届高三数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例夯基提能作业本理

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例

A组基础题组

1.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则(a+2b)·c=()

A.(-15,12)

B.0

C.-3

D.-11

2.(2016河南八市重点高中质检)已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于( )

A. B.2 C.3 D.4

3.已知e1,e2是单位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若m⊥n,则e1与e2的夹角为( )

A. B. C.π D.π

4.(2016德州模拟)如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,<,>=60°,则||=( )

A.1

B.2

C.

D.5

5.如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,=,=,若·=-,则·=( )

A.-

B.

C.-

D.

6.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则实数k= .

7.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)= .

8.已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则

||= .

9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.

(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;

(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?

10.(2016上海静安一模)如图,已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sin

x),=(,0),x∈.

(1)求证:(-)⊥;

(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.

B组提升题组

11.(2016河南商丘二模)已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( )

A.[3,]

B.[3,5]

C.[3,4]

D.[,5]

12.(2016四川成都模拟)已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为( )

A. B.-C. D.-

13.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分

点,·=4,·=-1,则·的值是.

14.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C、D两点都在圆O上(C、D不与A、B重合),且||=2,求|+|.

15.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=,n=,且m与n的

夹角为.

(1)求角C;

(2)已知c=,S△ABC=,求a+b的值.

答案全解全析

A组基础题组

1.C ∵a=(1,-2),b=(-3,4),∴a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6).又

∵c=(3,2),∴(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3,故选C.

2.D 因为a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即|a|2-|a||b|cos =8,所以4+2|b|×=8,解得|b|=4.

3.B 因为m⊥n,|e1|=|e2|=1,所以m·n=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5+6e1·e2-8=-3+6e1·e2=0.所以

e1·e2=.设e1与e2的夹角为θ,则cos θ==.因为θ∈[0,π],所以θ=.

4.C 因为O为BC中点,所以=(+),||2=(+2·+)=(12+2×1×3×cos

60°+32)=,所以||=.

5.A

如图,作AF⊥BC于F,∵△ABC是等腰三角形,∴BF=FC=BC=1.

因为=⇒D是AC的中点⇒=(+),

所以·=-⇒(+)·(-)=-⇒-=-1⇒=5⇒||=,所以

cos∠ABC==,·=(-)·=·(-)=·-=2××-×5=2-=-.

6.答案±

解析已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即

k2=,所以k=±.

7.答案-

解析由已知得||=,||=,

则·(-)=(+)·=·+·=cos +×=-.

8.答案 2

解析因为=,所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量

m,n的夹角为,所以||=2|m-n|=2=2=2.

9.解析由已知得,a·b=4×8×=-16.

(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4.

②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,∴|4a-2b|=16.

(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,

即16k-16(2k-1)-2×64=0.解得k=-7.

即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.

10.解析(1)证明:∵-=(0,2sin x),

∴(-)·=0×+2sin x×0=0,

∴(-)⊥.

(2)△ABC是等腰三角形,则AB=BC,

∴(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x,

整理得2cos2x-cos x=0,

解得cos x=0或cos x=.