七年级秋季培优讲义整式专题
初一整式的乘除培优同步讲义
学科教师辅导讲义 学员编号：年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师： 授课主题第01讲---整式的乘除 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方） ② 掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为m n m n a a a +•=（m,n 都是正整数，底数a 不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++••=都是正整数） ②(,m n m n a a a m n +=•都是正整数）（二）幂的乘方与积的乘方体系搭建2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下： ()(,,,m a b c ma mb mc m a b c ++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b ++=+++都是单项式）（五）同底数幂的除法1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为m n m n a a a -÷= （0,,a m n ≠都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++÷÷=都是正整数）②(,m n m n a a a m n -=÷都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂①010)a a =≠（ ②1(0p p a a p a -=≠，是正整数），此式也可逆用，即11()(0,p p a a p p a a-==≠为正整数） 4、用科学计数法表示小于1的正数一般地，一个小于1的正数可以表示为10n a ⨯的形式，其中1≤a ＜10，n 是负整数，且n 的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。
七年级秋季培优讲义整式专题
2018年七年级秋季培优讲义——整式专题一知识解读整式加减：1.代数式的概念代数式是用基本的运算符号运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方把数字或字母连接而成的式子;单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2.代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3.整式的加减1单项式：数与字母的积的代数式叫单项式;数字因数叫单项式的系数;所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.2多项式：几个单项式的和叫多项式;多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数;单项式的个数也就是多项式的基数.3单项式和多项式统称为整式.4同类项;两个单项式中;如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等;那么这两个单项式叫同类项.5整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项;合并同类项的法则是：把系数相加减;字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念;合并同类项;去括号以及整式加减运算等.整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础;也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础;同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础;归纳起来就是要注意以下几点：1.理解四式单项式、多项式、整式、n 次m 项式、三数系数、次数、项数和二项常数项、同类项2.掌握三个法则去括号法则、添括号法则、合并同类项法则.3.熟悉两种排列升幂排列、降幂排列.整式加减的一般步骤1.根据去括号法则去括号.2.合并同类项.例题精讲例11已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式;求mn . 2已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ;求abc .例21先化简;再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+;其中12x =-;y ＝2. 2已知4m n -=;1mn =-;求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.例3已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式;当x ＝2时的值为－17;求当x ＝－2时;此多项式的值.例4已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关;求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.练1若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关;求代数式323222(42)a b a b ---的值.例5已知2234A x xy cy =-+;23B ax xy =-;222C x bxy y =-+;且23A B C x xy --=-+2y -;求a 、b 、c .例61当x ＝2时;代数式31ax bx -+的值等于－17;那么当x ＝－1时;求代数式31235ax bx --的值.2已知代数式3ax bx c ++;当x ＝0时的值为2;当x ＝3时的值为1;求当x ＝－3时代数式的值.3已知21x x +=;求432222012x x x x +--+的值.练2如果210a a +-=;求3222a a ++的值.例7倡导“节能减排”;鼓励居民节约用电.2012年7月1日起;湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度;方案如下：如：小明家3月份用电量为500度;则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=元.1若小华家4月份电量为100度;则应付费元;5月用电量为210度;则应付费元;6月份电量为450度;则应付费元；2若小华家7月份的用电量为x 度;请用x 表示应付的电费；3若小华家9月份已付电费177.9元;请你求出小华家9月份的用电量；4若小华家某月的电费为a 元;则小华家该月用电量属于第几档.例8观察下面有规律的三行单项式：x ; 22x ; 34x ; 48x ; 516x ; 632x ;……①2x -; 24x ; 38x -; 416x ; 532x -; 664x ;……②22x ; 33x -; 45x ; 59x -; 617x ; 733x -;……③1根据你发现的规律;第一行第8个单项式为；2第二行第n 个单项式为；3第三行第8个单项式为；第n 个单项式为；例9已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式;求1197531a a a a a a +++++的值.练3已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式;求24a a +的值.例101已知x ;y 为整数;且5|(9)x y +;求证：5|(87)x y +.2已知x 、y 、z 均为整数;且11|(725)x y z +-;求证：11|(3712)x y z -+.跟踪练习1.单项式3243x y z -的系数是;次数是. 2.已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式;单项式253n m x y -与该多项式次数相同;则mn ＝.3.4243527x x y xy ---是次项式;最高次项是;最高次项的系数是;常数项是.4.多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式;则m ＝;n ＝.5.已知133m x y +与42n mx y +-是同类项;则m ＝;n ＝;13423m n x y mx y ++-=.6.如果2(1)|2|0a b +++=;则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为. 7.已知两个多项式的和是2521x x -+;其中一个多项式是2235x x --;则另一个多项式是.8.电影院里第一排有a 个座位;后面每排都比前排多3个座位;则第10排有.9.某城市广场中央;有一如图阴影部分所示的花坛;其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米;重叠部分都是边长2米的正方形;圆的半径是r 米;则这个花坛的占地面积为.10.1化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；2化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；3已知多项式22911A x x =--;2354B x x =++;求(2)A B --.11.12323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--;其中a ＝－2；2若2|1||2|1a ab c -+-=-;且a 、b 、c 都为正整数;求65()2ab ab a b c ++--的值.12.已知m 、n 为正整数;单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式;①试求m 、n 的值；②当x＝－1;y ＝1时;求此单项式的值.13.已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项;求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值. 14.已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1;且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项;求m 的值.15.1多项式531ax bx ++;当x ＝2时;其值为－5;则x ＝－2时;该多项式的值为多少 2若241550x x +-=;求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.3若331x x -=;求432912372003x x x x +--+的值.4已知x ＝2时;多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3;则当x ＝－2时;求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16.武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤;夹克每件售价80元;T 恤每件售价50元;厂方在开展促销活动期间;向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款;现客户要向服装厂购买夹克50件;T 恤x 件x ＞50. 1若该客户按方案①购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；若该客户按方案②购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；2若x ＝100;通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算3若两种优惠方案可同时使用;当x＝100时;你能给出一种更为省钱的购买方案吗试写出你的购买方案;并说明理由.17.观察下面的三个数列：①－1; ＋2; －3; ＋4; －5; ＋6;……②－3; 0; －5; ＋2; －7; ＋4;……③－2; ＋4; －6; ＋8; －10; ＋12;……1这三个数列的第n个数分别是；2在第一行中是否存在连续的三个数;使得和为－40 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由；3是否存在这样的一列;使其中三个数的和为78 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由.18.1已知a、b为整数;且10=+;如果17|(5)n a b-;请你证明：17|n.a b2已知一个三位数;它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数;证明：这个三位数也是11的倍数.。
七年级整式的乘除培优讲义全
整式的乘除培优讲义教师寄语：. 任何的限制，都是从自己的内心开始的。
忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
【知识精要】:1幂的运算性质：①（、为正整数）②（为正整数）③（、为正整数）④（、为正整数，且）（）（，为正整数）2整式的乘法公式：①②③3. 科学记数法，其中4单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
5.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法则；6．多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
7单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
【例题解析】:例1, 计算: 1、(a ＋b ＋c)(a －b －c) 2，,3、20082－2009×2007 4、 (2a-b)2(b+2a)2例2已知，求的值。
例3 [例2] 已知，，求的值。
()2a b c ++例4 [例3]已知，求的值。
例5 [例4] 已知，，求的值。
【课堂精练】:1. （为偶数）2. 0.00010490用科学记数法表示为3.4.5.6.7. 若，那么8. 如果，那么=（）A. B. C. D.9. 所得结果是（）A. B. C. D. 210. 已知为正整数，若能被整除，那么整数的取值范围是（）A. B. C. D.11. 要使成为一个完全平方式，则的值为（）A. B. C. D.12. 下列各式能用平方差公式计算的是（）A. B.C. D.13.计算：（1）（2）（3）（为正整数）（4）【培优拓展】:1.已知，求的值。
2. 若，求的值。
3. 已知，求的值。
4.己知x+5y=6 , 求x2+5xy+30y 的值。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07整式的加减
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07整式的加减专题07 整式的加减阅读与思考整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：1．透彻理解“三式”和“四数”的概念“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数．2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．例题与求解[例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______．(江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手．[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a ＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b(“希望杯”初赛试题)解题思路：采用赋值法，令a＝12，b＝－12，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子．[例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋12by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－12时，代数式3ax－24by3＋4986的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x ＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式．[例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？(“希望杯”初赛试题)解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站下车人数比第7站上车人数多出的数量．[例6] 能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个相邻数的和等于29？如果，请举出一例；如果不能，请简述理由．(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)解题思路：假设存在7个整数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7排成一圈后，满足题意，由此展开推理，若推出矛盾，则假设不成立．能力训练A 级1．若－4x m －2y 3与23x 3y 7－2n 是同类项，m 2＋2n ＝______．(“希望杯”初赛试题) 2．当x ＝1，y ＝－1时，ax ＋by －3＝0，那么当x ＝－1，y ＝1时，ax ＋by －3＝______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)3．若a ＋b ＜0，则化简|a ＋b －1|－|3－a －b |的结果是______．4．已知x 2＋x －1＝0，那么整式x 3＋2x 2＋2002的值为______．5．设2332,4536,x y z x y z ++=??++=?则3x －2y ＋z ＝______． (2013年全国初中数学联赛试题)6．已知A ＝a 2＋b 2－c 2，B ＝－4a 2＋2b 2＋3c 2，若A ＋B ＋C ＝0，则C ＝( )．A ．5a 2＋3b 2＋2c 2B ．5a 2－3b 2＋4c 2A ．3a 2－3b 2－2c 2 A ．3a 2＋b 2＋4c 27．同时都有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．A ．4个B ．12个C ．15个D ．25个(北京市竞赛题)8．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：则代数式|a |－|a ＋b |＋|c －a |＋|b －c |化简后的结果是为( )．A ．－aB ．2a －2bC ．2c －aD ．a9．已知a ＋b ＝0，a ≠b ，则化简b a (a ＋1)＋a b(b ＋1)得( )． A ．2a B ．2b C ．＋2 D ．－210．已知单项式0.25x b y c 与单项式－0.125x m －1y 2n －1的和为0.625ax n y m ，求abc 的值．11．若a ，b 均为整数，且a ＋9b 能被5整除，求证：8a ＋7b 也能被5整除．(天津市竞赛试题)B 级1．设a ＜－b ＜c ＜0，那么|a ＋b |＋|b ＋c |－|c －a |＋|a ||＋b |＋|c |＝______．(“祖冲之杯”邀请赛试题)2．当x 的取值范围为______时，式子－4x ＋|4－7x |－|1－3x |＋4的值恒为一个常数，0b ac 第8题图这个值是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)3．当x ＝2时，代数式ax 3－bx ＋1的值等于－17，那么当x ＝－1时，代数式12ax －3bx 3－5的值等于______．4．已知(x ＋5)2＋|y 2＋y －6|＝0，则y 2－15xy ＋x 2＋x 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知a －b ＝2，b －c ＝－3，c －d ＝5，则(a －c )(b －d )÷(a －d )＝______．6．如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，P ＝|1－2x |＋|1－3x |＋…＋|1－9x |＋|1－10x |的值恒为一个常数，则此值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5(安徽省竞赛试题)7．如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6等于______；a 0＋a 2＋a 4＋a 6等于______．A ．1，365B ．0，729C ．1，729D ．1，0(“希望杯”邀请赛试题)8．设b ，c 是整数，当x 依次取1，3，6，11时，某学生算得多项式x 2＋bx ＋c 的值分别为3，5，21，93．经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．A ．当x ＝1时，x 2＋bx ＋c ＝3B ．当x ＝3时，x 2＋bx ＋c ＝5C ．当x ＝6时，x 2＋bx ＋c ＝21D ．当x ＝11时，x 2＋bx ＋c ＝93(武汉市选拔赛试题)9．已知y ＝ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ，其中a ，b ，c ，d ，e 为常数，当x ＝2时，y ＝23；当x ＝－2时，y ＝－35，那么e 的值是( )．A ．－6B ．6C ．－12D ．12(吉林省竞赛试题)10．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数，一个偶数，n 是整数，如果s ＝(a ＋n ＋1)·(b ＋2n ＋2)(c ＋3n ＋3)，那么( )．A ．s 是偶数B ．s 是奇数C ．s 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．s 的奇偶性不能确定(江苏省竞赛试题)11．(1)如图1，用字母a 表示阴暗部分的面积；(2)如图2，用字母a ，b 表示阴暗部分的面积；(3)如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(x －y )cm ，打好整个包装需用丝带总长度为多少？12．将一个三位数abc 中间数码去掉，成为一个两位数ac ，且满足abc ＝9ac ＋4c ，如155＝9×15＋4×5．试求出所有这样的三位数．图1 a a a xyz 图 3 b ab图2 a。
第三章整式的加减培优讲义华东师大版七年级数学上册
整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是 ．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9． 方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（ ）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为 ．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为 ．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是 ．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值． 小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为 ．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝ ；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值． 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（ ）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝ ．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与 是关于2的平衡数；5﹣x 与 （用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度 入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现 了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（ ）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（ ）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有 个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要 个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为 （n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为 （n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为 （n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。
七年级数学培优讲义：从课本到竞赛：整式(纯word版含答案)
第04讲 整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.(1)x ＋1 (2)1x (3)πr 2 (4)－32a 2b 解：（3）（4）是单项式；（1）是多项式，表示两项之和，（2）是分式 （3）是系数是π，次数为2；（4）系数是－32，次数为3. 【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式(1)a (2)－12 (3)1＋x 2 (4)x π (5)xy (6) 2πx 解：（1）（2）（4）（5）是单项式 02．说出下列单项式的系数与次数(1) －23x 2y (2)mn (3)5a 2 (4)－72ab 2c解：（1）系数－23，次数为3； （2）系数为1，次数为2； （3）系数为5，次数为2；（4）系数为－72，次数为4.【例2】 如果2x n y 4与12m 2x 2y |m -n |都是关于x 、y 的六次单项式，且系数相等，求m 、n 的值.解：⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4=6，2＋|m －n |=6，2=12m 2，解之⎩⎪⎨⎪⎧n =2，m=－2，【变式题组】01．一个含有x 、y 的五次单项式，x 的指数为3．且当x ＝2,y ＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.解：设该单项式为ax m y n ，则m=3，m ＋n=5，所以n=2;因此该单项式为ax 3y 2，当x =2，y ＝－1时，a ·23(－1)2=32，解之a=4，所以所求单项式为4x 3y 2. 02．（毕节）写出含有字母x 、y 的五次单项式 xy 4 (答案不唯一) .【例3】已知多项式－45x 2y 2＋23x 4y 3－xy ＋1 ⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？ 解：（1）这个七次四项式；（2）最高次项是7，二次项系数是－1，常数项是1． 【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴a 3－a 2b ＋ab 2－b 3 (2)3n 4－2n 2＋1 解：（1）三次四项式； （2）四次三项式 02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴x 3＋x 2－x －2 (2) －4x 3－x 2＋x －4 解：（1）三次四项式； （2）四次四项式【例4】 多项式7x m ＋kx 2－(3n ＋1)x ＋5是关于x 的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n －k 的值解：因为三次，所以最高次项是3，必有m=3，因为是三项，则必有k=0，一次项系数为－(3n ＋1)= －7，∴n=2； 因此m ＋n －k=5． 【变式题组】01．多项式3x |m |y 2＋(m ＋2)x 2y －1是四次三项式，则m 的值为（ A ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±102．已知关于x 、y 的多项式ax 2＋2bxy ＋x 2－x －2xy ＋y 不含二次项，求5a －8b 的值. 解：原式化为(a ＋1)x 2＋(2b －2)xy －x ＋y ，因为不含二次项， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1=0，2b －2=0，解之⎩⎪⎨⎪⎧a=－1，b =1， ∴5a －8b=－1303．已知多项式－56x 2y m +2＋xy 2－12x 3＋6是六次四项式，单项式23x 3n y 5-m z 的次数与这个多项式的次数相同，求n 的值. 解：2＋m ＋2=6，m=2；3n ＋5－m ＋1=6，n=23．【例5】已知代数式3x 2－2x ＋6的值是8，求32x 2－x ＋1的值. 解：3x 2－2x ＋6=8，∴3x 2－2x=2； ∴32x 2－x=1，32x 2－x ＋1=2． 【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a +3b +8的值为18，那么代数式9b －6a +2的值等于（ C ） A ．28 B ．－28 C ．32 D ．－32 02．（同山）若a 2+a =0,则2a 2+2a +2008的值为_____2008____.03．（潍坊）代数式3x 2－4x +6的值为9,则x 2－43x ＋6的值为_____7___. 【例6】证明代数式16＋m －{8m －[m －9－(3－6m )]}的值与m 的取值无关.证明：16＋m －{8m －[m －9－(3－6m )]} ＝16＋m －{8m －[m －9－3＋6m ]} ＝16＋m －[8m －(7m －12)] ＝16＋m －(8m －7m ＋12) ＝16＋m －(m ＋12) ＝16＋m －m －12 ＝4与m 的取值无关． 【变式题组】01．已知A =2x 2+3ax －2x －1，B=－x 2+ax －1,且3A ＋6B 的值与x 无关，求a 的值. 解：3A ＋6B=3(2x 2+3ax －2x －1)＋6(－x 2+ax －1) =6x 2+9ax －6x －3－6x 2＋6ax －6 =(15a －6)x －9因为与x 无关，所以15a －6＝0，a=25．02．若代数式(x 2＋ax －2y ＋7) －(bx 2－2x ＋9y －1)的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值.解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1=b ，a=－2， 因此a=－2，b=1．【例7】（北京市选拔赛）同时都含有a 、b 、c ，且系数为1的七次单项式共有（ C ）个 A ．4 B ．12 C ．15 D ．25 解：设所求单项式为a x b y c z ，且x+y+z=7,满足提交的共有有(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(1,4,2),(1,5,1),(2,1,4),(2,2,3),(2,3,2,),(2,4,1),(3,1,3), (3,2,2),(3,3,1),(4,1,2),(4,2,1),(5,1,1)共有15个． 【变式题组】01．已知m 、n 是自然数，a m -3b 2c －17a 2b n -3c 4＋112a m +1b n -1c 是八次三项式，求m 、n 值.解：a m -3b 2c 的次数为m ，－17a 2b n -3c 4的次数为n ＋3，112a m +1b n -1c 的次数为m ＋n ＋1 因为原式的八次式，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1=8，m －3≥0，n －3≥0，n ＋3≤8，又因为m ，n都是自然数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m=3，n=4，或⎩⎪⎨⎪⎧m=4，n=3．02．整数n ＝__－1___时，多项式5x n +2－2x 2-n ＋2是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（ D ）A ．x －y2是单项式 B ．3x 2y 3z 的次数为5 C ．单项式ab 2系数为0 D ．x 4－1是四次二项式 02．a 表示一个两位数，b 表示一个一位数，如果把b 放在a 的右边组成一个三位数.则这个三位数是（ A ）A ．100b +aB ．10a +bC ．a +bD ．100a +b03．若多项式2y 2+3x 的值为1，则多项式4y 2＋6x －9的值是（ C ） A ．2 B ．17 C ．－7 D ．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n 元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ B ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋15m 元B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －45m 元C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15m 元D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －m 元05．若多项式k (k －1)x 2－kx ＋x －3是关于x 的一次多项式，则k 的值是（ A ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．不能确定06．若(1－n 2)x n y 3是关于x 、y 的五次单项式，则它的系数是_____－3_______.07．电影院里第1排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_a ＋27_个座位.08．若3a m b 3+4a n +1b m +2=7a x +1b y ,则代数式xy ＋mn 值为__0___.09．一项工作，甲单独做需a 天完成，乙单独做需b 天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____7⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ________.10．(河北)有一串单项式x ，－2x 2，3x 3，－4x 4，…，－10x 10，…． (1)请你写出第100个单项式； ⑵请你写出第n 个单项式. 解：（1）第100个单项式是－100x 100; （2）第n 个单项式是－(－1)n x n . 11．（天津）已知x ＝3时多项式ax 3+bx +5的值为－1，则当x ＝－3时这个多项式的值为多少？ 解：由题意得27a ＋3b +5=－1，即27a ＋3b =－6； 当x ＝－3时，多项式为－27a －3b+5=6+5=11．12．若关于x 、y 的多项式2x 2y －23x 3y 4＋(2a －3)x 3y 5与多项式－x 2b y 4+3x 2y －1的次数相同，并且最高次项的系数也相同，求a －b 的值.解：第一个多项式为8次，所以2b ＋4=8，b=2； 最高次项系数为2a －3=－1，解得a=1； 所以a －b=－1.13．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一. A ：计时制：0.05元/分B ：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）. 此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x 小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算. 解：（1）第一种方式：0.07x ； 第二种方式：50＋0.02x ；（2）如果按照第一种支付方式，则需要支付0.07×60×20=84（元）； 如果按照第二种支付方式，需要支付50＋0.002×60×20=74（元）． 所以按照第二种支付方式合算．培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数a 1,a 2,a 3,…,a n ,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若a 1=2,则a 2007为（ D ）A ．2007B ．2C ．12 D ．－102．（华师一附高招生）设记号※表示求a 、b 算术平均数的运算，即a ※b=a ＋b2,则下列等式中对于任意实数a 、b 、c 都成立的是（ B ）①a＋(b※c)=(a＋b) ※(a＋c) ②a※(b＋c)=(a＋b) ※c③a※(b＋c)= (a※b) ＋(a※c) ④(a※b)＋c=a2＋(b※2c)A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知－1<b<0，0<a<1,那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（A）A．a－b B．a＋b C．a＋b2D．a2＋b04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（C）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定05．（广安）已知4m=a，4n=b，则42m+n－1=______a2b4______.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为__7a+4b___元.07．已知a－b=2004，b－c=2005，c－d=2007，则(a－c)(b－d)a－d=______4009×40126016_______.08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果是_－2a －2b＋2c__.09．已知－m＋2n=5，则5(m－2n)2＋6n－3m－60=____80___.10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P大小关系_____M>P___.11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝__195___．12．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.(1) 观察图形，填写下表：(2) 写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)n ×n 不同长度值的线段种数为(n －1)×(n －1)不同长度值的线段种数＋n(3)对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式.(n ＋2)(n －1)2 13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：⑴当AP ＝12AD 时（如图②）： ∵AP ＝12AD ，△ABP 和△ABD 的高相等，∴S △ABP ＝12S △ABD ．∵PD ＝AD －AP ＝12AD ，△CDP 和△CDA 的高相等，∴S △CDP ＝12S △CDA ．∴S △PBC ＝S 四边形ABCD －S △ABP －S △CDP ＝S 四边形ABCD －12S △ABD －12S △CDA＝S 四边形ABCD －12 (S 四边形ABCD －S △DBC )－12 (S 四边形ABCD －S △ABC )＝12S △DBC ＋12S △ABC ．⑵当AP ＝13AD 时，探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程；解：AP ＝13AD ，※ABP 和※ABD 的高相等，所以S ※ABD =13S ※ABP ，又PD=AD －AP =23AD ，※CDP 和※CDA 的高相等，所以S =23S ※CDA ， ∴S ※PBC =S 四边形ABCD －S ※ABP －S ※CDP= S 四边形ABCD －13( S 四边形ABCD －S ※DBC ) －23( S 四边形ABCD －S ※ABC ) =13S ※DBC ＋23S ※ABC钉子数(n ×n ) S 值2×2 2 3×3 2+34×4 2＋3＋( 4 ) 5×5( 2＋3＋4＋5 )n =2 n =3 n =4 n =5图①P DC B AAB C D P图②⑶当AP ＝16AD 时，S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系式为：_S △PBC =16S ※DBC ＋56S ※ABC __； ⑷一般地，当AP ＝1n AD （n 表示正整数）时，探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程； 问题解决：当AP ＝m nAD （0≤m n≤1）时，S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系式为：___________．S △PBC =1n S ※DBC ＋n －1n S ※ABC解：AP ＝1n AD ，※ABP 和※ABD 的高相等，所以S ※ABD =1n S ※ABP ，又PD=AD －AP =n －1n AD ，※CDP 和※CDA 的高相等，所以S =n －1n S ※CDA ， ∴S ※PBC =S 四边形ABCD －S ※ABP －S ※CDP= S 四边形ABCD －1n ( S 四边形ABCD －S ※DBC ) －n －1n ( S 四边形ABCD －S ※ABC )=1n S ※DBC ＋n －1n S ※ABC ．。
七年级数学培优讲义第05讲 整式的加减
第05讲 整式的加减教学目的1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算．2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算．3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征．典题精析 【例１】如果3231y x a +和1233--b y x 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A ．⎩⎨⎧==21b a B ．⎩⎨⎧==20b a C ．⎩⎨⎧==12b a D ．⎩⎨⎧==11b a 【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关．解：由题意得⎩⎨⎧=-=+31232b a ，∴⎩⎨⎧==21b a 变式练习01．已知a ＝2，b ＝3，则（ ）A ．ax 3y 2与b m 3n 2是同类项B ．3x a y 3与bx 3y 3是同类项C ．Bx 2a ＋1y 4与ax 5y b ＋1是同类项D ．5m 2b n 5a 与6n 2b m 5a 是同类项02．若单项式2X 2y m 与－31x n y 3是同类项，则m ＝___________，n ＝___________． 03．指出下列哪些是同类项⑴a 2b 与－ab 2 ⑵xy 2与3y 2x (3)m －n 与5（n －m ） ⑷5ab 与6a 2b【例２】若多项式合并同类项后是三次二项式，则m 应满足的条件是___________．【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 解：因为化简后为三次二项式，而5x 3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m －2＝0，∴m ＝－1变式练习01．计算：－（2x 2－3x －1)－2(x 2－3x ＋5)＋(x 2＋4x ＋3)02．31（2x －4y ）＋2y03．m －n －(m ＋n)【例３】求整式3x 2－5x ＋2与2x 2＋x －3的差．【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项． 解：（3x 2－5x ＋2)－（2x 2＋x －3)＝3x 2－5x ＋2－2x 2－x ＋3＝x 2－6x ＋5变式练习01．一个多项式加上－3x ＋2xy 得x 2－3xy ＋y 2，则这个多项式是___________．02．减去2－3x 等于6x 2－3x －8的代数式是___________．【例４】当a ＝43-，b ＝21时，求5（2a ＋b)2－3(3a ＋2b)2＋2(3a ＋2b)的值． 【解法指导】将（2a ＋b)2，（3a ＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值．解：5（2a ＋b)2－3(3a ＋2b)－3(2a ＋b)2＋2(3a ＋2b)＝(5－3)(2a ＋b)2＋(2－3)(3a ＋2b)＝2(2a ＋b)2－(3a ＋2b)∵a ＝43-，b ＝21∴原式＝413 变式练习01．先化简再求值：（2a ＋1)2－2(2a ＋1)＋3，其中a ＝2．02．已知a 2＋bc ＝14，b 2－2bc ＝－6，求3a 2＋4b 2－5bC ．【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除．【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除．证明：设此四位数为1000a ＋100b ＋10c ＋d ，则1000a ＋100b ＋10c ＋d －（a ＋b ＋c ＋d)＝999a ＋99b ＋9c ＝9(111a ＋11b ＋c)∵111a ＋11b ＋c 为整数，∴1000a ＋100b ＋10c ＋d ＝9(111a ＋11b ＋c)＋（a ＋b ＋c ＋d)∵9(111a ＋11b ＋c)与（a ＋b ＋c ＋d)均能被9整除∴1000a ＋100b ＋10c ＋d 也能被9整除变式练习01．已知a ＜b ＜c ，且x ＜y ＜z ，下列式子中值最大的可能是（ ）A ．ax ＋by ＋czB ．ax ＋cy ＋bzC ．bx ＋cy ＋azD ．bx ＋ay ＋cz02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数．【例６】将（x 2－x ＋1)6展开后得a 12x 12＋a 11x 11＋……＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，求a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0的值．【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x 项，如何消去x 项，可采用赋特殊值法．解：令x ＝1得a 12＋a 11＋……＋a 1＋a 0＝1令x ＝－1得a 12－a 11＋a 10－……－a 1＋a 0＝729两式相加得2（a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0）＝730∴a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0＝365变式练习01．已知（2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0(1)当x ＝0时，有何结论；(2)当x ＝1时，有何结论；(3)当x ＝－1时，有何结论；(4)求a 5＋a 3＋a 1的值．02．已知ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝(x －2)4 (1)求a ＋b ＋c ＋d ＋e ．(1) 试求a ＋c 的值．【例７】已知关于x 的二次多项式a(x 3－x 2＋3x)＋b(2x 2＋x)＋x 3－5，当x ＝2时的值为－17．求当x ＝－2时，该多项式的值．【解法指导】设法求出a 、b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a 、b 的等式．解：原式＝ax 3－ax 2＋3ax ＋2bx 2＋bx ＋x 3－5＝(a ＋1)x 3＋(2b －a)x 2＋(3a ＋b)x －5∵原式中的多项式是关于x 的二次多项式∴⎩⎨⎧≠-=+0201a b a ∴a ＝－1 又当x ＝2时，原式的值为－17． ∴(2b ＋1)⨯22＋[]521-3-⨯+⨯b ）（＝－17，∴b ＝－1 ∴原式＝－x 2－4x －5 ∴当x ＝－2时，原式＝－（－2）2－4⨯（－2）－5＝－1变式练习01．当x ＝－2时，代数式ax 3－bx ＋1＝－17．则x ＝－1时，12ax －3bx 3－5＝___________．02．已知y ＝ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ，其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当x ＝2，y ＝23，x ＝－2，y ＝－35，则e 为（ ）A ．－6B ． 6C ．－12D ．12巩固提高01．若－3x2m y 3与2x 4y n 是同类项，则n m -的值是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．－102．一个单项式减去x 2－y 2等于x 2＋y 2，则这个单项式是（ ）A ．2x 2B ．2y 2C ．－2x 2D ．－2y 203．若M 和N 都是关于x 的二次三项式，则M ＋N 一定是（ ）A ．二次三项式B ．一次多项式C ．三项式D ．次数不高于2的整式04．当x ＝3时，多项式ax 5＋bx 3＋cx －10的值为7．则当x ＝－3时，这个多项式的值是（ ）A ．－3B ．－27C ．－7D ．705．已知多项式A ＝x 2＋2y 2－z 2，B ＝－4x 2＋3y 2＋2z 2，且A ＋B ＋C ＝0，则多项式c 为（ ）A ．5x 2－y 2－z 2B ．3x 2－y 2－3z 2C ．3x 2－5y 2－z 2D ．3x 2－5y 2＋z 206．已知3=x y ，则x y x -3等于（ ） A ．34 B ．1 C ．32 D ．007．某人上山的速度为a 千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b 千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ ）A ．2b a +千米/时B ．2ab 千米/时C ．ab b a 2+千米/时D ．ba ab +2千米/时 08．使（ax 2－2xy ＋y 2)－(－ax 2＋bxy ＋2y 2)＝6x 2－9xy ＋cy 2成立的a 、b 、c 的值分别是（ ）A ．３，７，１B ．－３，－７，－１C ．３，－７，－１D ．－３，７，－１09．k ＝___________时，多项式3x 2－2kxy ＋3y 2＋xy 21－4中不含ｘy 项． 10．若2a －b ＝2，则6＋8a －4b ＝___________11．某项工程，甲独做需m 天完成，甲乙合作需n 天完成，那么乙独做需要___________天完成．12．x 2－xy ＝－3，2xy －y 2＝－8，则2x 2－y 2＝___________．13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放a 的左边，也组成一个五位数，设为y ，试问x －y 能被9整除吗？请说明理由．14．若代数式（x 2＋ax －2y ＋7)－(bx 2－2x ＋9y －1)的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值．15．设A ＝x 2－2xy －y 2，B ＝－2x 2＋xy －y 2，B ＝－2x 2＋xy －y 2，当x ＜y ＜0时，比较A 与B 的值的大小．培优升级检测01．A 是一个三位数，b 是一位数，如果把b 置于a 的右边，则所得的四位数是（ ）A ．abB ．a ＋bC ．1000b ＋aD ．10a ＋b02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个03．有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a 、b 、c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A ．3c b a ++B ．3-c b a + C ．A ＋b －c D ．3(a ＋b －c) 04．如果对于某一特定范围内x 的任何允许值P ＝x 21-＋x 3-1＋……＋x 9-1＋x 10-1的值恒为一常数，则此值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．505．已知a ＋b ＝0，a≠0，则化简)1()1(+++b ba a ab 得（ ）A ．2aB ．2bC ．2D ．－206．如果a 个同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么c 个同学以同样速度搬a 块砖，所需的小时数（ ）A ．b a c 22B ．ab c 2C ．2cab D ．22c b a 07．如果单项式3x a ＋2y b －2与5x 3y a ＋2的和为8x 3y a ＋2，那么a b b a ---＝_________． 08．如果x 2＋2x ＝3则x 4＋7x 3＋8x 2－13x ＋15＝_________．09．将1，2，3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式21（b a b a ++-）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．10．已知两个多项式A和B，A＝nx n＋4＋x3－n－x3＋x－3，B＝3x n＋4－x4＋x3＋nx2－2x－1，试判断是否存在整数n，使A－B为五次六项式．11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z．求证：11整除3x－7y＋12z．12．在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb，bac，bca，cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc，现在设N＝3194，请你当魔术师，求出abc来．13．将一个三位数abc的中间数去掉，成为一个两位数ac，且满足abc＝9ac＋4c（如155＝9⨯15＋4⨯5）．试求出所有这样的三位数．。
初一数学培优专题讲义二--有理数和整式的加减
初一数学培优专题讲义二 有理数和整式的加减一（单项式、多项式、求代数式的值）一、 有理数的混合运算要点：有理数的加减法要注意几个优先：凑整优先，同分母优先，相反数优先，同号优先；有理数的乘法要注意：先定符号，倒数优先，分配律优先。
交换加数的位置时连同符号一并移动。
连减取负当加算。
1． 填一填，注意运算的小节点：（1） )22(15-+= （2） 1015--= （3） )7()8.3(---=（4） 2(2)-= ；=-3)21( ； (—2)3= ；23-= ； =⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=-433 2．计算：（观察结构最优先，确定符号是关键，先后顺序要理清）（1）（－12）÷4×（－6）÷2； （2）（－58）×（－4）2－0.25×（－5）×（－4）3； （3）－22－(－2)2+(－3)2×(－32)－42÷|－4| （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-⨯+-⨯÷-)31(24)32(41232222 （5）（注意观察，用巧算） 1＋3＋5＋…＋99－（2＋4＋6＋…＋98）.2． 突破绝对值的化简：（一）利用数轴，注意数形结合，变绝对值号为括号，再去括号3．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是____________________。
4．已知a 、b 、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
（二）根据限定条件化简：5．已知b a >，化简：a b b a ---=________6.若x ＝2，y ＝3，则x y +的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．5或1D ．以上都不对7．化简： （1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）8．已知a 、b 、c 是有理数，且a+b+c=0，abc >0，求||||||c b a b a c a c b +++++的值。
著名机构七年级数学秋季班讲义1整式的概念(学生)
第1课时整式的概念课时目标1．能够根据题意，用规范的格式正确列代数式；2. 掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中字母，求出代数式的值；3. 能用代数式表示有规律的数列，体验特殊与一般的关系；4. 理解单项式、多项式和整式的定义，并能分辨出它们的不同；5. 掌握单项式的次数和系数的含义；6. 掌握多项式项和次数的含义，能对多项式进行降幂或升幂排列；7. 能根据整式系数和次数的关系求未知数的值；8. 掌握同类项的概念，并根据同类项的概念求未知数的值；知识精要一、字母表示数1、为什么要用字母代替数？因为字母可以简明地将_______关系表示出来.2、用字母表示数时：(1)数字与字母及字母与字母间的________省略，且________要写在________之前，当数字是带分数时，要写成________；(2)除法运算中的除号要用________来表示.二、代数式1、用运算符号和_________把数或___________连结而成的式子叫做代数式.(这里的运算符号一般指______________，以及以后要学的乘方，开方)2、单独一个________或者一个________也是代数式.3、因为________和________不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式.4、用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做________________.三、整式1、单项式：(1)单项式的概念：像xy 、n 21 、m 4、3x 、y 等，它们都是_____与_______的积，这样的________叫做单项式.单独一个_______或一个_______也是单项式.(2)单项式的系数：单项式中的_______因数叫做单项式的系数.(3)单项式的次数：一个单项式中，______________和叫做这个单项式的次数.2、 多项式：(1)多项式的概念：______________叫做多项式.在多项式中，每个_______叫做多项式的项，其中_______的项叫做常数项.一个多项式有几项，这个多项式就叫做_______式.(2)多项式的次数：多项式中，_____________的次数，就是这个多项式的次数.(3)多项式的排列：① 把一个多项式按其一个字母的指数从_____到____的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列.② 把一个多项式按某一个字母的指数从_____到_____的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列.3、整式：_______和________统称为整式.四、同类项1、同类项的概念：_______________________________.几个常数项也是同类项（例如33和24是同类项）.2、合并同类项：①合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. ②合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.③合并同类项的步骤：____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________热身练习一、判断1. a -表示负数； ( )2. 多项式5322--x x 是由单项式2x 2、3x 、-5组成的； ( )3. 单项式m -没有系数 ( )4. 232-+x x 是二次三项式 ( )5. 22254x x x =+ ( )6. ab ab b a 47322-=- ( )二、选择1. 下列代数式中单项式是 ( )①32a ②b a 25+ ③y - ④y x 21π ⑤752x ⑥bca A. ①③⑤⑥ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④⑥2. 下列代数式的描述中，错误的是 ( )A. 125424-+x x 是四次三项式 B. x y xy +2 不是整式 C. b a b ab a 33332-++ 是三次四项式 D. ab a + 不是单项式 3．化简)2()2()2(++---x x x 的结果等于 （ ）A.63-xB.2-xC.23-xD.3-x4．一个长方形的一边长是b a 32+，另一边的长是b a +，则这个长方形的周长是 （ ）A.b a 1612+;B.b a 86+.C.b a 83+D.b a 46+.三、填空1. 把多项式723522343-+--y x xy y y x(1)按的升幂排列_____________________________________(2)按的降幂排列_____________________________________2.当a =4，b =12时，代数式ab a -2的值是____. 3.质量为m 千克的茶叶，售价是p 元，设单价是每千克d 元，则d =_____元.(用含有m 、p 的代数式表示)4.某商品按原价降低m 元之后又降20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为____________.5.你会唱“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿”吗？如果有n 只青蛙，那么有（ ）张嘴，（ ）只眼睛，（ ）条腿.6.观察下列等式：()()()⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+233323222222211121222则第n 个等式表示为_________7.研究下列算式，你会发现什么规律？222252516441615339142,24131==+⨯==+⨯==+⨯==+⨯…………请你将找出的规律用公式表示:____________________________四、简答1.一个长方形的周长是24，长为a ，用代数式表示这个长方形的面积，并求当a =7时，这个长方形的面积.2.一件商品以成本的30%作为利润定出售价，假设成本为每件m 元： ①请写出表示售价的代数式______________；②有人说，将这件商品的原售价先提高%x ，再下降%x ，一定还能获得成本的30%作为利润，你说此人说得对吗？请写出把原售价先提高%x ，再下降%x 后的售价，取m =200元，x =10进行验证.精解名题1. 下面各题的判断正确的有___________.①27xy -的系数是7； ②32y x -与3x 没有系数； ③23c ab -的次数是0＋3＋2；④3a -的系数是－1； ⑤2223y x -的次数是6； ⑥h r 231π的系数是31. 2. －23ab c 2π的系数是________，次数是________．3.某商品原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是________________元(结果用含m 的代数式表示).4.若a 、b 互为倒数，c ,d 互为相反数，e 是最小的自然数，则3)(2)(2e d c ab -++-的值是多少？5.如果b axy -是关于x ，y 的单项式，且系数为2，次数为3，那么a ，b 分别是多少？6.02)1(2=-++y x ，求代数式x +2y 的值.备选例题1.如果多项式13)2(52+---x xy m y x m的次数为4次，且有三项，那么m 为多少？2. 已知a xy x =+22，，求22984y xy x ++的值.(结果用a ,b 表示)3.已知y x x b a +-2与5231b a 是同类项，求多项式323316121y xy x +-的值.4.已知012=++x x ，求201200199x x x ++的值方法提炼1.通过练习及例题，大家应注意以下几点：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x 2，－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.2.熟练掌握单项式、多项式、单项式系数和次数、多项式系数和次数的概念，并能很好的区分它们.*3.合并同类项，第一步要先找出同类项，第二步利用分配律，把同类项的系数加在一起.巩固练习一、选择1.一个五次多项式，它的任何一项的次数( )A ．都小于5B ．都小于5C ．都不小于5D ．都不大于52.在代数式：55+x , －1,－x 3, π, x 5，xx 1+ 整式的有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3.百位数字是a ，十位数字是b ，个位数字是c 的三位数是( )A ．abcB ．c b a ++C ．c b a ++10100D ．a b c ++10100 4.y x 291和y x n 1+的次数相同，则n 1=( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空1.当a >0时，=a ；当a =0时，=a ；当a <0时，=a .2.如果a1是负数，那么a 是 数；如果a ≠0，那么a 的绝对值的倒数是 数. 3.当n =6时，代数式)1(2)2(--n n n 的值是 . 4.已知14+-n xy 与425y x m 同类项，则n m +2=_________.三、计算1.若x =y =1，a 、b 互为倒数，求代数式ab y x 3)(212-+的值.2.已知0)3(22=-++y x ，求222232924y xy x y xy x +--++的值.3. 若23122++-m n y x 与4135--m n y x 是同类项，求m n n m -+)(的值.4.合并同类项（1） 2235213x x x x -+--- （2）b a ab b a ab b a 22252.168.0++---（3）222432132b ab a ab a -++- （4）y x x y yx x y x xy y x 2222226457326-----+（5）41247842222-+-+-xy y x xy y x ； （6）2222222b ab a b ab a -+++-．四、找规律1.阶梯教室第一排有a 个座位，后面每排都比前一排多2个座位.（1）第2排、第3排各有几个座位？（2）以此类推第n 排有多少个座位？（3）如果用m 表示第n 排的座位数，那么当a =20,n =12时，m 的值是多少？2. 如图(1)是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图(2)，再分别连结图(2)中间的小三角形三边的中点，得到图(3)，按此继续下去，请你根据每个图形中的三角形个数的规律，完成下列问题.（1）将下表填写完整 图型编号12345……三角形个数159……（2）在第n 个图形中有_____个三角形（用含n 的式子表示）（1） （2） （3）自我测试一. 选择题1. 下列结论中正确的是( )A. 没有加减运算的代数式叫做单项式.B. 单项式273xy 的系数是3，次数是2. C. 单项式m 既没有系数也没有次数.D. 单项式z xy 2-的系数是－1，次数是4.2. 把多项式y x y x xy 52433725++-按x 降幂排列后，第三项是( )A. 35xyB. 242y x -C.D. y x 533. 二次三项式c bx ax ++2为一次单项式的条件是( )A. 0≠a ，0=b ，0=cB. 0=a ，0≠b ，0=cC. 0=a ，0=b ，0≠cD. 0=a ，0=b ，0=c二.填空题1.若13)12(+-b y x a 是关于x 、y 的系数为3的六次单项式，22b a -= .2. 32bca π-是 次单项式，它的系数是 ___________.3. 若()()063122=-+-++z y x ，求代数式z y x x +-2)(=_______.4. 若2)1(23++++x x m x 没有二次项，则_______.5. 如果222z y x m -的次数与单项式345.3b a 的次数相同，则m =_______.6. 当代数式632++t t 的值为5时，代数式3932-+t t = .三.计算题1.合并同类项（1）a a a a 3134232-+- （2）333323n m n m +--（3）2222211.015.012.0yx x y xy y x +-+ （4）121221243+++---n n n n n x y x y y x y x2.先化简再求值（1）当2-=a ，1=b 时，求222222243323ab ab b a b a ab b a +--++的值.11（2）222214(32)(113)2,2a b ab a b ab a b ---=-=其中3.已知：22222224,253xy y x B xy y x A +-=-+= 求： 3B －2A。
人教版七年级上数学秋季班讲义——整式
第四讲整式及其加减知识梳理1、用字母表示数的意义用字母表示数可以简明地表达数学运算律★用字母表示数可以简明地表达公式★用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系★还可以用字母表示未知数．2、代数式的概念用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式★注意：①单独的一个数或一个字母，也是代数式．②代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．3、代数式的书写规则（1）代数式中的“×”一般写成“·”或省略不写；数与数相乘时，“×”号通常要照写．（2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，省略乘号．（3）带分数与字母相乘时，应把带分数化为假分数．（4）代数式中的除法运算要写成分数的形式，即除号变成分数线．（5）表示实际问题中，代数式后要带单位，当代数式为和或差时，要用括号将单位前的代数式括起来．4、列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．5、单项式（1）单项式的定义数与字母的乘积组成的代数式为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，如 6，a都是单项式．因此，单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除式的除法运算．（2）单项式的系数单项式中的数字因数叫单项式的系数，如－2xy2的系数为－2.单项式的系数为1或－1时，通常省略不写，但“－”号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成－ab.（3）单项式的次数一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如5x2y4的次数为6(2＋4=6).一个单项式的次数是几，习惯上又称作这个单项式是几次单项式.如5x2y4是六次单项式．单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0.如5xy 2的次数是1＋2=3，而不是2.6、多项式（1）多项式的意义几个单项式的和叫做多项式．多项式中含有加减运算，也可以含有乘方，乘除运算，但不能含有以字母为除式的除法运算. （2）多项式的项在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．其中，不含字母的项，叫做常数项．常数项在多项式中次数最低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”． （3）多项式的次数多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 7、整式单项式和多项式统称为整式.典例剖析1、一个三位数M ，一个四位数N ，用M,N 的代数式表示 （1）把M 放在N 左边所组成的七位数；（2）把M 放在N 右边所组成的七位数.2、一项工程，甲队单独完成需a 天，乙队单独完成需b 天，两队合作要 天完成.3、当n 为整数时，偶数可表示为 ，奇数可表示为 .4、今年苹果的价格比去年便宜了20%，已知今年苹果的价格是每千克a 元，则去年的价格是每千克（ ）元A 、（1+20%）aB 、(1－20%)aC 、%201+aD 、%201-a5、一个人上山和下山的路程都是s ，如果上册的速度为1v ，下山的速度为2v ，那么上山和下山的平均速度为（ ） （A ）221v v + （B ）212v v s+ （C ）21v s v s s + （D ）21212v v v v +6、下列单项式书写不正确的有（ ）． ①312a 2b ； ②2x 1y 2； ③－32x 2； ④－1a 2b ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、下列说法正确的是（ ）．A ．整式就是多项式B ．π是单项式C ．x 4+2x 3是七次二项次 D ．315x 是单项式 8、m ，n 都是正整数，多项式x m +y n +3m+n 的次数是（ ）． A ．2m+2n B ．m 或n C ．m+n D ．m ，n 中的较大数9、多项式x m +（m+n ）x 2－3x+5是关于x 的三次四项式，且二次项系数是－2，则m=_____，n=_______．10、多项式―x 2―3x ＋4的项是________________，最高次项是______，常数项是______，次数是________；11、单项式22a b 2的系数是_______，次数是______，是_______次单项式课堂练习1、下列式子表示不正确的是（ ）．A ．m 与5的积的平方记为5m 2B ．a 、b 的平方差是a 2－b 2C ．比m 除以n 的商小5的数是mn－5 D ．加上a 等于b 的数是b －a2、小明在银行存a 元钱，银行的月利率为0.25%，利息税为20%，6个月后小明可得利息________元．3、下列说法错误的是（ ）．A ．3a+7b 表示3a 与7b 的和B ．7x 2－5表示x 2的7倍与5的差C ．1a －1b表示a 与b 的倒数差 D ．x 2－y 2表示x ，y 两数的平方差4、随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低a 元后，再次下调25%，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟为（ ）元． A ．（54b －a ） B ．（54b+a ） C ．（34b+a ） D ．（43b+a ）5、单项式－x 2y 的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；6、多项式3x 4－2x 2y 2次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______.7、多项式2x ＋3y 2－3xy 2是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______.8、多项式3－m 2的项是___________，最高次项是＿＿＿＿，常数项是＿＿＿，次数是＿＿＿；9、按图程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是（ ）．A ．6B ．21 C．156D ．23110、已知多项式x －3x 2y m+1+x 3y －3x 4－1是五次四项式，单项式3x 3ny 4－mz 与多项式的次数相同，求m ，n 的值．课后作业1、判断下列各代数式哪些是单项式？(1)21+x ； (2)abc ； (3)b 2； (4)－5ab 2； (5)y+x ； (6)－xy 2； (7)－5。
上海(沪教版)数学七年级(上)培优.第2讲.整式
七年级秋季培优第二讲：整式班级：学号：姓名：整式中的系数与次数问题1.系数是1，含有并且只有字母,,a b c 的七次单项式共有多少个？2.当m 取什么值时，2123(2)3m m x y xy -+-是五次二项式？【练习1】多项式223(2)1m x y m x y ++-是四次三项式，那么m 的值是.【练习2】若,m n 为自然数，则关于x 、y 的多项式34m n m n x y +++的次数应当是（）A.m B.n C.m n + D.,m n 中较大的数3.若关于x y 、的多项式()()()12324425a a a a a x y a x y b xy a y ----+-+-+是一个四次三项式，求a b 、的值，并写出此三项式．【练习3】a 、b 为整数，若关于x y 、的多项式()()-13224355a a a a a x y a x y bx y a y ---+-++是一个八次三项式，求a b 、的值，并写出此三项式．4.,a b 为正数，且满足多项式332222022a b ax x x x x ---+-是三次多项式，则112a a b -+++-的值是多少？【练习4】若关于x 、y 的多项式21331231n n m m m m x y x y x y x y m n -----+++++-是一个四次三项式，求m 、n 的值.5.若A 是三次多项式，B 也是三次多项式，则32A B +一定是（）．A ．三次多项式B ．六次多项式C ．次数低于3的多项式D ．次数不高于3的整式6.一个多项式按x 的降幂排列，前几项如下：1098273234...x x y x y x y -+-+试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？7.求多项式1984321984(22)x x x x -+--+的偶次项系数之和与奇次项系数之和思考题：1.多项式5423(1)36(2)2n m m x x x m x ++-+-++-是关于x 的四次多项式，,m n 应满足（）A 、12m n ><且；B 、122m n =-≤≤且的整数；C 、m 2n ≤>1且；D 、122m n =-≤<且的整数2.若,a b 在数轴上所对应的的点到原点的距离分别为2，4.试确定关于x 的多项式1313253a a b b x x x -+---是几次几项式？3.求以下多项式乘法的展开式中2021x 是第几项，系数是多少？假定按照降幂排列01210202122210(2)(2)(2)(2)x x x x ++++。
著名机构七年级数学秋季班讲义整式的乘法(教师)
第3课时 整式的乘法课时目标1．探索并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则，会进行整式相乘的运算.2. 能够灵活运用法则进行计算和化简.3. 在整式的乘法中，单项式的乘法是关键.所以重点还是要熟练运用幂的运算性质.知识精要一、单项式与单项式相乘1、法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.2、法则可简单的写成：单项式×单项式=（系数相乘）×（同底数幂相乘）×（单独字母的幂）3、三个或三个以上的单项式相乘，此法则仍适用.4、单项式与单项式相乘，积还是单项式二、单项式与多项式相乘1、法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.如：m ⋅（a +b +c ）= ma +mb +mc 或（a +b +c ）⋅m = am +bm +cm2、单项是与多项式相乘的结果是一个多项式，且项数与原多项式的项数相同.3、单项式与多项式相乘时，要注意以下几点：（1）不要漏乘项，尤其不要漏掉单项式与多项式中的常数项相乘. 如：232(2)(31)xy xy y x y -⋅-++= xy y x xy y x 262234322--+-（2）当单项式中含有“—”号时，不要出现符号错误.如：2222343213()(6)29632xy y x xy x y xy x y -+-⋅-=-+ （3）如果多项式中含有多重括号，先去小括号，再去中括号、大括号，从而避免漏乘和符号发生错误. 如：a a a a a a 62)]131(321[2223-=---三、多项式与多项式相乘1、法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 如：（a +b ）（m +n ）= am +an +bm +bn2、多项式与多项式相乘，其基本原理是运用乘法对加法的分配律转化为单项式与多项式相乘，继而转化为单项式与单项式相乘.3、多项式与多项式相乘的结果中，如果有同类项，要合并同类项.4、在计算时，要避免漏项，通常多项式与多项式相乘，在合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数的积.比如：（a +b ）（c +d +e ），其结果在合并同类项前应为2×3=6项.热身练习1、计算：（1）)2(232ax x a -⋅解：原式=532x a -（2）231()()2xy xy ⋅ 解：原式4712x y =（3）2241(2)332xy xy y xy -+⋅ 解：原式232221233x y x y xy =-+2、计算：x x x x x 96)96(x 232--=--⋅.3、计算：=--+n n n x x x )1(1212n n n x x x +--.4、计算：24312128)32)(84(2343++-+=++-x x x x x x x .5、在))((2c bx x a x +++的展开式中，2x 项的系数是a b +，x 项的系数是c ab +.6、（a +b +c ）（d －e ）的积的项数是 6 项.7、计算：161x )41)(21)(21(42-=++-x x x . 8、画长方形，用长方形的面积分别表示下列各式及运算结果.(1) ()a b c d ++ （2）()()a b c m n +++精解名题1、计算：（1）321(8)4xy xy z -⋅ 解：原式=z y x 522-（2）231(12)(3)()14x y xy xy -⋅-⋅- 解：原式=54718y x -（3）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a ⋅-+-⋅--⋅- 解：原式=337b a -2、计算：(1) )65)(52(2+-+x x x 解：原式=30135223+--x x x(2) )132)(52(223+--+-x x x x 解：原式=51587722345-+--+-x x x x x3、设1232137106)53)(6(234523-++-+=+++-x x x x x b x x x ax ，求a 与b 的值. 分析：只需比较最高次项系数和常数项，不必将多项式与多项式的乘积计算出来. 解：由题意，可得a ×3=6，6×b =－12所以a =2，b =－2(展开式为543235(ab 3)13(30)6ax ax x x b x b ++-++-+)4、求展开式)323)(2735(223223b ab a b ab b a a -+-+-中23b a 和32b a 的系数.分析：直接计算较繁琐，用竖式演算却简捷方便.用竖式演算时应注意：多项式的排列必须按某一字母的降幂排列，缺项应补零.解：原式=5432456251715b ab b a b a a +-++.∴23b a 的系数是0，32b a 的系数是17.5、已知a 、b 、m 均为正整数，且15))((2++=++mx x b x a x ，则m 可能取的值有多少个？解：ab x b a x b x a x +++=++)())((2，∴ab =15，m =a +b ，Θa 、b 是正整数，15=1×15=3×5，∴m =1+15=16，或m =3+5=8.故m 的可能取的值有2个.6、如果)3)(3(22b y y ay y +-++的展开式中不含2y 和3y 项，求a 和b 的值. 解：将整式展开后Θ不含2y 和3y 项，即系数为0∴a =3，b =67、计算)33)(35()325)(23(224242+++-+++x x x x x x解：原式642426442242156910461515339923x x x x x x x x x x x x =+++++------=-+-22432322432(3)(3)33393(3)(33)(9)3y ay y y b y y by ay ay aby y y by a y b a y ab y b++-+=-++-++-+=+-+-++-+备选例题1. 计算(1)()()a b c d c a d b -+----;解：原式=[()][()]c b d a c b d a --+---=22()c b d a ---=2222222c b d bc db cd a ++-+--(2))168()2()2(422422y y x x y x y x +++-解：原式=222222)4()4(y x y x +-=244)16(y x -=844825632y y x x +-2. 设x ，y ，z 为实数，且满足：222)()()(x z y x z y -+-+-=222)2()2()2(z y x y z x x z y -++-++-+ 求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值. 解：等式左边=2x 2+2y 2+2z 2－2xy －2yz －2xz ，等式右边=6x 2+6y 2+6z 2－6xy －6yz －6xz ．∴2x 2+2y 2+2z 2－2xy －2yz －2xz =0， 即 (x －y )2+(x －z )2+(y －z )2=0. Θx ，y ，z 均为实数，∴x =y =z ．∴原式=222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x ++++++=1. 方法提炼1. 展开式中不含某一项，说明该项的系数为0.2. 整式的乘法会联合同类项出考题，所以要熟练掌握理解定义.3. 运用整式乘法的运算规律，可以简化运算.巩固练习一、填空题：1、=⋅-b a b a 32313 52a b - =⨯-200120002)21(2 2、=-15981b a 353)21(b a - =+-32])([y x 6()x y -+3、=-5252)(a a a 710a a - =---)()(b a b b a a 222b ab a +-4、若222)(b a A b ab a -=+++，则A=3ab -二、选择题：1、若多项式65))((2+-=++x x b x a x ，则a 、b 的值为（ C ）A. a =2，b =3B. a =2，b =－3C. a =－2，b =－3D. a =1，b =－62、下列各式正确的是（ B ）A. 222)(b a b a +=+B. 13333+=++n n n nC. 633a a a =+D. 22)(b b a a =三、计算题：1、522)()())((a a a a -+---2、3232)4()4()4()4(x x x x --+解：原式=0 解：原式 =03、)2)(3(2)1)(2(+--+-x x x x4、)(2)())((2y x x y x y x y x +--+-+解：原式 =210x x -++ 解：原式 = 4xy -5、325)()32)(43(x ab bx ax ----6、2)43()4323)(213(y y x y x ---- 解：原式 =632abx 解：原式 =229332216x xy y -+-四、解答题1、在长为3a +2，宽为2b +3的长方形铁片上，挖去长为b +1，宽为a －1的小长方形铁片，求剩余部分的面积.解：（3a +2）（2b +3）－（b +1）（a －1）=5857ab a b +++2、已知：多项式b ax x ++2与3x +1的积中含2x 项的系数为10，且积中不含x 项，求a 、b 的值.解：（b ax x ++2）（3x +1）=b x a b x a x +++++)3()13(32303,1013=+=+∴a b a1,3-==∴b a当堂总结1.掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算2.掌握单项式与多项式相乘的法则3.掌握多项式与多项式相乘法则自我测试一、选择题：1、下列说法中，不正确的是（ D ）A.单项式乘以单项式，其结果一定仍是单项式B.两个单项式相乘，积的系数是这两个单项式系数的积C.两个单项式相乘，每一个因式所含字母都在结果里出现D.单项式必须是同类项才能相乘2、下列计算正确的是（ D ）A.y x y x xy y x xy 3222)(-=-B.2)2(322+--=-+-x x x x xC.x x x x x x 2329)1323(23243+-=+- D.232283)12)(3241(b a b a ab b a a +-=--3、如果n mx x x x ++=+-2)3)(1(，那么m ，n 的值分别是（C ） A. 4,－3 B. 2,3 C. 2,－3 D. －3,24、下列各式计算结果为652--x x 的是（ B ）A. （x －1）(x +6)B.(x +1)(x －6)C.(x －2)(x －3)D.(x －2)(x +3)二、简答题：1、计算：224(3)(41)9a a a -⋅-+ 解：原式43241233a a a =-+-2、先化简，再求值：21,2),(2)2)(2(22-=-=--+-y x y x xy y x y x 其中解：原式=334x y - 当21,2-=-=y x 时，原式=217-3、求)74)(12(23-++-x x x x 中含3x 项的系数.解：原式=543228153117x x x x x +--+-∴3x 项的系数为－15补充练习：（根据需要自己选用）测试1 同底数幂的乘法23·2(___5___)＝256； 若2m ＝6，2n ＝5，则2m ＋n ＝___30___． 25×54－125×53． 0 (－2)2009＋(－2)2010． 20092(－a )n 与－a n 相等吗?(a －b )n 与(b －a )n 相等吗?根据以上结论计算①(m －2n )4·(2n －m )2；②(m －n )4·(n －m )3．测试2 幂的乘方若(a 3)x ·a ＝a 19，则x ＝____6___．已知a 3n ＝5，那么a 6n ＝____25__． 若16x ＝216，求x 的值； 4 若(9a )2＝38，求a 的值．2若10α＝2，10β＝3，求102α＋3β 的值； 108若2x ＋5y －3＝0，求4x ·32y 的值． 8比较大小：3555，4444，5333． 3555 ＞4444 ＞5333．测试3 积的乘方若2n ＝a ，3n ＝b ，则6n ＝___ab___．二、选择题52009×(－0.2)2010 = 51 .)21(6)31(675-⨯⨯-=-18 若4)31()9(832=⋅x ，求x 3的值． ±6比较216×310与210×314的大小． ＜若3x ＋1·2x －3x ·2x ＋1＝22·32，求x ． 2测试4 整式的乘法(一)已知x 3a ＝3，则x 6a ＋x 4a ·x 5a ＝___36___．下列各题中，计算正确的是( )．D(A)(－m 3)2(－n 2)3＝m 6n 6 (B)(－m 2n )3(－mn 2)3＝－m 9n 9(C)(－m 2n )2(－mn 2)3＝－m 9n 8 (D)［(－m 3)2(－n 2)3]3＝－m 18n 18若x ＝2m ＋1，y ＝3＋4m ；(1)请用含x 的代数式表示y ； y=422+-x x(2)如果x ＝4，求此时y 的值． 12测试5 整式的乘法(二)要使x (x ＋a )＋3x －2b ＝x 2＋5x ＋4成立，则a ，b 的值分别是( C )．(A)a ＝－2，b ＝－2 (B)a ＝2，b ＝2(C)a ＝2，b ＝－2 (D)a ＝－2，b ＝2通过对代数式进行适当变化求出代数式的值(1)若x ＋5y ＝6，求x 2＋5xy ＋30y ；36(2)若m 2＋m －1＝0，求m 3＋2m 2＋2009；2010(3)若2x ＋y ＝0，求4x 3＋2xy (x ＋y )＋y 3．测试6 整式的乘法(三)在(x 2＋ax ＋b )(2x 2－3x －1)的积中，x 3项的系数是－5，x 2项的系数是－6，求a 、b ．-1，-4已知(x 2＋px ＋8)(x 2－3x ＋q )的展开式中不含x 2和x 3项，求p 、q 的值． 3, 123．回答下列问题：(1)计算：①(x ＋2)(x ＋3)＝________；②(x ＋3)(x ＋7)＝______；③(a ＋7)(a －10)＝_______；④(x －5)(x －6)＝______．(2)由(1)的结果，直接写出下列计算的结果：①(x ＋1)(x ＋3)＝______； ②(x －2)(x －3)＝______；③(x ＋2)(x －5)＝______； ④)31)(21(+-m m ＝______． (3)总结公式：(x ＋a )(x ＋b )＝____________．(4)已知a ，b ，m 均为整数，且(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋mx ＋36，求m 的所有可能值． 10种可能24．计算：(x －1)(x ＋1)＝____12-x _____；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝____13-x ______；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝_____14-x _____；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝____15-x ______；……猜想：(x －1)(x n ＋x n －1＋x n －2＋…＋x 2＋x ＋1)＝_______11-+n x __．。
著名机构七年级数学秋季拓展班讲义整式的运算专题-教师版
添括号法则
（1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
（2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．
2、合并同类项
知识点3：整式的乘法
1、同底数幂相乘： ．( 、 都是正整数)； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
3、同类项
（1）所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类项．
（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．
（3）合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
教师姓名
冯娜娜
学生姓名
年级
初一
上课时间
2018/1/1
学科
数学
课题名称
整式的运算专题
知识点1：整式的概念
1、单项式
（1）由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．
（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
2、多项式
（1）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
二、考点分析
考点1:整式的概念
【例1】在下列各式： 中，是单项式的有（）个.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【例2】（1）单项式 的系数是，次数是；
（2）单项式 的系数是，次数是；
（3）单项式 是次单项式.
【答案】（1） ,2（2） ，3（3）
著名机构七年级数学秋季班讲义5整式复习一(教师)
第5课时整式复习（一）教学目标使学生牢固掌握本章的知识要点：基本概念、单项式的系数与次数、多项式的项数与次数、多项式的升（降）幂排列、合并同类项法则、去（添）括号、整式的加减，乘法公式．项式的混合运算．教学难点1．基本概念、去括号与合并同类项.2．整式的加减运算及乘法公式．考点及考试要求1．代数式的意义及列代数式；2．单项式；3．多项式及整式的有关概念；4．整式的加减运算；知识精要一、基本概念1．代数式用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．2．单项式表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式．（包含单个的数字、单个的字母、数字与字母的乘积、几个字母的乘积等形式．）注：(1)单独的一个数或一个字母也是单项式．(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．(3)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式，即多项式由单项式组合而成的．注：（1）多项式中的每个单项式就是一个项．（2）多项式中有几个单项式就有几项．（3）多项式中次数最高的单项式的次数就是多项式的次数．（4）多项式中不含字母的项叫做常数项．4．整式单项式和多项式统称整式．补充：分母含有字母的代数式叫做分式．5．同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．二、基本运算法则1．整式加减法法则几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项．注：去括号法则括号前是“＋”号，去掉括号和括号前的“＋”号，括号内各项移到括号外时，符号保持不变．括号前是“－”号，去掉括号和括号前的“－”号，括号内各项移到括号外时，符号全都改变．注意事项：（1）“变”的情况．（2）括号外面乘以数字，注意分配律的使用要全面．（3）注意添括号法则与去括号法则的区别与练习．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．法则：（1）同类项的系数相加作为结果的系数；（2）字母和字母的次数保持不变．2.幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．n m n m a a a +=⋅(m ，n 是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．mn n m a a =)((m ，n 是正整数)．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． n n n b a ab =)((n 是正整数)．3．整式的乘法法则单项式与单项式相乘：系数与系数相乘，同底数幂相乘，单独的幂相乘．单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加．多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加．4.乘法公式：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 22))((b a b a b a -=-+完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去） 这两个数积的二倍．222()2a b a ab b +=++（1）222()2a b a b ab →+=+-222()2a b a ab b -=-+（2）22222a b a ab b →+=-+立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+精解名题1．直接求值法：先把整式化简，然后代入求值．例:先化简，再求值3－2xy＋2yx2＋6xy－4x2y，其中x=－1，y=－2．解：3－2xy＋2yx2＋6xy－4x2y=3＋4xy－2x2y．当x=－1，y=－2时，原式=3＋4×(－1)×(－2)－2×(－1)2·(－2)=3＋8＋4=15．2．隐含条件求值法：先通过隐含条件将字母取值求出，然后化简求值．例1: 若单项式－3a2－m b2与b n＋1a3是同类项，求代数式m2－(－3mn＋3n2)＋2n2 的值．解：∵－3a2－m b2与b n＋1a3是同类项，∴ 2－m =3，n+1=2∴m=－1 ，n=1∴m2－(－3mn＋3n2)＋2n2= m2＋3mn－3n2＋2n2= m2＋3mn－n2，当m=－1 ，n=1时，原式=(－1)2＋3×1×(－1)－12=－3例2: 已知（a－2）＋(b＋1)2=0，求5ab2－[2a2b－(4ab2－2a2b)]的值．解：∵ (a－2)2＋(b＋1)2=0，且(a－2)2≥0，(b＋1)2≥0，∴a=2 ，b=－1∴ 5ab2－[2a2b－(4ab2－2a2b)]=5ab2－(2a2b－4ab2＋2a2b)=5ab2－2a2b＋4ab2－2a2b=9ab2－4a2b当a=2，b=－1时，原式=9×2×(－1)2－4×22×(－1)=18＋16=34．3．整体代入法: 不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等．例1: 已知a =x ＋19，b =x ＋18，c =x ＋17，求a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值． 解：∵a = x ＋19，b = x ＋18，c = x ＋17，∴a －b =1，b －c =1， a －c =2．∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc=12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2ac －2bc ) = 12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋( a 2－2ac ＋c 2)] = 12 [(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]． 当a －b =1，b －c =1， a －c =2时，原式=12 (12＋12＋22)= 12×6=3．例2:已知x 2＋4x －1=0，求2x 4＋8x 3－4x 2－8x ＋1的值．解：∵x 2＋4x －1=0，∴x 2＋4x =1．∴2x 4＋8x 3－4x 2－8x ＋1=2x 2(x 2＋4x )－4(x 2＋4x )＋8x ＋1=2x 2＋8x －3=2(x 2＋4x )－3=－1．例3:已知b a b a +-2=6，求代数式b a b a +-)2(2＋)2()(3b a b a -+的值． 解：∵b a b a +-2=6 ∴612=-+b a b a ∴原式=2×6＋3×61 =2112巩固练习1．列代数式（1）“a 的倒数与b 的2倍的和”用式子表示为12b a+． （2）“a 与b 和的平方”用式子表示为()2b a +．（3）“a 、b 的平方和”用式子表示为22b a +．（4）“a 与b 差的平方”用式子表示为()2b a -．（5）“a 、b 的平方差”用式子表示为22b a -．2．奇数、偶数、数位的表示．（1）n 是整数，则用n 表示两个连续奇数为 2n －1、2n ＋1 ．（2）一个十位是x ，个位是y 的两位数可表示为 10x ＋y ．（3）一个两位数的个位数字是a ，十位数字是b ，则用式子表示这个数为 10b ＋a ．（4）一个三位数，十位上的数为a ，个位上的数比十位上的数大2，百位上的数是十位上的数的2倍，用字母a 来表示这个三位数，结果应是 211a ＋2 ．（5）x 表示一个两位数，把3写到x 的右边组成一个三位数，则这个三位数可 表示为 10x ＋3 ．（6）三个连续偶数，中间一个为2n ，则这三个连续偶数的和为 6n ．3．增减率（利率）的应用．（1）某商品原价a 元，经过两次连续降价，每次降幅10％，则现售价0.81a 元．（2）某商店在销售某商品时，先按进价提高40%标价，后来为了吸引消费者，再按8折销售，此时每件仍可获利60元，设此商品进价为x 元，可得方程 0.8×(1＋40%)x －x =60 ．自我测试一、选择题1、计算下列各式结果等于45x 的是（ A ）A 、225x x ⋅B 、225x x +C 、x x +35D 、x x 354+2、下列式子可用平方差公式计算的式子是（ C ）A 、()()a b b a --B 、()()11-+-x xC 、()()b a b a +---D 、()()11+--x x3、下列各式计算正确的是（ D ）A 、()66322b a b a =-B 、()5252b a b a -=-C 、1244341b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛-D 、462239131b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-4、下列各式计算正确的是（ B ）A 、2229161413121b ab a b a +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B 、()()842232-=++-x x x x C 、()222b a b a -=- D 、()()116141422-=++b a ab ab5、已知41=+a a 则=+221aa ( B ) A 、12 B 、 14 C 、 8 D 、166、已知x 2＋y 2=2, x ＋y =1、则xy 的值为 （ A ）A 、21- B 、211- C 、－1 D 、3 7、下列四个多项式是完全平方式的是（ D ） A 、22y xy x ++ B 、222y xy x --C 、22424n mn m ++D 、2241b ab a ++8、4224y x y x -与下列那个式子不相等（ A ）A 、()()2222xy y x xy y x --B 、()2222y x y x -C 、()()y x y x y x -+22D 、()()22xy y x y x xy -+9、计算2120+(－2)120所得的正确结果是( D )A 、2120B 、－2120C 、0D 、212110、当()mn mn 66-=-成立，则（ C ） A 、m 、n 必须同时为正奇数. B 、m 、n 必须同时为正偶数.C 、m 为奇数.D 、m 为偶数.11、()()1333--⋅+-m m 的值是（ C ）A 、1B 、－1C 、0D 、()13+-m二、填空题1、a m ·a m · 2a =a 2m +22、若代数式1322++a a 的值为6，则代数式5962++a a 的值为 20 .3、3=x a ，则=x a 2 9 .4、()()=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅ac abc c 241223. 5、()()()=-++52552x x x 6254-x .6、代数式()27b a +-的最大值是 7 .7、若()()，b a a a 412=---则ab b a -+222的值是 8 . 8、代数式()()()()111142+-++-y y y y 的值为 －2 .9、若()12492==+，xy y x ，则=+22y x 25 .10、=++229124b ab a （ 2a +3b ）211、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+2244111x x x x x x 2 .三、计算题（1）223(2)(3)x x -⋅- （2）)32(1022xy y x xy -⋅- 解：原式=7108x - 解：原式=32232030x y x y -+（3）2(23)x y - （4） 22(3)(3)x x +--解：原式=229124y xy x +- 解：原式=x 12（5）()()y x y x 2332-+ （6） ()()()()232233574x xy xy xy y y x -⋅--⋅-+- 解：原式=22656y xy x -+ 解：原式=333333454916y x y x y x -- =3378y x -（7）()()14314322+++-x x x x （8） ()()()()4216224+++-x x x x 解：原式=222)4()13(x x -+ 解：原式=()()()1644422++-x x x =22416169x x x -++ =()()161644+-x x = =2568-x（9）()()()()c b a c b a c b a c b a ++---+--+ （10）()()()737355322+---a a a 解：原式=])([])([2222c b a c b a +---- 解：原式=)499(5)25309(222--+-a a a =22)()(c b c b --+ =2454550601822+-+-a a a =bc 4 =2636052+-a a四、简便方法计算（1）999.8×1000.2 （2） 2499 解：原式=)2.01000)(2.01000(-+ 解：原式=2)1500(- =1000000－0.04 =250000-1000+1 =999999.96 =249001五、解答题1、化简与求值：(a －2)(a ＋2)＋3(a ＋2)2－6a(a ＋2)，其中a ＝5. 解：原式=a a a a a 126)44(34222--+++-=228a -+当a ＝5时，原式=－422、化简与求值：（a ＋b ）（a －b ）＋（a ＋b ）2－a (2a ＋b )，其中a =23，b ＝211- 解：原式=ab a b ab a b a --+++-2222222=ab当a =23，b ＝211-， 原式=－13、已知49)(,1)(22=-=+y x y x ，求22y x +与xy 的值 解：)(222y x +Θ=50)()(22=-++y x y x2522=+∴y x224()()48xy x y x y =+--=-Q12xy ∴=-（1）4、已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值 解：原式=mn n m 3)(2-+=64－45=1911 5、已知：，012=-+a a 求1999223++a a 的值 解：012=-+a a Θ 12=+∴a a∴原式=1999223+++a a a =1999)(22+++a a a a =19992++a a =2000。
七年级秋季班-第1讲：整式的基本概念
【习题5】 某学生参加教育储蓄，把1000 元存入银行，如果月利率是 0.2 ％，那么 x 个月后， 本金与利息的和是_______元（教育储蓄不计利息税）．
【习题6】 买 a 支水笔用了 50 元，毛笔每支比水笔贵 2 元，那么买 a 支毛笔需____元钱．
【习题7】 已知：x (1 1 3 1)3 ，则代数式1 x x2 x3 x2012 x2013 的值是（ ）． 26
求：（1） a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 的值； （2） a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 的值； （3） a0 a2 a4 a6 的值．
师生总结 1．求代数式的值时需要注意些什么？ 2．哪些题目适用于整体代入法？
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【例38】 若关于 x、y 的多项式 a 4 xa y 4 a xa1 y 2 b x2 ya2 5 aa3 y2是一个四
次三项式，求 a 、b 的值，并写出此三项式．
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随堂检测
【习题1】 将下列代数式分别填入相应的括号内：
1 ab2 2
，a b
，1 ，x 3
）．
A
．
x
2 y2
B． xy
C ． 2x2 3
D ． (x y)2
【例10】 某项工程，甲队完成需要 a 小时，乙队完成需要 b 小时，则甲．乙两队合作1 小
时可完成该工程的（ ）．
A．1 1 ab
B． 1 ab
C． 1 ab
D
．1
1 a
1 b
【例11】 用语言描述 3a 15 的数量关系，其中错误的是（ ）．
著名机构七年级数学秋季班讲义2整式的运算(教师)
第2课时 整式的运算课时目标1.理解同类项的概念；能判断同类项，且能熟练的合并同类项.2.掌握去括号，添括号的法则，能准确的进行去括号，添括号.3.掌握整式的加减运算,注意要把每一个整式用括号括起来.4.掌握同底数幂的乘法法则，知道法则适用于三个或三个以上的同底数幂相乘.5.能正确，熟练地进行同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方以及加减的混合运算.知识精要一、同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项.如：8和12是同类项. 二、合并同类项1、意义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.2、合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变. 合并同类项的两个要点：一是字母和字母的指数不变；二是同类项的系数相加作为和的系数.3、几项式：一个多项式合并后．．．几项，这个多项式就叫做几项式. 如:42422123x x x -+-叫做四次三项式. 三、去添括号法则1、去括号法则：括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号.去括号法则可简记为：“负”变“正”不变.如：a +(b -c +d )=a +b -c +d ；a -(b -c +d )=a -b +c -d2、添括号法则：括号前面添上“+”号，括号里各项都不变号；括号前面添上“-”号，括号里各项都要变号.添括号法则可简记为：“负”变“正”不变.如：a -b +c =+（a -b +c ）；a -b +c =-（-a +b -c ）四、整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号相连.其运算的一般步骤是：（1）如果有括号，先去括号；（2）合并同类项五、求代数式的值的一般方法先化简已知条件，再化简所求代数式，最后代入求值.六、同底数幂的乘法1、a 的n 次幂a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂，写成n a ，其中a 表示底数，正整数n 表示指数.2、同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用式子表示就是：m n m n a a a +⋅=（m 、n 都是正整数）注:三个或三个以上同底数的幂相乘，也符合上述法则.如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅（m ，n ，p 是正整数）如：)()()(q p q p q p n m +⋅+⋅+= 1)(+++n m q p 七、幂的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即mn n m a a =)(（m ，n 是正整数） 幂的乘方法则也可拓展.如：mnp p n m a a=])[(（m ，n ，p 为正整数） 如：84242)(a aa -=-=-⨯，84242)(a a a ==-⨯2、幂的乘方法则的灵活运用：幂的乘方法则的运用包括两个方面：一是正用：mn n m a a=)(； 二是逆用：mn a =n m a )(=m n a )(，其中m ，n 是正整数.如：已知：32=n x ，求23)3(n x ⋅的值.24327939)(9)(3)3(33223223=⨯=⨯==⋅=⋅n n n x x x本题的关键在于利用了n m a )(=m n a )(的性质，将23)(n x 转化为32)(n x . 八 、积的乘方1、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）可以说成：积的乘方等于乘方的积.积的乘方法则可以拓展，如：n n n n c b a abc =)(（n 为正整数）. 2、积的乘方法则的灵活运用：积的乘方法则的运用包括两个方面：一是正用：n n n b a ab =)(；二是逆用： nn b a =n ab )(，其中n 是正整数.如：计算：11)8125.0(8)125.0(8888==⨯=⨯ 计算：2171171719181719181723)61(23)61()2()3()61(++⨯⨯=⨯⨯=-⨯-⨯- 1212)2361()42()33()61(17171717=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 方法提炼本题的关键是逆用积的乘方法则，解决这类问题的一般方法是先认准同底数的最低次幂．．．．，然后转化同底数的较高次幂. 热身练习一、填空题1.写出2a b 的一个同类项： 22a b - .(答案不唯一)2.若212m a b -与313n a b -是同类项，则m n += 6 . 3.多项式2242132x xy y x -+-是 四 次 三 项式. 4.在22221343324x xy x y yx x -+-++ 中，没有同类项的项是 3xy . 5.若单项式23m m x y +与22n x y -的和为2n x y ，则m = 2 ,n = 4 .6.已知222A x xy y =++，2B x xy =+.则2A B +=2234x xy y ++.7.多项式22234x xy y -+减去多项式22x xy y +-的2倍的差是256xy y -+.8.关于x 的多项式135m m x x +++ 是二次三项式，则m = 1 ,这个二次三项式是235x x ++.9.23(2)(2)-⋅-= －32 .10．在括号内填上适当的数83)6(5x x x x ⋅=⋅.11.在括号内填上适当的数9)4(32)()(a a a a =-⋅-⋅-.12.计算：234(2)a b -=81216a b .二、填空13.已知关于x 的多项式22ax bx +合并后的结果为零，则下列说法正确的是（ D ）（A ）0a b == (B) 0a b x ===(C) 0a b -= (D) 0a b +=14．若,A B 都是五次三项式，则 A B - 是（ B ）（A ）常数 (B) 次数不高于五次的多项式(C) 五次多项式 (D) 次数不低于五次的多项式15.在()2[2(3)3]2x y x -+-=+，括号内应填入的代数式是（ A ）.（A ）2x y + (B) 2x y -+(C) 2x y - (D)2x y --16.下列各题的计算，正确的是（ D ）（A ）279()a a = （B ）2714a a a ⋅=(C)1221()n n a a ++= (D)1333()m m a a ++=17.若2,2m n a b ==，则 2m n +等于（ B ）（A ）a b + （B ）ab(C) 2ab (D) 2a b三、简答题18.一个多项式加上32345x x y y -++，得32232x x y y -+.（1）求这个多项式；（2）当12x =-，1y =时，求这个多项式的值 解：（1）（32232x x y y -+）－（32345x x y y -++）= 32232725x x y y y -+-（2）当12x =-，1y =时，原式=-519．如果代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 所取的值无关，求代数式2223()2(5)4a ab ab b a b a b --+++的值.解：原式=22(1)(3)67b x a x y -++-+∴3,1a b =-=∴2223()2(5)4a ab ab b a b a b --+++=223526a ab b a b ---=－14精解名题1.在多项式132132006200720082009m n m n m n n a b x y a b x y -+++-（其中m ,n 为正整数）中，恰有两项为同类项，求m n +的值.解：观察可知322006,2008m n m n a b a b 两项不可能是同类项，故1132007,2009m n n x y x y -+是同类项，∴113m n n =+⎧⎨-=⎩ 解得54m n =⎧⎨=⎩，所以m +n =9.2.下列各项中，合并同类项正确的是（ C ）（A ）22431x x -=(B)220a bc ab c -=(C)332y x x y x ---=-(D)2226x x x x ++=3．下列变形正确的是（ B ）（A ）(1)1x y z x y z --+=--+(B)()4()44a b x y a b x y +--=+-+(C)[23()]233a b c d a b c d --+-=-++-(D)()2()2p q a b p q a b -+--=---+4. 一个多项式，当减去2237x x -+时，因把“减去”误认为“加上”，得2524x x -+，试问这道题的正确答案是什么？解：多项式为22222524(237)52423733x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=+-， ∴22(33)(237)x x x x +---+22233237410.x x x x x x =+--+-=+-5.求代数式的值（1）224[62(32)2]p p p p --+-，其中1p =-.解：原式=462+p ，当1p =-时，原式=10（2）22225(3)(3)x y xy xy x y --+，其中12x =-，13y =- 解：原式=22612xy y x -，当12x =-，13y =-时，原式=23-6.计算（1）23(3)(3)-⋅-解：原式=53-(2)()()()m n p q p q p q +⋅+⋅+解：原式=1()m n p q +++(3)33245a a a a a a ⋅+⋅+⋅解：原式=63a备选例题1.计算下列各式，结果用幂的形式表示（1）24()a -；（2）24()a -；（3）2()m n a ；（4）2334[()][()]x y x y +⋅+.解：（1）8a - （2）8a （3）2mn a（4）18()x y +2. 计算（1）342442()(2)a a a a a ⋅⋅++-（2）454)25.0(⨯-解：（1）原式=86a （2）原式=25.0)25.0()425.0(4-=-⨯⨯-方法提炼1、判断同类项注意两点：一是含有相同字母，二是相同字母的指数也相同.2、合并同类项可分为以下几步完成：● 标出同类项● 将同类项写在一起● 合并同类项3、去括号法则尤其注意括号前是负号时，括号里的各项都改变符号.4、注意幂的运算法则的逆用.巩固练习一、选择题1.下列各组代数式中，不是同类项的是（ B ）A.25a b 与213a b -B.415a x 与415ax C.23ab c 与323c b a D.313a b 与33ba 2．下列去括号正确的是（ C ）A ．22[3()]3x x y z x x y z ---+=-+-B. 22[()]x a y b x a y b +--+=--+C.22223[2(51)]3251x x x x x x ---+=--+D.[]{}()x y z x y z ----=--3.下列去括号错误的是 （ D ）A ．[()][()]()()a b c a b c a b c a b c ++-+=++--B.()a b c d a b c d --+=-+-C.()b a a b --=-D.2222()()a a b b a b b a +--=--+二、填空题 4.20132013)3()31(-⨯=－1. 5.去括号：(2)()a b x y +---=2a b x y +++.6.计算：2212(35)2(32)xy x xy xy x +--+=2x xy -+.7.计算：232249()(2)x x x ⋅-=87x .8．2(3)2781-⨯⨯=93.（用3的幂表示）. 9.2()n m ⋅3m =23n m +.（n 为正整数）.三、简答题10. 计算：23[2(1)](1)x x --解：原式=54(1)x --11.下面计算对不对？应该怎样改正？（1）5552b b b ⋅= 解： 不对，原式=10b（2）33b b b ⋅= 解： 不对，原式=4b（3）527()x y xy ⋅= 解： 不对，原式=25y x自我测试一、选择题1. 下列说法中正确的是（D ）.A. 幂的乘法法则是底数不变，指数相加B. 同底数幂相乘，指数相加C. 同底数幂相乘，底数不变，指数相乘D. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加2. 下列各式与31m a +相等的是（C ）.A. 31()m a +B.13()m a +C.3()m a a ⋅D.3m a a a ⋅⋅3．下列各项中不是二次三项式的是（D ）A.223x x ++B.23724x x ++ C.2354x x +- D. 25456x x -+ 4.下列计算中，正确的是（ D ）A. 336a a a +=B. 339a a a +=C. 3333a a a +=D. 3332a a a +=二、填空题5.去括号 ()x a b c --+=x a b c -+-.6.去括号 (2)(34)a b x y -+--=234a b x y ---+.7.22(32)x y xy -+（2232x y xy -+）=0 .三、解答题8.如果212(9)3n =，求 n 的值.解：123])3[()9(4222===n n n3=∴n119.将下列各式化成()n a b +或()n a b -的形式：232()()()()()a b a b a b b a a b -+--+解：原式=36()()a b a b -+-10.证明：233223(876)(541)(323)x x x x x x x x x --++++----+-的值与x 无关.解：化简原式=10∴多项式233223(876)(541)(323)x x x x x x x x x --++++----+-的值与x 无关.11.如果“三角”表示3(2x +5y +4z )， “方框” 表示－4［(3a +b )－（c －d ）］.求 的值.解：由已知得：＝－4[3(1－x 2) + (x +1)－(2x 2－x )+3]＝20x 2－8x －28，－ -1 x 2 2x zx y -1 x 2 2x12 ＝3（2x 2+10x －4）＝ 6x 2+30 x －12，－ -1 x 22x ＝14x 2－38x －16.。
初一数学(秋季)讲义第十三讲：整式的概念
初一数学（秋季）讲义第十三讲：整式的概念一、单项式1、概念：如22xy -，13mn ，-1，它们都是 与 的积，这样的式子叫单项式。
要点诠释：①单独的一个数或一个字母也是单项式，如-2、-a ，b 等；②单项式中不能含有 运算，但可以含有 运算，如22xy -+2，1+a ，a+b 都不是单项式； ③分母不能有字母，如5m ，2m 3+就不是单项式．2st 可以写成12st ，仍是单项式2、单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数．要点诠释：①单独一个字母也有系数，如a 的系数为1，-b 的系数为-1；②系数要写在字母前面，单项式的系数是带分数时，通常写成 ，如：2114x y 写成254x y ．3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的 叫做这个单项式的次数． 要点诠释：①没有写指数的字母，实际上其指数是 ，如a ，4abc ，-3a ²b ，计算时不能将其遗漏， ②不能将数字的指数一同计算，如2³bc二、多项式1、概念：几个 的和叫做多项式．2、多项式的项：每个单项式叫做多项式的 ，不含字母的项叫做 ，如2a-3中的-3要点诠释：多项式的每一项包括它前面的 ，如-3ab-5b ²-3的各项为3、 多项式的次数：多项式里次数 的次数，叫做这个多项式的次数， 如-3ab+6b ²-4ac² 的次数为要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的 ． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．4、整式： 与 统称为整式．要点诠释：分母中含有字母的式子一定不是整式．1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？22x y +，x -，3a b +，10，61xy +，1x ，217m n ，225x x --，22x x +，7a2. 下列代数式：322332111;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x +--++π①②③④⑤⑥，其中是单项式的是______________，是多项式的是_______________．类型二、单项式1．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．234a b -， a -， 442x ， a mn ， 223a y π， a-3， 5-3， 82-310tm ⨯， 2x y2. 下列结论正确的是( )．A ．没有加减运算的代数式叫做单项式．B ．单项式237xy 的系数是3，次数是2．C ．单项式m 既没有系数，也没有次数．D ．单项式2xy z -的系数是-1，次数是4．类型三、多项式1.多项式24242153x y x y x-+-+，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?2. 已知多项式32312246753mxxy x y y x y---+--．(1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．3. 多项式()34ba x x x b--+-是关于x的二次三项式，求a与b的差的相反数．类型四、整式的应用1 . 用整式填空：(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：________2. 如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子（）A ．4 n 枚B ．(4n-4)枚C ．(4n+4)枚D ．n ²枚一.选择题1．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）A 、2)(y x -B 、22y x -C 、y x -2D 、2y x - 2．对单项式－ab 3c ，下列说法中正确的是( )．A ．系数是0，次数是3B ．系数是－1，次数是5C ．系数是－1，次数是4D ．系数是－1，次数是－53．下列说法正确的是( )A ．x 的指数是0B ．x 的系数是0C ．－10是一次单项式D ．－10是单项式4．下列代数式中，不是整式的是（ ） A 、23x - B 、745b a - C 、x a 523+ D 、－2005 5．在代数式y y y n x y x 1),12(31,8)1(7,4322++++中，多项式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在下列代数式：21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y2，x 3+ x 2－3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D.5个7．多项式－3x 2＋6x 3＋1－x 按字母x 的降幂排列的是( )．A ．1－x －3x 2＋6x 3B ．6x 3－x －3x 2＋1 C ．6x 3－3x 2－x ＋1 D ．6x 3＋3x 2＋x －1 8.下列多项式中，是二次多项式的是（ ）A 、132+xB 、23xC 、3xy －1D 、253-x 9．对于多项式x 2－2x ＋18，下列说法正确的是( )．A ．它是三次三项式B ．它的常数项是18C ．它的一次项系数是2D ．它的二次项系数是2 10．多项式－23m 2－n 2是（ ）A ．二次二项式B ．三次二项式C ．四次二项式D 五次二项式三、填空题11．当a ＝－1时，34a ＝ ；当x ＝－3时，多项式－x 3＋x 2－1的值等于____________12．b 的311倍的相反数是 ；5除以a 的商加上323的和为 m 与n 的平方和为 ；x 与y 的和的倒数为13．设某数为x ，10减去某数的2倍的差是14．当x ＝2，y ＝－1时，代数式||||x xy -的值是15．单项式7532c ab 的系数是_____，次数是____ ；3234y x -的系数是 ，次数是 16.单项式21xy 2z 是_____次单项式；220053xy 是 次单项式17．x+2xy +y 是 次多项式18.多项式：y y x xy x +-+3223534是 次 项式19.y x 342-的一次项系数是 ，常数项是 20.多项式a 2－21ab 2－b 2有_____项，其中－21ab 2的次数是 . 21．多项式x 3y 2－2xy 2－43xy －9是___次___项式，其中最高次项的系数是 ， 二次项是 ，常数项是 ．22．多项式－6x 2＋8y ＋2的次数是__________，是__________次__________项式．23．多项式x 2y ＋xy －xy 2－53中的三次项是____________． 24.整式①21，②3x －y 2,③23x 2y ,④a ,⑤πx +21y ,⑥522a π,⑦x +1中， 单项式有 ，多项式有1．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。
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2018年七年级秋季培优讲义——整式专题（一）【知识解读】整式加减：1. 代数式的概念代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2. 代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3. 整式的加减（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.（3）单项式和多项式统称为整式.（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等. 整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：1. 理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）2. 掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）.3. 熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.整式加减的一般步骤1. 根据去括号法则去括号.2. 合并同类项.【例题精讲】【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn .（2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc .【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中12x =-，y ＝2.（2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值. 【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值.【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.【练1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式323222(42)a b a b ---的值.【例5】已知2234A x xy cy =-+，23B ax xy =-，222C x bxy y =-+，且23A B C x xy --=-+ 2y -，求a 、b 、c .【例6】（1）当x ＝2时，代数式31ax bx -+的值等于－17，那么当x ＝－1时，求代数式31235ax bx --的值.（2）已知代数式3ax bx c ++，当x ＝0时的值为2，当x ＝3时的值为1，求当x ＝－3时代数式的值.（3）已知21x x +=，求432222012x x x x +--+的值.【练2】如果210a a +-=，求3222a a ++的值.【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电. 2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=（元）.（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费 元，5月用电量为210度，则应付费元，6月份电量为450度，则应付费 元；（2）若小华家7月份的用电量为x 度，请用x 表示应付的电费；（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量；（4）若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档.【例8】观察下面有规律的三行单项式：x ， 22x ， 34x ， 48x ， 516x ，632x ，……① 2x -， 24x ，38x -， 416x ， 532x -， 664x ，……② 22x ， 33x -， 45x ， 59x -， 617x ，733x -，……③ （1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为 ；（2）第二行第n 个单项式为 ；（3）第三行第8个单项式为 ；第n 个单项式为 ；【例9】已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式，求1197531a a a a a a +++++的值.【练3】已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式，求24a a +的值.【例10】（1）已知x ，y 为整数，且5|(9)x y +，求证：5|(87)x y +.（2）已知x 、y 、z 均为整数，且11|(725)x y z +-，求证：11|(3712)x y z -+.【跟踪练习】1. 单项式3243x y z -的系数是 ，次数是 .2. 已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式，单项式253n m x y -与该多项式次数相同，则mn ＝ .3. 4243527x x y xy ---是 次 项式，最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 .4. 多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式，则m ＝ ，n ＝ .5. 已知133m x y +与42n mx y +-是同类项，则m ＝ ，n ＝ ，13423m n x y mx y ++-= .6. 如果2(1)|2|0a b +++=，则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为 .7. 已知两个多项式的和是2521x x -+，其中一个多项式是2235x x --，则另一个多项式是 .8. 电影院里第一排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有 .9. 某城市广场中央，有一如图阴影部分所示的花坛，其中四个长方形的长和宽都分别是a米和b 米，重叠部分都是边长2米的正方形，圆的半径是r 米，则这个花坛的占地面积为 .10.（1）化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；（2）化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；（3）已知多项式22911A x x =--，2354B x x =++，求(2)A B --.11.（1）2323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--，其中a ＝－2；（2）若2|1||2|1a ab c -+-=-，且a 、b 、c 都为正整数，求65()2ab ab a b c ++--的值.12. 已知m 、n 为正整数，单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式，①试求m 、n 的值；②当x ＝－1，y ＝1时，求此单项式的值.13. 已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项，求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值. 14. 已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1，且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项，求m 的值.15.（1）多项式531ax bx ++，当x ＝2时，其值为－5，则x ＝－2时，该多项式的值为多少？（2）若241550x x +-=，求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.（3）若331x x -=，求432912372003x x x x +--+的值.（4）已知x ＝2时，多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3，则当x ＝－2时，求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16. 武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤，夹克每件售价80元，T 恤每件售价50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款，现客户要向服装厂购买夹克50件，T 恤x 件（x ＞50）.（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x 的式子表示）；（2）若x ＝100，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？（3）若两种优惠方案可同时使用，当x ＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由.17. 观察下面的三个数列：①－1， ＋2， －3， ＋4， －5， ＋6，……②－3， 0， －5， ＋2， －7， ＋4，……③－2， ＋4， －6， ＋8， －10， ＋12，……（1）这三个数列的第n 个数分别是 ；（2）在第一行中是否存在连续的三个数，使得和为－40？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由；（3）是否存在这样的一列，使其中三个数的和为78？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由.18.（1）已知a 、b 为整数，且10n a b =+，如果17|(5)a b -，请你证明：17|n .（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数，证明：这个三位数也是11的倍数.。