通信原理讲稿第二章

常用的是高斯过程的一维分布。高斯过 程在任一时刻上的样值是一维高斯随机 变量，其概率密度函数可表示为
f ( x) ( x a) 2 exp 2 2 2 1
概率密度函数的曲线为
1 2 f (x)
O
a
x
特点
f(x)对称于x=a这条直线。


a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x) 图形将随着σ的减小而变高和变窄。当 a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布的 密度函数。 正态分布函数
E[sin( 0t1 ) sin( 0t 2 )]
令t1=t, t2=t+τ,
E[sin( 0t ) sin( 0t 0 )]
经过推导得： 1 cos 0 2
仅与τ有关。由此看出， ξ(t)是宽平稳随机 过程。它的功率谱密度为：
P ( )
几种函数的关系为
erfc( x) 2 2 ( 2x) erf ( x) 2 ( 2 x) 1
高斯白噪声
一类特殊的高斯过程——高斯白噪声， 它 的功率谱密度均匀分布在整个频率范围 内，即 n0
随机过程的统计描述
设ξ(t)表示随机过程，在任意给定的时刻 t1∈T， ξ(t1)是一个一维随机变量。 一维分布函数：随机变量ξ(t1)小于或等于 某一数值x1的概率，即 F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］
一维概率密度函数
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
1 . ex 1
n
jk
(
x j ak
j
)(
xk ak
k
)]
式中, ak=E{ξ(tk)}，σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2，|B|为归 一化协方差矩阵的行列式，即
1
…
B B21 1
b12 … b1n
… b2n … … 1
Bn1 bn2 …
|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子， bjk为归一化协方差函数： E [ (t j ) a j ][ (t k ) ak ] b jk jk
A 2 (cos c t cos sin c t sin )d 0 2
A 2 2 [cos c t 0 (cos d sin c t 0 sin d ] 0(常数） 2
ξ(t)的自相关函数为：
R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )]
…
高斯过程的特点： 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量 的数学期望、 方差和两两之间的归一化 协方差函数所决定。因此，对于高斯过 程，只要研究它的数字特征就可以了。 如果过程是宽平稳的，即其均值与时间 无关，协方差函数只与时间间隔有关， 而与时间起点无关，则它的M维分布也 与时间起点无关，故它也是严平稳的。 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相 关的，则即对所有j≠k，有bjk=0，于是
n维分布函数：
Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)
P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝
n维概率密度函数
f ( x1 , x2 ..., xn ; t1 , t 2 ..., t n ) n Fn ( x1 , x2 ...; t1,t 2 ..., t n ) x1 x2 ...xn
§ 2.2 随机过程一般描述
确定性信号是时间的确定函数，随机信 号是时间的不确定函数。 通信中干扰是随机信号，通信中的有用 信号也是随机信号。 描述随机信号的数学工具是随机过程， 基本的思想是把概率论中的随机变量的 概念推广到时间函数。
随机过程的数学定义： 设随机试验E的可能结果为ξ(t)，试验的样 本空间S为{x1(t), x2(t)， …, xn(t),…}， xi(t) 是第i次试验的样本函数或实现，每次试验 得到一个样本函数，所有可能出现的结果 的总体就构成一随机过程，记作ξ(t)。 两层含义：
F ( x)
x



f ( x )dx 1 ，

0
1 f ( x)dx f ( x)dx 2
0
( z a) 2 xa exp dz 2 2 2 1
这里的
x
1 2

z2 x 2 exp
E FT ( ) T

2
1 E T
P ( )
j r R ( )e d
T /2 T / 2 T
(t )e
jt
dt
T /2 T / 2 T
(t ' )e
jt '
dt'
1 T /2 T /2 j (t t ') E T / 2 T / 2 R (t t ' )e dtdt' T
利用二重积分换元法，则上式可化简成：
E FT ( )

2
于是
T

T' 1 T '

R( )e j d T
j R ( )e d

p ( ) lim
E FT ( ) T
2
T

简记为 R(τ) Pξ(ω)。 上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的 理论和应用中是一个非常重要的工具。它 是联系频域和时域的基本关系式。
例2-1随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中 A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随 机变量。求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度。 解：(1) 先考察ξ(t) 是否广义平稳。 ξ(t)的数学 期望为
a(t ) E[ (t )]
2 0
1 A cos( c t ) d 2
fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=
2 n (x j a j ) 1 exp n 2 n j 1 2 j (2 ) 2 j j 1
2 (x j a j ) 1 exp 2 2 j j 1 2 j =f(x1, t1)· f(x2, t2)…f(xn, tn) 这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互 不相关的，则它们也是统计独立的。 N
随机过程的一维数字特征
数学期望
xf ( x, t )dx 1
E[ (t )]
方差
a(t )
D[ (t )] E (t ) a(t )

2


2 2 x f ( x , t ) dx [ a ( t )] 1
随机过程的二维数字特征
自协方差函数 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝ 自相关函数 R(t1,t2)=E｛ξ(t1)ξ(t2)｝ 设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，互 相关函数 Rξη(t1, t2)=E［ξ(t1)η(t2)]
若平稳随机过程的数字特征（均为统计 平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代， 则称平稳随机过程具有“各态历经性”。
各态历经随机过程
1 T /2 a x(t ) lim x(t )dt T / 2 T T 1 T /2 R( ) x(t ) X (T ) lim x(t ) X (T )dt T / 2 T T
自相关函数的意义： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征 等， 可通过自相关函数来描述 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有 着内在的联系。因此，我们有必要了解 平稳随机过程自相关函数的性质。 自相关函数定义： R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］
自相关函数主要性质： R(0)=E[ξ2(t)]=S--ξ(t)的平均功率 R(τ)= R(-τ) --偶函数 |R(τ)|≤ R(0) --上界 R(∞)=E2[ξ(t)] ---ξ(t)的直流功率 R(0)-R(∞)=σ2 ---ξ(t)的交流功率。 ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为
因为cosωcτ 所以，Pξ(ω)=
j R ( ) e d
π[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)] [δ(ω- ω )+δ(ω+ ω )] c c
2
§2.5 高斯过程
定义——若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布，则称它为高斯 随机过程或正态过程。 其n维正态概率密 度函数表示如下： 1 fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 1 1 (2 ) 2 1 2 ... n B 2
P ( ) E[ Ps ( )] lim E FT ( ) T

2

T
ξ(t)的平均功率S可表示成
E FT ( ) 1 1 S p ( )d d lim 2 2 T T
2
由ξ(t)功率谱密度的定义，很难直接计算 功率谱。确知信号的自相关函数与其功 率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机 过程，也有类似的关系，即
广义平稳随机过程
平稳随机过程的定义对于一切n都需成立， 这在实际应用上很复杂。由平稳随机过 程的均值是常数， 自相关函数是τ的函数 还可以引入另一种平稳随机过程的定义： 若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函 数仅是τ的函数， 则称它为宽平稳随机过 程或广义平稳随机过程。
各态历经性
平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我 们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数， 而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可 获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均” 化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题 大为简化。