重叠问题(包含与排除)
重叠问题
重叠问题解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数应从它们的总和中去掉（排除）重复部分。
这类问题的解答，必须从条件入手进行认真分析，有时还要画出图示，借助图形进行分析思考，找出重复部分，看一看重复几次，明确求的哪一部分，从而找出解决问题的方法。
例1一个玩具店的货架上摆了一排小熊玩具，有一只黄色的小狗摆在其中。
从前往后数，小狗是第7个，从后往前数小狗是第9个。
问：这个货架上共摆了多少只玩具？练习1某饭店门口摆了一排花篮，其中有一篮鲜花，从前往后数，这篮鲜花排在第4个，从后往前数，这篮鲜花排在第7个。
这一排共有多少篮花？练习2在一个体育用品店的货架上摆了许多个球，其中有一个篮球，从前往后数排第5个，从后往前数排在第9个，其余的为足球。
问：这个货架上共摆了多少个足球？例2同学门排队做操，一行站14个人，从前往后数，小丽排在第6个，小敏排在队后面，但不是最后，小丽与小敏中间隔了3个人。
小敏后面有几个人？练习116名同学在操场上站成一排做“传球”游戏，从左往右数，小生是第8个，小明在小生右边，两人之间相隔4人。
小明右边有几人？练习2红领巾小队的12名同学，星期天排成一队上街搞宣传，从后往前，小玲排在第3个，小云在小玲前面，两人中间相隔5人。
小云前面有几人？例3同学们进行队列比赛，每行人数同样多，小军的位置从左起是第2个，从右起是第4个，从前往后数是第7个，从后往前数是第6个。
问：参加队列比赛共有多少个同学？练习1小岚在学校合唱队里唱歌，合唱队每排人数相等。
她站的位置从前往后数在第3个，从后往前数在第6个，从左往右数在第8个，从右往左数在第7个。
学校合唱队共有多少人？练习 2 小菲在学校运动会的腰鼓队里，腰鼓队的每行人数都相等，小菲所在的位置，无论从前往后或是从后往前，还是从左往右或是从右往左都是第7位。
问这个腰鼓队共有多少名同学？例4 两块一样长的木版钉在一起共长200厘米，中间重叠部分是10厘米。
第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
重叠问题
四年级奥数重叠问题姓名___________ 成绩___________
包含与排除原理：N=A+B－AB(AB表示重叠部分面积)
1、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第7个，从右数是第10个，这一行座位有多少个？
2、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，鲜花队一共有多少个小朋友？
3、三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。
已知参加音乐组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人。
三（5）班共有学生多少人
4、三（1）班订《数学报》的有32人，订《语文报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三（1）班有学生多少人？
5、三（1）班有学生55人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已知参加跳绳的有36人，参加踢毽子的有38人。
两项都参加的有几人？
6、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，两种都不会的有10名同学。
两种都会下的有多少名同学？
7、学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。
两项都会的有多少名？
8、红星小学举行故事比赛，三、四年级参加的有26人，在参加比赛的学生中有24人不是三年级的，有22人不是四年级的。
其他年级参加比赛的有多少人？
9、在100个学生中，爱好音乐的56人，爱好美术的75人，那么既爱好音乐，又爱好美术的最少是多少人？最多多少人？。
四年级第十一讲包含与排除及答案(附例题答案)
101中学坑班2013年春季四年级第十一讲包含与排除及答案一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。
在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。
名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。
记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。
（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。
二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？解析：37+26-21=42人例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。
两科都得“优”的有几人？解析：15 + 17—24 = 8（人）或者15-（24-17）=8或者17-（24-15）=8例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。
这个班共有学生多少人？解析：24+18-11=31人 31+5=36人例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 解析：11+8+12-5-4-3+1=20人例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。
三年级奥数举一反三专题 第19讲 重叠问题
第19讲重叠问题一、知识要点三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品,当中队长玲玲将28份纪念品发下去时,却多出5份,这是怎么回事？对了,因为有5位同学既参加了绘画比赛,又参加了朗读比赛,所以奖品就多出了5份。
数学中,我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题,必须从条件入手进行认真的分析,有时还要画出图示,借助图形进行思考,找出哪些是重复的,重复了几次？明确求的是哪一部分,从而找出解答方法。
二、精讲精练【例题1】六一儿童节,学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起,红旗是第8面；从后数起,红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？练习1：1、小朋友排队做操,小明从前数起排在第4个,从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出,冬冬的座位从左数起是第12个,从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？【例题2】同学们排队做操,每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个,从右数起是第3个,从前数起是第5个,从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？练习2：1、同学们排队跳舞,每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数,从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？2、为庆祝“六一”,同学们排成每行人数相同的鲜花队,小华的位置从左数第2个,从右数第4个；从前数第3个,从后数第5个。
鲜花队共多少人？【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米,中间重叠部分是16厘米,这两块木板各长多少厘米？练习3：1、把两段一样长的纸条粘合在一起,形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米,中间重叠部分是6厘米,原来两段纸条各长多少厘米？2、把两块一样长的木板钉在一起,钉成一块长35厘米的木板。
重叠问题(容斥原理,包含与排除)
包含与排除例题1，(1)五年级一班参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，两项活动都参加的有13人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班有多少人？(2)三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？1，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？2,某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。
第一小组共有多少人？例题2，(1)五年级一班有42人，参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班两项活动都参加的有多少人？(2)一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？(3)3,某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？3，学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？例题3，(1)四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？(2)全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
第十三讲 重叠(容斥)问题
第十三讲：重叠（容斥）问题重叠（容斥）问题涉及一个重要原理-包含与排除。
当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们得和中排除重复的部分重叠（容斥）原理就是对一些事物进行分类，如果采用两种不同的分类标准，a和b，那么具有性质a或者是性质b的事物有N1+N2-N12例1、同学们做操，每行，每列人数都相同，小明从左边数是第4个，从右边数是第3个，从前变数是第5个，从后边数是第6个，做操的同学共有多少人？练1同学们为参加六一节目，每行每列人数都相同，小红从前后左右数都是第5个，那么共有多少学生参加六一舞蹈节目？练2、四一班学生参加学校运动会，小李的位置是从前数是第5个，从后数是第6个，从左右数都是第3个，四一班有多少同学参加运动会？练3、把2块同样长的木板钉成一个木板，已知钉成后共长35厘米，中间重叠部分是11厘米，那么原来木板多长？例2、两道数学题，全班有36人做对第一道，有18人做对第2道，每人至少做对一道题，两道题都做对的有多少人？练1、四一班有学生55人，每人至少参加跳绳和跳远两个项目中的一个，已知参加跳远的36人，参加跳绳的有38人，两项都参加的有多少人？练2、两块相同的木板各长75厘米，如下图钉成一个长130厘米的木板，那么中间重合的有多长？例3、四年级一班订阅《数学报》的有34人，订阅《阅读报》的有28人，已知两种报纸都订阅的有10人，那么四一班共有多少人？练1、四一班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都做完的有31人，每人至少完成一种作业，那么四一班共有多少人？练2、四一班学生去夏令营，带矿泉水的有32人，带水果的有30人，两种都带的有10人，要求每人最少带一种，那么四一班共有多少学生？例4、四一班共有学生50人，参加学校绘画比赛的有20人，即参加绘画比赛，又参加摄影比赛的有12人，已知每人必须参加一项比赛，那么参加摄影比赛的有多少人？练1、四一班共有学生43人上美术课，带蜡笔的有25人，带蜡笔和水彩笔的有12人，已知每人至少带一种笔，问带水彩笔的有多少人？？练2、四一班46人在一次数学测验中，做对第一道思考题的有26人，做对前两道思考题的有4人，已知每人至少做对一道思考题，那么做对第二道思考题的有多少人？例5、某班有学生56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科都没有参加的有25人，那么两科都参加的有多少人？练1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，那么两种语言都会的有多少人？练2、一个俱乐部共有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种象棋都不会的有21人，那么两种象棋都会的有几人？例6、某班有学生56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科都参加的有25人，那么两科都没有参加的有多少人？练1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都会的有4人，那么两种语言都不会的有多少人？练2、一个俱乐部共有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种象棋都会的有21人，那么两种象棋都不会的有几人？例7、四一班有学生50人，参加跳远比赛的有20人，既参加跳远又参加跳高比赛的有12人，两项活动都不参加的有10人，那么参加跳高有几人？练1、四一班46人参加数学测验，做对第一道题的有29人，两道题都做对和都做错的人数相等都是5人，那么做对第二道思考题的有多少人？练2、把练1中的问题改成只做对第二道思考题的有多少人？例8、实验小学举办书法展，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五年级和六年级书法作品共有10幅，其他年级作品共有多少幅？24=其他年级+六年级22=其他年级+五年级练1、科技节那天，学校展出学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一二年级参展作品共有32件，那么其他年级共有多少件作品展出？练2、六一那天，学校展出同学的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三四年级共有4幅画展出，那么其他年级共有多少画展出？实验小学举办书画展，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五六年级书画作品共有20幅，一二年级参展作品比三四年级参展作品少4幅，那么一二年级参展作品共有多少幅？。
三年级奥数第18讲——重叠问题
举一反三5：
1.三2班有学生46人，做对第一道思考题的学生有 29人，两道思考题都做对的有5人，两道思考题都 做错的有5人。做对第二道思考题的有几人？
举一反三5：
2.三2班有学生46人，在一次检测中，做对第一道 思考题的学生有29人，做对第二道思考题的有17人， 两道思考题都做错的学生有5人，两道题都做对的 有几人？
举一反三4：
2.两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板， 中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长 多少厘米？
举一反三4：
3.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78 人，带水果的有77人，每人至少带一种。三年级既 带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
王牌例题5：
三一班有学生50人，参加学校绘画比赛的有20人，即参加 绘画比赛又参加摄影比赛的学生有12人，两项比赛都没参 加的学生有10人。参加摄影比赛的学生有多少人？
王牌例题2：
把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。 如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘 米，这两块木板各长多少厘米？
举一反三2：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长 的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分 是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
举一反三2：
举一反三6：
2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第 12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？
举一反三6：
3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起 起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？
拓展内容——基础应用题：
1.嘉甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排.已知丙在戊右边 2米处,丁在甲右边3米处丙在丁右边6米处,戊在乙左边3米处. 请问:最左边和最右边的同学相距多少米?
三年级奥数《重叠问题》
重叠问题【知识要点】：解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路导航】根据题意画出下图。
从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。
【课堂反馈1】1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路导航】根据题意画出下图。
由图可看出：小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人；从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。
所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。
【课堂反馈2】1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。
鲜花队共多少人？【例3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是____ _厘米，所以这两块木板的总长度是[ ]＋[ ]＝[ ]厘米，每块木板的长度是[ ]÷[ ]＝[ ]厘米。
三年级奥数：加减速算,平均数问题,重叠问题(包含与排除问题)
三年级奥数：加减速算，平均数问题，重叠问题(包含与排除问题)计算是小学阶段教学的基本内容。
算得对、算得快、算得巧是学号数学的基础，而同学们在计算时算错的情况屡见不鲜。
怎样才能有效解决这个长期困扰大家的问题呢？这就需要我们在打牢基本功的同时，掌握一些必要的计算方法和技巧，比如“凑整”。
凑整是中低年级的常考内容。
凑整时，可以时加法运算，也可以是减法运算，还可以是加减混合运算，包括“找朋友”，“找基准数”“交换位置”“添去括号”等方法。
凑整时必须注意符号的变化。
下面我们来看下具体的例子。
例1在加法计算中，首先找算式中个位数字之和为10 的两位数，讲这样的两个数放在一起凑成整十、整百、整千等，就可以简便计算。
在加法计算中，交换加数的位置及运算顺序不影响计算结果。
例2在减法计算时，把个位相同即“尾巴相同”的数放在一起相减叫做”减尾巴凑整“；有括号时需要先去括号，如果括号前面是减号，去掉括号时要注意变换符号。
例3把一些接近”整十，整百，整千……“的数看成”整十、整百、整千……“的数相加时，一定记得要把多加的减去，少加的加上；看成”整十、整百、整千……“的数时，可以是相同的或不同的数。
例4加减法混合计算时，尤其是加数与减数一大一小，一前一后有规律地出现时，通常可以使用分组的方法。
例5下面我们来给大家一些练习题如下，大家可以试试看哦。
试着自己算一算，再对照一下下面的参考答案哦，注意要细心！参考答案：1、1900；2、4456；3、10600；4、6800；5、3400；6、11985；7、2000；8、54316；9、994一般而言，我们用几个数的和除以这几个数的个数所得的商，就叫做这几个数的平均数。
平均数问题在我们的日常生活中有着广泛的应用，例如求平均速度，平均身高、平均分、平均体重、平均价格等等。
求平均数，要知道两个条件，即被平均分的事物的总数量和平均分的总份数。
他们之间的数量关系式是：（1）平均数=总数量÷总分数；（2）总数量=平均数×总份数；（3）总份数=总数量÷平均数。
三年级上册数学讲义-第14讲 重叠问题全国通用
第十四讲重叠问题【知识要点】重叠问题是数学思维训练中经常会遇到的问题，解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题时会借助集合圈来帮助分析数量之间的关系，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
其基本方法一般有两种：1．求有重叠情况的两部分的和，可用原来两部分的和，减去重叠部分；2．求有重叠情况的两部分的和，还可以用分块计算的方法，即先分别算出互不重叠的各个部分，再把它们相加。
例题1、在一次期终考试中，某年级有24人英语得100分，有31人数学得100分，其中有10人英语、数学都得100分，这个年级英语或数学得100分的共有多少人?练习1、将两张面积都是30平方厘米的纸片叠放在桌面上，两张纸片在桌面上的覆盖面积是48平方厘米，两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米?例题2、某班有26人参加体育比赛，其中参加跑步的有12人，参加跳绳的有18人，既参加跑步又参加跳绳的有多少人?练习2、一个歌舞表演团中，能表演独唱的有12人，能表演跳舞的有25人，两种都能表演的有3人。
这个表演队共有多少人能登台表演歌舞?例题3、四(1)班共有学生32人，其中有21人参加美术兴趣小组，有13人参加朗诵兴趣小组，有10人既参加美术兴趣小组又参加朗诵兴趣小组．这个班中没有参加兴趣小组的有多少人?练习3、一次春游中，某班34名同学去公园游玩，有25人划船，19人爬山，4名同学因身体不好既没划船又没爬山，既划船又爬山的有多少人?例题4、在一次测试中，某班有12人语文得满分，15人数学得满分，两门都得满分的有6人，两门都没得满分的有14人。
这个班共有多少人?练习4、在一次学校组织的竞赛中，三（1）班40名同学中，有18人参加数学竞赛，有22人参加作文竞赛，已知全班有5人既参加数学竞赛又参加作文竞赛，两种竞赛都没参加的有多少人?例题5、学校组织象棋和围棋棋比赛，共有48人参加比赛。
包含与排除
第六单元包含与排除第一课时基础篇【知识要点】1、概念；包含与排除问题也叫重叠问题。
它是集合方面的知识2、容斥原理（1）总量=A+B-AB（2）总量A+B+C-AB-BC-CA+ABC【准备知识】1、六（5）班同学中，有36人参加兴趣小组，有42人参加语文兴趣小组，有26人两样都参加。
六（5）班有多少人？2、六（6）班有56人，其中36人参加数学组，42人参加语文组，两样都参加的有多少人？例1、1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数有多少？想：（1）7的倍数；500÷7=71……3 即=71（个）9的倍数；500÷9=55（个）7，9的倍数500÷（7×9）=7（个）即77+55-7=119（个）（2）不是7，9的倍数；500-119=381（个）练：1.在1到200的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?2.在1～1000的自然数中,不能被5或7整除的数共有多少个?3.在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?例2.李老师出了两道数学题,全班40人中,第一题有30人做对,第二题有12人末做对,两题都做对的的20人.问第二道题对第一题不对的有几个人?两题都不对的有几个人?想；（1）画图（2）A表示对1错2， B表示错1对2，C表示1，2都对， D表示1，2都错（3）列式；A+B+C+D=40 A+C=30A+D=12 D=20（4）类比法；比较（2）与（4）（3）与（5）A=10，D=2 即B=8整理；答对2错1的8人，两题都有错的有2人练；1.有40名运动员,其中有25人会摔跤,有20人会击剑,有10人击剑、摔跤都不会,问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人?2.100个人参加测试,要求回答五道题,并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格.测试结果是:答对第一题的有81人,答对第二题的有91人,答对第三题的有85人,答对第四题的有79人,答对第五题的有74人,那么至少有多少人及格?3.在100名学生中,爱好音乐的有56人,爱好体育的有75人.那么既爱好音乐又爱好体育的人,最少有多少人?最多有多少人?作业；1.某班有36个同学,在一次测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.那么两题都不对的有多少人?2.五一班期末考试语文得“优”的有15人,数学得“优”的有18人,两门功课都得“优”的有8人,两门功课都没得“优”的有20人,这个班共有多少人参加期末考试?3.六年级90名学生,每人至少订《少年报》和《小学生学习报》不的一种.有2/3的人订了《少年报》,有1/2的人订了《小学生学习报》.两种报刊都订的有多少人?第二课时较复杂的容斥问题【准备知识】将A，B，C，（AB），（AC），（BC），（ABC）标在图中，说给同座位同学听。
三年级下册数学奥数试题-重复问题—— 包含和排除(无答案)全国通用
重复问题——包含和排除一．课前热身应用题过关训练1.妈妈今年32岁，小芳今年8岁，10年后，小芳比妈妈小多少岁？2.小明今年2岁，妈妈26岁，那么，多少年后妈妈的年龄是小明的3倍？3、某工厂将875元奖金奖给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？4、在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的数增加了1980，这个数是多少？二、教学内容知识点：包含和排除的特征一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见下图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于A＋ B- C。
因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在A＋B中减去A和B互相包含的部分C。
这种方法称为包含排除法。
典型例题例1把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？解：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38＋ 53- 4＝ 87(厘米)。
例2 某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29 人，有12人两个小组都参加。
这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？分析与解：如上左图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。
图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12＝16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12＝17(人)(见上右图)。
由此得到参加语文或数学兴趣小组的有16＋ 12＋ 17＝ 45(人)。
根据包含排除法，直接可得28＋ 29- 12＝ 45(人)。
自我评价：1、下面是学校围棋队和田径队的学生名单。
(1)请根据校围棋队和田径队的学生名单，把下图填写完整。
(2)校围棋队和田径队共有多少人？2、三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。
第20讲重叠问题含解题思路和参考答案
第20讲重叠问题仁解题思路与参考答案）一、解题方法1 .解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2 .解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出 图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一 部分，从而找出解答方法。
3 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关 系，这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米， 如图，这两块木板各长多少厘米?解题思路: 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 = 180 （厘米），每块木板的长度是180-2 =90 （厘米） 答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1.把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根 绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？4 .两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长 22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5 . 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接 起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？ 解题过程:解：（160+20）-2= 180-2 =90 （厘米）例题2.三（2）班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5 个，巩固练习1.同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是 第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。
表演的同学共有 多少人？2 .小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，“国"字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个 字？3 .同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从 后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有 29巩固练习1.三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参 加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
容斥原理之重叠问题(一)
7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B = (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．1．先包含——A B+重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B+- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C -- 计算时都被减掉了．3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+ ．例题精讲两量重叠问题【例1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
24.重叠问题
重叠问题姓名教学要求：1要求学生明确节假重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理2、要求学生在解答这类问题时，必须从条件入手，认真进行分析，找出重复部分，明确要求的是那一部分，从而找出解答方法教学过程：题1、同学们排队做操，每行人数同样多，小明的位置从左数起是第4个，从右数是第3个，从前数是第5个，从后数地6个。
做操的同学共有多少个？1-1.同学们排成每行人数相同的队伍跳舞，小红的位置从左数是第2个，从右数是第4个；从前数是第3个，从后数是第5个。
跳舞的同学一共有多少人？1-2.三（1）班排成每行人数相同的队伍参加校运会，小华的位置从前数是第5个，从后数是第4个；从左数、从右数都是第3个。
三（1）班一共有多少人？1-3.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多，小红的位置无论从前数，从后数，从左数还是从右数都是第4个。
跳舞的同学共有多少人？题2.有两根小棒，第一根长15厘米，第二根长20厘米。
把两根小棒连接在一起，共长28厘米。
问重叠了多少厘米？2-1. 把两根小竹竿接在一起，第一根竹竿长12分米，第二根竹竿长15分米，中间重叠部分长2分米。
求接成后竹竿的长度。
2-2. 把两根木棒放一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棒长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
问另一根木棒长多少厘米？2-3.把两块一样的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？题3.三（1）班共有48人，每人都订了下面报的一种或两种。
订阅《小学生数学报》的有38人，缔约《小学生语文报》的有40人，那么两种报纸全订的有多少人？3-1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？题4.三（2）班共有50人。
下午放学时，班主任王老师问：“谁做完了语文作业？”这时有45人举手。
最后问：“谁的语文作业和数学作业都没做完？”这时有3人举手。
2.第二讲 重叠问题(2)
第二讲重叠问题（2）解重叠问题要用到数学的一个原理：包含与排除原理，当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，从它们的和中排除重复部分。
下面这种图，叫做集合图，也叫韦恩图＊。
有A、B、C三部分的数量，其中C为A、B的重复部分，那么图中的总数量就等于A+B-C。
（＊John Venn约翰·韦恩是十九世纪英国的哲学家和数学家，他在 1881年发明了文氏图，也叫韦恩图）[基础篇：两量重叠问题]【例1】四（2）班的同学，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有15人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（★）如图所示，左边的椭圆表示参加语文兴趣小组的人，右边的椭圆表示参加数学兴趣小组的人，它们重合的部分表示同时参加两个小组的15人。
左边椭圆中不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-15=13(人)；右边椭圆中不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-15=14(人) 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：13+15+14=42(人)方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28+29-15=42(人)方法三：根据参加语文或数学兴趣小组的人=只参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人，即：28-15+29=42(人)方法四：根据参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+只参加数学兴趣小组的人，即：28+（29-15）=42(人)答：这个班有42人参加了语文或数学兴趣小组。
【拓1】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和法语的一种语言。
已知有120人懂英语，80人懂法语，两种语言都懂的有30人，这个地区有多少名外语老师？思维导航阶梯训练【例2】四（1）班42名同学在一次语文和数学测验中，每人至少有一门得优，语文得优的有20人，数学得优的有32人。
第13讲 重叠问题
第13讲重叠问题在很多计数问题中，常常要把所要计数的对象分为若干个不重复又不遗漏的类型，使得每类便于计数。
但是实际的问题却往往较为复杂，而且容易混为一团，难以区分，而要准确无误的计算事物的个数就得运用容斥原理，这类问题往往被称为重叠问题，也叫包含于排除问题。
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看做一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典型例题】【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？【练习】1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？3、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？4、三年级有200名学生全部都参加了小组活动。
报名参加体育小组的有180人，参加文娱小组的有160人。
问体育和文娱两个小组都参加的有多少人？【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。
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重叠问题（包含与排除）
1、同学们去采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集
花草标本的有28人，两种标本都采集的有16会采
集标本的共有多少人？
2、某校36个同学在一次数学竞赛中，答对第一题的有25人，答对第二题的有20人。
两题都对的有15人。
问有几个同学两题都不对？
3、一个班有学生55人，参加体育队的有32人，参加文艺队的有27人，每人至少参加一个队。
问这个班两个队都参加的有多少人？
、
4、某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。
这个班有学生有多少人？
5、某班共有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人打乒乓球。
问四项活动的人数至少有多少人？
6、有三个面积都是60平方厘米的圆，两两相交的面积分别为9、13、15平方厘米。
三个圆相交部分孤面积为5平方厘米。
总体图形盖住的面积是多少平方厘米？
7、在26名同学中，会打乒乓球的有13人，会打网球的有12人，会打羽毛球的有9人，既会打乒乓球，又会打羽毛球的有2人，既会打羽毛球，又会打网球的有3人。
但没有人这三种球都会打，也没有人这三种球都不会打。
有多少既会打乒乓球，又会打网球？
8、在1至1000的自然数中，既不能被7整除，又不能被13整除的数有多少个？。