2014-2015年浙江省杭州外国语学校九年级(上)期中数学试卷和答案

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杭州市九年级上期中数学试卷含答案解析

浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．55．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20° B．120°C．100°D．40°6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．128．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．【解答】解：设a=2k，则b=9k．==，故选A．【点评】考查比例性质的计算；得到用k表示的a，b的值是解决本题的突破点．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．【解答】解：x=﹣=﹣1，把x=﹣1代入得：y=﹣2+4﹣5=﹣3．则顶点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选D．【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；分式的定义．【专题】应用题；压轴题．【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率==．故选B．【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】命题与定理．【分析】根据圆周角，圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件即可求解．【解答】解：①同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故错误；②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；③圆中两条平行弦所夹的弧相等，正确；④不在同一直线上的三点确定一个圆，故错；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，正确，故选A．【点评】本题主要考查了圆周角的性质定理，以及确定圆的条件等圆的基本知识．解题的关键是要注意命题的细节，逐一做出准确的判断．5．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20° B．120°C．100°D．40°【考点】扇形面积的计算．【分析】先设出半径，再根据圆的面积公式和扇形的面积公式计算．【解答】解：设圆的半径为r，则扇形的半径为3r，根据两者面积相等得：πr2=，解得n=40°．故选D．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．熟记扇形的面积公式是解题的关键．6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先由AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，根据平行线分线段成比例定理得到DF：FA=1：2，再根据平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似得到△CDE∽△CAB，根据三角形相似的性质得S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，则CD：CA=1：4，通过代换得到CD：CF=1：2，再次根据三角形相似的性质得到S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，即可计算出△CFG的面积．【解答】解：∵AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，∴DF：FA=1：2，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，∴CD：CA=1：4，设CD=a，则CA=4a，∴DA=3a，∴DF=a，∴CF=2a，∴CD：CF=1：2，而DE∥FG，∴S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，而△CDE的面积为2，∴△CFG的面积S=4×2=8．故选B．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．【考点】正多边形和圆；轴对称图形．【分析】由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为2x，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比．【解答】解：如图，设圆的圆心为O，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点O．过A作AD⊥BC于D，则AD必过点O，且AO=2OD；设△ABC的边长为2x，则BD=x，AD=x，OD=x；∴正方形的边长为：x，面积为x2，三个正方形的面积和为2x2；易求得△ABC的面积为：×2x×x=x2，∴等边三角形与三个正方形的面积和的比值为，故选A．【点评】此题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质以及图形面积的求法，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下，故a＜0；当x=﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0；当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0，又a＜0，则b＜0，故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1，则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，因为2a﹣b＜0，a＜0，∴3a﹣b＜0，即M＜0，故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】计算题；探究型；数形结合．【分析】分两种情况：点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点与点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点，利用等腰三角形的性质与相似三角形对应边的比相等的性质进行分析求解即可．【解答】解：如图1，当A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b﹣2，CF=b﹣4，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，∴点B与点C、点E与点D，点D与点F为对应点，即△BED∽△CDF，∴BE：CD=ED：DF=BD：CF，即（b﹣2）：a=3：2=a：（b﹣4），解得a=，∴BC=2a=；如图2，当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点时，设BA=AC=a，BD=CD=b，则BE=b ﹣3，CF=b﹣2，∵BD=CD，∴∠B=∠C，∴点B与点C为对应点，若点E与点F、点A与点C为对应点，由△BEA∽△CFA，可得BE：CF=EA：FA=BA：CA，即（b﹣3）：（b﹣2）=2：4=a：a，无解；若点E与点A，点A与点F为对应点，由△BEA∽△CAF，可得BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b﹣3）：a=2：4=a：b﹣2，解得a=，b=，此时BA=，BE=b﹣3=，BE、BA、EA不能构成三角形，故此种情况不成立；综上所述，这个等腰三角形底边长为．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，解答本题的关键是正确画出图形，并熟知相似三角形对应边的比相等的性质，同时注意分类讨论思想与方程思想的运用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是y=﹣x2+4x﹣3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式为﹣y=x2﹣4x+3，∴所求解析式为：y=﹣x2+4x﹣3．故答案为：y=﹣x2+4x﹣3【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是120°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程求出x，计算出各角的度数，比较得到答案．【解答】解：设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补，得3x+6x=180°，∴x=20°则这三个内角为60°、80°、120°，所以第四个内角是180°﹣4x=100°，所以该四边形内角中最大度数是120°，故答案为：120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．【考点】概率公式；三角形三边关系．【专题】压轴题．【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为5．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作OF⊥PQ于F，连接OP，根据已知和图形证明四边形MEOF为正方形，设半径为x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根据勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．【解答】解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF=PQ=12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE=OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF=OE=18﹣x，在直角△OPF中，x2=122+（18﹣x）2，解得x=13，则MF=OF=OE=5，∴OM=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为5．【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-直接开平方法；勾股定理．【分析】由题可知△CBD∽△ACD，则可根据相似比和勾股定理求解．【解答】解：∵∠DCB=∠A，∠D=∠D∴△CBD∽△ACD∴BD：CD=CB：AC∵BD：DC=1：2∴CB：AC=1：2设CB为x，则AC=2x，AB=5根据勾股定理可知：x2+4x2=25，解得x=，即CB=，AC=2∴△ABC的面积为×÷2=5．【点评】本题的关键是先判定三角形相似，然后利用相似比和勾股定理求得BC、AC的值，从而求出三角形的面积．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是①⑤．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数；②将点A（1，3）代入得a=即可判断；③将x=0分别代入和，求出y1与y2的值，再相减即可得到y2﹣y1的值；④令y2=y1，求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令=3，=3，分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断．【解答】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；②将点A（1，3）代入抛物线，得a（1+2）2﹣3=3，解得a=，故本选项错误；③当x=0时，y1==﹣，=，y2﹣y1=+=，故本选项错误；④令y2=y1，则有=，解得x1=1，x2=﹣35．几何图象可知，y2＞y1，﹣35＜x＜1，故本选项错误；⑤令=3，解得，x1=1或x2=﹣5；AB=5+1=6；=3，解得，x3=5，x4=1；AB=5﹣1=4；则2AB=3AC．故本选项正确．故答案答案为①⑤．【点评】本题考查了二次函数的性质，数形结合是本题的核心，要善于利用图形进行解答．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】连接OF，可得出∠BOF=∠EOF，根据同圆中圆心角相等，可得出弦相等，从而得出AB=BF．【解答】解：连接OF，∵AE，DB是⊙O的直径，∠AOB=60°，∴∠BOE=120°，∵F是的中点，∴∠BOF=∠EOF=60°，∴AB=BF．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在等圆或同圆中圆心角相等，所对的弦相等是解题的关键．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否，修改规则即可．【解答】解：（1）列表如下：1 2 3 4甲乙1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，则P（甲、乙在同一层楼梯）=；（2）由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）=，P（小芳胜）=1﹣，∵＞，∴游戏不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【专题】作图题．【分析】（1）分别作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；（2）作直径AE，连结BE，如图，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，∠C=∠E，则可证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后利用相似比计算出AE即可得到△ABC的外接圆O半径的长．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）作直径AE，连结BE，如图，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=∠E，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴=，即=，∴AE=，∴OA=AE=，即△ABC的外接圆O半径的长为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决（2）小题的关键是构建Rt△ABE与△ADC相似．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．【考点】二次函数的最值；勾股定理的逆定理．【分析】根据顶点横坐标公式，得b+c=2a①，由x=1，y=，得c=b②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状；再根据锐角三角函数的定义求出∠A的余弦值．【解答】解：（1）∵当x=1时有最小值，∴，解得，，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形．（2）∵在△ABC中，∠B=90°，∴cosA==．【点评】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的逆定理及余弦函数的定义．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可得y=500﹣10（x﹣50）．（2）用配方法化简1的解析式，可得y=﹣10（x﹣70）2+9000．当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大．（3）令y=8000，求出x的实际取值．【解答】解：（1）由题意得：y=500﹣10（x﹣50）=1000﹣10x（50≤x≤100）（2）S=（x﹣40）（1000﹣10x）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000当50≤x＜70时，利润随着单价的增大而增大．（3）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000=800010x2﹣1400x+48000=0x2﹣140x+4800=0即（x﹣60）（x﹣80）=0x1=60，x2=80当x=60时，成本=40×[500﹣10（60﹣50）]=16000＞10000不符合要求，舍去．当x=80时，成本=40×[500﹣10（80﹣50）]=8000＜10000符合要求．∴销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，用配方法求出最大值．23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是y=，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2（，），B2（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，∴△P1OD∽△N2OB2，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法三：∵直线OB：y=x是一三象限平分线，∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），∴得：x1=4（舍），x2=﹣，∴N（﹣，），∵D（2，﹣2），∴l OD：y=﹣x，∵l OD：y=x，∴OD⊥OB，∵△POD∽△NOB，∴N（﹣，）旋转90°后N1（，）或N关于x轴对称点N2（﹣，﹣），∵OB=4，OD=2，∴，∵P为ON1或ON2中点，∴P1（，），P2（，）．【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．。

2014-2015年九年级上数学期中考试试题及答案

2014—2015学年度第一学期阶段检测..九年级数学试题..注意事项： ..1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、考号、考试科目及选择题答案涂写在答题卡上，并同时将学校、姓名、考号、座号填写在试卷的相应位置。

２．本试卷分为卷I （选择题）和卷II （非选择题）两部分，共120分。

考试时间为90分钟。

第Ⅰ卷（选择题共45分）.一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，满分45分） 1．方程x (x ＋1)＝0的解是A. x ＝0B. x ＝1C. x 1＝0，x 2＝1D. x 1＝0，x 2＝－1 2．图中三视图所对应的直观图是3．用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是 A ．(x －1)2＝4B ．(x ＋1)2＝4C ．(x －1)2＝16D ．(x ＋1)2＝16..4．如果反比例函数xky 的图像经过点（－3，－4），那么函数的图象应在 A ．第一、三象限 B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限..B．5．若函数xmy =的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是 A ．m ＞1B ． m ＞0C ． m ＜1D ．m ＜06．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是7．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个相似三角形的周长比是 A ．2:1B．C ． 1:4D ．1:28．一元二次方程2x 2 + 3x +5=0的根的情况是 A ．有两个不相等的实数 B ．有两个相等的实数 C ．没有实数根D ．无法判断9．如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是A ．（1）（2）（3）（4）B ．（4）（3）（1）（2）C ．（4）（3）（2）（1）D ．（2）（3）（4）（1）10. 下列各点中，不在反比例函数xy 6-=图象上的点是 A ．(-1，6) B ．(-3，2) C ．)12,21(- D ．(-2，5)11．如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，21=AB AD ，DE ＝4 cm ，则BC 的长为A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cmA ．B ．C ．D ．AB12．下列结论不正确的是A ．所有的矩形都相似B ．所有的正方形都相似11题图C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似 13．在函数y=xk(k<0)的图像上有A(1,y 1)、B(－1,y 2)、C(－2,y 3)三个点，则下列各式中正确的是A ． y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 3<y 1 14．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是Ａ．525 Ｂ．625Ｃ．1025Ｄ．192514题图15．如图，正方形OABC 和正方形ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数1(0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是A ．1122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭; B ．3322⎛+ ⎝⎭C ．11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;D ．3322⎛ ⎝⎭15题图第Ⅱ卷（非选择题共75分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，把答案填在题中的横线上。

浙教版2014-2015学年九年级上学期期中检测数学试题卷

第5题图 E DO C BA 2014-2015学年期中检测初三数学试题卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（） A.14B.12 C.34D.1 2. 若32=b a ，则b ba +的值等于（ ▲ ） A .35 B. 52 C. 25D. 53.下列二次函数中，图象抛物线的顶点坐标为（2,1）的是（ ▲ ）A.y=（x-2）2 + 1B.y=（x+2）2 + 1C.y=（x-2）2 - 3D.y=（x+2）2 - 34.如果弦AB 所对的圆心角为600，那么这条弦所对的圆周角是（ ▲ ）A.300B.1200C. 600D.300或15005.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB CD ⊥于E ，则下列结论中不．成立的是（ ▲ ）Ａ．∠A ﹦∠D Ｂ．CE ﹦DE Ｃ．∠ACB ﹦90°D ．CE ﹦BD6. 下列关于相似的说法：①所有的等腰直角三角形一定相似；②所有的菱形一定相似；③所有的全等三角形一定相似；④所有的有一个角为60°的等腰梯形一定相似. 其中说法正确的有 ( ▲ )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个7.如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm ），则该圆的半径为( ▲ )A 、13cmB 、2516cm C 、3cm D 、134cm 8. 抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是( ▲ )A ．14<<-xB ．13<<-xC ．4-<x 或1>xD ．3-<x 或1>x 9. 如图，A 、B 是数轴上的两个点，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示－1的点的距离不大于．．．2的概率是（） A ．21B ．32C ．43 D ．54第9题图10.如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y ＝ x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、 y 轴，若双曲线ky x=(k≠0)与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是（ ▲ ）A ．1＜k ＜2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1＜k ＜4二、填空题（每小题4分，共24分）11、在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球3只，白球n 只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率是34,则n =________. 12．△ABC ∽△DEF,相似比为1:2，则它们的周长之比为 ▲ 。

浙教版九年级数学上学期期中数学试卷

2015学年第一学期九年级期中学业水平检测数学参考答案和评分标准一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案AADACDCBDD二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．(2)a a - 12．直线5x = 13．1314．50 15．9 16．43 三、解答题（本题有8小题，共80分）17．（本题10分）（1）08(21)2015+-+22211=+-+ （3分）32=．（2分）（2）2(3)2(13)a a +-+26926a a a =++-- （3分） 27a =+．（2分）18．（本题8分）（1）340158⨯=（个）．（3分）（2）设白球有x 个，则黄球有（2x +1）个，根据题意得：x +2x +1=40-15．解得x =8．（3分）∴81==405P （白）．（2分）答：（1）袋中红球有15个．（2）从袋中摸出一个球是白球的概率是15． 19．（本题8分）（1）略．（4分）（2）提示：先求出∠AOB ＝120°，（1分）再求出半径为43．（3分）20．（本题8分）（1）∵点C 的坐标为（0，2），∴2c =．（2分）∵点B 的坐标为（2，2），∴542228b -⨯++=，解得54b =．（2分）∴该二次函数的表达式是255284y x x =-++．（2）∵22555212(1)8488y x x x =-++=--+，∴该抛物线的顶点纵坐标是218．（1分）又∵215288-=，（1分）∴m 的取值范围是52188m <<．（2分）21．（本题10分）（1）证明：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥AC 于点F ．（1分）∵OA 平分∠BAC ， ∴OE =OF ，（2分）∴AB AC =．（2分）（2）连结OD ．∵点D 与点O 关于直线AB 对称， ∴AB 是OD 的中垂线， ∴AD =AO ，BD =BO ．（2分） ∵OA =OB ，∴OA =OB =BD =AD ，（1分） ∴四边形ADBO 是菱形．（2分） (本题方法多样，请按步骤相应给分)22．（本题10分）解：（1）∵AB =x m ，则BC =(32﹣2x )m ．（2分）∴S =x （32﹣2x ）=﹣2x 2+32x ．（3分）（2）由(1)得S =﹣2(x ﹣8)2+128．∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是10m 和6m ， ∴6≤x ≤11．（2分）∴当x =11时，22118128110S =--+=最小值（）．（3分）答：矩形饲养室ABEF ，CDFE 的面积和S 的最小值为110平方米．23．（本题12分）（1）∵224(2)4y x x x =-+=--+，∴点M 的坐标是(2，4) ．（2分）∵该抛物线经过原点，且对称轴为直线2x =，∴点A 的坐标是(4，0) ．（2分）（2）∵点A 的坐标是(4，0) ，AB=1．∴点P 的横坐标为3．∵该抛物线对称轴为直线2x =， ∵点D 的横坐标为1．EFBC OADBCOA（第21题）图2 图1把1x =代入24y x x =-+得143y =-+=． ∴点D 的坐标是(1，3) ．（3分）设直线AD 的表达式为y kx b =+，由题意得403k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 的表达式为4y x =-+．（2分）（3）2:5:5．（3分）24．（本题14分）（1）提示：易得CE=OD ，则42m m -=，解得43m =．（3分）（2）①2()(442)13(83)42222OC CE AD m m m s m m m m +-+-===-=-+．（4分） ②当2s >时，解得223m <<． ∵抛物线2y x ax =-+经过动点D ， ∴2a m =，∴443a <<．（3分）（3）①当点D 在点A 的左侧时， Ⅰ．如图1，当A ′落在边CE 上时，易证AD =AE ，则422m m -=，解得422m =-；（1分）Ⅱ．如图2，当A ′落在边CD 上时，易证CE =CD ，则45m m -=，解得51m =-；（1分）②当点D 与点A 重合时，显然满足条件，此时2m =；（1分）③当点D 在点A 的右侧时，如图3，点A ′落在边EC 的延长线上时，易证A ′D = A ′E ，则242m m -=，解得422m =+．（1分）综上所述，422512422m =--+或或或．（第24题图1）xy A'E D ABOC （第24题图2）xyA'E DABOC xy A'EDAB OC （第24题图3）。

2014-2015学年浙江省杭州外国语学校九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2014-2015学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（）A．（a﹣2）2+1 B．（a+2）2﹣1 C．（a+2）2+1 D．（a﹣2）2﹣12．（3分）树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳．已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是（）A．2.5×109B．2.5×1010C．2.5×1011D．2.5×10123．（3分）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．4．（3分）关于x的一元二次方程（a+c）x2+bx+=0有两个相等的实数根，那么以a、b、c为三边的三角形（）A．以a为斜边的直角三角形B．以c为斜边的直角三角形C．以b为底边的等腰三角形D．以c为底边的等腰三角形5．（3分）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（）A．k甲＞k乙 B．k甲=k乙C．k甲＜k乙 D．不能确定6．（3分）若0＜a＜1，则﹣的值为（）A．2a B．C．﹣2a D．﹣47．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，∠B的对边为b，且满足a2﹣ab﹣b2=0，则tanA=（）A．1 B．C．D．8．（3分）有甲、乙两块钢板零件（钢板厚度忽略不计），甲形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长为10cm；乙形状为直角梯形，上下两底边长分别为4cm、8cm，且有一内角为60°．现在要进行质量检测，检测台入口是一个直径为7.5cm的圆形．检测员试图让钢板通过圆形入口，结果是（）A．甲板能通过，乙板不能通过B．甲板不能通过，乙板能通过C．甲、乙两板都能通过D．甲、乙两板都不能通过9．（3分）如图，Rt△OAB的顶点与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=3BO，当A 点在反比例函数y=（x＞0）图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式是（）A．y=﹣（x＜0）B．y=﹣（x＜0）C．y=﹣（x＜0）D．y=﹣（x＜0）10．（3分）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米，以O 为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据以上的数据，则这段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）为（）A．1.5米B．1.9米C．2.3米D．2.5米二、填空题11．（3分）分解因式4（a+2b）2﹣25（a﹣b）2=．12．（3分）若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b+1）=．13．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点P（a，﹣）在第象限．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=，BC=CD=DA=1，∠DCB=120°，连接对角线BD，则△ABD的面积为．15．（3分）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A到A1到A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为cm．（结果保留π）．16．（3分）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，c0，记为G0=（a0，b0，c0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为G n=（a n，b n，c n）．（1）若G0=（4，7，10），则第次操作后游戏结束；（2）小明发现：若G0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2014=．17．（3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（填序号）．18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．三、解答题19．解下列各题：（1）计算：sin223°﹣+﹣+sin267°（2）当x=4cos30°﹣（﹣1）0、y=2tan60°时，求（1﹣）÷+的值．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积．21．如图1，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（8，0），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴，将△AOC沿AC翻折，点O恰好落在BC边上的点G处．（1）示点C的坐标，写求抛物线的解析式；（2）如图2，线段CB上有一动点P，从C点开始以每秒1个单位的速度向B点运动，过点P作PM⊥BC交线段CA于点M，记点P运动时间为t，△CPO与△CPM的面积之差为y，求y与t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）在（2）的基础上，t取何值时y有最大值，并求出最大值．22．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）①点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为；②若点P的“k属派生点”的坐标为P′（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为；（3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，且点A是点B的“﹣属派生点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．23．已知：点火器A是直线y=kx上一点，点P是线段OA上的一个动点（P不与O，A重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点B，以PB为边长在PB的右侧做正方形PBCD，则点C落在x轴上，作射线AD交x轴于点E，如图，若OA=10，cos∠AOE=，设OP=m．（1）求点A的坐标；（2）请用含m的代数式表示△APD的面积为S，并求当m为何值时，S有最大（或最小）值，最大（或最小）值是多少？（3）①请用含m的代数式表示线段OE的长；②当m为何值时，以点O，D，C为顶点的直角三角形与Rt△CDE相似？2014-2015学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（）A．（a﹣2）2+1 B．（a+2）2﹣1 C．（a+2）2+1 D．（a﹣2）2﹣1【解答】解：∵a2﹣4a+5=a2﹣4a+4﹣4+5，∴a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1．故选：A．2．（3分）树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳．已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是（）A．2.5×109B．2.5×1010C．2.5×1011D．2.5×1012【解答】解：将2500亿用科学记数法表示为2.5×1011．故选：C．3．（3分）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：连接DC，由网格可得出∠CDA=90°，则DC=，AC=，故sinA===．故选：B．4．（3分）关于x的一元二次方程（a+c）x2+bx+=0有两个相等的实数根，那么以a、b、c为三边的三角形（）A．以a为斜边的直角三角形B．以c为斜边的直角三角形C．以b为底边的等腰三角形D．以c为底边的等腰三角形【解答】解：根据题意得b2﹣4（a+c）×=0，整理得b2+c2=a2，所以三角形是以a为斜边的直角三角形．故选：A．5．（3分）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（）A．k甲＞k乙 B．k甲=k乙C．k甲＜k乙 D．不能确定【解答】解：因为直线的倾斜程度与它的斜率有直接关系，斜率的绝对值越大，直线越倾斜．所以根据图示可知，L甲的倾斜程度大于L乙的倾斜程度，所以k甲＞k乙．故选A．6．（3分）若0＜a＜1，则﹣的值为（）A．2a B．C．﹣2a D．﹣4【解答】解：∵0＜a＜1，＞1＞a＞0，∴原式=﹣，=|a﹣|﹣|a+|，=﹣a﹣a﹣，=﹣2a．故选：C．7．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，∠B的对边为b，且满足a2﹣ab﹣b2=0，则tanA=（）A．1 B．C．D．【解答】解：a2﹣ab﹣b2=0，（a﹣b）（a﹣b）=0，则a=b，a=b（舍去），则tanA==．故选：B．8．（3分）有甲、乙两块钢板零件（钢板厚度忽略不计），甲形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长为10cm；乙形状为直角梯形，上下两底边长分别为4cm、8cm，且有一内角为60°．现在要进行质量检测，检测台入口是一个直径为7.5cm的圆形．检测员试图让钢板通过圆形入口，结果是（）A．甲板能通过，乙板不能通过B．甲板不能通过，乙板能通过C．甲、乙两板都能通过D．甲、乙两板都不能通过【解答】解：甲钢板零件：∵甲形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长为10cm；∴可求出可通过的最短长度即一腰的高线，设其为x，则有sin45°=，解得x=5＜7.5，∴甲钢板零件能通过圆形入口．乙钢板零件：∵乙形状为直角梯形，上下两底边长分别为4cm、8cm，且有一内角为60°；∴可求出可通过的最短长度即梯形的高，设其为y，则有tan60°=，解得x=4＜7.5，∴乙钢板零件能通过圆形入口．故选：C．9．（3分）如图，Rt△OAB的顶点与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=3BO，当A 点在反比例函数y=（x＞0）图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式是（）A．y=﹣（x＜0）B．y=﹣（x＜0）C．y=﹣（x＜0）D．y=﹣（x＜0）【解答】解：设B点坐标满足的函数解析式是y=，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC∽△OBD，∴S△AOC ：S△BOD=（）2，∵AO=3BO，∴S△AOC ：S△BOD=9，∵S△AOC=OC•AC=×9=，S△BOD=OD•BD=|k|，∴k=﹣1，∴设B点坐标满足的函数解析式是y=﹣．故选：A．10．（3分）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米，以O 为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据以上的数据，则这段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）为（）A．1.5米B．1.9米C．2.3米D．2.5米【解答】解：抛物线顶点在原点，设抛物线解析式为y=ax2，把点A（0.6，0.6）代入解析式得a=，∴y=x2∴（0.2，），（0.4，）是该抛物线的两点，∴这段栅栏所需立柱的总长度=（0.6﹣+0.6﹣）×2+0.6≈2.3米．故选：C．二、填空题11．（3分）分解因式4（a+2b）2﹣25（a﹣b）2=3（3b﹣a）（7a﹣b）．【解答】解：4（a+2b）2﹣25（a﹣b）2=[2（a+2b）﹣5（a﹣b）]•[2（a+2b）+5（a﹣b）]=（9b﹣3a）（7a﹣b）=3（3b﹣a）（7a﹣b）．故答案为：3（3b﹣a）（7a﹣b）．12．（3分）若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b+1）=﹣2．【解答】解：解不等式组可得解集为2b+3＜x＜．因为该不等式组的解集为﹣1＜x＜1，所以2b+3=﹣1，=1，解得a=1，b=﹣2代入（a+1）（b+1）=2×（﹣2+1）=﹣2．故答案为：﹣2．13．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点P（a，﹣）在第三象限．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴P（a，﹣）在第三象限，故答案为三．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=，BC=CD=DA=1，∠DCB=120°，连接对角线BD，则△ABD的面积为．【解答】解：过点C作CE⊥BD，∵BC=CD=1，∠DCB=120°，∴∠DCE=60°，DE=BE，∴∠CDE=30°，∴CE=DC=，∴DE=，∴BD=，∵AB=，∴AB=BD，∵AD=1，∴AD边上的高==，∴△ABD的面积=AD•=，故答案为：．15．（3分）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A到A1到A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为cm．（结果保留π）．【解答】解：第一次转动是以点B为圆心，AB为半径，圆心角是90度，所以弧AA1的长==，第二次转动是以点C为圆心，A1C为半径圆心角为60度，所以弧A1A2的长==π，所以总长=．故答案为：16．（3分）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，c0，记为G0=（a0，b0，c0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为G n=（a n，b n，c n）．（1）若G0=（4，7，10），则第3次操作后游戏结束；（2）小明发现：若G0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2014=（11，9，10）．【解答】解：（1）若G0=（4，7，10），第一次操作结果为G1=（5，8，8），第二次操作结果为G2=（6，6，9），第三次操作结果为G3=（7，7，7），所以经过次3操作后游戏结束；（2）若G0=（4，8，18），则G1=（5，9，16），G2=（6，10，14），G3=（7，11，12），G4=（8，12，10），G5=（9，10，11），G6=（10，11，9），G7=（11，9，10），G8=（9，10，11），G9=（10，11，9），G10=（11，9，10），…由此看出从G5开始3个一循环，（2014﹣4）÷3=670，所以G2014与G7相同，也就是（11，9，10）．故答案为：3；（11，9，10）．17．（3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是①③④（填序号）．【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB===4，∴cos∠ABE==，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，PQ=CD﹣PD=4﹣=，∵=，==，∴=，又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④．18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．【解答】解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∵∠OBC=∠OCD=45°，∴∠OBG=∠OCF，在△OBG与△OCF中∴△OBG≌△OCF（SAS）∴OG=OF，∠BOG=∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，∴EC=2，∴BE===2，∵BC2=BF•BE，则62=BF，解得：BF=，∴EF=BE﹣BF=，∵CF2=BF•EF，∴CF=，∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=，在等腰直角△OGF中OF2=GF2，∴OF=．故答案为：．三、解答题19．解下列各题：（1）计算：sin223°﹣+﹣+sin267°（2）当x=4cos30°﹣（﹣1）0、y=2tan60°时，求（1﹣）÷+的值．【解答】解：（1）sin223°﹣+﹣+sin267°=sin223°+cos223°﹣+3﹣（1﹣）=1﹣+3﹣1+=3；（2）∵x=4cos30°﹣（﹣1）0=2﹣1，y=2tan60°=2，∴（1﹣）÷+=×+=﹣+===4﹣2．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积．【解答】解：（1）设l2的表达式为y=kx+b，由图可知经过点A（4，0）、B（3，﹣），∴，解得，∴直线l2的解析表达式为：y=x﹣6；（2）当y=0时，﹣3x+3=0，解得x=1，∴点D的坐标是（1，0），直线l1的解析表达式与直线l2的解析表达式联立得，，解得，∴点C的坐标是（2，﹣3），∴△ADC的面积=×（4﹣1）×|﹣3|=×3×3=．故答案为：（1）y=x﹣6，（2）．21．如图1，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（8，0），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴，将△AOC沿AC翻折，点O恰好落在BC边上的点G处．（1）示点C的坐标，写求抛物线的解析式；（2）如图2，线段CB上有一动点P，从C点开始以每秒1个单位的速度向B点运动，过点P作PM⊥BC交线段CA于点M，记点P运动时间为t，△CPO与△CPM的面积之差为y，求y与t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）在（2）的基础上，t取何值时y有最大值，并求出最大值．【解答】解：（1）∵AC平分∠OCB，∴AG=OA=3，CG=OC，AB=5，∴GB=4．设OC=x则CB=x+4，由勾股定理得：x2+82=（x+4）2，得x=6，∴C的坐标为（0，6）．设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）（x﹣8），将点C坐标代入可得a=∴y=（x﹣3）（x﹣8）=x2﹣x+6；（2）过点P作PL⊥OC，垂足为L，则∠CPL=∠B，而Rt△BOC中，sin∠B==，cos∠B=，由题意得CP=t，则LP=CPcos∠B=，△CPO的面积为：OC•PL=×6×=，∵CA平分∠OCB，∴∠MCP=∠OCA，Rt△AOC中，tan∠OCA==，∴PM=．△CPM的面积为：CP•PM=•t•=t2，∴y=﹣t2（0＜t≤6）；（3）∵y=﹣t2=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，y有最大值为．22．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）①点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣2，﹣4）；②若点P的“k属派生点”的坐标为P′（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标（1，2）；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为±1；（3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，且点A是点B的“﹣属派生点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．【解答】解：（1）①当a=﹣1，b=﹣2，k=2时，a+=﹣1+=﹣2，ka+b=2×（﹣1）﹣2=﹣4．∴点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣4）．②由题可得：∴ka+b=3k=3．∴k=1．∴a+b=3．∴b=3﹣a．当a=1时，b=2，此时点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．说明：只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可．（2）∵点P在x轴的正半轴上，∴b=0，a＞0．∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）．∴PP′⊥OP．∵△OPP′为等腰直角三角形，∴OP=PP′．∴a=±ka．∵a＞0，∴k=±1．故答案为：±1．（3）设点B的坐标为（m，n），∵点A是点B的“﹣属派生点”，∴点A的坐标为（m+，﹣m+n），∵点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，∴（m+）（﹣m+n）=4，且m+＜0．整理得：（m+）2=4．∵m+＜0，∴m+=﹣2．∴n=m+2．∴点B的坐标为（m，m+2）．过点B作BH⊥OQ，垂足为H，如图所示．∵点Q的坐标为（0，4），∴QH2=（m+2﹣4）2=（m﹣2）2，BH2=m2．∴BQ2=BH2+QH2=m2+（m﹣2）2=4m2﹣12m+12=4（m﹣）2+3．∵4＞0，∴当m=时，BQ2最小，即BQ最小．此时n=m+2=+2=．∴当线段BQ最短时，B点坐标为（，）．23．已知：点火器A是直线y=kx上一点，点P是线段OA上的一个动点（P不与O，A重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点B，以PB为边长在PB的右侧做正方形PBCD，则点C落在x轴上，作射线AD交x轴于点E，如图，若OA=10，cos∠AOE=，设OP=m．（1）求点A的坐标；（2）请用含m的代数式表示△APD的面积为S，并求当m为何值时，S有最大（或最小）值，最大（或最小）值是多少？（3）①请用含m的代数式表示线段OE的长；②当m为何值时，以点O，D，C为顶点的直角三角形与Rt△CDE相似？【解答】解：（1）设A（a，b），作AF⊥OE于F．cos∠AOF==，即a=×10=6，sin∠AOF==，即b=×10=8，则A（6，8）；（2）∵sin∠AOB=，sin∠APD=sin∠AOB=，∵AP=OA﹣OP=10﹣m，==，即PB=PD=m，=AP•PDsin∠APD=××（10﹣m）×m═﹣m2+m，∴S△APD有最大值，当m=5时，S max=8；则S△APD（3）①∵△APD∽△AOE，∴=，即=，整理得：OE=，②∵DC与OC成固定比例，若△OCD∽△DCE，则有==，即=，解得：m=．若△OCD∽△ECD，则有==，∴=，解得m=，综上所述，m的值为或．。

浙江省2015届九年级(上)期中数学试卷(解析版)

浙江省2015届九年级上学期期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）二次函数y=（x﹣2）2+1的图象上的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）2．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定3．（3分）有5个杯子，其中2个是一等品，2个是二等品，其余是三等品，任意取一个杯子，是一等品的概率是（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.84．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC的度数是（）A．15°B．30°C．60°D．120°5．（3分）将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得图象的函数解析式是（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2﹣36．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天会下雨B．三角形两边之和大于第三边C．两个数的和大于每一个加数D．在一个没有红球的盒子里，摸到红球7．（3分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣4x+m上的点，则（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）正六边形的边长是2cm ，那么它的外接圆的直径是cm ．10．（3分）已知圆心角为120°的扇形的面积为12πcm 2，则扇形的弧长是cm ． 11．（3分）某公园有2个入口和4个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有种不同出入路线的可能．12．（3分）抛物线y =﹣（x +2）2﹣4，当（填x 的取值范围）时，y 随x 的增大而增大． 13．（3分）袋中装有3个绿球，3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中摸出一个红球的概率是． 14．（3分）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠A =62°，则∠C =°．15．（3分）一名男生推铅球，铅球行进高y （单位：m ）与水平距x （单位：m ）之间的关系是y =﹣x 2+x +．则他将铅球推出的距离是m ．16．（3分）⊙O 的半径是2，它的两条弦AB 、AC 的长分别2，2，则∠BAC =°．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，已知抛物线y =x 2+2x ﹣3与x 轴的两个交点分别是A 、B （A 在B 的左侧）．（1）求A 、B 的坐标；（2）利用函数图象，求当y ＜5时，x 的取值范围．18．（6分）某女生有白色、紫色上衣各一件，白色裙子2件，粉红色裙子1件．任意选取一件上衣和一件裙子，请用列表或画树状图的方法求事件A：选取的上衣和裙子都是白色的概率．19．（8分）如图，△ABC中，BC=5，AC=5，AB=8．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；（说明：要求保留作图痕迹，不要求写作法）（2）求它的外接圆的半径．20．（6分）某果园有100棵桔子树，平均每一棵树结600个桔子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个桔子．问果园多种多少棵桔子树，果园里桔子总个数最多．21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，求证：（1）CB∥PD；（2）=．22．（8分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F．（1）求F的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之和．23．（12分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（1，0）和点C（0，3），该抛物线与x轴的另一个交点为B，顶点是D．（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求△ACD的面积；（3）如图2，在直线y=﹣2x上有一动点E，过E作直线EF∥y轴，交该抛物线于点F，以E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形，求E点的坐标．浙江省温州市瓯海区2015届九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）二次函数y=（x﹣2）2+1的图象上的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）考点：二次函数的性质．分析：根据顶点式的意义直接解答即可．解答：解：二次函数y=（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（2，1）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．2．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定考点：点与圆的位置关系．分析：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．解答：解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C．点评：此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3．（3分）有5个杯子，其中2个是一等品，2个是二等品，其余是三等品，任意取一个杯子，是一等品的概率是（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8考点：概率公式．分析：让一等品数除以总产品数即为所求的概率．解答：解：∵共5个杯子，一等品有2个，∴任取一个杯子是一等品的概率是=0.4，故选B．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．4．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC的度数是（）A．15°B．30°C．60°D．120°考点：圆周角定理．分析：直接根据圆周角定理求解．解答：解：∵∠BOC=2∠A，而∠A=60°，∴∠BOC=120°．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（3分）将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得图象的函数解析式是（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2﹣3考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．解答：解：把抛物线y=2x2向左平移1个单位得到抛物线y=2（x+1）2的图象，再向下平移3个单位得到抛物线y=2（x+1）2﹣3的图象，故选C．点评：主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．6．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天会下雨B．三角形两边之和大于第三边C．两个数的和大于每一个加数D．在一个没有红球的盒子里，摸到红球考点：随机事件．分析：必然事件就是一定发生的事件，据此即可判断．解答：解：A、是随机事件，选项错误；B、是必然事件，正确；C、是随机事件，选项错误；D、是不可能事件，选项错误．故选B．点评：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．（3分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣4x+m上的点，则（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：求出抛物线的对称轴为直线x=﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．解答：解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∵a=﹣1＜0，∴x=﹣2时，函数值最大，又∵﹣1到﹣2的距离比2到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选A．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）正六边形的边长是2cm，那么它的外接圆的直径是4cm．考点：正多边形和圆．分析：如图，首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=，然后证明AD为⊙O的直径；求出OA=AB=2cm问题即可解决．解答：解：如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六变形，则其中心O即为该六变形外接圆的圆心；易知：∠AOB=∠BOC=∠COD=，∴∠AOD=180°，即AD为⊙O的直径；∵OA=OB，且∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴OA=AB=2cm，∴AD=4cm，即正六边形的外接圆的直径是4cm．点评：该题以正多边形和圆为载体，以圆内接正多边形的性质、圆周角定理等几何知识点的考查为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．10．（3分）已知圆心角为120°的扇形的面积为12πcm2，则扇形的弧长是4πcm．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．分析：根据扇形面积公式S=和弧长公式l=进行计算．解答：解：令扇形的半径和弧长分别为R和l，则∵S==12π，∴R=6cm，∴l==4πcm．∴扇形的弧长为4πcm．点评：本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．11．（3分）某公园有2个入口和4个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有8种不同出入路线的可能．考点：列表法与树状图法．分析：利用树状图表示方法列举出所有的可能即可．解答：解：如图所示：小明从进入公园到走出公园，一共有8种不同出入路线的可能．故答案为：8．点评：此题主要考查了树状图法应用，列举出所有可能是解题关键．12．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣4，当x≤﹣2（填x的取值范围）时，y随x的增大而增大．考点：二次函数的性质．分析：直接利用顶点式求对称轴，然后利用对称轴左右两侧分析函数的单调性．解答：解：∵对称轴x=﹣2，图象开口向下；∴当x≥﹣2时，y随x的增大而减小；当x≤﹣2时，y随x的增大而增大，故答案为：x≤﹣2．点评：主要考查了函数的单调性和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．13．（3分）袋中装有3个绿球，3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中摸出一个红球的概率是．考点：概率公式．分析：由袋中装有3个绿球，3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵袋中装有3个绿球，3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同，∴从袋中摸出一个红球的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）如图，圆内接四边形ABCD中，∠A=62°，则∠C=118°．考点：圆内接四边形的性质．专题：计算题．分析：直接根据圆内接四边形的性质求解．解答：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，∴∠C=180°﹣62°=118°．故答案为118．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．15．（3分）一名男生推铅球，铅球行进高y（单位：m）与水平距x（单位：m）之间的关系是y=﹣x2+x+．则他将铅球推出的距离是5.5m．考点：二次函数的应用．分析：当y=0时，求出y=﹣x2+x+就可以得出x的值就可以求出结论．解答：解：由题意，得﹣x2+x+=0，解得：x1=5.5，x2=﹣0.5（舍去）．故答案为：5.5．点评：本题考查了二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时运用函数的解析式求值时关键．16．（3分）⊙O的半径是2，它的两条弦AB、AC的长分别2，2，则∠BAC=15°或75°°．考点：垂径定理；特殊角的三角函数值．专题：分类讨论．分析：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，根据垂径定理得到AD=BD=，AE=CE=，在Rt△OAD中，利用余弦定义得cos∠OAD，所以∠OAD=45°；在Rt△OAE中，由于cos∠OAE=，所以∠OAD=30°，然后分类讨论：当圆心0在∠BAC内部，则∠BAC=∠OAB+∠OAC；当圆心0在∠BAC外部，则∠BAC=∠OAB﹣∠OA C．解答：解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，∵AB=2，AC=2，∴AD=BD=，AE=CE=，在Rt△OAD中，∵cos∠OAD==，∴∠OAD=45°；在Rt△OAE中，∵cos∠OAE==，∴∠OAD=30°，当圆心0在∠BAC内部，则∠BAC=∠OAB+∠OAC=45°+30°=75°，当圆心0在∠BAC外部，则∠BAC=∠OAB﹣∠OAC=45°﹣30°=15°．故答案为15°或75°．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．记住特殊角的三角函数值．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两个交点分别是A、B（A在B的左侧）．（1）求A、B的坐标；（2）利用函数图象，求当y＜5时，x的取值范围．考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．专题：计算题．分析：（1）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x2+2x﹣3=0即可得到A点和B点坐标；（2）先计算出y=5所对应的自变量的值，然后根据二次函数图象求解．解答：解：（1）当x2+2x﹣3=0时，解得x1=﹣3，x2=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）当y=5时，x2+2x﹣3=5，整理得x2+2x﹣8=0，解得x1=﹣4，x2=2，由函数图象可得，当﹣4＜x＜2时，y＜5．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．18．（6分）某女生有白色、紫色上衣各一件，白色裙子2件，粉红色裙子1件．任意选取一件上衣和一件裙子，请用列表或画树状图的方法求事件A：选取的上衣和裙子都是白色的概率．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意列表，由表可求得所有等可能的结果与选取的上衣和裙子都是白色的概率的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案解答：解：列表如下：裙子上衣白色1 白色2 粉红色白色（白，白）（白，白）裙子（白，粉）紫色（紫，白）（紫，白）（紫，粉）从列表知所有可能结果总数n=6，而事件A包含其中的结果总数是2，所以P（A）==．点评：此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．19．（8分）如图，△ABC中，BC=5，AC=5，AB=8．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；（说明：要求保留作图痕迹，不要求写作法）（2）求它的外接圆的半径．考点：作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．分析：（1）首先做出BC与AC的垂直平分线，进而得出其交点即为圆心，进而得出外接圆；（2）利用等腰三角形的性质以及勾股定理得出⊙O的半径．解答：解：（1）如图所示：（2）如图，连结OA，OC，CO交AB于D．∵AC=BC，∴OC⊥AB，且AD=BC=4，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==3，设圆O的半径是r，则OA=OC=r，OD=r﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2=OD2+AD2，所以r2=（r﹣3）2+42，解得r=，即外接圆的半径是．点评：此题主要考查了三角形外接圆作法以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，得出OC⊥AB是解题关键．20．（6分）某果园有100棵桔子树，平均每一棵树结600个桔子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个桔子．问果园多种多少棵桔子树，果园里桔子总个数最多．考点：二次函数的应用．分析：根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而利用配方法求得y的最大值．解答：解：设果园增种x棵桔子树，果园里总桔子数为y个．则y=（100+x）（600﹣5x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500∵a=﹣5＜0∴当x=10时，y有最大值60500．答：当多种10棵时，总桔子数最多．点评：此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，求证：（1）CB∥PD；（2）=．考点：圆周角定理；平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）先根据圆周角定理得出∠P=∠C，再根据∠1=∠C可知∠1=∠P，由此可得出结论；（2）先根据∠1=∠C得出=，再根据AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E可知=，根据等量代换可得出结论．解答：（1）证明：∵∠P，∠C所对的弧都是，∴∠P=∠C．∵∠1=∠C，∴∠1=∠P，∴CB∥PD；（2）证明：∵∠1=∠C，∴=．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，∴=，∴=．点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．22．（8分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F．（1）求F的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之和．考点：二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积．专题：计算题．分析：（1）先把解析式配成顶点式得到顶点M的坐标是（1，4），对称轴是直线x=1，则点E的坐标是（0，4），再求出B（3，0），然后利用待定系数法求出直线BE的解析式为y=﹣x+4，再计算x=1时所对应的一次函数值即可确定F点坐标；（2）先计算出EM=1，MF=4﹣=，FN=，BN=3﹣1=2，然后根据三角形面积公式求解．解答：解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M的坐标是（1，4），对称轴是直线x=1，∵ME⊥y轴，∴点E的坐标是（0，4），解方程﹣x2+2x+3=0得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（3，0），E（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，∵当x=1时，y=﹣x+4=，∴所以F的坐标是（1，）；（2）由（1）可得EM=1，MF=4﹣=，FN=，BN=3﹣1=2，S△EFM+S△BNF=•1•+•2•=．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了待定系数法求一次函数解析式．23．（12分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（1，0）和点C（0，3），该抛物线与x轴的另一个交点为B，顶点是D．（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求△ACD的面积；（3）如图2，在直线y=﹣2x上有一动点E，过E作直线EF∥y轴，交该抛物线于点F，以E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形，求E点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；（2）利用待定系数法求出直线AD的解析式，设AD与y轴的交点为H，然后求出CD的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）根据二次函数解析式与直线解析式表示出EF，然后根据平行四边形的对边平行且相等列方程求解即可．解答：解：（1）由题意得，，解得，所以，二次函数解析式是y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴D点的坐标是（﹣1，4）；（2）设AD的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线AD的解析式为y=﹣2x+2，设AD与y轴的交点为H，则CH=3﹣2=1，所以，S△ACD=×1×（1+1）=1；（3）如图，设E点的坐标是（x，﹣2x），则F点的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），EF=|﹣x2﹣2x+3+2x|=|x2﹣3|，∵OC∥DE，∴要使以F、E、C、O为顶点的四边形是平行四边形时，只要EF=OC，∴|x2﹣3|=3，∴x2﹣3=3或x2﹣3=﹣3，解得x=±，x=0（舍去），当x=时，y=﹣2x=﹣2，当x=﹣时，y=﹣2x=2，所以，点E的坐标为（，﹣2）或（﹣，2）．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的对边平行且相等的性质，难点在于（3）列出绝对值方程．。

2014-2015年浙江省杭州市九年级(上)期中数学试卷和答案

2014-2015学年浙江省杭州市九年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题纸中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列函数有最大值的是（）A．B．C．y=﹣x2D．y=x2﹣22．（3分）在同一坐标系中，作y=2x2+2、y=﹣2x2﹣1、的图象，则它们（）A．都是关于y轴对称B．顶点都在原点C．都是抛物线开口向上D．以上都不对3．（3分）已知二次函数y=（2x﹣1）2﹣2，其顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（，﹣2）C．（﹣，﹣2）D．（﹣1，﹣2）4．（3分）下列说法中不正确的是（）A．函数y=2（x﹣1）2﹣1的一次项系数是﹣4B．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨C．若a为实数，则|a|＜0是不可能事件D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同），如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n 的和是65．（3分）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此拋物线的对称轴是（）A．直线x=4 B．直线x=3 C．直线x=﹣5 D．直线x=﹣16．（3分）函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定7．（3分）在同一平面坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x 轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．9．（3分）用列表法画二次函数y=x2+bx+c的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，272，380，516，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）A．182 B．274 C．380 D．51610．（3分）某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；方法二：以点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线；方法三：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；方法四：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线．这些分割方法中分割线最短的是（）A．方法一B．方法二C．方法三D．方法四二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）如果线段c是a、b的比例中项，且a=4，b=9，则c=．12．（4分）已知二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1的图象顶点在x轴上，则a=．13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，BD=4，则BC=．14．（4分）如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是．15．（4分）已知函数y=，则使y=k成立的x值恰好有四个，则k的取值为．16．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ=OQ，则∠CPO=．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）已知抛物线y=ax2﹣5x+4a过点C（5，4）．（1）求a的值；（2）求该抛物线顶点的坐标．18．（8分）如图，⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC．19．（8分）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．20．（10分）某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．问将售价定为多少元时，才能使日利润最大？求最大利润．21．（10分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3=0有实数根的概率；（3）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率．22．（12分）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．23．（12分）如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0，5），B（﹣1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F．①求点F的坐标；②求四边形ADEF的面积；（3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题纸中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列函数有最大值的是（）A．B．C．y=﹣x2D．y=x2﹣2【解答】解：A和B选项函数图象都沿着坐标轴趋于无穷，所以没有最大值；C函数图象开口向下，定点为（0，0），所以最大值为0；D函数图象开口向上，只有最小值，没有最大值；∴本题选C；2．（3分）在同一坐标系中，作y=2x2+2、y=﹣2x2﹣1、的图象，则它们（）A．都是关于y轴对称B．顶点都在原点C．都是抛物线开口向上D．以上都不对【解答】解：经过观察可得3个二次函数的一次性系数均为0，那么这3个二次函数的对称轴都是y轴，故选A．3．（3分）已知二次函数y=（2x﹣1）2﹣2，其顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（，﹣2）C．（﹣，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：y=（2x﹣1）2﹣2=4（x﹣）2﹣2，顶点坐标为（，﹣2）．故选：B．4．（3分）下列说法中不正确的是（）A．函数y=2（x﹣1）2﹣1的一次项系数是﹣4B．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨C．若a为实数，则|a|＜0是不可能事件D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同），如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n 的和是6【解答】解：A、函数y=2（x﹣1）2﹣1=2x2﹣4x+1故一次项系数是﹣4，此选项正确，不合题意；B、“明天降雨的概率是50%”表示降雨的可能性，故此选项错误，符合题意；C、若a为实数，则|a|＜0是不可能事件，此选项正确，不合题意；D、一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同），如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6，此选项正确，不合题意．故选：B．5．（3分）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此拋物线的对称轴是（）A．直线x=4 B．直线x=3 C．直线x=﹣5 D．直线x=﹣1【解答】解：两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8）关于对称轴对称，对称轴x==﹣1，则此拋物线的对称轴是直线x=﹣1．故选D．6．（3分）函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定【解答】解：∵y=﹣2x2﹣8x+m，∴此函数的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2，∵x1＜x2＜﹣2，两点都在对称轴左侧，a＜0，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∴y1＜y2．故选：A．7．（3分）在同一平面坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：解法一：逐项分析A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；解法二：系统分析当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，对称轴x=＜0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选：D．8．（3分）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x 轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x﹣2=﹣1，当x=时，y=x﹣2=﹣，∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，A A′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．9．（3分）用列表法画二次函数y=x2+bx+c的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，272，380，516，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）A．182 B．274 C．380 D．516【解答】解：设相邻的两个自变量的值为x1、x2，代入y=x2+bx+c，计算差值为：y1﹣y2=（x12﹣x22）+b（x1﹣x2）=（x1﹣x2）（x1+x2+b），因此函数值之间的差值间隔是相等的，即含有公因数x1﹣x2，计算各个差值为56﹣20=36；110﹣56=54；182﹣110=72；272﹣182=90；380﹣272=108；516﹣380=136；650﹣516=134，36、54、72、90、108都含有公因数9，即x1﹣x2=9，而136不含有因数9，∴可以断定是516错误了．10．（3分）某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；方法二：以点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线；方法三：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；方法四：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线．这些分割方法中分割线最短的是（）A．方法一B．方法二C．方法三D．方法四【解答】解：根据等腰直角三角形的性质，方法一中，△ADE∽△ABC，有DE2：BC2=S△ADE：S△ABC=1：2，∵腰长为100米，∴BC=100m，∴DE=100m；方法二中，S=×100×100=5000，△ABC故扇形的面积==2500=×AD2π，则AD=，故==50（m）．方法三中，AD==50（m）；方法四中，BD==50（m）；则方法三中的分割线最短．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）如果线段c是a、b的比例中项，且a=4，b=9，则c=6．【解答】解：∵c是a、b的比例中项，∴c2=ab，又∵a=4，b=9，∴c2=ab=36，解得c=±6．又c为线段的长度，故c=﹣6舍去；即c=6．12．（4分）已知二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1的图象顶点在x轴上，则a=2．【解答】解：根据题意，得=0，将a=﹣1，b=a，c=﹣a+1代入，得=0，所以解得：a=2．故答案为：2．13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，BD=4，则BC=2．【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ADB=∠ABC=∠ACB=30°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB=BD=2，过A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，可求得BE=，∴BC=2，故答案为：2．14．（4分）如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是．【解答】解：在5×5的网格中共有36个格点，而使得三角形面积为1的格点有8个，故使得三角形面积为1的概率为=，故答案为：．15．（4分）已知函数y=，则使y=k成立的x值恰好有四个，则k的取值为﹣1＜k＜3．【解答】解：函数y=的图象为：当﹣1＜k＜3时，函数图象与直线y=k有四个公共点，故满足条件的k的取值范围是﹣1＜k＜3，故答案为：﹣1＜k＜3．16．（4分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ=OQ，则∠CPO=15°或45°或105°．【解答】解：当P在直线AB延长线上时，如图所示：连接OC，设∠CPO=x°，∵PQ=OQ，∴∠QOP=∠CPO=x°，∴∠CQO=2x°，∵OQ=OC，∴∠OCQ=∠CQO=2x°，∵点C为半圆上的四等分点，∴∠AOC=45°，∴x+2x=45，∴x=15，∴∠CPO=15°，当P在直线BA延长线上，PC是切线时，点C与点Q重合，此时∠CPO=45°．同理可得，当P在线段AB上时，∠CPO=105°．故答案为：15°或45°或105°．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）已知抛物线y=ax2﹣5x+4a过点C（5，4）．（1）求a的值；（2）求该抛物线顶点的坐标．【解答】解：（1）把C（5，4）代入y=ax2﹣5x+4a得25a﹣25+4a=4，解得a=1；（2）抛物线解析式为y=x2﹣5x+4=（x﹣）2+，所以抛物线的顶点坐标为（，）．18．（8分）如图，⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC．【解答】证明：∵⊙O中的弦AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，∴=，∴AD=BC．19．（8分）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．【解答】解：（1）当x=0时，y=1．所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；（2）①当m=0时，函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．综上，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．20．（10分）某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．问将售价定为多少元时，才能使日利润最大？求最大利润．【解答】解：设售价为x元，总利润为y元，由题意可得，y=（x﹣18）[20+（40﹣x）×2]，=﹣2x2+136x﹣1800，=﹣2（x﹣34）2+512，当x=34时，y有最大值512；答：将售价定为34元时，才能使日利润最大，最大利润是512元．21．（10分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3=0有实数根的概率；（3）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率．【解答】解：（1）根据题意得：抽取的数字为正数的情况有1个，则P=；（2）∵方程ax2﹣2ax+a+3=0有实数根，∴△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a≥0，且a≠0，解得：a＜0，则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3=0有实数根的概率为；（3）列表如下：所有等可能的情况有12种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有2种，则P==．22．（12分）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵C（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∴3=a×1×（﹣3），∴a=﹣1，∴此抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（2）存在．∵抛物线的对称轴为：直线x==1，∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1，∵OA=OQ1，BO⊥AQ1，∴当Q1B=AB时，设Q（1，q），∴1+（q﹣3）2=10，∴q=0，或q=6，∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直线AB上，舍去）．当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），∴22+m2=12+（3﹣m）2，∴m=1，∴Q2（1，1）；当Q3A=AB时，设Q3（1，n），∴22+n2=12+32，∴n=±，∴Q3（1，），Q4（1，﹣）．∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，），Q4（1，﹣）．23．（12分）如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0，5），B（﹣1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F．①求点F的坐标；②求四边形ADEF的面积；（3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，由于抛物线经过点B（﹣1，0），C（5，0），因此该抛物线解析式可设为y=a（x+1）（x﹣5），把A（0，5）代入y=a（x+1）（x﹣5），得﹣5a=5，解得：a=﹣1，∴y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5 …2分（2）①如图2，∵抛物线的对称轴x=﹣=2，点A（0，5）和点E关于抛物线对称轴对称，∴点E的坐标为（4，5），∴直线OE的解析式为y=x，解方程组，得，或，∴点F坐标为（﹣，﹣）②∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，9），=S△ADE+S△AEF∴S四边形ADEF=×4×（9﹣5）+×4×（5+）=（3）①若AE是平行四边形的对角线，如图3①，则点M在对称轴上，即在顶点D处，此时点M的坐标（2，9），点N的坐标为（2，1）；②若AE是平行四边形的一边，如图3①，则有MN=AE=4，∴点M的横坐标为﹣2或6．Ⅰ．当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）2+4×（﹣2）+5=﹣7，此时点M的坐标为（﹣2，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）；Ⅱ．当x=6时，y=﹣62+4×6+5=﹣7，此时点M的坐标为（6，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）．综上所述：符合要求的点M、N的坐标为M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）．（注：没过程，写对点的坐标酌情扣1～2 分）。

2014-2015学年度第二学期九年级期中测试数学试卷附答案

2014-2015学年度第⼆学期九年级期中测试数学试卷附答案2014-2015学年度第⼆学期九年级期中测试数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分130分.）考⽣注意：请将所有答案都写在答卷上.⼀、选择题(本⼤题共l0⼩题．每⼩题3分．共30分．)1．3-的相反数是（▲）A.3B.－3C. 31D. 31- 2．⼆次根式1-x 中，字母x 的取值范围是（▲）A. 1B. 1≤xC. 1≥xD. 1>x3. 2⽉26⽇,国家统计局发布《2014年国民经济和社会发展统计公报》．《公报》显⽰，初步核算，全年国内⽣产总值约为640000亿元，⽤科学计数法可表⽰为( ▲ )亿元．A.5103.6? 亿元B. 6103.6?亿元C. 5104.6? 亿元D. 61064.0? 亿元4．下列图形中，是中⼼对称图形但不是轴对称图形的是（▲）5．为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪⼏种⽔果作了民意调查.那么最终买什么⽔果，下⾯的调查数据最值得关注的是（▲）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．加权平均数6．已知⊙O 的半径为5，直线l 上有⼀点P 满⾜PO =5，则直线l 与⊙O 的位置关系是（▲）A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交7. 在平⾯直⾓坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（▲）A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =--C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =+-8．如图，AB 是半圆O 直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 分别交OC 于点E ，交BC ︵于点D ，连接CD 、OD ，以下三个结论：①AC ∥OD ；②AC ＝2CD ；③线段CD 是CE 与CO 的⽐例中项，其中所有正确结论的序号是（▲）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9. 矩形ABCD 中，边长AB =4，边BC =2，M 、N 分别是边BC 、CD上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．则CN 的最⼤为（▲）A ．1B ． 21C ．41D ．2 10.已知：顺次连接矩形各边的中点，得到⼀个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到⼀个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到⼀个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2014个图形中直⾓三⾓形的个数有（▲） A B M C N D （第9题） O A B CD E （第8题）A ．2014个B ．2015个C ．4028个D ．6042个⼆、填空题（本⼤题共8⼩题．每⼩题2分，共16分.）11. 4的算术平⽅根是▲．12. 因式分解：a ax ax 442+-= ▲．13. 如图，AB ∥ED ，∠ECF ＝70°，则∠BAF 的度数为▲．14. 已知圆锥的底⾯半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧⾯积是▲．15. 长⽅体的主视图、俯视图如右图所⽰，则其左视图⾯积为▲．16. 判断关于x 的⼀元⼆次⽅程()02122=++++k x k kx 的根的情况，结论是▲．（填“有两个不相等的实数根”、“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）17. 如图，扇形OMN 与正三⾓形ABC ，半径OM 与AB 重合，扇形弧MN 的长为AB 的长，已知AB =10，扇形沿着正三⾓形翻滚到⾸次与起始位置相同，则点O 经过的路径长▲ .18. 如图，在平⾏四边形ABCD 中，∠BCD=30°，BC=4，CD=33，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的⼀动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最⼩值是__ ▲___．三、解答题（本⼤题共10⼩题，共84分）19. (本题满分8分)计算：（1）232)21(123---- （2）()21111-÷??? ??--+x x x x x20．(本题满分8分)N M DC B AA'（第18题）（1）解⽅程：32321---=-x x x ；（2）解不等式组：12x ≤1，…………①2(x ―1)＜3x ． …②21.（本题满分8分）（1）如图，试⽤直尺与圆规在平⾯内确定⼀点O ，使得点O 到Rt △ABC 的两边AC 、BC 的距离相等，并且点O 到A 、B 两点的距离也相等.(不写作法，但需保留作图痕迹)（2）在（1）中，作OM ⊥AC 于M ， ON ⊥BC 于N ，连结A0、BO . 求证：△OMA ≌△ONB .22. （本⼩题满分7分）有3张形状材质相同的不透明卡⽚，正⾯分别写有1、2、－3，三个数字．将这三张卡⽚背⾯朝上洗匀后，第⼀次从中随机抽取⼀张，并把这张卡⽚标有的数字作为⼀次函数b kx y +=中k 的值；第⼆次从余下的两张卡⽚中再随机抽取⼀张，上⾯标有的数字作为b 的值．(1)k 的值为正数的概率是▲；(2)⽤画树状图或列表法求所得到的⼀次函数b kx y +=的图像经过第⼀、三、四象限的概率．23. （本⼩题满分7分）为了解2015年全国中学⽣创新能⼒⼤赛中竞赛项⽬“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：分数段频数频率 60≤x＜70 30 0.170≤x＜80 90 n80≤x＜90 m0.490≤x≤100 60 0.2请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查采⽤的调查⽅式为▲ .(2)在表中：m = ▲．n = ▲ .(3)补全频数分布直⽅图.(4)参加⽐赛的⼩聪说，他的⽐赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在▲分数段内.(5)如果⽐赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项⽬的优秀率⼤约是多少？24. （本⼩题满分8分）C BA某课桌⽣产⼚家研究发现，倾斜为12°—24°的桌⾯有利于学⽣保持躯体⾃然姿势．根据这⼀研究，⼚家决定将⽔平桌⾯做成可调节⾓度的桌⾯．新桌⾯的设计图如图1所⽰，AB 可绕点A旋转，在点C处安装⼀根长度⼀定且C处固定，可旋转的⽀撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24°，求此时⽀撑臂CD的长．（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12°，求此时AD的长（结果保留根号）．【参考数据:sin24°=0.40，cos24°=0.91，tan24°=0.46，sin12°=0.20】25. （本题满分10分）为了迎接⽆锡市排球运动会，市排协准备新购⼀批排球.（1）张会长问⼩李：“我们现在还有多少个排球？”，⼩李说：“两年前我们购进100个新排球，由于训练损坏，现在还有81个球.”，假设这两年平均每年的损坏率相同，求损坏率.（2）张会长说：“我们协会现有训练队是奇数个，如果新购进的排球，每队分8个球，新球正好都分完；如果每队分9个球，那么有⼀个队分得的新球就不⾜6个，但超过2个.”请问市排协准备新购排球多少个？该协会有多少个训练队？（3）张会长要求⼩李去买这批新排球，⼩李看到某体育⽤品商店提供如下信息：信息⼀：可供选择的排球有A、B、C三种型号，但要求购买A、B型号数量相等.信息⼆：如表：型号每个型号批发单价（元）每年每个型号排球的损坏率A30 0.2B20 0.3C50 0.1设购买A、C型号排球分别为a个、b个，请你能帮助⼩李制定⼀个购买⽅案.要求购买总费⽤w（元）最少，⽽且要使这批排球两年后没有损坏的个数不少于27个.26. （本⼩题满分10分）。

2014-2015学年浙江省杭州十五中教育集团九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2014-2015学年浙江省杭州十五中教育集团九年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选1．（3分）下列说法中一定正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）一定是二次函数B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数C．路程一定时，速度是关于时间的二次函数D．圆的周长是关于圆的半径的二次函数2．（3分）二次函数的y=x2﹣4x+3图象可以由二次函数y=x2的图象平移得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°4．（3分）已知ad=bc（a，b，c，d不等于零），那么下列各式中不正确的是（）A．=B．=C．=D．=5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．7．（3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．169．（3分）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A．B．C．D．10．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、认真填一填11．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3=0的根是．12．（3分）如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）13．（3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值是．14．（3分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC长分别为和，则∠BAC=．15．（3分）下面是三个同学对问题“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），你是否也知道二次函数y=4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标？”的讨论；甲说：“这个题目就是求方程4ax2+2bx+c=0的一个解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为二次函数y=4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是．16．（3分）如图，半径为3cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F 分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为．三、全面答一答17．已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．18．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，求⊙O的直径．19．如图MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，C为AM的中点，过C点作BC ∥MN交⊙O于点B．求证：=．20．某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同）打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k 的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由．21．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．22．（1）请将下表补充完整：，（（2）利用你在填上表时获得的收获，解不等式﹣x 2﹣2x +3＜0（写出过程）；（3）利用你在填上表时获得的收获，编一个解集为全体实数的一元二次不等式． 23．已知，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．（1）求点C 的坐标和过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式；（2）P 是此抛物线的对称轴上一动点，当以P 、O 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标；（3）M （x ，y ）是此抛物线上一个动点，当△MOB 的面积等于△OAB 面积时，求M 的坐标．2014-2015学年浙江省杭州十五中教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选1．（3分）下列说法中一定正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）一定是二次函数B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数C．路程一定时，速度是关于时间的二次函数D．圆的周长是关于圆的半径的二次函数【解答】解：A、只有当a≠0才是二次函数，错误；B、由已知得S=πR2，S是R的二次函数，正确；C、由已知得v=，s一定，是反比例函数，错误；D、由已知得C=2πR，是一次函数，错误．故选B．2．（3分）二次函数的y=x2﹣4x+3图象可以由二次函数y=x2的图象平移得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位【解答】解：根据题意y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选：B．3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°【解答】解：∵∠BOC=78°，∴∠BAC=∠BOC=39°．故选：C．4．（3分）已知ad=bc（a，b，c，d不等于零），那么下列各式中不正确的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：A、ad=bc，则=，所以=，所以A选项计算正确；B、ad=bc，则=，所以=，所以B选项计算正确；C、ad=bc，则=，所以=，所以C选项计算正确；D、ad=bc，则=，所以=，所以D选项计算错误．故选：D．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B．6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选：A．7．（3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵x2+px+q=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=p2﹣4q≥0，∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1）共3种情况，∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是：=．故选：A．8．（3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．9．（3分）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，得，解得：a=，r=．故最小半径为r=．故选：D．10．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、认真填一填11．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3=0的根是x1=﹣1，x2=3．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴一元二次方程ax2+bx+3=0的根是：x1=﹣1，x2=3．故答案为：x1=﹣1，x2=3．12．（3分）如图，添加一个条件：∠ADE=∠ACB，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：∠ADE=∠ACB（答案不唯一）．13．（3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值是5或．【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，∵当6和8为直角边时，根据勾股定理可知斜边为10，∴==，解得x=5；当6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为2．∴==，解得x=．∴x=5或，故答案为：5或．14．（3分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC长分别为和，则∠BAC=75°或15°．【解答】解：①如图，连接OA，作OM⊥AB，ON⊥AC，∵AB、AC为⊙0的弦，∴AM=，AN=，∵OA=1，∴在Rt△ONA和Rt△OMA中，∴∠OAN=45°，∠OAM=30°，∴∠BAC=75°．②若AC和AB在圆心同侧时，则∠BAC=45°﹣30°=15°，故答案为：75°或15°．15．（3分）下面是三个同学对问题“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），你是否也知道二次函数y=4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标？”的讨论；甲说：“这个题目就是求方程4ax2+2bx+c=0的一个解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为二次函数y=4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（，0）．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），∴9a+3b+c=0，即c=﹣9a﹣3b①，∵把①代入一元二次方程4ax2+2bx+c=0得，4ax2+2bx﹣9a﹣3b=0，即a（4x2﹣9）+b（2x﹣3）=0，（2x﹣3）[（a（2x+3）+b）]=0，∴2x﹣3=0，解得x=，∴二次函数y=4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（，0）．故答案为：（，0）．16．（3分）如图，半径为3cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F 分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为．【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△CAG，由于C、D为直径AB的三等分点，∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴=，在Rt△ONC中，∠OCN=60°，∴ON=sin∠OCN•OC=•OC，∵OC=OA=2，∴ON=×2=，∴AM=3，∵ON⊥GE，∴NE=GN=GE，连接OE，在Rt△ONE中，NE==，∴GE=2NE=2，∴S=GE•AM=×2×3=3，△AGE∴图中两个阴影部分的面积为3．故答案为：3．三、全面答一答17．已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．【解答】解：（1）由二次函数图象知，函数与x轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），又∵函数与y轴交于点（0，2），代入解析式得，a×（﹣3）=2，∴a=﹣，∴二次函数的解析式为：，即；（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=，∴△ABP的面积S===．18．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，求⊙O的直径．【解答】解：如图，连接BE．∵AE是直径，AD⊥BC，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE，∴=，∴=，∴AE=5，∴⊙O的直径为5．19．如图MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，C为AM的中点，过C点作BC∥MN交⊙O于点B．求证：=．【解答】解：如图，延长BC交AO于点D．∵C为AM的中点，BC∥MN，∴AD=OD=AO，∴OD=BO，∵OA⊥MN，∴∠AOM=90°，∴∠BDO=90°，∴∠OBD=30°，∴∠BOM=30°，∴=．20．某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同）打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k 的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由．【解答】解：（1）∵在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），∴取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为；（2）这一规定不公平，理由：∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其它序号学生概率不可能为100%，∴这一规定不公平．21．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC又∵OF⊥AC∴OF∥BC（2）证明：∵AB⊥CD∴=∴∠CAB=∠BCD又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，∴△AFO≌△CEB（3）解：连接DO．设OE=x，∵AB⊥CD∴CE=CD=5cm．在△OCB中，OC=OB=x+5（cm），根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2解得：x=5，即OE=5cm，∴tan∠COE===，∴∠COE=60°∴∠COD=120°，∴扇形COD 的面积是：=cm2△COD 的面积是：CD•OE=×10×5=25cm2∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．22．（1）请将下表补充完整：，（≠﹣（2）利用你在填上表时获得的收获，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0（写出过程）；（3）利用你在填上表时获得的收获，编一个解集为全体实数的一元二次不等式．【解答】解：（1）△＞0△=0△＜0判别式△=b2﹣4ac二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根使y＞0的x的取值x≠﹣全体实数范围x＜x1或x＞x2全体实数不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集不等式ax2+bx+c＜0x1＜x＜x2无解无解（2）由原不等式，得x2+2x﹣3＞0，∵△=4+12＞0，解方程x2+2x﹣3=0，得不相等的两个实数根分别为x1=﹣3，x2=1，∵a=1＞0，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞1；（若画出函数y=x2+2x﹣3的图象，并标出与x轴的交点坐标而得解集的，同样可以）（3）如x2+x+1＞0等，（只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可）．23．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt △OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．【解答】解：（1）由已知条件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，C点的坐标为（，3），设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所求抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）由题意，设P（，y），则：OP2=y2+3、CP2=（y﹣3）2=y2﹣6y+9、OC2=12；①当OP=CP时，6y=6，即y=1；②当OP=OC时，y2=9，即y=±3（y=3舍去）；③当CP=OC时，y2﹣6y﹣3=0，即y=3±2；∴P点的坐标是（，1）或（，﹣3）或（，3﹣2）或（，3+2）；（3）过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=2，OB=4，由三角形面积公式得：4×AR=2×2，AR=，∵△MOB的面积等于△OAB面积，∴在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，∠NOD=∠BOA=30°，ON=，则OD=2，求出直线OB的解析式是y=x，则这两条直线的解析式是y=x+2，y=x﹣2，解，，解得：，，，此时，M1（，3）、M2（，）．M3（2，0）．M4（﹣，﹣）．。

浙江省杭州市九年级(上)期中数学试卷-(含答案)

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若圆内接四边形ABCD的内角满足：∠A：∠B：∠C=2：4：7，则∠D=（）A. B. C. D.3.已知⊙O的弦AB长为8厘米，弦AB的弦心距为3厘米，则⊙O的直径等于（）A. 5厘米B. 8厘米C. 10厘米D. 12厘米4.设P是抛物线y=2x2+4x+5的顶点，则点P位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.下列各式的变形中，正确的是（）A. B.C. D.6.如图是某石圆弧形（劣弧）拱桥，其中跨度AB=24米，拱高CD=8米，则该圆弧的半径r=（）A. 8 米B. 12 米C. 13米D. 15 米7.如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC=（）A.B.C.D.8.在长为3cm，4cm，6cm，7cm的四条线段中任意选取三条线段，这三条线段能构成三角形的概率是（）A. B. C. D.9.抛物线y=-x2+2x-2经过平移得到抛物线y=-x2，平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位10.设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D两点（C在D的左侧）．若点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），给出下列结论：①c＜3；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=-．其中正确的是（）A. ①②④B. ①③④C. ②③D. ②④二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知圆O的半径长为6，若弦AB=6，则弦AB所对的圆心角等于______ ．12.已知一次函数的图象经过点A（0，2）和点B（2，-2），则y关于x的函数表达式为______ ；当-2＜y≤4时，x的取值范围是______ ．13.A，B两同学可坐甲，乙，丙三辆车中的任意一辆，则A，B两同学均坐丙车的概率是______ ．14.在平面直角坐标系中，以点（1，1）为圆心为半径作圆O，则圆O与坐标轴的交点坐标是______．15.在直径为20的⊙O中，弦AB，CD相互平行．若AB=16，CD=10，则弦AB，CD之间的距离是______ ．16.设直线y=-x+m+n与双曲线y=交于A（m，n）（m≥2）和B（p，q）两点．设该直线与y轴交于点C，O是坐标原点，则△OBC的面积S的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.计算：×[（-2）-3-23]．18.在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别．（1）求从袋中任意摸出一个球是黄球的概率；（2）若从袋中取出若干个黑球（不放回），设再从袋中摸出一个球是黑球的概率是，问取出了多少个黑球？19.在平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-5x-6与x轴分别交于A，B两点，且点A在点B的左边，与y轴交于C点．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴，以及抛物线与坐标轴的交点坐标，并画出这条抛物线；（2）设O为坐标原点，△BOC的BC边上的高为h，求h的值．20.设点A、B、C在⊙O上，过点O作OF⊥AB，交⊙O于点F．若四边形ABCO是平行四边形，求∠BAF的度数．21.某商店购进一批玩具，购进的单价是20元．调查发现，售价是30元时，月销售量是320件，而售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？22.如图，已知△ACB和△DCE为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE．（1）求证：AD=BE；（2）求∠AEB的度数；（3）若△ACB和△DCE为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连结BE．①计算∠AEB的度数；②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．23.设二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A（0，10），B（-4，0），C三点．（1）求二次函数的表达式及点C的坐标；（2）设点F为二次函数位于第一象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连结CD，CF，DF，记三角形CDF的面积为S．求出S的函数表达式，并求出S的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；B、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；C、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；D、该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∴∠A=2×=40°，∠B=7×=140°，则∠C=4×=80°，∠D=180°-80°=100°，故选：B．根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：连接OC，∵OC⊥AB，∴AC=AB=4cm，在直角△AOC中，OA===5cm．则直径是10cm．故选C．根据垂径定理即可求得AC的长，连接OC，在直角△AOC中根据勾股定理即可求得半径OA的长，则直径即可求解．本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵y=2x2+4x+5=2（x+1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（-1，3），∴P点坐标为（-1，3），∴点P在第二象限，故选B．把解析式化为顶点式可求得P点坐标，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5.【答案】D【解析】解：∵x6÷x=x5，故选项A错误，∵=，故选项B错误，∵x2+x3不能合并成一项，故选项C错误，∵，故选项D正确，故选D．计算出各个选项中式子的正确结果即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决．本题考查分式的混合运算、合并同类项、同底数幂的除法、配方法的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．6.【答案】C【解析】解：拱桥的跨度AB=24m，拱高CD=8m，∴AD=12m，利用勾股定理可得：122=AO2-（AO-8）2，解得AO=13m．即圆弧半径为13米．故选C．将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵∠ABC+∠AOC=90°，∠ABC=，∴∠AOC=60°，故选：C．根据圆周角定理可得∠ABC=，再由∠ABC+∠AOC=90°可得∠AOC的度数．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.【答案】A【解析】解：由题意知，本题是一个古典概率．∵试验发生包含的基本事件为3，4，6；3，4，7；4，6，7；3，6，7共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为：3，4，6；4，6，7；3，6，7共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率，故选：A．根据古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．本题考查了概率公式以及三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．9.【答案】B【解析】解：∵y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1得到顶点坐标为（1，-1），平移后抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．故选B．由抛物线y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1得到顶点坐标为（1，-1），而平移后抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10.【答案】D【解析】解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；根据顶点坐标公式，=3，令y=0，则ax2+bx+c=0，设方程的两根为x1，x2，则CD2=（x1+x2）2-4x1x2=（-）2-4×=，根据顶点坐标公式，=3，∴=-12，∴CD2=×（-12）=-，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-2）=3，∴-=32=9，解得a=-，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选D．根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，解题的关键是灵活运用所学知识，题目比较难，属于选择题中的压轴题．11.【答案】120°【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA、OB，则AC=BC=AB=3，在Rt△AOC中，OC==3，∴OC=OA，∴∠A=30°，∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．∴弦AB所对的圆心角的度数为120°．故答案为120°．如图，作OC⊥AB于C，连接OA、OB，利用垂径定理得到AC=BC=AB=3，再利用勾股定理计算出OC==3，则OC=OA，所以∠A=30°，则可计算出∠AOB，从而得弦AB所对的圆心角的度数．本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．12.【答案】y=-2x+2；-1≤x＜2【解析】解：设一次函数解析式为y=kx+b，把A（0，2）、B（2，-2）代入得：，解得：．则一次函数解析式为y=-2x+2；∵y=-2x+2，∴函数y随x的增大而减小．∵当y=-2时，x=2；当y=4时，x=-1，∴当-2＜y≤4时，-1≤x＜2．故答案为：y=-2x+2，-1≤x＜2．设一次函数解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数表达式；再分别令y=-2与y=4求出x的对应值即可．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．13.【答案】【解析】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，A，B两同学均坐丙车的有1种情况，∴A，B两同学均坐丙车的概率是：．故答案为：．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B两同学均坐丙车的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】（0，3）、（0，-1）、（3，0）、（-1，0）【解析】解：如图，设⊙P与坐标轴分别交于A、B、C、D．作PE⊥OA于E，PF⊥OD于F．易知四边形PEOF是正方形，边长为1，由勾股定理可得AE=DF=BF=CE=2，∴A（0，3），B（-1，0），C（0，-1），D（3，0），故答案为（0，3）、（0，-1）、（3，0）、（-1，0）；如图，设⊙P与坐标轴分别交于A、B、C、D．作PE⊥OA于E，PF⊥OD于F．易知四边形PEOF是正方形，边长为1，由勾股定理可得AE=DF=BF=CE=2，由此即可解决问题．本题考查勾股定理、直线与圆的位置关系、正方形的判定、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】±6【解析】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE=AB=8，CF=DF=CD=5，在Rt△AOE中，OE==6，在Rt△OCF中，OF==5，当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF=5+6，当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF=5-6，∴AB、CD之间的距离为±6．故答案为±6．过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE=BE=AB=8，CF=DF=CD=5，再利用勾股定理计算出OE，OF，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF，当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用．16.【答案】＜S≤【解析】解：如图，直线y=-x+m+n与x轴交于点D，C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），∴S=S△OBC=（m+n）•n=mn+n2，∵点A（m，n）在双曲线y=上，∴mn=1，即n=∴S=+（）2∵m≥2，∴0＜≤，∴0＜（）2≤，∴＜S≤．故答案为：＜S≤．先确定直线y=-x+m+n与坐标轴的交点坐标，即C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，根据反比例函数的对称性得到点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），根据三角形面积公式得到S△OBC=（m+n）•n，然后mn=1，m≥2确定S的范围．本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题，关键是掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．17.【答案】解：×[（-2）-3-23]=8×[-8]=-1-64=-65．【解析】根据算术平方根、立方以及负整数指数幂进行计算即可．本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．18.【答案】解：（1）∵在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别，∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为：=；（2）设取出了x个黑球，则=，解得x=5，经检验x=5是原方程的解，且符合题意，答：取出了5个黑球．【解析】（1）由在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先设取出了x个黑球，由概率公式则可得方程：=，解此方程即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．注意根据概率公式得到方程=是关键．19.【答案】解：y=x2-5x-6，y=（x-2.5）2-12.25，抛物线y=x2-5x-6的顶点坐标是（2.5，-12.25），对称轴是直线x=2.5，由x=0得y=-6，抛物线与y轴的交点坐标是（0，-6），由y=0得x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6，抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（6，0），画出抛物线为：（2）BC==，则h=6×6÷6=．【解析】（1）把二次函数y=x2-5x-6化为y=（x-2.5）2-12.25即可求出顶点及对称轴，由x=0得y=-6，由y=0得x2-5x-6=0，可求抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过列表、描点、连线画出该函数图象即可；（2）先根据勾股定理求出BC，再根据等积法求出h的值．本题主要考查了二次函数的图象，性质及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟记二次函数的图象，性质．20.【答案】解：连结OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∴∠BOA=60°，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=∠BOA=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°．【解析】连结OB，利用平行四边形的性质可得OC=AB，然后证明△AOB为等边三角形，进而可得∠BOA=60°，然后利用等腰三角形的性质可得∠BOF=∠AOF=∠BOA=30°，再根据圆周角定理可得答案．此题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，求出∠BOA=60°是解决问题的关键．21.【答案】解：（1）依题意得y=（30+x-20）（320-10x）=-10x2+220x+3200，自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；（2）y=-10x2+220x+3200=-10（x-11）2+4410，∵0＜x≤10且x为正整数，当x=10时，y有最大值，最大值为：-10（10-11）2+4410=4400（元），答：每件玩具的售价定为40元时，可使月销售利润最大，最大的月销售利润是4400元．【解析】（1）根据：总利润=单件利润×销售量即可得函数解析式；（2）利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可得．本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．22.【答案】（1）证明：如图1中，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．（3）①如图2∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，②∵CD=CE，CM⊥DE于M，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【解析】（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE即可．（2））由△ACD≌△BCE，推出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等边三角形，推出∠CDE=∠CED=60°．根据∠AEB=∠BEC-∠CED=60°时间即可．（3）①由△ACD≌△BCE（SAS），推出AD=BE，∠ADC=∠BEC．由△DCE为等腰直角三角形，推出∠CDE=∠CED=45°．由点A，D，E在同一直线上，推出∠ADC=135°，∠BEC=135°，由∠AEB=∠BEC-∠CED=90°即可证明．②由CD=CE，CM⊥DE于M，推出DM=ME，由∠DCE=90°，推出DM=ME=CM，可得AE=AD+DE=BE+2CM．本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c得；．解得：，所以抛物线的解析式为y=-0.25x2+1.5x+10；当y=0时，-0.25x2+1.5x+10=0，解得x1=-4，x2=10，所以C点坐标为（10，0）；（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t2+1.5t+10），∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S=S△CDF=S△ODF+S△OCF-S△OCD=×4×t+×10（-0.25t2+1.5t+10）-×4×10，=-1.25t2+9.5t+30．=-1.25（t-3.8）2+48.05，当t=3.8时，S有最大值，最大值为48.05．【解析】（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c求出b和c的值即可求出抛物线解析式，进而可求出点C的坐标；（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t2+1.5t+10），由S四边形=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF计算即可．OCFD本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得出关于t的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．。

【精品】2015年浙江省杭州市上城区英特外国语学校九年级上学期期中数学试卷带解析答案

2014-2015学年浙江省杭州市上城区英特外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）下列各式计算正确的是（）A．a2×a3=a6B．C．D．（x+y）2=x2+y22．（3分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A．30°B．30°或120°C．80°D．30°或80°3．（3分）点A（x2﹣3x﹣4，2x+1）关于原点的对称点B在y轴的正半轴，则点B的坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣9）C．（0，﹣1）D．（0，﹣9）或（0，1）4．（3分）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞25．（3分）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，则a等于（）A．B．C．1 D．26．（3分）把两个直角边长分别为3、4与9、12的Rt△ADE和Rt△ABC按照如图所示的位置放置，已知DE=4，AC=12，且E，A，C三点在同一直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC，则△EMC与△DAB面积的比值为（）A．1 B．C． D．7．（3分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4=2a，则a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（3分）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a （x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况9．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB=4，BC=8，将矩形折叠使点C与A重合．则折痕EF的长是（）A．3 B．2 C．D．10．（3分）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11．（3分）据报道，财政部前日公布的数据显示，2013年1月至12月，全国公共财政收入129643亿元，用科学记数法表示129643亿（结果保留三个有效数字）．12．（3分）的算术平方根的平方根是．13．（3分）若a+2b=﹣3，a2﹣4b2=21，则a﹣2b+1=．14．（3分）把直线y=﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且2m+n=6，则直线AB的解析式为．15．（3分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是．16．（3分）已知二次函数y=（x﹣3a）2+a﹣1（a为常数），当a取不同的值时，其图象的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是．三、解答题17．请完成下列两小题（1）计算（﹣1）﹣1+﹣6sin45°+（﹣1）2010；（2）已知满足不等式5（x﹣2）+8≤6（x﹣1）+7的最小整数解是方程3x+ax=4的解，求a的值．18．如图，已知在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，CA上，且CD=AE，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q（1）证明：∠CAD=∠EBA；（2）求的比值．19．请同学们先认真研究第1小题的问题，寻找出解决这类问题的通法，并利用此方法解决第2小题．（1）在下列图中我们给出了平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，请同学们分别在横线上写出顶点C的坐标①在图1中，A（0，0），B（4，0），D（1，2），则C点坐标为；②在图2中，A（0，0），B（e，0），D（c，d），则C点坐标为；（用c，d，e表示）③在图3中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），则C点坐标为；（用a，c，d，e表示）④在图4中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），则C点坐标为；（用a，b，c，d，e，f表示）（2）在直角坐标系平面内，函数的图象过了A（1，4），B（3，k），点C在直线y=2x﹣5上运动，D点在y轴上运动，问当C点和D点的坐标为何值时，四边形ABCD为平行四边形．（A，B，C，D按顺序排列）20．如图所示，抛物线y1=﹣ax2+（a﹣1）x+1经过点P（﹣，），且与抛物线y2=ax2﹣（a+1）x﹣1相交于A，B两点．（1）求a的值；（2）求这两条抛物线交点A、B的坐标；（3）记A，B两点的横坐标分别为x A，x B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x A≤x≤x B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD的长有最大值？其最大值为多少？21．春节前，某单位要举行新春联欢会，采购人员预计用1500元购买甲商品x 个，乙商品y个．采购员来到第一家商店，发现甲商店每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，如果购买甲商品的个数比预定数减少10个，乙商品的个数保持不变，则预计甲、乙两商品支付的总金额是1529元．来到第二家商店，发现甲、乙两种商品每个都涨价1元，如果购买甲商品的数量比预定数少5个，乙商品的个数保持不变，则预计甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（x，y是正整数）（1）求x，y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205但小于210，求x，y的值．22．阅读下面的材料已知三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解t，其中p，q，m为整数．将t代入方程有：t3+pt2+qt+m=0，移项并整理得：m=t×（﹣t2﹣pt﹣q），由于﹣t2﹣pt﹣q与m及t都是整数，所以m是t的倍数．根据上面回答下列问题（1）根据上面的推理过程，说明了系数为整数的三次方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是（用文字描述）（2）方程x3﹣2x2﹣4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．（3）解关于x的方程x3+4x2+3x﹣2=0．23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，D是弧BC上的一点，CD=AE，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：AP=PC=PQ；（2）若sin∠ABC=，AP=5，求直径AB的长；（3）求证：（FP+AP）2=FP•FG．2014-2015学年浙江省杭州市上城区英特外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列各式计算正确的是（）A．a2×a3=a6B．C．D．（x+y）2=x2+y2【解答】解：A、a2×a3=a5，故此选项错误；B、÷=，故此选项正确；C、==﹣，故此选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故此选项错误；故选：B．2．（3分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A．30°B．30°或120°C．80°D．30°或80°【解答】解：（1）当底角与顶角的比是1：4时，设底角为x，顶角为4x，根据三角形内角和得，x+x+4x=180°，解得：x=30°，即底角为30°；（2）当顶角与底角的比是1：4，设顶角为x，底角为4x，根据三角形内角和得，x+4x+4x=180°，解得：x=20°，∴4x=80°，即底角为80°；所以底角的度数为30°或80°．故选：D．3．（3分）点A（x2﹣3x﹣4，2x+1）关于原点的对称点B在y轴的正半轴，则点B的坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣9）C．（0，﹣1）D．（0，﹣9）或（0，1）【解答】解：由题意，得x2﹣3x﹣4=0，解得x=﹣1，x=4，点B的坐标是（0，﹣9）或（0，1），故选：D．4．（3分）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞2【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h=b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD=∴=方程两边平方得：（b﹣a2）=（a2﹣b）2即h=（﹣h）2因h＞0，得h=1，是个定值．故选：B．5．（3分）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，则a等于（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵∠BAC=∠BCA=∠OBC=∠OCB，∴△BOC∽△ABC，所以，即，所以，a2﹣a﹣1=0．由a＞0，解得．故选：A．6．（3分）把两个直角边长分别为3、4与9、12的Rt△ADE和Rt△ABC按照如图所示的位置放置，已知DE=4，AC=12，且E，A，C三点在同一直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC，则△EMC与△DAB面积的比值为（）A．1 B．C． D．【解答】解：过D作DF⊥BC于F，取EC的中点N，连接MN，∵∠DEA=∠BCE=∠DFC=90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF=EC=3+12=15，CF=DE=4，∴BF=9﹣4=5，在Rt△BAC中，BC=9，AC=12，由勾股定理得：AB=15，同理AD=5，在Rt△DFB中，DF=15，BF=5，由勾股定理得BD=5，∵AD=5，AB=15，∴AD2+AB2=25+225=250，BD2=250，∴AD2+AB2=BD2，∴∠DAB=90°，即△DAB的面积是×AD×AB=×5×15，∵∠DEA=∠BCE=90°，∴DE∥BC，∵M为BD中点，N为EC中点，∴MN∥DE，MN=（DE+BC）=×（4+9）=，∴MN⊥EC，∴△MEC的面积是×EC×MN=×（3+12）×=，∴△EMC与△DAB面积的比是：（×5×15）=13：10，故选：B．7．（3分）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4=2a，则a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是a=3，b=﹣2，从而a+b=1．故选：C．8．（3分）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a （x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况【解答】解：∵∠B=90°∴a2+c2=b2化简原方程为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a=0∴△=4c2﹣4（b2﹣a2）=4c2﹣4c2=0∴方程有两个相等实数根故选：A．9．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB=4，BC=8，将矩形折叠使点C与A重合．则折痕EF的长是（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：连接AC交EF于点O，由勾股定理知AC=4，又∵折叠矩形使C与A重合时有EF⊥AC，则RT△EOC∽RT△ABC，∴==，∴OE=OC=×2，故EF=2OE=2．故选：B．10．（3分）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：根据新定义运算可知，y=3※x=，（1）当x≥3时，此函数解析式为y=2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．故选：B．二、填空题11．（3分）据报道，财政部前日公布的数据显示，2013年1月至12月，全国公共财政收入129643亿元，用科学记数法表示129643亿（结果保留三个有效数字）1.30×1013．【解答】解：129643亿保留三个有效数字用科学记数法表示为1.30×1013，故答案为1.30×1013．12．（3分）的算术平方根的平方根是±．【解答】解：=9，∴9的算术平方根为3，∴3的平方根为±故答案为：±13．（3分）若a+2b=﹣3，a2﹣4b2=21，则a﹣2b+1=﹣6．【解答】解：∵a+2b=﹣3，a2﹣4b2=21，∴a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=﹣3（a﹣2b）=21，∴a﹣2b=﹣7，∴a﹣2b+1=﹣7+1=﹣6．故答案为：﹣6．14．（3分）把直线y=﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且2m+n=6，则直线AB的解析式为y=﹣2x+6．【解答】解：∵直线AB是直线y=﹣2x平移后得到的，∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其斜率不变）∴设直线AB的方程为y﹣y0=﹣2（x﹣x0）①把点（m，n）代入①并整理，得y=﹣2x+（2m+n）②∵2m+n=6 ③把③代入②，解得y=﹣2x+6即直线AB的解析式为y=﹣2x+6．15．（3分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是．【解答】解：共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，所以概率为．故答案为：．16．（3分）已知二次函数y=（x﹣3a）2+a﹣1（a为常数），当a取不同的值时，其图象的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=x﹣1．【解答】解：先设这条直线是y=cx+b，先令a=0，那么二次函数解析式是y=x2﹣1，其顶点坐标是（0，﹣1）；再令a=1，那么二次函数解析式是y=（x﹣3）2，其顶点坐标是（3，0）；再把（0，﹣1）、（3，0）代入y=cx+b中，得，解得，∴这条直线是y=x﹣1．故答案是y=x﹣1．三、解答题17．请完成下列两小题（1）计算（﹣1）﹣1+﹣6sin45°+（﹣1）2010；（2）已知满足不等式5（x﹣2）+8≤6（x﹣1）+7的最小整数解是方程3x+ax=4的解，求a的值．【解答】解：（1）原式=+2﹣6×+1=+1+2﹣3+1=2；（2）解不等式5（x﹣2）+8≤6（x﹣1）+7得x≥﹣9．则最小的整数值是﹣9．把x=﹣9代入3x+ax=4，得﹣27﹣9a=4，解得a=﹣．18．如图，已知在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，CA上，且CD=AE，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q（1）证明：∠CAD=∠EBA；（2）求的比值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠CAB=60°，在△ADC和△BEA中，∵，∴△ADC≌△EBA（SAS），∴∠CAD=∠EBA；（2）由（1）得∠CAD=∠EBA，又∠CAD+∠DAB=60°，∴∠QPB=∠DAB+∠ABE=60°，又BQ⊥AD，∴△BPQ是直角三角形，∴=sin60°=．19．请同学们先认真研究第1小题的问题，寻找出解决这类问题的通法，并利用此方法解决第2小题．（1）在下列图中我们给出了平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，请同学们分别在横线上写出顶点C的坐标①在图1中，A（0，0），B（4，0），D（1，2），则C点坐标为（5，2）；②在图2中，A（0，0），B（e，0），D（c，d），则C点坐标为（e+c，d）；（用c，d，e表示）③在图3中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），则C点坐标为（c+e﹣a，d）；（用a，c，d，e表示）④在图4中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），则C点坐标为（e+c﹣a，f+d ﹣b）；（用a，b，c，d，e，f表示）（2）在直角坐标系平面内，函数的图象过了A（1，4），B（3，k），点C在直线y=2x﹣5上运动，D点在y轴上运动，问当C点和D点的坐标为何值时，四边形ABCD为平行四边形．（A，B，C，D按顺序排列）【解答】解：（1）①如图1中，过点作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∵CD∥AB，D（1，2）∴DE=CF=2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，BE=CF，AB=DC=4，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴AE=BF=1，OF=5，∴C的坐标为（5，2）；故答案为（5，2）．②如图2中，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，由Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴AE=BF=c，CDE=d，OF=c+e，∴C的坐标为（c+e，d）；故答案为（c+e，d）．③如图3中，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，由Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴AE=BF=c﹣a，∴C的坐标为（c+e﹣a，d）．故答案为：（c+e﹣a，d）．④如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，又∵BB1∥CC1，∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．∴∠EBA=∠FCD．在△BEA和△CFD中，，∴△BEA≌△CFD（AAS）．∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）；故答案为（e+c﹣a，f+d﹣b）；（2）如图5中，作CE⊥x轴由E，AH⊥x轴于H，BF⊥AH于F．∵A（1，4）y=上，∴m=4，B（3，），∴BF=2，AF=4﹣=，∵四边形ABCD是平行四边形，由（1）可知，△DCE≌△BAF，可知CE=AF=，DE=BF=2，∴点C的纵坐标为﹣，∴﹣=2x﹣5，∴x=，∴C（，﹣），OD=DE﹣OE=2﹣=，∴D（﹣，0），∴当C点坐标为（，﹣）和D点的坐标为（﹣，0）时，四边形ABCD为平行四边形．20．如图所示，抛物线y1=﹣ax2+（a﹣1）x+1经过点P（﹣，），且与抛物线y2=ax2﹣（a+1）x﹣1相交于A，B两点．（1）求a的值；（2）求这两条抛物线交点A、B的坐标；（3）记A，B两点的横坐标分别为x A，x B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x A≤x≤x B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD的长有最大值？其最大值为多少？【解答】解：（1）∵点P（﹣，）在抛物线y1=﹣ax2﹣ax+1上，∴﹣a﹣a++1=，解得a=．（2）∵a=，∴抛物线y=﹣2﹣x+1，y=x2﹣x﹣1，解得，，∴点A（2，﹣2），B（﹣1，1）；（3）∵a=．∴抛物线y1开口向下，抛物线y2开口向上．根据题意，得CD=y1﹣y2=（﹣2﹣x+1﹣2+x+1）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+．∵x A≤x≤x B，∴当x=时，CD有最大值．21．春节前，某单位要举行新春联欢会，采购人员预计用1500元购买甲商品x 个，乙商品y个．采购员来到第一家商店，发现甲商店每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，如果购买甲商品的个数比预定数减少10个，乙商品的个数保持不变，则预计甲、乙两商品支付的总金额是1529元．来到第二家商店，发现甲、乙两种商品每个都涨价1元，如果购买甲商品的数量比预定数少5个，乙商品的个数保持不变，则预计甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（x，y是正整数）（1）求x，y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205但小于210，求x，y的值．【解答】解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，③则，整理，得x+2y=186．则x、y的关系x+2y=186；（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜55，由y是整数，得y=55，从而得x=76．答：x值为76，y值为55．22．阅读下面的材料已知三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解t，其中p，q，m为整数．将t代入方程有：t3+pt2+qt+m=0，移项并整理得：m=t×（﹣t2﹣pt﹣q），由于﹣t2﹣pt﹣q与m及t都是整数，所以m是t的倍数．根据上面回答下列问题（1）根据上面的推理过程，说明了系数为整数的三次方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数（用文字描述）（2）方程x3﹣2x2﹣4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．（3）解关于x的方程x3+4x2+3x﹣2=0．【解答】解：（1）由阅读理解可知：系数为整数的三次方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数．（2）该方程有整数解．方程的整数解只可能是3的因数，即1，﹣1，3，﹣3，将它们分别代入方程x3﹣2x2﹣4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解．（3）x3+4x2+3x﹣2=0，﹣x3﹣4x2﹣3x+2=0，方程的整数解只可能是2的因数，即1，﹣1，2，﹣2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2=0，进行验证得：x=﹣2是该方程的整数解．故答案为：m的因数．23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，D是弧BC上的一点，CD=AE，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：AP=PC=PQ；（2）若sin∠ABC=，AP=5，求直径AB的长；（3）求证：（FP+AP）2=FP•FG．【解答】（1）证明：∵C是的中点，∴，∴∠CAD=∠ABC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠CAD+∠AQC=90°又∵CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ∴在△PCQ中，PC=PQ，∵CE⊥直径AB，∴，∴，∴∠CAD=∠ACE．∴在△APC中，有PA=PC，∴PA=PC=PQ；（2）解：由（1）知，AP=PC=PQ，∴∠CAQ=∠ACE，∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠ABC，∴∠CAQ=∠ABC，∵sin∠ABC=，∴sin∠CAQ=，∵AP=5，∴AQ=2AP=10，在R△ACQ中，AQ=10．∴sin∠CAQ==，∴CQ=AQ=，根据勾股定理，AC==，在R△ABC中，sin∠ABC=，∴，∴AB=24；（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；∴∠DAB+∠ABD=90°又∵CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G ；∴Rt △AFP ∽Rt △GFB ， ∴，即AF•BF=FP•FG易知Rt △ACF ∽Rt △CBF ，∴CF 2=AF•BF （或由射影定理得）∴FC 2=PF•FG ，由（1）知，PA=PQ ，∴FP +PQ=FP +PC=FC∴（FP +PA ）2=FP•FG ．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

【参考答案】九上杭州实验外国语学校九上开学考数学答案(一)

杭州实验外国语学校九年级（上）开学考数学卷参考答案与试题解析一、选择题：1．【解答】解：14 000 000 000=1.4×1010，故选：C．2．【解答】解：∵=3，∴的平方根是±．故选：D．3．【解答】解：A、是有理数，故A错误；B、2﹣2=是有理数，故B错误；C、5.是有理数，故C错误；D、sin45°=是无理数，故D正确．故选：D．4．【解答】解：a4﹣2a2+1=（a2﹣1）2=[（a+1）（a﹣1）]2=（a+1）2（a﹣1）2．故选：D．5．【解答】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．P=，故选：D．6．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，故选：B．7．【解答】解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0．故选：B．8．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选：A．9．【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE=1，在Rt△ACD中，AC===，在等腰直角△ABC中，AB=AC=×=，∴sinα==．故选：D．10．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故选：A．二、填空题：11．【解答】解：原式=2+1﹣=3﹣2=1．故答案为：1．12．【解答】解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜．故答案为：﹣＜＜．13．【解答】解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．14．【解答】解：，①×2﹣②得﹣8y=1，y=﹣，把y=﹣代入②得2x﹣=5，x=，x2﹣4y2=（）=，故答案为：．15．【解答】解：法一：设x=0.45…，则x=0.45+1/100 x，解得x=45/99=5/11法二：设x=，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，即：100x﹣x=45，99x=45解方程得：x==．故答案为：．16．【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：17．【解答】解：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]=5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣x2﹣2xy+2y2]，=5xy﹣[2xy+y2]，=5xy﹣2xy﹣y2，=3xy﹣y2，当x=﹣，y=﹣时，原式=3×（﹣）（﹣）﹣（﹣）2=﹣=．18．【解答】解：能；（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．19．【解答】解：=﹣2，分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），移项合并得：6x=3a+4，解得；x=，∵分式方程的解为非负数，∴≥0且﹣1≠0，解得：a≥﹣且a≠．20．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣﹣=1，∴b=﹣2∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴c=﹣3，∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．∴x1=﹣1，x2=3．∵A点在B点左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，∴∠OCB=45°，∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，∴D坐标为（1，﹣2 ）Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），∵点P在CE垂直平分线上，∴点P纵坐标为﹣2，∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，∴x2﹣2x﹣3=﹣2，解得：x=1±，∵P在第三象限，∴P的坐标为（1﹣，﹣2）；（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴K的坐标为（n+3，n），∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=，∴×3KP=∴m2﹣3m=，解得：m=﹣或，∵P在第三象限，∴P的坐标为（﹣，﹣）∵点P在CE垂直平分线上，∴E的坐标为（0，﹣）。

2015学年9上杭外期中试卷

杭外2015年九年级上学期期中数学试卷考试时间120分钟，满分150分一．选择题（每小题4分，共10小题共计40分）1．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b C．2x2+3x2=5x4D．（﹣）﹣2=42．某一公司共有35名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资．今年经理的工资由去年的月薪120000增加到月薪165000元，而其他员工的工资同去年一样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会（）A．平均数增加，中位数不变B．平均数和中位数都不变C．平均数不变，中位数增加D．平均数中位数都增加3．若，则的值为（）A．2.5 B．﹣2.5 C．3.5 D．﹣3.54．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC．则下列四种不同方法的作图中准确的是（）A．B．C．D．5．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm6．在直角坐标平面内，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（a ，0），圆A 的半径为2．下列说法中不正确的是（）A ．当a=﹣1时，点B 在圆A 上 B ．当a ＜1时，点B 在圆A 内C ．当a ＜﹣1时，点B 在圆A 外D ．当﹣1＜a ＜3时，点B 在圆A 内7．如图，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（23-，23-）C ．（﹣，﹣）D ．（﹣，﹣）8．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O ﹣C ﹣D ﹣O 路线作匀速运动，设运动时间为t （s ）．∠APB=y （°），则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（）A ．B ．C ．D ．9．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜810．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确的是（）①OH∥BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④FH2=HE•HB．A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④二．填空题（每小题4分，共8小题共32分）11．一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是．12．因式分解：x3y﹣xy=．13．定义一种法则“⊕”如下：a⊕b=，例如：1⊕2=2，若（﹣2m﹣5）⊕3=3，则m的取值范围是．14．如果方程2x2﹣2x+3m﹣4=0有两个不相等的实数根，那么化简|2﹣m|﹣的结果是．15．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．16．四边形ABCD的两边AB,CD与以BC为直径的圆O分别交于点E,F，若∠120A，，BC=4，则扇形BOE与扇形COF的面积之和为___________.135D=︒︒=∠17．如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+mx（m＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PE⊥x轴于点E，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连接CB，CP，CA，要使得CA⊥CP，则m的值为．18．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．三．解答题（共7小题共78分）19．(1)计算：()01-2-3-12-21-23-4⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）先化简，再求值：()()()56,56,52222-=+=-++-+b a a b a b a b a 其中20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m 的值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A′OB′．（1）求直线A′B′的解析式；（2）若直线A′B′与直线l 相交于点C ，求△A′BC 的面积．22．如图，⊙O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动（点C 与A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，（1）求证：AE=BF；（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由．23．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过10000元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？24．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+，2×1+4），即P′（3，6）．（1）①点P（﹣1，﹣2）的“2属派生点”P′的坐标为；②若点P的“k属派生点”的坐标为P′（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为；（3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，且点A 是点B的“﹣属派生点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．。

浙江省杭州外国语学校九年级数学上学期期中试题浙教

浙江省杭州外国语学校2014届九年级上学期期中考试数学试题浙教版考生须知：本试卷分试题卷和答题卷两部分。

满分120分，考试时间100分钟。

答题时，必须在答题卷密封区内写明校区、考场、座位号、姓名、班级等内容。

答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效。

一、仔细选一选 (本题有10个小题，每小题3分，共30分)1．反比例函数21m y x +=的图象在( ) A ．第一、三象限 B ．第一、四象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限2．抛物线42+=x y 的顶点坐标是( ) A ．（4，0） B ．（-4，0） C ．（0，-4） D ．（0，4）3．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A=50°，则∠OCD 的度数是（） A ．60° B ．45° C ．50° D ．40°4．如图所示，长为8cm ，宽为6cm 的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A ．28cm 2B ．27cm 2C ．21cm 2D ．20cm 25．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°6．如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO :BG =（）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．(51)-: 2 7．如图，A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动，设运动时间为x(秒)，∠APB ＝y(度)，右图函数图象表示y 与x 之间函数关系，则点M 的横坐标应为（） A ．2B ．2π C ．12π+ D ．2π＋2 8．已知函数5-=x y ，令x=0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5、4，可得函数图象上的八个点．在这八个点中随机取两个点),(11y x P 、),(22y x Q ，则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（）（第4题）（第7题）（第3题） GABD C O （第6题）A ．71 B ．283 C ．285 D ．52 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴的负半轴，点B 在x 轴的正半轴，与y 轴交于点C ，且CO=2AO ， CO=BO ，AB=3．则下列判断中正确的是（）A ．此抛物线的解析式为y=x 2+x-2；B ．当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大；C ．此抛物线与直线y=9-4只有一个交点； D ．在此抛物线上的某点M ，使△MAB 的面积等于4，这样的点共有三个．10．如图，⊙O 过四边形ABCD 的四个顶点，已知∠ABC ＝90º，BD 平分∠ABC ，则： ①AD ＝CD ，②3BD ＝AB ＋CB ，③点O 是∠ADC 平分线上的点， ④2222AB BC CD +=，上述结论中正确的个数为（） A ．4 个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、认真填一填 (本题有6个小题，每小题4分，共24分)11．已知:4:3a b =，则3245a b a b +-＝； 12．已知点A 为双曲线xky =图象上的点，点O 为坐标原点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，若△AOB 的面积为5，则k 的值为___________。

2014年浙江省杭州市中考数学试题(含答案)

2014年杭州市中考试题数学一、选择题1.23(2)a a -=（）A.312a -B. 36a -C. 312aD. 26a 2. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）则该几何体的侧面积等于（）2cmA. 12πB. 15πC. 24πD. 30π3.在RT △ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=( )A. 3sin 40︒B. 3sin50︒C. 3tan 40︒D. 3tan50︒4.已知边长为a 的正方形面积为8，则下列关于a 的说法中，错误的是（）A. a 是无理数B. a 是方程280x -=的解C. a 是8的算术平方根D. a 满足不等式组3040a a ->⎧⎨-<⎩5.下列命题中，正确的是（）A .梯形的对角线相等 B. 菱形的对角线不相等 C. 矩形的对角线不能互相垂直 D. 平行四边想的对角线可以互相垂直6. 函数的自变量x 满足122x ≤≤时，函数值y 满足114y ≤≤，则这个函数可以是（） A. 12y x = B. 2y x = C. 18y x = D. 8y x =7. 若241()142w a a+=--，则w=（）A.2(2)a a +≠-B. 2(2)a a -+≠C. 2(2)a a -≠D. 2(2)a a --≠-8. 已知2001年至2012年杭州市小学学校数量（单位：所）和在校学生人数（单位：人）的两幅统计图，由图得出如下四个结论：（图实在看不清，请自己上网查找） ①学校数量2007至2012年比2001至2006年更稳定；②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程； ③2009年的在校学生人数学校数量大于1000；④2009~2012年，各相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011~2012年. 其中，正确的结论是（）俯视图左视图A. ①②③④B. ①②③C. ①②③D.③④9. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2是3的倍数的概率等于（） A.316 C. 58 D. 131610.已知AD//BC ，AB ⊥AD ，点E 点F 分别在射线AD 点E 点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则（ A. 1tan ADB +∠=B. 25BC =C. 22AEB DEF ∠+︒=∠D. 4cos AGB ∠=二、填空题11. 2012年末统计，杭州市常住人口是880.2法表示为 .12. 已知直线//a b ，若∠1=40°50′，则∠2= . 13. 设实数,x y 满足方程组143123x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则x y += .14.已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 .15.设抛物线(0)y ax bx c a =++≠过A (0，2), B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线2x =上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 .16. 点A,B,C 都在半径为r 的圆上，直线AD ⊥直线BC ，垂足为D ，直线BE ⊥直线AC ，垂足为E ，直线AD 与BE 相交于点H ，若BH =,则∠ABC 所对的弧长等于（长度单位）. 三、解答题17. 一个布袋中装有只有颜色不同的(12)a a >个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b 个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整），请补全该统计图并求出ba的值。

杭州外国语学校九年级上学期开学数学试卷附答案解析

浙江省杭州实验外国语学校2015届九年级上学期开学数学试卷一、选择题：1．2014年世界杯即将在巴西举行，根据预算巴西将总共花费14000000000美元，用于修建和翻新12个体育场，升级联邦、各州和各市的基础设施，以及为32支队伍和预计约60万名观众提供安保．将14000000000用科学记数法表示为（）A．140×108B．14.0×109C．1.4×1010D．1.4×10112．的平方根是（）A．3B．±3 C．D．±3．下列实数中是无理数的是（）A．B．2﹣2C．5.D．sin45°4．分解因式a4﹣2a2+1的结果是（）A．（a2+1）2B．（a2﹣1）2C．a2（a2﹣2）D．（a+1）2（a﹣1）2 5．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．B．C．D．6．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（）A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=37．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2 8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED 的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：59．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．B．C．D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．二、填空题：11．计算：+（π﹣2）0﹣（）﹣1=．12．把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为．13．若实数a、b满足|a+2|，则=．14．已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2﹣4y2的值为．15．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设=x，则x=0.3+x，解得x=，即=．仿此方法，将化成分数是．16．如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述四个判断中正确的是（填正确结论的序号）．三、解答题：17．先化简，再求值：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]，其中x=﹣，y=﹣．18．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．19．若关于x的分式方程=﹣2的解是非负数，求a的取值范围．20．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90°时，求出点P的坐标；（3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标．参考答案一、选择题：1．2014年世界杯即将在巴西举行，根据预算巴西将总共花费14000000000美元，用于修建和翻新12个体育场，升级联邦、各州和各市的基础设施，以及为32支队伍和预计约60万名观众提供安保．将14000000000用科学记数法表示为（）A．140×108B．14.0×109C．1.4×1010D．1.4×1011考点：科学记数法—表示较大的数．专题：常规题型．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：14 000 000 000=1.4×1010，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．的平方根是（）A．3B．±3 C．D．±考点：算术平方根；平方根．分析：首先根据平方根概念求出=3，然后求3的平方根即可．解答：解：∵=3，∴的平方根是±．故选：D．点评：本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．3．下列实数中是无理数的是（）A．B．2﹣2C．5.D．sin45°考点：无理数．专题：常规题型．分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．解答：解：A、是有理数，故A选项错误；B、是有理数，故B选项错误；C、是有理数，故C选项错误；D、是无限不循环小数，是无理数，故D选项正确；故选：D．点评：本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．4．分解因式a4﹣2a2+1的结果是（）A．（a2+1）2B．（a2﹣1）2C．a2（a2﹣2）D．（a+1）2（a﹣1）2考点：因式分解－运用公式法．分析：首先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解即可．解答：解：a4﹣2a2+1=（a2﹣1）2=[（a+1）（a﹣1）]2=（a+1）2（a﹣1）2．故选：D．点评：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．5．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．专题：网格型．分析：找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．解答：解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．P=，故选：D．点评：本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（）A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=3考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．解答：解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，故选：B．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2考点：二次函数图象与几何变换．分析：先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．解答：解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．8．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED 的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．解答：解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选：A．点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．9．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．解答：解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE=1，在Rt△ACD中，AC===，在等腰直角△ABC中，AB=AC=×=，∴sinα==．故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题：11．计算：+（π﹣2）0﹣（）﹣1=1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2+1﹣=3﹣2=1．故答案为：1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地2015届中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、负指数幂、二次根式化简等考点的运算．12．把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为．考点：实数大小比较．专题：计算题．分析：先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．解答：解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜．故答案为：﹣＜＜．点评：本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．13．若实数a、b满足|a+2|，则=1．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．分析：根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．14．已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2﹣4y2的值为．考点：二元一次方程组的解；因式分解－运用公式法．专题：计算题．分析：根据解二元一次方程组的方法，可得二元一次方程组的解，根据代数式求值的方法，可得答案．解答：解：，①×2﹣②得﹣8y=1y=﹣，把y=﹣代入②得2x﹣=5，x=，x2﹣4y2=（）=，故答案为：．点评：本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求代数式的值．15．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设=x，则x=0.3+x，解得x=，即=．仿此方法，将化成分数是．考点：一元一次方程的应用．专题：方程思想．分析：设x=，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，再由②﹣①得方程100x﹣x=45，解方程即可．解答：解：设x=，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，即：100x﹣x=45，99x=45解方程得：x==．故答案为：．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．16．如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述四个判断中正确的是①④（填正确结论的序号）．考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．分析：根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故答案为：①④．点评：此题考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．三、解答题：17．先化简，再求值：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]，其中x=﹣，y=﹣．考点：整式的加减—化简求值．分析：利用去括号，合并同类项化简，再把x=﹣，y=﹣代入求解．解答：解：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]=5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣x2﹣2xy+2y2]，=5xy﹣[2xy+y2]，=5xy﹣2xy﹣y2，=3xy﹣y2，当x=﹣，y=﹣时，原式=3×（﹣）（﹣）﹣（﹣）2=﹣=．点评：本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．18．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．考点：因式分解的应用．专题：计算题；因式分解．分析：先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx 代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．解答：解：能；（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．19．若关于x的分式方程=﹣2的解是非负数，求a的取值范围．考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据x为非负数求出a的范围即可．解答：解：分式方程去分母得：2x=3a﹣4x+4，解得：x=，根据题意得：≥0，且≠1，解得：a≥﹣，且a≠．点评：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．20．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90°时，求出点P的坐标；（3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），求出抛物线解析式即可；由抛物线的解析式可求出B的坐标，进而可求出线BC的函数表达式；（2）当∠CDE=90°时，则CE为斜边，则DG2=CG•GE，即1=（OC﹣OG）•（2﹣a），求出a的值，进而得出P点坐标；（3）当△PBC的面积为时，过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3，由已知条件可得：S△PBC=S△PKC+S△PKB=，进而可求出P的坐标，又因为点P 在CE垂直平分线上，所以E的坐标可求出．解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣﹣=1，∴b=﹣2∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴c=﹣3，∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．∴x1=﹣1，x2=3．∵A点在B点左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；（2）∵Rt△CDE中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，∴∠OCB=45°，∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，∴D坐标为（1，﹣2 ）Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），∵点P在CE垂直平分线上，∴点P纵坐标为﹣2，∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，∴x2﹣2x﹣3=﹣2，解得：x=1±，∵P在第三象限，∴P的坐标为（1﹣，﹣2）；（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3 ∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴K的坐标为（n+3，n），∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=，∴×3KP=∴m2﹣3m=，解得：m=﹣或，∵P在第三象限，∴P的坐标为（﹣，﹣）∵点P在CE垂直平分线上，∴E的坐标为（0，﹣）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法以及用待定系数法求一次函数的解析式和等腰直角三角形的性质，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．。

2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2022年8月底，全国建设开通5G基站达210.2万个，占世界总数60%以上．将数据210.2万用科学记数法表示为( )A. 2.102×106B. 0.2102×107C. 210.2×104D. 2.102×1052. 使式子√x+1有意义的x的取值范围是( )A. x≠−1B. x≥−1C. x>−1D. x≥13. 下列计算正确的是( )A. 3a2−a2=3B. (−3a+b)(3a+b)=9a2−b2C. (a+1)(a−2)=a2+a−2D. (−2a2)3=−8a64. 函数y=2x和y=kx+5的图象交于点A(m,3)，则不等式2x<kx+5的解集为( )A. x>3B. x<23C. x<32D. x>325. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转到△DEC 的位置，点B落在DE上，DC交AB于点F，则∠BFC的度数为( )A. 80°B. 75°C. 65°D. 50°6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )A. 5B. 6C. 163D. 1737. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=60°，⊙O的半径为3cm，则弦AC的长等于( )A. 3√2cmB. 3√3cmC. 32√3cm D. 3cm8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，且OA=OC，OA<OB，则下列结论：①abc>0；②b2−4ac<0；③ac−b+1=0；④OA⋅OB=ca.其中正确的结论是( )A. ①B. ②C. ③D. ④9. 如图，一次函数y=√33x与反比例函数y=kx(k>0)的图象在第一象限交于点A，点C在以B(6,0)为圆心，以1为半径的⊙B上，已知当点C到直线OA的距离最大时，△AOC的面积为8，则该反比例函数的函数表达式为( )A. y=√3xB. y=2√3xC. y=2√2xD. y=4√3x10. 如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，小聪同学得出以下结论：①GF//EC；②AB=√3AD；③GE=√6DF；④△COF∽△CEG；⑤OC= 2√2OF.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③⑤C. ①④⑤D. ②③⑤二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 如果分式x2−9的值为零，那么x=______．x+312. 已知一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=−2x+3，且经过点A(2,1)，则这个一次2函数的解析式是______．13. 如图，⊙O中，∠AOC=150°，则∠ABC=______度．14. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为______．15. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于______．16. 已知分段函数y，当x≤−1时，y=−2x2+2x+6，当x>−1时，y=2x2−2x−2，点A(x1,y1)，B(x2,y2)为这个分段函数图象上的两点，且x1<x2，已知当x2−x1>m时，总有y2>y1，则m的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

【浙教版】初三数学上期中试卷(及答案)

一、选择题1．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝47，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 2．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 与对应点D 重合，得到EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则AC 的长度为（）A ．5B ．6C ．26D ．41 3．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（）A ．4B ．5C ．6D ．84．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°6．如图，把△ABC 绕着点A 逆时针旋转40°得到△ADE ，∠1＝30°，则∠BAE ＝（）A ．10°B ．30°C ．40°D ．70° 7．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（）A ．函数图象过点()1,1-B ．函数图象与x 轴无交点C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小8．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y << 9．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++ 10．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（） A ．22y x =+ B ．2(1)1y x =-+ C ．2(2)2y x =-+ D ．2(1)3y x =-+ 11．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（）A ．10B ．12C ．14D ．1612．方程()55x x x +=+的根为（）A ．15=x ，25x =-B ．11x =，25x =-C ．0x =D ．125x x ==-13．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 14．关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥-且3a ≠B ．1a >-且3a ≠C ．1a ≥-D ．1a >-二、填空题15．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．16．若抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点，则c 应满足的条件是_______． 17．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.18．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k =______． 19．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程260x x a -+=的两个实数根，且221212x x -=，则a =________．20．关于x 的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为______．参考答案三、解答题21．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （2，4）、B （1，2）、C （5，3），如图：（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC 顺时针转动90°，得到△A 1B 1C 1，在坐标系中画出△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1的坐标；（2）在（1）中，若△ABC 上有一点P （m ，n ），直接写出对应点P 1的坐标．（3）作出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2．22．如图1，ABC 和DEF 都是等腰直角三角形， 90A ∠=︒，90E ∠=︒，DEF 的顶点D 恰好落在ABC 的斜边BC 中点，把ADEF 绕点D 旋转，始终保持线段DE 、DF 分别与线段AB 、AC 交于M 、N ，连接MN ．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把DEF 旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当//BC MN 时， ①通过计算BMD ∠和NMD ∠的度数，得出BMD ∠________NMD ∠（填>，<或=）； ②设22BC =AM 、MN 、NC 的长度，其中NC =____，进而得出AM 、MN 、NC 之间的数量关系是_______．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM 、MN 、NC 之间的数量关系进行证明．23．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．24．如图①，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线23y ax bx =++的解析式；（2）如图②，连接AC ，点E 是第一象限内抛物线上的动点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，//EG y 轴交AC 于点G ，求EFG 面积的最大值及此时点E 的坐标；（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D ，点P 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？26．解方程：（1）2340x x --=；（2）()()2151140x x -+--=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF 的长，再利用勾股定理求出AF 的长，从而求得GF ，即可求解出△AEF 的面积，最终即可判断出所有选项．【详解】∵将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，∴AG ＝AE ，∠DAE ＝∠BAG ，DE ＝BG ，∵∠EAF ＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝47，∴BF＝47，AF7，故②正确，③错误，∴GF＝3+47＝257，∴S△AEF＝S△AGF＝12AB×GF＝507，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．D解析：D【分析】根据旋转的性质可得BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，进而可得△ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和已知条件可得∠EAD＝90°，根据勾股定理可求出DE的长，即为AC的长【详解】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAD＝90°，∵AE＝AB＝5，AD＝4，∴DE，即故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．3．C解析：C【分析】由于将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，当点D恰好落在BC上时，易得：△ODP是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP≌△CDO，由此可以求出AP的长．【详解】解：当点D恰好落在BC上时，OP=OD，∠A=∠C=60°，如图．∵∠POD=60°∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，∴∠AOP=∠CDO，∴△AOP≌△CDO，∴AP=CO=6．故选：C．【点睛】此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．4．B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．故选B．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．C解析：C【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD ⊥BC 于点F ．则∠AFB=90°，∴在Rt △ABF 中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC 的度数为85°．故选C ．考点: 旋转的性质.6．D解析：D【分析】先找到旋转角，根据∠BAE ＝∠1+∠CAE 进行计算．【详解】解：根据题意可知旋转角∠CAE ＝40°，所以∠BAE ＝30°+40°＝70°．故选D ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．7．D解析：D【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．【详解】解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故此选项错误；C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，故此选项错误；D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．8．B解析：B【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可．【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4；当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4；当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4；∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4∴312y y y <<故选B【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．9．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 10．C解析：C【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．11．B解析：B【分析】设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b 关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴影面积即可.【详解】图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，设大正方形边长为a ，小正方形的边长为b ，∴a -b +2=b ，如图2，阴影部分面积=a 2-2b 2+(b -2a b -)2=44，解得：b =6，∴a =10，如图3，两个小正方形重叠部分的面积=()2b b a ⨯-=12．故答案为：B ．【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键.12．B解析：B【分析】根据因式分解法解方程即可；【详解】()55x x x +=+，()()550+-+=x x x ，()()510x x +-=，11x =，25x =-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．13．A解析：A【分析】本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．【详解】解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，即4000+260x+4x 2=5400，化简为：4x 2+260x-1400=0，即x 2+65x-350=0．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．14．B解析：B【分析】方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x 的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式0∆>即可得到答案．【详解】∵关于x 的方程()32a x 4x 10---=有两个不相等的实数根 ∴a-3≠0，且2=(4)4(3)(1)440a a ∆--⨯-⨯-=+>解得：1a ≥-且a≠3故选B ．【点睛】本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a 的不等式，是解题的关键．二、填空题15．【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标再根据图象法即可得【详解】由图象可知抛物线的对称轴为与x 轴的一个交点坐标为则其与x 轴的另一个交点坐标为结合图象得：当时故答案为：【点睛】本题解析：13x【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．【详解】由图象可知，抛物线的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，则其与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，结合图象得：当0y <时，13x，故答案为：13x．【点睛】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．16．或【分析】根据抛物线与轴有两个交点可知二次函数过原点或与轴相切故分两种情况解答：①将代入解析式；②△【详解】解：抛物线与坐标轴有两个交点①将代入解析式得；②△解得故答案为：或【点睛】本题考查的是抛物解析：0c 或18【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可知二次函数过原点或与x 轴相切．故分两种情况解答：①将(0,0)代入解析式；②△0=．【详解】解：抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点， ①将(0,0)代入解析式得0c； ②△180c =-=，解得18c =．故答案为：0c 或18．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点及根的判别式，熟知抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．17．y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 18．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，∴()224440b ac k ∆=-=--=，解得：4k =；故答案为4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．19．8【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：解方程可得进一步可得结论【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：又∴∴∴解得故答案为：8【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解析：8【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：126x x +=，12x x a =，解方程221212x x -=可得122x x -=，进一步可得结论．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：126x x +=，12x x a =，又221212x x -=，∴1212()()12x x x x +-=∴122x x -=，∴22121212()()43644x x x x x x a -=+-=-=解得，8a =，故答案为：8．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 20．【分析】根据方程的解的定义可以得到方程【详解】解：根据题意知方程符合题意即：故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义熟悉相关性质是解题的关键解析：230x x -=【分析】根据方程的解的定义可以得到方程-=(3)0x x ．【详解】解：根据题意，知方程-=(3)0x x 符合题意，即：230x x -=．故答案是：230x x -=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题21．（1）图见解析，A 1（4，﹣2）、B 1（2，﹣1）、C 1（3，﹣5）；（2）P 1的坐标为（n ，﹣m ）；（3）见解析【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC 顺时针转动90°，即可得到△A 1B 1C 1；（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P 1的坐标；（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，A 1（4，﹣2）、B 1（2，﹣1）、C 1（3，﹣5）；（2）若△ABC 上有一点P （m ，n ），则对应点P 1的坐标为（n ，﹣m ）．（3）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．22．（1）①=；②2NC =AM NM NC +=；（2）AM NM NC +=，见解析【分析】（1）①由“SAS”可证∴△BMD ≌△CND ，可得∠BMD=∠DNC ，由外角的性质和平行线的性质可证∠BMD=∠CND=∠BDM=∠CMN ；②由等腰三角形的性质可求2=NC ，再求出2，22-2，即可得结论；（2）在CN上截取CH=AM，连接AD，DH，由“SAS”可证△AMD≌△CHD，可得MD=DH，∠ADM=∠CDH，再由“SAS”可证△MDN≌△HDN，可得MN=HN，可得结论．【详解】解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A=90°，∠E=90°，∴∠B=∠C=∠EDF=45°，AB=AC，，∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B=45°=∠ANM=∠C，∠DMN=∠BDM，∴AM=AN，∴BM=CN，∵点D是BC中点，∴BD=CD，在△BMD和△CND中BM CNB C BD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△BMD≌△CND（SAS），∴∠BMD=∠DNC，∵∠MDB=∠C+∠DNC=∠MDN+∠BDM，∴∠BDM=∠CND，∴∠BMD=∠CND=∠BDM=∠CMN，故答案为：=；②∵，AB，∴AB=AC=2，∵∠BMD=∠CND=∠BDM，∴BD=BM=12，∴，∴，∵AM=AN，∠A=90°，∴，∴=NC，AM+MN=NC；（2）如图1，在CN上截取CH=AM，连接AD，DH，∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是BC 中点，∴AD=CD ，∠BAD=∠ACD=45°，AD ⊥BC ，又∵AM=CH ，∴△AMD ≌△CHD （SAS ），∴MD=DH ，∠ADM=∠CDH ，∵∠ADM+∠ADN=∠MDN=45°，∴∠ADN+∠CDH=45°，∴∠HDN=45°=∠MDN ，在△MDN 和△HDN 中DN DN MDN HDN DM DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△MDN ≌△HDN （SAS ），∴MN=HN ，∴NC=CH+NH=AM+MN ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．23．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②最大值928，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形 =22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)； ②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得：当t= 32时，S 有最大值，最大值为278， ∵OB=3，OC=3，∴2232OB OC +=∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC 272928832⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．24．（1）2y x 2x 3=-++；（2）最大面积8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 (1,4+或(1,4-【分析】（1）把A,B 坐标代入即可求解；（2）先求出直线AC 解析式，证明△EFG 是等腰直角三角形，再得到当EG 最大时，EFG 面积的最大故可列出EG 关于x 的二次函数，即可求解；（3）根据菱形的性质作图，分情况讨论即可求解．【详解】（1）把()3,0A 、()1,0B -代入23y ax bx =++得093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++；（2）令x=0，解得y=3∴C （0,3）设直线AC 解析式为y=mx+n ，把()3,0A ，C （0,3）代入得033m n n =+⎧⎨=⎩解得13n n =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为y=-x+3，∵CO=OA∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠ACO=45°∵//EG y∴∠FGE=45°∵EF AC ⊥∴△EFG 是等腰直角三角形，∴EF=FG,EG 2=EF 2+FG 2=2EF 2∴S △EFG =12EF×FG=12EF 2=14EG 2 ∴当EG 最大时，EFG 面积的最大设E （x, 223x x -++）则G （x ，-x+3）∴EG=（223x x -++）-（-x+3）=-（x-32）2+94 ∴当x=32，EG 最大值为94，故此时EFG 最大面积为14×（94）2=8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）如图①AD=DP 时， ∵2y x 2x 3=-++=-（x-1）2+4 ∴D （1,4）又A （3,0）∴==DP∴P 1(1,4+,P 2(1,4- ②DP=AP 时设P （1，y ）∵DP 2=AP 2，A （3,0） ∴（4-y ）2=（3-1）2+（0-y ）2 解得y=23 ∴P 321,3⎛⎫ ⎪⎝⎭③当AD=AP 时，设P （1，y ） ∵AD 2=AP 2，A （3,0） ∴（2=（3-1）2+（0-y ）2 解得y=-4（4舍去） ∴P 4()1,4-综上，P 点坐标为()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 (1,4+或(1,4-．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、等腰直角三角形及菱形的性质．25．（1）2或4；（2）2；（3）1082-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可；在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =，由题意得：()16282x x -⋅=∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC Scm =．（2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得： ()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意．答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．26．（1）14x =，21x =-；（2）16x =-，23x =．【分析】（1）用十字相乘法分解因式求解即可；（2）把x-1看作一个整体，用十字相乘法分解因式求解即可；【详解】解：（1）2340x x --=，()()410x x -+=，40x ∴-=或10x +=，14x ∴=，21x =-；（2）()()2151140x x -+--=， ()()17120x x -+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=，60x ∴+=或30x -=，16x ∴=-，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．。

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