3.3 圆心角(第2课时) 教学精品课件 (浙教版九年级上册)
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《圆周角》课件3(浙教版九年级上)
(3)若OC = 2cm,则BD = __4 cm。
D
C
A O1 O
B
圆周角和圆心角的关系
C 能否转化为第1种情况? O
过点C作直径CD.由1可得A:
B
11
即∠ACB
212
∠ ∴ 12 A= 2
∠AOB.
C∠
DA
C
=D
1
+
C
O
A DB
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
C
∵∠AOB是△BCO的外角， ∴∠AOB=∠B+∠C.
Ｏ
对角互补
Ｂ
Ｃ
E
例题欣赏
变式3：如图,在⊙O⌒中，∠AOC=1200，∠ACB=250,
求∠BAC的度数。
变式2：如图, B是AC上的一点，∠AOC＝n°，求
∠ABC的度数 。
Ｄ
ＡＯ
Ｂ Ｃ
易错题:已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
C O
A
B
D
圆心角为60度 圆周角为 30 度
或 150 度。
小结:
本节课你学到了什么?
1、圆周角的概念
2、圆周角的定理。一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的两个推论：圆周角的度数 等于它所对弧度数的一半；半圆（或直径） 所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的 弦是直径。
4、圆内接四边形对角互补。
O
C
D
A B
变式：
2
1
C O
B
C
A
B
C
A
B
若OA//BC, ∠C= 25°, 则 ∠ADB=_______
D
C
A O1 O
B
圆周角和圆心角的关系
C 能否转化为第1种情况? O
过点C作直径CD.由1可得A:
B
11
即∠ACB
212
∠ ∴ 12 A= 2
∠AOB.
C∠
DA
C
=D
1
+
C
O
A DB
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
C
∵∠AOB是△BCO的外角， ∴∠AOB=∠B+∠C.
Ｏ
对角互补
Ｂ
Ｃ
E
例题欣赏
变式3：如图,在⊙O⌒中，∠AOC=1200，∠ACB=250,
求∠BAC的度数。
变式2：如图, B是AC上的一点，∠AOC＝n°，求
∠ABC的度数 。
Ｄ
ＡＯ
Ｂ Ｃ
易错题:已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
C O
A
B
D
圆心角为60度 圆周角为 30 度
或 150 度。
小结:
本节课你学到了什么?
1、圆周角的概念
2、圆周角的定理。一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的两个推论：圆周角的度数 等于它所对弧度数的一半；半圆（或直径） 所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的 弦是直径。
4、圆内接四边形对角互补。
O
C
D
A B
变式：
2
1
C O
B
C
A
B
C
A
B
若OA//BC, ∠C= 25°, 则 ∠ADB=_______
3.4 第2课时圆心角(2) 浙教版数学九年级上册课件
第2课时 圆心角(2)
学习目标 ➢ 经历探索圆心角定理的逆定理的过程，掌握“在同圆或
等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心 距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相 等”这一圆的性质；
➢ 会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定 理解决简单的几何问题.
复习回顾
圆心角定理
同理，△COD是等边三角形.
A
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形.
O
B PC D
例题讲解
证明：连结OD，OE. ∵OA=OD， ∴△AOD是等边三角形. ∴∠AOD=60°.
C
DE
· A
B
O
例题讲解
=180°-60°-60°=60°， (根据什么？)
C
DE
· A
B
O
随堂练习 1.下列说法中正确的是( C ) ①圆心角是顶点在圆心的角； ②两个圆心角相等，它们所对的弦相等； ③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等； ④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
相等. 如右图， ∠AOB=∠COD
AB=CD OE=OF
A
E
B
· O ·
D
F C
例题讲解
解：四边形BDCO是菱形.证明如下：
A
∵AB=BC=CA，
O
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
B
∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°.
PC D
例题讲解
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、 两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余量都 相等.
感谢观看！
学习目标 ➢ 经历探索圆心角定理的逆定理的过程，掌握“在同圆或
等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心 距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相 等”这一圆的性质；
➢ 会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定 理解决简单的几何问题.
复习回顾
圆心角定理
同理，△COD是等边三角形.
A
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形.
O
B PC D
例题讲解
证明：连结OD，OE. ∵OA=OD， ∴△AOD是等边三角形. ∴∠AOD=60°.
C
DE
· A
B
O
例题讲解
=180°-60°-60°=60°， (根据什么？)
C
DE
· A
B
O
随堂练习 1.下列说法中正确的是( C ) ①圆心角是顶点在圆心的角； ②两个圆心角相等，它们所对的弦相等； ③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等； ④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
相等. 如右图， ∠AOB=∠COD
AB=CD OE=OF
A
E
B
· O ·
D
F C
例题讲解
解：四边形BDCO是菱形.证明如下：
A
∵AB=BC=CA，
O
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
B
∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°.
PC D
例题讲解
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、 两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余量都 相等.
感谢观看！
新浙教版九年级上3.4圆心角(2)
圆的轴对称性 （圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的对称性
圆的中心对称性
（旋转不变性） 圆心角定理
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
那么
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的 关系定理
做一做
1、 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在
圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、
B和C、D。 求证：AB=CD
A P C
M
B
E
.
O D
N
F
变式练习：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
M B
E
C P
B
E
P
N
.
O
M
N
.
O
D
A F
D
FHale Waihona Puke 例2、已知：如图, △ABC为等边三角形，以AB为直径
EB 的圆O分别交AC,BC于点D,E. 求证： AD DE
解: 连结OD,OE
在等边三角形ABC中，∠A=60°
∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60° 同理∠BOE=60°
∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60° ∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE
EB AD DE
B
E
A 已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦， O D
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这 节课所学的定理及推论填空：
《圆心角》PPT课件 (公开课)2022年浙教版 (2)
解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴∠AOB＝∠AOC＝
∠BOC＝13×360°＝120°. (2)过点 O 作 OH⊥BC，垂足为 H，则∠HOC＝12∠
BOC＝60°，∠OCH＝30°.又∵HC＝12BC＝12r，OH＝12OC，根据勾股定理得
OH2＋HC2＝OC2，∴OC＝
√ (1)5x=0
x (2)y2=4+y
√ (3)3m+2=1-m
x (4)1+3x
3 4(5) x
x
⒉你能写出一个一元一次方程吗？
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投20次.小强投进10个
球，小杰比张明多投进2小个明，各三投人进平多均少每个人投进142个x 球1.问2 小 1杰4和 设第一次射击的成绩为x个， 可列方程为___3________
-6 则k= _____。
1.下列方程是一元一次方程的是(_2_)_，__(3_)_，__(_5_)
1123x;
x
22x10; 35x2x3;
9
42x23x10; 5x0; 60.3x4y1,
2. 若x 2 是关于2x3mn0 的方程的解，
则3m-n的值为
．
有的温度计有华氏、摄氏两种温标，华氏(℉)、摄氏(℃)
温标的转换公式是F=1.8C+32。请填下表：
13．(10 分)如图所示，⊙O 的两条弦 AB，CD 互相垂直且相交于点 P，OE⊥ AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，A︵C＝B︵D.求证：四边形 OEPF 是正方形．
证明：∵A︵C＝B︵D，∴A︵C＋B︵C＝B︵D＋C︵B，即A︵CB＝C︵BD，∴AB＝CD.又∵ OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，∴OE＝OF.∵AB⊥CD，∴∠EPF＝∠PFO ＝∠PEO＝90°，∴四边形 OEPF 是正方形．
浙教版九上 3.3圆心角(2) 课件
∠（_1_A）_O_如_B果_=_A∠_B_C=_OC_DD_，_,那_O_么E_=_O__F__A,⌒_B_=__C⌒_D_______。
∠（_2A_）_O如_B_果=_⌒O∠_E_C=_⌒O_O_FD_，_那,A_么B__=_C_D___,A_⌒B__=_C⌒_D_______。
（3）如果AB=CD 那么
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N .
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD.
B
. A M O
C ND
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
例4：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径A
浙教版九年级上第三章《圆的基本性质》
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所 对应的其余各对量都相等。
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距， 根据本节定理及推论填空：
E
Ｂ
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｄ
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 OA,OB,OC。
Ａ (1)∠AOB、∠COB、∠AOC 的度数分别为_1_2_0_0 ,_1_2_0_0_,1_200
Ｏ
(2)若⊙O的半径为r,则等边 Ｂ
Ｃ
ABC三角形的边长为____3_r__
已知等边三角形ＡＢＣ的边长
为 2 3cm．
∠（_2A_）_O如_B_果=_⌒O∠_E_C=_⌒O_O_FD_，_那,A_么B__=_C_D___,A_⌒B__=_C⌒_D_______。
（3）如果AB=CD 那么
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N .
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD.
B
. A M O
C ND
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
例4：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径A
浙教版九年级上第三章《圆的基本性质》
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所 对应的其余各对量都相等。
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距， 根据本节定理及推论填空：
E
Ｂ
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｄ
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 OA,OB,OC。
Ａ (1)∠AOB、∠COB、∠AOC 的度数分别为_1_2_0_0 ,_1_2_0_0_,1_200
Ｏ
(2)若⊙O的半径为r,则等边 Ｂ
Ｃ
ABC三角形的边长为____3_r__
已知等边三角形ＡＢＣ的边长
为 2 3cm．
3.3圆心角(2)课件 浙教版九年级上
Ａ
Ｏ
Ｐ Ｄ
Ｃ
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？ ⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？ 当a = 2 3 时求圆的半径?
做一做
如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆
外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B
和C、D。 求证：AB=CD
B E
Zx.xk
A P C
浙教版九（上）§第 三章第三节
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
那么
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等. A
(3)如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成 一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可 能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
(4)如果这根原木长15m，问锯出地木材地体 积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ａ
Ｂ
练一练
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
Ｄ Ｃ Ｂ
· Ｏ
D
B
●
O
┏ A′ D′ B′
B
抢答题
A 已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
E
O D
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这 节课所学的定理及推论填空：
C
F
⌒ ⌒ (1)如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF ， AB=CD，AB=CD ;
浙教版九年级数学上册3.4圆心角课件
∴∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 是等边三角形．
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
14.如图，等边三角形ABC内接于☉O，求 ， ， 的度数.
A
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
【答案】 = = =120°.
O
.
B
C
思维拓展，更上一层
⌒
⌒
15.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成
圆心角及相关概念
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
B
M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
任意给圆心角，对应出现四个量：
弧
圆心角
弦
弦心距
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,
所对两条弦的弦心距相等．
A
夯实基础，稳扎稳打
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
圆心
弧
弦
例1：用直尺和圆规把⊙O四等分.
C
作法：
1.作⊙O的一条直径AB.
2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D.
点A，B，C，D就把⊙O四等分.
B
A
D
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，
OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF.
A
证明：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.
∵OE⊥AB，AE=BE=
1
AB（等腰三角形三线合一）.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 是等边三角形．
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
14.如图，等边三角形ABC内接于☉O，求 ， ， 的度数.
A
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
【答案】 = = =120°.
O
.
B
C
思维拓展，更上一层
⌒
⌒
15.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成
圆心角及相关概念
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
B
M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
任意给圆心角，对应出现四个量：
弧
圆心角
弦
弦心距
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,
所对两条弦的弦心距相等．
A
夯实基础，稳扎稳打
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
圆心
弧
弦
例1：用直尺和圆规把⊙O四等分.
C
作法：
1.作⊙O的一条直径AB.
2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D.
点A，B，C，D就把⊙O四等分.
B
A
D
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，
OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF.
A
证明：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.
∵OE⊥AB，AE=BE=
1
AB（等腰三角形三线合一）.
3.3圆心角(2)
OA,OB,OC。延长AO，分别交BC于点P，B⌒C
于点D,连结BD,CD。
Ａ
(1) 判断四边形BDCO是哪一
Ｏ
种特殊四边形，并说明理由。
Ｐ
Ｂ (2)若⊙O的半径为r,求等边源自ＣＤ三角形ABC的边长.
例3：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径AＣ和 BD的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｂ
⑵如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根 横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大， 应怎样锯？最大横截面面积是多少？
的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
A
如图：
AOB= COD
B
o C
D
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对
的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
A
如图：
AOB= COD
B
o C
D
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对
的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
A
如图：
AOB= COD
B
o C
D
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对
的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
A
如图：
AOB= COD
B
☺
o C
D
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
弧相等
圆心角相等
弦相等
弦心距相等 逆命题成立吗？
课本第87页—3、6
E
3、已知：如图, AB、DE是⊙O Ｂ
Ｃ
的两条直径，C是⊙O上一点， 且A⌒D=C⌒E。求证：BE=CE
浙教版数学九年级上册3.3《圆心角》教学设计3
浙教版数学九年级上册3.3《圆心角》教学设计3一. 教材分析浙教版数学九年级上册3.3《圆心角》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生理解圆心角的概念，掌握圆心角与圆弧的关系，以及圆心角在实际问题中的应用。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例和图形来帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于圆心角这一概念，学生可能比较陌生，需要通过实例和图形的展示来帮助学生理解和掌握。
此外，学生的空间想象能力不同，对于一些空间图形的关系可能理解不够深入，需要通过实际操作和练习来提高。
三. 教学目标1.让学生理解圆心角的概念，掌握圆心角与圆弧的关系。
2.培养学生观察、思考、动手操作的能力，提高空间想象能力。
3.让学生能够运用圆心角的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.圆心角的概念及其与圆弧的关系。
2.圆心角在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例来展示圆心角的概念和应用，帮助学生理解和掌握。
2.图形教学：通过图形的展示和操作，让学生直观地感受圆心角与圆弧的关系。
3.练习教学：通过练习题目的设置，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示实例和图形。
2.练习题目：准备一些相关的练习题目，用于课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出圆心角的概念，例如：在自行车轮子上，为什么车把转动的角度是大于车轮上某一点转动的角度？让学生思考并回答，从而引出圆心角的概念。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示圆心角的定义和性质，让学生直观地感受圆心角与圆弧的关系。
通过图形的展示和操作，让学生进一步理解圆心角的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，用量角器测量圆心角和圆弧的角度，并记录下来。
然后进行小组交流，分享测量结果和操作心得。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题目，巩固所学知识。
3.5 圆周角第2课时 圆周角(2) 浙教版数学九年级上册课件
圆周角定理的推论：
E
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等；相等的圆周角所对 的弧也相等.
巩固 如图，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上.找出图中分别与 ∠1，∠2，∠3相等的角.
解：∠1=∠ABD ∠2=∠BAC ∠3=∠CBD
四
D
A
提示：先构造等弧所对的圆周角，再
利用圆周角定理的推论是解题关键.
连接EB，由圆周角定理知，
∠AEB=∠ACB=50°，
因为∠AEB是△SEB的一个外角，
E
所以∠AEB＞∠S，
即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
F
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足
的条件是∠ASB＜50°．
五
1.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是 ⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（D ） A．30° B．40° C．50° D．60°
4.已知：如图，四边形ABCD的顶点都在圆O上，BD平分 ∠ABC，且AB∥CD. 求证：BC=CD.
∴AD=CD. ∴BC=CD.
六 这节课我们学习了哪些知识？
一
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
个 推
的圆周角相等；相等的圆周角所对
论
的弧也相等.
圆周角定理及其推论的应用你都知道了吗？
感谢观看！
2.如图，在世界杯足球比赛中，甲运动员带球向对方球门 PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，有两 种射门方式，第一种是甲直接射门，第二种是甲将球传给乙， 由 乙 射 门 ， 仅 从 射 门 角 度 考 虑 ， 应 选 择 第 ____二种 射 门 方 式．
3.求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
3.5 圆周角
第2课时圆周角定理的推论2---同步课件浙教版数学九年级上册
第3章圆的基本性质
3.5 第2课时 圆周角定理的推论2
知识回顾
1. 圆心角与所对的弧的关系 圆心角的度数等于所对弧的度数 2.圆周角的特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
3.圆周角定理 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.圆周角定理的一个推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
利用推论2可以证 明线段相等
∴A⌒C=B⌒D（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴AC=BD.
例2 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角 ∠C=50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
分析 由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎样躲开 暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角（∠ASB)去 考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与 ∠ACB的大小关系来确定.请你自己写出求解过程.
在不添加任何辅助线的情况下，请在图中找出 一对相等的角：∠_D_A_B_=_∠__D_C_B__
4.如图，在△ ABE 中，AB＝AE，以 AB 为直径
的半圆 O 与 AE，BE 分别交于点 C，D.求证： BDCD.
证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
即 AD⊥BE. 又∵AB＝AE， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴ BD CD .
学习目标
1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过 程. 2.掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相 等的圆周角所对的弧也相等. 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单 几何问题.
获取新知
圆周角定理的另一个推论
A2
A1
A
3
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
3.5 第2课时 圆周角定理的推论2
知识回顾
1. 圆心角与所对的弧的关系 圆心角的度数等于所对弧的度数 2.圆周角的特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
3.圆周角定理 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.圆周角定理的一个推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
利用推论2可以证 明线段相等
∴A⌒C=B⌒D（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴AC=BD.
例2 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角 ∠C=50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
分析 由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎样躲开 暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角（∠ASB)去 考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与 ∠ACB的大小关系来确定.请你自己写出求解过程.
在不添加任何辅助线的情况下，请在图中找出 一对相等的角：∠_D_A_B_=_∠__D_C_B__
4.如图，在△ ABE 中，AB＝AE，以 AB 为直径
的半圆 O 与 AE，BE 分别交于点 C，D.求证： BDCD.
证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
即 AD⊥BE. 又∵AB＝AE， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴ BD CD .
学习目标
1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过 程. 2.掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相 等的圆周角所对的弧也相等. 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单 几何问题.
获取新知
圆周角定理的另一个推论
A2
A1
A
3
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
浙教版九年级数学上册课件：3.4圆心角 (共18张PPT)
A 圆心角定理
B
在⊙O中，
O
若圆心角∠AOB=∠COD，则
C
AB=CD， AB=CD。
D
2020/5/17
圆心角定理
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
。
A
【注意】：
B
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成
O
立。
C
D
O
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相
等即可。
A
B
C
D
2020/5/17
弧的度数的定义
我们把1º的圆心角所对的弧叫做1º的弧.
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
60°的弧
60°
2020/5/17
【概括】在同圆中，把圆周角等分成360份，则每一
份的圆心角的度数是 1º 。因为相等的圆心角所对的 弧 相等 ，所以每一份的圆心角所对的弧也 相等 。
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
·O 60° C
∴、如图，AB是⊙O 的直径， BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
E
D
∵ BC = CD = DE
C
B O C = C O D = D O E = 3 5 o
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
OE﹦OF
2020/5/17
A
E
B
O·
D
F C
1 如图，在⊙O中， AB⌒=AC⌒,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
A
证明：
∵ AB = AC
B
在⊙O中，
O
若圆心角∠AOB=∠COD，则
C
AB=CD， AB=CD。
D
2020/5/17
圆心角定理
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
。
A
【注意】：
B
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成
O
立。
C
D
O
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相
等即可。
A
B
C
D
2020/5/17
弧的度数的定义
我们把1º的圆心角所对的弧叫做1º的弧.
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
60°的弧
60°
2020/5/17
【概括】在同圆中，把圆周角等分成360份，则每一
份的圆心角的度数是 1º 。因为相等的圆心角所对的 弧 相等 ，所以每一份的圆心角所对的弧也 相等 。
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
·O 60° C
∴、如图，AB是⊙O 的直径， BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
E
D
∵ BC = CD = DE
C
B O C = C O D = D O E = 3 5 o
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
OE﹦OF
2020/5/17
A
E
B
O·
D
F C
1 如图，在⊙O中， AB⌒=AC⌒,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
A
证明：
∵ AB = AC
数学浙教版九年级上3.3《圆心角》课件(1)
B
E
F
综合题
1.基本概念：圆心角的概念
2.基本性质：①圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性 ②圆心角定理 ③ 弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
3.基本方法： ①在运用圆心角定理时，首先要考虑定理的前提。 ②在求一些弧的度数时，往往先考虑求出这段弧所对的圆 心角的度数 ③在同圆或等圆中，要说明两段弧或两段弦相等时，往往 先考虑求出这段弧所对的圆心角相等
600
题组二(算一算)
２.如图,在⊙O中,AB为直径， ∠BAC=400,则 BC的
度数为___80_0，
_A
_C
AC的度数为__1_00_0
_O
_B
题组二(算一算)
３. 如图：⊙Ｏ的直径AB垂直 于弦CD,AB与CD相交 A
于点E，
∠COD＝1000，
O
求 BC, AD的度数.
C
D E
B
学习手记2：
A B
o C
D
下面请我们大家以同桌为一 合作学习小组，动脑设计一 个实验：探索两个相等的圆 心角所对的两段弧 、弦有 什么关系？
下面我们一起来观察一下在两个等圆中，圆心角与它所 对的弦、弧有什么关系？
A(C) B(D)
o O1
下面请我们动脑设计一个实验：在同一个圆中，探索两个相等的 圆心角所对的两段弧 、弦有什么关系？
o
C
D
圆心角定理：在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也
A 相等。
B
∵∠AOB=∠COD,
o
∴ AB=CD， AB=CD
C
D
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
浙教版九上 3.3.1圆心角 课件1
？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系
？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系
？
如图：
A
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系
？
如图：
A
AOB= COD
B
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
O
∵OA=OC ，OB=OD，
∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。 弦AB和弦ＣＤ
∴ AB=CD，
对应的弦心距
⌒⌒
什么关系？
∴ AB = CD。
A Ｅ B
o
C Ｆ D
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等。
你能将⊙Ｏ二等分吗？
作法： 作⊙Ｏ的直径ＡＢ。
求证: AB=CD，A⌒B = C⌒D。 证明:∵OA=OC ，OB=OD， ∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。
∴ AB=CD， ⌒⌒
∴ AB = CD。
A B
o
C D
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等。
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ
用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
ＡＯ
Ｂ
Ｄ
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Ａ
思考 如图，∠AOB=2∠COD，则
AB=2CD吗？
C
⌒ ⌒ AB=2CD吗？
A
O
D
E
B
想一想：点A是半圆上的三等分点,B是弧NA的中点,P是直 径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置 时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.
A B
M
O
P
N
(3)如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成 一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可 能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
(4)如果这根原木长15m，问锯出地木材地体 积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ａ
Ｂ
练一练
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
Ｄ Ｃ Ｂ
· Ｏ
.
O D
N
F
变式练习：
P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
E
C P
M
B
B
E
P
N
.
O
M
N
.
O
D
A F
D
F
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特 殊四边形？为什么？ (2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
D
B
●
O
┏ A′ D′ B′
B
抢答题
A 已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
E
O D
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这 节课所学的定理及推论填空：
C
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⌒ ⌒ (1)如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF ， AB=CD，AB=CD ;
⌒ ⌒ ∠ AOB= ∠ COD AB=CD AB=CD （2）如果OE=OF，那么 ， ， ； ⌒ ⌒
（3）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD， AB=CD， OE=OF ；
∠AOB=∠COD ， OE=OF ， AB=CD 。 （4）如果AB=CD，那么 ⌒ ⌒
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
⑴ ∠AOB、∠COB、∠AOC分别为多少度？
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于 点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ 是哪一种特殊三角形？ ⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四 Ｂ 边形，并说明理由。
Ａ
Ｏ
Ｐ Ｄ
Ｃ
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？ ⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？ 当a = 2 3 时求圆的半径?
做一做
如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆
外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B
和C、D。 求证：AB=CD
B E
A P C
M
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
那么
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等. A
思考 如图，∠AOB=2∠COD，则
AB=2CD吗？
C
⌒ ⌒ AB=2CD吗？
A
O
D
E
B
想一想：点A是半圆上的三等分点,B是弧NA的中点,P是直 径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置 时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.
A B
M
O
P
N
(3)如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成 一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可 能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
(4)如果这根原木长15m，问锯出地木材地体 积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ａ
Ｂ
练一练
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
Ｄ Ｃ Ｂ
· Ｏ
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O D
N
F
变式练习：
P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
E
C P
M
B
B
E
P
N
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O
M
N
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O
D
A F
D
F
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特 殊四边形？为什么？ (2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
D
B
●
O
┏ A′ D′ B′
B
抢答题
A 已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
E
O D
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这 节课所学的定理及推论填空：
C
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⌒ ⌒ (1)如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF ， AB=CD，AB=CD ;
⌒ ⌒ ∠ AOB= ∠ COD AB=CD AB=CD （2）如果OE=OF，那么 ， ， ； ⌒ ⌒
（3）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD， AB=CD， OE=OF ；
∠AOB=∠COD ， OE=OF ， AB=CD 。 （4）如果AB=CD，那么 ⌒ ⌒
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
⑴ ∠AOB、∠COB、∠AOC分别为多少度？
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于 点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ 是哪一种特殊三角形？ ⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四 Ｂ 边形，并说明理由。
Ａ
Ｏ
Ｐ Ｄ
Ｃ
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？ ⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？ 当a = 2 3 时求圆的半径?
做一做
如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆
外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B
和C、D。 求证：AB=CD
B E
A P C
M
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
那么
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等. A