七年级秋季培优讲义整式专题

2018年七年级秋季培优讲义——整式专题（一）

【知识解读】

整式加减：

1. 代数式的概念

代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.

2. 代数式的值

用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.

3. 整式的加减

（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.

（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.

（3）单项式和多项式统称为整式.

（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.

（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.

本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等. 整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.

整式加减涉及的概念

准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：

1. 理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）

2. 掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）.

3. 熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.

整式加减的一般步骤

1. 根据去括号法则去括号.

2. 合并同类项.

【例题精讲】

【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn .

（2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc .

【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中1

2

x =-，y ＝2.

（2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值. 【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值.

【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.

【练1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式323222(42)a b a b ---的值.

【例5】已知2234A x xy cy =-+，23B ax xy =-，222C x bxy y =-+，且23A B C x xy --=-+ 2y -，求a 、b 、c .

【例6】（1）当x ＝2时，代数式31ax bx -+的值等于－17，那么当x ＝－1时，求代数式31235ax bx --的值.

（2）已知代数式3ax bx c ++，当x ＝0时的值为2，当x ＝3时的值为1，求当x ＝－3时代数式的值.

（3）已知21x x +=，求432222012x x x x +--+的值.

【练2】如果210a a +-=，求3222a a ++的值.

【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电. 2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：

如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：

1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=（元）.

（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费 元，5月用电量为210度，则应付费

元，6月份电量为450度，则应付费 元；

（2）若小华家7月份的用电量为x 度，请用x 表示应付的电费；

（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量；

（4）若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档.

【例8】观察下面有规律的三行单项式：

x ， 22x ， 34x ， 48x ， 516x ，

632x ，……① 2x -， 24x ，

38x -， 416x ， 532x -， 664x ，……② 22x ， 33x -， 45x ， 59x -， 617x ，

733x -，……③ （1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为 ；

（2）第二行第n 个单项式为 ；

（3）第三行第8个单项式为 ；第n 个单项式为 ；

【例9】已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式，求

1197531a a a a a a +++++的值.

【练3】已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式，求24a a +的值.

【例10】（1）已知x ，y 为整数，且5|(9)x y +，求证：5|(87)x y +.

（2）已知x 、y 、z 均为整数，且11|(725)x y z +-，求证：11|(3712)x y z -+.