4－
5
测试时间：120分钟
满分：150分
解答题(本题共15小题，每小题10分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
1．[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.
(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)求不等式|f (x )|>1的解集．
解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x≤－1，
3x －2，－1<x≤32，
－x ＋4，x>3
2
，(2分)
y ＝f (x )的图象如图所示．
(5分)
(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；
当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3
或x ＝5.(7分)
故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x<
1
3
或x>5.(8分)
所以|f (x )|>1的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x<1
3或1<x<3或x>5
.(10分)
2．[2016·云南名校统考]已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为x ∈[0,4]．
(1)求m 的值；
(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2
＋b 2
的最小值．
解 (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1，
∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1.(3分)
∵其解集为[0,4]，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－m ＝0，
m ＋1＝4，∴m ＝3.(5分)
(2)由(1)知a ＋b ＝3，
∵(a ＋b )2
＝a 2
＋b 2
＋2ab ≤(a 2
＋b 2
)＋(a 2
＋b 2
)＝2(a 2
＋b 2
)，
∴a 2＋b 2
≥92
，(8分)
∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2
取最小值为92
.(10分)
3．[2017·山西忻州联考]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )>0的解集．
(1)求M ；
(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |<15.
解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －3，x<－2，
3x ＋1，－2≤x≤12，
－x ＋3，x>1
2
，(2分)
当x <－2时，由x －3>0，得x >3，舍去；(3分)
当－2≤x ≤12时，由3x ＋1>0，得x >－13，即－13<x ≤1
2
；(4分)
当x >12时，由－x ＋3>0，得x <3，即1
2
<x <3.(5分)
综上，M ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，3.(6分)
(2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |<3，|y |<3，
∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |<3＋3＋3×3＝15.(10分)
4．[2017·广西河池联考]已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *
，存在实数
x 使f (x )<2成立．
(1)求实数m 的值；。