三角函数恒等变换-李君浩
高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
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课堂互动探究 K
师生互动 合作探究
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高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
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题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用
思考：计算下列各式的值
(1)cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________； (2)cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________； (3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________； (4)cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.
高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新 人教A版必修4
1
第
三
三角恒等变换
章
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高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
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3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
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∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－1114×17＋5143×47 3＝12. 又∵β∈0，π2，∴β＝π3.
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高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°) ＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-1两角差的余弦公式3-1-2两角和与差的正
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-1两角差的余弦公式3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式自我检测新人教A 版必修43.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式自我小测1.的值为( )ππsin 1212-A ．0B ． C. D ．2 2．已知，，那么等于( )2tan()5αβ+=π1tan()44β-=πtan()4α+ A. B.C. D.131813223223183．在△ABC 中，若sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 4．(2011浙江高考，理6)若，，，π02α<<π02β-<<π1cos()43α+=πcos()42β-=( )．cos()2βα+A ．B ．C ．D 5．若α，β均为锐角，且，，则cos β＝__________.1cos 7α=11cos()14αβ+=- 6．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．7．已知α，β∈(0，π)，，，求2α－β的值．1tan()2αβ-=1tan 7β=- 8．若，，且，求cos(α＋β)的值．3π5sin()413α+=π3cos()45β-=π3π044αβ<<<<9已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，.13-=a b (1)求cos(α－β)的值；(2)若，且，求sin α的值．π02α<<π02β-<<4sin 5β=- 参考答案1答案：C 解析：，故选πππππππsin 2(cos cos sin sin )2cos 12126126124-=-==2答案：C解析：ππtan()tan ()()44ααββ⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦21πtan()tan()3544π21221tan()tan()1454αββαββ-+--===++-+⨯. 3答案：D解析：∵sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ， 移项整理得：sin Bcos C －cos Bsin C ＝0，。
三角恒等变换的推导
三角恒等变换的推导三角恒等变换是数学中常见且重要的概念，在三角函数的研究和应用中被广泛运用。
本文将通过推导的方式，来介绍三角恒等变换的基本思想和推导过程。
在开始正式推导之前，我们首先回顾一下三角函数的定义。
对于任意的角θ，我们定义其正弦函数sin(θ)、余弦函数cos(θ)和正切函数tan(θ)如下：sin(θ) = 对边 / 斜边cos(θ) = 邻边 / 斜边tan(θ) = 对边 / 邻边接下来，我们开始推导三角恒等变换的基本公式。
为了方便推导，我们首先引入一个三角恒等式，即勾股定理：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1接下来，我们通过使用勾股定理和数学上的等价变换，来推导一系列的三角恒等变换。
1. 余弦和正弦的关系我们首先考虑余弦和正弦函数之间的关系。
通过勾股定理，我们可以将余弦函数表示为：cos(θ) = √(1 - sin^2(θ))起。
2. 正切和正弦、余弦的关系接下来，我们考虑正切函数与正弦和余弦函数之间的关系。
根据定义，我们知道：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)将上述关于余弦函数的表达式代入，我们可以得到：tan(θ) = sin(θ) / √(1 - sin^2(θ))进一步化简这个表达式，我们可以得到：tan(θ) = sin(θ) / √((1 - sin(θ))(1 + sin(θ)))通过这个公式，我们可以将正切函数与正弦函数的值联系在一起。
3. 余切和正弦、余弦的关系类似地，我们考虑余切函数与正弦和余弦函数之间的关系。
根据定义，我们知道：cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)将之前关于余弦函数的表达式代入，我们可以得到：cot(θ) = √(1 - sin^2(θ)) / sin(θ)进一步化简这个表达式，我们可以得到：cot(θ) = √((1 - sin(θ))(1 + sin(θ))) / sin(θ)通过以上推导，我们得到了几个三角恒等变换的基本公式。
三角函数恒等变换及作用
三角函数恒等变换及作用三角函数恒等变换是指一些常见的等式，通过这些等式可以把一个三角函数的表达式变换为另一个三角函数的表达式。
这些变换可以方便地化简复杂的三角函数表达式，求解三角方程以及证明三角函数的性质。
本文将介绍几个常用的三角函数恒等变换以及它们的作用。
1.余弦函数的恒等变换(1)余弦函数的和差化积公式：cos(A + B) = cosA*cosB - sinA*sinBcos(A - B) = cosA*cosB + sinA*sinB这两个公式可以把两个角的余弦函数相加或相减变换为它们的乘积形式，常用于化简和计算三角函数表达式。
(2)二倍角公式：cos2A = cos²A - sin²A这个公式可以把一个角的余弦函数变换为两倍角的余弦函数的形式，常用于化简含有二倍角的三角函数表达式。
(3)三倍角公式：cos3A = 4*cos³A - 3*cosA这个公式可以把一个角的余弦函数变换为三倍角的余弦函数的形式，常用于化简含有三倍角的三角函数表达式。
2.正弦函数的恒等变换(1)正弦函数的和差化积公式：sin(A + B) = sinA*cosB + cosA*sinBsin(A - B) = sinA*cosB - cosA*sinB这两个公式可以把两个角的正弦函数相加或相减变换为它们的乘积形式，常用于化简和计算三角函数表达式。
(2)二倍角公式：sin2A = 2*sinA*cosA这个公式可以把一个角的正弦函数变换为两倍角的正弦函数的形式，常用于化简含有二倍角的三角函数表达式。
(3)三倍角公式：sin3A = 3*sinA - 4*sin³A这个公式可以把一个角的正弦函数变换为三倍角的正弦函数的形式，常用于化简含有三倍角的三角函数表达式。
3.余切函数的恒等变换(1)余切函数的和差化积公式：tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 - tanA*tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB)/(1 + tanA*tanB)这两个公式可以把两个角的余切函数相加或相减变换为它们的乘积形式，常用于化简和计算三角函数表达式。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。
在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。
1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。
（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。
三角恒等变换公式推导过程
三角恒等变换公式推导过程三角恒等变换公式推导过程在三角函数中，存在一些重要的恒等变换公式，它们可以简化三角函数的计算和化简复杂的三角表达式。
下面是推导三角恒等变换公式的过程：1. 正弦的恒等变换公式：- 根据正弦函数的定义，sinθ= y / r，其中y 为三角形的对边，r 为斜边。
- 假设有一个与原三角形相似的三角形，但边长为k 倍，则新三角形的对边记为ky，斜边记为kr。
- 根据新的三角形，新的正弦值为sinθ' = ky / kr = y / r = sinθ。
- 由此可得，sinθ' = sinθ。
- 进一步，利用三角函数的周期性可得sin(θ+ 2π) = sinθ。
- 综上所述，推导得到正弦恒等变换公式：sin(θ+ 2π) = sinθ。
2. 余弦的恒等变换公式：- 根据余弦函数的定义，cosθ= x / r，其中x 为三角形的邻边，r 为斜边。
- 同样假设有一个与原三角形相似的三角形，但边长为k 倍，则新三角形的邻边记为kx，斜边记为kr。
- 根据新的三角形，新的余弦值为cosθ' = kx / kr = x / r = cosθ。
- 由此可得，cosθ' = cosθ。
- 利用三角函数的周期性可得cos(θ+ 2π) = cosθ。
- 综上所述，推导得到余弦恒等变换公式：cos(θ+ 2π) = cosθ。
3. 正切的恒等变换公式：- 根据正切函数的定义，tanθ= y / x，其中y 为三角形的对边，x 为邻边。
- 假设有一个与原三角形相似的三角形，但边长为k 倍，则新三角形的对边记为ky，邻边记为kx。
- 根据新的三角形，新的正切值为tanθ' = ky / kx = y / x = tanθ。
- 由此可得，tanθ' = tanθ。
- 利用三角函数的周期性可得tan(θ+ π) = tanθ。
- 综上所述，推导得到正切恒等变换公式：tan(θ+ π) = tanθ。
三角函数的恒等变换总结
三角函数的恒等变换总结三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角学和解析几何等多个领域。
在解决各种数学问题和实际应用时，经常需要使用到三角函数的恒等变换。
三角函数的恒等变换指的是将一个三角函数表示为另外一个或多个三角函数的等价形式，这种变换可以简化问题的求解过程，扩展问题的应用范围。
本文将对常用的三角函数的恒等变换进行总结，以便读者了解和掌握。
1.正弦函数的恒等变换：-正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1：sin²(x) + cos²(x) = 1-正弦函数的余角与余弦函数的关系：sin(π/2 - x) = cos(x)-正弦函数的反函数与余弦函数的关系：sin^(-1)(x) = arcsin(x) = π/2 - cos^(-1)(x)2.余弦函数的恒等变换：-余弦函数的平方和正弦函数的平方等于1：cos²(x) + sin²(x) = 1-余弦函数的补角与正弦函数的关系：cos(π/2 - x) = sin(x)-余弦函数的反函数与正弦函数的关系：cos^(-1)(x) = arccos(x) = π/2 - sin^(-1)(x)3.正切函数的恒等变换：-正切函数可以表示为正弦函数与余弦函数的比值：tan(x) = sin(x) / cos(x)-正切函数的平方与余切函数的平方等于1：tan²(x) + cot²(x) = 1-正切函数的倒数与余切函数的关系：tan^(-1)(x) = arctan(x) = π/4 - cot^(-1)(x) 4.余切函数的恒等变换：-余切函数可以表示为余弦函数与正弦函数的比值：cot(x) = cos(x) / sin(x)-余切函数的平方与正切函数的平方等于1：cot²(x) + tan²(x) = 1-余切函数的倒数与正切函数的关系：cot^(-1)(x) = arccot(x) = π/4 - tan^(-1)(x) 5.正割函数和余割函数的恒等变换：-正割函数可以表示为1与余弦函数的商：sec(x) = 1 / cos(x)-余割函数可以表示为1与正弦函数的商：csc(x) = 1 / sin(x)-正割函数和余割函数与正弦函数和余弦函数的关系：sec(x) = 1 / cos(x) = 1 / (1 / tan(x)) = cos^(-1)(x) /sin^(-1)(x)csc(x) = 1 / sin(x) = 1 / (1 / cot(x)) = sin^(-1)(x) /cos^(-1)(x)以上是常见的三角函数的恒等变换，可以应用于三角函数的化简、解方程、证明等各种数学问题的求解中。
三角函数恒等变形公式729
三角函数恒等变形公式以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²(精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏) (精选文档，可编辑word，整理文档不易，建议收藏)。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换，又称三角恒等式，是指数学中关于三角函数的一类等式。
它们具有很重要的作用，可以用来化简、证明以及推导其他数学公式。
本文将从基本的三角恒等变换开始，逐步展开，总结了一些常用的三角恒等变换公式。
1.余弦函数的基本恒等变换：(1)余弦函数的定义：cosθ = x / r(2)余弦函数的平方：cos^2θ + sin^2θ = 1(3)余弦函数的倒数：1 + tan^2θ = sec^2θ(4)余弦函数的和差化积：cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβcos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ(5)余弦函数的倍角化积：cos2θ = 2cos^2θ - 1cos2θ = 1 - 2sin^2θ(6)余弦函数的半角化和：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]2.正弦函数的基本恒等变换：(1)正弦函数的定义：sinθ = y / r(2)正弦函数的平方：sin^2θ + cos^2θ = 1(3)正弦函数的倒数：1 + cot^2θ = csc^2θ(4)正弦函数的和差化积：sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβsin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ(5)正弦函数的倍角化积：sin2θ = 2sinθ cosθ(6)正弦函数的半角化和：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]3.正切函数的基本恒等变换：(1)正切函数的定义：tanθ = sinθ / cosθ(2)正切函数的平方：tan^2θ + 1 = sec^2θ(3)正切函数的倒数：1 + tan^2θ = csc^2θ(4)正切函数的和差化积：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ) tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα tanβ)(5)正切函数的倍角化积：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)(6)正切函数的半角化和：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]4.余割、正割和余切函数的基本恒等变换：(1)余割函数的定义：cscθ = 1 / sinθ(2)倍角化积：csc2θ = cscθ cotθcsc2θ = 1 + 2 cot^2θ(3)非倍角化积：csc^2θ - cot^2θ = 1(4)正割函数的定义：secθ = 1 / cosθ(5)倍角化积：sec2θ = secθ tanθsec2θ = 1 + 2 tan^2θ(6)非倍角化积：sec^2θ - tan^2θ = 1(7)余切函数的定义：cotθ = 1 / tanθ(8)正割与余切的乘积：cotθ = 1 / tanθcotθ = cosθ / sinθ这些三角恒等变换公式是数学中非常基础且常用的，掌握它们可以更加灵活地运用三角函数进行计算操作。
三角恒等变换知识点总结
三角恒等变换知识点总结三角恒等变换是解决三角函数中相关问题的重要工具，它们可以帮助我们简化表达式、证明恒等式以及解决三角方程等。
在本文中，将总结三角恒等变换的一些基本知识点，包括正弦、余弦和正切的恒等变换。
1. 正弦和余弦的恒等变换：(1) 余弦的恒等变换：a. 基本恒等式：cos^2θ + sin^2θ = 1，该恒等式也被称为三角恒等式之母。
b. 余弦的平方差公式：cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的差的表达式。
c. 余弦的和的公式：cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的和的表达式。
d. 余弦的倍角公式：cos2θ = 2cos^2θ - 1或cos2θ = 1 - 2sin^2θ，该公式可以用于简化余弦的倍角表达式。
(2) 正弦的恒等变换：a. 正弦的平方差公式：sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的差的表达式。
b. 正弦的和的公式：sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的和的表达式。
c. 正弦的倍角公式：sin2θ = 2sinθ·cosθ，该公式可以用于简化正弦的倍角表达式。
2. 正切的恒等变换：正切的恒等变换是基于正弦和余弦的恒等变换推导而来的：a. 正切的平方差公式：tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的差的表达式。
b. 正切的和的公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的和的表达式。
c. 正切的倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)，该公式可以简化正切的倍角表达式。
三角函数的恒等变换与证明归纳
三角函数的恒等变换与证明归纳三角函数是数学中重要的函数之一，它们在解决几何问题和分析问题中起着重要的作用。
在三角函数的研究中，我们经常会遇到恒等变换与证明归纳的问题，这不仅有助于我们加深对三角函数的理解，也能提高我们的证明能力。
本文将介绍几个常用的三角函数的恒等变换，并通过证明归纳的方法来证明它们的正确性。
首先，让我们来看一下最基本的三角函数的定义。
在一个直角三角形中，正弦、余弦和正切分别定义为：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边接下来，我们将介绍三个常用的三角函数的恒等变换。
一、正余弦的平方和恒等变换对于任意角θ，有以下恒等关系：sin²θ + cos²θ = 1这个恒等变换被称为正余弦的平方和恒等变换。
要证明这个恒等关系的正确性，我们可以通过归纳法来证明。
首先，当θ=0时，左边的等式为sin²0 + cos²0 = 0 + 1 = 1，右边的等式为1，两边相等，恒等关系成立。
接下来，假设当θ=k时，恒等关系成立，即sin²k + cos²k = 1。
我们来证明当θ=k+1时，恒等关系也成立。
根据三角函数的定义，我们有sin(k+1) = sink*cos1 + cosk*sin1，cos(k+1) = cosk*cos1 - sink*sin1。
将这两个式子代入到恒等关系左边，得到：sin²(k+1) + cos²(k+1)= (sink*cos1 + cosk*sin1)² + (cosk*cos1 - sink*sin1)²= (sinkcos1)² + 2sinkcos1*cosk*sin1 + (cosksin1)² + (coskcos1)² -2sinkcos1*cosksin1 + (sinksin1)²利用恒等关系sin²k + cos²k = 1，我们可以简化上述等式：= sin²k*cos²1 + cos²k*sin²1 + cos²k*cos²1 - 2sin1*cos1*sin1*cosk -2sin1*cos1*sin1*cosk + sin²k*sin²1= sin²k*(cos²1 + sin²1) + cos²k*(cos²1 + sin²1)= sin²k + cos²k= 1因此，根据证明归纳的方法，我们证明了正余弦的平方和恒等变换的正确性。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
三角函数的恒等变换的推导
三角函数的恒等变换的推导三角函数是数学中的重要概念，它们在解决几何和物理问题中具有广泛的应用。
而三角函数的恒等变换则是指通过一些等式的推导和变形，使得原本复杂的三角函数表达式可以简化成更简单的形式，从而方便我们在计算和应用中的使用。
本文将对三角函数的恒等变换进行详细的推导和解释。
一、正弦函数的恒等变换1. 倍角公式：正弦函数的倍角公式是三角函数恒等变换中的一项重要公式，其表达式如下：sin 2θ = 2sinθcosθ这个公式可以通过利用三角函数的定义和三角函数的和差公式来推导。
具体推导过程如下：根据三角函数的定义，sinθ = y/r，其中y为三角形的对边长度，r为斜边长度。
设一个角2θ，则根据三角函数的定义，sin2θ = y'/(2r)，其中y'为角2θ对应的三角形的对边长度，2r为角2θ对应的三角形的斜边长度。
根据三角形的定义，可以得到y' = 2y，即：sin2θ = (2y)/(2r) = y/r = sinθ进一步变换得：sin2θ = 2sinθcosθ (符合正弦函数的倍角公式)2. 余弦函数的平方公式：余弦函数的平方公式也是三角函数恒等变换中常用的公式之一，其表达式如下：cos²θ = 1/2 (1 + cos2θ)这个公式可以通过利用三角函数的定义和三角函数的和差公式来推导。
具体推导过程如下：根据三角函数的定义，cosθ = x/r，其中x为三角形的邻边长度，r 为斜边长度。
设一个角2θ，则根据三角函数的定义，cos2θ = 2x'/(2r)，其中x'为角2θ对应的三角形的邻边长度。
根据三角形的定义，可以得到x' = 2xcosθ，即：cos2θ = (2xcosθ)/(2r) = x/r = cosθ进一步变换得：cos²θ = 1/2 (1 + cos2θ) (符合余弦函数的平方公式)二、余弦函数的恒等变换1. 倍角公式：余弦函数的倍角公式是三角函数恒等变换中的一项重要公式，其表达式如下：cos 2θ = cos²θ - sin²θ这个公式可以通过利用三角函数的定义和三角函数的和差公式来推导。
三角函数恒等变形公式Word版
三角函数恒等变形公式以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
三角函数的恒等变换
三角函数的恒等变换三角函数是高中数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在学习三角函数的过程中，我们会遇到一些恒等变换，即一些等式关系，通过这些等式关系可以将一个三角函数的表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。
这些恒等变换在解题中非常有用，可以简化计算或者转化为更容易求解的形式。
首先，我们来看看正弦函数和余弦函数的恒等变换。
对于任意实数x，我们有以下几个恒等变换：1. 正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，sin(x + 360°) = sin(x)。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，sin(π - x) =sin(x)，sin(π + x) = -sin(x)，sin(2π - x) = -sin(x)。
- 正弦函数的平方和恒等式：sin²(x) + cos²(x) = 1。
- 正弦函数的和差恒等式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) +cos(A)sin(B)，sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)。
2. 余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，cos(x + 360°) = cos(x)。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，cos(π - x) = -cos(x)，cos(π + x) = -cos(x)，cos(2π - x) = cos(x)。
- 余弦函数的平方和恒等式：cos²(x) + sin²(x) = 1。
- 余弦函数的和差恒等式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)，cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)。
接下来，我们来看看正切函数的恒等变换。
三角函数恒等变换公式
三角函数恒等变换公式三角函数恒等变换公式可以说是学习三角函数的基础，这些公式可以用来求解三角函数变换和其他函数变换。
它是一个重要的数学工具，它可以帮助我们解决所有和三角函数有关的问题，并在许多领域有着广泛的应用。
下面我们将介绍三角函数恒等变换公式，讨论它的关键概念，以及它的实际应用，以帮助您更好地理解这一重要的概念。
首先，让我们来了解一下三角函数恒等变换公式。
在数学上，这个公式表明，如果三角函数的值从一个角度增加到值，则它的值也会发生相应的变化，而这种变化可以用公式表示。
例如，当角α增加α时，三角函数的值也会增加，这可以通过以下公式表示：sin(α +α) = sin(α) + sin(α) 。
其次，我们来分析一下这个公式的关键概念。
其中，角α就是角度值，它可以是一个任意的值，但一般认为它的值应该在0°和360°之间。
另一个关键的概念是三角函数sin（），它可以用来表示角α的正弦值，即它表示了角α对应的正弦函数值。
正弦函数是一种重要的函数，它对应于多种数学问题，有着广泛的应用范围。
最后，让我们看一下这个公式的实际应用。
三角函数恒等变换公式可以帮助我们快速解决复杂问题，例如，我们可以用它来计算物体的位置或速度，从而解决物体运动的问题。
此外，它还可以用来解决电磁学和量子力学的问题，因为它可以帮助我们了解电磁字段和其他物理量的变化。
此外，三角函数恒等变换公式还可以用来解决空间几何的问题，通过确定三角形的边长，可以计算出三角形的面积和其他重要的量。
综上所述，三角函数恒等变换公式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们快速解决复杂问题，并可以应用于多个领域。
因此，了解这个公式的重要性和应用范围，并学习如何使用它，对于学习三角函数非常重要。
三角函数三角恒等变换的推导与几何应用示例解说
三角函数三角恒等变换的推导与几何应用示例解说三角函数是数学中重要的概念之一，而三角恒等变换是三角函数的重要性质和等式。
本文将对三角恒等变换进行推导，并通过几何应用示例来解释其具体意义和使用方法。
一、三角恒等变换的推导1. 基本三角函数首先，我们需要了解基本的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在直角三角形中，对应的定义为：正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边；余弦函数（cos）：cosθ = 临边/斜边；正切函数（tan）：tanθ = 对边/临边。
2. 欧拉公式和欧拉恒等变换欧拉公式是数学中的一条重要公式，表达为e^(ix) = cosx + isinx，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位。
我们可以由欧拉公式得到以下恒等变换：cosx = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2；sinx = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)。
3. 正弦和余弦的平方和等于1根据三角函数的定义，我们可以得到sin^2θ + cos^2θ = 1的恒等式。
这是因为在任意直角三角形中，对边的平方与临边的平方之和等于斜边的平方。
4. 正切的平方与1减去余切的平方相等根据三角函数的定义，我们可以得到tan^2θ + 1 = sec^2θ的恒等式。
这是因为在任意直角三角形中，对边的平方与临边的平方之和等于斜边的平方，从而可得到1 + tan^2θ = sec^2θ。
二、三角恒等变换的几何应用示例解说1. 证明两角和公式我们以sin(α+β)为例，根据欧拉恒等变换，可以将其转化为：sin(α+β) = (e^(i(α+β)) - e^(-i(α+β))) / (2i)。
对于e^(i(α+β))，我们可以利用欧拉公式展开得到：e^(i(α+β)) = e^(iα) * e^(iβ) = (cosα + isinα) * (cosβ + isinβ)。
展开后，我们将实部和虚部分别相加，可得到：e^(i(α+β)) = (cosαcosβ - sinαsinβ) + i(sinαcosβ + cosαsinβ)。
三角恒等变换公式推导过程
三角恒等变换公式推导过程三角恒等变换公式是初中数学中重要的内容之一，它是指将三角函数中的一个三角函数用其他三角函数表示的变换方法。
通过这些变换公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。
一、正弦函数的恒等变换公式正弦函数是三角函数中的一种，它表示一个角的对边与斜边的比值。
正弦函数的恒等变换公式有以下几种形式：1. 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1：sin^2θ + cos^2θ = 1这个公式是三角函数中最基本的恒等变换公式，也是勾股定理在三角函数中的表达形式。
2. 正弦函数的倒数等于余割函数：1/sinθ = cscθ这个公式可以理解为正弦函数的倒数等于正弦函数的倒数的倒数，即正弦函数的倒数等于余割函数。
3. 正弦函数与余弦函数的商等于正切函数：sinθ/cosθ = tanθ这个公式可以理解为正弦函数与余弦函数的比值等于正切函数，即正弦函数与余弦函数的商等于正切函数。
二、余弦函数的恒等变换公式余弦函数是三角函数中的另一种，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
余弦函数的恒等变换公式有以下几种形式：1. 余弦函数的平方和正弦函数的平方等于1：cos^2θ + sin^2θ = 1这个公式与正弦函数的恒等变换公式1是等价的，只是将正弦函数和余弦函数对调位置。
2. 余弦函数的倒数等于正割函数：1/cosθ = secθ这个公式与正弦函数的恒等变换公式2是类似的，只是将正弦函数和余弦函数对调位置。
3. 余弦函数与正弦函数的商等于余切函数：cosθ/sinθ = cotθ这个公式与正弦函数的恒等变换公式3是类似的，只是将正弦函数和余弦函数对调位置。
三、正切函数的恒等变换公式正切函数是三角函数中的另一种，它表示一个角的正弦值与余弦值的比值。
正切函数的恒等变换公式有以下几种形式：1. 正切函数的平方加1等于割函数的平方：tan^2θ + 1 = sec^2θ这个公式可以理解为正切函数的平方加1等于割函数的平方，即正切函数的平方加1等于正切函数的倒数的平方。
三角函数的恒等变换及图像.docx
三角函数的恒等变换及图像基本内容：1•角的概念的推广，弧度制，任意角三角函数值； 2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式；3. 三角函数的恒等变换（两角和差公式，倍角公式，半角公式）;4. 三角函数的图像和性质.（平移伸缩变换）• 2 2 1sin Q + COS ~ a - l l +tan 2 6Z = sec 2 a l + cot 2 or = esc 2 a2、两角和与差、二倍角公式 （一）主要公式：I •两角和与差的三角函数sin （a + 0） = sin a cos 0 + cos a sin 0cos( a+Q =cos<7cos 0-sinasin 0cos(a - 0) = cos a cos 0 + sin a sin 02. 二倍角公式：sin la = 2 sin a cos a2 2 2 2cos2a = cosp-sin 6Z = l-2sin a = 2cos a-\ 宀 2 tan atan 2a = ------- - l-tarr a“々％八 a . 2 1-COS 2Q 降次公式：sirra = -------------------2辅助角公式： asinQ+bcosd =sin （ CX（二）重要结论：l. sin a 土 cos a = y/2 sin (G ± —).42. tan a ± tan /3 = tan(cr± 0)(1 + tan a tan 0) =士")5.斜三角形解法（正眩定理.余眩定理）.知识点梳理：I 、同角三角函数的关系与诱导公式I sin a = ----- esc asin a tan a - -----cos a 倒数关系: i 筍数关系: 1 1 coso = ---------- tana = -------------sec a cot a cosa cot a = ------ sin a 平方关系:sin (a - 0) = sin a cos 0 - cos a sin 卩 2 l + cos 2a cos a ---------+0)= J,』cos ( a —(p } )COSQCOS 0, sin a cos a 03 • tan Q +cot Q =----------- 1 ------- = 2cos a sin a sin 2a4. (sinQ ±cosQ)2=l±sin2Q・^^ = tan(^±a).1 + tan 6T 4（一） .描点法：五点作图法（正、余弦曲线）（二） .利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和平移变换等，重点掌握函数y=Asin （3 x+（p） +b（A>0, 3>0）的作法.（1）振幅变换：由丫=小你的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原來的A倍，得到y=Asinx的图象.I —|（2）周期变换：由『=彳小的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐变为原来的％I倍，得到y=sin<ox的图象.（3）平移变换：由y=sinx的图象上所有的点向左（当（p>0）或向右（当（p<0）平行移动丨<p I个单位，得到y=sin （x+（p）的图象.（4）上下平移：由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动丨b I个单位，得到y=sinx+b的图象.注意：rfl y=sinx的图象利用图彖变换作函数y=Asin （ cox+（p） +b （A>0, s >0）（x eR）的图象，要特別注意：当周期变换和平移变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
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环球雅思教育学科教师讲义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．【趣味链接】我们现在通用的三角函数符号sin cos tan cot sec csc是随着数学的发展，逐步演变而成，是许多世纪人类的劳动的成果。
1464年德国数学家雷其奥蒙坦发表了它的著名的《论一般三角形》，正式使三角学脱离天文而成为一门独立科目，他用"sine"表示正弦。
1620年，英国人根日尔写了一本《炮兵测量学》，用"cosine"表示余弦，用"cotangent"表示余切.1640年左右，丹麦人托玛斯芬克写了一本《圆几何学》，用"tangent"表示正切，用"secant"表示正割。
1596年，哥白尼的学生，德国人利提克斯的作品《宫廷乐曲》发表，他采用"cosecant"表示余割。
1623年德国人阿尔伯特.格洛德首先提出把正弦简写为"sin",正切简写为"tan",正割简写为"sec".1675年英国人奥曲特提出把余弦简为"cos"，余切简写为"cot"，余割简写为"csc"。
【知识梳理】1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 【经典例题】ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2sin :222αααααα万能公式+-=+=1．（2010年高考福建卷理科1）cos13 计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12B.3C.2D. 22. (2010年全国高考宁夏卷9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12-(B)12(C) 2 (D) -23．（ 2010年高考全国卷I 理科14）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 4．(2010年高考全国2卷理数13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．5.（2009全国I 文，4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= （ ）A.711B.711-C. 713D. 713- 6.（2008海南、宁夏）23sin 702cos 10-=-（ ） A ．12B．2C ．2D．27.（2007重庆）下列各式中，值为2的是（ ） A ．2sin15cos15B ．22cos 15sin 15-C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+8.(2007江西)若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3- Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ．139.（2006福建）已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα+等于 （ ）A.17B.7C.17- D.7- 10.（2006年湖北）若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sin cos A A +=（ ）A.315 B. 315- C. 35D. 35-11.（2005全国I ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是( ) A.①③B.②④C.①④D.②③【课堂练习】1.（2007全国Ⅰ文）α是第四象限角，cos α＝1312，则sin α=（ ） (A)135 (B)- 135 (C) 125 (D)- 1252.（2005北京文、理）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ） （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sin α＋sin β （D ）cos(α+β)<cos α＋cos β3．（2002春招北京文、理）若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4（2006福建理、文）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ）A.71 B.7 C.－ 71D.－75．（2004湖北文）tan2010°的值为 .6.（2008北京文）若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 .7．（2005重庆文、理）已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .8.（2007浙江理）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ________ ． 【课后作业】1．（2005重庆文）=+-)12sin12)(cos12sin12(cos ππππ（ ）A ．23-B ．21- C ．21 D ．232.(2004春招安徽文、理)若f (sinx )＝2－cos 2x ，则f (cosx )＝（ ）A .2－sin 2xB .2＋sin 2xC .2－cos 2xD .2＋cos 2x3．（2002北京文、理）在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A ，则|AB|的值是（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．14．（2006辽宁文）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5.(2007海南、宁夏文、理)若，则的值为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6.（2005北京文） 已知=2，求：（I ）的值； （）的值．7．（2004全国Ⅳ卷文、理）已知α为第二象限角，且 sin α=求的值.8．（2005福建文）已知.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值.【课后反馈】本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________本次课后作业：___________________________________________________________________________________需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________ 【参考答案】经典例题1.【解析】原式=，故选A。
2.【答案】A 解析：由已知得，所以，又属于第二或第四象限，故由解得：，从而．另解：由已知得，所以3.【答案】【解析】因为为第三象限的角,所以，又<0, 所以,于是有,,所以4.【答案】【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力. 【解析】由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.5.答案 B6.答案 C 解析22223sin703cos203(2cos201)22cos102cos102cos10----===---，选C7.B 8.D 9.A 10.A 11.B课堂练习1-4 B D B A 5． . 6..7． 1 . 8. ．课后作业1-5 D D D D C6.解：（I）因为所以，所以（I）（） =7．解：当为第二象限角，且时，，所以=8．解：(Ⅰ)由,得,得2sinxcosx=,∵ (sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx=,又∴ sinx<0 ， cosx>0,∴ sinx —cosx= —(Ⅱ)。