高中数学6.1平面向量的概念人教A版必修第二册

→ 记作_|_A_B__| _． (2)零向量：长度为___0___的向量，记作 0. (3)单位向量：长度等于___1_个__单__位__长__度______的向量．
3．两个向量间的关系
(1) 平 行 向 量 ： 方 向 _相___同__ 或 _相__反___ 的 非 零 向 量 ， 也 叫 做 __共__线__向__量____．若 a，b 是平行向量，记作 a∥b. 规定：零向量与任意向量__平__行__，即对任意向量 a，都有_0_∥__a__． (2)相等向量：长度__相__等__且方向_相__同___的向量，若 a，b 是相等向
共线向量与相等向量 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且O→A＝a， O→B＝b，在每两点所确定的向量中．
(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？
【解】 (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有O→D，B→C，A→O， → FE. (2)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A， → AD.
A．一个点
B．一条直线
C．一个圆
D．不能确定
答案：C
如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形，则与E→D相等的 向量有________．
答案：A→B，D→C
向量的相关概念 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c. 其中所有正确命题的序号为________．
第六章 平面向量及其应用
6．1 平面向量的概念
第六章 平面向量及其应用
考点 平面向量 的相关概念 平面向量 的几何表示 相等向量 与共线向量
学习目标 了解平面向量的实际背景， 理解平面向量的相关概念 掌握向量的表示方法，理解 向量的模的概念 理解两个向量相等的含义以 及共线向量的概念
核心素养 数学抽象
(1)概念：既有__大__小__又有_方__向___的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：__起__点__、_方___向__、_长__度___．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以 A 为 →
起点、B 为终点的有向线段记作__A_B___．
④长度：线段 AB 的_长__度__也叫做有向线段A→B的长度，记作_|_A→_B_|_.
解：画出图形，如图所示． (1)易知 BC∥AD，BC＝AD， 所以与B→C相等的向量为A→D. (2)由 O 是正方形 ABCD 对角线的交点知 OB＝OD＝OA＝OC， 所以与O→B长度相等的向量为B→O，O→C，C→O，O→A，A→O，O→D，D→O. (3)与D→A共线的向量为A→D，B→C，C→B.
解：(1)由题意，作出向量A→B，B→C，C→D，D→A，如图所示．
(2)依题意知，三角形 ABC 为正三角形，所以 AC＝2 000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 2，所以△ACD 为等腰直角 三角形，即 AD＝1 000 2 km，∠CAD＝45°，所以 D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1 000 2 km.
1．[变条件、变问法]本例中若O→C＝c，其他条件不变，试分别 写出与 a，b，c 相等的向量．
解：与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B；与 b 相等的向量有D→C， E→O，F→A；与 c 相等的向量有F→O，E→D，A→B.
2．[变问法]本例条件不变，与A→D共线的向量有哪些？ 解：与A→D共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A， → OA.
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2．如图，四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形，在每两点 所确定的向量中：
(1)写出与B→C相等的向量； (2)写出与B→C共线的向量．
解：(1)因为四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形，所以 BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，所以B→C＝A→D＝D→E.故与B→C相 等的向量为A→D，D→E. (2)与B→C共线的向量共有 7 个，分别是A→D，D→E，D→A，E→D，A→E， E→A，C→B.
解析：选 D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A， B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度， 与方向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大 小．故 D 正确．
2．下列说法正确的是( ) A．向量A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 解析：选 C.向量A→B∥C→D包含A→B所在的直线与C→D所在的直线平 行和重合两种情况，故 A 错；相等向量不仅要求长度相等，还 要求方向相同，故 B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条 直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故 D 错．
1．已知向量A→B与向量B→C共线，下列关于向量A→C的说法中，正 确的为( ) A．向量A→C与向量A→B一定同向 B．向量A→C，向量A→B，向量B→C一定共线 C．向量A→C与向量B→C一定相等 D．以上说法都不正确 解析：选 B.根据共线向量的定义，可知A→B，B→C，A→C这三个向
量一定为共线向量，故选 B.
③若 a 与 b 方向相同且|a|＝|b|，则 a＝b；
④若 a≠b，则 a 与 b 方向相反且|a|≠|b|.
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选 B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，
a，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或
者长度不相等或者不同向且长度不相等．
3．已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，在以 O，A，B，C， D 这 5 点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写 出： (1)与B→C相等的向量； (2)与O→B长度相等的向量； (3)与D→A共线的向量．
(6) 两 个 向 量 平 行 时 ， 表 示 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 一 定 平
行．( × ) (7)零向量是最小的向量．( × )
已知向量 a 如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用M→N表示 C．起点是 M 答案：D
B．方向是由 M 指向 N D．终点是 M
已知点 O 固定，且|O→A|＝2，则 A 点构成的图形是( )
向量的表示 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为 1)，用直 尺和圆规画出下 2，点 A 在点 O 北偏东 45°方向上； (2)A→B，使|A→B|＝4，点 B 在点 A 正东方向上； (3)B→C，使|B→C|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°方向上． 【解】 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°方向上，所以在坐标 纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|O→A| ＝4 2，小方格的边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数 与纵向小方格数都为 4，于是点 A 的位置可以确定，画出向量 O→A，如图所示．
用有向线段表示向量的步骤
已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地，再从 B 地按南偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 C 地，再从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到 达 D 地． (1)作出向量A→B，B→C，C→D，D→A； (2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
1.如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的
中点，图中与A→E平行的向量的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.图中与A→E平行的向量为B→E，F→D，F→C共 3 个．
2．下列结论中正确的是( )
①若 a∥b 且|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 a＝b，则 a∥b 且|a|＝|b|；
【解析】 A→B＝D→C，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故 ①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相同， 故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同；b ＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 的方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相 同，故 a＝c，故③正确． 【答案】 ②③
数学抽象 数学抽象、
逻辑推理
问题导学 预习教材 P2－P4 的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？ 4．如何判断相等向量或共线向量？向量A→B与向量B→A是相等向 量吗？
1．向量的概念及表示
量，记作 a＝b. ■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．(× ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( × ) (3)向量的模是一个正实数．( × ) (4)向量就是有向线段．( × ) (5)向量A→B与向量B→A是相等向量．( × )
(2)由于点 B 在点 A 正东方向上，且|A→B|＝4，所以在坐标纸上 点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 的位置可以确定，画出向量A→B，如图所示． (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°方向上，且|B→C|＝6，依据勾股 定理可得，在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向 小方格数为 3 3≈5.2，于是点 C 的位置可以确定，画出向量B→C， 如图所示．