2018版 必修四 第1章 章末分层突破

三角函数章节复习
[自我校对]
①②③④⑤⑥
(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝sin x＋2cos x－1的定义域是________．
【精彩点拨】(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．
(2)利用三角函数线求解．
【规范解答】(1)r＝|OP|＝(－4m)2＋(3m)2＝5|m|.
当m>0时，sin α＝y
r＝
3m
5m＝
3
5，cos α＝
x
r＝
－4m
5m＝－
4
5，∴2sin α＋cos α＝
2
5.
当m<0时，sin α＝y
r＝
3m
－5m
＝－
3
5，cos α＝
x
r＝
－4m
－5m
＝
4
5，∴2sin α＋cos α＝－
2
5.
故2sin α＋cos α的值是2
5或－
2
5.
如图，结合三角函数线知：
解得2k π≤x ≤2k π＋π
3(k ∈Z )，
∴函数的定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 【答案】 (1)25或－25(2)⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z
[再练一题]
1.若θ是第四象限角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．
方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．
已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ、tan θ的值． 【精彩点拨】 以角θ的终边所在位置为依据分别讨论求解．
【规范解答】 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π
2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π
2时，sin θ＝－1，tan θ不存在． (2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m 2
，tan θ＝1－m 2
m .
(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m 2
，tan θ＝－1－m 2
m .
2.已知
sin (2π＋θ)tan (π＋θ)tan (3π－θ)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－θtan (－π－θ)＝1，则sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2
θ的值是
________．
现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：
(1)用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π
2，2π.
(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．
(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递增区间；
(3)若x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．
【精彩点拨】 利用公式T ＝2π
|ω|求周期→整体代换求单调区间→由最值求a 【规范解答】 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋a ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.
(2)2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)当x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，
即2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.
3.如图1-1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的部分图象．
图1-1
(1)求此函数的解析式；
(2)分析该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的．
求参数范围等题目中．
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．
已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛
⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期
内的简图如图1-2所示，求函数g (x )＝f (x )－lg x 零点的个数．
图1-2
【精彩点拨】 识图→求A ，ω，φ→画出f (x )及y ＝lg x 的图象→下结论 【规范解答】 显然A ＝2.由图象过(0，1)点，则f (0)＝1，即sin φ＝1
2， 又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
11π12＝0，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫
11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二
个交点． ∴11π12ω＋π
6＝2π，
∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6.
在同一坐标系中作函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图如图所示：
∵f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令11
12π＋k π＜100(k ∈Z )，得k ≤30(k ∈Z )，而
11
12
π＋31π＞100， ∴在区间(0，100]内有31个形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1112π＋k π，1712π＋k π(k ∈Z ，0≤k ≤30)的区间，
在每个区间上y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1112π上还有1个交点， ∴方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个， ∴函数g (x )＝f (x )－lg x 共有63个零点． [再练一题] 4.若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫θ⎪
⎪⎪
sin θ≥1
2，0≤θ≤π，
，求M ∩N .
1．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝________.
2.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为
________．
3.若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．
4.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图1-3所示，则f(x)的单调递减区间为________．
图1-3
5.定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
6.已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3的交点，则φ的值是________．。